7η και 8η διάλεξη - Διανύσματα, Πίνακες, Πράξεις, Ομογενή Συστήματα

Διανύσματα & Ευθείες

΄Αλλες πράξεις

Γραμμική ΄Αλγεβρα
Διανύσματα, Πίνακες και Πράξεις
Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας

30 Οκτωβρίου 2013



Διαδικαστικά

Αντί του σημερινού φροντιστηρίου θα πραγματοποιηθεί
αναπλήρωση διάλεξης.
Απο σήμερα οι (σωστές) απαντήσεις των ερωτήσεων θα
μετράνε θετικά στον τελικό βαθμό.



΄Ασκηση

΄Εχει το παρακάτω σύστημα λύση;
2 sin α − cos β + 3 tan γ = 3
4 sin α + 2 cos β − 2 tan γ = 10
6 sin α − 3 cos β + tan γ = 9



Διανύσματα και Πίνακες

x2 + 2 x3 − x4
x1 + x3 + x4
−x1 + x2 − x4
2 x2 + 3 x3 − x4

=1
=4
=2
=7




x2 + 2 x3 − x4
x1 + x3 + x4
−x1 + x2 − x4
2 x2 + 3 x3 − x4


0
 1
A=
 −1
0

1
0
1
2


2 −1
1 1 

0 −1 
3 −1

=1
=4
=2
=7




x2 + 2 x3 − x4
x1 + x3 + x4
−x1 + x2 − x4
2 x2 + 3 x3 − x4


0
 1
A=
 −1
0

1
0
1
2


2 −1
1 1 

0 −1 
3 −1

=1
=4
=2
=7


1
4
b= 
2
7





x2 + 2 x3 − x4
x1 + x3 + x4
−x1 + x2 − x4
2 x2 + 3 x3 − x4


0
 1
A=
 −1
0

1
0
1
2


2 −1
1 1 

0 −1 
3 −1

=1
=4
=2
=7


1
4
b= 
2
7



x1
x 
x = 2 
 x3 
x4




Διανύσματα

Ορισμός - Διάνυσμα είναι ένα σύνολο αριθμών
διατεταγμένων σε μια σειρά.
Συμβολισμός
x1
 x 
x ∈ Rn ⇒ x =  2  , xi ∈ R, i = 1, . . . , n
 ... 
xn
Στοιχεία διανύσματος - xi είναι η i-στη
συνιστώσα του διανύσματος x.



Πράξεις με διανύσματα











x1 + y1
  x +y
 

2
  2
 

x, y ∈ Rn , x + y = 
=
+
.
.
 
 

.
xn + yn


 
x1
αx1
 x   αx 
 2  2
α ∈ R, αx = α  .  =  . 
 .   . 
.
.
xn
αxn
x1
x2
.
.
.
xn

y1
y2
.
.
.
yn









Γραμμικός συνδοιασμός διανυσμάτων

α, β, γ ∈ R, x, y , z ∈ Rn
αx + βy + γz =



x1
x 

 2

= α  . +β 
. 
 .

xn

y1
y2
.
.
.
yn





 
 
+γ 
 

z1
z2
.
.
.
zn





αx1 + βy1 + γz1
  αx + βy + γz
2
2
  2
=
.
.
 
.
αxn + βyn + γzn









Παραδείγματα

     
1
4
5
2 + 5 = 7 ;
3
6
9





     
1
4
5
2 + 5 = 7 ;
3
6
9

   
1
−1
2 = −2
−1·
3
−3




     
1
4
5
2 + 5 = 7 ;
3
6
9

   
1
−1
2 = −2
−1·
3
−3

 
 
 
1
0
1
2 − 7 · 2 + 2 · −1 =
3·
3
4
0




     
1
4
5
2 + 5 = 7 ;
3
6
9

   
1
−1
2 = −2
−1·
3
−3

 
 
 
1
0
1
2 − 7 · 2 + 2 · −1 =
3·
3
4
0



3·1−7·0+2·1
3 · 2 − 7 · 2 + 2 · (−1) =
3·3−7·4+2·0




     
1
4
5
2 + 5 = 7 ;
3
6
9

   
1
−1
2 = −2
−1·
3
−3

 
 
 
1
0
1
2 − 7 · 2 + 2 · −1 =
3·
3
4
0


 

3·1−7·0+2·1
5
3 · 2 − 7 · 2 + 2 · (−1) = −10
3·3−7·4+2·0
−19



΄Ασκηση

 
 
 
1
0
1
7 · 2 − 3 · 2 − 2 · −1 =
3
4
0



΄Ασκηση

 
 
 
1
0
1
7 · 2 − 3 · 2 − 2 · −1 =
3
4
0




5
Α) −10
−19




5
Β) −9
10

 
5
10
Γ)
9




5
Δ) −19
−10

 
5
10
Ε)
19


Περιγραφή ευθείας
Μια ποιό βολική θεώρηση της ευθείας.




Περιγραφή ευθείας
Μια ποιό βολική θεώρηση της ευθείας.
Η εξίσωση μιας γραμμής που περνά απο το σημείο p, και έχει
κατεύθυνση d, είναι
x = p + t · d,

t∈R

Πράγματι:
x
2

p

d

x1



x = p + 1 · d,

t=1

Πράγματι:
x
2

p+d
p

d

x1



x = p + −1 · d,

t = −1

Πράγματι:
x

2

p
p-d
d

x1



x = p + t · d,

t∈R

Πράγματι:
x

2

p

p + td

d

x1


΄Ασκηση
Στο σχήμα δίνονται τα διανύσματα u, v ∈ R2 .




΄Ασκηση
Ποιό σημείο παριστά το u − 3v ;

x

2

u

v

x1



΄Ασκηση

x

D

2

C

E
B
A
v

u
x1



΄Ασκηση
x

2

-3v
u

-v

v

x1


Ιδιότητες

∀w , x, y ∈ Rn και s, t ∈ R, έχουμε.



Ιδιότητες

x +y =y +x



Ιδιότητες

x +y =y +x
(x + y ) + w = x + (y + w )



Ιδιότητες

x +y =y +x
(x + y ) + w = x + (y + w )
z +0=0+z =z



Ιδιότητες

x +y =y +x
(x + y ) + w = x + (y + w )
z +0=0+z =z
x + (−x) = −x + x = 0



Ιδιότητες

x +y =y +x
(x + y ) + w = x + (y + w )
z +0=0+z =z
x + (−x) = −x + x = 0
t(x + y ) = tx + ty



Ιδιότητες

x +y =y +x
(x + y ) + w = x + (y + w )
z +0=0+z =z
x + (−x) = −x + x = 0
t(x + y ) = tx + ty
(s + t)x = sx + tx



Ιδιότητες

x +y =y +x
(x + y ) + w = x + (y + w )
z +0=0+z =z
x + (−x) = −x + x = 0
t(x + y ) = tx + ty
(s + t)x = sx + tx
s(tx) = (st)x



Ιδιότητες

x +y =y +x
(x + y ) + w = x + (y + w )
z +0=0+z =z
x + (−x) = −x + x = 0
t(x + y ) = tx + ty
(s + t)x = sx + tx
s(tx) = (st)x
1x = x




Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων

x, y ∈ Rn
x · y = x1y1 + x2y2 + . . . + xn yn
Προσοχή x · y ∈ R



Πίνακας
Ορισμός - Πίνακας είναι ένα σύνολο αριθμών
διατεταγμένων σε γραμμές και στήλες.
Συμβολισμός 
a1,1 a1,2 . . . a1,j . . . a1,n
 a2,1 a2,2 . . . a2,j . . . a2,n

.

.
.

m×n
A∈R
⇒A=
 ai,1 ai,2 . . . ai,j . . . ai,n

.
.

.
am,1 am,2 . . . am,j . . . am,n
Στοιχεία πίνακα:
ai,j ∈ R, i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n.













Πίνακας επί διάνυσμα

Ορισμός - Γινόμενο ενός πίνακα με ένα διάνυσμα
είναι ένα άλλο διάνυσμα τα στοιχεία του οποίου
είναι το εσωτερικό γινόμενο της αντίστοιχης
γραμμής του πίνακα με το διάνυσμα.




γραμμής του πίνακα με το διάνυσμα. Συμβολισμός
- A ∈ Rm×n , b ∈ Rn

⇒




γραμμής του πίνακα με το διάνυσμα. Συμβολισμός
- A ∈ Rm×n , b ∈ Rn

a1,1 a1,2
 a2,1 a2,2



⇒ Ab = 
 ai,1 ai,2


am,1 am,2

. . . a1,j
. . . a2,j
.
.
.
. . . ai,j
.
.
.
. . . am,j


. . . a1,n
b1
. . . a2,n   b2
 .
 .
 .

. . . ai,n   bj
 .
 .
.
. . . am,n
bn






=








a1,1 a1,2
 a2,1 a2,2




 ai,1 ai,2



am,1 am,2











...
...

a1,j
a2,j
.
.
.

...

ai,j
.
.
.

. . . am,j


a1,n
a2,n  




. . . ai,n  



. . . am,n

...
...

b1
b2
.
.
.
bj
.
.
.






=





bn

a1,1 b1 + a1,2 b2 + . . . a1,j bj + . . . a1,n bn
a2,1 b1 + a2,2 b2 + . . . a2,j bj + . . . a2,n bn
.
.
.
ai,1 b1 + ai,2 b2 + . . . ai,j bj + . . . ai,n bn
.
.
.
am,1 b1 + am,2 b2 + . . . am,j bj + . . . am,n bn













Πίνακας επί πίνακα
Ορισμός - Αν A ∈ Rm×n και B ∈ Rn×k τότε το γινόμενο AB
είναι ένας νέος πίνακας C ∈ Rm×k το στοιχείο ci,j του
οποίου είναι το εσωτερικό γινόμενο της i γραμμής του A με
την j στήλη του B.



Παρατηρήσεις

1

΄Ενα γραμμικό σύστημα μπορεί να εκφραστεί
σαν Ax = b




1

2

σαν Ax = b
Εν γένει AB = BA




1

2

3

σαν Ax = b
Για να μπορέσω να πολλαπλασιάσω δύο
πίνακες πρέπει το πλήθος των στηλών του
πρώτου να είναι ίσο με το πλήθος των γραμμών
του δεύτερου.




1

2

3

4

σαν Ax = b
Για να μπορέσω να πολλαπλασιάσω δύο
πίνακες πρέπει το πλήθος των στηλών του
πρώτου να είναι ίσο με το πλήθος των γραμμών
του δεύτερου.
AI = IA = A όπου με I συμβολίζουμε τον
ταυτοτικό πίνακα.



Θεώρημα

Αν v είναι λύση ενός συστήματος Ax = 0 τότε και
το αv είναι λύση του ίδιου συστήματος όπου α
είναι ένας οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός.



Θεώρημα

Απόδειξη u λύση του Ax = 0



Θεώρημα

Απόδειξη u λύση του Ax = 0 ⇒ Au = 0



Θεώρημα

Απόδειξη u λύση του Ax = 0 ⇒ Au = 0 ⇒
αAu = 0



Θεώρημα

αAu = 0 ⇒ Aαu = 0



Θεώρημα

αAu = 0 ⇒ Aαu = 0 ⇒ A(αu) = 0



Θεώρημα

αAu = 0 ⇒ Aαu = 0 ⇒ A(αu) = 0 ⇒ αu είναι
λύση του Ax = 0.



Ομογενή Συστήματα

΄Ενα σύστημα λέγεται ομογενές αν όλοι οι
σταθεροί όροι του (δηλαδή οι όροι του δεξιού
μέλους) είναι μηδέν.

Ορισμός



Ομογενή Συστήματα

΄Ενα σύστημα λέγεται ομογενές αν όλοι οι
σταθεροί όροι του (δηλαδή οι όροι του δεξιού
μέλους) είναι μηδέν.

Ορισμός

Αν ένα σύνολο διανυσμάτων είναι λύση ενός
ομογενούς συστήματος τότε και κάθε γραμμικός
συνδοιασμός τους είναι λύση του.



΄Ασκηση

Το γινόμενο δύο άνω τριγωνικών πινάκων είναι άνω
τριγωνικός πίνακας.

7η και 8η διάλεξη - Διανύσματα, Πίνακες, Πράξεις, Ομογενή Συστήματα

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Viewers also liked

Viewers also liked (8)

Similar to 7η και 8η διάλεξη - Διανύσματα, Πίνακες, Πράξεις, Ομογενή Συστήματα

Similar to 7η και 8η διάλεξη - Διανύσματα, Πίνακες, Πράξεις, Ομογενή Συστήματα (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (15)

7η και 8η διάλεξη - Διανύσματα, Πίνακες, Πράξεις, Ομογενή Συστήματα