Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου

14,594 views

Published on

Επιμέλεια: Νίκος Ράπτης από το Αγρίνιο αποκλειστικά για το lisari.blogspot.gr

Published in: Education
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου

  1. 1. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα-Ευθεία-Κύκλος Αναλυτική Θεωρία 500 Ασκήσεις Επιμέλεια : ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ
  2. 2. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 2
  3. 3. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 3 Το διάνυσμα ορίζεται ως ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα , δηλαδή ως ένα ευθύγραμμο τμήμα του οποίου τα άκρα θεωρούνται διατεταγμένα . Ορισμός Διανύσματος Μηδενικό λέγεται το διάνυσμα όπου η αρχή και το πέρας συμπίπτουν. Το μηδενικό διάνυσμα παριστάνεται με σημείο και συμβολίζεται με 0�⃗ Αν ΑΒ�����⃗ ένα διάνυσμα , τότε το μήκος του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ ονομάζεται μέτρο του διανύσματος και συμβολίζεται με �ΑΒ�����⃗� . Το μέτρο ενός διανύσματος είναι θετικός αριθμός , δηλαδή �ΑΒ�����⃗� ≥ 0 . Το μηδενικό διάνυσμα έχει μέτρο ίσο με το μηδέν . Αν ένα διάνυσμα έχει μέτρο ίσο με 1 , τότε το διάνυσμα λέγεται μοναδιαίο διάνυσμα . Η ευθεία πάνω στην οποία βρίσκεται ένα μη μηδενικό διάνυσμα ΑΒ�����⃗ λέγεται φορέας του ΑΒ�����⃗ . Ως φορέα ενός μηδενικού διανύσματος ΑΑ�����⃗ μπορούμε να θεωρήσουμε οποιαδήποτε ευθεία που διέρχεται από το Α . Δύο μη μηδενικά διανύσματα ΑΒ�����⃗ και ΓΔ����⃗ που έχουν τον ίδιον φορέα ή παράλληλους φορείς , λέγονται παράλληλα ή συγγραμμικά διανύσματα και τα συμβολίζουμε με ΑΒ�����⃗ ∥ ΓΔ����⃗ . Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι τα διανύσματα έχουν την ίδια διεύθυνση . Παράλληλα ή Συγγραμμικά Διανύσματα Δύο μη μηδενικά διανύσματα ΑΒ�����⃗ και ΓΔ����⃗ λέγονται ομόρροπα όταν : α) έχουν παράλληλους φορείς και βρίσκονται στο ίδιο ημιεπίπεδο ως προς την ευθεία ΑΓ που ενώνει τις αρχές τους ή β) έχουν τον ίδιο φορέα και μια από τις ημιευθείες ΑΒ και ΓΔ περιέχει την άλλη Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι τα διανύσματα έχουν την ίδια κατεύθυνση και συμβολίζουμε με ΑΒ�����⃗ ⇈ ΓΔ����⃗ Ομόρροπα και Αντίρροπα Διανύσματα 1. Η Έννοια του Διανύσματος
  4. 4. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 4 Δύο μη μηδενικά διανύσματα ΑΒ�����⃗ και ΓΔ����⃗ λέγονται αντίρροπα όταν είναι συγγραμμικά και δεν είναι ομόρροπα Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι τα διανύσματα έχουν αντίθετη κατεύθυνση και συμβολίζουμε με ΑΒ�����⃗ ↑↓ ΓΔ����⃗ Δύο μη μηδενικά διανύσματα λέγονται ίσα αν είναι ομόρροπα και έχουν ίσα μέτρα . Δηλαδή : ΑΒ�����⃗ = ΓΔ����⃗ ⇔ � ΑΒ�����⃗ ⇈ ΓΔ����⃗ και �ΑΒ�����⃗� = �ΓΔ����⃗� Τα μηδενικά διανύσματα θεωρούνται ίσα μεταξύ τους . Αν Μ το μέσο του διανύσματος ΑΒ�����⃗ τότε ισχύει ΑΜ������⃗ = ΜΒ������⃗ και αντιστρόφως . Ίσα Διανύσματα Δύο μη μηδενικά διανύσματα λέγονται αντίθετα αν είναι αντίρροπα και έχουν ίσα μέτρα . Δηλαδή : ΑΒ�����⃗ = −ΓΔ����⃗ ⇔ � ΑΒ�����⃗ ↑↓ ΓΔ����⃗ και �ΑΒ�����⃗� = �ΓΔ����⃗� Ειδικότερα έχουμε ΑΒ�����⃗ = −ΒΑ�����⃗ ( αλλάζω την σειρά των γραμμάτων , αλλάζω ταυτόχρονα και το πρόσημο) Αντίθετα Διανύσματα Έστω δύο μη μηδενικά διανύσματα α��⃗ και β�⃗ . Με αρχή ένα σημείο Ο παίρνουμε τα διανύσματα ΟΑ�����⃗ = α��⃗ και ΟΒ�����⃗ = β�⃗ . Την κυρτή γωνία ΑΟ�Β που ορίζουν οι ημιευθείες ΟΑ και ΟΒ , την ονομάζουμε γωνία των διανυσμάτων α��⃗ και β�⃗ και την συμβολίζουμε με �α��⃗ , β�⃗� � ή �β�⃗ , α��⃗ � � Αν θ η γωνία των διανυσμάτων α��⃗ και β�⃗ τότε ισχύουν : α) 0 ≤ θ ≤ π β) αν θ = 0 τότε α��⃗ ⇈ β�⃗ γ) αν θ = π τότε α��⃗ ↑↓ β�⃗ δ) αν θ = π 2 τότε α��⃗ ⊥ β�⃗ και θα λέμε τα διανύσματα κάθετα ή ορθογώνια Γωνία Δύο Διανυσμάτων
  5. 5. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 5 Έστω δύο μη μηδενικά διανύσματα α��⃗ και β�⃗ . Με αρχή ένα σημείο Ο παίρνουμε διάνυσμα ΟΑ�����⃗ = α��⃗ και στη συνέχεια παίρνουμε διάνυσμα ΑΒ�����⃗ = β�⃗ . Το διάνυσμα ΟΒ�����⃗ λέγεται άθροισμα ή συνισταμένη των διανυσμάτων α��⃗ και β�⃗ και συμβολίζεται με α��⃗ + β�⃗ . Πρόσθεση Δύο Διανυσμάτων Το άθροισμα δύο διανυσμάτων βρίσκεται και με τον κανόνα του παραλληλογράμμου . Με αρχή ένα σημείο Ο παίρνουμε διάνυσμα ΟΑ�����⃗ = α��⃗ και ΟΒ�����⃗ = β�⃗ , τότε το άθροισμα α��⃗ + β�⃗ ορίζεται από την διαγώνιο ΟΜ του παραλληλογράμμου που έχει προσκείμενες πλευρές τις ΟΑ και ΟΒ . Αν α��⃗ , β�⃗ , γ�⃗ τρία διανύσματα , τότε ισχύουν : α) α��⃗ + β�⃗ = β�⃗ + α��⃗ (Αντιμεταθετική Ιδιότητα ) β) � α��⃗ + β�⃗� + γ�⃗ = α��⃗ + �β�⃗ + γ�⃗� (Προσεταιριστική Ιδιότητα ) γ) α��⃗ + 0�⃗ = α��⃗ δ) α��⃗ + (−α���⃗) = 0�⃗ Ιδιότητες Πρόσθεσης Διανυσμάτων Η διαφορά α��⃗ − β�⃗ του διανύσματος β�⃗ από το διάνυσμα α��⃗ , ορίζεται ως άθροισμα των διανυσμάτων α��⃗ και −β�⃗ . Δηλαδή : α��⃗ − β�⃗ = α��⃗ + �−β�⃗� Αφαίρεση Δύο Διανυσμάτων Έστω Ο ένα σταθερό σημείο του χώρου . Τότε για κάθε σημείο του χώρου Μ ορίζεται το διάνυσμα ΟΜ������⃗ , το οποίο λέγεται διάνυσμα θέσης του Μ ή διανυσματική ακτίνα του σημείου Μ . Το σημείο Ο που είναι η κοινή αρχή όλων των διανυσματικών ακτίνων των σημείων του χώρου , λέγεται σημείο αναφοράς στο χώρο . Διάνυσμα Θέσης 2. Πρόσθεση/Αφαίρεση Διανυσμάτων
  6. 6. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 6 ΑΒ�����⃗ = ΟΒ�����⃗ − ΟΑ�����⃗ Κάθε διάνυσμα στο χώρο είναι ίσο με την διανυσματική ακτίνα του πέρατος μείον την διανυσματική ακτίνα της αρχής . Πράγματι : Έστω Ο σημείο αναφοράς , τότε για οποιοδήποτε διάνυσμα ΑΒ�����⃗ ισχύει : ΟΑ�����⃗ + ΑΒ�����⃗ = ΟΒ�����⃗ ⇔ ΑΒ�����⃗ = ΟΒ�����⃗ − ΟΑ�����⃗ Άρα : Αν α��⃗ , β�⃗ δύο διανύσματα , τότε για το μέτρο αθροίσματος των διανυσμάτων ισχύει : Μέτρο Αθροίσματος Διανυσμάτων Στο διπλανό σχήμα φαίνεται στο άθροισμα δύο διανυσμάτων α��⃗ , β�⃗ Από τριγωνική ανισότητα στο τρίγωνο ΟΑΒ έχουμε : |(ΟΑ) − (ΑΒ)| ≤ (ΟΒ) ≤ (ΟΑ) + (ΑΒ) ⇔ �|α��⃗| − �β�⃗�� ≤ �α��⃗ + β�⃗� ≤ |α��⃗| + �β�⃗� �|α��⃗| − �β�⃗�� ≤ �α��⃗ + β�⃗� ≤ |α��⃗| + �β�⃗�
  7. 7. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 7 Ασκήσεις 1. Θεωρούμε ένα ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και ένα σημείο Δ της πλευράς ΒΓ . Να βρείτε τις γωνίες : α. �ΑΒ�����⃗, ΑΓ�����⃗� � β. �ΑΒ�����⃗ , ΒΓ����⃗� � γ. �ΒΔ�����⃗ , ΔΓ����⃗� � δ. �ΒΓ����⃗ , ΓΔ����⃗� � 2. Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ . Να βρείτε τις γωνίες : α. �ΑΒ�����⃗, ΑΓ�����⃗� � β. �ΔΒ�����⃗ , ΒΓ����⃗� � γ. �ΑΔ�����⃗ , ΓΔ����⃗� � 3. Θεωρούμε ένα ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και ΑΔ το ύψος του . Να βρείτε τις γωνίες : α. �ΒΑ�����⃗, ΒΓ����⃗� � β. �ΑΒ�����⃗ , ΓΑ����⃗� � γ. �ΒΓ����⃗ , ΔΑ�����⃗� � δ. �ΒΑ�����⃗ , ΑΔ�����⃗� � 4. Να γράψετε ως ένα διάνυσμα τα παρακάτω αθροίσματα : α. ΑΒ�����⃗ + ΓΔ����⃗ + ΒΓ����⃗ β. ΚΛ������⃗ + ΜΝ������⃗ + ΛΜ������⃗ + ΝΠ������⃗ γ. ΑΒ�����⃗ + ΔΑ�����⃗ + ΓΔ����⃗ + ΒΓ����⃗ δ. ΑΓ�����⃗ − ΒΔ�����⃗ − ΔΓ����⃗ ε. ΚΛ�����⃗ − ΝΜ������⃗ + ΝΚ�����⃗ − ΜΛ������⃗ 5. Να εκφράσετε το διάνυσμα x�⃗ σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις : 6. Να εκφράσετε το διάνυσμα x�⃗ σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις : 7. Αν Ρ1Ρ2Ρ3Ρ4Ρ5Ρ6 ένα εξάγωνο , τότε να δείξετε ότι : Ρ1Ρ3 ��������⃗ + Ρ2Ρ4 ��������⃗ + Ρ3Ρ5 ��������⃗ + Ρ4Ρ6 ��������⃗ + Ρ5Ρ1 ��������⃗ + Ρ6Ρ2 ��������⃗ = 0�⃗ 8. Αν ισχύει ΑΝ�����⃗ − ΓΜ������⃗ = ΜΒ������⃗ + ΓΝ�����⃗ να δείξετε ότι το Γ είναι το μέσο του ΑΒ . 9. Έστω το τετράπλευρο ΑΒΓΔ και Μ μέσο του ΑΓ. Να δείξετε ότι : ΜΒ������⃗ + ΜΔ������⃗ = ΑΒ�����⃗ − ΔΓ����⃗ . 10. Αν ισχύει ότι ΓΔ����⃗ = ΒΕ�����⃗ + ΓΑ����⃗ − ΔΕ�����⃗ να δείξετε ότι τα σημεία Α και Β ταυτίζονται . 11. Έστω το τετράπλευρο ΑΒΓΔ και το σημείο του Ο για το οποίο ισχύει ΑΓ�����⃗ + ΒΟ�����⃗ = ΒΔ�����⃗ − ΓΔ����⃗ . Να αποδείξετε ότι τα σημεία Α και Ο συμπίπτουν .
  8. 8. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 8 12. Αν ισχύουν |α��⃗| = 3 , �β�⃗� = 2 , �α��⃗ + β�⃗� ≥ 5 . Να δείξετε ότι τα διανύσματα α��⃗ και β�⃗ είναι ομόρροπα . 13. Δίνονται τα ομόρροπα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ , γ�⃗ για τα οποία ισχύουν |α��⃗| = 1 , �α��⃗ + β�⃗� = 4 , �β�⃗ + γ�⃗� = 8 . Να βρείτε α. το �β�⃗� β. το |γ�⃗| γ. το |α��⃗ + γ�⃗| 14. Έστω τα σημεία Ο , Α , Β του επιπέδου . Αν �ΟΑ�����⃗� = 6 , �ΟΒ�����⃗� = 4 να δείξετε ότι 2 ≤ �ΑΒ�����⃗� ≤ 10 . 15. Δίνονται τρία μη μηδενικά διανύσματα α��⃗ , β�⃗ , γ�⃗ για τα οποία ισχύουν α��⃗ + β�⃗ + γ�⃗ = 0�⃗ και |α��⃗| 5 = �β��⃗� 3 = |γ��⃗| 2 . Να δείξετε ότι : α. α���⃗ ↑↓ β�⃗ β. β�⃗ ↑↑ γ�⃗ . 16. Δίνονται τρία μη μηδενικά διανύσματα α��⃗ , β�⃗ , γ�⃗ για τα οποία ισχύουν α��⃗ + β�⃗ = γ�⃗ και |α��⃗| 3 = �β��⃗� 2 = |γ��⃗| 5 . Να δείξετε ότι : α. α���⃗ ↑↑ β�⃗ β. β�⃗ ↑↑ γ�⃗ . 17. Δίνονται τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ , γ�⃗ για τα οποία ισχύουν |α��⃗| = 2 , �β�⃗� = 5 , |γ�⃗| = 4 . Να δείξετε ότι : α. 3 ≤ �α��⃗ + β�⃗� ≤ 7 β. α��⃗ + β�⃗ − 2γ�⃗ ≠ 0�⃗ 18. Δίνονται τα ομόρροπα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ για τα οποία ισχύουν |α��⃗| = 3κ − 5 , �β�⃗� = 5κ − 8 , �α��⃗ + β�⃗� = κ2 + 3 . Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό κ .
  9. 9. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 9 Αν 𝛂𝛂��⃗ , 𝛃𝛃��⃗ δύο διανύσματα με 𝛃𝛃��⃗ ≠ 𝟎𝟎��⃗ , τότε : 𝛂𝛂��⃗ ∥ 𝛃𝛃��⃗ ⇔ 𝛂𝛂��⃗ = 𝛌𝛌𝛃𝛃��⃗ , 𝛌𝛌 ∈ ℝ Έστω λ ένας μη μηδενικός αριθμός και το μη μηδενικό διάνυσμα α��⃗ . Ονομάζουμε γινόμενο του αριθμού λ με το 𝛂𝛂��⃗ και το συμβολίζουμε με λ ∙ α��⃗ ή λα��⃗ ένα διάνυσμα το οποίο : α) είναι ομόρροπο του α��⃗ αν λ > 0 , 𝜅𝜅𝜅𝜅𝜅𝜅 𝛼𝛼𝛼𝛼𝛼𝛼ί𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌 𝜏𝜏𝜏𝜏𝜏𝜏 α��⃗ αν λ < 0 β) έχει μέτρο |λ||α��⃗| Αν είναι λ = 0 ή α��⃗ = 0�⃗ τότε ορίζουμε λα��⃗ = 0�⃗ Ορισμός Πολλαπλασιασμού αριθμού με διάνυσμα Αν α��⃗ , β�⃗ δύο διανύσματα και λ , μ δύο πραγματικοί αριθμοί , τότε ισχύουν οι ιδιότητες : α) λ�α��⃗ + β�⃗� = λα��⃗ + λβ�⃗ β) (λ + μ)α��⃗ = λα��⃗ + μα��⃗ γ) λ(μα��⃗) = (λμ)α��⃗ Ιδιότητες Πολλαπλασιασμού αριθμού με διάνυσμα Γραμμικός συνδυασμός δύο διανυσμάτων α��⃗ , β�⃗ ονομάζεται κάθε διάνυσμα της μορφής v�⃗ = κα��⃗ + λβ�⃗ , όπου κ , λ πραγματικοί αριθμοί . Γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων Συνθήκη Παραλληλίας δύο διανυσμάτων ΠΡΟΣΟΧΗ : Για να αποδείξουμε ότι τρία σημεία Α , Β , Γ είναι συνευθειακά , αρκεί να δείξουμε ότι ΑΒ�����⃗ ∥ ΒΓ����⃗ , δηλαδή αρκεί να δείξουμε ότι ΑΒ�����⃗ = λΒΓ����⃗ 3. Πολλαπλασιασμός αριθμού με Διάνυσμα
  10. 10. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 10 Αν Μ το μέσο του τμήματος ΑΒ και Ο σημείο αναφοράς , τότε 𝚶𝚶𝚶𝚶�������⃗ = 𝚶𝚶𝚶𝚶������⃗ + 𝚶𝚶𝚶𝚶������⃗ 𝟐𝟐 Διανυσματική Ακτίνα Μέσου Τμήματος Θεωρούμε διάνυσμα ΑΒ�����⃗ , το μέσο του Μ , καθώς και ένα σημείο αναφοράς Ο. Αφού Μ μέσο του ΑΒ�����⃗ τότε θα ισχύει : ΑΜ������⃗ = ΜΒ������⃗ ⇔ ΟΜ������⃗ − ΟΑ�����⃗ = ΟΒ�����⃗ − ΟΜ������⃗ ⇔ 2ΟΜ������⃗ = ΟΑ�����⃗ + ΟΒ�����⃗ ⇔ ΟΜ������⃗ = ΟΑ������⃗ + ΟΒ������⃗ 2
  11. 11. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 11 Ασκήσεις 19. Αν ΟΑ�����⃗ = α��⃗ , ΟΒ�����⃗ = β�⃗ , ΟΓ�����⃗ = 2α��⃗ − 3β�⃗ , να εκφράσετε τα διανύσματα ΑΒ�����⃗ , ΑΓ�����⃗ , ΓΒ����⃗ με την βοήθεια των α��⃗ , β�⃗ . 20. Δίνεται ορθογώνιο ΑΒΓΔ . Αν Μ και Ν τα μέσα των πλευρών ΓΔ και ΒΓ αντίστοιχα και ΑΒ�����⃗ = 3α��⃗ , ΑΔ������⃗ = 4β�⃗ , να βρεθούν τα διανύσματα ΑΜ������⃗ και ΜΝ������⃗ . 21. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και έστω Μ το μέσο της ΑΔ . Να εκφράσετε τα διανύσματα ΒΜ������⃗ και ΜΓ������⃗ ως συνάρτηση των διανυσμάτων ΑΒ�����⃗ = α��⃗ και ΒΓ����⃗ = β�⃗ . 22. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και έστω σημείο Ε στην πλευρά ΑΒ ώστε ΑΕ = 3ΒΕ . Αν ΑΒ�����⃗ = α��⃗ και ΑΔ������⃗ = β�⃗ να εκφράσετε τα διανύσματα ΑΕ�����⃗ , ΔΕ�����⃗ , ΓΕ����⃗ ως συνάρτηση των διανυσμάτων α��⃗ και β�⃗ . 23. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημείο Δ της ευθείας ΒΓ ώστε τα Δ , Γ να βρίσκονται εκατέρωθεν του Β και να ισχύει 3ΒΔ = 2ΒΓ . Αν ΑΒ�����⃗ = α��⃗ και ΑΓ������⃗ = β�⃗ , να εκφράσετε το διάνυσμα ΑΔ������⃗ ως συνάρτηση των διανυσμάτων α��⃗ και β�⃗ . 24. Θεωρούμε τα διανύσματα ΟΑ�����⃗ = α��⃗ , ΟΒ�����⃗ = β�⃗ , ΟΓ�����⃗ = α��⃗ + 3β�⃗ και ΟΔ�����⃗ = 3α��⃗ + β�⃗ . Να δείξετε ότι ΑΓ�����⃗ + ΔΒ�����⃗ ∥ ΑΒ�����⃗ . 25. Αν ισχύει ότι ΑΔ�����⃗ = 3ΑΒ�����⃗ + 5ΑΓ�����⃗ και ΑΕ�����⃗ = 5ΑΒ�����⃗ + 3ΑΓ�����⃗ να αποδείξετε ότι ΔΕ�����⃗ ∥ ΒΓ����⃗ . 26. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τα σημεία Δ και Ε του επιπέδου ώστε ΑΔ�����⃗ = 5ΑΒ�����⃗ + 8ΑΓ�����⃗ και ΑΕ�����⃗ = 3ΑΒ�����⃗ + 10ΑΓ�����⃗ . Να αποδείξετε ότι ΔΕ�����⃗ ∥ ΒΓ����⃗ . 27. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τα σημεία Δ και Ε του επιπέδου ώστε ΑΔ�����⃗ = 2ΑΒ�����⃗ + 5ΑΓ�����⃗ και ΑΕ�����⃗ = 5ΑΒ�����⃗ + 2ΑΓ�����⃗ . α. Να γράψετε το διάνυσμα ΔΕ�����⃗ ως γραμμικό συνδυασμό των ΑΒ�����⃗ και ΑΓ�����⃗ β. Να αποδείξετε ότι ΔΕ�����⃗ ∥ ΒΓ����⃗ . ( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ) 28. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τα σημεία Δ και Ε του επιπέδου ώστε ΑΔ�����⃗ = 4ΑΒ�����⃗ − 9ΑΓ�����⃗ και ΑΕ�����⃗ = ΑΒ�����⃗ − 6ΑΓ�����⃗ . Να αποδείξετε ότι ΔΕ�����⃗ ∥ ΒΓ����⃗ . 29. Θεωρούμε τα διανύσματα u�⃗ = 4α��⃗ − 3β�⃗ και v�⃗ = 2α��⃗ + β�⃗ . Να αποδείξετε ότι : α. το διάνυσμα γ�⃗ = u�⃗ + 3v�⃗ είναι ομόρροπο με το α��⃗ β. το διάνυσμα δ�⃗ = u�⃗ − 2v�⃗ είναι αντίρροπο με το β�⃗ . 30. Αν οι διανυσματικές ακτίνες των σημείων Α , Β , Γ , Δ είναι αντίστοιχα α��⃗ , β�⃗ , 4α��⃗ − β�⃗ , α��⃗ + 2β�⃗ να δείξετε ότι τα διανύσματα ΑΒ�����⃗ και ΓΔ����⃗ είναι ομόρροπα . 31. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓΔ με ΔΓ����⃗ = α��⃗ , ΑΓ�����⃗ = α��⃗ + β�⃗ και ΒΔ�����⃗ = −2α��⃗ + β�⃗ είναι τραπέζιο . 32. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓΔ με ΑΒ�����⃗ = β�⃗ , ΑΔ�����⃗ = α��⃗ και ΑΓ�����⃗ = α��⃗ + 2β�⃗ είναι τραπέζιο . 33. Δίνεται το τετράπλευρο ΑΒΓΔ με ΑΒ�����⃗ = β�⃗ , ΑΔ�����⃗ = α��⃗ και ΑΓ�����⃗ = α��⃗ + 3β�⃗ . Να αποδείξετε ότι : α. το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι τραπέζιο . β. το διάνυσμα u�⃗ = ΒΓ����⃗ − ΑΔ�����⃗ είναι ομόρροπο με το β�⃗ . 34. Θεωρούμε τα διανύσματα ΟΑ�����⃗ = α��⃗ − 3β�⃗ , ΟΒ�����⃗ = 2α��⃗ − β�⃗ , ΟΓ�����⃗ = 3α��⃗ + β�⃗ και ΟΔ�����⃗ = 6α��⃗ + 7β�⃗ . Να δείξετε ότι τα διανύσματα ΑΒ�����⃗ και ΓΔ����⃗ είναι ομόρροπα .
  12. 12. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 12 35. Δίνεται στο παρακάτω σχήμα ότι ΑΒ�����⃗ = α��⃗ , ΒΓ������⃗ = β�⃗ , ΓΔ����⃗ = 2α��⃗ και ΔΕ�����⃗ = 2β����⃗ . Να δείξετε ότι τα σημεία Α , Γ , Ε είναι συνευθειακά . 36. Έστω τα διανύσματα ΟΑ�����⃗ = α��⃗ + 3β�⃗ , ΟΒ�����⃗ = 2α��⃗ − β�⃗ , ΟΓ������⃗ = 3α��⃗ − 5β�⃗. Να δείξετε ότι τα σημεία Α , Β , Γ είναι συνευθειακά . 37. Έστω τα διανύσματα ΟΑ�����⃗ = α��⃗ + β�⃗ + γ�⃗ , ΟΒ�����⃗ = 5α��⃗ + 3β�⃗ + 4γ��⃗ , ΟΓ������⃗ = 13α��⃗ + 7β�⃗ + 10γ�⃗ . Να δείξετε ότι τα σημεία Α , Β , Γ είναι συνευθειακά . 38. Έστω τα διανύσματα ΟΑ�����⃗ = α��⃗ + 2β�⃗ + 5γ�⃗ , ΟΒ�����⃗ = −α��⃗ + 3β�⃗ + 4γ��⃗ , ΟΓ������⃗ = 3α��⃗ + β�⃗ + 6γ�⃗ . Να δείξετε ότι τα σημεία Α , Β , Γ είναι συνευθειακά . ( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ) 39. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ�����⃗ = 2α��⃗ + β�⃗ , ΑΓ�����⃗ = 5α��⃗ − β�⃗ . Αν Δ σημείο τέτοιο ώστε ΑΔ�����⃗ = 11α��⃗ − 5β�⃗ , να δείξετε ότι τα σημεία Β , Γ , Δ είναι συνευθειακά . 40. Αν ισχύει 4ΜΑ������⃗ + 5ΜΒ������⃗ − 9ΜΓ������⃗ = 0 τότε να δείξετε ότι τα σημεία Α , Β , Γ είναι συνευθειακά . 41. Αν ισχύει 9ΟΑ�����⃗ − 7ΟΒ�����⃗ − 2ΟΓ�����⃗ = 0 τότε να δείξετε ότι τα σημεία Α , Β , Γ είναι συνευθειακά . 42. Αν ισχύει ΜΑ������⃗ + 5ΡΑ����⃗ = 3ΡΜ������⃗ + 2ΡΒ�����⃗ − 4ΓΜ������⃗ τότε να δείξετε ότι τα σημεία Α , Β , Γ είναι συνευθειακά . 43. Αν ισχύει 2ΑΛ�����⃗ + 3ΒΛ�����⃗ + 2ΜΒ������⃗ = ΑΚ�����⃗ + ΑΜ������⃗ + ΒΚ�����⃗ τότε να δείξετε ότι τα σημεία Κ , Λ , Μ είναι συνευθειακά . 44.Αν ισχύει 5ΡΛ����⃗ = 2ΡΚ�����⃗ + 3ΡΜ������⃗ τότε να δείξετε ότι τα σημεία Κ ,Λ ,Μ είναι συνευθειακά .( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ) 45. Αν ισχύει (κ + 2)ΜΑ������⃗ + 3ΜΒ������⃗ = (κ + 5)ΜΓ������⃗ τότε να δείξετε ότι τα σημεία Α , Β , Γ είναι συνευθειακά . 46. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και Ε , Ζ σημεία τέτοια ώστε ΑΕ�����⃗ = 2 5 ΑΔ�����⃗ , ΑΖ�����⃗ = 2 7 ΑΓ�����⃗ . α. Να γράψετε τα διανύσματα ΕΖ����⃗ , ΖΒ����⃗ ως γραμμικό συνδυασμό των ΑΒ�����⃗ και ΑΔ�����⃗ β. Να δείξετε ότι τα σημεία Β , Ζ , Ε είναι συνευθειακά . ( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ) 47. Σε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ είναι ΑΒ�����⃗ = α��⃗ και ΑΔ������⃗ = β�⃗ . Θεωρούμε σημεία Ε , Ζ στην ΑΔ και στην διαγώνιο ΑΓ αντίστοιχα τέτοια , ώστε ΑΕ�����⃗ = 1 3 ΑΔ�����⃗ , ΑΖ�����⃗ = 1 4 ΑΓ�����⃗ . Να αποδείξετε ότι : α. ΑΖ�����⃗ = 1 4 �α��⃗ + β�⃗� β. ΕΖ����⃗ = 1 4 �α��⃗ − 1 3 β�⃗� και να υπολογίσετε το ΕΒ�����⃗ με την βοήθεια των α��⃗ , β�⃗ . γ. τα σημεία Ε , Ζ , Β είναι συνευθειακά . ( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ) 48. Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ με ΑΒ�����⃗ = α��⃗ και ΒΓ������⃗ = β�⃗ και ΓΔ = 3 ΑΒ . Αν Ε σημείο της διαγωνίου ΑΓ ώστε ΕΓ = 3ΕΑ α. Να εκφράσετε τα διανύσματα ΑΕ�����⃗ , ΑΓ�����⃗ , ΒΕ�����⃗ και ΒΔ������⃗ ως συνάρτηση των διανυσμάτων α��⃗ και β�⃗ . β. Να δείξετε ότι τα σημεία Β , Δ , Ε είναι συνευθειακά .
  13. 13. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 13 49. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και η διάμεσός του ΑΜ .Πάνω στα τμήματα ΑΒ , ΑΜ και ΑΓ παίρνουμε τα σημεία Δ , Ε ,Ζ αντίστοιχα ώστε ΑΔ = 1 2 ΑΒ , ΑΕ = 1 3 ΑΜ , ΑΖ = 1 4 ΑΓ . Αν ΑΒ�����⃗ = α��⃗ και ΑΓ������⃗ = β�⃗ τότε : α. Να εκφράσετε συναρτήσει των α��⃗ , β�⃗ τα διανύσματα ΔΕ�����⃗ , ΔΖ����⃗ β. Να δείξετε ότι τα σημεία Δ , Ε , Ζ είναι συνευθειακά . 50. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και Ε , Ζ μέσα των ΒΓ και ΓΔ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι ΑΕ�����⃗ + ΑΖ�����⃗ = 3 2 ΑΓ�����⃗ 51. Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τυχαίο σημείο Δ στη ΒΓ . Αν Κ , Λ , Μ μέσα των ΒΔ , ΔΓ και ΒΓ αντίστοιχα τότε να δείξετε ότι ΑΚ�����⃗ + ΑΛ�����⃗ − ΑΜ������⃗ = ΑΔ�����⃗ . 52. Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ και Μ , Ν τα μέσα των διαγωνίων του ΑΓ και ΒΔ αντίστοιχα . Να δείξετε ότι ΑΒ�����⃗ + ΑΔ�����⃗ + ΓΒ����⃗ + ΓΔ����⃗ = 4ΜΝ������⃗ . (ΣΧΟΛΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ ) 53. Έστω ένα τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ ∥ ΔΓ ) με ΔΓ = 4 3 ΑΒ . Θεωρούμε το σημείο Ε με ΑΕ�����⃗ = 1 3 ΑΒ�����⃗ και ονομάζουμε Ζ το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος ΔΕ . Να δείξετε ότι ΑΖ�����⃗ ∥ ΒΓ����⃗ . 54. Στο παρακάτω σχήμα έχουμε ΔΕ = 2ΕΒ . α .Να εκφράσετε συναρτήσει των α��⃗ , β�⃗ τα διανύσματα ΔΒ�����⃗ , ΕΒ�����⃗ , ΓΒ����⃗ , ΑΕ�����⃗ , ΕΓ����⃗ β. Να δείξετε ότι τα σημεία Α , Ε , Γ είναι συνευθειακά . (ΣΧΟΛΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ ) 55. Δίνονται τα σημεία Α , Β , Γ . Να αποδείξετε ότι για οποιοδήποτε σημείο Μ το διάνυσμα 3ΜΑ������⃗ − 5ΜΒ������⃗ + 2ΜΓ������⃗ είναι σταθερό . (ΣΧΟΛΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ )
  14. 14. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 14 Αν σε μια ευθεία x’x επιλέξουμε δύο σημεία Ο και Ι ώστε το διάνυσμα ΟΙ����⃗ = i⃗ να έχει μέτρο 1 και να βρίσκεται στην ημιευθεία Οx , τότε λέμε ότι έχουμε έναν άξονα με αρχή το Ο και μοναδιαίο διάνυσμα 𝐢𝐢⃗ Άξονας Οι ημιευθείες Οx και Οx’ λέγονται αντίστοιχα θετικός και αρνητικός ημιάξονας . Για κάθε σημείο Μ του άξονα x’x ισχύει ΟΜ������⃗ ∥ i⃗ , οπότε σύμφωνα με το κριτήριο παραλληλίας θα υπάρχει μοναδικός πραγματικός αριθμός x έτσι ώστε να ισχύει ΟΜ������⃗ = x ∙ i⃗ Τον αριθμό x τον ονομάζουμε τετμημένη του σημείου Μ και το σημείο το συμβολίζουμε με M(x) Θεωρούμε σε ένα επίπεδο δύο κάθετους άξονες x’x και y’y με κοινή αρχή Ο και μοναδιαία διανύσματα i⃗και j⃗ αντίστοιχα . Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι έχουμε ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων ή ένα ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και το συμβολίζουμε με Oxy . Καρτεσιανό Επίπεδο Αν Μ τυχαίο σημείο του καρτεσιανού επιπέδου και φέρουμε παράλληλη στον y’y που τέμνει τον x’x στο Μ1 και παράλληλη στον x’x που τέμνει τον y’y στο Μ2 , τότε η τετμημένη x του Μ1 λέγεται τετμημένη του Μ και η τετμημένη y του Μ2 λέγεται τεταγμένη του Μ . Οι μοναδικοί αριθμοί x , y λέγονται συντεταγμένες του σημείου Μ και συμβολίζονται με Μ(x , y) Έστω Oxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και α��⃗ ένα διάνυσμα του επιπέδου. Με αρχή το Ο παίρνουμε ΟΑ�����⃗ = α��⃗ . Αν Α1 και Α2 οι προβολές του Α πάνω στους άξονες , τότε ισχύει : ΟΑ�����⃗ = ΟΑ1 �������⃗ + ΟΑ2 ��������⃗ ⇔ α��⃗ = x ∙ i⃗ + y ∙ j⃗ Τα διανύσματα x ∙ i⃗ και y ∙ j⃗ λέγονται συνιστώσες του 𝛂𝛂��⃗ κατά την διεύθυνση των i⃗και j⃗ αντίστοιχα . Οι αριθμοί x , y λέγονται συντεταγμένες του 𝛂𝛂��⃗ Συντεταγμένες Διανύσματος 4. Συντεταγμένες στο Επίπεδο 𝛂𝛂��⃗ = 𝐱𝐱 ∙ 𝐢𝐢⃗ + 𝐲𝐲 ∙ 𝐣𝐣⃗ ⇔ 𝛂𝛂��⃗ = (𝐱𝐱 , 𝐲𝐲)
  15. 15. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 15 Αν Α(𝐱𝐱𝟏𝟏 , 𝐲𝐲𝟏𝟏) και Β(𝐱𝐱𝟐𝟐 , 𝐲𝐲𝟐𝟐) τότε το μέσο Μ του ΑΒ έχει συντεταγμένες Μ � 𝐱𝐱 𝟏𝟏+𝐱𝐱 𝟐𝟐 𝟐𝟐 , 𝐲𝐲𝟏𝟏+𝐲𝐲𝟐𝟐 𝟐𝟐 � Αν Α(𝐱𝐱𝟏𝟏 , 𝐲𝐲𝟏𝟏) και Β(𝐱𝐱𝟐𝟐 , 𝐲𝐲𝟐𝟐) τότε 𝚨𝚨𝚨𝚨�����⃗ = (𝐱𝐱𝟐𝟐 − 𝐱𝐱𝟏𝟏 , 𝐲𝐲𝟐𝟐 − 𝐲𝐲𝟏𝟏) Δύο διανύσματα είναι ίσα αν και μόνο αν οι αντίστοιχες συντεταγμένες τους είναι ίσες . Ίσα Διανύσματα Δηλαδή : Αν α��⃗ = (x1 , y1) και β�⃗ = (x2 , y2) τότε ∶ α��⃗ = β�⃗ ⇔ � x1 = x2 y1 = y2 Αν α��⃗ = (x1 , y1) και β�⃗ = (x2 , y2) τότε έχουμε : α) α��⃗ + β�⃗ = (x1 + x2 , y1 + y2 ) β) α��⃗ − β�⃗ = (x1 − x2 , y1 − y2 ) γ) λα��⃗ = (λx1 , λy1) δ) λα��⃗ + μβ�⃗ = (λx1 + μx2 , λy1 + μy2 ) Συντεταγμένες γραμμικού συνδυασμού διανυσμάτων Συντεταγμένες μέσου τμήματος Έστω M(x , y) μέσο του ΑΒ . Τότε θα ισχύει ΟΜ������⃗ = ΟΑ������⃗ + ΟΒ������⃗ 2 (1) με ΟΜ������⃗ = (x , y) , ΟA�����⃗ = (x1 , y1) και ΟΒ�����⃗ = (x2 , y2) . Η (1)⇒ (x , y) = (x1 ,y1)+(x2 ,y2) 2 ⇔ (x , y) = (x1+x2 , y1+y2) 2 ⇔ (x , y) = � x1+x2 2 , y1+y2 2 � ⇔ � x = x1+x2 2 και y = y1+y2 2 Συντεταγμένες διανύσματος με γνωστά άκρα Πράγματι : ΑΒ�����⃗ = ΟΒ�����⃗ − ΟΑ�����⃗ ⇔ ΑΒ�����⃗ = (x2 , y2) − (x1 , y1) ⇔ ΑΒ�����⃗ = (x2 − x1 , y2 − y1)
  16. 16. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 16 Αν 𝛂𝛂��⃗ = (𝐱𝐱 , 𝐲𝐲) τότε |𝛂𝛂��⃗| = �𝐱𝐱𝟐𝟐 + 𝐲𝐲 𝟐𝟐 Αν Α(𝐱𝐱𝟏𝟏 , 𝐲𝐲𝟏𝟏) και Β(𝐱𝐱𝟐𝟐 , 𝐲𝐲𝟐𝟐) τότε η απόσταση των δύο σημείων είναι : (𝐀𝐀𝐀𝐀) = �(𝐱𝐱𝟐𝟐 − 𝐱𝐱𝟏𝟏)𝟐𝟐 + (𝐲𝐲𝟐𝟐 − 𝐲𝐲𝟏𝟏)𝟐𝟐 Αν 𝛂𝛂��⃗ = (𝐱𝐱𝟏𝟏 , 𝐲𝐲𝟏𝟏) και 𝛃𝛃��⃗ = (𝐱𝐱𝟐𝟐 , 𝐲𝐲𝟐𝟐) τότε ισχύει η ισοδυναμία : 𝛂𝛂��⃗ ∥ 𝛃𝛃��⃗ ⇔ 𝐝𝐝𝐝𝐝𝐝𝐝� 𝛂𝛂��⃗ , 𝛃𝛃��⃗� = 𝟎𝟎 ⇔ � 𝐱𝐱𝟏𝟏 𝐲𝐲𝟏𝟏 𝐱𝐱𝟐𝟐 𝐲𝐲𝟐𝟐 � = 𝟎𝟎 Μέτρο διανύσματος Έστω το διάνυσμα α��⃗ = (x , y) και Α σημείο με ΟA�����⃗ = α��⃗ . Από Πυθαγόρειο Θεώρημα στο τρίγωνο ΟΑΑ1 έχουμε : (ΟΑ)2 = (ΟΑ1)2 + (ΑΑ1)2 ⇔ (ΟΑ)2 = (ΟΑ1)2 + (ΟΑ2)2 ⇔ |α��⃗|2 = x2 + y2 ⇔ |α��⃗| = �x2 + y2 Απόσταση δύο σημείων Έστω τα σημεία Α(x1 , y1) και Β(x2 , y2) , τότε οι συντατεγμένες του διανύσματος ΑΒ�����⃗ = (x2 − x1 , y2 − y1) , άρα θα έχει μέτρο : �ΑΒ�����⃗� = (ΑΒ) = �(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 Συνθήκη Παραλληλίας Διανυσμάτων
  17. 17. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 17 Συντελεστής διεύθυνσης Διανύσματος Έστω το διάνυσμα α��⃗ = (x , y) και Α σημείο με ΟA�����⃗ = α��⃗ . Τη γωνία φ που διαγράφει ο θετικός ημιάξονας Ox αν στραφεί γύρω από το Ο κατά τη θετική φορά μέχρι να συμπέσει με την ημιευθεία ΟΑ , την ονομάζουμε γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα 𝛂𝛂��⃗ με τον άξονα x’x . Από τον ορισμό της γωνίας προκύπτει ότι 0 ≤ φ < 2𝜋𝜋 Το πηλίκο της τεταγμένης προς την τετμημένη του διανύσματος α��⃗ = (x , y) με x ≠ 0 , το λέμε συντελεστή διεύθυνσης του α��⃗ και τον συμβολίζουμε με λα��⃗ ή λ . Ισχύουν : α) α��⃗ ∥ x′ x ⇔ λα��⃗ = 0 αφού y = 0 β) α��⃗ ∥ y′ y ⇔ λα��⃗ = δεν ορίζεται , αφού x = 0 Κριτήριο Παραλληλίας Διανύσματος Θεωρούμε τα διανύσματα α��⃗ = (x1 , y1) και β�⃗ = (x2 , y2) . Τότε έχουμε : α��⃗ ∥ β�⃗ ⇔ det�α��⃗ , β�⃗� = 0 ⇔ � x1 y1 x2 y2 � = 0 ⇔ x1 ∙ y2 − x2 ∙ y1 = 0 ⇔ x1 ∙ y2 = x2 ∙ y1 ⇔ y1 x1 = y2 x2 ⇔ λ1 = λ2 . 𝛌𝛌𝛂𝛂��⃗ = 𝐲𝐲 𝐱𝐱 𝛂𝛂��⃗ ∥ 𝛃𝛃��⃗ ⇔ 𝛌𝛌𝛂𝛂��⃗ = 𝛌𝛌𝛃𝛃��⃗
  18. 18. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 18 Ασκήσεις 56. Δίνονται τα διανύσματα α��⃗ = (2 , 4) , β�⃗ = (−1 , 3). Να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων : α��⃗ + β�⃗ , α��⃗ − β�⃗ , 2α��⃗ − 3β�⃗ , 3α��⃗ + 4β�⃗ . 1. Πράξεις με Συντεταγμένες 57. Δίνονται τα διανύσματα α��⃗ = (3 , 1) , β�⃗ = (5 , 1) και γ�⃗ = (−1 , 1) . Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος v�⃗ = 2α��⃗ − β�⃗ + γ�⃗ 58. Δίνονται τα διανύσματα α��⃗ = (−2 , 3) , β�⃗ = (1 , − 1) και γ�⃗ = (3 , −2) Να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων : α��⃗ + 2β�⃗ , 2α��⃗ − γ�⃗ και α��⃗ − β�⃗ + 1 2 γ�⃗ . 2. Μηδενικό Διάνυσμα 59. Να προσδιοριστούν οι πραγματικοί αριθμοί κ , λ ώστε το διάνυσμα u�⃗ = (κ2 + κ − 2 , 3λ − 3) να είναι το μηδενικό διάνυσμα . 60. Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό κ ώστε το διάνυσμα u�⃗ = (κ2 − 5κ + 6 , κ − 2) να είναι το μηδενικό διάνυσμα . 61. Να προσδιοριστούν οι πραγματικοί αριθμοί κ , λ ώστε τα διανύσματα α��⃗ = (κ , 2κ − λ) , β�⃗ = (2λ , 4) να είναι ίσα . 3. Ισότητα Διανυσμάτων – Αντίθετα Διανύσματα 62. Να προσδιοριστούν οι πραγματικοί αριθμοί κ , λ ώστε τα διανύσματα α��⃗ = (κ − 1 , λ − 2) , β�⃗ = (λ , 2κ − 1) να είναι αντίθετα . 63. Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό λ ώστε τα διανύσματα α��⃗ = (λ2 − 3λ + 2 , 2λ2 − 3λ − 2) και β�⃗ = (λ2 − 5λ + 6 , −3λ2 + 7λ − 2) να είναι ίσα . (ΣΧΟΛΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ ) 64. Να προσδιοριστούν οι πραγματικοί αριθμοί λ , μ ώστε τα διανύσματα α��⃗ = (2λ + μ)i⃗ + (λ − 3μ + 1)j⃗ και β�⃗ = (2μ + 5)i⃗ + (4λ − μ + 1)j⃗ να είναι ίσα . 65. Δίνεται το διάνυσμα α��⃗ = (λ2 − 4 , λ + 2) , λ ∈ ℝ . Να βρείτε τον αριθμό λ ώστε : α. α��⃗ = 0�⃗ β. α��⃗ ≠ 0�⃗ και α��⃗ ∥ x′x γ. α��⃗ ≠ 0�⃗ και α��⃗ ∥ y′y 4. Παραλληλία Διανύσματος με Άξονες 66. Δίνεται το διάνυσμα α��⃗ = (λ2 − 4 , λ2 − 3λ + 2 ) , λ ∈ ℝ . Να βρείτε τον αριθμό λ ώστε : α. α��⃗ = 0�⃗ β. α��⃗ ≠ 0�⃗ και α��⃗ ∥ x′x (ΣΧΟΛΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ ) 67. Δίνονται τα διανύσματα α��⃗ = (x , 1) και β�⃗ = (−y2 + 4y − 5 , x + 2) . Να βρείτε τις τιμές των x , y αν : α. α��⃗ − β�⃗ ∥ x′x β. α��⃗ + 2β�⃗ = −20i⃗ + 9j⃗ 68. Δίνονται τα διανύσματα α��⃗ = (λ2 + 3λ , λ2 − 9) και β�⃗ = (λ − 5 , 3λ − 1) με λ ∈ ℝ . Να βρείτε τις τιμές του λ αν : α. τα διανύσματα α��⃗ και β�⃗ είναι αντίθετα β. το διάνυσμα α��⃗ είναι το μηδενικό διάνυσμα γ. είναι α��⃗ ≠ 0�⃗ και α��⃗ ∥ x′x δ. είναι α��⃗ ≠ 0�⃗ και α��⃗ ∥ y′y
  19. 19. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 19 69. Δίνονται τα διανύσματα α��⃗ = (κ − 1 , −2) και β�⃗ = (λ − 2 , κ) . Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς κ , λ ώστε να ισχύει 3α��⃗ − 2β�⃗ = 0�⃗ 5. Γραμμικός Συνδυασμός Διανυσμάτων 70. Δίνονται τα διανύσματα u�⃗ = (−1 ,3) , v�⃗ = (2 , 1) . Να γραφεί το διάνυσμα w���⃗ = (4 , 16) σαν γραμμικό συνδυασμό των διανυσμάτων u�⃗ και v�⃗ . 71. Δίνονται τα διανύσματα α��⃗ = (2 ,3) , β�⃗ = (−1 , 2) . Να γραφεί το διάνυσμα v�⃗ = (4 , 13) σαν γραμμικό συνδυασμό των διανυσμάτων α��⃗ και β�⃗ . 72. Δίνονται τα διανύσματα α��⃗ = (2λ + 1 , −2) , β�⃗ = (1 , 2) και γ�⃗ = (λ , μ) με λ , μ ∈ ℝ . Να βρεθούν τα λ , μ ώστε να ισχύει α��⃗ + 2β�⃗ − γ�⃗ = 0�⃗ . 73. Δίνονται τα διανύσματα α��⃗ = xi⃗ + yj⃗ και β�⃗ = (y − 2)i⃗ + (x + 6)j⃗ με x , y ∈ ℝ για τα οποία ισχύει 2α��⃗ − 3β�⃗ = (−7 , −6) . α. Να βρείτε τις τιμές των x , y β. Να γραφεί το διάνυσμα v�⃗ = −10 i⃗+ 4 j⃗σαν γραμμικό συνδυασμό των διανυσμάτων α��⃗ και β�⃗ . 74. Δίνονται τα σημεία Α(2 , 8) και Β(6 , −4) . Να βρείτε τις συντεταγμένες του μέσου Μ του τμήματος ΑΒ . 6. Συντεταγμένες Μέσου Τμήματος 75. Δίνεται το τμήμα ΚΛ με Λ(4 , 3) και το μέσο Ν(−2 , 6) του ΚΛ . Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Κ . 76. Να βρείτε το συμμετρικό του σημείου Α(1 , −2) ως προς το Β(−1 , 3) . 77. Δίνονται τα σημεία Α(λ , 2κ − 4) , Β(−2λ − κ , 3λ − κ) και Μ(κ , λ − 1) με κ , λ ∈ ℝ . Να βρείτε τις τιμές των κ , λ ώστε το Μ να είναι το μέσο του ΑΒ . 78. Δίνονται οι κορυφές Α(1 , 3) , Β(5 ,3) ενός παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ . Αν το σημείο τομής των διαγωνίων του είναι το Κ(3 , 7) να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών Γ και Δ . 79. Δίνονται οι κορυφές Α(2 , 3) , Β(4 , −1) και Γ(0 , 5) ενός παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ 80. Δίνεται κύκλος με κέντρο Κ(−3 , 2) , διαμέτρου ΑΒ με Α(1 , 3) . Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Β . 81. Τα μέσα των πλευρών ενός τριγώνου ΑΒΓ είναι τα σημεία Κ(1 , 2) , Λ(3 , 5) και Μ(2 , −4) . Να βρεθούν οι συντεταγμένες των κορυφών Α , Β , Γ του τριγώνου ΑΒΓ . 82. Τα μέσα των πλευρών ενός τριγώνου ΑΒΓ είναι τα σημεία Κ(−2 , −2) , Λ(−1 , 0) και Μ(2 , −1) . Να βρεθούν οι συντεταγμένες των κορυφών Α , Β , Γ του τριγώνου ΑΒΓ . 83. Σε ένα σύστημα συντεταγμένων Οxy οι τετμημένες δύο σημείων Α και Β είναι οι ρίζες της εξίσωσης x2 − (λ2 + 3λ − 5)x − 10 = 0 . Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού λ , ώστε το μέσο του τμήματος ΑΒ να έχει τετμημένη ίση με − 1 2 .
  20. 20. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 20 84. Αν Λ(2 , −5) και Μ(3 , 4) να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος ΛΜ������⃗ 7. Συντεταγμένες Διανύσματος με Γνωστά Άκρα 85. Αν ΚΛ�����⃗ = (−1 , 4) και Λ(2 , 5) να βρείτε τις συντεταγμένες του Κ . 86. Έστω το σημείο Α(−1 , 2) . Να βρείτε : α. το διάνυσμα ΑΒ�����⃗ όταν Β(−3 , 0) β. το Γ αν είναι ΑΓ�����⃗ = (−3 , −5) γ. το Δ όταν ισχύει 2ΑΔ�����⃗ − 3ΔΕ�����⃗ = 0���⃗ και Ε(3 , −1) 86. Δίνονται τα σημεία Α(1 , 2) και Β(3 , 8) . Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Γ ώστε να είναι ΑΓ�����⃗ = 2ΑΒ�����⃗ 87. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(−1 , 1) , Β(2 , 0) και Γ(2 , −3) . Να βρεθούν οι συντεταγμένες της διαμέσου ΑΜ������⃗ καθώς και του σημείου Δ για το οποίο ισχύει ΒΔ�����⃗ = ΑΓ�����⃗ . 88. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(−2 , 0) , Β(1 , −3 ) και Γ(2 , 1) . Αν ΑΜ������⃗ = 2ΜΒ������⃗ και ΑΔ διάμεσος , να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος ΜΔ������⃗ . 88. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με Α(1 , 5) , Β(7 , 3) και ΑΚ�����⃗ = (1 , −4) όπου Κ το κέντρο του . Να βρείτε τις συντεταγμένες των Κ , Γ και Δ . 89. Δίνονται τα σημεία Α(λ , 3μ+2) , Β(μ , λ − 6) και το διάνυσμα ΑΒ�����⃗ = (4 , −14) . Να βρείτε : α. τα λ , μ β. ένα σημείο Μ ώστε να ισχύει ΑΜ������⃗ = 3ΒΜ������⃗ . 90. Δίνονται τα σημεία Α(x , y) , Β(x+2y , x+1) και Γ(y − 3 , 2x − 4) . α. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς x , y αν ισχύει AB�����⃗ + AΓ�����⃗ = (−12 , 10) β. Να γραφεί το διάνυσμα v�⃗ = (−4 , 14) σαν γραμμικό συνδυασμό των διανυσμάτων ΑΓ�����⃗ και ΒΓ����⃗ 91. Αν α��⃗ = (−1 , 2) και β�⃗ = (3 , −2) να υπολογίσετε τα μέτρα |−2α��⃗| και �3α��⃗ − 2β�⃗� 8. Μέτρο Διανύσματος – Απόσταση Δύο Σημείων 92.Να βρείτε τις τιμές του λ ∈ ℝ αν για το διάνυσμα β�⃗ = (1 − λ , λ − 3) ισχύει �β�⃗� = 10 . 93. Να βρείτε τις τιμές του λ ∈ ℝ αν για το διάνυσμα α��⃗ = (λ , λ + 1) ισχύει |−3α��⃗| = 15 . 94. Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος α��⃗ για το οποίο ισχύει α��⃗ = (|α��⃗| − 4 , 8) 95. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(2 , 1) , Β(3 , −2) , Γ(7 , −4) . α. Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος v�⃗ = −4ΑΓ�����⃗ + 7ΒΓ����⃗ β. Αν Μ μέσο του ΒΓ να βρείτε το μέτρο της διαμέσου ΑΜ������⃗ 96. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(−2 , −2) , Β(3 , 0) , Γ(−1 , 3) . Να βρείτε τα μήκη των πλευρών του καθώς και τα μήκη των διαμέσων του . 97. Έστω τα σημεία Α(8 , −2) , Β(0 , 6) και Γ(2 , 0) . Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές και να βρεθεί το μήκος της διαμέσου ΑΔ . 98. Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ με Α(−3 , −3) , Β(−1 , 3) και Γ(11 , −1 ) είναι ορθογώνιο . 99. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με Α(1 , 1) , Γ(4 , 3) , Δ(2 , 3) . Να βρείτε : α. τα μήκη των πλευρών του ΑΒΓΔ β. συντεταγμένες του κέντρου Κ του ΑΒΓΔ καθώς και της κορυφής Β ( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ )
  21. 21. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 21 100. Δίνονται τα σημεία Α(−1 , 6) και Β(−9 , −2) . Να βρείτε σημείο Μ του άξονα x’x το οποίο να ισαπέχει από τα Α και Β . 101. Δίνονται τα σημεία Α(−1 , 2) και Β(3 , 1) . Να βρείτε σημείο Μ του άξονα y’y το οποίο να ισαπέχει από τα Α και Β . 102. Δίνονται τα σημεία Α(−2 , −5) και Β(3 , −4 ). Να βρείτε σημείο Γ του άξονα x’x τέτοιο ώστε το τρίγωνο ΑΒΓ να είναι ισοσκελές με βάση την ΑΒ . 103. Δίνονται τα σημεία Α(x , −2) , Β(16 , x + 2) και Γ(5 , x) . Να βρείτε το x ∈ ℝ αν ισχύει �2ΑΒ�����⃗ + 3ΒΓ����⃗� = �ΑΓ�����⃗� 104. Δίνονται τα σημεία A(λ , 1) και Β(−1 , λ + 3) . Να βρείτε το λ ∈ ℝ αν ισχύει (ΑΒ)=5 . 105. Δίνεται το διάνυσμα α��⃗ = (−6 , 8) . Να βρείτε διάνυσμα β�⃗ , παράλληλο του α��⃗ , με �β�⃗� = 5 106. Δίνεται το διάνυσμα α��⃗ = (2 , −1) . Να βρείτε διάνυσμα β�⃗ , αντίρροπο του α��⃗ , με �β�⃗� = 4√3 107. Δίνεται το διάνυσμα α��⃗ = (2 , −3) . Να βρείτε διάνυσμα β�⃗ , αντίρροπο του α��⃗ , με �β�⃗� = 3 108. Έστω τα διανύσματα α��⃗ = (λ − 1 , 3) και β�⃗ = (2λ − 2 , λ) . Να βρείτε το λ ∈ ℝ ώστε α��⃗ ∥ β�⃗ 9. Παραλληλία Διανυσμάτων 109. Έστω τα διανύσματα α��⃗ = (λ − 1 , 1) και β�⃗ = (1 , 2λ − 1) . Να βρείτε το λ ∈ ℝ ώστε α��⃗ ∥ β�⃗ 110. Έστω τα διανύσματα α��⃗ = (λ , −8) και β�⃗ = (−1 , λ − 2) . Να βρείτε το λ ∈ ℝ ώστε α��⃗ ↑↑ β�⃗ 111. Έστω τα διανύσματα α��⃗ = (1 , λ − 1) και β�⃗ = (λ − 1 , 9) . Να βρείτε το λ ∈ ℝ ώστε α��⃗ ↑↓ β�⃗ 112. Έστω τα σημεία Α(−3 , −2) , Β(2 , κ) , Γ(5 , −3) και Δ(4 , κ) . Να βρείτε το κ ∈ ℝ ώστε ΑΒ�����⃗ ∥ ΓΔ����⃗ 113. Έστω τα διανύσματα α��⃗ και β�⃗ για τα οποία ισχύουν 3α��⃗ + 2β�⃗ = (−2 , 9) και α��⃗ − 2β�⃗ = (10 , −5) . α. Να βρείτε τις συντεταγμένες των α��⃗ και β�⃗ β. Να γραφεί το διάνυσμα γ�⃗ = (4 , 7) σαν γραμμικό συνδυασμό των διανυσμάτων α��⃗ και β�⃗ γ. Να βρείτε το λ ∈ ℝ ώστε το διάνυσμα δ�⃗ = (λ , 6 − λ) να είναι παράλληλο στο διάνυσμα α��⃗ − β�⃗ . 114. Έστω τα διανύσματα α��⃗ = (λ , 1 − λ) , β�⃗ = (λ + 1 , 2) και γ�⃗ = (6 , −10) . Αν ισχύει �α��⃗ + β�⃗� ∥ γ�⃗ τότε : α. να βρείτε τον αριθμό λ β. να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 5α��⃗ − 6β�⃗ γ. να γράψετε το διάνυσμα u�⃗ = 3 j⃗ σαν γραμμικό συνδυασμό των διανυσμάτων α��⃗ και β�⃗ 115. Έστω τα διανύσματα α��⃗ = (2 , 3) , β�⃗ = (−10 , 2) και γ�⃗ = 2α��⃗ + β�⃗ . Να βρείτε : α. το μέτρο του διανύσματος γ�⃗ β. τον αριθμό λ ∈ ℝ ώστε το διάνυσμα δ�⃗ = (λ , 1 − λ) να είναι παράλληλο στο γ�⃗ 10. Συνευθειακά Σημεία 116. Να δείξετε ότι τα σημεία Α(−1 , 2) , Β(1 , 1) και Γ(−3 , 3) είναι συνευθειακά . 117. Δίνονται τα σημεία Α(8 , −6) , Β(−2 , −2) και Γ(−7 , 0) . α. Να δείξετε ότι τα σημεία Α , Β , Γ είναι συνευθειακά . β. Να βρεθούν τα κ , λ ∈ ℝ ώστε να ισχύουν ΑΓ�����⃗ = λΓΒ����⃗ και ΑΒ�����⃗ = κΑΓ�����⃗
  22. 22. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 22 118. Δίνονται τα σημεία Α(0 , 4) , Β(κ , −2) και Γ(−2 , 2) . Να βρείτε το κ ∈ ℝ ώστε τα σημεία Α , Β , Γ να είναι συνευθειακά . 119. Δίνονται τα σημεία Α(−1 , λ − 1) , Β(3 , λ + 3) και Γ(λ2 , 2) . Να βρείτε το λ ∈ ℝ ώστε τα σημεία Α , Β , Γ να είναι συνευθειακά . 120. Δίνονται τα σημεία Α(1 , −4) και Β(4 , 2) . Να βρείτε σημείο Γ του άξονα x’x ώστε τα σημεία Α , Β , Γ να είναι συνευθειακά . 121. Δίνονται τα σημεία Α(α + 1 , 3) , Β(α , 4) και Γ(−4 , 5α + 4) , α ∈ ℝ . α. Να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων ΑΒ�����⃗ , ΒΓ����⃗ β. Να βρείτε για ποια τιμή του α τα σημεία Α , Β , Γ είναι συνευθειακά γ. Για α = 1 , να βρείτε τον αριθμό λ ώστε να ισχύει ΑΓ�����⃗ = λ ΑΒ�����⃗ ( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ) 122. Να εξετάσετε αν τα σημεία Α(1 , −1) , Β(2 , 1) και Γ(−1 , 5) είναι κορυφές τριγώνου 123. Δίνονται τα διανύσματα ΟΑ�����⃗ = 2i⃗+ 4j⃗, ΟΒ�����⃗ = 3i⃗+ j⃗ , ΟΓ�����⃗ = 5i⃗ − 5j⃗ . α. Να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων ΑΒ�����⃗ , ΒΓ����⃗ β. Να εξετάσετε αν τα σημεία Α , Β και Γ είναι κορυφές τριγώνου . ( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ) 124. Δίνονται τα σημεία Α(1 , 1) , Β(−3 , 3) και Γ(3 , 1) . α. Να δείξετε ότι τα σημεία Α , Β , Γ είναι κορυφές τριγώνου . β. Να βρείτε την απόσταση του σημείου Μ από το Β , όπου ΑΜ διάμεσος του τριγώνου ΑΒΓ 125. Δίνονται τα σημεία Α(λ − 1 , −2) , Β(−1 , 0) και Γ(λ − 3 , 2λ) . α. Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε τα σημεία Α , Β , Γ να σχηματίζουν τρίγωνο . β. Για λ = −1 , να βρείτε το μήκος της διαμέσου ΑΜ 126. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(−1 , 2) , Β(7 , 0) και Γ(1 , 4) . Αν Δ μέσο της διαμέσου ΑΜ και σημείο Ε για το οποίο ισχύει 2 ΑΕ�����⃗ = ΕΓ����⃗ , τότε : α. να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων Δ και Ε β. να δείξετε ότι τα σημεία Β , Δ , Ε είναι συνευθειακά . 127. Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης : α. του διανύσματος α��⃗ = (2 , −6) β. του διανύσματος ΑΒ�����⃗ με Α(2 , −4) και Β(−3 , 6) 11. Συντελεστής Διεύθυνσης Διανύσματος 128. Δίνονται τα σημεία Α(λ , λ − 1) , Β(5 , −2λ) με λ ≠ 5 . Να βρείτε το λ ∈ ℝ αν το διάνυσμα ΑΒ�����⃗ έχει συντελεστή διεύθυνσης ίσο με −4 . 129. Τα διανύσματα α��⃗ = (κ , μ + 4) και β�⃗ = (μ , κ − 9) με κ , μ ≠ 0 έχουν συντελεστές διεύθυνσης 2 και −3 αντίστοιχα . Να βρείτε : α. τις τιμές των κ και μ β. τον συντελεστή διεύθυνσης του διανύσματος γ�⃗ = 3α��⃗ − 2β�⃗ 130. Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει με τον άξονα x’x το διάνυσμα α��⃗ = �√3 , 3� 131. Αν Α(7 , −1) , Β(4 , 2) να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει με τον άξονα x’x το διάνυσμα ΑΒ�����⃗ 132. Αν Α(3 , 0) , Β�0 , −√3� να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει με τον άξονα x’x το διάνυσμα ΑΒ�����⃗
  23. 23. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 23 133. Δίνεται το διάνυσμα α��⃗ = (λ , λ2 − 6) . Να βρείτε το λ ∈ ℝ ώστε το διάνυσμα α��⃗ να σχηματίζει γωνία 3π 4 με τον άξονα x’x . 134. Δίνονται τα διανύσματα α��⃗ = (λ , λ − 5) , β�⃗ = (λ − 3 , 6) για τα οποία ισχύει �α��⃗ + β�⃗� = √5 . α. Να δείξετε ότι λ = 1 β. Θεωρούμε επίσης το διάνυσμα γ�⃗ = 4α��⃗ + 3β�⃗ β1. Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει με τον άξονα x’x το διάνυσμα γ�⃗ β2. Να βρείτε το κ ∈ ℝ ώστε το διάνυσμα δ�⃗ = (κ , κ − 6) να είναι παράλληλο στο γ�⃗
  24. 24. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 24 𝛂𝛂��⃗ ∙ 𝛃𝛃��⃗ = |𝛂𝛂��⃗| ∙ �𝛃𝛃��⃗� ∙ 𝛔𝛔𝛔𝛔𝛔𝛔�𝛂𝛂��⃗ , 𝛃𝛃��⃗� 𝛂𝛂��⃗ ∙ 𝛃𝛃��⃗ = 𝐱𝐱𝟏𝟏 ∙ 𝐱𝐱𝟐𝟐 + 𝐲𝐲𝟏𝟏 ∙ 𝐲𝐲𝟐𝟐 Ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο μη μηδενικών διανυσμάτων α��⃗ και β�⃗ και το συμβολίζουμε με α��⃗ ∙ β�⃗ τον πραγματικό αριθμό : Ορισμός Εσωτερικού Γινομένου Αν α��⃗ = 0�⃗ ή β�⃗ = 0�⃗ τότε ορίζουμε α��⃗ ∙ β�⃗ = 0 − Άμεσες συνέπειες του ορισμού : α) α��⃗ ∙ β�⃗ = β�⃗ ∙ α��⃗ β) α��⃗ ⊥ β�⃗ ⇔ α��⃗ ∙ β�⃗ = 0 γ) α��⃗ ↑↑ β�⃗ ⇔ α��⃗ ∙ β�⃗ = |α��⃗| ∙ �β�⃗� δ) α��⃗ ↑↓ β�⃗ ⇔ α��⃗ ∙ β�⃗ = −|α��⃗| ∙ �β�⃗� ε) α��⃗2 = |α��⃗|2 αφού α��⃗2 = α��⃗ ∙ α��⃗ = |α��⃗| ∙ |α��⃗| ∙ συν(α��⃗ , α��⃗) = |α��⃗|2 ∙ 1 = |α��⃗|2 Θεωρούμε τα διανύσματα α��⃗ = (x1 , y1) και β�⃗ = (x2 , y2) , τότε : α��⃗ ∙ β�⃗ = x1 ∙ x2 + y1 ∙ y2 Αναλυτική Έκφραση Εσωτερικού Γινομένου α) (𝛌𝛌𝛂𝛂��⃗) ∙ 𝛃𝛃��⃗ = 𝛂𝛂��⃗ ∙ �𝛌𝛌𝛃𝛃��⃗� = 𝛌𝛌�𝛂𝛂��⃗ ∙ 𝛃𝛃��⃗� Ιδιότητες Εσωτερικού Γινομένου Έστω τα διανύσματα α��⃗ = (x1 , y1) και β�⃗ = (x2 , y2) , τότε : (λα��⃗) ∙ β�⃗ = (λx1 , λy1) ∙ (x2 , y2) = (λx1)x2 + (λy1)y2 = λ(x1x2 + y1y2) = λ�α��⃗ ∙ β�⃗� α��⃗ ∙ �λβ�⃗� = (x1 , y1) ∙ (λx2 , λy2) = x1(λx2) + y1(λy2) = λ(x1x2 + y1y2) = λ�α��⃗ ∙ β�⃗� Άρα (λα��⃗) ∙ β�⃗ = α��⃗ ∙ �λβ�⃗� = λ�α��⃗ ∙ β�⃗� 3. Εσωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων
  25. 25. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 25 β) 𝛂𝛂��⃗ ∙ �𝛃𝛃��⃗ + 𝛄𝛄��⃗� = 𝛂𝛂��⃗ ∙ 𝛃𝛃��⃗ + 𝛂𝛂��⃗ ∙ 𝛄𝛄��⃗ Έστω τα διανύσματα α��⃗ = (x1 , y1) , β�⃗ = (x2 , y2) και γ�⃗ = (x3 , y3) , τότε : α��⃗ ∙ �β�⃗ + γ�⃗� = (x1 , y1) ∙ (x2 + x3 , y2 + y3) = x1 ∙ (x2 + x3) + y1 ∙ (y2 + y3) = (x1x2 + x1x3) + (y1y2 + y1y3) = (x1x2 + y1y2) + (x1x3 + y1y3) = α��⃗ ∙ β�⃗ + α��⃗ ∙ γ�⃗ γ) 𝛂𝛂��⃗ ⊥ 𝛃𝛃��⃗ ⇔ 𝛌𝛌𝛂𝛂��⃗ ∙ 𝛌𝛌𝛃𝛃��⃗ = −𝟏𝟏 Έστω τα διανύσματα α��⃗ = (x1 , y1) και β�⃗ = (x2 , y2) , τότε : α��⃗ ⊥ β�⃗ ⇔ α��⃗ ∙ β�⃗ = 0 ⇔ (x1 , y1) ∙ (x2 , y2) = 0 ⇔ x1 ∙ x2 + y1 ∙ y2 = 0 ⇔ y1 ∙ y2 = −x1 ∙ x2 ⇔ y1 x1 ∙ y2 x2 = −1 ⇔ λα��⃗ ∙ λβ��⃗ = −1 .
  26. 26. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 26 Ασκήσεις 135. Αν για τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ ισχύουν |α��⃗| = 3 , �β�⃗� = 4 και �α��⃗ , β�⃗� � = 60° , τότε να βρείτε : α. α��⃗ ∙ β�⃗ β. β�⃗2 γ. 3α��⃗ ∙ �−4β�⃗� δ. 2α��⃗�3α��⃗ − 4β�⃗� ε. �2α��⃗ − β�⃗��3α��⃗ + 5β�⃗� 1. Εύρεση Εσωτερικού Γινομένου 136. Αν το διάνυσμα α��⃗ είναι μοναδιαίο , �β�⃗� = 2 και �α��⃗ , β�⃗� � = 2π 3 , τότε να βρείτε : α. α��⃗ ∙ β�⃗ β. �α��⃗ − 2β�⃗��α��⃗ − β�⃗� γ. �α��⃗ − 3β�⃗� 2 137. Αν για τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ ισχύουν |α��⃗| = √2 , �β�⃗� = 2√2 και �α��⃗ , β�⃗� � = π 6 , τότε να βρείτε : α. α��⃗ ∙ β�⃗ β. α��⃗2 + β�⃗2 γ. �α��⃗ + β�⃗� 2 δ. �2α��⃗ + 3β�⃗��4α��⃗ − 5β�⃗� 138. Αν για τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ ισχύουν �β�⃗� = √12 , α��⃗ ∙ β�⃗ = −12 και �α��⃗ , β�⃗� � = 150° να βρείτε : α. το μέτρο του διανύσματος α��⃗ β. το εσωτερικό γινόμενο �α��⃗ + β�⃗��α��⃗ − β�⃗� 139. Αν για τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ ισχύουν |α��⃗| = 4 , �α��⃗ , β�⃗� � = π 3 και α��⃗ ∙ �α��⃗ + 2β�⃗� = 28 τότε να βρείτε : α. το εσωτερικό γινόμενο α��⃗ ∙ β�⃗ β. το μέτρο του διανύσματος β�⃗ γ. το εσωτερικό γινόμενο �α��⃗ − 2β�⃗��2α��⃗ + β�⃗� 140. Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο α��⃗ ∙ β�⃗ στις παρακάτω περιπτώσεις : α. Αν τα διανύσματα είναι ομόρροπα και |α��⃗| = 5 , �β�⃗� = 6 β. Αν τα διανύσματα είναι αντίρροπα και |α��⃗| = 8 , �β�⃗� = 3 141. Αν α��⃗ + β�⃗ + 2γ�⃗ = 0���⃗ και |α��⃗| = 1 , �β�⃗� = 2 , |γ�⃗| = 3 τότε να βρεθεί η τιμή της παράστασης Α = α��⃗ ∙ β�⃗ + β�⃗ ∙ γ�⃗ 142. Αν α��⃗ + β�⃗ + γ�⃗ = 0���⃗ και |α��⃗| = 1 , �β�⃗� = 2 , |γ�⃗| = 3 τότε να βρεθεί η τιμή της παράστασης Α = α��⃗ ∙ β�⃗ + β�⃗ ∙ γ�⃗ + γ�⃗ ∙ α��⃗ 143. Αν α��⃗ + β�⃗ − 3γ�⃗ = 0���⃗ και 2|α��⃗| = �β�⃗� = 4|γ�⃗| = 4 τότε να βρεθεί η τιμή της παράστασης Α = α��⃗ ∙ β�⃗ + β�⃗ ∙ γ�⃗ + γ�⃗ ∙ α��⃗ 144. Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο με πλευρά ίση με 2 . Αν ΑΔ το ύψος του , να υπολογίσετε τα εσωτερικά γινόμενα ΑΒ�����⃗ ∙ ΑΓ�����⃗ , ΑΒ�����⃗ ∙ ΒΓ����⃗ , ΑΔ�����⃗ ∙ ΑΓ�����⃗ και ΑΓ�����⃗ ∙ ΔΒ�����⃗
  27. 27. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 27 145. Αν |α��⃗| = 3 , �β�⃗� = 6 , να βρείτε το λ ώστε τα διανύσματα v�⃗ = 3α��⃗ + λβ�⃗ και u�⃗ = 3α��⃗ − λβ�⃗ να είναι κάθετα . 2. Κάθετα Διανύσματα – Εύρεση Μέτρου Διανύσματος 146. Αν για τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ ισχύουν |α��⃗| = 1 , �β�⃗� = 2 , �α��⃗ , β�⃗� � = 2π 3 . Να βρείτε την τιμή του πραγματικού αριθμού λ ώστε να ισχύει �α��⃗ + λβ�⃗� ⊥ �α��⃗ − 4β�⃗� 147. Αν για τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ ισχύουν |α��⃗| = 2 , �β�⃗� = √3 , �α��⃗ , β�⃗� � = π 6 τότε να βρεθούν τα μέτρα �α��⃗ + β�⃗� , �α��⃗ − β�⃗� και �α��⃗ + 2β�⃗� 148. Αν για τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ ισχύουν |α��⃗| = √2 , �β�⃗� = 2√2 και �α��⃗ , β�⃗� � = 60° τότε : α. Αν τα διανύσματα 2α��⃗ + β�⃗ και κα��⃗ + β�⃗ είναι κάθετα , να βρείτε την τιμή του κ β. Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 2α��⃗ + β�⃗ ( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ) 149. Αν για τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ ισχύουν 2|α��⃗| = �β�⃗� = 2√2 και �α��⃗ , β�⃗� � = 60° τότε : α. Να αποδείξετε ότι α��⃗ ∙ β�⃗ = 2 β. Να βρείτε το μέτρο των διανυσμάτων α��⃗ + β�⃗ και α��⃗ − β�⃗ ( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ) 150. Αν για τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ ισχύουν |α��⃗| = 2 , �β�⃗� = √2 και �α��⃗ , β�⃗� � = 5π 6 και u�⃗ = α��⃗ + 2β�⃗ τότε : α. Να βρείτε τα εσωτερικά γινόμενα α��⃗ ∙ β�⃗ και α��⃗ ∙ u�⃗ β. Να βρείτε το μέτρο του u�⃗ ( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ) 151. Αν για τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ ισχύουν 3|α��⃗| + �β�⃗� = 9 και 2|α��⃗| − �β�⃗� = 1 και �α��⃗ , β�⃗� � = 60° α. Να βρείτε τα μέτρα των α��⃗ , β�⃗ και το εσωτερικό γινόμενο α��⃗ ∙ β�⃗ β. Να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος u�⃗ = 2α��⃗ − 3β�⃗ ( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ) 152. Αν για τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ , γ�⃗ ισχύουν |α��⃗| = 2 , �β�⃗� = 1 , �α��⃗ , β�⃗� � = 60° και γ�⃗ = κ 2 α��⃗ − β�⃗ και β�⃗ ∙ γ�⃗ = κ α. Να δείξετε ότι κ = −2 β. Να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος γ�⃗ γ. Να δείξετε ότι τα διανύσματα 3α��⃗ + 2γ�⃗ και β�⃗ − γ�⃗ είναι κάθετα ( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ) 153. Αν για τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ ισχύουν |α��⃗| = 1 , �α��⃗ , β�⃗� � = π 3 και �3α��⃗ − 2β�⃗� = √13 , τότε να βρείτε το �β�⃗� 154. Αν για τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ ισχύουν |α��⃗| = √8 , �β�⃗� = 3 και �α��⃗ , β�⃗� � = 45° , τότε να βρείτε το �3α��⃗ − 2β�⃗� 155. Αν |α��⃗| = 3 , �β�⃗� = 1 και �α��⃗ − β�⃗� = 2 τότε να βρείτε το μέτρο �α��⃗ − 2β�⃗� . 156. Αν για τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ ισχύουν |α��⃗| = 3 , �α��⃗ , β�⃗� � = 2π 3 και �α��⃗ + 2β�⃗� = 7 α. Να αποδείξετε ότι �β�⃗� = 4 β. Να βρείτε το μέτρο �4α��⃗ + 3β�⃗� 157. Αν για τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ ισχύουν |α��⃗| = 2 , �β�⃗� = 4 και �4α��⃗ − β�⃗� = �α��⃗ − 2β�⃗� . α. Να αποδείξετε ότι α��⃗ ∙ β�⃗ = 3 β. Να βρείτε το μέτρο �3α��⃗ − 2β�⃗� 158. Αν για τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ ισχύουν α��⃗ ⊥ β�⃗ , �α��⃗ + β�⃗� ⊥ �α��⃗ − 3β�⃗� και �α��⃗ − β�⃗� = 2 να βρείτε τα μέτρα |α��⃗| , �β�⃗�
  28. 28. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 28 159. Αν για τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ ισχύουν �α��⃗ , β�⃗� � = 2π 3 , �α��⃗ + β�⃗� ⊥ �α��⃗ − β�⃗� και �3α��⃗ + 2β�⃗� = 7 , να βρείτε τα μέτρα |α��⃗| , �β�⃗� 160. Αν για τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ ισχύουν α��⃗ ⊥ β�⃗ , �α��⃗ + β�⃗� ⊥ �α��⃗ − 4β�⃗� και �2α��⃗ + 3β�⃗� = 5 . α. Να αποδείξετε ότι |α��⃗| = 2 , �β�⃗� = 1 β. Να βρείτε το μέτρο �3α��⃗ + 8β�⃗� 161. Αν για τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ ισχύουν α��⃗ ⊥ β�⃗ , �α��⃗ + 2β�⃗� ⊥ �α��⃗ − 3β�⃗� και |α��⃗| = √6 . Να δείξετε ότι �2α��⃗ − β�⃗� = 5 162. Δίνονται τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ με |α��⃗| = 1 , �β�⃗� = 2 , �α��⃗ , β�⃗� � = 60° . Θεωρούμε και τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ�����⃗ = α��⃗ − β�⃗ και ΒΓ����⃗ = 3α��⃗ + β�⃗ . Να βρείτε το μήκος της διαμέσου ΑΜ του τριγώνου ΑΒΓ . 163. Δίνονται τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ με |α��⃗| = 3 και �α��⃗ , β�⃗� � = 60° . Θεωρούμε και τρίγωνο ΑΒΓ με ΓΑ����⃗ = α��⃗ − 4β�⃗ και ΓΒ����⃗ = 4α��⃗ − 6β�⃗ , για το οποίο ισχύει �ΑΒ�����⃗� = √91 α. Να αποδείξετε ότι �β�⃗� = 5 β. Να βρείτε το μήκος της διαμέσου ΑΜ 164. Να υπολογίσετε τα μήκη των διαγωνίων ενός παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ που κατασκευάζεται με τα διανύσματα 3α��⃗ + 2β�⃗ και α��⃗ − β�⃗ αν |α��⃗| = 1 , �β�⃗� = √2 και �α��⃗ , β�⃗� � = 135° . 165. Να αποδείξετε ότι �α��⃗ + β�⃗� 2 + �α��⃗ − β�⃗� 2 = 2|α��⃗|2 + 2�β�⃗� 2 166. Αν ισχύει |α��⃗| = �β�⃗� = �α��⃗ + β�⃗� τότε να αποδείξετε ότι �α��⃗ − β�⃗� = |α��⃗| ∙ √3 . 167. Δίνονται τα μοναδιαία διανύσματα α��⃗ , β�⃗ με �α��⃗ , β�⃗� � = π 3 . Να βρείτε διάνυσμα x�⃗ ώστε να ισχύουν x�⃗ ∥ �α��⃗ + β�⃗� και β�⃗ ⊥ ( α��⃗ + x�⃗ ) . 168. Δίνονται τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ με |α��⃗| = 2 , �β�⃗� = 3 �α��⃗ , β�⃗� � = 2π 3 . Να βρείτε διάνυσμα x�⃗ ώστε να ισχύουν x�⃗ ∥ �α��⃗ − β�⃗� και α��⃗ ⊥ ( β�⃗ + x�⃗ ) . 169. Αν |α��⃗| = 2 , �β�⃗� = 3 , α��⃗ ⊥ β�⃗ και u�⃗ = 3α��⃗ + 2β�⃗ , να βρείτε την γωνία �α��⃗ , u�⃗� � 3. Γωνία Δύο Διανυσμάτων 170. Αν |α��⃗| = √2 , �β�⃗� = 1 και �2α��⃗ + β�⃗� ⊥ �3α��⃗ − 5β�⃗� να βρείτε τη γωνία �α��⃗ , β�⃗� � 171. Αν |α��⃗| = 2 , �β�⃗� = 2√2 και �α��⃗ , β�⃗� � = 45° , να βρείτε τη γωνία �β�⃗ − α��⃗ , α��⃗ � � 172. Αν |α��⃗| = 5 , �β�⃗� = 3 , �α��⃗ , β�⃗� � = π 3 , να βρείτε τη γωνία �α��⃗ + β�⃗ , α��⃗ − β�⃗� � 173. Αν |α��⃗| = 2 , �β�⃗� = 3 , �α��⃗ , β�⃗� � = 2π 3 και δ�⃗ = 3α��⃗ + 2β�⃗ , να βρείτε την γωνία �β�⃗ , δ�⃗� � 174. Δίνονται τα μη μηδενικά διανύσματα α��⃗ , β�⃗ με �β�⃗� = 2|α��⃗| . Αν α��⃗ ⊥ �α��⃗ − β�⃗� να βρείτε τη γωνία �α��⃗ , β�⃗� �
  29. 29. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 29 175. Αν |α��⃗| = 1 , �α��⃗ , β�⃗� � = 60° και �α��⃗ + β�⃗� ⊥ �5α��⃗ − 2β�⃗� α. Να βρείτε το μέτρο του β�⃗ β. Αν γ�⃗ = −2α��⃗ + β�⃗ να βρείτε τη γωνία φ� = �α��⃗ , γ�⃗� � 176. Αν |α��⃗| = 1 , �β�⃗� = 2 , �α��⃗ , β�⃗� � = π 3 και u�⃗ = 2α��⃗ + 3β���⃗ και v�⃗ = α��⃗ − 2β�⃗ . Να βρείτε το συν�u�⃗ , v�⃗� � 177. Αν |α��⃗| = 1 , �β�⃗� = 1 , �α��⃗ , β�⃗� � = 2π 3 και u�⃗ = 2α��⃗ + β���⃗ και v�⃗ = α��⃗ − 2β�⃗ . Να βρείτε το συν�u�⃗ , v�⃗� � 178. Δίνονται τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ με |α��⃗| = 1 , �β�⃗� = 5 και �α��⃗ − 2β�⃗� ∙ �α��⃗ + β�⃗� = −46 . α. Να βρείτε το συν�α��⃗ , β�⃗� � β. Θεωρούμε τα διανύσματα v�⃗ = 3α��⃗ + β�⃗ και u�⃗ = α��⃗ − β���⃗. Να βρείτε τη γωνία �u�⃗ , v�⃗� � 179. Δίνονται τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ με |α��⃗| = 2 , �β�⃗� = 3 και �3α��⃗ + 7β�⃗� ⊥ �6α��⃗ + β�⃗� . α. Να βρείτε τη γωνία των α��⃗ , β�⃗ β. Θεωρούμε το διάνυσμα γ�⃗ = λα��⃗ + β�⃗ το οποίο είναι κάθετο στο β�⃗ . Να βρείτε : β1. την τιμή του λ β2. το μέτρο του διανύσματος γ�⃗ β3. τη γωνία των διανυσμάτων α��⃗ και γ�⃗ 180. Δίνονται τα μη μηδενικά διανύσματα α��⃗ , β�⃗ με �α��⃗ , β�⃗� � = 60° . Θεωρούμε επίσης το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ�����⃗ = 4α��⃗ + β�⃗ και ΑΔ�����⃗ = 2α��⃗ − β�⃗ με (ΑΓ) = 6 και ισχύει ΑΓ�����⃗ ∙ ΔΒ�����⃗ = 36 . α. Να αποδείξετε ότι |α��⃗| = 1 και �β�⃗� = 4 . β. Να βρείτε το μήκος της διαγωνίου ΔΒ . γ. Να βρείτε την περίμετρο του ΑΒΓΔ δ. Να βρείτε τη γωνία Α� του ΑΒΓΔ . 181. Αν τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ , γ�⃗ είναι μοναδιαία και ισχύει α��⃗ ∙ β�⃗ + β�⃗ ∙ γ�⃗ = 2 να δείξετε ότι α��⃗ = β�⃗ = γ�⃗ 182. Δίνονται τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ με �β�⃗� = 2|α��⃗| = 4 και α��⃗ ∙ β�⃗ = −8 . α. Να βρείτε τη γωνία των α��⃗ , β�⃗ β. Να δείξετε ότι β�⃗ + 2α��⃗ = 0�⃗ ( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ) 183. Δίνονται τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ και u�⃗ = α��⃗ + 2β�⃗ , v�⃗ = 5α��⃗ − 4β�⃗ και u�⃗ ⊥ v�⃗ και |α��⃗| = �β�⃗� = 1 . Να δείξετε ότι : α. α��⃗ ∙ β�⃗ = 1 2 β. τα διανύσματα u�⃗ − 3v�⃗ και α��⃗ − β�⃗ είναι αντίρροπα και |u�⃗ − 3v�⃗ | = 14 ( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ) 184. Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο στις παρακάτω περιπτώσεις : α. α��⃗ ∙ β�⃗ αν α��⃗ = (2 , −3) και β�⃗ = (4 , 5) β. ΑΒ�����⃗ ∙ ΓΔ����⃗ αν Α(3 , 1) , Β(2 , −5) , Γ(−4 , 3) , Δ(−1 , −2) 4. Αναλυτική Έκφραση Εσωτερικού Γινομένου 185. Δίνονται τα διανύσματα α��⃗ = (2 , λ) και β�⃗ = (λ − 8 , 1) για τα οποία ισχύει α��⃗ ∙ β�⃗ = −1 . Να βρείτε : α. τον πραγματικό αριθμό λ β. το εσωτερικό γινόμενο �α��⃗ − 2β�⃗� ∙ �α��⃗ + β�⃗� 186. Να βρεθούν οι τιμές του λ ∈ ℝ ώστε τα διανύσματα α��⃗ = (λ − 3 , 4λ − 1) και β�⃗ = (−3λ + 9 , λ − 3) να είναι κάθετα .
  30. 30. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 30 187. Δίνονται τα διανύσματα α��⃗ = (2x − 1 , x + 1) και β�⃗ = (x + 1 , 2x + 3) . Να βρεθεί το x ∈ ℝ ώστε τα διανύσματα να είναι κάθετα . 188. Δίνονται τα διανύσματα α��⃗ = (−1 , 3) και β�⃗ = �−2 , − 1 2 � α. Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος u�⃗ = α��⃗ − 2β�⃗ β. Να βρείτε τον θετικό αριθμό x για τον οποίο τα διανύσματα u�⃗ και v�⃗ = (x2 , x − 1) είναι κάθετα ( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ) 189. Δίνονται τα διανύσματα ΑΒ�����⃗ = (κ2 − 6κ + 9 , κ − 3) και ΑΓ�����⃗ = (1 , 6) α. Να βρείτε τις τιμές του κ ώστε τα διανύσματα ΑΒ�����⃗ και ΑΓ�����⃗ να είναι κάθετα . β. Για κ = 1 να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος ΒΓ����⃗ ( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ) 190. Δίνονται τα σημεία Α(3 , 2) , Β(7 , −4). Να βρείτε σημείο Μ του άξονα x’x ώστε ΑΜΒ� = 90° 191. Δίνονται τα διανύσματα α��⃗ = (1 , λ) και β�⃗ = (−3 , 4 − λ) για τα οποία ισχύουν �α��⃗ + β�⃗� ⊥ �13α��⃗ + 3β�⃗� . α. Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό λ β. Να βρείτε για ποια τιμή του πραγματικού αριθμού μ , το διάνυσμα γ�⃗ = 5α��⃗ + 2β�⃗ είναι κάθετο στο δ�⃗ = (μ , μ − 8) 192. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(−1 , 4) , Β(−2 , −1) και Γ(5 , 7) . Θεωρούμε σημείο Μ ώστε να ισχύει ΜΓ������⃗ = 2ΒΜ������⃗ α. Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Μ β. Να αποδείξετε ότι ΑΜ������⃗ ⊥ ΒΓ����⃗ γ. Να βρείτε σημείο Κ του άξονα x’x ώστε να ισχύει ΑΝ�����⃗ ⊥ ΑΒ�����⃗ 193. Αν α��⃗ = �3 , √3� και β�⃗ = �√3 , −1� να βρείτε τη γωνία �α��⃗ , β�⃗� � 194. Αν α��⃗ = (4 , 3) και β�⃗ = (7 , − 1) να βρείτε τη γωνία �α��⃗ , β�⃗� � 195. Αν α��⃗ = (0 , 2) και β�⃗ = �−√3 , 1� να βρείτε τη γωνία �α��⃗ , β�⃗� � 196. Δίνονται τα διανύσματα α��⃗ = (1 , −7) και β�⃗ = (−3 , λ) . Αν �α��⃗ , β�⃗� � = 135° , να βρείτε το λ . 197. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(1 , 2) , Β(−2 , 1) και Γ(3 , 6) . Να βρείτε τη γωνία Α . 198. Αν Α(4 , 1) , Β(8 , 2) και Γ(1 , 3) , να δείξετε ότι η γωνία των ΑΒ�����⃗ , ΑΓ�����⃗ είναι αμβλεία . 199. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ�����⃗ = (−4 , −6) και ΑΓ�����⃗ = (2 , −8) . α. Να βρείτε τις συντεταγμένες της διαμέσου ΑΜ������⃗ β. Να δείξετε ότι η γωνία Α είναι οξεία γ. Αν Α(3 , 1) να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών Β και Γ ( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ) 200. Θεωρούμε τα σημεία Α , Β , Γ για τα οποία ισχύουν ΑΒ�����⃗ = (−1 , 4) και ΑΓ�����⃗ = (3 , 6) . α. Να αποδείξετε ότι σχηματίζουν τρίγωνο και να βρείτε αν η γωνία Α του τριγώνου είναι οξεία ή αμβλεία . β. Να βρείτε το μήκος της διαμέσου ΑΜ ( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ) 201. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(λ − 1 , −1) , Β(λ , 2) και Γ(7 , −λ) . Αν ισχύει ΑΒ�����⃗ ∙ ΒΓ����⃗ = −15 , να βρείτε : α. τον πραγματικό αριθμό λ β. τη γωνία Β� του τριγώνου ΑΒΓ 202. Δίνονται τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ με 2α��⃗ + β�⃗ = (7 , −1) και 3α��⃗ − β�⃗ = (8 , −19) . Να βρείτε : α. τις συντεταγμένες των α��⃗ , β�⃗ β. τη γωνία �α��⃗ , β�⃗� �
  31. 31. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 31 5. Προβολή Διανύσματος σε Διάνυσμα 203. Αν α��⃗ = (2 , 3) και β�⃗ = (−1 , 4) , να βρείτε την προβολή του α��⃗ πάνω στο β�⃗ 204. Αν α��⃗ = (1 , 3) και β�⃗ = (9 , 7) , να βρείτε την προβολή του β�⃗ πάνω στο α��⃗ 205. Αν |α��⃗| = 2 , �β�⃗� = 1 , �α��⃗ , β�⃗� � = π 3 να βρείτε την προβολή του β�⃗ πάνω στο α��⃗ 206. Αν |α��⃗| = 1 , �β�⃗� = 2 , �α��⃗ , β�⃗� � = π 3 να βρείτε την προβολή του v�⃗ = 2α��⃗ − β�⃗ πάνω στο α��⃗ 207. Αν τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ είναι μοναδιαία και κάθετα , να βρείτε την προβολή του διανύσματος v�⃗ = α��⃗ − β�⃗ πάνω στο u�⃗ = α��⃗ + 2β�⃗ 208. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(1 , −3) , Β(−3 , 0) και Γ(4 , 4) . Αν ΑΔ το ύψος του τριγώνου ΑΒΓ , τότε να υπολογίσετε τις συντεταγμένες του διανύσματος ΒΔ�����⃗ 209. Δίνονται τα διανύσματα α��⃗ = (4 , 3) και β�⃗ = (−8 , 6) α. Να δείξετε ότι η γωνία των διανυσμάτων α��⃗ , β�⃗ είναι αμβλεία β. Να βρείτε το μήκος της προβολής του β�⃗ πάνω στο α��⃗ 210. Αν α��⃗ = (4 , 3) και β�⃗ = (−1 , −3) , να υπολογίσετε το μέτρο �προβα��⃗ �2α��⃗ − β�⃗�� 211. Δίνονται τα διανύσματα α��⃗ = (1 , 7) και β�⃗ = (2 , 4) α. Να βρείτε την προβολή του α��⃗ πάνω στο β�⃗ β. Να αναλύσετε το διάνυσμα α��⃗ σε δύο κάθετες μεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η μια να είναι παράλληλη στο β�⃗ ( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ) 212. Να αναλύσετε το διάνυσμα δ�⃗ = (1 , 5) σε δύο κάθετες μεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η μια να είναι παράλληλη στο α��⃗ = (1 , −1) 213. Να αναλύσετε το διάνυσμα β�⃗ = (1 , 2) σε δύο κάθετες μεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η μια να είναι παράλληλη στο α��⃗ = (−1 , 1) 214. Αν |α��⃗| = 2 , �β�⃗� = 8 , �α��⃗ , β�⃗� � = π 3 και προβα��⃗ �x ∙ α��⃗ + β�⃗� = 5 ∙ α��⃗ , να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός x . 215. Δίνονται τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ με προββ��⃗ α��⃗ = 2 3 β�⃗ και προβα��⃗ β�⃗ = 3 4 α��⃗ . α. Να δείξετε ότι |α��⃗| = 2√2 3 �β�⃗� β. Να βρείτε τη γωνία �α��⃗ , β�⃗� � 216. Δίνονται τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ με 2α��⃗ + 3β�⃗ = (4 , −2) και α��⃗ − 3β�⃗ = (−7 , 8) . α. Να βρείτε τις συντεταγμένες των α��⃗ , β�⃗ β. Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό κ αν ισχύει �κα��⃗ + β�⃗� ⊥ �2α��⃗ + 3β�⃗� γ. Να αναλύσετε το διάνυσμα γ�⃗ = (3 , −1) σε δύο κάθετες μεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η μια να είναι παράλληλη στο α��⃗ = (−1 , 2) .
  32. 32. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 32 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Μια εξίσωση με δύο αγνώστους x , y λέγεται εξίσωση μιας γραμμής C , όταν οι συντεταγμένες των σημείων της C και μόνο αυτές , την επαληθεύουν . Εξίσωση Γραμμής Έστω Οxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και (ε) μια ευθεία που τέμνει τον άξονα x’x στο σημείο Α . Γωνία Ευθείας με τον άξονα x’x Παρατηρήσεις 1) Αν η ευθεία (ε) είναι παράλληλη προς τον άξονα x’x τότε λέμε ότι σχηματίζει με αυτόν γωνία ω = 0° 2) Σε κάθε περίπτωση για τη γωνία ω ισχύει 0° ≤ ω < 180° ή 0 ≤ ω < 𝜋𝜋 3) Αν η ευθεία (ε) είναι παράλληλη στον άξονα y’y τότε λέμε ότι σχηματίζει με αυτό γωνία 90° Συντελεστής Διεύθυνσης Ευθείας 1) Αν ω = 0° , δηλαδή η (ε) ∥ x′x τότε η (ε) έχει συντελεστή διεύθυνσης λ = 0 . 2) Αν ω = π 2 , δηλαδή η (ε) ⊥ x′x τότε δεν ορίζουμε συντελεστή διεύθυνσης για την (ε) . 3) Ο συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας είναι θετικός αν η γωνία που σχηματίζει με τον x’x είναι οξεία . 4) Ο συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας είναι αρνητικός αν η γωνία που σχηματίζει με τον x’x είναι αμβλεία . Συντελεστής Διεύθυνσης Γωνία με τον άξονα x’x λ > 0 0° < 𝜔𝜔 < 90° λ < 0 90° < 𝜔𝜔 < 180° λ= 0 ω = 0° Τη γωνία ω που διαγράφει ο άξονας x’x όταν στραφεί γύρω από το Α κατά τη θετική φορά μέχρι να συμπέσει με την ευθεία (ε) τη λέμε γωνία που σχηματίζει η (ε) με τον άξονα x’x . Ως συντελεστή διεύθυνσης ευθείας ή κλίση ευθείας ορίζουμε την εφαπτομένη της γωνίας ω που σχηματίζει η (ε) με τον άξονα x’x . Δηλαδή 𝛌𝛌𝛆𝛆 = 𝛆𝛆𝛆𝛆𝛚𝛚�
  33. 33. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 33 Έστω διάνυσμα δ�⃗ παράλληλο σε μια ευθεία (ε) . Αν φ και ω οι γωνίες είναι οι γωνίες που σχηματίζουν το δ�⃗ και η (ε) με τον άξονα x’x , τότε θα ισχύει : φ = ω ή φ = π + ω . Τότεεφφ = εφω ή εφφ = εφ(π + ω) = εφω . Δηλαδή σε κάθε περίπτωση λδ��⃗ = λε . Συντελεστής Διεύθυνσης Ευθείας Παράλληλης σε Διάνυσμα Ο συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α(x1 , y1) και Β(x2 , y2) με x1 ≠ x2 είναι : Συντελεστής Διεύθυνσης Ευθείας που διέρχεται από δύο γνωστά σημεία Πράγματι : Είναι ΑΒ�����⃗ ∥ ε ⇔ λε = λΑΒ������⃗ ⇔ λε = y2 − y1 x2− x1 Αν δύο ευθείες του επιπέδου ε1 , ε2 έχουν συντελεστές διεύθυνσης λ1 , λ2 αντίστοιχα , τότε ισχύει : Συνθήκη Παραλληλίας Ευθειών Αν δύο ευθείες του επιπέδου ε1 , ε2 έχουν συντελεστές διεύθυνσης λ1 , λ2 αντίστοιχα , τότε ισχύει : Συνθήκη Καθετότητας Ευθειών Όταν μια ευθεία και ένα διάνυσμα είναι παράλληλα , έχουν τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης . 𝛌𝛌 = 𝐲𝐲𝟐𝟐 − 𝐲𝐲𝟏𝟏 𝐱𝐱𝟐𝟐 − 𝐱𝐱𝟏𝟏 𝛆𝛆𝟏𝟏 ∥ 𝛆𝛆𝟐𝟐 ⇔ 𝛌𝛌𝟏𝟏 = 𝛌𝛌𝟐𝟐 𝛆𝛆𝟏𝟏 ⊥ 𝛆𝛆𝟐𝟐 ⇔ 𝛌𝛌𝟏𝟏 ∙ 𝛌𝛌𝟐𝟐 = −𝟏𝟏
  34. 34. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 34 Η εξίσωση της ευθείας (ε) που διέρχεται από το σημείο Α( x0 , y0 ) και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ είναι : Εξίσωση Ευθείας Θεωρούμε ένα σημείο M(x , y) της (ε) διαφορετικό του Α( x0 , y0) Τότε το διάνυσμα ΑΜ������⃗ είναι παράλληλο στην (ε) , άρα θα έχουν ίσους συντελεστές διεύθυνσης . Οι συντεταγμένες του ΑΜ������⃗ = (x − x0 , y − y0) άρα λΑΜ�������⃗ = y − y0 x − x0 Οπότε : λ = λΑΜ�������⃗ ⇔ λ = y − y0 x − x0 ⇔ y − y0 = λ(x − x0) . Α) Η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από δύο γνωστά σημεία Α(x1 , y1) και Β(x2 , y2) είναι y − y0 = y2 − y1 x2− x1 (x − x0) αφού λε = y2 − y1 x2− x1 Ειδικές περιπτώσεις Ευθειών Β) Η εξίσωση της ευθείας που τέμνει τον άξονα y’y στο σημείο Α(0 , β) και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ είναι : Πράγματι : Είναι y − yΑ = λ(x − xΑ) ⇔ y − β = λ(x − 0) ⇔ y − β = λ ∙ x ⇔ y = λ ∙ x + β (ε) : 𝐲𝐲 − 𝐲𝐲𝟎𝟎 = 𝛌𝛌 ∙ (𝐱𝐱 − 𝐱𝐱𝟎𝟎) 𝐲𝐲 = 𝛌𝛌 ∙ 𝐱𝐱 + 𝛃𝛃
  35. 35. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 35 Γ) Οριζόντια Ευθεία Η εξίσωση της ευθείας που είναι παράλληλη στον άξονα x’x και διέρχεται από το σημείο Α( x0 , y0 ) είναι : Πράγματι : Αφού (ε) ∥ x′x τότε θα είναι λ=0 , άρα : y − y0 = λ(x − x0) ⇔ y − y0 = 0 ∙ (x − x0) ⇔ y − y0 = 0 ⇔ y = y0 Δ) Η εξίσωση της ευθείας που είναι κάθετη στον άξονα x’x και διέρχεται από το σημείο Α( x0 , y0 ) είναι : Κατακόρυφη Ευθεία − Στην περίπτωση αυτή δεν ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης Ε) Η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ είναι : Ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων Πράγματι : Αφού διέρχεται από την αρχή των αξόνων το Ο(0 , 0) τότε : y − y0 = λ(x − x0) ⇔ y − 0 = λ ∙ (x − 0) ⇔ y = λ ∙ x . 𝐲𝐲 = 𝐲𝐲𝟎𝟎 𝐱𝐱 = 𝐱𝐱𝟎𝟎 𝐲𝐲 = 𝛌𝛌 ∙ 𝐱𝐱
  36. 36. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 36 Ζ) Η διχοτόμος των γωνιών xO�y και x′O�y′ έχει εξίσωση : Διχοτόμος της 1ης και 3ης Γωνίας των Αξόνων Πράγματι : Αφού η ευθεία διχοτομεί την 1η γωνία του άξονα , τότε θα σχηματίζει γωνία 45° με τους άξονες , άρα λ = εφ45° = 1 . Οπότε : y = λ ∙ x ⇔ y = x H) Η διχοτόμος των γωνιών x′O�y και xO�y′ έχει εξίσωση : Διχοτόμος της 2ης και 4ης γωνίας των αξόνων Πράγματι : Αφού η ευθεία διχοτομεί την 2η γωνία του άξονα , τότε θα σχηματίζει γωνία 135° με τους άξονες , άρα λ = εφ135° = −1 . Οπότε : y = λ ∙ x ⇔ y = − x . Γενική Μορφή Εξίσωσης Ευθείας ΟΡΘΟ : Α) Αν η ευθεία (ε) τέμνει τον άξονα y’y στο σημείο Α(0 , β) και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ τότε θα έχει εξίσωση : y = λ ∙ x + β ⇔ λ ∙ x + (−1)y + β = 0 Άρα για Α = λ , Β = −1 , Γ = β η ευθεία γράφεται στην μορφή A ∙ x + B ∙ y + Γ = 0 με Β = −1 ≠ 0 . Θα αποδείξουμε ότι κάθε ευθεία έχει εξίσωση της μορφής (1). Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις : 𝐲𝐲 = 𝐱𝐱 𝐲𝐲 = − 𝐱𝐱 Κάθε ευθεία του επιπέδου έχει εξίσωση της μορφής A ∙ x + B ∙ y + Γ = 0 με Α ≠ 0 ή Β ≠ 0 (1) και αντιστρόφως , κάθε εξίσωση της μορφής (1) παριστάνει ευθεία γραμμή .

×