1. КЛАСС
, о . » * « « * • 1
*t ® ________
ПРОСВЕЩЕНИЕ
И З Д А Т Е Л Ь С Т В О
2. ЛГЕБРА
КЛАСС
У Ч ЕБН И К
ДЛЯ О БЩ ЕО БРАЗО ВАТЕЛЬНЫ Х
О РГАНИ ЗАЦ ИЙ
с прилож ением
на электронном носителе
Под редакцией С.А. ТЕЛЯКОВСКОГО
Рекомендовано Министерством
образования и науки Российской Федерации
Москва
«Просвещение »
2013
4. Дорогие восьмиклассники!
В этом году вы продолжите изучение
алгебры. Ваш и представления о выражени
ях, числах, ф ункциях, уравнениях и нера
венствах пополнятся и расш ирятся. Если
в 7 классе вы занимались преобразованием
целых выражений, то теперь познакоми
тесь с преобразованием дробей. Вы впервые
встретитесь с иррациональными числами,
изучите свойства новых функций: обрат
ной пропорциональности у = — и функции
у = 4х — и научитесь строить их графики.
В ы познакомитесь с некоторыми способа
ми решения квадратных и дробных рацио
нальных уравнений, неравенств с одной
переменной и их систем. Вам предстоит
сделать новые шаги в изучении статисти
ки. Наглядное представление статистиче
ской информации поможет вам в вос
приятии сведений экономического и соци
ального характера из газет, журналов,
теленовостей.
Весь новый материал подробно разъ
ясняется в объяснительных текстах учеб
ника, приводятся решения различных за
дач. Правила и свойства, которые нужно
запомнить, даны на цветном фоне, чтобы
вы обратили на них внимание. Если вы
забыли что-то из ранее изученного, то мо
жете обратиться к разделу «Сведения из
курса алгебры 7 класса». Контрольные во
просы и задания помогут вам проверить,
как вы усвоили изученный материал.
В учебнике вам предлагаются разно
образные упражнения. Надеемся, что вы
примете активное участие в выполнении
упражнений под названием «задача-иссле-
дование», рассчитанных на коллективное
обсуждение приёмов решения, а такж е в
выполнении заданий, предназначенных для
5. работы в парах. Вы полняя такие задания, вы научитесь прислуш и
ваться к мнению товарищей и отстаивать свою позицию. При работе с
учебником рекомендуем использовать специальный диск, где предла
гаются упражнения, которые вы можете выполнить на компьютере.
Если вы интересуетесь математикой, то ваше внимание, безус
ловно, привлечёт материал под рубрикой «Для тех, кто хочет знать
больше», помещённый в конце каждой главы. Специально для
учащ ихся, находящих радость в решении непростых задач, в учеб
нике даны «Задачи повышенной трудности». Решение таких задач
поможет не только расширить кругозор, но и подготовиться к уча
стию в математических олимпиадах.
Конечно, многим из вас любопытно узнать, как и почему зарож
дался и затем развивался тот или иной раздел алгебры. Д ля ответов
на эти вопросы в учебнике приведены «Исторические сведения».
Ж елаем вам успехов в изучении алгебры.
В учебнике используются следующие условные обозначения:
— текст, который нужно запомнить
— материал, который важно знать
т т т л
► — начало решения задачи
<] — окончание решения задачи
• — начало обоснования утверждения или вывода формулы
— окончание обоснования или вывода
11. — задание обязательного уровня
19. — задание повышенной трудности
ш упражнения для повторения
6. В курсе алгебры 7 класса вы много занимались преобразова
ниями целых выражений. Теперь вы перейдёте к преобразованиям
дробных выражений. Вы узнаете, как выполняются сложение, вычита
ние, умножение и деление рациональных дробей, возведение дроби
в степень, познакомитесь с новым понятием среднего гармонического
чисел.
В этой главе рассматривается функция, которая задаётся фор-
k
мулой у = — при k ф О и называется обратной пропорционально
стью. Вас, конечно, удивит вид её графика, который существенно
отличается от графиков известных вам функций — линейной функции
у = kx + ft, функций у = х2 и у - х3. Советуем обратить внимание на
расположение графика обратной пропорциональности при различных
значениях k. Здесь вам существенную помощь окажет использование
компьютера.
РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ И ИХ СВОЙСТВА
1. Рациональны е вы раж ения
В курсе алгебры 7 класса мы занимались преобразованиями це
лых выражений, т. е. выражений, составленных из чисел и перемен
ных с помощью действий сложения, вычитания и умножения, а так
же деления на число, отличное от нуля. Так, целыми являю тся
выражения
7а 2Ь, т 3+ п3, (х - у)(х2+у 2),
х 4у + 2х2у 2 +8 у, т 8 + п6 + т 2п2,
М°- ±±1, 2х:9.
§ 1. Рациональные дроби и их свойства
7. В отличие от них выражения
Ь х + у
4а -
2а + 1 ’ х2-3ху + у2 ’
п 5
3 п2+ 1
, 2p :q ,
помимо действии сложения, вы читания и умножения, содержат де
ление на выражение с переменными. Такие выражения называют
дробными выражениями.
Целые и дробные выражения называют рациональными выра
жениями.
Целое выражение имеет смысл при любых значениях входя
щих в него переменных, так как для нахождения значения це
лого выражения нужно выполнить действия, которые всегда воз
можны.
Дробное выражение при некоторых значениях переменных мо
ж ет не иметь смысла. Например, выражение 10 + —не имеет смысла
а
при а = 0. При всех остальных значениях а это выражение имеет
смысл. Выражение х + ^ имеет смысл при тех значениях х и у,
когда х * у.
Значения переменных, при которых выражение имеет смысл,
называют допустимыми значениями переменных.
Выражение вида — называется, как известно, дробью.
Ъ
Дробь, числитель и знаменатель которой многочлены, называют
рациональной дробью.
Примерами рациональных дробей служ ат дроби
5 Ь - 3 х + у 3
а ’ 10 ’ х2- ху + у2' т 2- п2’
В рациональной дроби допустимыми являю тся те значения перемен
ных, при которых не обращается в нуль знаменатель дроби.
ИСААК НЬЮТОН (1643—1727) — английский физик, ме
ханик, математик и астроном. Сформулировал основные
законы классической механики, открыл закон всемир
ного тяготения, разработал, независимо от Лейбница,
основы математического анализа.
Глава I Рациональные дроби
8. COіTf|
П р и м е р 1. Найдём допустимые значения переменной в дроби
5
а(а - 9)
► Чтобы найти, при каких значениях а знаменатель дроби обра
щ ается в нуль, нужно решить уравнение а(а - 9) = 0.
Это уравнение имеет два корня: 0 и 9. Следовательно, допус
тимыми значениями переменной а являю тся все числа, кроме
0 и 9. <
(х —2)2—25
П р и м е р 2. При каком значении х значение дроби — 2х~+"б— ^аВ
но нулю ?
► Дробь — равна нулю тогда и только тогда, когда а - 0 и Ь Ф 0.
b
(х —2)2—25
Числитель дроби — равен нулю, если (х - 2)2 = 25, т. е.
2х + 6
х - 2 = 5 или х —2 — -5. И так, числитель дроби равен нулю при
х = 7 и х = -3. Знаменатель данной дроби не равен нулю, если
х Ф -3. Значит, данная дробь равна нулю при х = 7. <1
Упражнения
1. Какие из выражений а 2Ъ, (х - у)2- 4ху,
т + 3 8
а2- 2аЬ , . 2 . 2
о , V* iff „ > о і ,,2 ’о т —о х + у
, (с + З)2+ - являю тся целыми, какие — дробными?
12 £
а 12
2. Из рациональных выражений 7х2- 2 х у , —, — , а(а — ,
— 9 о За
1 о 1 о CL 0
-тп'1 п , ------ 8 выпиш ите те, которые являю тся:
4 3 а + 3
а) целыми выражениями;
б) дробными выражениями.
Найдите значение дроби 1 при у - 3; 1; -5; і ; —1,6; 100.
Найдите значение дроби:
ч а - 8 0 ft2+6 t o
а) - -- ■■■при а = -2; б) — при Ь = 3.
2а + 5 2Ь
к х , й (а + b)2- 1
5. Чем у равно значение дроби т при:
аг + 1
а) а = - З, Ь = -1; б) а = 1 ^, Ъ = 0,5?
§ 1. Рациональные дроби и их свойства
9. 6. Заполните таблицу:
X -13 -5 -0,2 0
1
17
1 5—
3
7
х + 5
х - 3
g
7. а) Из формулы и = - выразите: переменную s через v и t; пере
менную t через s и и.
б) Из формулы р = ^ выразите переменную V через р и т .
8. Из городов А и В , расстояние между которыми s км, выш ли
в одно и то же время навстречу друг другу два поезда. Первый
шёл со скоростью Uj км /ч, а второй — со скоростью v2 км /ч. Ч е
рез t ч они встретились. Выразите переменную t через s, и у2.
Найдите значение t, если известно, что:
а) s = 250, Uj= 60, v2- 40;
б) s = 310, Uj = 75, v2= 80.
9. Составьте дробь:
а) числитель которой — произведение переменных х и у, а зна
менатель — их сумма;
б) числитель которой — разность переменных а и Ь, а знамена
тель — их произведение;
в) числитель которой — сумма переменных с и d, а знамена
тель — их разность.
10. При каких значениях переменной имеет смысл рациональное
выражение:
. х ft + 4 . у2- 1 у . а + 10
а ) — о ; б) в ) — + - ^ ; г ) — - - 1 ?х - 2 £г+7 у у - 3 a(a - 1)
11. Укаж ите допустимые значения переменной в выражении:
ч 2 о ґ чЗх - 6 . X - 5
а) х2- 8х + 9; в) — -— ; д) - — - З х ;
7 Xі + 25
1 ч ' х2- 8 х х - 8
б> я о ’ г> л , е> о+ ----*6х - 3 4х(х + 1) х + 8 х
12. Найдите допустимые значения переменной в выражении:
. 5у - 8 . у2+ 1 . у 15
а) Л т — ; в) ~ — — ; д) —^ +
11 ’ у2 - 2у’ м/ у - 6 у + 6 ’
^ 25 . _ч —10 32 у+ 1
б) — г) -р ; е)
Глава I
У - 9 у2+ 3 ' у у + 7
Рациональные дроби
10. 13. Найдите область определения функции:
1 2х + 3 . 1
3 б>!, = ^ о Г Г ч ; в) S = I + T T 5 -
„ . _ „ - х - 3
14. При каком значении переменной значение дроби —-— равно:
а) 1 ; б) 0; в) - 1 ; г) 3?
15. При каких значениях переменной равно нулю значение дроби:
а У л А . 61 2у + 3 - в) Х (Х ~ 1}- г) х{х + 3 )?
} 8 ’ 3 10 ’ ’ х + 4 ’ } 2 х + 6 ‘
16. Определите знак дроби —, если известно, что:
b
а) а > 0 и 6 > 0; в) а < О и fc > 0;
б) а > 0 и й < 0; г) а < 0 и ft < 0.
17. Докажите, что при любом значении переменной значение дроби:
V 3 . (а - I f
а) —х-- положительно; в) —z— — неотрицательно;
дг + 1 аг + 10
-5 . ф - S f
б) -х отрицательно; г) — 5 неположительно.
у* + 4 - Ь - 1
18. При каком значенииа принимает наибольшее значение дробь:
„ч 4 10 о
^ а2 + 5 ’ (а - Z f + 1'
19. При каком значении Ъ принимает наименьшее значение дробь:
18
20. Чем у равно наибольшее значение дроби — 5------ 5------? Выбе-
4х2 + 9 + у2 + 4ху
рите верный ответ.
1. Равно 0 2. Равно 1 3. Равно 2 4. Равно 3
21. Преобразуйте в многочлен:
а) (2а + 3)(2а - 3); г) (6 + 0,5)2;
б) (у - 5Ь)(у + 56); д) (а - 2*)2;
в) (0,8х + у)(у - 0,8х); е) (ab - I)2.
22. Разложите на множители:
а) х2- 25; в) а 2- 6а + 9; д) а 3- 8;
б) 16- с 2; г) * 2+ 8х + 16; е ) 63 + 27.
§ 1. Рациональные дроби и их свойства
11. 2. Основное свойство дроби.
Сокращ ение дробей
М ы знаем, что для обыкновенных дробей выполняется следую
щее свойство: если числитель и знаменатель дроби умножить на
одно и то же натуральное число, то значение дроби не изменится.
Иначе говоря, при любых натуральных значениях а, Ь и с верно ра-
а ас
венство —= — .
b Ьс
Докажем, что это равенство верно не только при натуральных,
но и при любых других значениях a, b vie, при которых знаменатель
отличен от нуля, т. е. при Ъ Ф 0 и с Ф 0.
П усть —= т . Тогда по определению частного а = Ь т . Умножим
о
обе части этого равенства на с:
ас = (Ъ т )с .
Н а основании сочетательного и переместительного свойств ум
ножения имеем:
ас = (Ьс) т .
Так как Ьс Ф 0, то по определению частного
ас
Значит,
= т .
Ьс
а ас _
ъ = ы - °
М ы показали, что для любых числовых значений переменных
а, Ъ и с, где Ь Ф 0 и с Ф 0, верно равенство
Т = Г - (1)Ъ Ьс
Равенство (1) сохраняет силу и в том случае, когда под буквами
а, Ь и с понимают многочлены, причём Ь и с — ненулевые многочле
ны, т. е. многочлены, не равные тождественно нулю.
Равенство (1) выражает основное свой ство рациональной дроби:
если числитель и знаменатель рациональной дроби умно
ж ить на один и тот же ненулевой многочлен, то получится
равная ей дробь.
Например,
х + 2 _ (х + 2)(х + у)
х - 3 (х - 3)(х + у)'
Глава I Рациональные дроби
12. Это равенство верно при всех допустимых значениях перемен
ных. Такие равенства будем называть то ж д ествам и . Ранее тож
дествами мы называли равенства, верные при всех значениях пере
менных. Теперь мы расширяем понятие тождества.
1
і О п р е д е л е и и е. Тождеством назы вается равенство,
верное при всех допустимых значениях входящих в него
переменных.
*■.■■ч.'-igg-)» — я — и
Основное свойство рациональной дроби позволяет выполнять
приведение дроби к новому знаменателю и сокращение дробей.
Приведём примеры.
2Х
П р и м е р 1. Приведём дробь — к знаменателю 35у 3.
7у
► Так как 35у 3= 7у-5у2, то, умножив числитель и знаменатель
_ 2х _ о 2х 2х • 5у2 0ху2 .
дроби — на оу , получим: — — ^
7у ’ --- J 7у 7у •5у2 35у3 *
М ножитель Ъу2 называют дополнительным множителем к чис-
2ос
лителю и знаменателю дроби — .
7У
5
П р и м е р 2. Приведём дробь к знаменателю х - 2у.
2у - х
► Д ля этого числитель и знаменатель данной дроби умножим
на -1:
5 _ 5 •(-1) _ -5
2 у- х (2у - х) ■(-1) х - 2у '
—5
Д робь можно заменить тождественно равным выражени-
х - 2у
е м — , поставив знак «минус» перед дробью и изменив
х - 2у
-5 5
знак в числителе:
х - 2у х - 2у
Вообще
Р " 1
если изменить знак числителя (или знак знаменателя) дро
би и знак перед дробью, то получим выражение, тождест
венно равное данному.
l-_ Ш — -___ !
§ 1. Рациональные дроби и их свойства
13. П р и м е р 3. Сократим дробь
а2- 9
ab + 3b
► Разложим числитель и знаменатель дроби на множители:
а2 - 9 _ (а + 3)(а - 3)
аЪ + 3Ь Ь(а + 3)
Сократим полученную дробь на общий множитель а + 3:
(а + 3)(а - 3)
И так,
а - 3
Ь(а + 3) “ Ь
а2- 9 а - 3
П р и м е р 4. Построим
X2—16
функции у =
ab + 3b Ь
график
2х - 8
► Область определения функции
х2 - 16
у = — множество всех
* 2х - 8
чисел, кроме числа 4. Сократим
_ х2 - 16
ДРОбЬ 2Ї Г 8 1
х2 - 16 (х - 4)(х +4) х + 4
2х - 8 2(х- 4)
Графиком функции у =
х + 4 Рис. 1
х2 - 16
У 1
' о ~|
-
4
>«*и
1
3
S '
-
2
- 1
I
4 - 3 2 1 0
— г -
і -
X
- 1
1
является прямая, а графиком функции у = ^ g
мая, но с «выколотой» точкой (4; 4) (рис. 1). <1
— та ж е пря-
Упражнения
23. Укаж ите общий множитель числителя и знаменателя и сократи
те дробь:
а) *£■ б) — • в) — • г) — • д) ~2ХУ • е) 8х2у2
} З х ’ } 25i/ ’ } 24а’ } 216с’ Д> 5х2у ’ } 24ху '
24. Сократите дробь:
10х£. 6a * , 2 V . . 2 4 o V . 6 3 * Y
’ Ibyz' } 96с2 ’ ' -4a V } -2д3 ’ Д) 36ас ’ } 42х<У '
I________
Рациональные дробиГлава I
14. 25. Представьте частное в виде дроби и сократите её:
а) 4а 2Ь3 : (2а 4Ь2); г)36пг2п : (18т п );
б) 3ху2 : (6* V ) ; д) -32Ь5с : (12Ь4с2);
в) 2p4q4 : (48p 2q2); е) - 6 ах : (-18ах).
26. Сократите дробь:
4а2 7 х2у 56 т 2п5 25p4q
a ) I — > б) 77І— 2 ’ в) -s' ’ г)бас’ 21ху2 ’ 35т п & ' 100p5q
27. Найдите значение выражения:
ч 816 8125
а) 1612’ ' 2733 '
28. Сократите дробь:
. а(Ъ- 2) 3(х+4) , ab(y + 3) 15а (а - Ь )
а) 5(£>- 2) ’ * с ( х + 4 ) ; В) а2Ь(у + 3) ’ Г) 20Ъ(а - Ь)'
29. Разложите на множители числитель и знаменатель дроби и со
кратите её:
. За + 12Ь . 2а - 4 . а - ЗЬ
а) — г г — ;в) ^ ; д)6аЪ ’ * 3(а - 2) ’ а2- 3ab'
15Ь - 20с _ч 5х(у + 2) Зх2+1Ьху
) 106 ’ Г) 6у + 12 ; 8) х + 5у '
30. Сократите дробь:
у2- 16. (с + 2? . а2+ 10а + 25
} Зі/ -і-12 ' 7с2+ 14с ’ Ю а2- 25
5д: —15г/ 6cd - 18с . у2- 9
б) ... г) ; е)
х2-9у2 ’ ' (d - 3 f ’ у2- 6у + 9
31. Сократите дробь:
. а2—аЪ + Ъ2 а3- Ь3 (а+Ь)3 а3- Ь3
8 - ) о > б ) Г J В ) п , о » Г ) л Г о ” *
а 3 + Ь 3 а - Ь а 3 + Ьг а* - tr
32. Найдите значение дроби:
. 15а2- 10аЬ
а) Ш - 2Ь2 при “ = -2- 6 = - 0’1-
9с2- 4d2 2 1
б) 18c2d - 2cd? ПрИ С = 3 ’ 2 ’
. 6х2+ 12ху 2
в ) к Г Т ЇГ Т ПР И х = о ’ У = - 0 ’4;5ху + 10у 3
х2+ бху + 9у2 „
г) л 2 і 19 ПРИ * = -0’2’ У = ~°>6-4хz+ 12л:і/
§ 1. Рациональные дроби и их свойства
15. 33. Сократите дробь:
. х2- 4х + 4 . а2+ а + 1
а) * ‘ - 2* ; в) 1 Г Г Г '
8) г, 6 + 2
у2+ 16г/+ 64 ’ ft3+ 8
34. Представьте частное в виде дроби и сократите её:
а) (9х2- у 2) : (Зх + у); в) (х2+ 2х + 4): (х3 - 8);
б) (2аЪ - а ) : (4Ь2- 4 b + 1); г) (1 + а 3) : (1 + а).
35. Сократите дробь:
ч 2х + Ьх - 2у - by ^ ху - х +у - у2
/ W П > В} 9 0 У
7х —7у х2- у2
8а + 4Ь а2+ 2ас + с2
б) г)
2аЪ + Ъ2- 2ad, - bd’ а2+ ас - ах - ex'
36. (Д ля работы в парах.) Постройте график функции:
х2 - 25 х3 - 9х
a)1 , = w б> » = - ? т у
1) Обсудите, что общего у дробей, задающих функцию в задани
ях а) и б). К ак надо учиты вать эту особенность при построении
графиков?
2) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б),
и выполните их.
3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнено задание.
Исправьте замеченные ошибки.
тх „ -X -X X -X
37. Из выражении — , — , — , выпиш ите те, которые:
-У У -У У
а) тождественно равны дроби —;
У
X
б) противоположны дроби —.
У
38. Упростите выражение:
’ а - Ь . f e - J * H j - *
о - a b - а а + b
( a -ft)2 . } } (а + Ъ?
} (ft- а ) 2 ’ ’ ( b - a f ' ’ ( - а - Ь ) 2 '
1 ____
Глава I Рациональные дроби
16. [39.| Какой из графиков, изображённых на рисунке 2, является гра-
(1 - х)2
фиком функции у = ---- — ?
Рис. 2
а)
б)
в)
а(х - 2у)
г)
7Ь - 14Ь2
ж )
8&2- 8а2
Ь(2у - х) ’ 42Ъ2- 2Ь ' а2 - 2аЬ + Ь2 ’
5х(х - у) _
х3(у - х) ’
д)
25 - а2
За - 15’
3)
№ - 2)3
(2 - bf •
СО
&
I
со
05
е)
3 - Зх
12fe- ab’ х2- 2х + 1 ’
41. Сократите дробь:
„ ах + Ьх - ац - by ab - 3b —2а + 6
а) bx-by ’ б) 15 - 5а.....
42. Упростите выражение:
а)
х° + х‘
X4 + X2
U6 - U8
б) V - V
У ~ У
в)
ь7 - ъ10
Ьь ;
г)
с3 - с 2
§ 1. Рациональные дроби и их свойства
17. 43. Найдите значение выражения:
V а8+ а5 1 , ч ь10- Ь8
а) Ts- —2 ПРИ а = ~ о ; б) Тя— ПРИ & = -ОД-аа + сг b8-be
44. Сократите дробь:
а)
(2а - 2ft)2
а - Ь
б)
(Зс + 9d)2
с + 3d
в)
(3* + бу)2 .
5 х + 10у ’
г)
4х2- у2
(10* + byf '
45. (Задача-исследование.) Верно ли, что при всех значениях а,
о2—4
отличных от -2 и 2, значение дроби 5 г является отрица-
12 + az- а*
тельным числом?
1) Выберите произвольное значение а, отличное от -2 и 2,
и сравните с нулём соответствующее значение дроби.
2) Обсудите, какое преобразование дроби поможет найти ответ
на вопрос задачи.
3) Выполните это преобразование и сделайте вывод.
46. Докажите, что значение дроби не зависит от п, где п — нату
ральное число:
Зп+2 - Зп 16" +1 - 2" +4
а) о— -о- * , . о., I б)+ 3 + 3" ’ 4•2п(23п - 1) ’
47. Приведите к знаменателю 24а 3Ь2 следующие дроби:
5Ь 7а 1 2
8а3 ’ 3Ъ2’ 2аЬ ’ а2Ь2'
48. Представьте выражение 2а + Ъ в виде дроби со знаменателем,
равным:
а) 6; б) 5; в) За; г) 2а - Ь.
49. Приведите дробь:
а)
б)
а - Ь
У
х - а
к знаменателю (a - Ь)2;
к знаменателю х2- а 2;
в)
г)
а
а - 10
Р
р - 2
к знаменателю 10 —а;
к знаменателю 4 - р2.
50. Реш ите уравнение:
а) -Ъх = 16;
1
б) 2х =
5 ’
В) з * = 4;
г) 4х = -2;
д) 0,6х = 3;
е) -0,7х = 5.
Глава I Рациональные дроби
18. 51. Разложите на множители:
а) 5 Ь с- 5 с; г) Ьу - Ьх + у 2- ху, ж ) у 2- 2 у + 1;
б) Ю л + 15л2; д) а 2- 9; з) а 3 + 64;
в) 8аЬ + 12Ьс; е) х2+ 10х + 2Ъ", и) 63 -1 .
52. Расположите выражения:
5 5 5
а) — : 6, -0 ,1 ,------ (-7) впорядкевозрастания их значений;
16 16 16
б) 0,8•(-0,4),0,8 : (-0,4), 0,8- (-0,4), 0,8 + (-0,4) в порядке
убывания их значений.
Контрольные вопросы и задания
■
Приведите примеры целых выражений; дробных выражений.
Какую дробь называют рациональной? Приведите пример.
Дайте определение тождества. Приведите пример.
Сформулируйте и докажите основное свойство дроби.
Сформулируйте правило об изменении знака перед дробью.
l ¥ l СУММА И РАЗНОСТЬ ДРОБЕЙ
3. Сложение и вы читание дробей
с одинаковыми знам енателям и
При сложении обыкновенных дробей с одинаковыми знаменате
лями складывают их числители, а знаменатель оставляют преж
ним. Например:
2 3 2 + 3 5
7 + 7 ~ 7 ~ 7 '
Таким же образом складывают любые рациональные дроби
с одинаковыми знаменателями:
a b а + b
— I-—= -----,
с с с
где а, b и с — многочлены, причём с — ненулевой многочлен.
§ 2. Сумма и разность дробей
19. Чтобы сложить рациональные дроби с одинаковыми знаме
нателями, надо сложить их числители, а знаменатель оста
вить тем же.
Вычитание рациональных дробей выполняется аналогично сло
жению:
a b _ а - Ь
с с с
Чтобы выполнить вычитание рациональных дробей с одина
ковыми знаменателями, надо из числителя первой дроби
вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить
тем же.
l ______________________________________________ :________________________ !
тт _ За - 7Ъ 2а + 2Ь
П р и м е р 1.Сложим дроои------- и ------- .
15ab 15ab
За - 7 Ь 2а + 2Ь _ За - 7Ь + 2а + 2Ь _
15ab + 15ab 15ab
5а - ЪЬ _ 5(а - b) _ а - b
~ ЬаЬ ~ 1ЬаЪ ~ ЗаЬ ’ <;
П р и м е р 2. Вы чтем из дроби - ■ дробь — —— .
5а 15 5а 15
а2+ 9 6а а2+ 9 - 6а(а - З)2 а - 3
^ 5а - 15 ~ 5а - 15 “ 5а - 15 “ 5(а - 3) _ 5 '
П р и м е р 3. Упростим выражение
х2- 3 2________ 2х - 1
х2+ 2х х2 + 2х х2+ 2х '
^ Здесь удобно сложение и вычитание дробей выполнять не после
довательно, а совместно:
х2- 3 2 2х - 1 _ х2- 3 + 2 -(2х - 1) _
х2+ 2х х2+ 2х х2+ 2х х2 + 2х
_ хг - 1 - 2х + 1 _ х2 - 2х _ х(х - 2) _ х - 2
х2 + 2х х2 + 2х х(х + 2) х +2'
I
Глава I Рациональные дроби
20. П р и м е р 4. Сложим дроби —^—— и 6*
2х - а а - 2х
► Знаменатели дробей являю тся противоположными выражения
ми. Изменим знаки в знаменателе второй дроби и перед этой
дробью. Получим
6* _ 6х
а - 2х 2х - а
Теперь можно применить правило вычитания дробей с одинако
выми знаменателями:
За 6х
2х - а а - 2х
За 6х _ За - 6х _ -3 (2 * - а) _ ^
2х - а 2х - а 2х - а 2х - а
Упражнения
53. Выполните сложение или вычитание:
. х у 5Ь2 1362 . х + у х . 2с —х х
а) 3 + | ; 1 В> Г ) — + б'
54. Представьте в виде дроби:
. т т - р Т у -13 2у + 3
а) 2р 2 ^ ~ ; 10і/ Юг/ ;
а + b а - 2Ъ 8с + 25 5 - 2с
б>і т - ; +
55. Преобразуйте выражение, представив его в виде дроби:
2х - Зу y-2x а - 2 2а+5 3 - а
a Аху 4ху ’ 8а + 8а 8а
5а + б5 5а - 7Ь5 11а - 26 2а - ЗЪ а - Ь
8Ь 86 4а + 4а 4а
56. Упростите выражение:
. 17 - 12л: 1 0 - х 3d - а 2d + 6а р - 4а
а) -------- + -------; г) . — ~ + , »
х х Ьр эр ор
12р-1 1 - 3 р . 5 с-2d 3d d - 5с
б> “ Г З ----д)Зр2 3/г 4с 4с 4с
у - 3 у + 2 2а 1 - 6а 13 —&
5у 5у b Ь + Ъ
§ 2. Сумма и разность дробей
21. 57. Упростите выражение:
. 16 х2 За - 1 36-1 2а + 6 26 - 5а
&) х - 4 х - 4 ; В) а2 -Ъ 2 а2- Ь2’’ Ю (а - bf + (а - bf '
25 а2 х - 3 11 13£jL6 y _ U ^ j: 4y
а + 5 а + 5 ’ х2- 64 + х2- 64 ’ 6 (х + i/)2 (х + y f '
58. Докажите, что:
. (а + б)2 (а - 6)2
а) вы раж ение тождественно равно 4;
ab ab
йч (а + б)2 (а - б)2
о) выражение —т-5-+ —г 5- тождественно равно 2.
а2 + 62 а2 + 62
59. Найдите значение выражения:
ч а2 - 43 7 96- 1 66- 10 , с% е
а) — -^ - + _ п р и а = 10,25; 6) при 6 = 3,5.
СП и *> а2 - 126 Заб - 4а
60. Наидите значение выражения --------- 5------ при а = -0,8,
аг - Заб аг - Заб
Ь = -1,75. Нет ли в задаче лиш них данных?
61. Упростите выражение:
. х 5 2 т 2п . а2+ 16 8а
а) - + - ; в) ---- + ------; д) ---- — +1 1 * ' 9 А А 9
у - 1 1 - у т - п п - т а - 4 4 - а
г) _ 5£ _ + _ 1» £ _ ; е)
с - 3 3 - с ’ 2q - p р —2q' х - 3 у 3у - х
62. Выполните сложение или вычитание дробей:
а) -™£_ + -®£— в) Х ~ 3 2 • дч а | 3 ■
Р - 9 Я ~ р ’ х - 1 1 - х ’ а2 - 9 9 - а 2 ’
5а 56 а За - 6 г/2 1
б) г + 7--- ; г) - + -— — ; е) у -
а - Ь 6 - а ’ 2а - 6 6- 2а ’ г/- 1 1 - у
63. Докажите, что при всех допустимых значениях л: значение вы
ражения не зависит от х:
Заг + 5 7л: + 3 5л: + 1 л; + 17
а ) 1-------; б ) ---------1-------- .
2л - 1 1-2х ’ 5л:- 20 20 - 5л:
64. Упростите выражение:
л:2 25 л:2 + 25 Юл:
а> 7---—TZ S’! б) - —?■+
(х - 5)2 (5 - x f ’ (л - 5)3 (5 - x f ‘
65. Преобразуйте выражение:
л:2 8(л: - 2) 64 - 2а6 2аЬ - а2
Э) л:2 - 16 л:2 - 16 ’ (а - 8)2 + (8 - а)2'
I________
Рациональные дробиГлава I
22. 66. П ользуясь тождеством -----= - + -, представьте дробь в виде
с с с
суммы дробей:
. а + Ь 2а2 + а х2+ 6у2 . 12а + у2
а) ; б) ; в) г) и .
х у 2* 1/ баг/
67. Представьте дробь в виде суммы или разности дробей:
х2+ у2 2х - у . а2 + 1 . а2- 3ab
а) 6) в) Г> - г ~ -
68. Представьте дробь + Зга + 6 ^ виде С у М М Ы двучлена и дроби.
п
Вы ясните, при каких натуральных л данная дробь принимает
натуральные значения.
( т - l)(m + 1) - 10
69. При каких целых значениях т дробь ---------------- прини-
т
мает целые значения?
70. Реш ите уравнение:
а) 3(5х - 4) - 8х = 4х + 9;
б) 19х - 8 (х - 3) = 66 - Зх;
в) 0,2(0,7х - 5) + 0,02 = 1,4(х - 1,6);
г ) 2,7(ОДх + 3,2) + 0,6(1,3 - х) = 16,02.
71. Разложите на множители:
а) 8х4-16х3у; г) 18Ь2- 9 8 а 2; ж ) аЪ + 8а + 9Ь + 72;
б) 15ху5+ 10у2; д) х 3-125; з) 6 т - 12 - 2л + т п .
в) 8а 2- 50у2; е ) у 3 + 8;
72. Укаж ите допустимые значения переменной в выражении:
. За 2у . 5х . 7 а
a) , o r’ б) 2 ^ В) г)2а + 25 ’ 9 + у2 ' 'З х ( х + 1 2 ) ’ '( а + 1 ) ( а - 4 ) ‘
4. Сложение и вы читание дробей
с разны м и знам енателям и
Сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаме
нателями сводится к сложению и вычитанию рациональных дробей
с одинаковыми знаменателями. Д ля этого данные дроби приводят к
общему знаменателю.
§ 2. Сумма и разность дробей
23. П р и м е р 1. Сложим дроби --5- й г.
4а36 6аб4
► Знаменатели дробей представляют собой одночлены. Наиболее
простым общим знаменателем является одночлен 12а 3Ь4. Коэф
фициент этого одночлена равен наименьшему общему кратному
коэффициентов знаменателей дробей, а каждая переменная взя
та с наибольшим показателем, с которым она входит в знамена
тели дробей. Дополнительные множители к числителям и зна
менателям этих дробей соответственно равны 363 и 2а2.
Имеем
_ х _ 5 х •Зб3 + 5 •2а2 _ Зб3* + 10а2
4а3б + баб4 12а3б4 12а364
П р и м е р 2. Преобразуем разность + 3---- -— .
az+ ab ab + bz
► Чтобы найти общий знаменатель, разложим знаменатель ка ж
дой дроби на множители:
а + 3 6 - 3 а + 3 6 - 3
а2+ аб аб + б2 а (а + 6) 6(а + 6)'
Простейшим общим знаменателем служ ит выражение ab(a + b).
Дополнительные множители к числителям и знаменателям этих
дробей соответственно равны Ъ и а.
Имеем
а + 3 6 - 3 а + 3 6 - 3
а2+ аб аб + б2 а(а + 6) 6(а + 6)
(а + 3)6 - (6 - 3)а _ аб + 36 - аб + За _ 3(а + 6) _ 3
аб(а + 6) а6(а + 6) аб(а + 6) аб '
Преобразование рационального выражения, которое является
суммой или разностью целого выражения и дроби, сводится к преоб
разованию суммы или разности дробей.
а2—3
П р и м е р 3. Упростим выражение а - 1 ------- .
а + 1
► Представим выражение а - 1 в виде дроби со знаменателем 1
и выполним вычитание дробей:
а2 - 3 а - 1 а2 - 3 (а - 1)(а + 1) - (а2 - 3)
а - 1
а+ 1 1 а + 1 а+ 1
<
Глава I
а + 1 а + 1
Рациональные дроби
24. Упражнения
73. Представьте в виде дроби:
' • > f + £i « ) ! - - : д) ? + f ;2 3 b a Sy 4у 5а 25а
б) £_-Ё_. Г) І 1 . е ) 1 І Е _ 2 5 ї / .
4 12’ 2х З х ’ ^ 24с 36с’ ' 4с 26 ‘
74. Выполните сложение или вычитание:
5у - 3 у + 2 6+2 Зс-5
а) -2- h- ; в ) ------------- ;
6у 4у 15б 45с
Зх + 5 ( х - 3 _ 86 + у 6г/+ б
35х + 21х ’ 406 30у '
75. Преобразуйте в дробь выражение:
. 15а - 6 а - 46 7х + 4 Зх - 1
а) ; б ) --------------.
12а 9а 8у 6у
76.Выполните сложение или вычитание:
. 6 1 1 4 - 2а3 2а - ЗЬ 4а - 56
а) - Y - - ; в) —т + ---; д) ---5^— + т г ~5
az а 2а7 а10 а2Ь аЬ2
_ч 1 - х 1 а + 6 а - Ь . х - 2у 2у —х
б) — — + — ; г) — 2~ + — — ; е) --- Т - - — 0— •
х3 Xі a2 ab ху2 х2у
77. Представьте в виде дроби:
2xi/- 1 3 у - х 1 2
’ 4х3 6х2 ; Bj За3 5а5 ;
1 - Ь2 2Ь3- 1 б2____ь_
Заб баб2’ 6х5 Зх6
78. Преобразуйте в дробь выражение:
. 1 , 1 1 . Ь - а с - Ь с - а
а) —-н---- ь — ; в) — — + — --------- ;
аб ас be ab Ьс ас
ab - Ь аЪ - а а2 - Ъ2 . ЗаЪ + 2Ь2 а + 2Ь а - 2Ь
б) — ; г) + — -— .
a b ab ab а Ъ
79. Выполните вычитание дробей:
а) - ————; в) £ f l - £ f e ;
ху XZ paq‘ piq6
а - 26 Ь - 2а Зтп- п 2п - m
ЗЬ За ’ 3т 2п 2т п 2
§ 2. Сумма и разность дробей
25. 80. Преобразуйте в дробь выражение:
Ч . 1 ч о а а2+ 6 (a - bf
а) х + ~; в) З а - - ; д ) ------- а; ж ) - — + Ь;
у 4 а 2а
б) “ - а ; г> 5Ь - р е) 2 з
а о &р
81. Преобразуйте в дробь выражение:
е с ч , а - 3
а) 5 - - ; в) а + Ь --- — ;
_ 2 15у2- 1 2Ъ2- 1 , _
б) 5у г ---; г) — --6 + 5.
О О
82. Представьте в виде дроби:
. л a b а - 1 а + 2
— б — 4’ г ) 4 « - — ------— і
б) 12 - і —і ; д) І І І - а + і;
a b 4
ч а - 2 а - 3 а2 + 62
в ) — -- 1 -----— ; е) а + Ь ---------.
і 6 а
83. Упростите выражение:
а) Х - ^ У . + ^ У ; в ) 3 - ^ і ' + ^ і ^ ;
' 2 4 7 4 12
3 5 6а - 46 b + 7а
б ) - - 2 - - : г ) — --------— 2.
84. Представьте в виде дроби:
. b —с b т п а а
а) —г~ + 1— ; в) ------------ ; д)
b b + с ’ т - п т + п ’ а + 2 а - 2 ’
х + 1 х + 3 . 2 а 1 . р р
б) « ------- ; г) - -; е)
х - 2 х 2а - 1 2а + 1’ З р - 1 1+Зр
85. Преобразуйте в дробь выражение:
ч Зх 2у . 3 2
а) -----------------; в ) -------- 1--------;
5(х + у) 3(х + у) ах - ау Ъу-Ъх
а2 Ь2 . 13с 126
б) 77 гг —— гг; г)
5(а - Ь ) 4(а - Ь )’ bm-bn сп —ст.
86. Выполните сложение или вычитание дробей:
в) - ^ — + а -
2х + 1 Зх - 2 ’ } 5 х - 1 0 6х - 12 ’
6а 2а . 5 6 6
б) — ^ + — ; г)
24
х - 2у х + у ’ 12а - 36 48 - 16а
1 ________
Рациональные дробиГлава і
26. 87. Докажите, что при всех допустимых значениях у значение вы
ражения не зависит от у.
ч 5у+3 Ту + 4 Н у +13 1Ьу + 17
а ) ------------- ; о) + -------- .
2у+ 2 Зу + 3 ’ Зу - 3 4-4 у
88. Упростите выражение:
а) — ——=•+ —-— ; б ) Ь‘ - 4Ьу
ах - х2 х - а * 2у2 - by b - 2у
89. Упростите выражение:
ч 1 1 1 1
а) 75— ГГ + ТГ— Г ?; б)а2+ ab ab + Ь2 ' b2—ab ab - а2 '
90. Преобразуйте в дробь выражение:
ч 1 а + ь ч я 2 ч 9 о
а) 1 в) т - п + ----- ; д) х ------- - 3;
а -b т + п х - 3
а2+ Ь2 а2 + Ь2 о а4 + 1
б) г— а; г) а + Ь ------ — ; е) а £-- 5— - + 1 .
a - b a + b а* - 1
91. Выполните вычитание дробей:
а2+ За а у Зу
а) “ I — гг—5--- 777- 7— -! б)
ab - ЪЬ + 8а —40 Ъ + 8 Зх - 2 бху + 9х —4у - 6
92. Выполните сложение или вычитание дробей:
. с Ь2 - ЗЬс ^ а + з 1
а> I + Т і— ~лГ' б) -з — 2 .Ь —с Ь* - <г а* —1 а“ + а
93. Преобразуйте в дробь выражение:
6 - 6 2 х - 12а 4а
&) 4 - Ь2 + 2Ь - Ь2 ; В) х2 - 16а2 4а* - * 2 ’
Ь 156 - 25а а - 30г/ Юу
' _и и2 2 ’ Г*ab - 5а2 Ь2 —25а2 * а2 - ЮОу2 10аг/ - а2 "
94. Упростите выражение:
а а+ 4 а ■ вч (a + Ь)2 (Q ~ Ь)2 .
а2 - 2а а2 - 4 ’ а2 + ab а.2 - ab'
4 - х 2 х +1 » я 2 - 4 х2 + 4лг+ 4
б) То — Г ! Г)16 —х2 х + 4 ’ 5;е - 10 5л: + 10
95. Упростите выражение и найдите его значение при х = -1,5:
х + 1 х + 2 х + 2 1 + х
’ х2+ 3 х ~ 1 ^ 9 '
§ 2. Сумма и разность дробей
27. 96. Представьте в виде дроби:
. 4 3 12 х2 х + у
а) — гг ^ + -о— т; в) у
у + 2 у - 2 у2- 4 ’ ( x - y f 2х - 2у ’
_ а 3 а2 ft а + Ь
а - 6 а + 6 36 - а2 ’ Г (а - ft)2 ft2 - aft ’
97. Преобразуйте в дробь выражение:
2a + ft 16а 2а - Ь
3 2а2 - aft 4а2 - ft2 2а2 + aft ’
1 2 1
б) 7— -7^Г-" ^ 7 +(а - З)2 а2 - 9 (а +З)2 ’
х - 2 6х 1
В) о . » . , , - “ я--- 77+
Г)
* 2+ 2х + 4 х3 - 8 х - 2 ’
2а2 + 7а + З 1 —2а 3
а3 - 1 а2 + а + 1 а - 1
98. Упростите выражение:
1 1 2а
а)
a - 4ft a + 4ft 16ft2- a2’
1 1 "2
б) 77— 7Г + 77— 7 - +
2ft - 2a 2ft + 2a a2ft - ft3 ‘
99. Докажите, что тождественно равны выражения:
. 3 а2 _ 9а + 3
а) —о— ~— і---- 7 и а + Зн— 5— ——;
а2 - За а -3 а2- За
„V а3 а 2
б) -5 и а - 1 .
а2—4 а - 2 а + 2
ЦбО.] (Д ля работы в парах.) Докажите, что при любых допустимых
значениях переменной значение выражения:
. *3+Зд: 3x 2- 1 4 jc +16 0
а ) 1-2х является положительным числом;
х + 2 Xі - 4
2у2 + Зу+ 1 у 3 + 2у
У2 - 1 У - 1
1) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б),
и выполните их.
2) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнены преобразо
вания.
3) Обсудите, для чего в условии указано, что рассматриваются
допустимые значения переменных. Укаж ите допустимые зна
чения переменной в заданиях а) и б).
|_________
Рациональные дроби
СлU Т &U "Г X U "Г Cj су
б) у + — — 2 ——Л
-
т2- явл яется отрицательным числом.
Глава I
28. 101. Учащ имся была поставлена задача: «Представить дробь
х2 + 7х —25
в виде суммы целого выражения и дроби». Бы ли
х - 5
получены ответы:
7х _ 35 0 2 *-2 5 , 12л: —25
1.JC+5H 2 .Х + 12 + ---- 3 .- х + ------- 4.х н--------
х - 5 х - 5 х - 5 х - 5
Укаж ите неверный ответ.
102.j Докажите тождество
1 1 1
X + п X + п + 1 (х + п)(х + п + 1)
Используя это тождество, упростите выражение
1 1 1
( х + 1)(л: + 2) (л: + 2 )(л: + 3 ) ( х + 3 )(л: + 4)
103. Две речные пристани А и Б расположены на расстоянии s км друг
от друга. М ежду ними курсирует катер, скорость которого в сто
ячей воде равна v км/ч. Сколь
ко времени t (ч) потребуется ка
теру на путь от А до Б и обратно,
если скорость течения реки рав
на 5 км /ч? Найдите t при:
а) s = 50, v = 25;
б) s = 105, v = 40.
104. Туристы прошли s км по шоссе со скоростью V км/ч и вдвое
больший путь по просёлочной дороге. Сколько времени t (ч) за
тратили туристы, если известно, что по просёлочной дороге они
шли со скоростью, на 2 км/ч меньшей, чем по шоссе? Найдите
t при s = 10, v = 6.
п
105. Ф ун кц и я задана формулой у = — -— . Найдите значение функ-
О
ции при х, равном -2; 0; 16. При каком х значение функции
равно 3; 0; -9?
106. Постройте графики функций у = -4х + 1 и у = 2х - 3 и найдите
координаты точки их пересечения. Ту же задачу решите без по
строения графиков. Сравните полученные ответы.
107. В одну силосную ям у заложили 90 т силоса, а в другую — 75 т.
Когда из первой ям ы взяли силоса в 3 раза больше, чем из вто
рой, в первой яме силоса осталось в 2 раза меньше, чем во вто
рой. Сколько тонн силоса взяли из первой ям ы ?
§ 2. Сумма и разность дробей
29. Контрольные вопросы и задания
Сформулируйте правило сложения дробей с одинаковыми знаме
нателями.
Сформулируйте правило вычитания дробей с одинаковыми зна
менателями.
Как выполняют сложение и вычитание дробей с разными знамена
телями? Поясните свой ответ на примерах:
а + 2 b - 2 ^ 8 4
3 а2- ab + 62- ab' а2- 16 а2- 4а
ПРОИЗВЕД ЕНИЕ И ЧАСТНОЕ ДРОБЕЙ
5. Умножение дробей.
Возвед ение дроби в степень
При умножении обыкновенных дробей перемножают отдельно
их числители и их знаменатели и первое произведение записывают
в числителе, а второе — в знаменателе дроби. Например:
2 4 2-4 8
3 ' 5 " 3 -5 _ 15’
Таким ж е образом перемножают любые рациональные дроби:
а с _ ас
b " d ~ bd’
где а, Ь, с и d — некоторые многочлены, причём b и d — ненулевые
многочлены.
Чтобы ум нож ить дробь на дробь, нужно перемножить их
числители и перемножить их знаменатели и первое про
изведение записать числителем, а второе — знаменателем
дроби.
і
Q3 6Ь
П р и м е р 1. У м н о ж и м дробь -г- на дробь — .
46 а
► Воспользуемся правилом умножения дробей:
а3 66 _ а3•66 _ За
462 а2 462•а2 26
|_________
Рациональные дробиГлава I
30. П р и м е р 2. Умножим дробь р т + 2р на дробь р т
т пг - 4
Имеем Р ™ ± 2 Р . Pf = р(тп + 2) •р т г = _рЬп_^ <
т пс - 4 т •(т - 2)(т + 2) т - 2
X —1 х 4* 1
П р и м е р 3. Представим произведение ---- в виде рацио-
х + 2 х
нальной дроби.
тт х - 1 * + 1 (х - 1) •(х + 1) х2-1
^ И м е е м -----= — ---- = —-----.
х + 2 х (х + 2) •х хг + 2х
П р и м е р 4. Умножим дробь х + а на многочлен х2 - а 2.
х - а
У При умножении дроби на многочлен этот многочлен записы
вают в виде дроби со знаменателем 1 и затем применяют прави
ло умножения дробей:
Х + а і 2 2ч
(х2- а 2) = =
х - а х - а 1
_ ( « 4- а ){х - а )(х + а) = 2
х - а
Правило умножения дробей распространяется на произведение
трёх и более рациональных дробей. Например:
а с т ас т а с т
b d ті bd ті bdn
Вы ясним теперь, как выполняется возведение рациональной
дроби в степень.
а
Рассмотрим выражение
Ъ
являю щ ееся п-и степенью
рациональной дроби ^ и докажем, что
Ъ
' а У _ ап
Ъ ) ~ Ь " '
По определению степени имеем
/ пa і _ а а а
ъ ) ъ ' ъ ' " ' ' ъ '
п раз
§ 3. Произведение и частное дробей
31. Применяя правило умножения рациональных дробей и опреде
ление степени, получим
п раз
а а а аа- ... •а ап
Ь Ь Ь ЪЪ- ... Ь Ьп
п Раз п раз
Следовательно, | ^ I = • О
Чтобы возвести дробь в степень, надо возвести в эту степень
числитель и знаменатель и первый результат записать
в числителе, а второй — в знаменателе дроби.
l _____________ JLili
2а2
П р и м е р 5. Возведём дробь —7- в третью степень.
Ь
► Воспользуемся правилом возведения в степень:
2а2} * _ (2а2)3 _ 8а^
Ь4 ) (б4)3 Ь12
Упражнения
108. Выполните умножение:
. 5 2Ь 5а 7 . Ь2 5 . 18 с3
a ) 5 i ' ¥ ; б ) % ' ї о : В ) І 0 Ї ; с*" 2 4 '
109. Представьте в виде дроби:
. Зх 10 .. 2,5 4а3 . 7а3 , . , 1
“> 4 ^ 3 ^ В ) 2Ї6'8Ь; Г) ЫаЬ Ш -
110. Выполните умножение:
. 12 х3 ^ 8с2 1 . 11а4 126 . Ап2 9т
а ) 5 * '1 2 а ; } 15/га 4с2 ’ В ) 6 ' а5 J Г ) 3/га2 ' 2 ’
111. Преобразуйте в дробь выражение:
a ) 15 * 2 s ? ; б ) 1 § 7 '2*'!; в ) 6 о т 2 - ^ ; г> I ? 1® *2-
112. Упростите выражение:
ч 48х5 7у2 ч 72х4 ( 2,5у4
а) Л ‘ , „ Я Ї В)49у4 16х3 ’ 7 25у 5 ^ 27х5
18/га3 22га4 35а х 2 8ab
11га3 9 т 2 ’ Г 12Ь 2у 21ху
Глава I Рациональные дроби
32. 113. Выполните умножение:
10х2у2 21а3 . 13х . о
а) ТП; ^ 5 в) Тп Т ‘ 4 т л;
б)
9а2
2т.3
35а3Ъ2 '
5ху ’
7a2b
6 т J’
12т п 2
г)
114. Упростите выражение:
а)
2а2b 3х2у бах
3ху АаЬ2 15Ь2’
б)
6 т 3п2 49п4 5 т4р2
35р3 ' т 5р3 ' 42п6
115. Возведите в степень:
*> (*)' •>(т)‘ в)
3
Ю т
116. Возведите в степень:
а)
2а
p2q3
б)
( За2& |
I” J5
в) -
2агЬ }
3т п 3
г)
г)
9а^У
2Ь2) '
Зх2V
2у3 )-
117. Представьте в виде дроби:
( 5а3 V (2 х 2Ъ
. « И ; б) кv
а) в)
Ю т 2У .
п2р ) ’
г) -
Ъ3с2
118^] Зная, что а = 2, найдите значение выражения а 2 +
а
119. Выполните умножение:
8 а3
25
■,2’
4ab
За ab + Ь2
б) Ь* ' 9
в)
т - п 2т п
т п т п —т ‘
Д)
е)
ах + Ъх
сх + dx 2ab
т а - mb 2 т
120. Выполните умножение:
а)
2х
Зп2 пЪ - п а ’
ах —ау ( Ъху
Ъх2у2 by - Ьх
в)
б) (х2- 4) •
(х + 2)2’
г)
Зу2- 12
2аЪ
а2 - 6ab + 9Ь2
(;у2- 4у + 4);
•(а2- 962).
121. Представьте в виде дроби:
а)
ху а + а*
а* + а°
б)
6а
х* - х
2х - 2
Sax
§ 3. Произведение и частное дробей
33. 122. Упростите выражение:
у2 - 16 5у b - а 3ab
б)
123. Представьте в виде дроби:
. а2 - 1 7а - 7Ъ
а) z - —r -L— і в)а - Ь аг + а
Ь2 + 2Ьс ЪЬ + 15
б)
а а2 - ъ 2 '
(х + З)2 д:2- 4
2х —4 Зх + 9 ’
СЛ
1
to
У 2 - 36
Ъ+ 3 Ь2 - 4с2 ' ’ 2у + 12 2у - 10 '
124. Найдите значение выражения:
. Ьтп - т 16т 2—п2 1
а) лт I »------ л— ’если т = 1 ’ П = ~3;4 т + п on —1 4
(д; + 2)z 2jc + 6
б) — — если х = 0,5; -1,5.
Зх + 9 х —4
125. Выполните умножение:
а2- Ъ2 2а - 6
а) а2- За ' Ь2+ 2аЪ + а2 5 }
126. Представьте в виде дроби:
. т х 2 - т у 2 3т + 12
а) ------- — -; в)
2 т + 8 т у + т х
ах + ау х2- ху .
х2- 2xi/+ і/2 7х + 7 у’
127. Упростите выражение:
ч х2- 10* + 25 х2 - 16
а) г— ——--- ---- — ; в)
Ьх + 3Ь 25 - 10х + х2
х 2 - 2 5 ах + За
х3- у3 х2- у2
х + у х2 + ху + у2 ’
а2 - 1 а2- а + 1
а3+ 1 а2 + 2а + 1'
у2 - 25 Зу + 18
Зх + 12 2х - 10 ’ у2 + 12у + 36 2у + 10 ’
1 - а 2 а2 + 4а6 + 4&2 ч Ь3 + 8 2Ь + 3
6) : ■-~0------ =— т---- ; г)
4 а+ 86 З - З а ’ ' 18Ь2+ 27Ь Ь2 - 2Ь + 4 ‘
і128. Докажите, что если дробь ^ является квадратом дроби, то
О
и произведение аЪ можно представить в виде квадрата некото
рого выражения.
п129. Упростите выражение:
а2 - 4ас + 3Ьс ^ а + ЗЬ + а + 2с
а2- ab + Ъс - ас Ь - а а - с
Глава I Рациональные дроби
34. п
130. Первые 30 км велосипедист ехал со скоростью v км /ч, а ос
тальные 17 км — со скоростью, на 2 км/ч большей. Сколько
времени t (ч) затратил велосипедист на весь путь? Найдите t,
если: a) v = 15; б) v = 18.
131. Выразите х через а и Ь:
X X
а) 3х + b = а; б) Ь - 7х = а - Ь; в) — +1 = 6; г) &---- = а.
а 10
6. Д еление дробей
При делении обыкновенных дробей первую дробь умножают на
дробь, обратную второй. Например:
3 2 3 5 _ 15
8 5 8 2 16’
Так же поступают при делении любых рациональных дробей:
а с а d
b 'd ~ b " c ’
где а, Ь, с и d — некоторые многочлены, причём Ь, с и d — ненуле
вые многочлены.
Это равенство выражает правило деления рациональных дробей:
чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь
умножить на дробь, обратную второй.
і--------------------------------- і Л І — : ________ - _ .i
П р и м е р 1. Разделим дробь на дробь .
b b
► Воспользуемся правилом деления дробей:
7а2 ш14а _ 7а2 b _ а
Ь3 b Ь3 14а 2Ь2
^ 2 х 1
П р и м е р 2. Разделим дробь на дробь .
х х + 2
х —2 х + 1 х - 2 х +2 х2- 4
> И м еем : ----- = —т-- . <]
хх + 2 х х +1 Xй+ х
§ 3. Произведение и частное дробей
33
35. — Q
П р и м е р 3. Разделим дробь на многочлен а + 3.
Зі/
► При делении дроби на многочлен этот многочлен записывают
в виде дроби и затем применяют правило деления дробей:
а2- 9 . а2 - 9 а + 3 а2 - 9 1 а - 3
: (а + 3) = -----: ------------ = --.
Зу 3у 1 Зу а + 3 Зу
Упражнения
132. Выполните деление:
а) : ~1Г” ’ д* ~ГТ '•<22* 2): ж ) : (9c2d);6га 8 12 Ь 36 4у* 7а
14 7х ч Зл: 1 ч огт ч 18с[4 ч ос 5 7x3
б) 9 ? : V ; Є) 270 : W ’ 3) : Ж
133. Упростите выражение:
ч 6л:2 З х . Зай Г 21а2Ь
a) Т : ТТГТ? в)Ъу Юг/3 ’ 4ху ^ 10х2у
„ 8с 6с2 ч 18a2b2 ( 9аЬ3
б) 7ГГ35- : ^ГГ; г) —21d2 ’ Id bed ‘ I 5c2dA
134. Выполните деление:
ч б*2 х . 8m*2 .. 9 .
а) ~ T-: q 2 ’ в) — з- : (4mzx);
т лп 3m r Зу
35х2у 7ху ч 2 ь. а3^2
б) г) 15а2Ьх : ——г.
12аі> 8а62 ЗОх2
135. Представьте в виде дроби:
Зх2 . 9х3 Ъу _ 7р4 Ъд . 3р
3 5у3 ’ 2у2 3* ’ 10д3 14р2 4q*
136. Упростите выражение:
11т4 5т 11га3 8х? . 4х4 _7*
3 6га2 6га3 ' 12т3 ’ Іу 3 49і/2 *у2
137. Представьте выражение в виде дроби и сократите её:
а) (х + Зу) : (х2- 9у2);
б) (а2- баб + 9Ь2) : (а2- 962);
в) (х2 - 49у2) : (49у2 + 14ху + х2)
г) (т - 4п)2 : (32л2 - 2 т 2).
Глава I Рациональные дроби
36. 138. Выполните деление:
Л) Ц ^ : ( 7 а - 2 1 Ь ) ;
е) (X2- 4у 2): — — — ;
х
4а3- ab2
8х2 ' 8х ’
5а2 а3
6 Ь3 ab - Ь2 '
X 2 + X3 4 + 4х
1 1 а2 ' а3 ’
6ах 8ах
в) -т;--f : ж > (2° - Ь)2 :
г) Z 2— : о~~ ё > з) (1 0 т-1 5 л):
3
(2/га - Зга)2
/га2—2/га 3/га—6 2/га
139. Выполните действие:
х2 - ху 2х 2 2 3/га + 12га
а) Q л : — ; в) (/л-2- 16л^): ---------;
9у* 3у т п
2а3 - а2Ь 2а - b 9р2 - 1 1- Зр
’ 36Ъ2 : ~9Ь3~ ; Г) p q - 2 q : 3 ^ 6 '
140. Найдите значение выражения:
а) — -— ~ ~ : (2х - 2), если х = 2,5; -1;
х + 3
Оп2 — Я/i2
б) (За + 66): — ——— , если а = 26, Ь = —12.
а + Ъ
141. Выполните деление:
Зх + 6г/ 5х + 10
х2- у2 х2- 2ху + у2’ 16 - fc4 4 + b2
л Зх + 6у 5х + 10у а2 + 4а + 4 4 - а2
Гг-*І2 .....2» "
142. Упростите выражение:
. а2+ ах + х2 а3- х3 ар2 - 9 а р + 3
а) * - і : ? г т ; б ) ^ г : 2 7 ^ і '
143. Из формулы —+ і = - выразите:
а b с
а) переменную с через а и Ь; б) переменную Ь через а и с
144. Выполните действия:
. 2Ь 5 4Ь2+ 9
а)
б)
2Ъ + 3 3 - 2 Ь 4Ъ2 —9 ’
с + 6Ь 2Ъ
ас + 2be - 6аЬ - За2 а2 + 2afc ас - За2 '
§ 3. Произведение и частное дробей
37. п145. От пристани против течения реки отправилась моторная лодка,
собственная скорость которой 10 км/ч. Через 45 мин после вы
хода лодки у неё испортился мотор, и её течением через 3 ч
принесло обратно к пристани. Какова скорость течения реки?
146. Из формулы у = ^ выразите:
ctC
а) переменную с через а, b и у;
б) переменную а через Ь, с и у.
147. В каких координатных четвертях расположен график функции
у = kx, если k > 0? если k < 0 ?
7. П реобразование рациональных выражений
Рациональное выражение ( —— - + 2у- ) : (х2- 3у 2) представ-
х + у х —у )
ляет собой частное от деления суммы рациональных дробей на
многочлен. Деление на х2- 3у 2 можно заменить умножением на
дробь - — г. Поэтому преобразование данного выражения сводит-
хг - 3jr
_ „ х - и 2у
ся к сложению дробей —, ---- и умножению результата на
X + у х - у
дробь -----т. Вообще преобразование любого рационального выра-
Xі - 3{г
ж ения можно свести к сложению, вычитанию , умножению или де
лению рациональных дробей.
Из правил действий с дробями следует, что сумму, разность,
произведение и частное рациональных дробей всегда можно предста
вить в виде рациональной дроби. Значит, и всякое рациональное вы
ражение можно представить в виде рациональной дроби.
П р и м е р 1. Преобразуем в рациональную дробь выражение
1 х2 - 4
X + 1 ------ .
х + 2 х
► Сначала выполним умножение дробей, затем полученный ре
зультат вычтем из многочлена х + 1 :
1 х2 - 4 (х - 2)(х + 2) х - 2
1)
х + 2 х (х + 2) х
оч і х - 2 х(х + 1) - (х - 2) х2 + х - х + 2 _ х2 + 2
Z) X 1. — — — •
20 И>іМ:1I I Рациональные дроби
38. Запись можно вести иначе:
1 х2 - 4 л (х - 2)(х + 2) , х - 2
х + 1 ----- = х + 1- - = х +1 -------
х + 2 х (х + 2) х х
х2 + х - х + 2 х2 + 2
П р и м е р 2. Представим выражение
b а ^ a2b + ab2
а2 + Ь2
+ 1
в виде рациональной дроби.
► Сначала сложим дроби, заключённые в скобки, затем найден-
а2Ъ + ab2
ныи результат умножим на дробь —5— -г— и, наконец, к полу-
аі + 0і
ченному произведению прибавим 1 :
b а Ь а Ь2 + а2
1 )
2)
а2- ab аЪ - Ъ2 а(а - b) b(a - b) ab(a - Ь) ’
b2+ а2 а2Ъ + ab2 _ (а2 + Ь2) •ab(a + b) _ а + b
ab(a - Ь) а2 + Ъ2 ab(a - Ь) ■(а2+ b2) а - b'
а + Ь , а + Ъ + а - b 2а
3) г + 1 =
а - b а - Ь а - Ь
П р и м е р 3. Представим выражение
х_
У
У_
х
в виде рациональной
У
дроби.
► Преобразование можно вести по-разному. Можно представить
в виде рациональных дробей отдельно числитель и знаменатель,
а затем разделить первый результат на второй. А можно умно
ж ить числитель и знаменатель на ху, воспользовавшись основ
ным свойством дроби:
X
У
У_
х _ V
X
У
ху
(
X у
— ху - — -хц
У У X у
^ •ху + ^ •ху - 2ху
х2- у 2
х2+ у2 - 2ху
ху
(jc - у)(х + у) х + у
(.х - y f х - У
§ 3. Произведение и частное дробей
39. П р и м е р 4. Пешеход отправился из посёлка А на станцию В со
скоростью км /ч. Придя на станцию, он обнаружил, что оста
вил дома необходимые документы, и возвратился обратно в по
сёлок со скоростью и2 км /ч. Взяв документы, он снова пошёл на
станцию со скоростью vs км /ч. Вы ясните, какой была средняя
скорость пешехода на всём пройденном им пути.
► П усть расстояние А В равно s км. Тогда на путь от А до Б пеше-
S S
ход затратил сначала — ч, на путь от В до А ч, а на повтор
ні °2
g
ное прохождение пути от А до В ч. Н а весь путь пешеход
Чз
S S S
затратил — н 1 ч. За это время он прошёл 3s км. Теперь
v1 v2 v3
можно найти среднюю скорость vcp пешехода на всём пути:
3s
° СР ~ s s s '
— + — + —
Ul v2 L>3
Сократив данную дробь на s, найдём, что
— + — + —
1>1 v2 v3
М ы получили формулу для вычисления средней скорости, если
известны скорости vl7 v2, v3 на каждом из трёх участков одинаковой
длины. Из полученного равенства видно, что средняя скорость дви
жения пешехода не равна среднему арифметическому скоростей ог,
v2 и i>3. Она вы числяется по более сложной формуле, которую назы
вают формулой среднего гармонического трёх чисел.
Средняя скорость движения на двух участках пути одинаковой
длины вычисляется по формуле среднего гармонического двух чисел:
2
«І и2
где и v2 — скорости на этих участках.
Средняя скорость движения на четырёх участках пути одинако
вой длины вычисляется по формуле среднего гармонического четы
рёх чисел:
где Vi, v2, v3, v4 — скорости на этих участках.
1_________
Глава I Рациональные дроби
40. I-------------------------------------------------------------- 1
Вообще если мы имеем некоторый ряд положительных чи
сел а 1г а 2, ... , ап, то среднее гармоническое этого ряда вы- |
числяется по формуле
п
Эту формулу иногда записывают в другом виде:
1 1 1
1 _ °1 02_______ (^п_
асР П
Из этой записи видно, что величина, обратная среднему гармо
ническому нескольких положительных чисел, равна среднему ариф
метическому чисел, им обратных.
Упражнения
148. Выполните действия:
х 1
а)
У2 х.
Г1 0
1=,У + х )
ab + Ъ2 b3 а + Ъ
в) — г ~ 1
( 4 +4 ) : т 2 т 3)
« і » , - і . ) --2 , "і I. х —у Ъу х2 - ху
в) I — + — I -1 + — J ; о —
149. Выполните действия:
v ( х ^Л 1н- jc . | 4 a 'l а + 2
2 - а І а - 2
х - 2 f
о • I х
х - 3 v1-J/2 V 1 - у У x - 3 v 2 - х
150. Упростите выражение:
. f 2 т + 1 2/п - 1^1 4т х + 3 ( х + 3 х - 3
а) 7Г— 7 - 7Г— Т : в ; б) Т5Г-Г~ +2т. - 1 2 т + 1 ) Ю т - 5 х2 + 9 v * - 3 х + 3
151. Выполните действия:
а2 - 9 ( 6а + 1 6 a - l') ( Ьх + у 5х - у х2 + у2
а) тз-г-7-кг-г- + ^-=- ; б) — -f + . у '• у
2а2 + 1 ^ 0 - 3 а + 3 J ’ х — 5у х + 5у ) х2 —25у
§ 3. Произведение и частное дробей
41. 152. Выполните действия:
. а2- 25 1 а + 5
а)
а + 3 а2 + 5а а2 - За ’
1- 2х х2+ Зх 3 + х
б) г г +
2х + 1 4х2 - 1 ' 4х + 2 ’
153. Упростите выражение:
в)
г)
а + Ь а2 - ас а2- Ь2>
а2 - 4 а2 - 2а 2 -і/
х2- 9 ' ху + Зу х - 3 '
а) (а 2+ 2а + 1) ■ +
а + 1 а2 - 1 а —1 j
в) + 2
а -
г) ( у 2- 4)
У + 2 у -2
+ 5.
154. Выполните действия:
4 < 1 2а) - + х -
У х - у
2аЬ
б) + Ъ -
в) (х2- 1)
г) | т. + 1 —
а + Ь
1
х2 + у2
X + у
а - b Ь
а + Ь + а
1
х - 1 х + 1
1
+ 1 ;
1 - т
т -
пг
т - 1
155. Упростите выражение:
4ху . Г 1 1
й) г/2 - х2 * U 2 - ^ ’ *2+ 2хг/ + у2
б)
х - 2у________1 ________
х2 + 2xi/ х2 - 4г/2 ’ (2і/ - х):
х + 2г/ ^ (х + 2у)2
4у2
156. Представьте в виде дроби:
х + 2 Зх - З 3
а)
б)
х2 - 2х + 1 х2 - 4 х - 2 ’
а - 2 [ а а2+ 4
4а2 + 16а + 16 ’ І2 а - 4 2а2 - 8 а2+ 2а У
40
Глава I Рациональные дроби
42. 157. При каком значении а выражение
.9 чг>. |а + 5 а —7
(0,5 (а - I )2 - 18) I г +
а - 7 а + 5
принимает наименьшее значение? Найдите это значение.
81
158. При каком значении Ь вы раж ение , -
(0,56 + 9)2 + (0,5Ь - 9)2
мает наибольшее значение? Найдите это значение.
прини-
159. Докажите тождество:
2p - q 1 ( p__q_
Я Р
а)
б)
PQ
а + b
p + q
а - b
1
У
Я
b2 - аЪ
2(а - Ь ) 2(а + Ъ) а - Ъ а2 - Ь2 '
Докажите тождество:
. 1,2х2- ху 20х
а)
0,36л:2 - 0,25у2 6х + Ъу *
б)
4,5а + 4лг 50
0,81а2 - 0,64л:2 9а - 8х
161. Докажите, что при всех допустимых значениях переменных
значение выражения не зависит от значений входящих в него
переменных:
ч , 2ab а -b ] 2а Ь
а)
б)
а2- b2
У
а ~ Ъ
а + 2Ь) а2а
х3 - ху2
+ Ь
х
Ь - а
х2- у 2
162.
X - у X2+ у2 (х - у)2
Докажите, что при любом натуральном п значение выражения
/
9 п
ґ
3
1 1
п2
+ з"
/
•
л2
п 3
/
является натуральным числом.
163. Представьте в виде многочлена или рациональной дроби:
а) п + —
п
в) ^ + 1
2
(X ,
^ + Ь - 1)
б)
а _ И 2.
b a J ’
164. Упростите выражение:
2а —b
а)
1 - і
X
X
б)
2а + b
+ 1
- 1
в)
^ + J L
у2 X2
X У
г)
1 1 1
— + — + —
а о с
_1_ J_ J_
ab be ас
§ 3. Произведение и частное дробей
43. 165. Представьте в виде отношения многочленов дробь:
2-« 5—^+3 - + -
а) — тг'* б) ттт— ; в) -— г; г)
у г . х - у
2+— а+b _ J А_1 £_£*
* с х г/ «/ *
166.] Выполните подстановку и упростите полученное выражение:
а
х
. х - а аЪ ь а - Ь
а) -, если х - б) ----- , если х = ---- .
х - Ъ а + b Ь а + Ь
- + х
а
167.! Выполните подстановку и упростите полученное выражение:
. а + Ь 1 1
а) если а = ---- , Ъ = ;
а - b 1 - х 1+д:
ах Ьх ab
б) ------- , если х =J V v i/Хді «V •
а + х о - х а - b
168. Найдите значение выражения:
Ъ—
4 9 2 І 0,2 а - Ь _ ,
а) — приа = - , Ь = - ~ ; б) — при а = - 8, b = 0,6.
а b 3 2 аг ,,
— +— Ъ2
12 18 25
169.; (Д ля работы в парах.) При каких значениях х имеет смысл
выражение:
ч 1 6х ~
а) — ; б) — ?
3 2+
х —2 х + 8
1) Обсудите, о каких значениях переменной х в заданиях а)
и б) можно сказать сразу, что они не являю тся допустимыми.
Что надо сделать, чтобы найти другие значения х, которые не
являю тся допустимыми?
2) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б),
и выполните их.
3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнены преобразо
вания. Исправьте замеченные ошибки.
170. Найдите среднее гармоническое чисел:
а) 3, 5; б) 2, 4, 8; в) 5, 10, 15, 20.
171. Из пункта А в пункт В автобус ехал со скоростью 90 км/ч. На
обратном пути из-за непогоды он снизил скорость до 60 км/ч.
Какова средняя скорость автобуса на всём пути следования?
172. Мастер может выполнить заказ на изготовление деталей за 4 ч,
а его ученик — за 6 ч. За какое время они смогут выполнить
два заказа, работая совместно?
Глава I Рациональные дроби
44. 173. Готовясь к соревнованиям, ш кольник трижды прошёл на лы
жах одну и ту же дистанцию: сначала со скоростью 9 км/ч, за
тем со скоростью 12 км/ч и, наконец, со скоростью 10 км/ч.
Какова была средняя скорость ш кольника на всём пути?
п
174. Найдите координаты точек пересечения с осью х и осью у гра
фика функции: а) у = - х - 2; б) у = -0,4х + 2. Постройте гра-
фик этой функции.
175. Напиш ите уравнение прямой: а) проходящей через точку
(0; 4) и параллельной прямой у = Зх; б) проходящей через
начало координат и параллельной прямой у = - - х - 8.
176. Изобразите схематически график функции, заданной форму
лой вида у = kx + Ь, если:
а) k > 0, Ъ > 0; в) k < 0, Ь < 0;
б) k < 0, b > 0; г) k = 0, Ь > 0.
177. Одна сторона прямоугольника на 20 см больше другой. Если
меньшую сторону увеличить вдвое, а большую — втрое, то пе
риметр нового прямоугольника окажется равным 240 см. Н ай
дите стороны данного прямоугольника.
178. Скорый и пассажирский поезда идут навстречу друг другу
с двух станций, расстояние между которыми 710 км. Скорый
поезд выш ел на час раньше пассажирского и идёт со скоростью
110 км /ч. Через сколько часов после своего отправления он
встретится с пассажирским поездом, если скорость пассажир
ского поезда равна 90 км /ч?
8. Ф ункц ия у = — и её график
П усть площадь прямоугольника, длина которого х см, а ширина
у см, равна 24 см2. Тогда зависимость у от х выражается формулой
24
В этой задаче переменные х н у принимали лиш ь положитель
ные значения. В дальнейшем мы будем рассматривать функции, за
даваемые формулой вида у = —, в которой переменные х и у могут
принимать как положительные, так и отрицательные значения,
причём k 0. Такие функции называют обратными пропорциональ
ностям и.
§ 3. Произведение и частное дробей
45. О п р е д е л е н и Обратной пропорциональностью на
зывается ф ункция, которую можно задать формулой вида
у = —, где х — независимая переменная и k — не равное
нулю число.
Областью определения функции у = — является множество всех
„ * k
чисел, отличных от нуля. Это следует из того, что выражение —
имеет смысл при всех X Ф 0.
Рассмотрим свойство обратной пропорциональности. П усть х г
и х2 — значения аргумента (X j Ф 0, х 2 Ф 0), а у х и у 2 — соответ
ствующие им значения функции. Так как k Ф 0, то г/хФ 0 и у 2 Ф 0.
k
Из формулы у = — следует, Ч Т О Х 1у 1 = k И Х 2у 2 = к, и потому верна
Х У2
пропорция — = — , т. е. отнош ение двух произвольных значений
*2 Ух
а р гум е н та равно обратном у о тнош ению с о о т в е т с т в у ю щ и х значе
ний ф ункции. С этим связано название функции — обратная про
порциональность.
В повседневной ж изни мы часто встречаемся со случаям и, когда
зависимость между переменными является обратной пропорцио
нальностью.
Приведём примеры.
П р и м е р 1. Время t (ч), которое автомобиль, двигаясь со ско
ростью v км /ч, затрачивает на путь, равный 450 км, вы числя
ется по формуле t = —— , т. е. зависимость t от v является обрат
ной пропорциональностью.
П р и м е р 2. Масса т (кг) м уки, которую можно купить на 85 р.
85
по цене р р. за килограмм, вычисляется по формуле т = — ,
т. е. зависимость т от р является обратной пропорциональ
ностью.
12
Построим график функции у = — . Д ля этого найдём значе
ния у, соответствующие некоторым положительным значениям
и противоположным им отрицательным значениям х:
X 1 1,5 2 3 4 5 6 8 12
У 12 8 6 4 3 2,4 2 1,5 1
Глава I Рациональные дроби
46. X -1 -1,5 -2 -3 -4 -5 -6 -8 -12
У -12 -8 -6 -4 -3 -2,4 -2 -1,5 -1
Отметим в координатной плоскости
точки, координаты которых помещены
в таблице (рис. 3).
Выясним некоторые особенности гра
фика функции у - ~ . Так как число нуль
не входит в область определения ф унк
ции, то на графике нет точки с абсцис
сой 0, т. е. график не пересекает ось у.
Так как ни при каком jc значение у не
равно нулю, то график не пересекает
ось х. Положительным значениям х со
ответствуют положительные значения у.
Чем больше положительное значение х,
тем меньше соответствующее значение у.
Например,
если х = 10, то у = 1 ,2;
если х = 100, то у = 0,12;
если х = 1000, то у = 0,012.
Значит, чем больше положительная
абсцисса точки графика, тем ближе эта
точка к оси абсцисс. Д ля достаточно
больших значений х это расстояние мо
жет стать как угодно малым. Чем ближе
положительная абсцисса точки графика
к нулю, тем больше ордината этой точ
ки. Например,
если х = 0,03, то у = 400;
если х= 0,0001, то у = 120 000.
12
График функции у = — показан на
рисунке 4. Он состоит из двух ветвей,
симметричных относительно начала коор
динат. Одна из этих ветвей расположена
в первой координатной четверти, а дру
гая — в третьей. Такой ж е вид имеет
k
график функции У ~ ~ при любом k > 0.
Н а рисунке 5 построен график
функции у = Он так же, как и гра
фик функции у = представляет со-
I !У-1
|
О ‘
4
-8L i . 4 ' *
» !
f
г ■
о і
1
і 2
X
Пr.i
* с
4
о
~ г12
•[ _ _ L Г I
Рис. 3
Рис. 4
Рис. 5
§ 3. Произведение и частное дробей
47. бой кривую , состоящую из двух ветвей, симметричных относитель-
12
но начала координат. Однако в отличие от графика функции у = —
одна из них леж ит во второй, а другая — в четвёртой координатной
четверти.
k
График функции у = — при любом k < 0 имеет такой же вид, что
и график функции у = —~~-
Кривую , являю щ ую ся графиком обратной пропорциональ
ности, называю т гиперболой. Гипербола состоит из двух
ветвей.
L ______________ ;____________ !
Упражнения
g
179. Ф ун кц и я задана формулой у = —. Заполните таблицу.
180.
181. Двигаясь со скоростью v км /ч, поезд проходит расстояние ме
жду городами А и В , равное 600 км, за t ч. Запиш ите формулу,
выражающ ую зависимость: a) v от t; б) t от v.
182. Обратная пропорциональность задана формулой у - Н ай
дите значение функции, соответствующее значению аргумента,
равному 100; 1000; 0,1; 0,02. Определите, принадлежит ли гра
ф ику этой функции точка А (-0,05;-200), В (-0,1; 100),
С (400; 0,025), £>(500; -0,02).
183. Известно, что некоторая ф ункция — обратная пропорциональ
ность. Задайте её формулой, зная, что значению аргумента, рав
ному 2, соответствует значение функции, равное 1 2 .
I__________
X -4 -0,25 2 5 16
У -4 0,4
Обратная пропорциональность задана формулой у = — . За
полните таблицу.
X -1200 -600 75 120 1000
У -0,5 -1 0,4
Глава I Рациональные дроби
48. 184. Н а рисунке 6 построен график функ-
— g
ции, заданной формулой у = —. Най
дите по графику:
а) значение у , соответствующее зна
чению х, равному 2; 4; -1; -4; -5;
б) значение х, которому соответст
вует значение у, равное -4; —2; 8.
185. Постройте график функции, задан-
—8
ной формулой у = — . Найдите по
графику:
а) значение у, соответствующее зна
чению х, равному 4; 2,5; 1,5; -1; -2,5;
б) значение х, которому соответст
вует значение у, равное 8; - 2.
0
186. Постройте график функции у = — и, используя его, решите
ч 6 6 д
уравнение: а) — = х; б) — = -х + 6.
8 8
187. Реш ите графически уравнение: а) — = х2; б) — = х 3.
188. (Д л я работы в парах.) Используя графические представления,
выясните, сколько решений имеет уравнение:
h k
а) — = х2, где к >0; в)— = х3, где k > 0;
б) = х2, где к <0; г) = х 3, где к < 0.
1) Распределите, кто выполняет задания а) и г), а кто — зада
ния б) и в), и выполните их.
2) Проверьте друг у друга, верно ли построены графики функ-
k
ции у = - .
3) Обсудите правильность сделанных выводов о числе решений
уравнения.
189. Прямоугольный параллелепипед со сторонами основания а см
и Ь см и высотой 20 см имеет объём, равный 120 см3. Выразите
формулой зависимость Ъ от а. Является ли эта зависимость
обратной пропорциональностью? Какова область определения
этой ф ункции? Постройте график.
190. Задайте формулой обратную пропорциональность, зная, что её
график проходит через точку:
а) А (8; 0,125); б) В ^ | ; l | j ; в) С(-25; -0,2).
I
-Й- Q
У =—
*
-
4
L S
-1 2-к
Ї
Г -<5
X
'А >
к "к
|
-
О “
О
Рис. 6
§ 3. Произведение и частное дробей
49. 191. На рисунке 7 построен график зависимости времени, затрачи
ваемого на путь из пункта А в пункт В , от скорости движения.
С помощью графика ответьте на вопросы:
а) Сколько времени потребуется на путь из А в В при скорости
движения 80 км /ч? 25 км /ч? 40 км /ч?
б) С какой скоростью надо двигаться, чтобы добраться из
пункта А в пункт В за 1 ч ? за 4 ч? за 8 ч ? за 16 ч?
в) Каково расстояние между пунктами А и В ?
k
192. Определите знак числа k, зная, что график функции у = — рас
положен:
а) в первой и третьей координатных четвертях;
б) во второй и четвёртой координатных четвертях.
193. На рисунке 8 построен график одной из следующих функций:
і 5 о 3 _ 3 . 5
1. у = ----- 2.у= -- 3. у = — 4. у = —
а х 3 х а х я х
Укаж ите эту функцию.
194. Докажите, что при всех допустимых значениях переменных
значение дроби не зависит от значений этих переменных:
Ь (х - У )2 . «ч (3 * - 6 у)2
а)
(Зу - Зх) 2 ’ б)
4(2і/ - х)2
Глава I Рациональные дроби
50. (Задача-исследование.) При каких значениях а и Ь является
Ъх + 31 а b _
тождеством равенство — = + с
(х - 5)(х + 2) х - 5 х + 2
а) Обсудите, какие преобразования надо выполнить и каким
условием воспользоваться, чтобы ответить на вопрос задачи.
б) Выполните необходимые преобразования, составьте систему
уравнений и решите её.
в) Ответьте на вопрос задачи и проверьте полученный ответ.
196. Упростите выражение
12 Ї х + 7
х + 2 х - 2 4 - х 2 ) х - 2
Контрольные вопросы и задания
Сформулируйте правила умножения и деления дробей.
Сформулируйте правило возведения дроби в степень.
Какая функция называется обратной пропорциональностью?
В каких координатных четвертях расположен график функции
у = ^ при k > 0? при k < О?
Д ля тех, кто хочет знать больше
9. П редставление дроби
в виде сум м ы дробей
Сумму двух рациональных дробей, как известно, всегда можно
представить в виде несократимой дроби, у которой числитель и зна
менатель — многочлены с переменными или числа (в частности,
число 1). Обратная задача — представление дроби в виде суммы
двух дробей — неопределённая.
4х2 - 16* + 1
Так, например, дробь ------ ^---- можно представить в виде
4х
суммы (или разности) двух слагаемых разными способами:
4л;2 - 16л; + 1 _ 4х2 1 - 16* _ 1- 16х
4 *2 4хг + 4х2 + 4х2
4х2 - 16х+ 1 _ 4х2 + 1 _ 16л; _ 4л:2 + 1 _ 4
4л;2 4л;2 4л:2 4л;2 л;'
Для тех, кто хочет знать больше
51. Вообще задача представления дроби в виде суммы дробей допус
кает сколь угодно много решений. Действительно, если требуется
представить дробь —в виде суммы двух дробей, то в качестве одного
Ь
с
из слагаемых можно взять произвольную дробь —. Тогда вторая
d
_ _ а с _ ad - be
дробь будет равна разности —, т. е. равна дроби------ .
Ъ d bd
Д ля представления дроби в виде суммы дробей можно восполь
зоваться методом неопределённых коэффициентов. Разъясним на
примере, в чём состоит этот метод.
7хП р и м е р 1. Представим дробь ------------ в виде суммы дробей
(х - 3)(х + 4)
со знаменателями х - 3 и х + 4.
► Допустим, что
7х а b
(х - 3)(х + 4) х - 3 х + 4
Сложим дроби в правой части равенства:
a i b _ а(х + 4) + Ь(х - 3) _ (а + Ь)х + (4а - ЗЬ)
х - 3 х + 4 ~ (х - 3)(х + 4) " (х - 3)(х + 4)
„ 7х (а + Ь) х + (4а - ЗЬ)
Получаем, ч т о ------------ = ----------------- .
(х - 3)(х + 4) (х - 3)(х + 4)
Это равенство будет тождеством, если а + b = 7 и 4а - ЗЬ = 0.
Реш ив систему уравнений
а + Ь = 7,
[4 а - ЗЬ = 0,
найдём, что а = 3, b = 4.
Следовательно,
7х 3 4
+ г- О
(х - 3)(х +4) х - 3 х + 4
Приведём теперь примеры задач, при решении которых ис
пользуется представление дроби в виде суммы целого выражения
и дроби.
П р и м е р 2. Найдём все пары целых чисел, удовлетворяющие урав
нению х - ху + Зу = 5.
► Выразим из уравнения переменную х через у:
х —ху = 5 —Зу, х(1 - у) = 5 - Зу, х = ^ ^— , х = Зу_ ^ .
Рациональные дроби
