Ορισμοί και παραδείγματα

1. Γραμμική ΄Αλγεβρα
Μετασχηματισμοί
Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας
9 Δεκεμβρίου 2013

2. Μετασχηματισμοί στον R2

3. Μετασχηματισμοί στον R2
Μπορούν να παρασταθούν (και να υλοποιηθούν) με
πολλαπλασιασμό πινάκων

4. Μετασχηματισμοί στον R2
Μπορούν να παρασταθούν (και να υλοποιηθούν) με
πολλαπλασιασμό πινάκων
Ο πολλαπλασιασμός Ax μπορεί να ειδωθεί σαν
μετασχηματισμός του διανύσματος x στο y = Ax

5. Μετασχηματισμοί στον R2
Μπορούν να παρασταθούν (και να υλοποιηθούν) με
πολλαπλασιασμό πινάκων
Ο πολλαπλασιασμός Ax μπορεί να ειδωθεί σαν
μετασχηματισμός του διανύσματος x στο y = Ax
Δηλαδή
x → y = Ax

6. Μετασχηματισμοί στον R2
Μπορούν να παρασταθούν (και να υλοποιηθούν) με
πολλαπλασιασμό πινάκων
Ο πολλαπλασιασμός Ax μπορεί να ειδωθεί σαν
μετασχηματισμός του διανύσματος x στο y = Ax
Δηλαδή
x → y = Ax
Μερικοί αντιστρέφονται, άλλοι όχι.

7. Γραμμικοί Μετασχηματισμοί του Rn
Οι πίνακες μπορούν να υλοποιήσουν μετασχηματισμούς αν

8. Γραμμικοί Μετασχηματισμοί του Rn
Οι πίνακες μπορούν να υλοποιήσουν μετασχηματισμούς αν
1
δεν μετακινούν την αρχή των αξόνων

9. Γραμμικοί Μετασχηματισμοί του Rn
Οι πίνακες μπορούν να υλοποιήσουν μετασχηματισμούς αν
1
δεν μετακινούν την αρχή των αξόνων
2
x → x ⇒ cx → cx , ∀x ∈ Rn , ∀c ∈ R

10. Γραμμικοί Μετασχηματισμοί του Rn
Οι πίνακες μπορούν να υλοποιήσουν μετασχηματισμούς αν
1
δεν μετακινούν την αρχή των αξόνων
2
x → x ⇒ cx → cx , ∀x ∈ Rn , ∀c ∈ R
3
x → x , y → y ⇒ x + y → x + y , ∀x, y ∈ Rn

11. Γραμμικοί Μετασχηματισμοί του Rn
Οι πίνακες μπορούν να υλοποιήσουν μετασχηματισμούς αν
1
δεν μετακινούν την αρχή των αξόνων
2
x → x ⇒ cx → cx , ∀x ∈ Rn , ∀c ∈ R
3
x → x , y → y ⇒ x + y → x + y , ∀x, y ∈ Rn
Ορισμός
Μετασχηματισμοί που ικανοποιούν τις προηγούμενες τρείς
συνθήκες λέγονται γραμμικοί μετασχηματισμοί

12. Γραμμικοί Μετασχηματισμοί του Rn
Οι πίνακες μπορούν να υλοποιήσουν μετασχηματισμούς αν
1
δεν μετακινούν την αρχή των αξόνων
2
x → x ⇒ cx → cx , ∀x ∈ Rn , ∀c ∈ R
3
x → x , y → y ⇒ x + y → x + y , ∀x, y ∈ Rn
Ορισμός
Μετασχηματισμοί που ικανοποιούν τις προηγούμενες τρείς
συνθήκες λέγονται γραμμικοί μετασχηματισμοί
Θεώρημα
Κάθε γραμμικός μετασχηματισμός μπορεί να παρασταθεί με
πίνακα

13. Παραδείγματα
1
 
 
2
4
1
3 και 0 → 6
→
0
1
4
8

14. Παραδείγματα
1
1
0
2
1
1
 
 
2
4
3 και 0 → 6
→
1
4
8
 
 
6
0
2
 9 και
0
→
→
−1
12
0

15. ΄Ασκηση
Βρείτε τον πίνακα που υλοποιεί την
1
παραγώγιση πολυωνύμων βαθμού το πολύ p

16. ΄Ασκηση
Βρείτε τον πίνακα που υλοποιεί την
1
παραγώγιση πολυωνύμων βαθμού το πολύ p
2
ολοκλήρωση πολυωνύμων βαθμού το πολύ p

17. ΄Ασκηση
Βρείτε τον πίνακα που υλοποιεί την
1
παραγώγιση πολυωνύμων βαθμού το πολύ p
2
ολοκλήρωση πολυωνύμων βαθμού το πολύ p
pn (x) = a0 + a1 x + a2 x 2 + . . . + an−1 x n−1 + an x n

18. ΄Ασκηση
Βρείτε τον πίνακα που υλοποιεί την
1
παραγώγιση πολυωνύμων βαθμού το πολύ p
2
ολοκλήρωση πολυωνύμων βαθμού το πολύ p
pn (x) = a0 + a1 x + a2 x 2 + . . . + an−1 x n−1 + an x n
pn (x) = 0 + a1 + 2a2 x + 3a3 x 2 + . . . + (n − 1)an−1 x n−2 + nan x n−1

19. ΄Ασκηση
Βρείτε τον πίνακα που υλοποιεί την
1
παραγώγιση πολυωνύμων βαθμού το πολύ p
2
ολοκλήρωση πολυωνύμων βαθμού το πολύ p
pn (x) = a0 + a1 x + a2 x 2 + . . . + an−1 x n−1 + an x n
pn (x) = 0 + a1 + 2a2 x + 3a3 x 2 + . . . + (n − 1)an−1 x n−2 + nan x n−1




a0
0
 a1 

a1 




 a2 

2a2 

 pn (x) ↔ 

pn (x) ↔ 


. . .
 . . .


an−1 
(n − 1)an−1 
an
nan

20. Πίνακας Μετασχηματισμού
΄Εστω v1 , v2 , . . . , vm βάση του V και w1 , w2 , . . . , wn βάση του W
τότε

21. Πίνακας Μετασχηματισμού
΄Εστω v1 , v2 , . . . , vm βάση του V και w1 , w2 , . . . , wn βάση του W
τότε
Κάθε γραμμικός μετασχηματισμός A από το V στο W
μπορεί να παρασταθεί με έναν πίνακα A

22. Πίνακας Μετασχηματισμού
΄Εστω v1 , v2 , . . . , vm βάση του V και w1 , w2 , . . . , wn βάση του W
τότε
Κάθε γραμμικός μετασχηματισμός A από το V στο W
μπορεί να παρασταθεί με έναν πίνακα A
Η j-στη στήλη του A μπορεί να υπολογισθεί εφαρμόζοντας
τον μετασχηματισμό A στο j-στο διάνυσμα της vj της
βάσης του V

23. Πίνακας Μετασχηματισμού
΄Εστω v1 , v2 , . . . , vm βάση του V και w1 , w2 , . . . , wn βάση του W
τότε
Κάθε γραμμικός μετασχηματισμός A από το V στο W
μπορεί να παρασταθεί με έναν πίνακα A
Η j-στη στήλη του A μπορεί να υπολογισθεί εφαρμόζοντας
τον μετασχηματισμό A στο j-στο διάνυσμα της vj της
βάσης του V
Avj = a1,j wj + a2,j w2 + . . . + am,j wm

24. Περιστροφή

25. Περιστροφή

26. Περιστροφή
Qθ =
cos θ − sin θ
sin θ cos θ

27. Περιστροφή
Qθ Q−θ =

28. Περιστροφή
Qθ Q−θ = I

29. Περιστροφή
−1
Qθ Q−θ = I ⇒ Qθ = Q−θ

30. Περιστροφή
−1
Qθ Q−θ = I ⇒ Qθ = Q−θ
Qθ 1 Qθ 2 =

31. Περιστροφή
−1
Qθ Q−θ = I ⇒ Qθ = Q−θ
Qθ1 Qθ2 = Qθ1 +θ2

32. Περιστροφή
−1
Qθ Q−θ = I ⇒ Qθ = Q−θ
Qθ1 Qθ2 = Qθ1 +θ2
...

33. Μετασχηματιμός Γινομένου
A
B
AB
x →y →z ⇒x →z

34. Μετασχηματιμός Γινομένου
A
B
AB
x →y →z ⇒x →z
Συμπέρασμα
Aπαραγ Aoλoκλ = I

35. Μετασχηματιμός Γινομένου
A
B
AB
x →y →z ⇒x →z
Συμπέρασμα
Aπαραγ Aoλoκλ = I ⇒ A−1 = Aoλoκλ
παραγ

36. Παράδειγμα - Προβολή

37. Παράδειγμα - Προβολή

38. Παράδειγμα - Προβολή
Pθ =
cos2 θ − cos θ sin θ
cos θ sin θ
sin2 θ

39. Προβολή
P2 =

40. Προβολή
P2 = P

41. Προβολή
P2 = P ⇒ Pk = P

42. Προβολή
P2 = P ⇒ Pk = P
Ο P δεν αντιστρέφεται

43. Προβολή
P2 = P ⇒ Pk = P
Ο P δεν αντιστρέφεται
Ο P είναι συμμετρικός
...

44. Παράδειγμα - Ανάκλαση

45. Παράδειγμα - Ανάκλαση

46. Παράδειγμα - Ανάκλαση
Hθ =
2 cos2 θ − 1 2 cos θ sin θ
2 cos θ sin θ 2 sin2 θ − 1

47. Ανάκλαση
H2 =

48. Ανάκλαση
H2 = I

49. Ανάκλαση
H 2 = I ⇒ H −1 = H

50. Ανάκλαση
H 2 = I ⇒ H −1 = H
H = 2P − I

51. Ανάκλαση
H 2 = I ⇒ H −1 = H
H = 2P − I ⇒ Hx + x = 2Px

52. Ανάκλαση
H 2 = I ⇒ H −1 = H
H = 2P − I ⇒ Hx + x = 2Px
Ο H είναι συμμετρικός
...