Γραμμική ΄Αλγεβρα
Καθετότητα και Ορθογωνιότητα
Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας

15 Δεκεμβρίου 2013
Μήκος Διανύσματος
Μήκος Διανύσματος

x

2

2
2
2
= x1 + x2 + . . . + xn
Μήκος Διανύσματος

x

2

2
2
2
= x1 + x2 + . . . + xn

√
x =

xT x
Καθετότητα Διανυσμάτων
Καθετότητα Διανυσμάτων
Καθετότητα Διανυσμάτων

x

2

+ y

2

= x −y

2
Καθετότητα Διανυσμάτων

x

2

+ y

2

= x −y

Θεώρημα
x και y είναι κάθετα μεταξύ τους ανν x T y = 0
Ορισμός
Ο αριθμός x T...
Καθετότητα & Γραμμική Ανεξαρτησία
Θεώρημα
Εάν ένα σύνολο διανυσμάτων είναι ανά δύο κάθετα μεταξύ τους
τότε αυτά είναι γραμ...
Καθετότητα & Γραμμική Ανεξαρτησία
Θεώρημα
Εάν ένα σύνολο διανυσμάτων είναι ανά δύο κάθετα μεταξύ τους
τότε αυτά είναι γραμ...
Καθετότητα & Γραμμική Ανεξαρτησία
Θεώρημα
Εάν ένα σύνολο διανυσμάτων είναι ανά δύο κάθετα μεταξύ τους
τότε αυτά είναι γραμ...
Καθετότητα & Γραμμική Ανεξαρτησία
Θεώρημα
Εάν ένα σύνολο διανυσμάτων είναι ανά δύο κάθετα μεταξύ τους
τότε αυτά είναι γραμ...
Καθετότητα & Γραμμική Ανεξαρτησία
Θεώρημα
Εάν ένα σύνολο διανυσμάτων είναι ανά δύο κάθετα μεταξύ τους
τότε αυτά είναι γραμ...
Καθετότητα & Γραμμική Ανεξαρτησία
Θεώρημα
Εάν ένα σύνολο διανυσμάτων είναι ανά δύο κάθετα μεταξύ τους
τότε αυτά είναι γραμ...
Ορθογώνιοι Υπόχωροι
Ορισμός
Δύο υπόχωροι V και W του ίδιου διανυσματικού χώρου (πχ του
R n ) είναι ορθογώνιοι εάν κάθε διά...
Ορθογώνιοι Υπόχωροι - Ορθογώνιο Συμπλήρωμα
Ορισμός
Δύο υπόχωροι V και W του ίδιου διανυσματικού χώρου (πχ του
R n ) είναι ...
Ορθογώνιοι Υπόχωροι - Ορθογώνιο Συμπλήρωμα
Ορισμός
Δύο υπόχωροι V και W του ίδιου διανυσματικού χώρου (πχ του
R n ) είναι ...
Ορθογώνιοι Υπόχωροι - Ορθογώνιο Συμπλήρωμα
Ορισμός
Δύο υπόχωροι V και W του ίδιου διανυσματικού χώρου (πχ του
R n ) είναι ...
Παράδειγμα
Θεμελειώδες Θεώρημα Γραμμικής ΄Αλγεβρας (μέρος 2ο)

T

N (A) = R(A )

⊥
Θεμελειώδες Θεώρημα Γραμμικής ΄Αλγεβρας (μέρος 2ο)

T

N (A) = R(A )

⊥

R(AT ) = (N (A))⊥
Θεμελειώδες Θεώρημα Γραμμικής ΄Αλγεβρας (μέρος 2ο)

T

N (A) = R(A )

⊥

R(AT ) = (N (A))⊥

N (AT ) = (R(A))⊥
T

R(A) = N ...
Θεμελειώδες Θεώρημα Γραμμικής ΄Αλγεβρας (μέρος 2ο)
Πόρισμα
Το Ax = b έχει λύση ανν b T y = 0 οποτεδήποτε
AT y = 0
Πόρισμα
Το Ax = b έχει λύση ανν b T y = 0 οποτεδήποτε
AT y = 0
Το Ax = b έχει λύση ανν το b είναι ορθογώνιο σε
κάθε διάνυσ...
Πόρισμα
Το Ax = b έχει λύση ανν b T y = 0 οποτεδήποτε
AT y = 0
Το Ax = b έχει λύση ανν το b είναι ορθογώνιο σε
κάθε διάνυσ...
Πόρισμα

Η απεικόνιση του χώρου γραμμών
στον χώρο στηλών είναι
αντιστρέψιμη
Πόρισμα

Η απεικόνιση του χώρου γραμμών
στον χώρο στηλών είναι
αντιστρέψιμη

Για κάθε b στον χώρο στηλών
υπάρχει μοναδικό ...
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

25η Διάλεξη - Καθετότητα, ορθογωνιότητα και Θεμελειώδες Θεώρημα (2ο μέρος)

3,670 views

Published on

Ορισμοί, έννοιες, θεωρήματα αποδέιξεις

0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total views
3,670
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
3,451
Actions
Shares
0
Downloads
44
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

25η Διάλεξη - Καθετότητα, ορθογωνιότητα και Θεμελειώδες Θεώρημα (2ο μέρος)

  1. 1. Γραμμική ΄Αλγεβρα Καθετότητα και Ορθογωνιότητα Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 15 Δεκεμβρίου 2013
  2. 2. Μήκος Διανύσματος
  3. 3. Μήκος Διανύσματος x 2 2 2 2 = x1 + x2 + . . . + xn
  4. 4. Μήκος Διανύσματος x 2 2 2 2 = x1 + x2 + . . . + xn √ x = xT x
  5. 5. Καθετότητα Διανυσμάτων
  6. 6. Καθετότητα Διανυσμάτων
  7. 7. Καθετότητα Διανυσμάτων x 2 + y 2 = x −y 2
  8. 8. Καθετότητα Διανυσμάτων x 2 + y 2 = x −y Θεώρημα x και y είναι κάθετα μεταξύ τους ανν x T y = 0 Ορισμός Ο αριθμός x T y λέγεται εσωτερικό γινόμενο 2
  9. 9. Καθετότητα & Γραμμική Ανεξαρτησία Θεώρημα Εάν ένα σύνολο διανυσμάτων είναι ανά δύο κάθετα μεταξύ τους τότε αυτά είναι γραμμικά ανεξάρτητα.
  10. 10. Καθετότητα & Γραμμική Ανεξαρτησία Θεώρημα Εάν ένα σύνολο διανυσμάτων είναι ανά δύο κάθετα μεταξύ τους τότε αυτά είναι γραμμικά ανεξάρτητα. Απόδειξη. c1 v1 + c2 v2 + . . . + cn vn = 0
  11. 11. Καθετότητα & Γραμμική Ανεξαρτησία Θεώρημα Εάν ένα σύνολο διανυσμάτων είναι ανά δύο κάθετα μεταξύ τους τότε αυτά είναι γραμμικά ανεξάρτητα. Απόδειξη. c1 v1 + c2 v2 + . . . + cn vn = 0 ⇒ T v1 (c1 v1 + c2 v2 + . . . + cn vn ) = 0
  12. 12. Καθετότητα & Γραμμική Ανεξαρτησία Θεώρημα Εάν ένα σύνολο διανυσμάτων είναι ανά δύο κάθετα μεταξύ τους τότε αυτά είναι γραμμικά ανεξάρτητα. Απόδειξη. c1 v1 + c2 v2 + . . . + cn vn = 0 ⇒ T v1 (c1 v1 + c2 v2 + . . . + cn vn ) = 0 ⇒ T T T c1 v1 v1 + c2 v1 v2 + . . . + cn v1 vn = 0
  13. 13. Καθετότητα & Γραμμική Ανεξαρτησία Θεώρημα Εάν ένα σύνολο διανυσμάτων είναι ανά δύο κάθετα μεταξύ τους τότε αυτά είναι γραμμικά ανεξάρτητα. Απόδειξη. c1 v1 + c2 v2 + . . . + cn vn = 0 ⇒ T v1 (c1 v1 + c2 v2 + . . . + cn vn ) = 0 ⇒ T T T c1 v1 v1 + c2 v1 v2 + . . . + cn v1 vn = 0 ⇒ c1 ||v1 || = 0
  14. 14. Καθετότητα & Γραμμική Ανεξαρτησία Θεώρημα Εάν ένα σύνολο διανυσμάτων είναι ανά δύο κάθετα μεταξύ τους τότε αυτά είναι γραμμικά ανεξάρτητα. Απόδειξη. c1 v1 + c2 v2 + . . . + cn vn = 0 ⇒ T v1 (c1 v1 + c2 v2 + . . . + cn vn ) = 0 ⇒ T T T c1 v1 v1 + c2 v1 v2 + . . . + cn v1 vn = 0 ⇒ c1 ||v1 || = 0 ⇒ c1 = 0
  15. 15. Ορθογώνιοι Υπόχωροι Ορισμός Δύο υπόχωροι V και W του ίδιου διανυσματικού χώρου (πχ του R n ) είναι ορθογώνιοι εάν κάθε διάνυσμα v ∈ V είναι ορθογώνιο σε κάθε διάνυσμα w ∈ W . Παράδειγμα:       1 −1   4 + c2  7 , c1 , c2 ∈ R V = c1   0 0     0   W = d  0 , d ∈ R   −3
  16. 16. Ορθογώνιοι Υπόχωροι - Ορθογώνιο Συμπλήρωμα Ορισμός Δύο υπόχωροι V και W του ίδιου διανυσματικού χώρου (πχ του R n ) είναι ορθογώνιοι εάν κάθε διάνυσμα v ∈ V είναι ορθογώνιο σε κάθε διάνυσμα w ∈ W . Ορισμός Δοθέντος ενός υπόχωρου V ⊂ Rn , ο χώρος όλων των ορθογωνίων διανυσμάτων στον V λέγεται ορθογώνιο συμπλήρωμα του V και συμβολίζεται με V ⊥ .
  17. 17. Ορθογώνιοι Υπόχωροι - Ορθογώνιο Συμπλήρωμα Ορισμός Δύο υπόχωροι V και W του ίδιου διανυσματικού χώρου (πχ του R n ) είναι ορθογώνιοι εάν κάθε διάνυσμα v ∈ V είναι ορθογώνιο σε κάθε διάνυσμα w ∈ W . Ορισμός Δοθέντος ενός υπόχωρου V ⊂ Rn , ο χώρος όλων των ορθογωνίων διανυσμάτων στον V λέγεται ορθογώνιο συμπλήρωμα του V και συμβολίζεται με V ⊥ . Θεώρημα W = V ⊥ ⇒ V = W ⊥,
  18. 18. Ορθογώνιοι Υπόχωροι - Ορθογώνιο Συμπλήρωμα Ορισμός Δύο υπόχωροι V και W του ίδιου διανυσματικού χώρου (πχ του R n ) είναι ορθογώνιοι εάν κάθε διάνυσμα v ∈ V είναι ορθογώνιο σε κάθε διάνυσμα w ∈ W . Ορισμός Δοθέντος ενός υπόχωρου V ⊂ Rn , ο χώρος όλων των ορθογωνίων διανυσμάτων στον V λέγεται ορθογώνιο συμπλήρωμα του V και συμβολίζεται με V ⊥ . Θεώρημα W = V ⊥ ⇒ V = W ⊥, V⊥ ⊥ =V
  19. 19. Παράδειγμα
  20. 20. Θεμελειώδες Θεώρημα Γραμμικής ΄Αλγεβρας (μέρος 2ο) T N (A) = R(A ) ⊥
  21. 21. Θεμελειώδες Θεώρημα Γραμμικής ΄Αλγεβρας (μέρος 2ο) T N (A) = R(A ) ⊥ R(AT ) = (N (A))⊥
  22. 22. Θεμελειώδες Θεώρημα Γραμμικής ΄Αλγεβρας (μέρος 2ο) T N (A) = R(A ) ⊥ R(AT ) = (N (A))⊥ N (AT ) = (R(A))⊥ T R(A) = N (A ) ⊥
  23. 23. Θεμελειώδες Θεώρημα Γραμμικής ΄Αλγεβρας (μέρος 2ο)
  24. 24. Πόρισμα Το Ax = b έχει λύση ανν b T y = 0 οποτεδήποτε AT y = 0
  25. 25. Πόρισμα Το Ax = b έχει λύση ανν b T y = 0 οποτεδήποτε AT y = 0 Το Ax = b έχει λύση ανν το b είναι ορθογώνιο σε κάθε διάνυσμα που είναι ορθογώνιο στις στήλες του A.
  26. 26. Πόρισμα Το Ax = b έχει λύση ανν b T y = 0 οποτεδήποτε AT y = 0 Το Ax = b έχει λύση ανν το b είναι ορθογώνιο σε κάθε διάνυσμα που είναι ορθογώνιο στις στήλες του A. Παράδειγμα: x1 − x2 = b1 x2 − x3 = b2 x3 − x1 = b3
  27. 27. Πόρισμα Η απεικόνιση του χώρου γραμμών στον χώρο στηλών είναι αντιστρέψιμη
  28. 28. Πόρισμα Η απεικόνιση του χώρου γραμμών στον χώρο στηλών είναι αντιστρέψιμη Για κάθε b στον χώρο στηλών υπάρχει μοναδικό xr στον χώρο γραμμών

×