Γραμμική ΄Αλγεβρα
Γραμμική Ανεξαρτησία - Βάσεις - Διάσταση, Απαλοιφή
Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας

18 Νοεμβρίου 2013
Θεμελειώδεις διανυσματικοί υπόχωροι
Μηδενόχωρος
N (A) = {x ∈ Rn : Ax = 0}
Χώρος Στηλών
n

R(A) =

x ∈ Rm : x =

ck A∗,k , ...
Θεμελειώδεις διανυσματικοί υπόχωροι
Μηδενόχωρος
N (A) = {x ∈ Rn : Ax = 0}
Χώρος Στηλών
n

R(A) =

x ∈ Rm : x =

ck A∗,k , ...
Χρήση διανυσματικών υπόχωρων

Θεώρημα
Για να υπάρχει λύση του συστήματος Ax = b πρέπει το b να
ανήκει στον χώρο στηλων του...
Χρήση διανυσματικών υπόχωρων

Θεώρημα
Για να υπάρχει λύση του συστήματος Ax = b πρέπει το b να
ανήκει στον χώρο στηλων του...
Χρήση διανυσματικών υπόχωρων

Θεώρημα
Για να είναι το διάνυσμα x λύση του συστήματος Ax = 0 πρέπει
να ανήκει στον χώρο που...
Χρήση διανυσματικών υπόχωρων

Θεώρημα
Για να είναι το διάνυσμα x λύση του συστήματος Ax = 0 πρέπει
να ανήκει στον χώρο που...
Γραμμική Ανεξαρτησία

Ορισμός
Τα διανύσματα v1 , v2 , . . . vm ∈ R n είναι γραμμικά εξαρτημένα
αν υπάρχει ένα σύνολο αριθμ...
Παραγωγή, Βάση και Διάσταση Χώρου (Υπόχωρου)
Ορισμός
Το σύνολο των διανυσμάτων v1 , v2 , . . . vm παράγουν τον χώρο V
αν v...
Παρατηρήσεις
Κάθε σύνολο διανυσμάτων που παράγει έναν χώρο μπορεί
να μετατραπεί σε βάση του χώρου αν αφαιρέσουμε
κατάλληλα...
Παρατηρήσεις
Κάθε σύνολο διανυσμάτων που παράγει έναν χώρο μπορεί
να μετατραπεί σε βάση του χώρου αν αφαιρέσουμε
κατάλληλα...
Παρατηρήσεις
Κάθε σύνολο διανυσμάτων που παράγει έναν χώρο μπορεί
να μετατραπεί σε βάση του χώρου αν αφαιρέσουμε
κατάλληλα...
Απαλοιφή m × n πίνακα

Εάν τόσο το οδηγό στοιχείο όσο και όλα τα στοιχεία κάτω
από αυτό είναι 0 τότε πήγαινε στην επόμενη ...
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

16η Διάλεξη - Γραμμική Ανεξαρτησία - Βάσεις - Διάσταση, Απαλοιφή

4,646 views

Published on

ορισμοί και παραδείγματα χρήσης

Published in: Education
0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total views
4,646
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
4,424
Actions
Shares
0
Downloads
47
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

16η Διάλεξη - Γραμμική Ανεξαρτησία - Βάσεις - Διάσταση, Απαλοιφή

  1. 1. Γραμμική ΄Αλγεβρα Γραμμική Ανεξαρτησία - Βάσεις - Διάσταση, Απαλοιφή Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 18 Νοεμβρίου 2013
  2. 2. Θεμελειώδεις διανυσματικοί υπόχωροι Μηδενόχωρος N (A) = {x ∈ Rn : Ax = 0} Χώρος Στηλών n R(A) = x ∈ Rm : x = ck A∗,k , ∀ck ∈ R k=1 Χώρος Γραμμών m T R(A ) = n x ∈R :x = ck Ak,∗ , ∀ck ∈ R k=1 Αριστερός Μηδενόχωρος N (AT ) = x ∈ Rm : x T A = 0
  3. 3. Θεμελειώδεις διανυσματικοί υπόχωροι Μηδενόχωρος N (A) = {x ∈ Rn : Ax = 0} Χώρος Στηλών n R(A) = x ∈ Rm : x = ck A∗,k , ∀ck ∈ R k=1 Χώρος Γραμμών m T R(A ) = n x ∈R :x = ck Ak,∗ , ∀ck ∈ R k=1 Αριστερός Μηδενόχωρος N (AT ) = x ∈ Rm : x T A = 0 = x ∈ Rm : AT x = 0
  4. 4. Χρήση διανυσματικών υπόχωρων Θεώρημα Για να υπάρχει λύση του συστήματος Ax = b πρέπει το b να ανήκει στον χώρο στηλων του A. Απόδειξη.   1 0  5 4  2 4  u v  b1 =  b2  ⇔ b3
  5. 5. Χρήση διανυσματικών υπόχωρων Θεώρημα Για να υπάρχει λύση του συστήματος Ax = b πρέπει το b να ανήκει στον χώρο στηλων του A. Απόδειξη.   1 0  5 4  2 4        1 b1 0 b1 =  b2  ⇔ u  5  + v  4  =  b2  b3 2 4 b3  u v
  6. 6. Χρήση διανυσματικών υπόχωρων Θεώρημα Για να είναι το διάνυσμα x λύση του συστήματος Ax = 0 πρέπει να ανήκει στον χώρο που είναι ορθογώνιος στον χώρο γραμμών του A. Απόδειξη.   1 0  5 4  2 4  u v  0 = 0 ⇔ 0
  7. 7. Χρήση διανυσματικών υπόχωρων Θεώρημα Για να είναι το διάνυσμα x λύση του συστήματος Ax = 0 πρέπει να ανήκει στον χώρο που είναι ορθογώνιος στον χώρο γραμμών του A. Απόδειξη.   1 0  5 4  2 4 1 0 u v = 0, 5 4   0 = 0 ⇔ 0 u v u v = 0, 2 4 u v = 0.
  8. 8. Γραμμική Ανεξαρτησία Ορισμός Τα διανύσματα v1 , v2 , . . . vm ∈ R n είναι γραμμικά εξαρτημένα αν υπάρχει ένα σύνολο αριθμών c1 , c2 , . . . cm ∈ R που δεν είναι όλοι μηδέν και ισχύει ότι c1 v1 + c2 v2 + . . . cm vm = 0 Ορισμός Τα διανύσματα v1 , v2 , . . . vm ∈ R n είναι γραμμικά ανεξάρτητα αν το μόνο σύνολο αριθμών c1 , c2 , . . . cm ∈ R για τα οποία ισχύει ότι c1 v1 + c2 v2 + . . . cm vm = 0 είναι το αυτό που έχει ci = 0∀i.
  9. 9. Παραγωγή, Βάση και Διάσταση Χώρου (Υπόχωρου) Ορισμός Το σύνολο των διανυσμάτων v1 , v2 , . . . vm παράγουν τον χώρο V αν vi ∈ V ∀i και το κάθε διάνυσμα του V μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός συνδυασμός των v1 , v2 , . . . vm . Ορισμός Το σύνολο των διανυσμάτων v1 , v2 , . . . vm ∈ V αποτελούν βάση του χώρου V αν τον παράγουν και είναι γραμμικά ανεξάρτητα. Ορισμός Διάσταση ενός διανυσματικού χώρου V είναι το πλήθος των διανυσμάτων της βάσης του.
  10. 10. Παρατηρήσεις Κάθε σύνολο διανυσμάτων που παράγει έναν χώρο μπορεί να μετατραπεί σε βάση του χώρου αν αφαιρέσουμε κατάλληλα κάποια απο αυτά έτσι ώστε τα υπόλοιπα να είναι γραμμικά ανεξάρτητα.
  11. 11. Παρατηρήσεις Κάθε σύνολο διανυσμάτων που παράγει έναν χώρο μπορεί να μετατραπεί σε βάση του χώρου αν αφαιρέσουμε κατάλληλα κάποια απο αυτά έτσι ώστε τα υπόλοιπα να είναι γραμμικά ανεξάρτητα. Κάθε σύνολο γραμμικά ανεξάρτητων διανυσμάτων ενός χώρου μπορεί να μετατραπεί σε βαση του χώρου προσθέτοντας κατάλληλα κάποια διανύσματα έτσι ώστε το νέο σύνολο να παράγει τον χώρο.
  12. 12. Παρατηρήσεις Κάθε σύνολο διανυσμάτων που παράγει έναν χώρο μπορεί να μετατραπεί σε βάση του χώρου αν αφαιρέσουμε κατάλληλα κάποια απο αυτά έτσι ώστε τα υπόλοιπα να είναι γραμμικά ανεξάρτητα. Κάθε σύνολο γραμμικά ανεξάρτητων διανυσμάτων ενός χώρου μπορεί να μετατραπεί σε βαση του χώρου προσθέτοντας κατάλληλα κάποια διανύσματα έτσι ώστε το νέο σύνολο να παράγει τον χώρο. Για να ελέγξουμε αν ένα σύνολο διανυσμάτων είναι γραμμικά ανεξάρτητα υπολογίζουμε τον μηδενοχωρο του πίνακα που έχει σαν στείλες τα εν λόγω διανύσματα. Αν αυτός περιλαμβάνει μόνο το μηδενικό διάνυσμα τότε τα διανύσματα είναι γραμμικα ανεξάρτητα.
  13. 13. Απαλοιφή m × n πίνακα Εάν τόσο το οδηγό στοιχείο όσο και όλα τα στοιχεία κάτω από αυτό είναι 0 τότε πήγαινε στην επόμενη στήλη Κάτω από κάθε οδηγό έχουμε μηδέν Κάθε οδηγός βρίσκεται στα δεξιά του οδηγού της από πάνω γραμμής Οι μη-μηδενικές γραμμές έρχονται πριν τις μηδενικές

×