Download luận văn đồ án tốt nghiệp với đề tài: Những sai sót thường gặp của sinh viên khi tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất

1. 1
MỤC LỤC
Trang
Lời cam đoan …………………………………………………………………………i
Danh mục các từ viết tắt……..……………………………………………………….ii
Tóm tắt kết quả đề tài………………………………………………………………..iii
Summary……………………………………………………………………………..iv
MỞ ĐẦU............................................................................................................... 3
1. Lí do chọn đề tài..................................................................................................... 3
2 Mục tiêu nghiên cứu................................................................................................ 4
3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu......................................................................... 4
4 Phương pháp nghiên cứu ....................................................................................... 4
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn…………………………………………………..5
6. Cấu trúc của đề tài.................................................................................................. 5
NỘI DUNG
Chương 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄNError! Bookmark not
defined.
1.1. Tổng quan về bài toán......................................................................................... 6
1.1.1. Bài toán là gì? ............................................................................................... 6
1.1.2. Vị trí và chức năng của bài tập Toán........................................................... 7
1.1.3. Các yêu cầu của lời giải bài tập Toán.......................................................... 9
1.2. Khái quát về môn học PTVP.............................................................................10
1.2.1. Nội dung chương trình. ..............................................................................10
1.2.2. Một số đặc điểm cơ bản về PTVPTT không thuần nhất. .........................12
1.2.3. Các phương pháp tìm nghiệm riêng của PTVPTT không thuần nhất. .....16
1.3. Khảo sát thực trạng khả năng giải bài tập Toán tìm nghiệm riêng PTVPTT
không thuần nhất của sinh viên SP Toán, trường Đại hoạc Đồng Tháp...............18
1.3.1 Phương pháp khảo sát...................................................................................18
1.3.2. Kết quả khảo sát..........................................................................................18
1.3.3. Những sai sót cơ bản của sinh viên SP Toán trường Đại học Đồng Tháp khi
tìm nghiệm riêng của PTVPTT không thuần nhất .......................................................20
Chương 2. CÁC BIỆN PHÁP KHẮC PHỤC SAI SÓT KHI TÌM NGHIỆM RIÊNG CỦA
PTVPTT KHÔNG THUẦN NHÂT ...........................................................................28

2. 2
2.1. Các Nguyên tắc chỉ đạo việc sử dụng các biện pháp sư phạm nhằm hạn chế và
sửa chữa các sai sót ...................................................................................................28
2.2.1. Nguyên tắc 1: Tính kịp thời.......................................................................28
2.2.2. Nguyên tắc 2. Tính chính xác ....................................................................28
2.2.3. Nguyên tắc 3: Tính giáo dục.......................................................................29
2.2. Các biện pháp khắc phục..................................................................................29
2.3.1. Biện pháp 1: Trang bị đầy đủ, tính chính xác các kiến thức về việc tìm
nghiệm của PTVPTT không thuần nhất........................................................................29
2.3.2. Biện pháp 2: Phân tích làm rõ các sai sót và giúp sinh viên khắc phục các
sai sót đó. ........................................................................................................................34
2.3.3. Biện pháp 3: Rèn cho sinh viên về tính chính xác trong giải các bài toán tìm
nghiệm liên quan đến các phép toán Đại số, Đạo hàm, Tích phân. ............................41
Chương 3. THỰC NGHIỆM..................................................................................45
3.1. Mục đích và nội dung thực nghiệm...................................................................45
3.2. Tổ chức thực nghiệm .........................................................................................45
3.2. Kết quả thực nghiệm..........................................................................................46
KẾT LUẬN..........................................................................................................48
TÀI LIỆU THAM KHẢO......................................................................................49

3. 3
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Theo luật Giáo dục số 38/2005/QH11, mục tiêu giáo dục: ”là đào tạo con người
Việt Nam phát triển toàn diện, có đạo đức, tri thức, sức khoẻ, thẩm mỹ và nghề nghiệp,
trung thành với lý tưởng độc lập dân tộc và chủ nghĩa xã hội; hình thành và bồi dưỡng
nhân cách, phẩm chất và năng lực của công dân, đáp ứng yêu cầu của sự nghiệp xây
dựng và bảo vệ Tổ quốc.” Từ đó, đã góp phần thúc đẩy ngành giáo dục và đào tạo phải
thay đổi, phát triển nhằm đáp ứng yêu cầu đặt ra.
Để đào tạo được những công dân toàn diện về mọi mặt, một công dân có trình
độ cao, đáp ứng theo xã hội công nghiệp hóa – hiện đại hóa đất nước phát triển theo
hướng xã hội chủ nghĩa, thì theo luật Giáo dục số 38/2005/QH11 nói chung trong đó
có giáo dục Đại học cần “Đào tạo trình độ đại học giúp người học nắm vững kiến thức
chuyên môn và có kỹ năng thực hành thành thạo, có khả năng làm việc độc lập, sáng
tạo và giải quyết những vấn đề thuộc chuyên ngành được đào tạo.”
Để làm được điều này, trước hết người học của trường Đại học Đồng Tháp cần
có thái độ học tập đúng đắn, nghiêm túc trong thời kỳ chuyển hóa từ học tập theo
chương trình niên chế sang chương trình hệ thống tín chỉ. Trong đó có ngành sư phạm
Toán – một ngành đòi hỏi người học cần có thái độ nghiệm túc, tích cực, tự học và tự
nghiên cứu.
Cùng với sự đổi mới trong cách học, cách dạy của các phân môn trong chuyên
ngành sư phạm Toán, môn học PTVP cũng không ngoại lệ. Đó là điều tất yếu, cách
dạy và học cần đổi mới phù hợp với yêu cầu đặt ra, yêu cầu người học tích cực trong
hoạt động học phải tự học hỏi như thế nào? Cách học ra sao? Làm sao để chiếm lĩnh tri
thức mà không nhầm lẫn?....
Môn học PTVP dù đã được nghiên cứu cách đây khá lâu và tương đối hoàn
chỉnh, chẳng hạn các dạng toán về phương trình vi phân thường, phương trình đạo
hàm riêng, phương trình vi phân chậm và các ứng dụng của chúng trong lĩnh vực đời
sống xã hội,… Do đó, việc vận dụng chúng cần chính xác, rõ ràng và không có sai sót.
Tuy nhiên, trong quá trình nghiên cứu môn học này, chúng tôi thấy vẫn còn rất nhiều
vấn đề cần lưu ý khi giảng dạy và học tập, vì đây không những là môn học bắt buộc

4. 4
cho các lớp ĐHSToan, CĐSToan và các lớp ngoài chuyên ngành mà nó là công cụ
hữu ích cho nhiều ngành khoa học khác. Đặc biệt, việc tìm nghiệm của lớp phương
trình vi phân tuyến tính (PTVPTT) không thuần nhất đã có các bước giải tương đối rõ
ràng, tuy nhiên người học vẫn còn rất nhiều sai sót khi viết nghiệm hoặc tính toán
trong quá trình giải PTVP. Do đó tôi chọn đề tài “Những sai sót thường gặp của sinh
viên khi tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất”
nhằm góp một phần giúp người học tránh được những sai sót không nên có.
2. Mục tiêu nghiên cứu
- Xác định các sai sót cơ bản của người học khi giải bài tập Toán tìm nghiệm
riêng của PTVPTT không thuần nhất.
- Đưa ra một số biện pháp nhằm hạn chế và khắc phục các sai sót của người
học khi tìm nghiệm riêng của PTVPTT không thuần nhất.
Để thực hiện mục tiêu trên, đề tài cần giải quyết các vấn đề
+ Cần hiểu được bài tập toán là gì?
+ Bài tập toán có vị trí, chức năng như thế nào?
+ Bài tập toán có các yêu cầu gì?
+ Những sai sót nào mà người học thường gặp khi tìm nghiệm riêng của
PTVPTT không thuần nhất?
+ Những giải pháp nào giúp người học hạn chế và khắc phục các sai sót đó?
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
+ Nghiên cứu các sai sót thường gặp của người học tìm nghiệm của PTVPTT
không thuần nhất.
+ Phạm vi nghiên cứu: Người học 6 lớp ĐHSToan09AB; CĐSToan 10A,B;
.ĐHSToan 10A,B của trường Đại học Đồng Tháp.
4. Phương pháp nghiên cứu
+ Nghiên cứu lý luận, từ cơ sở lý luận làm sáng tỏ các vấn đề bài tập Toán,
phân tích giúp người học hạn chế, phát hiện và sửa chữa sai sót khi tìm nghiệm riêng
của PTVPTT không thuần nhất.
+ Phương pháp điều tra quan sát: thông qua việc giải bài tập, bài kiểm tra, phiếu
điều tra trắc nghiệm tìm hiểu những vấn đề mà người học thường mắc sai sót.

5. 5
+ Phương pháp thực nghiệm: nhằm khẳng định tính chính xác của các sai sót
cho người học khi tìm nghiệm riêng.
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Nếu hệ thống được những sai sót thường gặp trong việc tìm nghiệm của
PTVPTT không thuần nhất và đề xuất những phương pháp giải quyết phù hợp thì sẽ
giúp người học học tốt hơn và giúp cho giảng viên dạy tốt hơn nội dung phần này, qua
đó góp phần nâng cao chất lượng dạy và học môn PTVP.
6. Cấu trúc của đề tài
Ngoài Mở đầu, kết luận, lời cam đoan và tài liệu tham khảo thì nội dung chính
được trình bày trong 3 chương.
Chương 1 Trình bày cơ sở lý luận và thực tiễn và đồng thời chỉ ra những sai sót
thường gặp của Sinh viên trong quá trình tìm nghiệm riêng của PTVPTT không thuần
nhất cấp n.
Chương 2 Phân tích và đưa ra các biện pháp để người học khắc phục những sai
sót trên.
Chương 3 Đưa ra kết quả khảo sát thực nghiệm của các lớp đã giảng dạy các
năm học 2010 – 2011 và 2011 – 2012.

6. 6
NỘI DUNG
Chương 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Tổng quan về bài toán
1.1.1. Bài toán là gì?
Bài toán được hiểu là: “Tất cả những câu hỏi cần giải đáp về một kết quả chưa
biết cần, tìm bắt đầu từ một số dữ kiện, hoặc về một phương pháp cần khám phá, mà
theo phương pháp này sẽ đạt được kết quả đã biết”(Từ điển Petit Robert, trích theo Lê
Văn Tiến, 2005). Polya lại viết: “Bài toán đặt ra sự cần thiết phải tìm hiểu một cách
có ý thức phương tiện thích hợp để đạt tới một mục đích trong thấy rõ ràng nhưng
không thể đạt được ngay”.
Ví dụ 1.1: Khi viết nghiệm riêng của một PTVPTT không thuần nhất, ta cần có
những phải biết dữ kiện nào? Chẳng hạn, đối với phương trình
1 2 3''' ( ) '' ( ) ' ( ) ( )y p x y p x y p x y f x    có hệ nghiệm cơ bản của PTVP thuần nhất là
1 2 3{ ; ; }y y y thì cách viết như thế nào? Hay cách viết nghiệm riêng của phương trình
(4) 2
4 '' 2 x
y y x e
  cần xét những tính chất nào? Hoặc khi viết nghiệm riêng của
phương trình '' 3 ' 2 siny y y x x   ta cần những yếu tố nào?
Rubinstein viết: “Một vấn đề hoặc một tình huống có vấn đề được xác định
trước hết ở chỗ trong nó có cái chưa biết, cũng là cái lỗ hổng cần lấp đầy, có cái x
nào đã cần được thay bởi giá trị tương ứng. Như vậy một tình huống có vấn đề luôn
luôn chứa cái gì đã còn là ẩn - trong quan hệ với cái đã cho - cần được xác định dưới
dạng hiện”. Ông cũng viết “Bài toán là sự phát biểu vấn đề bằng lời”.
Chẳng hạn, để viết nghiệm tổng quát của PTVPTT không thuần nhất, ta cần biết
những gì? Ngoài cách viết nghiệm riêng của PTVPTT không thuần nhất, còn cách viết
nghiệm khác không? Có phải mọi PTVPTT không thuần nhất đều có thể sử dụng
phương pháp hệ số bất định để tìm nghiệm riêng?
Ví dụ 1.2 Để viết được nghiệm riêng của phương trình '' 3 ' 2 x
y y y xe   bằng
phương pháp hệ số bất định, trước hết phải nhận xét được hàm ( ) x
f x xe có gì đặc
biệt? Rõ ràng hàm f(x) có  =1 là nghiệm phương trình đặc trưng, nên phương trình đã

7. 7
cho có một nghiệm riêng: * 2
( ) x
y Ax Bx e  ; tương tự, phương trình
2
'' 3 ' 2 x
x y xy y xe   có phải cũng được một nghiệm riêng: * 2
( ) x
y Ax Bx e  ?
Bài toán là yêu cầu cần có để đạt được mục đích nào đó. Với cách hiểu này bài
toán đồng nghĩa với đề toán, bài tập, câu hỏi, vấn đề, nhiệm vụ,….Mục đích nêu trong
bài toán có thể là một tập hợp bất kỳ (của các số, các hình, các biểu thức,..) hoặc sự
đúng đắn của một hoặc nhiều kết luận….
1.1.2. Vị trí và chức năng của bài tập Toán
a. Vị trí
Dạy toán là dạy hoạt động toán học. Đối với người học, có thể xem việc giải
toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Các bài tập Toán ở hầu hết các học
phần là một phương tiện rất có hiệu quả và không thể thay thế được trong việc giúp
người học nắm vững tri thức, phát triển năng lực tư duy, hình thành kĩ năng, kĩ xảo
ứng dụng toán học vào thực tiễn. Vì vậy, tổ chức có hiệu quả việc giải bài tập Toán có
vai trò quyết định đối với chất lượng dạy và học toán. Trong thực tiễn dạy học, bài tập
Toán được sử dụng với những dụng ý khác nhau. Một bài tập có thể dùng để tạo tiền
đề xuất phát, để gợi động cơ để làm việc với nội dung mới. Ví dụ trong việc xác định
nghiệm riêng của phương trình '' 3 ' 2 x
y y y xe   , ta có thể viết nghiệm riêng bằng
phương pháp biến thiên hằng số: * 2
1 2( ) ( )x x
y C x e C x e  . Tuy nhiên, để viết nghiệm
riêng của phương trình '' 3 ' 2 sinx
y y y xe x
   bằng phương pháp biến thiên hăng số
thì không phải dễ; hoặc để củng cố hoặc kiểm tra,…. .Chẳng hạn, khi nghiên cứu xong
vấn đề về nghiệm riêng của PTVP bằng phương pháp hệ số bất định, có thể cho người
học viết nghiệm riêng của các phương trình sau:
a. '' 3 ' 2 x
y y y xe   ;
b. '' 3 ' 2 siny y y x x   ;
c. '' siny y x x  ;
d. '' 2 ' 2 sinx
y y y xe x
   ;
e. 3
''' 3 '' 3 4y y x x    ;
f.  3
''' 3 '' 3 4 cosy y x x x    , …

8. 8
Tất nhiên, việc giải một bài tập cụ thể thường không nhằm vào mục đích nào đó
mà thường bao hàm những ý đồ nhiều mặt như đã nêu. Mỗi bài tập Toán cụ thể được
đặt ra ở thời điểm nào đó của quá trình dạy học đều chứa đựng một cách tường minh
hay tàng ẩn những chức năng khác nhau. Chẳng hạn, khi viết nghiệm riêng của
phương trình '' 3 ' 2 x
y y y xe   ta cần xét điều kiện gì? Hay dựa vào đâu để viết chính
xác nghiệm riêng phương trình '' 3 ' 2 siny y y x x   . Tóm lại vị trí của bài tập Toán là
hướng đến việc thực hiện các mục đích dạy học Toán.
b. Chức năng
Chức năng dạy học
- Bài tập củng cố kiến thức, rèn luyện kĩ năng, kĩ xảo những vấn đề lý thuyết đã
học (khái niệm, định lí, quy tắc,…). Qua đó người học hiểu sâu hơn và biết vận dụng
những kiến thức đã học vào việc giải quyết những tình huống cụ thể.
Chẳng hạn, có thể đưa ra các bài tập tương tự,
Ví dụ1.3 Giải các phương trình sau
a) '' 3 ' 2 x
y y y xe   ;
b) '' 3 ' 2 siny y y x x   ;
c) '' siny y x x  ;
d) '' 2 ' 2 sinx
y y y xe x
   ;
e) 3
''' 3 '' 3 4y y x x    ;
f)  3
''' 3 '' 3 4 cosy y x x x    .
- Có khi bài tập lại là một định lí, vì lí do nào đó không đưa vào lí thuyết. Cho
nên qua việc giải bài tập người học mở rộng được tầm hiểu biết của mình.
Chức năng giáo dục
Qua việc giải bài tập mà hình thành cho người học thế giới quan duy vật biện
chứng, hứng thú học tập, niềm tin và phẩm chất đạo đức của con người lao động mới
(sáng tạo, kỉ luật, cần cù, chịu khó, óc thẩm mỹ).
Chức năng phát triển
Bài tập nhằm phát triển năng lực tư duy cho người học, đặc biệt là rèn luyện
những thao tác trí tuệ và hình thành những phẩm chất tư duy khoa học.

9. 9
Ví dụ 1.4 Giúp người học có năng lực nhận biết chính xác các cách viết nghiệm
riêng của PTVPTT không thuần nhất; Chẳng hạn viết chính xác các nghiệm riêng
phương trình
a) '' 3 ' 2 siny y y x x   có nghiệm riêng là *
( )cos ( )sinxy Ax B x Cx D    . (Vì
i  = i không là nghiệm phương trình đặc trưng)
b) '' siny y x x  có nghiệm riêng là *
cos sinxy Ax x Bx  . (Vì i  = i
không là nghiệm phương trình đặc trưng)
c) '' x
y y xe  có nghiệm riêng là *
( ) x
y Ax B e  . (Vì  = 1 không là nghiệm
phương trình đặc trưng)
d) 3
''' 3 4y y x x    có nghiệm riêng là * 3 2
y Ax Bx Cx D    . (Vì  = 0
không là nghiệm phương trình đặc trưng)
Chức năng kiểm tra
Bài tập nhằm đánh giá mức độ, kết quả dạy và học toán, đánh giá khả năng độc
lập học toán và trình độ phát triển của người học.
Trên thực tế các chức năng trên không bộc lộ riêng lẻ mà nó kết hợp chặt chẽ
thống nhất.
1.1.3. Các yêu cầu của lời giải bài tập Toán
Theo GS TS Nguyễn Bá Kim (2004), Phương pháp dạy học môn toán, Nhà
xuất bản Đại học sư phạm. Lời giải một bài toán có các yêu cầu sau
a. Lời giải một bài toán phải không có sai sót
Kết quả cuối cùng phải là một đáp án đúng, một biểu thức phải thỏa mãn các
yêu cầu đề ra. Kể cả các bước trung gian cũng phải là một đáp số đúng. Như vậy lời
giải không thể chứa những sai sót khi tính toán, vẽ hình, ghi giả thiết và kết luận.
Thông thường người học sai sót do các nguyên nhân sau:
- Kiến thức toán học
- Phương pháp suy luận bài toán như suy diễn và quy nạp.
- Tính toán sai do sử dụng ngôn ngữ, ký hiệu chưa đúng với yêu cầu của đề toán
đặt ra.
Ví dụ 1.5 Khi viết nghiệm riêng của PTVPTT không thuần nhất, người học cần
xác định những mục tiêu nào của nội dung môn học phải có, biết phát triển như thế nào?
Chẳng hạn, cách viết nghiệm riêng phương trình ( ) ( 1)
1 1.... ' ( )n n
n ny a y a y a y f x
    

10. 10
khi biết hàm ( ) ( )x
mf x e P x
 , với Pm(x) là đa thức bậc m và  không là nghiệm của
phương trình đặc trưng thì phương trình đã cho có một nghiệm *
( )x
my e P x
 , bây giờ
( ) ( )mf x P x chỉ là một đa thức, thì cách viết nghiệm riêng như thế nào?
b. Lời giải phải có cơ sở lý luận
Khi giải một bài toán cần tuân thủ những quy tắc sau:
- Luận đề phải nhất quán.
- Luận cứ phải đúng.
- Luận chứng phải logic.
c. Lời giải phải đầy đủ
Khi giải một bài toán không được bỏ sót một trường hợp nào, một khả năng
nào, một chi tiết nào. Giảng viên yêu cầu người học xét tất cả các trường hợp có thể
xảy ra của bài toán.
d. Lời giải phải đơn giản nhất
Khi giải một bài toán cần phải tìm ra nhiều cách giải khác nhau, sau đã chọn
cách giải ngắn nhất, hay nhất và hợp lý nhất.
1.2. Khái quát về môn học PTVP
1.2.1. Nội dung chương trình
Chương I: PHƯƠNG TÌNH VI PHÂN CẤP MỘT
1.1. Phương trình vi phân cấp một
1.1.1. Các khái niệm mở đầu
1.1.2. Điều kiện Lipsit, dãy xấp xỉ Picard – Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm
1.2.Các phương trình vi phân cấp một thường gặp
1.2.1. Phương trình biến số phân ly và phân ly được
1.2.2. Phương trình thuần nhất
1.2.3. Phương trình tuyến tính và phương trình Becnuli
1.2.4. Phương trình Ricati
1.2.5. Phương trình vi phân toàn phần, thừa số tích phân
1.3. Các phương trình vi phân cấp một chưa giải ra đạo hàm
1.3.1. Phương trình không chứa hàm cần tìm
1.3.2. Phương trình không chứa biến số độc lập

11. 11
1.3.3. Phương trình tổng quát – Phương trình Lagrange và phương trình
Clairaut
1.4. Nghiệm kỳ dị của phương trình vi phân – Quỹ đạo trực giao
1.4.1. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm
1.4.2. Tìm nghiệm kỳ dị bằng phương pháp p - biệt tuyến
1.4.3. Tìm nghiệm kỳ dị bằng phương pháp c - biệt tuyến
Chương 2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO
2.1. Các khái niệm – Điều kiện tồn tại và duy nhất nghiệm
2.1.1. Các khái niệm ban đầu
2.1.2. Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm
2.1.3. Các phương trình vi phân cấp cao giải được bằng cầu phương
2.2. Lý thuyết tổng quát về phương trình vi phân cấp n
2.2.1. Các khái niệm
2.2.2. Lý thuyết tổng quát về phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp n
2.2.3. Phương trình vi phân tuyến tính không thuầ nhất
2.3. Phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng cấp n
2.3.1. PTVPTT thuần nhất cấp n với hệ số hằng
2.3.2. PTVPTT không thuần nhất cấp n với hệ số hằng
2.3.3. Một số tính chất về PTVPTT cấp hai
Chương 3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
3.1 Hệ phương trình vi phân cấp một
3.1.1. Các khái niệm
3.1.2. Mối quan hệ giữa PTVP cấp n và hệ gồm n PTVP cấp một
3.1.3. Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm
3.1.4. Giải hệ phương trình bằng phương pháp khử và phương pháp tổ hợp
giải tích
3.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp một
3.2.1. Hệ PTVP tuyến tính thuần nhất
3.2.2. Hệ PTVP tuyến tính không thuần nhất
3.3 Hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp một với hệ số hằng
3.3.1. Hệ PTVP tuyến tính thuần nhất với hệ số hằng
3.3.2. Hệ PTVP tuyến tính không thuần nhất với hệ số hằng

12. 12
1.2.2. Một số đặc điểm cơ bản về PTVPTT không thuần nhất
a. Các khái niệm [3, tr132-180]
Định nghĩa 1.1 Phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất cấp n là
PTVP có dạng
( ) ( 1)
0 1 1( ) ( ) .... ( ) ' ( ) ( )n n
n na x y a x y a x y a x y x
    
với 0{ ( )} , ( )n
i ia x x là những hàm liên tục trên I  R và 0 ( ) 0a x  , Ix  .
Gọi ( ) ( 1)
1 1L[ ] ( ) .... ( ) ' ( )n n
n ny y p x y p x y p x y
     là toán tử vi phân tuyến tính.
Suy ra ( ) ( 1)
1 1L[ ] ( ) .... ( ) ' ( ) ( )n n
n ny y p x y p x y p x y f x
      , (1.1)
với
0 01
( ) ( )
p ( ) , ( ) .
( ) ( )
n
i
i
i
a x x
x f x
a x a x


 
  
 
Định nghĩa 1.2 Nếu ( ) 0f x  , Ix  thì
( ) ( 1)
1 1( ) .... ( ) ' ( ) 0n n
n ny p x y p x y p x y
     (1.2)
được gọi là PTVPTT thuần nhất cấp n.
Định nghĩa 1.3 Nếu   1
p ( )
n
i i i
x a 
 là những hằng số thì phương trình (1.1)
được viết lại
( ) ( 1)
1 1.... ' ( ) ( )n n
n ny a y a y a x y f x
     (1.3)
phương trình (1.3) được gọi là PTVPTT không thuần nhất cấp n với hệ số hằng
Nếu phương trình (1.3) có ( ) 0f x  thì phương trình
( ) ( 1)
1 1.... ' 0n n
n ny a y a y a y
    
được gọi là PTVPTT thuần nhất cấp n với hệ số hằng số.
Định nghĩa 1.4 Phương trình
1
1 1.... 0n n
n na a a  
     (1.4)
được gọi là phương trình đặc trưng của PTVPTT thuần nhất cấp n với hệ số hằng.
Định nghĩa 1.5 Hàm ( )y x khả vi đến cấp n được gọi là nghiệm của phương
trình (1.2) trên I khi và chỉ khi nó thỏa mãn điều kiện
( ) ( 1)
1 1( ) ( ) ( ) .... ( ) '( ) ( ) ( ) 0n n
n nx p x x p x x p x x   
     , Ix  .
Định nghĩa 1.6 Hàm 1 2( , , ,..., )ny x C C C được gọi là nghiệm tổng quát của
phương trình (1.2) khi và chỉ khi thỏa mãn 2 điều kiện:
- Hàm 1 2( , , ,..., )ny x C C C là nghiệm của phương trình (1.2), Ix  .

13. 13
- Với mọi ' '' ( 1)
0 0 0 0( , , ,..., )n
x y y y 
( 0 Ix  ) thỏa mãn ( ) ( )
0 0( ), 0,1,2,....,k k
y y x k n  
tồn tại duy nhất nghiệm   0 0 0
1 2, ,..., nC C C .
Định nghĩa 1.7 Giả sử hệ hàm   1
y ( )
n
i i
x 
khả vi đến cấp n-1 trên I R , khi đó,
định thức Wronsky của hệ hàm đã cho là
W(x) =
1 2
1 2
( 1) ( 1) ( 1)
1 2
y ( ) y (x) ............... y (x)
y '(x) y '(x) .............. y '(x)
..................................................
y (x) y (x) ........ y (x)
n
n
n n n
n
x
  
Định nghĩa 1.8 Hệ n nghiệm   1
y ( )
n
i i
x 
độc lập tuyến tính của phương trình
(1.2) được gọi là hệ nghiệm cơ bản của nó.
b. Các tính chất
Định lý 1.1
+ Nếu 1 2( ), ( )y x y x là nghiệm của phương trình (1.2) thì tổng 1 2( ) ( )y x y x là
nghiệm của phương trình (1.2);
+ Nếu ( )y x là nghiệm phương trình (1.2) thì tích ( )Cy x với C là hằng số bất kỳ
cũng là nghiệm của phương trình (1.2).
Chứng minh
+ Ta có  
( ) ( ) ( )
1 2 1 2 , 0,1,2,..., .
k k k
y y y y k n     ;
Do 1 2L[ ] 0;L[ ] 0y y  , suy ra 1 2 1 2L[ ] L[ ] L[ ] 0y y y y    , nên 1 2y ( ) y (x)x  là
nghiệm phương trình (1.2).
+ Ta có  
( ) ( )
1 1 ; 0,1,2,..., .
k k
Cy Cy k n   ;
Do 1L[ ] 0;y  , suy ra 1 1L[C ] L[ ] 0y C y  , nên 1Cy ( )x cũng là nghiệm phương
trình (1.2).
* Nhận xét: Nếu   1
y ( )
m
i i
x 
là hệ nghiệm phương trình (1.2) thì
1
( )
m
i i
i
y C y x

  ; là
nghiệm của phương trình (1.2).
Định lý 1.2 Giả sử hệ hàm   1
y ( )
n
i i
x 
là nghiệm của phương trình (1.2) khi đó
điều kiện cần và đủ để hệ hàm   1
y ( )
n
i i
x 
phụ thuộc tuyến tính trên I  R là định thức
Wronsky W(x) = 0 với mọi x I .

14. 14
Chứng minh
Điều kiện cần: Theo giả thiết hệ hàm   1
y ( )
n
i i
x 
phụ thuộc tuyến tính nên tồn tại
bộ giá trị   1
n
i i
 
không đồng thời bằng 0 sao cho:
1
y ( ) 0
n
i i
i
x

 .
Lấy đạo hàm 2 vế của đẳng thức trên đến cấp n-1, ta được
1 1 2 2
1 1 2 2
( 1) ( 1) ( 1)
1 1 2 2
y ( ) + y (x) +.............+ y (x)=0
y '(x) + y '(x) +.............. + y '(x)=0
..................................................
y (x)+ y (x)+ ........ + y (x) 0
n n
n n
n n n
n n
x  
  
    







Do   1
n
i i
 
không đồng thời bằng 0 nên
W(x) =
1 2
1 2
( 1) ( 1) ( 1)
1 2
y ( ) y (x) ............... y (x)
y '(x) y '(x) .............. y '(x)
..................................................
y (x) y (x) ........ y (x)
n
n
n n n
n
x
  
= 0
Điều kiện đủ
Giả sử W(x) =
1 2
1 2
( 1) ( 1) ( 1)
1 2
y ( ) y (x) ............... y (x)
y '(x) y '(x) .............. y '(x)
..................................................
y (x) y (x) ........ y (x)
n
n
n n n
n
x
  
= 0, x I
Lấy bất kỳ 0x I và xét hệ phương trình đại số tuyến tính
1 1 0 2 2 0 0
1 1 0 2 2 0 0
( 1) ( 1) ( 1)
1 1 0 2 2 0 0
y ( ) + y (x ) +.............+ y (x )=0
y '(x ) + y '(x ) +.............. + y '(x )=0
..................................................
y (x )+ y (x )+ ........ + y (x
n n
n n
n n n
n n
x  
  
    
) 0





 
(1.5)
Do W(x0) = 0, nên hệ phương trình có nghiệm không tầm thường  0
1
n
i i
 
.
Xét hàm: 0 0 0
1 1 2 2( ) y ( ) + y (x) +.............+ y (x)n ny x x   , (1.6)
theo định lý 1.1 ta có y(x) là nghiệm của phương trình (1.2).
Mặt khác,  0
1
n
i i
 
là nghiệm của hệ phương trình (1.5), nên từ (1.5) và (1.6) ta có
( ) ( )
0 0y ( ), 0,1,2,..., -1k k
y x k n  

15. 15
Do phương trình (1.2) có nghiệm tầm thường z(x) = 0 và thỏa mãn
( )
0( )=0, 0,1,2,..., -1k
z x k n  . Nên theo định lý tồn tại và duy nhất nghiệm ta phải có
( ) ( )z x y x .
Hay 0 0 0
1 1 2 2y ( ) + y (x) +.............+ y (x)=0n nx   . Vì  0
1
n
i i
 
không đồng thời bằng 0
nên hệ hàm   1
y ( )
n
i i
x 
phụ thuộc tuyến tính trên I  R.
* Nhận xét: Nếu hệ hàm   1
y ( )
n
i i
x 
là nghiệm của phương trình (1.2) thì hoặc
W(x) = 0 với mọi x I hoặc W(x) ≠ 0 với mọi x I .
Định lý 1.3 Nếu   1
y ( )
n
i i
x 
là hệ nghiệm cơ bản của phương trình (1.2) thì
1 1 2 2 ... n ny y C y C y C    là nghiệm tổng quát của phương trình (1.2).
Chứng minhTa có 1 1 2 2 ... n ny y C y C y C    là nghiệm của phương trình (1.2)
Giả sử ( 1) ( 1)
0 0 0 0 0( ; ; '; '';...; )n n
x y y y y D 
  R thỏa
y(x0) = y0; y’(x0) = y0’; y’’(x0) = y0’’; ….; y(n-1)
(x0) = y0
(n-1)
Khi đó:
1 1 0 2 2 0 0 0
1 1 0 2 2 0 0 0
( 1) ( 1) ( 1)
1 1 0 2 2 0
y ( ) + C y (x ) +.............+C y (x )=y
y '(x ) + y '(x ) +.............. + y '(x )=y '
..................................................
y (x )+ y (x )+ ........ + y
n n
n n
n n n
n n
C x
C C C
C C C   ( 1)
0 0(x ) y n





 
(1.7)
Do hệ   1
y ( )
n
i i
x 
là hệ nghiệm cơ bản của phương trình (1.2) nên nó độc lập
tuyến tính, suy ra:
1 0 2 0 0
1 0 2 0 0
( 1) ( 1) ( 1)
1 0 2 0 0
y ( ) y ( ) ............... y ( )
y '( ) y '( ) .............. y '( )
0;
..................................................
y ( ) y ( ) ........ y ( )
n
n
n n n
n
x x x
x x x
x x x  
 hay hệ (1.7) có nghiệm duy nhất  0
1
C
n
i i
.
Nên 1 1 2 2 ... n ny y C y C y C    là nghiệm tổng quát của phương trình (1.2).
Tính chất 1.4 Nếu %y là nghiệm tổng quát của PTVPTT thuần nhất (1.2) và *
y
là một nghiệm của PTVPTT không thuần nhất (1.1) thì % *
y y y  là nghiệm tổng quát
của phương trình (1.1).
Chứng minhGiả sử: %
1 1 2 2 ... n ny y C y C y C    là nghiệm tổng quát của phương
trình (1.2) và *
y là một nghiệm của phương trình (1.1), khi đó % *
y y y  là nghiệm của
phương trình (1.1), vì % %* *
L[ ] L[ ] L[ ] L[y ] ( )y y y y f x    

16. DOWNLOAD ĐỂ XEM ĐẦY ĐỦ NỘI DUNG
MÃ TÀI LIỆU: 53516
DOWNLOAD: + Link tải: tailieumau.vn
Hoặc : + ZALO: 0932091562