persamaan dan pertidaksamaan linear

1. Persamaan dan Pertidaksamaan Linear
Satu Variabel yang Memuat Nilai Mutlak
Bab
1

2. Tujuan Pembelajaran
Setelah mempelajari bab ini, siswa diharapkan dapat:
• Mengintepretasi persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak
dari bentuk linear satu variabel dengan persamaan dan
pertidaksamaan linear aljabar lainnya.
• Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan persamaan dan
pertidaksamaan nilai mutlak dari bentuk linear satu variabel.

3. Persamaan Linear Satu
Variabel (PLSV) 𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑐
Penyelesaian PLSV diperoleh:
𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑐
𝑎𝑥 = 𝑐 − 𝑏
𝑥 =
𝑐 − 𝑏
𝑎
Jadi, solusi dari PLSV adalah 𝑥 =
𝑐−𝑏
𝑎
1.1.1 Menyelesaikan Persamaan Linear Satu Variabel
Persamaan Linear Satu Variabel (PLSV)
1.1

4. Contoh 1
Selesaikan masing-masing persamaan berikut.
a. 3𝑥 − 7 = 14 c. 2 𝑡 + 3 = 5 𝑡 − 1 − 7 𝑡 − 3
b. 2𝑥 − 9 = 4𝑥 + 5 d. 2 3𝑥 − 4 = 6 − 2𝑥 + 5
Mencermati penemuan solusi PLSV sederhana
Jawab:

5. Selesaikan dan tuliskan himpunan penyelesaiannya.
Contoh 2
Mencermati penemuan solusi PLSV sederhana
Kalikan kedua ruas dengan
KPK penyebut. KPK = 12
Jawab:
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah
HP = {–1}.
kedua ruas
dikalikan dengan 5

6. Tentukan solusi dari setiap persamaan berikut, kemudian tuliskan himpunan penyelesaiannya.
Contoh 3
Memahami prosedur penemuan solusi PLSV tersamar
Kedua ruas
dijabarkan
Jawab:
kedua ruas dikali
(𝑥 + 2)(𝑥 + 4)
Kedua ruas
dijabarkan
kedua ruas dikali
(𝑥 + 2)(𝑥 + 1)
Kedua ruas
dijabarkan

7. Tentukan nilai x yang merupakan solusi dari tiap persamaan berikut.
Contoh 4
Memahami prosedur penemuan solusi PLSV tersamar
Jawab:
kedua ruas dikali
𝑥 − 3 𝑥 + 3
= 𝑥2
− 9
ruas kiri
dijabarkan
kedua ruas dikali
𝑥(2𝑥 + 3)(𝑥 – 4)
kedua ruas
dijabarkan

8. Tentukan nilai x dari masing-masing persamaan di bawah ini.
a. 2𝑥 − 4𝑛 = 3𝑥 + 2𝑛 b. 3𝑥 − 4 = 5𝑎𝑥 + 2𝑐 c.
Contoh 5
Mencari penyelesaian yang melibatkan huruf
Jawab:
kedua ruas dikali (𝑎. 𝑏)

9. Penyelesaian
persoalan sehari-hari
yang berbentuk PLSV
Buat model matematika dengan
pemisalan unsur dalam simbol aljabar.
Selesaikan dengan aturan atau cara
menentukan nilai variabel dari PLSV.
1.1.2 Aplikasi Persamaan Linear Satu Variabel
Persamaan Linear Satu Variabel (PLSV)
1.1

10. Jumlah dua bilangan sama dengan 21. Jika satu bilangan itu besarnya dua kali bilangan
lainnya, tentukan hasil kali kedua bilangan tersebut.
Contoh 6
Aplikasi PLSV melibatkan teori bilangan
Jawab:
Misalkan kedua bilangan itu adalah x dan 2x.
Model matematika yang terbentuk: x + 2x = 21
Nilai dari x Hasil kali kedua bilangan
Jadi, hasil kedua bilangan tersebut adalah 98.

11. Sepuluh tahun yang lalu, umur Hirawan adalah empat kali umur Guntur. Sekarang, umur
Hirawan hanya dua kali umur Guntur. Berapa umur mereka sepuluh tahun mendatang?
Jawab:
Misalkan: umur Guntur sekarang = x tahun, maka umur Hirawan sekarang = 2x tahun.
Model matematika yang terbentuk sebagai berikut.
Sepuluh tahun yang lalu: Sepuluh tahun mendatang:
Jadi, sepuluh tahun yang akan datang umur Guntur adalah
25 dan unur Hirawan adalah 40 tahun.
Umur Guntur = x + 10 = 25 tahun.
Umur Hirawan = 2x + 10 = 30 + 10 = 40 tahun.
Contoh 7
Aplikasi PLSV dengan permasalahan umur

12. Kamu bisa menguji
pemahaman tentang
PERSAMAAN LINEAR
SATU VARIABEL dengan
mengerjakan soal
LKS 1 pada halaman 12.

13. Bentuk Persamaan Linear
Satu Variabel Nilai Mutlak
(PLSVNM)
𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑐
simbol
“| |”
definisi
Jarak antara sebuah
bilangan dan nol pada
sebuah garis bilangan.
Misalkan |x| = 4, berarti x bernilai 4 atau –4.
Contoh:
1.2.1 Konsep Nilai Mutlak
Persamaan Linear Satu Variabel Nilai Mutlak (PLSVNM)
1.2

14. Untuk setiap bilangan real x,
nilai mutlak x disimbolkan
dengan |x|, ditentukan oleh:
𝑥 =
+𝑥, untuk 𝑥 > 0
0, untuk 𝑥 = 0
−𝑥, untuk 𝑥 < 0
Contoh 12
a. 3 = 3
b. −5 = − −5 = 5
c. 8 − 14 = −6 = − −6 = 6
d. 5 − 2 = 5 − 2
e. 1 − 3 = − 1 − 3 = 3 − 1
Memahami definisi nilai mutlak
A. Definisi nilai mutlak

15. 1. Jika a dan b bilangan real, berlaku:
a. 𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑎 ∙ 𝑏
b.
𝑎
𝑏
=
𝑎
𝑏
, dengan 𝑏 ≠ 0
2. Jika a ∈ bilangan real,
maka 𝑎 ≠ 𝑎2
Tunjukkan bahwa :
a. 4𝑥 + 6 = 2 ∙ 2𝑥 + 3 b. 3 − 𝑥 = 𝑥 − 3
Mencermati sifat-sifat nilai mutlak
B. Sifat-sifat nilai mutlak
Contoh 13
Jawab:
a. 4𝑥 + 6 = 2 ∙ 2𝑥 + 3
= 2 2𝑥 + 3
= 2 ∙ 2𝑥 + 3
∴ 4𝑥 + 6 = 2 ∙ 2𝑥 + 3 tertunjuk
b. 3 − 𝑥 = −1 𝑥 − 3
= −1 𝑥 − 3
= 1 ∙ 𝑥 − 3
∴ 3 − 𝑥 = 𝑥 − 3 tertunjuk

16. Kamu bisa menguji
pemahaman tentang
KONSEP DAN SIFAT-SIFAT
NILAI MUTLAK
dengan mengerjakan soal
LKS 2 pada halaman 18.

17. Cara
menyelesaikan
PLSVNM
GRAFIK
DEFINISI NILAI
MUTLAK
PENGGUNAAN IDE EKSPRESI 𝒙 − 𝒂
1.2.2 Penyelesaian Persamaan Linear Satu Variabel yang Memuat
Nilai Mutlak (PLSVNM)

18. Selesaikanlah persamaan 𝑥 − 2 = 3.
Contoh 15
Mencermati cara-cara menyelesaikan PLSVNM
Jawab:
Cara grafik
Berdasarkan grafik 𝑦 = |𝑥 − 2| dan 𝑦 = 3,
diperoleh x = –1 atau x = 5.
Menggunakan definisi mutlak
Dengan menggunakan definisi mutlak,
diperoleh x = –1 atau x = 5.

19. Menggunakan ide ekspresi

20. Selesaikanlah persamaan 𝑥 − 2 = 2𝑥 − 1 .
Contoh 17
Memahami penyelesaian berbagai ekspresi PLSVNM
Jawab:
Tunjauan pertama Tinjauan kedua
Jadi, x = –1 atau x = 1 sehingga HP = {–1, 1}.

21. Kamu bisa menguji
pemahaman tentang
PENYELESAIAN PERSAMAAN
LINEAR SATU VARIABEL YANG
MEMUAT NILAI MUTLAK
dengan mengerjakan soal
LKS 3 pada halaman 2.

22. KALIMAT
TERBUKA
kalimat yang nilai kebenarannya belum dapat dipastikan
secara langsung.
KALIMAT
TERTUTUP
kalimat yang nilai kebenarannya dapat dipastikan secara
langsung.
PERTIDAKSAMAAN
kalimat terbuka yang menggunakan
tanda ketidaksamaan
KETIDAKSAMAAN
kalimat tertutup yang menggunakan
tanda ketidaksamaan
Pertidaksamaan Linear Satu Variabel (PtLSV)
1.3
1.3.1 Ketidaksamaan dan Pertidaksamaan

23. Tanda ketidaksamaan
< kurang dari
≤ kurang dari atau
sama dengan
> lebih dari
≥
lebih dari atau
sama dengan
Interval bilangan

24. Contoh 20
Gambar berikut menunjukkan pertidaksamaan dan daerah yang diarsir menunjukkan
daerah yang memenuhi pertidaksamaan.

25. Kamu bisa menguji
pemahaman tentang
KETIDAKSAMAAN DAN
PERTIDAKSAMAAN
dengan mengerjakan soal
LKS 4 pada halaman 26.

26. Jika pertidaksamaan ditambah atau
dikurangi dengan sembarang bilangan
real, maka tandanya tidak berubah.
1
Jika pertidaksamaan dikali atau dibagi
dengan bilangan real positif, maka
tandanya tidak berubah.
Jika pertidaksamaan dikali atau dibagi
dengan bilangan real negatif, maka
tandanya harus dibalik.
Jika ruas kiri dan ruas kanan positif, maka
suatu pertidaksamaan dapat dikuadratkan
tanpa mengubah tanda.
Jika ruas kiri dan ruas kanan negatif, maka
suatu pertidaksamaan dapat dikuadratkan
asalkan tandanya harus dibalik.
Jika 0 < 𝑎 < 𝑏 dan 0 < 𝑐 < 𝑑,
maka 0 < 𝑎 + 𝑐 < 𝑏 + 𝑑.
Jika 𝑎 > 𝑏 > 0 dan 𝑐 > 𝑑 > 0,
maka 𝑎 ⋅ 𝑐 > 𝑏 ⋅ 𝑑 > 0.
1.3.2 Sifat-sifat Dasar Pertidaksamaan
2
3
4
5
6

27. A. Irisan (kata hubung “dan”)
1.3.3 Hubungan antara Dua Pertidaksamaan
Contoh 21
Mencermati hubungan antara dua pertidaksamaan
Karena tidak ada titik temu, maka tidak ada
penyelesaian yang memenuhi.
Jadi, HP = ∅ atau { }.

28. Himpunan penyelesaiannya adalah daerah diarsir pada garis bilangan.
Jadi, HP = {x | x < 2 atau x ≥ 5, x ∈ R}.
Himpunan penyelesaiannya adalah daerah diarsir pada garis bilangan.
Jadi, HP = {x | x ∈ R}.
B. Gabungan (kata hubung “atau”)
Contoh 22
Mencermati hubungan antara dua pertidaksamaan

29. Kamu bisa menguji
pemahaman tentang
SIFAT-SIFAT DASAR
PERTIDAKSAMAAN
dengan mengerjakan soal
LKS 5 pada halaman 31.

30. Bentuk Umum
PtLSV
𝒂𝒙 + 𝒃 < 𝟎
𝒂𝒙 + 𝒃 > 𝟎
𝒂𝒙 + 𝒃 ≤ 𝟎
𝒂𝒙 + 𝒃 ≥ 𝟎
Penyelesaian
PtLSV
Gunakan sifat-sifat dasar
pertidaksamaan
1.3.4 Pertidaksamaan Linear Satu Variabel (PtLSV)

31. Selesaikanlah PtLSV berikut.
Contoh 25
Memantapkan penguasaan sifat-sifat pertidaksamaan untuk menemukan penyelesaian PtLSV
Jawab:
sifat dasar kedua
sifat dasar pertama
sifat dasar kedua
sifat dasar kedua
sifat dasar pertama
sifat dasar pertama

32. sifat dasar kedua
sifat dasar pertama
sifat dasar kedua
sifat dasar kedua
sifat dasar pertama
sifat dasar kedua
Jawab:

33. Selesaikanlah:
Contoh 28
Memahirkan dalam menemukan penyelesaian PtLSV
Jawab:
Untuk menjawab soal jenis ini, kita harus melakukan irisan dari tiga kondisi pertidaksamaan.
Hasil irisan dari tiga kondisi pertidaksamaan di atas, yaitu
Garis Bilangan
Jadi, penyelesaiannya adalah x > 1.

34. Kamu bisa menguji
pemahaman tentang
PERTIDAKSAMAAN LINEAR
SATU VARIABEL (PtLSV)
dengan mengerjakan soal
LKS 6 pada halaman 37.

35. Penyelesaian
PtLSVNM
Untuk 𝑥, 𝑦 ∈ bilangan real,
selalu berlaku:
i. 𝑥 − 𝑦 = 𝑦 − 𝑥
ii. 𝑥𝑦 ≤ 𝑥𝑦
iii. 𝑥2 = 𝑥 2 = 𝑥2
iv. 𝑥 + 𝑦 ≤ 𝑥 + 𝑦
v. 𝑥 − 𝑦 ≤ 𝑥 − 𝑦
Gunakan sifat-sifat
nilai mutlak
Prosedur menentukan penyelesaian PtLSVNM
i. Jika bentuk 𝑎𝑥 + 𝑏 ≤ 𝑐,
maka penyelesaiannya : −𝑐 ≤ 𝑎𝑥 + 𝑏 ≤ 𝑐.
ii. Jika bentuk 𝑎𝑥 + 𝑏 ≥ 𝑐,
maka penyelesaiannya : 𝑎𝑥 + 𝑏 ≤ −𝑐 atau 𝑎𝑥 + 𝑏 ≥ 𝑐.
Pertidaksamaan Linear Satu Variabel
yang Memuat Nilai Mutlak (PtLSVNM)
1.4

36. Tentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan berikut.
Contoh 29
Mencermati penentuan solusi PtLSVNM dasar
Jawab:

37. c. 3𝑥 − 2 ≥ −4
Ingat:
Nilai mutlak setiap bilangan adalah positif atau nol, sehingga |3x – 2| ≥ 0.
Kesimpulan:
|3x – 2| ≥ –4 dipenuhi oleh setiap x ∈ R.
∴ Penyelesaian: x ∈ R.
d. |2x – 7| ≤ –3,
sesuai dengan uraian jawaban c, maka tidak ada penyelesaian yang memenuhi
pertidaksamaan tersebut.
Jawab:

38. Prosedur dalam
menentukan
solusi/penyelesaiannya
secara umum.

39. Selesaikan pertidaksamaan:
3−2𝑥
2+𝑥
≤ 4
Jawab:
kedua ruas dikali (–1)
Contoh 31
Pemantapan keterampilan menemukan solusi PtLSVNM

40. Kamu bisa menguji pemahaman
tentang PERTIDAKSAMAAN
LINEAR SATU VARIABEL YANG
MEMUAT NILAI MUTLAK
(PtLSVNM) dengan mengerjakan
soal LKS 7 pada halaman 43.