Giáo trình Điều khiển số.pdf

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÀ RỊA – VŨNG TÀU
KHOA ĐIỆN – ĐIỆN TỬ
BỘ MÔN TỰ ĐỘNG HÓA
-----o0o-----
GIÁO TRÌNH
ĐIỀU KHIỂN SỐ
TS. NGUYỄN PHAN CƯỜNG
ThS. PHẠM VĂN TÂM
VŨNG TÀU, THÁNG 03 NĂM 2015

Mục lục
Giáo trình điều khiển số
MỤC LỤC
Nội dung Trang
Chương I: Tổng quan về hệ thống điều khiển số 1
1.1. Hệ thống rời rạc 1
1.2. Hệ thống điều khiển số điển hình 1
1.2.1. Hệ thống điều khiển nhiệt độ 1
1.2.2. Hệ thống điều khiển động cơ 2
1.2.3. Hệ thống điều khiển mực chất lỏng 3
Chương II: Mô tả toán học hệ thống điều khiển số 5
2.1. Cấu trúc của hệ thống điều khiển số 5
2.1.1. Lấy mẫu dữ liệu 5
2.1.2. Khâu giữ dữ liệu 6
2.2. Phép biến đổi Z 7
2.2.1. Định nghĩa 8
2.2.2. Tính chất của phép biến đổi Z 8
2.2.3. Biến đổi Z của các hàm cơ bản 8
2.3. Mô hình hóa hệ thống điều khiển số 14
2.4. Hàm truyền của hệ rời rạc 15
2.4.1. Tính hàm truyền từ phương trình sai phân 15
2.4.2. Tính hàm truyền từ sơ đồ khối 16
2.5. Phương trình trạng thái 18
2.5.1. Khái niệm 18
2.5.2. Thành lập phương trình trạng thái từ phương trình sai phân 18

Mục lục
2.5.3. Thành lập phương trình trạng thái hệ rời rạc từ PTTT hệ liên
tục
21
2.5.4. Tính hàm truyền từ PTTT 24
2.6. Bài tập, câu hỏi và thảo luận 24
Chương III: Khảo sát ổn định và phân tích hệ điều khiển số 28
3.1. Ổn định của hệ thống rời rạc 28
3.1.1. Điều kiện ổn định của hệ rời rạc 28
3.1.2. Phương trình đặc trưng của hệ rời rạc 29
3.1.3. Phương pháp đánh giá tính ổn định của hệ rời rạc 30
- Tiêu chuẩn ổn định đại số 30
+ Tiêu chuẩn Routh – Hurwitz mở rộng 30
+ Tiêu chuẩn Jury 31
- Phương pháp QĐNS 32
3.2. Đáp ứng của hệ rời rạc 36
3.2.1. Chất lượng quá độ 36
3.2.2. Sai số xác lập 37
3.2.3. Ví dụ 37
Chương IV: Thiết kế hệ thống điều khiển rời rạc 46
4.1. Hàm truyền của các khâu cơ bản rời rạc 46
4.2. Thiết kế khâu sớm pha rời rạc dùng QĐNS 47
4.3. Thiết kế khâu trễ pha rời rạc dùng QĐNS 50
4.4. Thiết kế bộ điều khiển PID số 51

Mục lục
4.5. Điều khiển gán cực 53
4.6. Điều khiển bằng hồi tiếp trạng thái, hồi tiếp trạng thái quan sát 56
4.6.1. Điều khiển được và quan sát được 56
4.6.2. Điều khiển bằng hồi tiếp trạng thái 58
4.6.3. Điều khiển bằng hồi tiếp trạng thái quan sát 60

Chương I: Tổng quan về hệ thống điều khiển số
Giáo trình điều khiển số Trang 1
CHƯƠNG I:
TỔNG QUAN VỀ HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN SỐ
1.1. Hệ thống rời rạc
Hệ thống điều khiển rời rạc có tín hiệu ở một hay nhiều điểm trong hệ thống là
dạng chuỗi xung hay mã số. Thông thường hệ thống điều khiển rời rạc được phân
làm 2 loại: Hệ thống điều khiển lấy mẫu dữ liệu và hệ thống điều khiển số. Hệ
thống điều khiển lấy mẫu dữ liệu ở dạng dữ liệu xung. Hệ thống điều khiển số liên
quan đến máy tính số hay bộ điều khiển số vì vậy tín hiệu trong hệ được mã số hóa,
ví dụ như mã số nhị phân.
Hệ thống điều khiển lấy mẫu dữ liệu chỉ nhận dữ liệu hay thông tin trong một
khoảng thời gian xác định. Ví dụ, tín hiệu sai lệch của hệ thống điều khiển chỉ có
thể được cung cấp dưới dạng xung và trong khoảng thời gian giữa hai xung liên tiếp
hệ thống điều khiển sẽ không nhận được thông tin về tín hiệu sai lệch.
Do máy tính cung cấp nhiều tiện ích và mềm dẻo, điều khiển bằng máy tính
ngày càng phổ biến.
1.2. Hệ thống điều khiển số điển hình
1.2.1. Hệ thống điều khiển nhiệt độ
Nhiệt độ là đại lượng tham gia vào nhiều quá trình công nghệ: Sản xuất xi
măng, gạch men, nhựa, cao su, hóa dầu, thực phẩm . . .
Mục tiêu điều khiển thường là giữ cho nhiệt độ ổn định hay điều khiển nhiệt độ
thay đổi theo đặc tính thời gian định trước.
Sơ đồ khối hệ thống điều khiển nhiệt độ: Hình 1.1
Giao
tiếp
nhập
u(t)
Vi
xử
lý
Giao
tiếp
xuất
Mạch
công
suất
Mạch
đo
Giao diện
với người
vận hành
Lò điện
Cặp nhiệt điện
Hình 1.1 Sơ đồ khối hệ thống điều khiển nhiệt độ

Hệ thống điều khiển nhiệt độ thực tế: Hình 1.2
Hình 1.2 Hệ thống điều khiển nhiệt độ thực tế
1.2.2. Hệ thống điều khiển động cơ
Động cơ (DC, AC) là thiết bị truyền động được sử dụng rất phổ biến trong máy
móc, dây chuyền sản xuất. Có 3 bài toán điều khiển thường gặp: Điều khiển tốc
độ, điều khiển vị trí, điều khiển moment.
Sơ đồ khối hệ thống điều khiển tốc độ động cơ DC: Hình 1.3
Vi
xử
lý
Mạch
công
suất
Encoder
Giao diện
với người
vận hành
DC
Motor
PWM
Hình 1.3 Sơ đồ khối hệ thống điều khiển tốc độ động cơ DC
Hệ thống điều khiển động cơ DC thực tế: Hình 1.4
Hình 1.4 Hệ thống điều khiển động cơ DC thực tế

Sơ đồ khối hệ thống điều khiển tốc độ động cơ AC: Hình 1.5
Vi
xử
lý
Inverter
Encoder
Giao diện
với người
vận hành
AC
Motor
DAC
Hình 1.5 Sơ đồ khối hệ thống điều khiển tốc độ động cơ AC
1.2.3. Hệ thống điều khiển mực chất lỏng
Hệ thống điều khiển mực chất lỏng thường gặp trong các quá trình công
nghiệp chế biến thực phẩm, nước giải khát, các hệ thống xử lý nước thải, . . .
Các dạng bài toán điều khiển thường gặp: Điều khiển mực chất lỏng, điều
khiển lưu lượng chất lỏng.
Cho mô hình hệ bồn nước đôi như Hình 1.6
Hình 1.6 Mô hình hệ bồn nước đôi
Sơ đồ khối hệ thống điều khiển mực chất lỏng hệ bồn nước đôi: Hình 1.7
ADC
Vi
xử
lý
PWM
Mạch
công
suất
Bồn nước đôi
CB
mức
1, 2
Giao diện
với người
vận hành
Máy
bơm
1,2
h1, h2
Hình 1.7 Sơ đồ khối hệ thống điều khiển mực chất lỏng hệ bồn nước đôi

Mô hình điều khiển mực chất lỏng trong phòng thí nghiệm: Hình 1.8
Hình 1.8 Mô hình điều khiển mực chất lỏng trong phòng thí nghiệm

Chương II: Mô tả toán học hệ thống điều khiển số
CHƢƠNG II:
MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN SỐ
2.1. Cấu trúc của hệ thống điều khiển số
Máy tính DAC Đối tượng
ADC
+-
r(KT) e(KT) u(KT) y(t)
y(KT)
u(t)
Hình 2.1 Cấu trúc của hệ thống điều khiển số
Trong đó:
 Đối tượng điều khiển có hàm truyền đạt
)
(
)
(
)
(
S
U
S
Y
S
G 
 Máy tính: Tính toán tín hiệu điều khiển u(KT) theo e(KT).
 DAC: Biến đổi tín hiệu số sang tín hiệu tương tự.
 ADC: Biến đổi tín hiệu tương tự sang tín hiệu số.
2.1.1. Lấy mẫu dữ liệu
Lấy mẫu là biến đổi tín hiệu liên tục theo thời gian thành tín hiệu rời rạc theo
thời gian.
`
y(t)
Y*
(t)
t
T 2T 3T 4T 5T 6T 7T 8T 9T
-T
-2T
-3T 0
v(t) = y(kT), kT≤ t ≤(k+1)T
. . . . . . .
Hình 2.2 Đồ thị tín hiệu trước và sau khi lấy mẫu
T: Chu kỳ lấy mẫu

Khâu lấy mẫu lý tưởng:
y(t) Y*
(t)
T
Hình 2.3 Mô hình của khâu lấy mẫu lý tưởng
Hàm lấy mẫu:






k
kT
t
t
s )
(
)
( 
Với:









kT
t
kT
t
kT
t
,
0
,
)
(






 1
)
( dt
kT
t

T: Chu kỳ lấy mẫu



















k
k
k
kT
t
KT
y
kT
t
t
y
kT
t
t
y
t
s
t
y
t
y )
(
).
(
)
(
).
(
)
(
)
(
)
(
).
(
)
(
*










k
kTS
e
KT
y
s
y ).
(
)
(
*
Định lý Shannon:
max
2
1
c
f
T
f 

Nếu bỏ qua sai số lượng tử hóa thì khâu chuyển đổi A/D chính là khâu lấy
mẫu.
2.1.2. Khâu giữ dữ liệu
Khâu giữ dữ liệu là khâu chuyển tín hiệu rời rạc theo thời gian thành tín
hiệu liên tục theo thời gian.
Khâu giữ bậc 0(ZOH): Giữ tín hiệu bằng hằng số trong thời gian giữa hai
lần lấy mẫu.
GZOH(S)
y*
(t) v(t)
Hình 2.4 Mô hình của khâu giữ bậc 0

Y*
(t)
t
T 2T 3T 4T 5T
0 . . .
Hình 2.5 Đồ thị trước khâu giữ bậc 0
v(t)
t
T 2T 3T 4T 5T
0 . . .
Hình 2.6 Đồ thị sau khâu giữ bậc 0
Hàm truyền khâu giữ bậc 0:
1
( )
TS
ZOH
e
G S
S



*
( 1)
( ) ( ). ( )
1
. ( ).
( )
ZOH
TS
kTS
k
kTS k TS
k
V S G S Y S
e
y kT e
S
y kT
e e
S
 



  




 
 
 


 
( ) ( ) 1( ) 1( ( 1) )
k
v t y kT t kT t k T


     

Nhận xét: v(t) = y(kT), với kT≤ t ≤(k+1)T
Nếu bỏ qua sai số lượng tử hóa thì khâu chuyển đổi D/A chính là khâu giữ
bậc 0 (ZOH)
2.2. Phép biến đổi Z
Biểu thức lấy mẫu tín hiệu x(t):






k
kTs
e
kT
x
S
X ).
(
)
(
*
Biểu thức biến đổi Z chuỗi x(kT):








k
k
Z
e
Z
kT
x
S
X
Z
X TS ).
(
)
(
)
( *

2.2.1. Định nghĩa
Cho x(k) (viết tắt của x(kT)) là chuỗi tín hiệu rời rạc, biến đổi Z của x(k) là:
  






k
k
Z
k
x
k
x
Z
Z
X ).
(
)
(
)
(
Trong đó:
Ts
e
Z  (s là biến Laplace)
X(Z): Biến đổi Z của chuỗi x(k). Ký hiệu: )
(
)
( k
x
Z
X
Z

Nếu x(k) = 0, 0
k
  :
  







0
).
(
)
(
)
(
k
k
Z
k
x
k
x
Z
Z
X
2.2.2. Tính chất của phép biến đổi Z
Cho x(k) và y(k) là 2 chuỗi tín hiệu rời rạc có biến đổi Z là X(Z) và Y(Z).
+ Tính tuyến tính:
  )
(
)
(
)
(
)
( Z
bY
Z
aX
k
by
k
ax
Z 


+ Tính dời trong miền thời gian:
  )
(
)
( 0
0 Z
X
Z
k
k
x
Z k



+ Tỉ lệ trong miền Z:
  )
(
)
( 1
Z
a
X
k
x
a
Z k 

+ Đạo hàm trong miền Z:
 
dZ
Z
dX
Z
k
kx
Z
)
(
)
( 

+ Định lý giá trị đầu:
0
k z
lim x( k ) lim X( z )
 

+ Định lý giá trị cuối:
 
1
1
1
k z
lim x( k ) lim z X( z )

 
 
2.2.3. Biến đổi Z của các hàm cơ bản
+ Hàm dirac:






)
0
k
(
,
0
)
0
k
(
,
1
)
k
(


  








k
k
Z
Z
k
k
Z 1
)
(
)
( 0


Hình 2.7 Đồ thị xung dirac
+ Hàm nấc đơn vị:






)
0
(
,
0
)
0
(
,
1
)
(
k
k
k
u
  















0
1
1
1
1
)
(
)
(
k
k
k
k
Z
Z
Z
Z
Z
k
u
k
u
Z
Chú ý: 1
,
1
1
0






a
a
a
n
n
Hình 2.8 Đồ thị hàm nấc đơn vị
+ Hàm dốc đơn vị:






)
0
(
,
0
)
0
(
,
)
(
k
k
kT
k
r
  2
)
1
(
)
(


z
Tz
k
r
Z
Hình 2.9 Đồ thị hàm dốc đơn vị

+ Hàm mũ:







)
0
(
,
0
)
0
(
,
)
(
k
k
e
k
x
akT
  1
1
1
)
( 



z
e
k
x
Z aT
Hình 2.10 Đồ thị hàm mũ
+ Bảng biến đổi Z:
X(s) x(t) x(k) X(z)
)
(k
 1
s
1
1(t) 1(k) 1
1
1

 z
a
s
1

)
(t
1
e at

)
(k
1
e akT

1
aT
z
e
1
1



2
s
1
)
(
. t
1
t kT.1(k) 2
1
1
z
1
z
T
)
(
.



3
s
2
)
t
(
1
.
t2
(kT)2
.1(k) 3
1
1
1
2
)
z
1
(
)
z
1
(
z
.
T





2
a
s
1
)
( 
)
(
.
. t
1
e
t at

)
(
.
. k
1
e
kT akT

2
1
aT
1
aT
z
e
1
z
e
T
)
(
.
.





2
0
2
0
a
s 


 )
(
)
t
(
1
)
t
sin(
e 0
at


)
k
(
1
)
T
k
sin(
e 0
akT


2
aT
2
0
1
aT
0
1
aT
z
.
e
)
T
cos(
z
.
e
2
1
)
T
sin(
z
.
e







 

2
0
2
)
a
s
(
a
s




)
t
(
1
)
t
cos(
e 0
at


)
k
(
1
)
T
k
cos(
e 0
akT


2
aT
2
0
1
aT
0
1
aT
z
.
e
)
T
cos(
z
.
e
2
1
)
T
cos(
z
.
e
1












k
a 1
az
1
1


1
k
ka 
 2
1
1
az
1
z



Ví dụ 1: Cho
 
1
(s)
1
X
s s


. Tìm X(z)
Giải:
Ta có:
1
s
1
s
1
)
1
s
(
s
1




1
z
z
z
z
).
kT
(
1
s
1
Z
0
k
k
k
k



















T
0
k
k
1
T
k
k
kT
e
z
z
)
z
.
e
(
z
).
kT
(
1
.
e
1
s
1
Z 












































 


)
e
z
)(
1
z
(
e
1
z
e
z
z
1
z
z
)
1
s
(
s
1
Z
)
z
(
X T
T
T
Kiểm tra bằng matlab:
syms n z x T;
x=1-exp(-n*T)
ztrans (x)
Kết quả:
X(z) = z/(z - 1) - z/(z - 1/exp(T))
Ví dụ 2: Cho
  
( )
2 3
z
X z
z z

 
. Tìm x(k)
Giải:
    1 1
1 1
( )
2 3 1 2 1 3
z z
X z
z z z z
 

    
   
( ) 2 3
k k
x k
   
Kiểm tra bằng matlab:
syms n z x ;

x=z/((z-2)*(z-3))
iztrans(x)
Kết quả:
x(n) = 3^n - 2^n
Ví dụ 3: Cho
 
  
1
( )
1
aT
aT
e z
X z
z z e




 
. Tìm x(k)
Giải:
   
( ) 1 1
1 aT
X z
z z z e
 
 
1 1
1 1
( )
1 2 1 aT
X z
z e z
  
  
 
( ) 1 akT
x k e
  
Ví dụ 4: Cho hàm truyền hệ rời rạc: 2
( ) 0.4673 0.3393
G( )
( ) 1.5327 0.6607
Y z z
z
X z z z

 
 
Tìm và vẽ y(k). Biết:













0
k
,
0
)
k
(
y
)
0
k
(
,
0
)
0
k
(
,
1
)
k
(
x
Giải:
   
2
2
( ) 0.4673 0.3393
( ) 1.5327 0.6607
1.5327 0.6607 ( ) 0.4673 0.3393 ( )
Y z z
X z z z
z z Y z z X z


 
    
( 2) 1.5327 ( 1) 0.6607 ( ) 0.4673 ( 1) 0.3393 ( )
y k y k y k x k x k
       
Với k = -2:
(0) 1.5327 ( 1) 0.6607 ( 2) 0.4673 ( 1) 0.3393 ( 2) 0
y y y x x
        
Với k = -1:
(1) 1.5327 (0) 0.6607 ( 1) 0.4673 (0) 0.3393 ( 1) 0.4673
y y y x x
      
Với k = 0 ÷ 30: Tính tương tự như trên.
Tìm y(k) dùng matlab:
num = [0 0.4673 -0.3393];
den = [1 -1.5327 0.6607];

x=[1 zeros(1,30)];
y=filter(num,den,x)
Kết quả:
y = [0 0.4673 0.3769 0.2690 0.1632 0.0725 0.0032 -0.0429
-0.0679 -0.0758 -0.0712 -0.0591 -0.0436 -0.0277 -0.0137 -0.0027
0.0050 0.0094 0.0111 0.0108 0.0092 0.0070 0.0046 0.0025
0.0007 -0.0005 -0.0013 -0.0016 -0.0016 -0.0014 -0.0011 ]
Đáp ứng ngõ ra y(k):
Chương trình matlab:
num = [0 0.4673 -0.3393];
den = [1 -1.5327 0.6607]
x=[1 zeros(1,30)];
k=0:30;
y=filter(num,den,x)
plot(k,y)
grid on;
Đáp ứng ngõ ra y(k): Hình 2.11
Hình 2.11 Đáp ứng ngõ ra

2.3. Mô hình hóa hệ thống điều khiển số
Giải thuật
điều khiển
ZOH G(S)
+-
r*(t) e*(t) u*(t) y(t)
u(t)
y(t)
Y*
(t) T
Hình 2.12 Mô hình hệ thống điều khiển số






k
kTS
*
e
).
kT
(
y
)
s
(
Y






k
k
z
).
kT
(
y
)
Z
(
Y
→ Mô hình rút gọn hệ thống điều khiển số như Hình 2.13
k(z) G1(z)
+-
R(z) E(z) U(z) Y(z)
Hình 2.13 Mô hình rút gọn hệ thống điều khiển số
Trong đó:
 





 



)
s
(
G
.
s
e
1
Z
)
s
(
G
).
s
(
G
Z
)
z
(
G
Ts
ZOH
1
)
z
(
E
)
z
(
U
)
z
(
k  : Hàm truyền đạt của giải thuật điều khiển.






k
k
z
).
kT
(
u
)
Z
(
U






k
k
z
).
kT
(
e
)
Z
(
E
Ví dụ: Cho hệ thống như Hình 2.12. Biết:
01
.
0
s
1
)
s
(
G



)
kT
(
e
.
)
T
)
1
k
((
u
)
kT
(
u 



T = 1s
Tìm hàm truyền đạt của G1(z), k(z).
Giải:



























)
01
.
0
s
(
s
e
Z
)
01
.
0
s
(
s
1
Z
01
.
0
s
1
.
s
e
1
Z
)
z
(
G
Ts
Ts
1
Ta có:
01
.
0
s
100
s
100
)
01
.
0
s
(
s
1





1
z
z
100
z
100
z
).
kT
(
1
.
100
s
100
Z
0
k
k
k
k



















01
.
0
0
k
k
1
01
.
0
k
k
kT
01
.
0
e
z
z
100
)
z
.
e
(
100
z
).
kT
(
1
.
e
.
100
01
.
0
s
100
Z 











































 


)
e
z
)(
1
z
(
e
1
z
100
e
z
z
100
1
z
z
100
)
01
.
0
s
(
s
1
Z 01
.
0
01
.
0
01
.
0



























 





)
e
z
)(
1
z
(
e
1
100
)
e
z
)(
1
z
(
e
1
z
100
.
z
)
01
.
0
s
(
s
e
Z 01
.
0
01
.
0
01
.
0
01
.
0
1
Ts
)
e
z
(
e
1
100
)
z
(
G 01
.
0
01
.
0
1 





1
z
z
.
)
z
(
E
)
z
(
U
)
z
(
k
)
z
(
E
z
1
)
z
(
U
)
z
(
E
)
z
(
U
z
)
z
(
U
1
1














2.4. Hàm truyền của hệ rời rạc
2.4.1. Tính hàm truyền từ phương trình sai phân
Hệ rời rạc
r(k) c(k)

Quan hệ vào ra của hệ rời rạc có thể mô tả bằng phương trình sai phân:
)
k
(
r
b
)
1
k
(
r
b
.
.
.
)
1
m
k
(
r
b
)
m
k
(
r
b
)
k
(
c
a
)
1
k
(
c
a
...
)
1
n
k
(
c
a
)
n
k
(
c
a
m
1
m
1
0
n
1
n
1
0



















Trong đó n>m, n gọi là bậc của hệ thống rời rạc
Biến đổi Z 2 vế phương trình trên:
)
z
(
R
b
)
z
(
R
z
b
...
)
z
(
R
z
b
)
z
(
R
z
b
)
z
(
C
a
)
z
(
C
z
a
...
)
z
(
C
z
a
)
z
(
C
z
a
m
1
m
1
m
1
m
0
n
1
n
1
n
1
n
0













Hàm truyền của hệ rời rạc:
n
n
1
n
1
n
1
1
0
m
m
1
m
1
m
1
1
0
)
m
n
(
n
1
n
1
n
1
n
0
m
1
m
1
m
1
m
0
z
a
z
a
...
z
a
a
)
z
b
z
b
...
z
b
b
(
z
a
z
a
...
z
a
z
a
b
z
b
...
z
b
z
b
)
z
(
R
)
z
(
C
)
z
(
G



































Ví dụ: Tính hàm truyền của hệ rời rạc mô tả bởi phương trình sai phân
)
k
(
r
)
2
k
(
r
2
)
k
(
c
3
)
1
k
(
c
5
)
2
k
(
c
2
)
3
k
(
c 








Giải:
Biến đổi Z 2 vế PTSP:
)
z
(
R
)
z
(
R
z
2
)
z
(
C
3
)
z
(
zC
5
)
z
(
C
z
2
)
z
(
C
z 2
2
3





3
z
5
z
2
z
1
z
2
)
z
(
G 2
3
2






2.4.2. Tính hàm truyền từ sơ đồ khối
Cấu hình tổng quát của các hệ thống điều khiển rời rạc: Hình 2.14
GC(z) ZOH G(S)
+-
R(s) C(s)
T
H(S)
Hình 2.14 Cấu hình tổng quát của hệ thống rời rạc
Hàm truyền kín của hệ thống:
)
z
(
GH
)
z
(
G
1
)
z
(
G
)
z
(
G
)
z
(
R
)
z
(
C
)
z
(
G
C
c
k




Với GC(z): Hàm truyền của bộ điều khiển, tính từ phương trình sai phân
Ví dụ 1: Tìm hàm truyền của hệ thống Hình 2.15. Biết
3
( )
2
G s
s


; T= 0,5
ZOH G(S)
+-
R(s) C(s)
T
Hình 2.15 Hệ thống rời rạc
Giải:
 
368
.
0
z
948
.
0
)
2
s
(
s
3
Z
)
z
1
(
)
s
(
G
.
s
e
1
Z
)
s
(
G
).
s
(
G
Z
)
z
(
G 1
Ts
ZOH
1
















 

 

Hàm truyền kín của hệ thống:
58
.
0
z
948
.
0
)
z
(
G
1
)
z
(
G
)
z
(
G
1
1
k




Ví dụ 2: Tìm hàm truyền của hệ thống Hình 2.16. Biết
0.2
2
5
( )
s
e
G s
s

 ; H(s) = 0.1;
T= 0,2; u(k) = 10e(k) – 2e(k-1)
GC(z) ZOH G(S)
+-
R(s) C(s)
T
H(S)
e(k) u(k)
Hình 2.16 Hệ thống rời rạc
Giải:
u(k) = 10e(k) – 2e(k-1)
1
( ) 10 ( ) 2 ( )
U z E z z E z

  
1
( )
( ) 10 2
( )
c
U z
G z z
E z

   

2
3
s
2
.
0
1
1
)
1
z
(
z
)
1
z
(
1
.
0
s
e
5
Z
)
z
1
(
)
z
(
G













2
1
1
1
)
1
z
(
z
)
1
z
(
01
.
0
s
)
s
(
H
)
s
(
G
Z
)
z
1
(
)
z
(
H
G










 
02
.
0
z
08
.
0
z
1
.
1
z
2
z
2
.
0
z
8
.
0
z
)
z
(
H
G
)
z
(
G
1
)
z
(
G
)
z
(
G
)
z
(
G 2
3
4
2
1
C
1
C
k









2.5. Phƣơng trình trạng thái
2.5.1. Khái niệm
Phương trình trạng thái của hệ rời rạc là hệ phương trình sai phân bậc 1 có
dạng:
( 1) ( ) ( )
( ) ( )
d d
d
x k A x k B r k
c k C x k
  




Trong đó:
1
2
( )
( )
.
( )
.
.
( )
n
x k
x k
x k
x k
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
;
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
. . ... .
. . ... .
. . ... .
...
n
n
d
n n nn
a a a
a a a
A
a a a
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
;
1
2
.
.
.
d
n
b
b
B
b
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
;  
1 2 ...
d n
C c c c

2.5.2. Thành lập phương trình trạng thái từ phương trình sai phân
 Trường hợp 1: Vế phải của phương trình sai phân không chứa sai phân của
tín hiệu vào
0 1 1 0
( ) ( 1) ... ( 1) ( ) ( )
n n
a c k n a c k n a c k a c k b r k

        
Đặt biến trạng thái theo qui tắc:
- Biến đầu tiên đặt bằng tín hiệu ra:
1( ) ( )
x k c k

- Biến thứ i(i= 2 . . n) đặt bằng cách làm sớm biến thứ (i-1) một chu kỳ
lấy mẫu:
2 1
( ) ( 1)
x k x k
 
3 2
( ) ( 1)
x k x k
 
.
.
.
1
( ) ( 1)
n n
x k x k

 

n
n n 1 0
1
0 0 0 0
n n 1 0
1
1 2 n
0 0 0 0
x ( k 1) c( k n )
a a b
a
c( k ) c( k 1) ... c( k n 1) r( k )
a a a a
a a b
a
x ( k ) x ( k ) ... x ( k ) r( k )
a a a a


   
        
     
Phương trình trạng thái:
( 1) ( ) ( )
( ) ( )
d d
d
x k A x k B r k
c k C x k
  




Trong đó:
1
2
( )
( )
.
( )
.
.
( )
n
x k
x k
x k
x k
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
;
1 2 1
0 0 0 0
0 1 0 ... 0
0 0 1 ... 0
. . . ... .
. . . ... .
. . . ... .
0 0 0 ... 1
...
d
n n n
A
a a a a
a a a a
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
   
 
 
 
;
0
0
0
0
.
.
.
0
d
B
b
a
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
1 0 ... 0 0
d
C 
Ví dụ: Viết PTTT mô tả hệ thống có quan hệ vào ra cho bởi PTSP sau:
2 ( 3) ( 2) 5 ( 1) 4 ( ) 3 ( )
c k c k c k c k r k
      
Giải:
Đặt:
1
2 1
3 2
( ) ( )
( ) ( 1)
( ) ( 1)
x k c k
x k x k
x k x k



 

  

( 1) ( ) ( )
( ) ( )
d d
d
x k A x k B r k
c k C x k
  




Trong đó:
0 1 0
0 0 1
2 2.5 0.5
d
A
 
 
  
 
  
 
;
0
0
1.5
d
B
 
 
  
 
 
;  
1 0 0
d
C 

 Trường hợp 2: Vế phải của phương trình sai phân có chứa sai phân của tín
hiệu vào.
0 1 1
0 1 2 1
1 1
1 2 1
n n
n n
a c( k n ) a c( k n ) ... a c( k ) a c( k )
b r( k n ) b r( k n ) ... b r( k ) b r( k )

 
       
         
Đặt biến trạng thái theo qui tắc:
- Biến đầu tiên đặt bằng tín hiệu ra:
1( ) ( )
x k c k

- Biến thứ i(i= 2 . . n) đặt bằng cách làm sớm biến thứ (i-1) một chu kỳ
lấy mẫu và trừ 1 lượng tỉ lệ với tín hiệu vào:
2 1 1
3 2 2
1 1
( ) ( 1) ( )
( ) ( 1) ( )
.
.
.
( ) ( 1) ( )
n n n
x k x k r k
x k x k r k
x k x k r k



 
  
  
  
n n 1 1
n n
0 0 0
n n 1 1
1 2 n n
0 0 0
a a a
x ( k 1) c( k ) c( k 1) ... c( k n 1) r( k )
a a a
a a a
x ( k ) x ( k ) ... x ( k ) r( k )
a a a




          
     
( 1) ( ) ( )
( ) ( )
d d
d
x k A x k B r k
c k C x k
  




Trong đó:
1
2
( )
( )
.
( )
.
.
( )
n
x k
x k
x k
x k
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
;
1 2 1
0 0 0 0
0 1 0 ... 0
0 0 1 ... 0
. . . ... .
. . . ... .
. . . ... .
0 0 0 ... 1
...
d
n n n
A
a a a a
a a a a
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
   
 
 
 
;
1
2
1
.
.
.
d
n
n
B





 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
 
1 0 ... 0 0
d
C  .
Các hệ số β được xác định như sau:

0
1
0
b
a
 
1 1 1
2
0
b a
a




2 1 2 2 1
3
0
b a a
a
 

 

.
.
.
n 1 1 n 1 2 n 2 n 1 1
n
0
b a a ... a
a
  
    
   

Ví dụ: Viết PTTT mô tả hệ thống có quan hệ vào ra cho bởi PTSP sau:
2 ( 3) ( 2) 5 ( 1) 4 ( ) ( 2) 3 ( )
c k c k c k c k r k r k
        
Đặt:
1
2 1 1
3 2 2
( ) ( )
( ) ( 1) ( )
( ) ( 1) ( )
x k c k
x k x k r k
x k x k r k





  

   

( 1) ( ) ( )
( ) ( )
d d
d
x k A x k B r k
c k C x k
  




Trong đó:
0 1 0
0 0 1
2 2.5 0.5
d
A
 
 
  
 
  
 
;
0.5
0.25
0.375
d
B
 
 
 
 
 
 
;  
1 0 0
d
C 
2.5.3. Thành lập phương trình trạng thái hệ rời rạc từ phương trình trạng thái hệ
liên tục
Thành lập phương trình trạng thái mô tả hệ rời rạc có sơ đồ khối như Hình 2.17
ZOH G(S)
+-
r(t) c(t)
T
e(t) e(kT) eR(t)
Hình 2.17 Sơ đồ khối hệ rời rạc

 Bước 1: Thành lập PTTT mô tả hệ liên tục(hở)
G(S)
eR(t) c(t)
( ) (t) (t)
(t) (t)
R
x t Ax Be
c Cx
 




 Bước 2: Tính ma trận quá độ
   
1
1 1
( ) ( )
t L s L sI A


   
   
 
 Bước 3: Rời rạc hóa PTTT mô tả hệ liên tục(hở)
ZOH G(S)
c(t)
e(kT)
 
( 1)T ( ) e ( )
( ) ( )
d d R
d
x k A x kT B kT
c kT C x kT
   





Với:
0
d
T
d
d
A (T )
B ( )Bd( )
C C
 
 



 






 Bước 4: Viết PTTT mô tả hệ rời rạc kín(với tín hiệu đầu vào là r(kT))
   
( 1)T ( ) r( )
( ) ( )
d d d d
d
x k A B C x kT B kT
c kT C x kT
    





Ví dụ: Thành lập PTTT mô tả hệ rời rạc có sơ đồ khối như Hình 2.18:
ZOH
+-
r(t) c(t)
T
e(t) e(kT) eR(t) 1
s a

1
s
k
x1
x2
Với a = 2, T = 0.5, k = 10
Giải:
 Bước 1:
2
1
2
( )
( )
( )
( )
2
R
X s
X s
s
E s
X s
s





 
 


1 2
2 2
1
2
10
R
x (t ) x (t )
x (t ) x (t ) e (t )
c(t ) x (t )



   

 

PTTT có dạng:
( ) (t) (t)
(t) (t)
R
x t Ax Be
c Cx
 




Với:
0 1
0 2
A
 
  

 
;
0
1
B
 
  
 
;  
10 0
C 
 Bước 2: Tính ma trận quá độ:
 
1
1 1
(s 2)
( )
1
0
2
s s
s sI A
s

 
 

 
   
 
 

 
 
 
2
1
2
1
1 1
( ) ( ) 2
0
t
t
e
t L s
e




 

 
  
 
 
 
 Bước 3: Rời rạc hóa PTTT của hệ liên tục:
 
( 1)T ( ) e ( )
( ) ( )
d d R
d
x k A x kT B kT
c kT C x kT
   





Với:
 
2
2
1
1 1 1 0.316
(T) 2
0 0.368
0
t
d
t
t T
e
A
e




 
  
 
    
   
 
 
 
2
0 0
2
1
1 0 092
2
0 316
T T
d
e .
B ( )Bd( ) d( )
.
e


  


 
  
 
     
   
 
 
 
 
10 0
d
C C
 
 Bước 4: PTTT mô tả hệ rời rạc kín:
   
( 1)T ( ) r( )
( ) ( )
d d d d
d
x k A B C x kT B kT
c kT C x kT
    





Với:
   
1 0.316 0.092 0.080 0.316
10 0
0 0.368 0.316 3.16 0.368
d d d
A B C
     
   
     

     

0 092
0 316
d
.
B
.
 
  
 
;  
10 0
d
C 
2.5.4. Tính hàm truyền từ phương trình trạng thái
Cho hệ rời rạc mô tả bởi PTTT:
( 1) ( ) ( )
( ) ( )
d d
d
x k A x k B r k
c k C x k
  




Hàm truyền của hệ rời rạc là:
 
1
( )
( )
( )
d d d
C z
G z C zI A B
R z

  
Ví dụ: Tính hàm truyền của hệ rời rạc mô tả bởi PTTT trên. Biết:
0 1
0.7 0.1
d
A
 
  
 
 
;
0
2
d
B
 
  
 
;  
1 0
d
C 
Giải:
 
1
2
2
( )
0.1 0.7
d d d
G z C zI A B
z z

  
 
2.6. Bài tập, câu hỏi và thảo luận
Câu hỏi:
1) Hệ thống điều khiển rời rạc gồm những thành phần cơ bản nào? Giải thích
chức năng của các thành phần đó?
2) Chức năng của phép biến đổi z là gì?
3) Mô hình toán của hệ thống điều khiển số gồm các dạng nào?
Bài tập:
1) Cho
   
3
2
2
( )
2 1
z z
X z
z z


 
. Tìm x(k)
Hướng dẫn:
 
2
( ) 9 1 3
2 1
2
X z
z z z
z
  
 

Kết quả:
1
( ) 9 .2 2 3
k k
x k k 
  
2) Cho 2
0.9
( )
0.1 0.2
z
X z
z z

 
. Tìm x(k)
Đáp số:  
( ) 0.5 0.4
k
k
x k   

3) Cho hệ thống có sơ đồ khối như Hình 2.19. Biết:
  
1 2
G(s)
1 1
K
sT sT

 
;
K=0.125; T1= 1s; T2 =0.2s; T = 0.2s.
ZOH G(S)
+-
r(t) c(t)
T
e(t) e(kT) eR(t)
a) Tìm G1(z)
b) Vẽ đáp ứng bước của hệ thống dùng matlab.
Đáp số:
a)
1 2
1 1 2
0.00857 0.00575
G ( )
1 1.1866 0.30119
z z
z
z z
 
 


 
4) Hãy thành lập hệ PTTT mô tả hệ thống có hàm truyền sau:
2
3 2
( ) 3
G( )
( ) 2 5 4
C z z
z
R z z z z

 
  
Giải:
Nhân chéo PT trên ta được:
 
 
3 2 2
( ) 0.5 ( ) 2.5 ( ) 0.5 ( ) 2 ( ) 1.5 ( ) 0
( ) 0.5 ( ) 0.5 ( ) 2.5 ( ) 2 ( ) 1.5 ( ) 0
z C z z C z zC z z R z C z R z
z z zC z C z R z C z C z R z
     
      
Đặt:
 
1
2
3
( ) ( )
( ) ( ) 0.5 )
( ) ( ) 0.5 ) 2.5 ( )
X z C z
X z zC z C(z)-0.5R(z
X z z zC z C(z)-0.5R(z C z
 

 

   

1
1 1 2
2 1 3
3 1
( ) ( )
( 1) 0.5 ( ) ( ) 0.5
( 1) 2.5 ( ) ( )
( 1) 2 ( ) 1.5 ( )
x k c k
x k x k x k r(k)
x k x k x k
x k x k r k


     

 
   

    

( 1) ( ) ( )
( ) ( )
d d
d
x k A x k B r k
c k C x k
  




Trong đó:
0.5 1 0
2.5 0 1
2 0 0
d
A

 
 
 
 
 

 
;
0.5
0
1.5
d
B
 
 
  
 
 
;  
1 0 0
d
C 

5) Cho PTSP hệ rời rạc như sau:
( 2)
x k 3x(k+1)+2x(k)=0 ;x(0)=0,x(1)=1
  . Tìm x(k)
Hướng dẫn:
( 2) 2 2
x k z X(z)- z x(0)- zx(1)
 
Đáp số:    
( ) 1 2
k k
x k    
6) Cho PTSP hệ rời rạc như sau:
 
( 2)
x k a b x(k+1)+abx(k)=0
   . Tìm x(k)
Đáp số:      
1
( ) (0) (0) (1) ,
k k
x k x a ax x k a a b

     
7) Cho sơ đồ hệ thống như Hình 2.20
k(z) G1(z)
+-
R(z) E(z) U(z) Y(z)
Biết:
  
1 2
1 1 1
0.3679 0.2642
(z)
1 0.3679 1
z z
G
z z
 
 


 
; Bộ điều khiển
1 2
1
1.4 1.4 0.2
k(z)
1
z z
z
 

 


Vẽ đáp ứng bước của hệ thống dùng matlab.
Hướng dẫn:
Tìm hàm truyền hệ kín.
Đáp ứng bước: Hình 2.21
Hình 2.21 Đáp ứng bước của hệ thống

8) Xác định một biểu diễn trạng thái của hệ thống với phương trình sai phân
y(k+2) – 1.5y(k+1) + 0.56y(k)=3u(k)
Đáp số:
( 1) ( ) ( )
( ) ( )
d d
d
x k A x k B r k
c k C x k
  




Trong đó:
0 1
0.56 1.5
d
A
 
  

 
;
0
3
d
B
 
  
 
;  
1 0
d
C 

Chương III: Khảo sát ổn định và phân tích hệ điều khiển số
CHƯƠNG III:
KHẢO SÁT ỔN ĐỊNH VÀ PHÂN TÍCH HỆ ĐIỀU KHIỂN SỐ
3.1. Ổn định của hệ thống rời rạc
3.1.1. Điều kiện ổn định của hệ rời rạc
Hệ thống được gọi là ổn định nếu tín hiệu vào bị chặn thì tín hiệu ra bị chặn
(Bounded Input Bounded Output).
Do quan hệ giữa biến z và biến s là z = eTs
nên quan hệ giữa cực của hệ
thống rời rạc và cực của hệ thống liên tục:
Cực của X(s)
( s
P )
Cực của X(z)
( s
TP
z
P e
 )
0
s
P  1
z
P 
s
P a
 
aT
z
P e

0
s
P a j
  
0
( a j )T
z
P e 
 

 Điều kiện ổn định của hệ thống rời rạc:
Điều kiện ổn định của hệ thống liên tục:
  0
s
Re P  : Tất cả các cực của X(s) có phần thực âm
 Điều kiện ổn định của hệ thống rời rạc:
1
z
P  : Tất cả các cực của X(z) nằm trong vòng tròn đơn vị
Miền ổn định của hệ thống liên tục và hệ thống rời rạc: Hình 3.1
Miền ổn định
Re{Ps} < 0
Miền ổn định
|Pz| < 1
Re(s)
Im(s)
Re(z)
Im(z)
s
TP
z
P e

Hình 3.1 Miền ổn định của hệ thống liên tục và hệ thống rời rạc

Ví dụ 1: Khảo sát ổn định của hệ thống có hàm truyền sau:
2
2 1
4 4
z
G( z )
z z


 
Cực: 2
4 4 0
z z
   Pz = -2(kép)
2 1
z
P
  
Hệ thống không ổn định
2
2 1
0 5
z
G( z )
z z .


 
Cực: 2
0 5 0
z z .
  
1
2
z
j
P
 
 
1
1
2
z
P
  
Hệ thống ổn định
2
1
2 5 1
G( z )
z . z

 
Cực: 2
2 5 1 0
z . z
  
1
2
2
0 5
z
z
P
P .


  

1 1
z
P
 
Hệ thống không ổn định
3.1.2. Phương trình đặc trưng của hệ rời rạc
Cho hệ thống điều khiển rời rạc mô tả bởi sơ đồ khối như Hình 3.2:
GC(z) ZOH G(S)
+-
R(s) C(s)
T
H(S)
e(k) u(k)

Phương trình đặc trưng:
1 0
c
G ( z )GH( z )
 
Hệ thống điều khiển rời rạc mô tả bởi PTTT:
( 1) ( ) ( )
( ) ( )
d d
d
x k A x k B r k
c k C x k
  




Phương trình đặc trưng: 0
d
det( zI A )
 
Tính chất: Cực của hệ thống ≡ trị riêng của ma trận Ad là nghiệm của PTĐT.
3.1.3. Phương pháp đánh giá tính ổn định của hệ rời rạc
 Tiêu chuẩn ổn định đại số
Tiêu chuẩn Routh – Hurwitz mở rộng:
Biến đổi z thành w, sau đó áp dụng tiêu chuẩn Routh – Hurwitz cho phương
trình đặt trưng theo biến w
Ví dụ 1: Xét tính ổn định của hệ rời rạc có phương trình đặc trưng:
4 3 2
0.83 0.135 0.202 0.104 0
z z z z
    
Giải:
Đổi biến:
1
1
w
z
w



4 3 2
1 1 1 1
0.83 0.135 0.202 0.104 0
1 1 1 1
w w w w
w w w w
   
       
     
       
   
       
4 3 2
0.611 1.79 6.624 5.379 1.597 0
w w w w
     
Bảng Routh:
4
w 0.611 6.624 1.597
3
w 1.79 5.379 0
2
w 4.788 1.597
1
w 4.782 0
0
w 1.597
Kết luận: Hệ thống ổn định
Ví dụ 2: Xét tính ổn định của hệ rời rạc có phương trình đặc trưng:
3 2
1.3 0.08 0.24 0
z z z
   
Giải:
Đổi biến:
1
1
w
z
w




3 2
1 1 1
1.3 0.08 0.24 0
1 1 1
w w w
w w w
  
     
   
     
  
     
3 2
7.571 36.43 14.14 0
w w w
    
Bảng Routh:
3
w 1 -36.43
2
w -7.571 -14.14
1
w -38.3 0
0
w -14.14
Kết luận: Hệ thống không ổn định
Tiêu chuẩn Jury:
Xét tính ổn định của hệ rời rạc có phương trình đặc trưng:
1
0 1 ... 0
n n
n n
a z a z a z a

    
Bảng Jury: gồm có (2n+1) hàng
- Hàng 1 là các hệ số của PTĐT theo thứ tự chỉ số tăng dần.
- Hàng chẳn (bất kỳ) gồm các hệ số của hàng lẻ trước đó viết theo thứ tự
ngược lại.
- Hàng lẻ thứ i = 2k + 1 (k ≥ 1) gồm có (n – k + 1) phần tử, phần tử ở
hàng i, cột j xác định bởi công thức:
2,1 2, 3
1,1 1, 3
2,1
1 i i n j k
ij
i i n j k
i
C C
C
C C
C
    
    


Tiêu chuẩn Jury: Điều kiện cần và đủ để hệ thống rời rạc ổn định là tất cả
các hệ số ở hàng lẻ, cột 1 của bảng Jury đều dương.
Ví dụ 1: Xét tính ổn định của hệ rời rạc có hàm truyền sau:
3 2
1
( )
2 3 4 5
G z
z z z

  
Giải:
PTĐT:
3 2
2 3 4 5 0
z z z
   
Bảng Jury:

Hàng 1 2 3 4 5
Hàng 2
(đảo h1)
5 4 3 2
Hàng 3
2 5
1
10.5
5 2
2
 
2 4
1
7
5 3
2
 
2 3
1
3.5
5 4
2
 
Hàng 4
(đảo h3)
-3.5 -7 -10.5
Hàng 5
10.5 3.5
1
9.3
3.5 10.5
10.5
 
 
 

10.5 7
1
4.7
3.5 7
10.5
 
 
 

Hàng 6
(đảo h5)
-4.7 -9.3
Hàng 7
9.3 4.7
1
6.9
4.7 9.3
9.3
 
 
 

Hệ thống không ổn định.
Ví dụ 2: Xét tính ổn định của hệ rời rạc có PTĐT: 3 2
5 2 3 1 0
z z z
   
Giải:
Bảng Jury:
Hàng 1 5 2 3 1
Hàng 2 (đảo h1) 1 3 2 5
Hàng 3 4.8 1.4 2.6
Hàng 4 (đảo h3) 2.6 1.4 4.8
Hàng 5 3.39 0.61
Hàng 6 (đảo h5) 0.61 3.39
Hàng 7 3.28
Do các hệ số ở hàng lẻ, cột 1 của bảng Jury đều dương nên hệ thống ổn định.
 Phương pháp Quỹ đạo nghiệm số:
Quỹ đạo nghiệm số là tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình đặc trưng
của hệ thống khi có một thông số nào đó trong hệ thay đổi từ 0 → ∞.
Xét hệ rời rạc có phương trình đặc trưng:
( )
1 0
( )
N z
K
D z
 
Đặt: 0
( )
( )
( )
N z
G z K
D z

Gọi n và m là số cực và số zero của G0(z)

Quy tắc vẽ quỹ đạo nghiệm số:
- Quy tắc 1: Số nhánh của quỹ đạo nghiệm số = bậc của phương trình đặc
tính = n.
- Quy tắc 2:
Khi K = 0: Các nhánh của QĐNS xuất phát từ các cực của G0(z)
Khi K tiến đến +∞: m nhánh của QĐNS tiến đến m zero của G0(z), (n –
m) nhánh còn lại tiến đến ∞ theo các tiệm cận xác định bởi quy tắc 5 và
quy tắc 6.
- Quy tắc 3: QĐNS đối xứng qua trục thực.
- Quy tắc 4: Một điểm trên trục thực thuộc về QĐNS nếu tổng số cực và
zero của G0(z) bên phải nó là 1 số lẻ.
- Quy tắc 5: Góc tạo bởi các đường tiệm cận của QĐNS với trục thực xác
định bởi:
 
 
2 1
0, 1, 2,...
l
l
n m



   

- Quy tắc 6: Giao điểm giữa các tiệm cận với trục thực là điểm A có tọa
độ xác định bởi:
1 1
n m
i j
i j
p z
pole zero
OA
n m n m
 


 
 
 
 
Với: pi và zj là các cực và zero của G0(z)
- Quy tắc 7: Điểm tách nhập (nếu có) của QĐNS nằm trên trục thực và là
nghiệm của phương trình:
0
dK
dz

- Quy tắc 8: Giao điểm của QĐNS với vòng tròn đơn vị có thể xác định
bằng cách áp dụng tiêu chuẩn Routh – Hurwitz mở rộng hoặc thay z = a
+ jb (a2
+ b2
= 1) vào phương trình đặc trưng.
- Quy tắc 9: Góc xuất phát của QĐNS tại cực phức pj được xác định bởi:
   
0
1 1
180 arg arg
m n
j j i j i
i i
i j
p z p p

 

    
 
Ví dụ: Cho hệ thống rời rạc có sơ đồ khối như Hình 3.3:
ZOH G(S)
+-
R(s) C(s)
T=0.1

Biết:
5
(s)
( 5)
k
G
s s


Hãy vẽ QĐNS của hệ thống khi k = 0 →∞. Tính kgh.
Giải:
PTĐT của hệ thống:
1
1 (s) 0
G
 
)
607
.
0
z
)(
1
z
(
018
.
0
z
021
.
0
k
s
)
s
(
G
Z
)
z
1
(
)
z
(
G 1
1











 
PTĐT:
0
)
607
.
0
z
)(
1
z
(
018
.
0
z
021
.
0
k
1 




Cực: p1 =1; p2 = 0.607
Zero: z1 = -0.857
Tiệm cận:
 
2 1
l
n m

 

 

2.464
cuc zero
OA
n m

 

 
Điểm tách nhập:
1
2
2.506
0
0.792
z
dk
z
dz
 

  


Giao điểm của QĐNS với vòng tròn đơn vị:
(PTĐT)  
2
0.021 1.607 0.018 0.607 0 (*)
z k z k
     
Đổi biến:
1
1
w
z
w



(*) trở thành:
   
2
0.039 0.786 0.036 3.214 0.003 0
kw k w k
    
Theo hệ quả của tiêu chuẩn Hurwitz, điều kiện ổn định là:
0 0
0.786 0.036 0 21.83 21.83
3.214 0.003 0 1071
gh
k k
k k k
k k
 
 
 
     
 
 
  
 
Thay kgh = 21.83 vào (*) ta tìm được 0.5742 0.8187
z j
 
Vậy giao điểm giữa QĐNS với vòng tròn đơn vị là: 0.5742 0.8187
z j
 

QĐNS: Hình 3.4
Hình 3.4 Quỹ đạo nghiệm số hệ rời rạc
Vẽ QĐNS hệ thống trên dùng matlab: Hình 3.5
Chương trình:
G=tf(5,[1 5 0])
G1=c2d(G,0.1,'zoh')
rlocus(G1); hold on
x=-1:0.1:1;
y=sqrt(1-x.^2)
plot(x,y,x,-y)
Hình 3.5 Quỹ đạo nghiệm số hệ rời rạc vẽ bằng matlab

Tìm Kgh từ QĐNS:
k=rlocfind(G1)
kgh = 21.7840
0.5736 0.8219
z j


Nhận xét: QĐNS vẽ bằng tay và bằng matlab tương đối giống nhau.
3.2. Đáp ứng của hệ rời rạc
3.2.1. Chất lượng quá độ
Cách 1: Đánh giá chất lượng quá độ dựa vào đáp ứng thời gian c(k) của hệ rời
rạc.
Độ vọt lố:
max
100%
xl
xl
c c
POT
c


Trong đó:
cmax: Giá trị cực đại của c(k)
cxl: Giá trị xác lập của c(k)
Thời gian quá độ: tqđ = kqđ.T
Trong đó kqđ thỏa mãn điều kiện:
1 ( ) 1 ,
100 100
xl xl qd
c c k c k k
 
   
     
   
   
Với: ε là sai số.
Cách 2: Đánh giá chất lượng quá độ dựa vào cặp cực quyết định.
Cặp cực quyết định của hệ rời rạc là cặp cực nằm gần vòng tròn đơn vị
nhất.
*
1,2
j
z re 


 
 
2 2
2 2
ln
ln
1
ln
n
r
r
r
T


 




 
 

 


Độ vọt lố:
2
exp .100%
1
POT


 
 
 
 

 
Thời gian quá độ:
n
qđ
3
t

 (tiêu chuẩn 5%)

3.2.2. Sai số xác lập
Cho hệ thống rời rạc có sơ đồ khối như Hình 3.6:
GC(z) ZOH G(S)
+-
R(s) C(s)
T
H(S)
E(z)
Biểu thức sai số:
1 C
R( z )
E( z )
G ( z )GH( z )


Sai số xác lập:
1
1
1
xl
k z
e lime( k ) lim( z )E(z)

 
  
3.2.3. Ví dụ
Ví dụ 1: Cho hệ thống như Hình 3.7. Biết T = 0.1;
10
2 3
G( s )
(s )(s )

 
ZOH G(S)
+-
R(s) C(s)
T
a) Tìm hàm truyền kín của hệ thống điều khiển trên
b) Tính đáp ứng của hệ thống đối với tín hiệu vào là hàm nấc đơn vị.
c) Tính độ vọt lố, thời gian quá độ, sai số xác lập của hệ thống
Giải:
a) Hàm truyền kín của HT:

)
714
.
0
z
)(
819
.
0
z
(
036
.
0
z
042
.
0
s
)
s
(
G
Z
)
z
1
(
)
z
(
G 1











 
643
.
0
z
518
.
1
z
036
.
0
z
042
.
0
)
z
(
G
1
)
z
(
G
)
z
(
G 2
k






b) Tính đáp ứng của hệ thống đối với tín hiệu vào là hàm nấc đơn vị.
)
z
(
R
z
643
.
0
z
518
.
1
1
z
036
.
0
z
042
.
0
)
z
(
R
)
z
(
G
)
z
(
C 2
1
2
1
k 








    )
z
(
R
z
036
.
0
z
042
.
0
)
z
(
C
z
643
.
0
z
518
.
1
1 2
1
2
1 








)
2
k
(
r
036
.
0
)
1
k
(
r
042
.
0
)
2
k
(
c
643
.
0
)
1
k
(
c
518
.
1
)
k
(
c 








Điều kiện đầu: c(-1) = c(-2) = 0
Đáp ứng ngõ ra c(k) dùng matlab:
Chương trình matlab:
num = [0 0.042 0.036];
den = [1 -1.518 0.643];
r=ones(1,31);
k=0:30;
c=filter(num,den,r);
plot(k,c)
grid on;
Đáp ứng ngõ ra: Hình 3.8
Hình 3.8 Đáp ứng bước hệ rời rạc

c) Tính độ vọt lố, thời gian quá độ, sai số xác lập của hệ thống
Cực phức của hệ thống kín là nghiệm của phương trình:
0
643
.
0
z
518
.
1
z2



1 2 0 759 0 2587 0 8019 0 3285
*
,
z . j . . .
    
 
 
2 2
2 2
ln
0.5579
ln
1
ln 0.3958
n
r
r
r
T


 


 

 
 

  


2
exp .100% 12.11%
1
POT


 
 
  
 

 
s
36
.
1
3
t
n
qđ 


Câu hỏi:
1) So sánh điều kiện ổn định của hệ rời rạc và hệ liên tục?
2) Trình bày các bước vẽ quỹ đạo nghiệm số của hệ rời rạc.
Bài tập:
1) Cho hệ thống có hàm truyền như sau:
5
.
0
z
z
)
z
(
G

 ; T = 1 ; K(z) = k0 (hằng số)
a) Tìm điều kiện k0 để hệ thống ổn định.
b) Tìm k0 để exl = 0.1 đối với tín hiệu vào là hàm nấc.
c) Tìm đáp ứng ngõ ra của hệ thống đối với bước nhảy đơn vị
Giải:
a)
Hàm truyền của hệ thống vòng kín:
5
.
0
)
1
k
(
z
z
k
)
z
(
K
)
z
(
G
1
)
z
(
K
)
z
(
G
)
z
(
H
0
0





Cực:
1
k
5
.
0
P
0
z


Điều kiện ổn định:
1
1
k
5
.
0
0



Kết hợp với điều kiện: k0 > 0
b)
Sai số xác lập:
0
xl
k
2
1
1
)
1
(
K
)
1
(
G
1
1
e




5
.
4
k
1
.
0
e 0
xl 


c)
11
1
z
z
11
9
)
z
(
H


1
z
z
)
z
(
R
)
k
(
1
)
k
(
r

























1
z
z
11
1
z
z
11
9
)
z
(
Y
  1
z
10
9
11
1
z
110
9
1
z
11
1
z
z
11
9
z
)
z
(
Y















1
z
z
10
9
11
1
z
z
110
9
)
z
(
Y






)
k
(
1
11
1
110
9
10
9
)
k
(
1
11
1
110
9
)
k
(
1
10
9
)
k
(
y
k
k


























2) Cho hệ thống có hàm truyền như sau:
  2
2
4
.
0
8
.
0
z
1
)
z
(
G


 ; T = 0.1s
a) Tìm thời gian quá độ (tqđ)
b) Tìm độ vọt lố
Giải:
Mặt phẳng phức hệ liên tục: Hình 3.10
im
Re
-b
b
a
P1
P2 3
qd
t

Hình 3.10 Mặt phẳng phức hệ liên tục
Cực:
 
  
j
2
2
2
2
e
.
4
.
0
8
.
0
4
.
0
j
8
.
0
z
0
4
.
0
8
.
0
z









Với:
46
.
0
8
.
0
4
.
0
tan
a 








Vậy:
 
  6
.
4
j
16
.
1
46
.
0
j
8
.
0
ln
10
)
P
ln(
T
1
P
e
.
8
.
0
e
.
4
.
0
8
.
0
z
z
s
46
.
0
j
46
.
0
j
2
2









 

Ta có hệ phương trình sau:
 
 
tan
3
1.16
1.16
tan
4.6
2.58
.100% 45%
qd
qd
t
t s
POT e
 







 


 
  

3) Cho hệ thống có sơ đồ khối như Hình 3.7. Biết T = 0.1s,
2 5
2 3
( s )
G( s )
(s )(s )


 
a) Thành lập hệ PTTT mô tả hệ thống trên.
b) Tìm đáp ứng của hệ đối với tín hiệu vào là hàm nấc đơn vị (điều kiện
đầu bằng 0) dựa vào PTTT vừa tìm được bằng matlab.
c) Tính độ vọt lố, thời gian quá độ, sai số xác lập.
Đáp số:
a) PTTT:
 
0.9326 0.0695 0.0042
( 1) ( ) ( )
1.2465 0.4292 0.0779
( ) 10 2 ( )
x k x k r k
c k x k
    
  
    

   

 

b) Đáp ứng của hệ:
Mô hình matlab: Hình 3.11
Hình 3.11 Mô hình Matlab của hệ thống
Mô hình G(z)1: Hình 3.12
Hình 3.12 Mô hình G(z)1

c)
POT=1.6%
tqđ = 0.6s
exl = 0.375
4) Cho hệ thống điều khiển như Hình 3.14. Biết T = 1s;
1
k
G( s )
s(s )


ZOH G(S)
+-
R(s) C(s)
T
a) Với k= 1. Khảo sát đặc tính động học của hệ bằng matlab
b) Hãy vẽ QĐNS của hệ thống khi k = 0 → ∞. Tính kgh.
c) Vẽ QĐNS hệ thống trên dùng matlab. Tìm kgh.
Hướng dẫn:
a) Đáp ứng bước của hệ thống: Hình 3.15
G=tf(1,[1 1 0])

G1=c2d(G,1,'zoh')
Gk = feedback(G1,1)
step(Gk,35)
c) Quỹ đạo nghiệm số: Hình 3.16
rlocus(G1); hold on
x=-1:0.1:1;
y=sqrt(1-x.^2)
plot(x,y,x,-y)
Hình 3.16 QĐNS của hệ thống

5) Xét tính ổn định của hệ rời rạc có phương trình đặc trưng:
4 3 2
0.6 0.81 0.67 0.12 0
z z z z
    
a) Dùng tiêu chuẩn Routh – Hurwitz mở rộng
b) Dùng tiêu chuẩn Jury
Đáp số: Hệ thống ổn định

Chương IV: Thiết kế hệ thống điều khiển rời rạc
CHƢƠNG IV:
THIẾT KẾ HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC
4.1. Hàm truyền của các khâu cơ bản rời rạc
Khâu vi phân:
Vi phân
e(t) u(t)
Khâu vi phân liên tục:
de(t )
u(t )
dt

Khâu vi phân rời rạc:
 
1
e( kT ) e k T
u(kT)
T
 
 
 

1
E( z ) z E( z )
U( z )
T


 
 Hàm truyền khâu vi phân rời rạc:
1 1
D
z
G ( z )
T z


Khâu tích phân:
Tích phân
e(t) u(t)
Khâu tích phân liên tục:
0
t
u(t ) e( )d
 
 
Khâu tích phân rời rạc:
0
kT
u(kT) e( )d
 
 
 Hàm truyền khâu tích phân rời rạc:
1
2 1
I
T z
G ( z )
z




Bộ điều khiển PID:
1 1
2 1
I D
PID p
P
I D
K T K
z z
G ( z ) K
z T z
 
  

Hoặc:
1 1
1
D
PID p I
K
z z
G ( z ) K K T
z T z
 
  

Bộ điều khiển sớm pha, trễ pha:
 
1 1
c
c c
c
c c
z z
G ( z ) K
z p
z , p



 
Zc < pc: Sớm pha
Zc > pc: Trể pha
4.2. Thiết kế khâu sớm pha rời rạc dùng QĐNS
Khâu hiệu chỉnh cần thiết kế:
 
c
c c c c
c
z z
G ( z ) K z p
z p

 

 Bước 1: Xác định cặp cực quyết định từ yêu cầu thiết kế về chất lượng
của hệ thống trong quá trình quá độ.
 
1 2
* j
,
z re r cos j sin

 

  
Với:
n
T
*
r z e 

 
2
1
*
n
z T
  
   
 Bước 2: Xác định góc pha cần bù để cặp cực quyết định 1 2
*
,
z nằm trên
QĐNS của hệ thống sau khi hiệu chỉnh bằng công thức:
   
0
1 1
1 1
180
n m
* * *
i i
i i
arg z p arg z z

 
     
 
*
  - 1800
+  (Góc từ các cực của G(z) đến cực 1
*
z ) -  (Góc từ các
zero của G(z) đến cực 1
*
z ).
Trong đó:
Pi và zi là các cực và zero của G(z) trước khi hiệu chỉnh.

 Bước 3: Xác định vị trí cực và zero của khâu hiệu chỉnh
Vẽ 2 nửa đường thẳng bất kỳ xuất phát từ cực quyết định 1
*
z sao cho 2
nửa đường thẳng này tạo với nhau một góc bằng *
 . Giao điểm của 2 nửa
đường thẳng này với trục thực là vị trí cực và zero của khâu hiệu chỉnh.
Có 2 cách vẽ thường dùng:
 Phương pháp đường phân giác (để cực và zero của khâu hiệu chỉnh
gần nhau)
 Phương pháp triệt tiêu nghiệm (để hạ bậc của hệ thống)
 Bước 4: Tính hệ số khuếch đại kc bằng cách áp dụng công thức:
1
1
*
c z z
G ( z )G( z ) 

Ví dụ: cho hệ thống rời rạc như Hình 4.1.
GC(z) ZOH G(S)
+-
R(s)
T
e(k) u(k) C(s)
Hình 4.1 Sơ đồ hệ thống rời rạc
Biết:
50
0 1
5
G( s ) ; T . s
s( s )
 

Thiết kế bộ điều khiển sớm pha Gc(z) sao cho hệ thống sau khi hiệu chỉnh có
cặp cực quyết định với  
0 707 10
n
. ; rad / s
 
 
Giải:
 















 

5
s
s
50
Z
)
z
1
(
s
)
s
(
G
Z
)
z
1
(
)
z
(
G 2
1
1
  
607
.
0
z
1
z
18
.
0
z
21
.
0
)
z
(
G




B1: Cặp cực phức mong muốn:
1 2
* j
,
z re 


Trong đó:
0 493
n
T
r e .


 
2
1 0 707
n
T .
  
  
0 707
1 2 0 493 0 375 0 32
* j j .
,
z re . e . j .

 
    

B2: Góc pha cần bù:
 
1 2 3
180
*
   
    
Với:
0
1
0
2
0
3
0
152 9
125 9
14 6
84
*
.
.
.







 
B3: Chọn cực và zero của khâu hiệu chỉnh bằng phương pháp triệt tiêu
nghiệm:
0 607
0 607
c
c
z .
z .
 
  
 
c
c
p OA
p OA OH HA
 
     
Với:
 
0
0 375
1
0 32 0 357
180 84 54 1
0 018
c
OH .
HA . * .
tan .
p .

 
 
  
Z1
*
H
Hình 4.2 Vòng tròn đơn vị hệ thống rời rạc
B4: Tính Kc

1
1
*
c z z
G ( z )G( z ) 

1 2642
c
K .
 
Kết luận: Hàm truyền của bộ điều khiển cần thiết kế là:
0 607
1 2642
0 018
c
c c
c
z z z .
G ( z ) K .
z p z .
 
 
   
 
 
4.3. Thiết kế khâu trễ pha rời rạc dùng QĐNS
Khâu hiệu chỉnh cần thiết kế:
 
c
c c c c
c
z z
G ( z ) K z p
z p

 

 Bước 1: Đặt
1
1
c
c
p
z




. Xác định β từ yêu cầu về sai số xác lập.
p
*
p
K
K
  hoặc v
*
v
K
K
  hoặc a
*
a
K
K
 
 Bước 2: Chọn Zero của khâu hiệu chỉnh rất gần điểm +1:
1
c
z  
 Bước 3: Tính cực của khâu hiệu chỉnh:
 
1 1
c c
p z

   
 Bước 4: Tính Kc thỏa mãn điều kiện biên độ:
1
1
*
c z z
G ( z )GH( z ) 

Ví dụ: cho hệ thống rời rạc như Hình 4.3.
GC(z) ZOH G(S)
+-
R(s)
T
e(k) u(k) C(s)
Hình 4.3 Sơ đồ khối hệ thống rời rạc
Biết:
50
0 1
5
G( s ) ; T . s
s( s )
 

Thiết kế bộ điều khiển trễ pha Gc(z) sao cho hệ thống sau khi hiệu chỉnh có hệ
số vận tốc 100
*
v
K  .

Giải:
  
607
.
0
z
1
z
18
.
0
z
21
.
0
)
z
(
G




PTĐT của hệ thống trước khi hiệu chỉnh:
  
0
787
.
0
z
397
.
1
z
0
607
.
0
z
1
z
18
.
0
z
21
.
0
1
0
)
z
(
G
1
2












Cực của hệ thống trước khi hiệu chỉnh:
547
.
0
j
699
.
0
z 2
,
1 

B1: Xác định β:
Hệ số vận tốc trước khi hiệu chỉnh:
        
1 1
1 1
1 1 0 21 0 18
1 1 9 9
0 1 1 0 607
v
z z
. z .
K lim z G z lim z .
T . z z .
 
 
 

    
 
 
 
 
0 099
v
*
v
K
.
K
  
B2: Chọn zero của khâu trễ pha:
0 99
c
z .
 
B3: Tính cực của khâu trễ pha
   
1 1 1 0 099 1 0 99 0 999
c c
p z . . .

         
0 99
0 999
c c
z .
G ( z ) K
z .

 

B4: Tính Kc:
0 699 0 547
1
1
c z . j .
c
G ( z )G( z )
K
 

 
0 99
0 999
c
z .
G ( z )
z .

 

4.4. Thiết kế bộ điều khiển PID số
1 1
2 1
I D
c P
K T K
z z
G ( z ) K
z T z
 
   
  
   

   
T/P tỉ lệ
T/P tích phân
T/P vi phân

T/P tích phân: Giảm sai số xác lập
T/P tỉ lệ: Giảm thời gian đáp ứng
T/P vi phân: Giảm độ vọt lố
Ví dụ: cho hệ thống rời rạc như Hình 4.4
GC(z) ZOH G(S)
+-
R(s) C(s)
T
H(S)
e(k) u(k)
Biết:
10
0 05 2
10 1
G( s ) ; H( s ) . ; T s
s
  

Thiết kế khâu hiệu chỉnh Gc(z) sao cho hệ thống kín có cặp cực phức với
0 707 2
n
. , rad / s
 
  và sai số xác lập đối với tín hiệu vào là hàm nấc đơn vị
bằng 0.
Giải:
Khâu hiệu chỉnh cần thiết kế là khâu PI (Vì yêu cầu sai số xác lập bằng 0)
1
2 1
I
c P
K T z
G ( z ) K
z

 
   

 
Phương trình đặc trưng của hệ thống sau hiệu chỉnh là:
1 0
c
G ( z )GH( z )
 
Với:
 
1 0 091
1
0 819
G( s )H( s ) .
GH( z ) z Z
s z .
  
  
 

 
Phương trình đặc trưng của hệ thống sau hiệu chỉnh:
   
2
1 0 091
1 0
2 1 0 819
0 091 0 091 1 819 0 091 0 091 0 819 0
I
P
P I P I
K T z .
K
z z .
z . K . K . z . K . K .
 

   
  
   
 
 
   
 
        
Cặp cực phức mong muốn:
1 2
* j
,
z re 


Trong đó:
0 059
n
T
r e .


 
2
1 2 828
n
T .
  
  
2 828
1 2 0 059 0 056 0 018
* j j .
,
z re . e . j .

 
     

Phương trình đặc trưng mong muốn:
  
2
0 056 0 018 0 056 0 018 0
0 112 0 0035 0
z . j . z . j .
z . z .
    
   
Cân bằng các hệ số phương trình đặc trưng của hệ thống và phương trình đặc
trưng mong muốn, ta được:
0 091 0 091 1 819 0 112
0 091 0 091 0 819 0 0035
15 09
6 13
P I
P I
P
I
. K . K . .
. K . K . .
K .
K .
  


   



 


KL:
1
15 09 6 13
1
c
z
G ( z ) . .
z

 
   

 
4.5. Điều khiển gán cực
Cho hệ thống rời rạc như Hình 4.5.
k(z) G1(z)
+-
R(z) E(z) U(z) Y(z)
Hình 4.5 Sơ đồ tương đương hệ thống rời rạc
Trong đó:
1
B( z )
G ( z )
A( z )

D( z )
k( z )
C( z )

Hàm truyền đạt của hệ thống vòng kín:
1
1
1
G ( z )k( z ) B( z )D(z)
H( z )
G ( z )k( z ) A( z )C(z) B(z)D(z)
 
 
P( z ) A( z )C(z) B(z)D(z)
  : Đa thức đặc trưng của hệ kín.
Ví dụ:
1
1
2 1 1
2
G ( z ) ; A( z ) z ;B( z ) ;T s
z
    

a) Tìm k(z) sao cho H(z) có các cực bằng 0.8
b) Tìm đáp ứng ngõ ra với tín hiệu vào là hàm nấc đơn vị
Giải:
a) Tìm k(z)
Bậc của C(z) bằng bậc của A(z): C(z) = z + c1.
Bậc của D(z) bằng bậc của A(z) - 1: D(z) = d1.

Đa thức đặc trưng của hệ kín:
    
2
1 1 1 1 1
2 2 2
P( z ) z z c d z c z c d
         (4.1)
H(z) có các cực bằng 0.8 → P(z) = (z – 0.8)(z – 0.8) = z2
– 1.6z + 0.64 (4.2)
Đồng nhất các hệ số của (4.1) và (4.2) ta được:
1
1
0 4
1 44
c .
d .





1 44
0 4
.
k( z )
z .
 

b) Tìm đáp ứng ngõ ra
 
2
1 44
0 8
.
H( z )
z .


1
1
z
r( k ) (k) R(z)
z
  

  
2
1 44
1 0 8
. z
Y(z) H( z )R(z)
z z .
  
 
  
 
 
2 2
0 44 0 8 1 502
1 44 0 44
1
1 0 8 0 8
. z . .
Y(z) . .
z z
z z . z .
  
   

  
 
 
2
1
2
1 1
1
0 44 1 502 0 44
0 8 1
0 8
0 44 1 502 0 44
1 0 8 1
1 0 8
. z . z . z
Y(z)
z . z
z .
. . z .
. z z
. z

 


   
 


  
 

   
1 502
0 44 0 8 0 8 0 44
0 8
k k
.
y( k ) . * . k* . .
.
    
Đáp ứng y(k): Hình 4.6

Để giảm sai số xác lập → Phải có khâu tích phân
→ C(z) có dạng: C(z) = z – 1 (Thiếu bậc)
→ D(z) có dạng: D(z) = d1z – d2 (Tăng bậc để bù)
    
2
1 2 1 2
2 1 3 2
P( z ) z z d z d z d z d
           (4.3)
1
2
1 4
1 36
d .
d .



 

1 4 1 36
1
. z .
k( z )
z

 

Tìm đáp ứng ngõ ra:
 
2
1 4 1 36
0 8
. z .
H( z )
z .



1
1
z
r( k ) (k) R(z)
z
  

 
  
2
1 4 1 36
1 0 8
. z . z
Y(z) H( z )R(z)
z z .

  
 
  
 
 
2 2
0 8 1 2
1 4 1 36 1
1
1 0 8 0 8
z . .
Y(z) . z .
z z
z z . z .
  

   

  
   
1 2
0 8 0 8 1
0 8
k k
.
y( k ) . k* .
.
    
Đáp ứng ngõ ra:
Mô hình mô phỏng matlab: Hình 4.7
Hình 4.7 Mô hình mô phỏng matlab

Nhận xét: exl = 0
4.6. Điều khiển bằng hồi tiếp trạng thái, hồi tiếp trạng thái quan sát
4.6.1. Điều khiển được và quan sát được
+ Điều khiển được:
Cho hệ thống như Hình 4.9:
G(z)
u(k) y(k)
Phương trình trạng thái của hệ rời rạc:
 
( 1) ( ) ( ) 4.4
y( ) ( ) ( )
x k Ax k Bu k
k Cx k Du k
   


 


Điều khiển bằng hồi tiếp trạng thái:
0
( ) . ( ) . ( )
C
u k k r k F x k
 
Với: r(k): Tín hiệu vào mới
k0: hằng số
FC (Ma trận 1xn): Ma trận hồi tiếp trạng thái.
Thế vào (4.4):
  0
( 1) ( ) . . ( )
C
C
A
x k A BF x k B k r k
    

AC: Ma trận trạng thái sau khi hồi tiếp trạng thái
Định nghĩa ma trận điều khiển:
2 1
, , , ... , n
B AB A B A B
 
 
  
n là bậc của hệ thống.
Tính chất:
Điều kiện để FC tồn tại là det(ε) ≠ 0: Hệ thống điều khiển được.
Mô hình điều khiển bằng hồi tiếp trạng thái: Hình 4.10
G(z)
FC
+-
r(k) u(k) y(k)
x(k)
k0
Hình 4.10 Mô hình điều khiển bằng hồi tiếp trạng thái
+ Bộ quan sát:
Phương trình trạng thái của bộ quan sát hệ rời rạc:
ˆ ˆ ˆ
( 1) ( ) ( ) ( )
ˆ ˆ
y( ) ( ) ( )
0
x k Ax k Bu k F y-y
k Cx k Du k
   


 

Với:
F0: ma trận nx1
ˆ
( )
0
F y-y : Thừa số hiệu chỉnh
Đặt: ˆ
( ) ( ) ( )
x k x k x k
  : Sai số quan sát
 
0
0
ˆ
( 1) ( 1) ( 1) . ( )
A
x k x k x k A F C x k
        : PTTT của sai số quan sát
Định nghĩa ma trận quan sát:
2
1
.
.
.
n
C
CA
CA
O
CA 
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 

Tính chất:
Điều kiện để F0 tồn tại là det(O) ≠ 0: Biểu diễn trạng thái quan sát
được.
Mô hình điều khiển bằng hồi tiếp trạng thái quan sát: Hình 4.11
G(z)
FC
+-
r(k) u(k) y(k)
B +
+
F0
Z-1
A
D
C ++
+
-
+
ˆ( 1)
x k  ˆ( )
x k
ˆ( )
y k
k0
Hình 4.11 Mô hình điều khiển bằng hồi tiếp trạng thái quan sát
Điều kiện: Biểu diễn trạng thái điều khiển được và quan sát được.
Tính chất: Cực của hệ thống bằng trị riêng của AC và trị riêng của A0.
4.6.2. Điều khiển bằng hồi tiếp trạng thái
Ví dụ: Cho hệ thống rời rạc có PTTT sau:
 
0 1 0
( 1) ( ) ( )
2 2 1
y( ) 1 0 ( )
x k x k u k
k x k
    
  
    
   

 

a) Khảo sát ổn định của hệ thống trên.
b) Xác định FC = [fC1 fC2] sao cho AC có trị riêng bằng 0.8
Giải:
a) Khảo sát ổn định:

 
0 1 0
; ; 1 0
2 2 1
A B C
   
  
   
   
  0
det zI A
 
2
1
0
2 2
2 2 0
z
det
z
z z

 
 
 
 
 
   
1
2
1.366
0.366
z
z
P
P


   

Hệ thống không ổn định do |Pz1| > 1
b) Xác định FC = [fC1 fC2]
 
1 2
1 2
1 2
0 1 0
2 2 1
0 0
0 1
2 2
0 1
2 2
C C C C
C C
C C
A A BF f f
f f
f f
   
   
   
   
 
 
   
 
   
 
  
 
 
Phương trình đặc trưng của hệ thống sau khi hồi tiếp trạng thái:
  0
C
det zI A
 
1 2
1
0
2 2
C C
z
det
f z f

 
 
 
   
 
   
2
2 1
2 2 0
C C
z f z f
      (4.5)
AC có trị riêng bằng 0.8 → cực của hệ thống = 0.8 → PTĐT của hệ thống:
 
2
0.8 0
z  
2
1.6 0.64 0
z z
    (4.6)
1
2
2 0.64
2 1.6
C
C
f
f
 


  


1
2
2.64
0.4
C
C
f
f


 


KL:  
2.64 0.4
C
F 
4.6.3. Điều khiển bằng hồi tiếp trạng thái quan sát
Ví dụ: Cho hàm truyền hệ rời rạc như sau:
  
1
( )
2 0.5
G z
z z

 
a) Xác định 1 biểu diễn trạng thái của hệ thống trên. Hệ thống có ổn định
không?
b) Biểu diễn trạng thái có điều khiển được không? Nếu có xác định ma
trận hồi tiếp trạng thái sao cho hệ thống hồi tiếp có các cực bằng 0.8.
Tìm k0.
c) Biểu diễn trạng thái có quan sát được không? Nếu có xác định bộ quan
sát với các cực bằng 0.5.
d) Vẽ sơ đồ điều khiển bằng hồi tiếp trạng thái quan sát. Xác định các cực
của hệ thống.
e) Mô phỏng hệ thống ở câu b, d
Giải:
a)
2
( ) 1 1
( )
( ) ( 2)( 0.5) 2.5 1
Y z
G z
U z z z z z
  
   
2
( )[ -2.5 1] ( )
[ . ( )-2.5 ( )] ( )- ( ) 0
Y z z z U z
z zY z Y z Y z U z
  
  
Đặt:
1 1
2 2 1 1 1 1 2
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )- 2.5 ( ) ( ) ( 1) 2.5 ( ) ( 1) 2.5 ( ) ( )
X z Y z x k y k
X z zY z Y z x k x k x k x k x k x k
  


        

Ta có:
2 ( ) ( ) ( ) 0
zX z Y z U z
  
2 1
( 1) ( )- ( ) 0
x k x k u k
   
2 1
x ( 1) ( ) ( )
k x k u k
    
PTTT:
1 1 2
2 1
1
( 1) 2.5 ( ) ( )
x ( 1) ( ) ( )
( ) ( )
x k x k x k
k x k u k
y k x k
  


   

 


Dạng ma trận:
1 1
2 2
1
2
( 1) ( )
* * ( )
( 1) ( )
( )
( ) * * ( )
( )
x k x k
A B u k
x k x k
x k
y k C D u k
x k
 
   
 
   

   

 
  
 

 

Với:
2.5 1 0
A ; B ;C [1 0]; D 0;
1 0 1
   
   
   

   
2
1
2
2.5 -1
det(z*I-A) 0 det 0
1 z
2.5* 1 0
2
0.5
z
z
z
z z
P
P
  
 
  
 
 
 
 
   


  

b)
Ma trận điều khiển:
0 1
1 0
ε
 
  
 
det(ε) = -1 ≠ 0: Biểu diễn trạng thái điều khiển được
Hệ thống khi chưa có hồi tiếp trạng thái: Hình 4.12
Hình 4.12 Sơ đồ khối hệ thống chưa có hồi tiếp trạng thái
Hệ thống khi có hồi tiếp trạng thái: Hình 4.13
x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)
+-
r(k) u(k) x(k) y(k)
C
FC =[FC1 FC2]
k0
Hình 4.13 Sơ đồ khối hệ thống có hồi tiếp trạng thái
x(k+1) = Ax(k)+Bu(k)
u(k) x(k)
C
y(k)

Gọi Fc là ma trận hồi tiếp trạng thái: Fc=[Fc1 Fc2] và r(k) là tín hiệu vào mới.
0
0
( 1) Ax( ) ( ( ) ( ))
( 1) ( ) ( ) ( )
c
c
x k k B k r k F x k
x k A BF x k Bk r k
   
    
1 2
1 2
2.5 1
2.5 1 0
A [ ]
( 1 ) (- )
-1 0 1
c c c c
c c
A BF F F
F F
 
   
      
     
     
Phương trình đặc trưng của bộ hồi tiếp trạng thái trong trường hợp này là:
1 2
2
2 1 2
( 2.5) -1
det( A ) det 0
(1 ) (z )
( 2.5) 1 2.5 0
c
c c
c c c
z
zI
F F
z F z F F
  
 
 
  
 
 
 
 
 
 
      
Mà theo yêu cầu bộ hồi tiếp trạng thái có hai cực là 0.8 nên:
2
1.6 0.64 0
z z
  
Đồng nhất hai phương trình trên ta có:
1 2
2
1
2
1 2.5 0.64
2.5 1.6
1.89
0.9
c c
c
c
c
F F
F
F
F
  


  



 


Vậy: [1.89 0.9]
c
F 
Tìm k0:
 
 
1
0
1
1 2 0
( )
( 2.5) -1 0
1 0
(1 ) (z )
C
c c
G z C zI A Bk
z
F F k


 

   
    
 
   
 
0
2
2 2 1
( )
2.5 2.5 1
C C C
k
G z
z F z F F

    
Tín hiệu vào là hàm bước: 1
1
( ) 1( ) ( )
1
r k k R z
z
  

 
0
2 1
2 2 1
1
( ) ( ) (z)
2.5 2.5 1 1
C C C
k
Y z G z R
z F z F F z
  
    
 
     
 
 
   
1 0
2
1 1
2 2 1
0
1 ( )
2.5 2.5 1
1
0.04
k z z
C C C
k
lim y(k) lim z Y z lim
z F z F F
k

  
 
    
 
    
 
 
0 0.04
k
 

Mô hình mô phỏng:
Đối với hệ thống vòng hở ban đầu: Hình 4.14
Hình 4.14 Mô hình hệ thống vòng hở
Mô hình G(z)1 như Hình 4.15
Hình 4.15 Mô hình G(z)1
Hình 4.16 Đáp ứng ngõ ra hệ thống vòng hở

Mô hình mô phỏng hệ thống có hồi tiếp trạng thái với cực 0.8: Hình 4.17
Hình 4.17 Mô hình hệ thống hồi tiếp trạng thái
Đáp ứng ngõ ra hệ thống hồi tiếp trạng thái: Hình 4.18
Hình 4.18 Đáp ứng ngõ ra hệ thống hồi tiếp trạng thái
c) Tính quan sát được
Ta có:
2
1
1 0
. 2.5 1
.
n
C
CA
CA
O
CA 
 
 
 
   
 
   
 
 
 
 
 
 

det(O) = 1 ≠ 0: Biểu diễn trạng thái quan sát được
Bộ quan sát với các cực là 0.5:
1 1
0
2 2
(2.5 ) 1
2.5 1
[1 0]
-1 0 ( 1 ) 0
o o
o o
F F
A
F F

   
 
  
   
   
     
Phương trình đặc trưng của bộ hồi tiếp trạng thái quan sát trong trường hợp
này là:
1
0
2
2
1 2
( (2.5 )) -1
det( ) 0
(1 ) z
(2.5 ) 1 0
o
o
o o
z F
zI A
F
z F z F
 
 
  
 

 
     
Cực quan sát của hệ thống được yêu cầu là 0.5 nên:
2
0.25 0
z z
  
Đồng nhất 2 phương trình trên ta có:
1 1
2 2
2.5 1 1.5
1 0.25 0.75
o o
o o
F F
F F
  
 

 
   
 
d) Sơ đồ điều khiển bằng hồi tiếp trạng thái quan sát: Hình 4.19
Hình 4.19 Mô hình điều khiển bằng hồi tiếp trạng thái quan sát

Mô hình bộ Observer: Hình 4.20
Hình 4.20 Mô hình bộ Observer
Các cực của hệ thống là 0.8 và 0.5
e) Mô phỏng kết quả câu d.
Ngõ ra Y(k) và Y^(k): Hình 4.21
Hình 4.21 Đáp ứng ngõ ra Y(k) và Y^(k)

Ngõ ra X1(k) và X1^(k): Hình 4.22
Hình 4.22 Đáp ứng ngõ ra X1(k) và X1^(k)
Ngõ ra X2(k) và X2^(k): Hình 4.23
Hình 4.23 Đáp ứng ngõ ra X2(k) và X2^(k)
Câu hỏi:
1) Trình bày các bước thiết kế khâu sớm pha rời rạc dùng quỹ đạo nghiệm số
2) Trình bày các bước thiết kế khâu trễ pha rời rạc dùng quỹ đạo nghiệm số
3) Trình bày các bước thiết kế bộ điều khiển PID, bộ điều khiển gán cực, bộ
điều khiển hồi tiếp trạng thái.

Bài tập:
1) Cho hệ thống điều khiển như Hình 4.24.
Máy tính DAC Đối tượng
ADC
+-
r(KT) e(KT) u(KT) y(t)
y(KT)
u(t)
Hình 4.24 Sơ đồ hệ thống điều khiển số
Biết: T = 0.1s,
18
( )
1
G s
s


a) Vẽ sơ đồ rời rạc tương đương. Xác định G1(z)
b) Xác định giải thuật điều khiển máy tính
( )
K( )
( )
U z
z
E z
 sao cho hệ thống
hồi tiếp có các cực bằng 0,5 và sai số xác lập bằng 0 đối với bước nhảy
đơn vị.
c) Xác định giải thuật điều khiển máy tính
( )
K( )
( )
U z
z
E z
 sao cho hệ thống
hồi tiếp có Ts = 1s, PO = 10% đối với bước nhảy đơn vị.
d) Mô phỏng hệ thống ở câu b và c
Giải:
a) Sơ đồ rời rạc tương đương: Hình 4.25
k(z) G1(z)
+-
R(z) E(z) U(z) Y(z)
Hình 4.25 Sơ đồ rời rạc tương đương

1
1 1 18
( ) * ( ) *
1
Ts Ts
e e
G z G s
s s s
 
   
 
   
   

   
1
1
1
0.1 1 1
0.1
0.1
1
18*(1 )*
( 1)
1 1
18*(1 )*
1
1 1
18*(1 )*( )
1 . 1
1
18*
z
s s
z
s s
z
e z z
e
z e



 
 
   

 
 
   
 

 
  
 



b)
Đặt:
0.1 0.1
1
( )
( ) 18*( 1); ( ) ( )
( )
B z
B z e A z z e G z
A z
     
( )
( )
( )
D z
K z
C z

→ Đa thức đặc trưng của hệ kín:
0.1 0.1
( ) ( )* ( ) ( )* ( )
( )* ( ) 18*( 1)* ( )
P z A z C z B z D z
z e C z e D z
 
   
Để cho hệ thống kín có cực là 0.5 thì chọn:
1 2
( ) ; C(z) 1
   
D z d z d z
Khi đó:
0.1 0.1 2
0.1 0.1 2
1 2
2 0.1 0.1 0.1 0.1 2
1 2
0.1 0.1
1 2
0.1 0.1
( )* ( ) 18*( 1)* ( ) ( 0.5)
( )*( 1) 18*( 1)*( ) 0.25
[18*( 1)* 1] ( 18*( 1)* ) 0.25
0.25
;
18*( 1) 18*( 1)
z e C z e D z z
z e z e d z d z z
z e d e z e e d z z
e e
d d
e e
    
        
          

   
 
vậy:
0.1 0.1
1 2
0.1
1 ( 0.25) 0.584 0.452
( ) *
1 18*( 1) 1 1
d z d e z e z
K z
z e z z
   
  
   
c) Nghiệm của đa thức đặc trưng có dạng: 1,2
P a jb
 

im
Re
-b
b
a
P1
P2 3
qd
t

Hình 4.26 Mặt phẳng phức hệ liên tục
   
* ( )
[ 3 ( 4)]*0.1 0.3
ln( /100) ln(10 /100)
100* ( ) 0.7333
3 a 3
a R e 3; b Im 4.1 4
( ) 0.7333
3 ( 4)
(cos( 0.4) *sin( 0.4)) 0.6823 0.2885
0.

   
      

           
       
        
 
s
s
π tg α
s
PT
s z z z
PT j
z
z
PO
PO e tg α
π π
P P
T tg α
P j P e a jb
P e e e j j
a 6823; 0.2885
 
z
b
2 0.1 0.1 0.1 0.1
1 2
2 2
2 2 2
0.1 2 2 0.1
1 2
0.1 0.1
[18*( 1)* 1] ( 18*( 1)* )
( a ) b
2 a b
2a 1 a b
0.3912; 0.294
18*( 1) 18*( 1)
z z
z z z
z z z
z e d e z e e d
z
z a z
e e
d d
e e
      
  
   
    
     
 
Vậy:
1 2
0.1
1 0.7406 0.5564
( ) *
1 18*( 1) 1
0.3912 0.2939
( )
1
d z d z
K z
z e z
z
K z
z
 
 
  



d) Mô phỏng hệ thống ở câu b và c

Mô hình mô phỏng câu b: Hình 4.27
Hình 4.27 Mô hình hệ thống điều khiển gán cực
Đáp ứng ngõ ra với giá trị đặt bằng 10: Hình 4.28
Hình 4.28 Đáp ứng ngõ ra hệ thống điều khiển gán cực
Mô hình mô phỏng câu c: Hình 4.29
Hình 4.29 Mô hình hệ thống rời rạc

Đáp ứng ngõ ra với giá trị đặt bằng 10: Hình 4.30
Hình 4.30 Đáp ứng ngõ ra
2) Cho hệ thống với biểu diễn trạng thái như sau:
( 1) ( ) ( )
y( ) ( )
x k Ax k Bu k
k Cx k
  




Biết:
0 1 0
A ; B ;C [1 0]
8 8 1
   
  
   
   
a) Tìm các cực của hệ thống. Hệ thống có ổn định không?
b) Hệ thống có điều khiển được không? Xác định luật điều khiển bằng hồi
tiếp trạng thái sao cho hệ thống vòng kín có tất cả các cực bằng 0.7.
c) Hệ thống có quan sát được không? Xác định bộ quan sát trạng thái sao
cho đa thức đặc trưng của bộ quan sát có tất cả các nghiệm bằng 0.6.
Giải:
a)
2
1
2
-1
det(z*I-A) 0 det 0
-8 z-8
8* 8 0
8.9
0.9
z
z
z
z z
P
P
 
 
  
 
 
 
 
   


   


b)
0 1
1 8
ε
 
  
 
det(ε) = -1 ≠ 0: Biểu diễn trạng thái điều khiển được
Hệ thống khi chưa có hồi tiếp trạng thái: Hình 4.31
Hình 4.31 Sơ đồ khối hệ thống chưa có hồi tiếp trạng thái
Hệ thống khi có hồi tiếp trạng thái: Hình 4.32
x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)
+-
r(k) u(k) x(k) y(k)
C
FC =[FC1 FC2]
k0
Hình 4.32 Sơ đồ khối hệ thống có hồi tiếp trạng thái
Gọi Fc là ma trận hồi tiếp trạng thái: Fc=[Fc1 Fc2] và r(k) là tín hiệu vào mới.
0
0
( 1) A ( ) ( ( ) ( ))
( 1) ( ) ( ) ( )
c
c
x k x k B k r k F x k
x k A BF x k Bk r k
   
    
1 2
1 2
0 1
0 1 0
A [ ]
(8 ) (8 )
8 8 1
c c c c
c c
A BF F F
F F
 
   
      
     
     
1 2
2
2 1
z -1
det( A ) det 0
( 8) (z 8)
( 8) 8 0
c
c c
c c
zI
F F
z F z F
 
 
 
  
 
 
  
 
 
 
     
2
1.4 0.49 0
z z
  
x(k+1) = Ax(k)+Bu(k)
u(k) x(k)
C
y(k)

1
2
1
2
8 0.49
8 1.4
8.49
6.6
c
c
c
c
F
F
F
F
 


  



 


Vậy: [8.49 6.6]
c
F 
Luật điều khiển bằng hồi tiếp trạng thái:
0
( ) ( ) . ( )
C
u k k r k F x k
  , với k0 = 0.09
c)
Ta có:
2
1
1 0
. 0 1
.
n
C
CA
CA
O
CA 
 
 
 
   
 
   
 
 
 
 
 
 
det(O) = 1 ≠ 0: Biểu diễn trạng thái quan sát được
Bộ quan sát với các cực là 0.5:
1 1
0
2 2
( ) 1
0 1
[1 0]
8 8 (8 ) 8
o o
o o
F F
A
F F

   
 
  
   
  
     
Phương trình đặc trưng của bộ hồi tiếp trạng thái quan sát trong trường hợp
này là:
1
0
2
2
1 2 1
( ) -1
det( ) 0
( 8 ) z-8
( 8) 8 8 0
o
o
o o o
z F
zI A
F
z F z F F

 
  
 
 
 
      
Cực quan sát của hệ thống được yêu cầu là 0.6 nên:
2
1.2 0.36 0
z z
  
Đồng nhất 2 phương trình trên ta có:
2 1 1
1 2
8 8 0.36 6.8
8 1.2 62.76
o o o
o o
F F F
F F
   
 

 
   
 

3) Cho hệ thống điều khiển động cơ điện 1 chiều như Hình 4.33
ZOH Gkd(s) Gdc(s)
+-
r*(t) y(t)
u(t)
T
Hình 4.33 Sơ đồ khối hệ thống điều khiển động cơ điện 1 chiều
Trong đó:
(s)
1
k
kd
k
K
G
T s


: là hàm truyền của khâu khuếch đại, với: Kk = 80; Tk = 0.02s.
2
1 2 2
(s)
1
d
dc
K
G
TT s T s

 
: là hàm truyền của động cơ, với: Kd = 6,5; T1 = 0,2s; T2
= 0,25s; T = 0.005s.
a) Tìm hàm truyền đạt của hệ kín
b) Kiểm tra tính điều khiển được và quan sát được của hệ thống
c) Kiểm tra tính ổn định của hệ thống
d) Vẽ đáp ứng bước của hệ thống. Nhận xét kết quả?
e) Thiết kế bộ điều khiển PID số
f) Xác định ma trận hồi tiếp trạng thái sao cho hệ thống hồi tiếp có các cực
bằng 0,7.
Hướng dẫn:
a) Hàm truyền đạt của hệ kín:
G = tf(80, [0.02 1])*tf(6.5, [0.2*0.25 0.25 1])
Kết quả:
  
2 2
1 2 2
520
( ) ( ) (s)
1 1 0.02 1 0.05 0.25 1
k d
kd dc
k
K K
G s G s G
T s TT s T s s s s
  
  
  
     
 
 
G1 = c2d(G,0.005)
Kết quả:
2
1 3 2
0.01012 0.03785 0.008824
( )
2.754 2.513 0.7596
z z
G z
z z z
 

  

Gk=feedback(G1,1)
Kết quả:
2
3 2
0.01012 0.03785 0.008824
( )
2.743 2.551 0.7507
k
z z
G z
z z z
 

  
Phương trình trạng thái hệ hở:
[A,B,C,D]=ssdata(G1)
Kết quả:
A =
2.7536 -1.2566 0.7596
2.0000 0 0
0 0.5000 0
B =
0.2500
0
0
C =
0.0405 0.0757 0.0353
D = 0
b) Tính điều khiển được:
CO=[B A*B A^2*B]
CO =
0.2500 0.6884 1.2673
0 0.5000 1.3768
0 0 0.2500
det(CO) = 0.0313 ≠ 0 nên hệ thống điều khiển được
Tính quan sát được:
O = [C ; C*A ; C*A^2]
O =
0.0405 0.0757 0.0353
0.2629 -0.0332 0.0308
0.6575 -0.3150 0.1997

det(O) = -0.0045 ≠ 0 nên hệ thống quan sát được.
c) Kiểm tra tính ổn định của hệ thống:
3 2
2.743 2.551 0.7507 0
z z z
   
HS=[1 -2.743 2.551 -0.7507]
Nghiệm của PTĐT:
zz=roots(HS)
zz =
1.0831 + 0.3584i
1.0831 - 0.3584i
0.5767
Nhận xét:
1 2 1.14 1
z z
   nên hệ không ổn định
d) Đáp ứng bước của hệ thống: Hình 4.34
step(Gk,0.2)
Nhận xét: Hệ thống không ổn định.

e) Bộ điều khiển PID
Sơ đồ simulink: Hình 4.35
Hình 4.35 Sơ đồ simulink hệ thống
Chọn tune trong bộ điều khiển PID để lấy các thông số KP, KI, KD:
KP = 0.000379186457114193
KI = 0.000758372914228386
KD = 0
Đặc tính quá độ của hệ: Hình 4.36
Hình 4.36 Đáp ứng quá độ của hệ
f) Ma trận hồi tiếp trạng thái:
Gọi Fc là ma trận hồi tiếp trạng thái: FC=[FC1 FC2 FC3] và r(k) là tín hiệu vào
mới.
( 1) Ax( ) ( ( ) ( ))
( 1) ( ) ( ) ( )
c
c
x k k B r k F x k
x k A BF x k Br k
   
    

1 2 3
1 2
2.7536 -1.2566 0.7596 0.25
A 2 0 0 0 [ F ]
0 0.5 0 0
2.7536 0.25 -1.2756 - 0.25F 0.7507 0.2
c c c c c
c c
A BF F F
F
   
   
   
   
   
   
 

3
5
2 0 0
0 0.5 0
c
F
 
 
 
 
 
   
3 2
1 2 3
det( A ) 0
0.25 2.7536 2.5512 0.5 0.25 0.7507 0
c
c c c
zI
z F z F z F
 
       
3 2
1.8 1.08 0.216 0
z z z
   
1
2
3
1
2
3
0.25 2.7536 1.8
2.5512 0.5 1.08
0.25 0.7507 0.216
3.8144
2.9424
2.1388
c
c
c
c
c
c
F
F
F
F
F
F
  


 

   




  

 

k0 = 0.3026
Mô hình mô phỏng hệ thống hồi tiếp trạng thái với cực bằng 0.7: Hình 4.37
Hình 4.37 Mô hình hệ thống hồi tiếp trạng thái

Đáp ứng ngõ ra hệ thống hồi tiếp trạng thái: Hình 4.38
Hình 4.38 Đáp ứng ngõ ra hệ thống hồi tiếp trạng thái
4) Cho mô hình đối tượng hệ bồn nước đôi như Hình 4.39.
Hình 4.39 Mô hình hệ bồn nước đôi
Biết mô hình toán đối tượng như sau:

Trong đó:
a1 = 1 cm2
: Tiết diện van xả bồn 1 (cm2
)
a2 = 1.2 cm2
: Tiết diện van xả bồn 2 (cm2
)
a12 = 1.8 cm2
: Tiết diện van thông nhau giữa hai bình (cm2
)
A =85 cm2
: Tiết diện ngang bồn chứa (cm2
)
h1(t) : Chiều cao mực chất lỏng bồn 1 (cm)
h2 (t) : Chiều cao mực chất lỏng bồn 2 (cm)
Up : Điện áp một chiều cung cấp cho bơm (V)
Kp1 = 28 V/cm3
.s : Hằng số bơm (V/cm3
.s)
Kp2 = 17 V/cm3
.s : Hằng số bơm 2 (V/cm3
.s)
Cd1 = Cd2 = Cd12 = 0.652 : Hằng số xả van a1
g = 981 cm/s2
: Gia tốc trọng trường
qin1, qin2 là lưu lượng nước bơm 1 và bơm 2 bơm vào bồn 1, 2.
qout1, qout2 là lưu lượng nước chảy ra ngoài bồn 1, 2.
qout1_2, qout2_1 là lưu lượng nước từ bồn 1 qua bồn 2 và ngược lại.
Hãy thiết kế, mô phỏng bộ điều khiển PID số cho hệ thống trên matlab.
Hướng dẫn:
+ Thiết kế mô hình đối tượng:
Mô hình đối tượng được tạo bằng hàm S-function:
1 1 1 1 1 1 2 12 12 1 2
1
1
( ) ( ( ) - 2 ( ) sgn( ( ) ( )) 2 ( ) ( )
d
h t k u t a C gh t h t h t a Cd g h t h t
A

 
 
 
   
2 2 2 1 2 12 12 1 2 2 2
2
1
( ) ( ) sgn( ( ) ( )) 2 ( ) ( ) 2 ( )
d
h t k u t h t h t a Cd g h t h t a C gh t
A

 
 
 
    

Trong đó:
(1/A)*(k1*u(1) - a1*Cd1*sqrt(2*g*abs(u(3))) - sgn(u(3) - u(4))*a12*Cd12
*sqrt(2*g*abs(u(3)-u(4)))) = f1(u)
(1/A)*( k2*u(2) +sgn(u(3) - u(4))*a12*Cd12*sqrt(2*g*abs(u(3) - u(4)))- a2
*Cd2*sqrt(abs(2*g*u(4))) ) = f2(u)
+ Thiết kế bộ điều khiển PID:
Bộ điều khiển PID1: Kp = 54, td = 0.9, ti =0
Bộ điều khiển PD2: Kp = 4.3, td = 0.8, ti = 0
+ Sơ đồ khối bộ điều khiển PID cho hệ thống bồn nước:

+ Kết quả mô phỏng đối với bồn 1:
+ Kết quả mô phỏng đối với bồn 2:
5) Giống bài 3, với: Kk = 100; Tk = 0.08s, Kd = 8.6; T1 = 0,4s; T2 = 0,5s; T =
0.01s.
a) Tìm hàm truyền đạt của hệ kín
b) Kiểm tra tính điều khiển được và quan sát được của hệ thống
c) Kiểm tra tính ổn định của hệ thống

d) Vẽ đáp ứng bước của hệ thống. Nhận xét kết quả?
e) Thiết kế bộ điều khiển PID số
f) Xác định ma trận hồi tiếp trạng thái sao cho hệ thống hồi tiếp có các cực
bằng 0,6.
6) Cho hệ thống rời rạc như Hình 4.40. Biết:
1
0 2
1
G( s ) ; T . s
s( s )
 

GC(z) ZOH G(S)
+-
R(s)
T
e(k) u(k) C(s)
a) Thiết kế bộ điều khiển sớm pha Gc(z) sao cho hệ thống sau khi hiệu
chỉnh có cặp cực quyết định với  
0 5 8
n
. ; rad / s
 
 
b) Vẽ đáp ứng bước của hệ thống bằng matlab.
Đáp số:
a)
 
  
1
0.01873 0.9356
( )
1 0.8187
z
G z
z z


 
1
1
1 0.8187
( ) 13.934
1 0.1595
C
z
G z
z


 

  

 
b) Đáp ứng ngõ ra: Hình 4.41
Hình 4.41 Đáp ứng ngõ ra hệ thống điều khiển sớm pha

7) Cho mô hình toán của lò nhiệt có hàm truyền sau:
1
2
(s)
1
T s
e
G K
T s



Trong đó:
K = 4: là hệ số khuếch đại
T1 = 5s: là thời gian trễ
T2 = 100s: là hằng số thời gian
a) Thiết kế bộ điều khiển PID số
b) Kiểm tra tính điều khiển được của hệ thống?
c) Xác định ma trận hồi tiếp trạng thái sao cho hệ thống hồi tiếp có các
cực bằng 0,7.
Hướng dẫn:
a) Bộ điều khiển PID số:
Tuyến tính hóa hàm truyền G(s) ta được:
     
1 2
4
(s)
1 1 1 5 1 100
K
G
T s T s s s
 
   
Sơ đồ khối bộ điều khiển PID:

Các thông số bộ điều khiển PID: Kp = 0.57, ti = 0.005235073079, td = 0
Kết quả mô phỏng:
b) Tính điều khiển được của hệ thống:
PTTT hệ hở:
G = tf(4, conv([5 1],[100 1]));
G1 = c2d(G,0.5);
[A,B,C,D]=ssdata(G1)
Kết quả:
A =
1.8998 -0.9003
1.0000 0
B =
0.0313
0
C =
0.0309 0.0298
D = 0
CO=[B A*B]
CO =
0.0313 0.0594
0 0.0313
det(CO) = 9,7656.10-4
≠ 0 nên hệ thống điều khiển được

Giáo trình Điều khiển số.pdf

Giáo trình Điều khiển số.pdf

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Giáo trình Điều khiển số.pdf

Similar to Giáo trình Điều khiển số.pdf (20)

More from Man_Ebook

More from Man_Ebook (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Giáo trình Điều khiển số.pdf