Αποκλειστικά από το lisari

1. Ραϊκόφτσαλης Θωμάς
οδρόμοςπροςτιςεξετάσεις
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ! ΛΥΚΕΙΟΥ
20 προτεινόμεναθέματα
AΜιγαδικοί Αριθμοί

3. A Μιγαδικοί
1
Μέρος Α
Θέμα 1
Έστω η εξίσωση:   3
: z 3z 0, z , ,         για την οποία γνωρίζουμε ότι εχει
ρίζα τον μη πραγματικό αριθμό 0z .
i. Να αποδειχθεί ότι 0z 1.
ii. Αν γνωρίζουμε ότι 0z 1 i, 0,     να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί , . 
iii. Για 14   να λυθεί στο , η εξίσωση  .
Υπόδειξη
i.  
3
3
0 0 0 0z 3z 0 z 3z 0.         Αφαίρεση κατά μέλη και τριγωνική ανισότητα.
ii.      3
1 i 3 1 i 0 ... 6, 14 .              
iii. 1 2 3z 1 i 6, z 1 i 6, z 2.     
Θέμα 2
Έστω ο μιγαδικός w για τον οποίο ισχύει:  
2 2
2 w 3 2w 1 : E .  
i. Να αποδειχθεί ότι 2
w .
 ii. Να βρεθεί ο w.
iii. Να λυθεί η εξίσωση:  
2 21 1
2 z 3 i 2 z i 2 ,  
      θετικός ακέραιος.
Υπόδειξη
i. Προφανές. ii.  
2
2 2 19
w w w ... w .
12

     
iii.    
2 22 21 1 19
2 z 3 i 2 z i 2 ... 2 z i 3 2 z i 1 ... z i.
12
  
               
 
 z i w
2 2 19
2 z 3 i 2 z i 1 ... z i.
12
 
        
Θέματα Εξετάσεων – Α: Μιγαδικοί αριθμοί

4. Μαθηματικά Κατεύθυνσης 
2
Θέμα 3
Έστω z  ώστε z 1 i z    : 1 .
i. Να βρεθούν:
 ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z x iy  , x, y ,
 η σχέση που συνδέει τα x, y .
ii. Να αποδειχθεί ότι, αν οι μιγαδικοί 1 2 3 4 2014z ,z ,z ,z ,...,z ικανοποιούν την  1 , τότε:
1 2 3 4 2014z z z z ... z 0      .
iii. Εάν για τους μιγαδικούς z  ισχύει:  z i Im z 1   , να βρεθεί ο
γεωμετρικός τόπος των εικόνων των z .
Υπόδειξη
i. z x yi  , x,y , οπότε: x yi 1 i x yi ... y x 1.         … ημιεπίπεδο 1H .
ii. Εις άτοπο.
iii. Ο γ.τ είναι το τμήμα της παραβολής
2
x
y
4
 που βρίσκεται στο ημιεπίπεδο  H .
Θέμα 4
Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί: z x yi  , x, y και w i   , , . 
A. Αν  w 4 3 i z 5 i z   , να βρεθούν:
i. Ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των w .
ii. Ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των z , όταν w 2 5 .
B. Αν ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των z είναι ο κύκλος με κέντρο την αρχή
των αξόνων και ακτίνα 2 και ισχύει:
1
w z
z
  , τότε:
i. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των w .
ii. Να βρεθούν τα: max w z και min w z .

5. A Μιγαδικοί
3
Υπόδειξη
Αi. x 2y 0  .
Αii Ζεύγος παραλλήλων ευθειών x 2y 1 0   , x 2y 1 0   .
Βi Είναι:
2 2
x y 4
...1
i x yi
x yi
  


     
έλλειψη με εξίσωση
2 2
2 2
x y
1
5 3
2 2
 
   
   
   
.
Β ii
1
max w z min w z
2
    .
Θέμα 5
A. Για κάθε ζεύγος μιγαδικών αριθμών u,w , να δείξετε ότι ισχύει:
i.
2 2 2 2
u w u w 2 u 2 w     .
ii.    2 2 2
1 u 1 w u w .    
B. Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί u, w, z για τους οποίους ισχύουν:
u w 3z 1 i,    u w z 3 3i,    iz 1 i 1.  
i. Να βρεθούν οι u,w συναρτήσει του z .
ii. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων  του z στο μιγαδικό επίπεδο.
iii. Να βρεθεί η ελάχιστη και η μέγιστη τιμή της παράστασης:
2 2
3z 1 i z 3 3i .      
Υπόδειξη
A.i
2 2
u w u w ...    
2 2
2 u 2 w .
A.ii Αρκεί να δείξουμε ότι:    2 2 2
1 u 1 w u w ...       …
Β.i
u w 3z 1 i u 2z 2 2i
... .
u w z 3 3i w z 1 i
       
  
       

6. Μαθηματικά Κατεύθυνσης 
4
Β.ii Κύκλος με κέντρο  1, 1   και ακτίνα 1  .
Β.iii Έχουμε:
2 2
3z 1 i z 3 3i ...                
2 2
2z 2 2i z 1 i 2z 2 2i z 1 i ...            

2 2
2 u 2 w ...  
 Bii
2 2 22
8 z 1 i 2 z 1 i 8 1 2 z 1 i            
2
8 2 z 1 i    : 1 .
Αν  C ο κύκλος με κέντρο  1, 1   και ακτίνας 1  ,  1,1 η εικόνα του μιγαδικού 1 i,
 M x, y η εικόνα του z x yi  , x, y και ,  τα σημεία στα οποία τέμνει η ευθεία  τον
κύκλο  C , είναι: M      … 26 8 2 26 8 2.    
Θέμα 6
Έστω ο μιγαδικός z.
A. Να αποδειχθούν τα εξής:
i. 2 2
z z z z 2 2.    
ii. z z 1 z 1 z 2 .     
B. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των μιγαδικών z που ικανοποιούν τη συνθήκη:
z z 1 z 2 z 3 4.      
Υπόδειξη
Αi. Τριγωνική ανισότητα.
Αii.    
2 22 2
z z 1 z 1 z 2 z z 1 z 1 z 2 .. z z z z 2. 2                    …
Β. Αν  M x, y ,  0,0 ,  1,0 ,  2,0 και  3,0 τότε είναι: z z 1 z 2 z 3 4 ...        
        4.        Ο γ.τ είναι το ευθύγραμμο τμήμα AB, με  1,0 και  2,0 .
Θέμα 7
A. Για τον μιγαδικό z ισχύει: 2 2 2
z 2iz 1 z 2iz 1 2 z 1       .
i. Να δειχθεί ότι z i z i   .
ii. Να δειχθεί ότι ο z . 
Β. Για κάθε ζεύγος μιγαδικών αριθμών 1 2z ,z  , να αποδείξετε ότι ισχύει:

7. A Μιγαδικοί
5
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2z z z z 2 z 2 z .    
Γ. Έστω ο μιγαδικός  w 1 2i 5 i      , .
i. Να αποδειχθεί ότι η εικόνα του μιγαδικού w ανήκει σε κύκλο, του οποίου να
βρείτε το κέντρο και την ακτίνα.
ii. Αν 1 2w ,w , ώστε:
 1 2w 1 2i w 1 2i 5      ,
 1 2w w 10  ,
να αποδειχθεί ότι 1 2w w 2 5. 
Υπόδειξη
A.i Εύκολο.
A.ii Λόγο Αi.
B
2 2
u w u w ...    
2 2
2 u 2 w .
Γ.i Κύκλο κέντρου  K 1, 2 και ακτίνας 5. 
Γ.ii Χρησιμοποίησε το Γi και δείξε ότι 1 2w w 2 4i,   οπότε 1 2w w 2 5. 
Θέμα 8
Δίνονται:
 ο πραγματικός αριθμός 0  ,
 η εξίσωση  E : 4 3 2 2
z 2z 5z 4z 12 0       , z  .
Αν ο μιγαδικός q είναι μια ρίζα της  E και 2
w q q  , τότε:
i. Να αποδεχθεί ότι q 1 .
ii. Να βρεθεί το w (σε συνάρτηση του α).
iii. Αν 2,  να αποδειχθεί ότι 17 16 17
w 4w 4   .
Υπόδειξη
i. Εις άτοπο απαγωγή.

8. Μαθηματικά Κατεύθυνσης 
6
ii. 4 3 2 2
q 2q 5q 4q 12 0 ...         2 2
w 4w 12 0,     όπου 2
w q q. 
Είναι 2
w 12.  
iii. 2 2 3 3 3 3
w 4w 2 12 0 ... w 4 0 w 4 ...          
Θέμα 9
A. Για κάθε μιγαδικό z να αποδειχθεί η ταυτότητα:
   
2 2
2 z z : E .z 1 z 1    
B. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει:
i. z 1 z 1 2.   
ii. z z 1 z z 1 .    
Υπόδειξη
Α
2 2
z 1 z 1         z 1 z 1 z 1 z 1 ...      Βi Ευθ. τμήμα  με  A 1, 0 και  B 1, 0 .
Βii
2 2
z z 1 z z 1 z z 1 z z 1 ...            
 z z 0 ή z 1 z 1 2 z ή z 1 z 1 2,              άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων
των μιγαδικών αριθμών z, είναι: ή η ευθεία x 0 ( y y) ή το ευθύγραμμο τμήμα  (λόγω του Bi).
Θέμα 10
Έστω:
 ο μιγαδικός αριθμός
5 3i 3
z ,
1 2i 3



 ,B αντίστοιχα οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών z, z και  z , 0 στο μιγαδικό
επίπεδο.
i. Να γραφεί ο μιγαδικός αριθμός z στη μορφή i, , .    
ii. Να αποδειχθεί ότι 3
z .
iii. Να αποδειχθεί ότι το τρίγωνο  είναι ισόπλευρο.
Υπόδειξη

9. A Μιγαδικοί
7
i. z 1 i 3.   ii. 3
z 8. iii.      AB B 2 3.    
Θέμα 11
Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί: z 0, 1  και  
z 1
w z .
z 1



i. Να αποδειχθεί ότι  
1
w z w 0.
z
 
  
 
ii. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z για τους
οποίους ισχύει:    w z w z .
iii. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z για τους
οποίους ισχύει:    w z w 2i .
Υπόδειξη
i. Πράξεις.
ii. Ο γ.τ είναι τα σημεία του άξονα x x εξαιρουμένων μόνο των σημείων  O 0,0 και  A 1,0 .
iii. Ο γ.τ είναι τα σημεία του άξονα y y εξαιρουμένου μόνο του σημείου  O 0,0 .
Θέμα 12
Έστω οι διαφορετικοί μιγαδικοί z, w, για τους οποίους ισχύει ότι:
 3 2 3 2 2
z w z 2wz z w wz 2z w,      
 η εικόνα A του z ανήκει στον κύκλο   2 2
1C : x y 2x 0.  
i. Να αποδειχθεί ότι z 1 iw. 
ii. Να αποδειχθεί ότι η εικόνα B του w ανήκει σε σταθερό κύκλο 2(C ) .
iii. Να βρεθεί η μέγιστη τιμή της απόστασης των εικόνων των z , w καθώς και οι
αντίστοιχες τιμές των z , w . (Να προσεχθεί ιδιαίτερα το ερώτημα )
iv. Να αποδειχθούν τα εξής:
1. Αν z 1 iw  , τότε τα σημεία O,A,B είναι συνευθειακά.
2. Αν z 1 iw  , τότε το τρίγωνο AOB:

α. Έχει σταθερό εμβαδόν.
β. Δεν είναι ισόπλευρο.

10. Μαθηματικά Κατεύθυνσης 
8
Υπόδειξη
i. 3 2 3 2 2
z w z 2wz z w wz 2z w        … 2 2 2
(z 1) i w 0     …
ii. z 1 iw ...    η εικόνα του w ανήκει στον κύκλο 2 2
2C : x y 1  .
iii. Η μέγιστη τιμή της απόστασης των εικόνων των z , w είναι 1 2 και επιτυγχάνεται για
2 2 2
z i
2 2

  και
2 2
w i
2 2
   ή
2 2 2
z i
2 2

  και
2 2
w i .
2 2
  
iv. 1. Αν w x yi , x, y ,    τότε:  
1 y x
det OA,OB ... 0.
x y

  
 
iv. 2. α. Αν w x yi , x, y ,    τότε:  
1 y x
det OA,OB ... 2.
x y

  
 
v. 2.β. Για να είναι ισόπλευρο το AOB

πρέπει:
1
y
2(OA) (OB)
1
(AB) (OA) ... x ,
2
(AB) (OB)
x y 1

 
 
 
    
   


άρα
1 1
(x, y) , .
2 2
 
  
 
Αλλά 2 2 1 1 1
x y 1 1 1
4 4 2
       που είναι αδύνατο.

11. A Μιγαδικοί
9
Μέρος Β (Σύνθετα Θέματα)
Θέμα 13
Έστω z  τέτοιος ώστε
2 i
z
2 i
 

 
,    .
i. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z .
ii. Αν 1 2z ,z δύο από τους z , να δείξετε ότι 1 2
5
z z
2
  .
iii. Να βρεθούν (αν υπάρχουν)
 η ελάχιστη τιμή του μέτρου z ,
 η μέγιστη τιμή του μέτρου z .
Υπόδειξη
i. Τα σημεία του κύκλος,
3
0,
4
 
  
 
, 5
4
  , εξαιρουμένου ενός σημείου.
iii.
1
min z ,
2
 για
1
z i.
2
 max z δεν υπάρχει.
Θέμα 14
Δίνεται η εξίσωση   2 2
E : z 2 z n 1 0         , z  , 0  .
Α) Να δειχθεί ότι οι ρίζες της  E είναι μη πραγματικοί μιγαδικοί αριθμοί.
Β) Να βρεθεί το ελάχιστο μέτρο των ριζών της  E .
Γ) Αν 1 2z , z οι ρίζες της  E να δειχθεί ότι:  1 2
2
2z z
1 2
e
e z z
4

  .
Υπόδειξη
Α)  2
4 1 n f( )          , όπου,  2
f( ) 4 1 n        , 0  .
 
1
8 1
2
f ( )
 
     
   

, f( ) 4 4 0.         
Β) Είναι: 1 2z z και 2 1z z , επομένως,
2 2
1 1 1 1 2z z z z z n 1 h( )           , όπου

12. Μαθηματικά Κατεύθυνσης 
10
2
h( ) n 1      , 0  . Είναι:  2 1
h ( ) 2 1 ,
 
     

0  ….
Τελικά: 1 2 minmin min
3 n2
z z h
2

  

.
Γ) Τύποι Vieta: 1 2z z 2   , 2
1 2z z n 1     .
 
1 2z z
2
1 2
e
...
z z

 

2 2
n 2
e e e e
g( )
4 e 4
 

    
 
, 0  ,
  
2
1
3
e
g ( ) ... 1 1 ,
2
 
       

0  .
Για κάθε 0  ισχύει:
 
1 2z z 2
min 2
1 2
e e
g( ) g
4z z

   

και επειδή,  2
1 2z z 4 0    ,
έπεται ότι,  1 2
2
2z z
1 2
e
e z z
4

  .
Θέμα 15
Δίνονται:
 ο θετικός πραγματικός αριθμός ,
 ο μιγαδικός αριθμός z 9 i,  για τον οποίο ισχύει:    2 3
Im z Im z ,
 η συνάρτηση f : ,  για την οποία ισχύει:
 
x 4
f x z x ,  για κάθε x . 
Να βρεθούν:
i. Ο αριθμός z. ii. Ο αριθμός  f 0 .
iii. Το όριο:
x
x 0
z 1
im .
x

 iv. Ο αριθμός  f 0 .
Υπόδειξη
i. z 9 15i.  ii. Από  
x 4
f x z x ,  θέτοντας x 0, βρίσκουμε  f 0 1.
iii.
 
0
x
0
x 0 D.L.H
z 1
im ... n 306.
x
 
 
 


  

13. A Μιγαδικοί
11
iv.    
   
x x
x x 4 34
x 0
f x z f x z
f x z x f x z x x ... im 0.
x x
 
         
       
 
x x
6
x 0 x 0
f x z z 1f x f 0
im im ... n 306 f 0 n 306.
x 0 x x 
  
      
   
   
Θέμα 16
Δίνονται:
 οι πραγματικοί αριθμοί , ,  με ,  
 οι μιγαδικοί αριθμοί z με z   και z ,  για τους οποίους ισχύει:
2z ,     
 η συνάρτηση f : ,  με  
x x
z z
f x .
   
 
 
        
 
i. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z.
ii. Να μελετηθεί η συνάρτηση f, ως προς τη μονοτονία.
iii. Να λυθεί, ως προς x ,  η εξίσωση:
x x x
z z .      
Υπόδειξη
i. Ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z,
είναι όλα τα σημεία M του επιπέδου, με  M A ,0 
και  M B ,0 ,  τα οποία ανήκουν στον κύκλου  C
που έχει εξίσωση: z 0 i 0.
2 2
    
     
 
ii. Γνησίως φθίνουσα στο .
iii. Δείξτε ότι    
 «1: 1»f
f x f 2 x 2.

  
Θέμα 17
Έστω η συνάρτηση  f : 1,1 ,   με  
1
2 2x 2x 1 x 1
2
f x
1
2 2x 2x 1 1 x
2

     
 
       

και
οι μιγαδικοί αριθμοί z με z 1.
i. Να βρεθεί το σύνολο τιμών της συνάρτησης f.

14. Μαθηματικά Κατεύθυνσης 
12
ii. Να αποδειχθεί ότι  2
1 z 1 z z 1 z 2Re z 1 .       
iii. Να αποδειχθεί ότι 2 13
3 1 z 1 z z .
4
     
Υπόδειξη
i.   f 1,1 
13
3, .
4
 
   ii.
1
z
z
2
1 z 1 z z ...
 
 
 
       z 1 2Re z 1.   
iii. Αν θέσουμε z x yi,  x, y , τότε… 2
1 z 1 z z      1 z 2Re z 1   
  
1
2 2x 2x 1 x 1
2 f x ,
1
2 2x 2x 1 1 x
2

     

       

οπότε: 2 13
3 1 z 1 z z .
4
     
Θέμα 18
Έστω:
 H παραγωγίσιμη συνάρτηση f : ,  με  f 1 2,   f 1 0, για την οποία
ισχύει:    xf x 2f x x,   για κάθε x . 
 Οι άνισοι μη μηδενικοί μιγαδικοί αριθμοί z,w για τους οποίους ισχύουν:
   z f w w f z ,  
z
z x w ,
2
   για κάθε x . 
i. Να βρεθεί η συνάρτηση f.
ii. Να αποδειχθεί ότι z w .
iii. Να αποδειχθεί ότι ο αριθμός
z w
z w


είναι φανταστικός.
iv. Να αποδειχθεί ότι  
23
Re z w z .
2
  
v. Να υπολογισθεί το όριο:  2 2
2x
t f x x
x
x
im e dt.
 
 
Υπόδειξη

15. A Μιγαδικοί
13
i.    
2
2
2
x x x 0
f x 0 x 0 f x x x, x .
x x x 0
   

      
   

ii.    
  2
f x x x
z f w w f z
 
    … iii. Δείξτε ότι
z w z w
.
z w z w
  
  
  
iv.
 2 z w 0
2z z
z x w z x w ...
2 4
 
          
2
2 2 3
x 2x Re zw 0, x ...
4

    
v. Κριτήριο παρεμβολής,  2 2
2x
t f x x
x
x
im e dt . 

 
Θέμα 19
Δίνονται:
 η συνεχής και γνησίως αύξουσα συνάρτηση g : . 
 οι μιγαδικοί αριθμοί: 1z 1 2i,  2z 7 2i  και w, με 1w z .
Αν για κάθε x  ισχύει:        1 2w z g x 1 w z g 2 x 1 0 : E .       τότε:
i. Να αποδειχθεί ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών w είναι μια
ευθεία  .
ii. Αν  1A z και  2B z να αποδειχθεί ότι  AB . 
iii. Να αποδειχθεί ότι για κάθε x  ισχύει:    g x g 2 x 2.  
iv. Να επιλυθεί στο  η ανίσωση:  g x 1.
v. Να υπολογισθεί το  
2
0
g x dx.
Υπόδειξη
i. Δείξτε ότι  1 2w z w z : .    Η ευθεία  : 3x 2y 12 0.   
ii.   ... 1.
   
iii. Από τη σχέση  E λόγω της   …    g x g 2 x 2,    x : T .

16. Μαθηματικά Κατεύθυνσης 
14
iv. Από την  T δείξτε ότι  g 1 1 και μονοτονία της g.
v. Ολοκληρώστε τη σχέση  T από 0 έως 2.  
2
0
g x dx 2.
Θέμα 20
Δίνονται:
 η συνεχής συνάρτηση  g : 0,1 ,  ώστε  
1
0
g t dt 2,
 οι μιγαδικοί αριθμοί:      
1
0
1
w g t dt i g t dt, 0,1 .
2


    
i. Να αποδειχθεί ότι οι εικόνες των μιγαδικών w ανήκουν σε μια ευθεία   της
οποίας να βρεθεί η εξίσωση.
ii. Να αποδειχθεί ότι υπάρχει μιγαδικός mw , με m
2 5
w min w .
5
 
iii. Να αποδειχθεί ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα  0 0,1 ,  ώστε  
0
0
4
g t dt .
5


iv. Αν ο μιγαδικός mw με m
2 5
w min w
5
  προκύπτει από δυο διαφορετικές
τιμές  1 2, 0,1   με 1 2 ,   να αποδειχθεί ότι υπάρχει  0,1 , ώστε
 g 0. 
Υπόδειξη
i. Θέτουμε w i, , ,     οπότε …  : 2 2.    
ii. 2
w ... 5 8 4      οπότε για
4
5
  έχουμε
2 5
min w .
5

iii. Θεωρούμε τη συνάρτηση      
0
5 g t d 8, 0,1

     και Bolzano.
iv. Αν ο μιγαδικός mw με m
2 5
w min w
5
  προκύπτει από τις τιμές  1 2, 0,1   με 1 2 ,  

17. A Μιγαδικοί
15
έχουμε:            
1 2 1 2
1 2
1 1
m
0 0 0 0
w g t dt 2i g t dt g t dt dt 2i g t dt g t dt g t dt.
   
 
          
Rolle για τη συνάρτηση    
x
0
G x g t dt  στο  1 2, . 

18. Μαθηματικά Κατεύθυνσης 
16