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![机械波 7.2 平面简谐波表达式
7.2.3 波动方程 平面简谐波表达式
平 （ x,t) 的物理意义
1. 体元的形变和受力分析 波动方程
f ∂ξ
∆ V = s∆ x σ = σ =Y
s ∂x o x x+∆x
当 ∆V 受外力拉伸时 f a = σ s 向左 ∆x
ξ+∆ξ
x
ξ
∂f ∂σ
f b = f a + ∆x = (σ + ∆x) s 向右 x
∂x ∂x
2. 动力学方程
∂ σ ∂2ξ
∑F =[−σ +(σ + ∂x ∆x)]s = ρs∆x ∂t 2
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![机械波 7. 5 波的叠
加
7.5.2 波的干涉
波的叠加原理
1. 同频率同振向、初位相恒定的两列 波的干涉
驻波
平面简谐波的迭加
●
(1) 合成波波动表达式 r P ●
S1 1
2πr1 r2
ξ1 = A1 cos[ωt + (ϕ1 − )] S2 ●
λ
2π r2
ξ 2 = A2 cos[ω t + (ϕ 2 − )] ξ = ξ1 + ξ 2 = A cos(ωt + ϕ )
λ
r2 − r1 1 非简谐波
式中A = [ A1 + A2 + 2 A1 A2 cos(ϕ 2 − ϕ1 − 2π
2 2
)] 2
λ
2π r1 2π r2
A1 sin(ϕ1 − ) + A2 sin(ϕ 2 − )
ϕ = tan −1 λ λ
2π r1 2π r2
A1 cos(ϕ1 − ) + A2 cos(ϕ 2 − )
λ λ
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7机械波
- 1. 大学基础物理（ 1 ）电子 机械波 第 7 章 机械 波 教案 第 7 章 机械波 §7.1 机械波的产生和传播 §7.2 平面简谐波表达式 §7.3 平面简谐波的能量 §7.4 惠更斯原理及其应用 §7.5 波的叠加 §7.6 多普勒效应 池塘中的水波 * §7.7 声波 习题课 卷首页
- 2. 机械波 7.1 机械波的产生和传播 §7.1 机械波的产生和传播 机械波的基本概念 7.1.1 机械波的基本概念 描述机械波的物理量 1. 机械波的产生和传播 第 7 章作业（ 1 ） (1). 形成原因 (2). 产生条件 习题： 17,19,24,31 预习： §7.4,§7.5 自学 :**§7.3.4 产 波源：产生振动的物体 波 波场：传播振动状态的弹性介质 机械波传播的不是介质本身，而是振动状态 ( 或相位 ) 2. 横波与纵波 章首页
- 3. 机械波 7.1 机械波的产生和传播 3. 波的基本概念 (1). 简谐波 (2). 波面、波前、波线 (3). 球面波 (4). 平面 波线 波 波前 7.1.2 描述机械波的物理量 波面 球面波 平面波 1. 波长波 2. 周期 T 3. 频率 ν λ 机械波的基本概念 4. 波速 vϕ vϕ = 描述机械波的物理量 T 单位时间内振动状态传播的距离 弹性波的传播速度决定于介质的惯性与弹性 章首页
- 4. 机械波 7.2 平面简谐波表达式 §7.2 平面简谐波表达式 平面简谐波表达式 平 （ x,t) 的物理意义 7.2.1 平面简谐波表达式 波动方程 1. 写出波源或振动质点的振动表达 ξ ( 0, t ) = A cos ωt 式 2. 考虑播向，求出位于 P 的质点在时刻 t 的振动表达式 ξ xP vϕ ξ ( x P , t ) = A cos ω t − vϕ P ● o x 3. 平面简谐波波动表达式 ξ ( x , t ) = A cos ω t − x x = vϕ ∆ t v ϕ 章首页
- 5. 机械波 7.2 平面简谐波表达式 7.2.2 ξ( x, t ) 的物理意 平面简谐波表达式 平 （ x,t) 的物理意义 义1. ξ ( x , t ) 2. ξ ( x , t ) 波动方程 0 0 3. ξ ( x, t ) = ξ ( x + ∆x, t + ∆t ) ξ t 波形图 ∂ξ 2π t+∆t 波形图 { }ξ 4. vϕ 与 5. ∆ϕ = ∆x ∂t λ ξx vϕ x + ∆x x 6. ξ ( x, t0 ) = ξ ( x + λ , t0 ) o ξ ( x0 , t ) = ξ ( x0 , t + T ) ∆x x x x x + ∆x 7. ξ (t + ) 8. ξ // x; ξ ⊥ x vϕ x ∂ 2ξ 1 ∂ 2ξ 9. ξ ( x, t ) = A cos ω (t − )为 2 = 2 2 的一个解 vϕ ∂x vϕ ∂t 章首页
- 6. 机械波 7.2 平面简谐波表达式 7.2.3 波动方程 平面简谐波表达式 平 （ x,t) 的物理意义 1. 体元的形变和受力分析 波动方程 f ∂ξ ∆ V = s∆ x σ = σ =Y s ∂x o x x+∆x 当 ∆V 受外力拉伸时 f a = σ s 向左 ∆x ξ+∆ξ x ξ ∂f ∂σ f b = f a + ∆x = (σ + ∆x) s 向右 x ∂x ∂x 2. 动力学方程 ∂ σ ∂2ξ ∑F =[−σ +(σ + ∂x ∆x)]s = ρs∆x ∂t 2 章首页
- 7. 机械波 7.2 平面简谐波表达式 3. 波动方程 平面简谐波表达式 平 （ x,t) 的物理意义 ∂ 2ξ 1 ∂ 2ξ Y = 2 2 式中 vϕ = 波动方程 ∂x 2 vϕ ∂t ρ x x 4. 波动表达式 ξ = F (t − ) + G (t + ) vϕ vϕ x 5. 平面简谐波表达式 ξ = A cos ω(t − ) vϕ 6. 常用的相速度公式 G Y B F ● vϕ = ● vϕ = ● vϕ = ● vϕ = ρ ρ ρ µ G ,Y,B 分别为介质的切变 , 杨氏 , 容变弹性模量。 ● 为质量密度 ,F 为弦上张力 ,µ 为单位长 质量 章首页
- 8. 机械波 7. 3 平面简谐波的能 量 §7.3 平面简谐波的能量 7.3.1 波的能量 1 ∂ξ 2 1 x ∆Wk = ( ρ∆V )( ) = ρ∆VA ω sin ω (t − ) 2 2 2 2 ∂t 2 vϕ 波的能量 能量密度 1 1 ∆ξ 2 1 ∂ξ 2 ∆W p = k (∆ξ ) = Ys∆x( ) ∆x → 0 Y ∆V ( ) 2 能流密度 2 2 ∆x 2 ∂x 波的吸收 1 x = ρ∆VA ω sin ω (t − ) 2 2 2 2 vϕ Ys f ∆ξ 式中 k = 可由 f = k∆ξ 与 =Y 比较得到 ∆x s ∆x x ∆W = ∆Wk + ∆W p = ρ∆VA ω sin ω (t − ) 2 2 2 vϕ 章首页
- 9. 机械波 7. 3 平面简谐波的能 量 • ∆Wk = ∆W p • ∆W ( x, t ) = ∆W ( x + ∆x, t + ∆t ) 波的能量 能量密度 波动实质是振动能量的传播 能流密度 波的吸收 ξ1 ξ2 7.3.2 能量密度 ξ1 x2 1. 能量密度 ∆W x w= = ρ A ω sin ω (t − ) 2 2 2 x1 x2 ∆V vϕ x1 ξ 2 1 T 1 2. 平均能量密度 w = ∫ wdt = ρ A2ω 2 T 0 2 重要结论：机械波的能量 (∆W , w, w) ∝ ρA ω 2 2 章首页
- 10. 机械波 7. 3 平面简谐波的能 量 波的能 7.3.3 能流密度矢量 ( 或波的强度 ) 量 能量密 1. 能流 度 例 : 求通过垂直于 vϕ 方向面积 S 的能流 P 和平均能流 能流密 P 度 解： P = wvϕ S , P = 1 Pdt = wvϕ S T 波的吸 T ∫0 收 vϕ → → → 2. 能流密度矢量 I I = wvϕ S → → 1 T→ → 3.平均能流密度矢量 I I = ∫ I dt = wvϕ T 0 → → → → → 4. I 与P 的关系 P = ∫ I ⋅ d S = ∫ wvϕ ⋅ d S s s 章首页
- 11. 机械波 7.3.4 波的吸收 波的能量 ** 7.3.4 波的吸收 能量密度 能流密度 在介质中平面波振幅 A 随传播距离 x 衰减的规律 波的吸收 波通过介质内厚度为 dx一层介质后 , 振幅的减少量 −dA = α Adx α 称为介质的吸收系数 一般地说，流体 : α ∝ν 2 固体 : α ∝ν ν 为波的频率 A = A0 e −αx 平面波强度 I 随传播距离 x衰减的规律 I = I 0 e −2αx
- 12. 机械波 7. 4 惠更斯原理及其应 用 §7.4 惠更斯原理及其应用 惠更斯原 理 应用 7.4.1 惠更斯原理惠波的传播原理 1. 振动为什么能在介质中传播？ 都 介质中的质点之间存在着 相互作用力 振 介质中的每一个振动质点 C.Huygens 都可视为一个新的波源 (荷兰⋅1629 − 1695) 章首页
- 13. 机械波 7. 4 惠更斯原理及其应 用 2. 惠更斯原理 惠更斯原 (1) 内容 理 应用 (2) 作用：提供了一种寻找新波前 的几何作图法，解决了波的传 播问题 (3) 存在的问题 ● 存 各个子波对介质中各点振动强度 的贡献问题 各 各个子波源发射的子波为什么不 向后传播的问题 章首页
- 14. 机械波 7. 4 惠更斯原理及其应 用 7.4.2 应用 惠更斯原 1. 波的衍射的解释 ( 略 ) 理 应用 2. 波的反射的解释 ( 略 ) 3. 波的折射的解释 (1) 己知入射波波前，求 折射波波前 (2) 折射定律 BC = AC sin i, AD = AC sin r sin i vϕ1 n2 波的折射 ∴ = = sin r vϕ 2 n1 章首页
- 15. 机械波 7. 5 波的叠 加 §7.5 波的叠加 波的叠加原理 波的干涉 7.5.1 波的叠加原理 驻波 1. 波的独立传播原理 在介质中每一个波都保持其独立的传播特性，不因 其它波的存在而改变 2. 波的叠加原理 在相遇区域内，任一点的振动位移是一个波单独存 在时在该点引起的振动位移的矢量和。 章首页
- 16. 机械波 7. 5 波的叠 加 7.5.2 波的干涉 波的叠加原理 1. 同频率同振向、初位相恒定的两列 波的干涉 驻波 平面简谐波的迭加 ● (1) 合成波波动表达式 r P ● S1 1 2πr1 r2 ξ1 = A1 cos[ωt + (ϕ1 − )] S2 ● λ 2π r2 ξ 2 = A2 cos[ω t + (ϕ 2 − )] ξ = ξ1 + ξ 2 = A cos(ωt + ϕ ) λ r2 − r1 1 非简谐波 式中A = [ A1 + A2 + 2 A1 A2 cos(ϕ 2 − ϕ1 − 2π 2 2 )] 2 λ 2π r1 2π r2 A1 sin(ϕ1 − ) + A2 sin(ϕ 2 − ) ϕ = tan −1 λ λ 2π r1 2π r2 A1 cos(ϕ1 − ) + A2 cos(ϕ 2 − ) λ λ 章首页
- 17. 机械波 7. 5 波的叠 加 (2) 合成波的振幅分布特征 r2 − r1 波的叠加原理 令∆ϕ = ϕ 2 − ϕ1 − 2π 波的干涉 λ 驻波 A = A1 + A2 + 2 A1 A2 cos ∆ϕ 2 2 • A = f (r1 , r2 )而与t 无关 • ∆ϕ = ±2kπ (k = 0,1, )的空间各点 A = A1 + A2 • ∆ϕ = ± (2k + 1)π (k = 0,1, )的空间各点 A =| A1 − A2 | 2. 几个基本概念 波的干涉 相干波 相干波源 相长干涉 相消干涉 章首页
- 18. 机械波 7. 5 波的叠 加 3. 相长干涉和相消干涉的 波的叠加原理 波的干涉 驻波 波程差表述 2π 2π 若ϕ1 = ϕ 2 , 则有 ∆ϕ = (r1 − r2 ) = δ λ λ λ δ = ±2k ( ) (k = 0 ,1,) 第 7 章作业 2 习题 ）34, 36, 38 （2: A = A1 + A2 相长干涉 预习 : §8.1 ～ 4 λ δ = ±(2k + 1)( ) (k = 0 ,1,) 2 A = |A1 − A2| 相消干涉 章首页
- 19. 机械波 7. 5 波的叠 加 7.5.3 驻波 ( 干涉的特例 ) 波的叠加原理 波的干涉 1. 驻波 驻波实验演示（动画） 驻波 指在同一直线上 , 沿相反方向传播的同频率同振向同 振幅位相差恒定的两列相干波在迭加的区域内形成的合 成波 2. 驻波的形成 驻波的形成分析（图） 波腹 波节 章首页
- 20. 机械波 7. 5 波的叠 加 3. 驻波表达式 波的叠加原理 2π x ξ1 = A0 cos(ωt − ) 波的干涉 λ 驻波 2π x ξ 2 = A0 cos(ωt + ) λ ξ = ξ 1 + ξ 2 = A cos(ω t + ϕ ) 2πx 式中 A = 2 A0 cos ,ϕ = 0 λ 2πx ∴ξ = 2 A0 cos ⋅ cos ωt 不是简谐波 !!! λ 章首页
- 21. 机械波 7. 5 波的叠 加 4. 驻波的特点 波的叠加原理 波的干涉 (1) 振幅分布 驻波 2πx 0 波节坐标 x=±(2k+1)λ/ 2 A0 | cos |= { λ 2 A0 波腹坐标 x=±k·λ/2 2 两相邻波节或波腹的距离为两 /2 ， k=0,1,…. (2) 位相分布 在同一时刻 t ，各点位相与 cos2π(x/λ) 的正负有关， ξ 而 cos2π(x/λ) 在波节处改变符 波节 o 号因此两波节之间的位相相同 , x 波腹 波节两侧各点位相相反。 章首页
- 22. 机械波 7. 5 波的叠 加 (3) 驻波不传递能量 ( 注意与行波的比较 ) 波的叠加原理 1 1 波的干涉 I 2 = ρ (−vϕ ) A0 ω 2 2 I1 = ρvϕ A0 ω 2 2 驻波 2 2 ∴ I = I1 + I 2 = 0 E 波腹附近 较少 E 波 腹附 近 较 多 E 波 节附 近 较 多 E 波 节附 近 较少 能量无定向移动，仅在波节 ● ● ● ● ● ● 与波腹间往复转移。 E 波腹 附 近 较 少 E 波 腹 附近 较 多 该 时 刻 驻 波 k =0 E 该 时 刻 驻 波 p =0 E (4) 半波损失 驻波 ξ 波 密 入射波 媒 波从波 vϕ 小的介质进入小 vϕ 质 x 大的界面 , 反射波位相突变反 反射波 λ (5) 驻波的量子化条件 l = n n = 1,2, 2 章首页
- 23. 机械波 7. 5 波的叠 加 7.5.4 波包 群速度 ** 波的叠加原理 波的干涉 驻波 1. 波包 2. 群速度
- 24. 机械波 7.6 多普勒效应 §7.6 多普勒效应 7.6.1 机械波的多普勒效应 多普勒效应 冲击波 1 . 什么叫多普勒效应 (1). 实验现象（请点击动画） (2). 波源和观察者同时相对于介质静止 波源的频率ν S波源在单位时间内振动的次数 观察者接收的频率 ν R 观察者在单位时间内接收到的振动次数 u 波的频率ν = 介质中质点在单位时间内的振动次数 λ ν 为介质中的波长 章首页
- 25. 机械波 7.6 多普勒效应 当波源和观察者都相对介质静止时 ν R = ν S = ν 当波源或观察者或两者同时相对于介质运动 , 这三个 频率会不相同 , 此现象称为多普勒效应。 多普勒效应 2. 三种情形 冲击波 (1). 波源不动，观察者相对于介质运动 当观察者以速度 ±vR相对于介质运动 , 其接收的频率 : u ± vR u ± vR u ± vR νR = = = ν , ν = ν S λ uT u “+”表示观察者与波源相 − 对接近，“ ”为两者相对分离 章首页
- 26. 机械波 7.6 多普勒效应 (2). 观察者不动，波源相对于介质运动 R 在波源运动的前方，波长变短。在 TS 内波 S υS 在介质中传播距离 uTS发出一个完整波形 ; 波 源位置由 S 移到 S1 ，移过距离vS TS 将前方的波形压缩 由于波源的运动，在波源运动的前方，介质中的波 长为 λ = uTS − vsTS 波的频率 : 多普勒效应 u u u ν= = = ν s , ν R =ν 冲击波 λ (u m vS )TS u m vS “−”表示波源与观察者相 + 对接近，“ ”为两者相对分离 章首页
- 27. 机械波 7.6 多普勒效应 (3). 波源和观察者同时相对于介质运动 由于波源的运动， u ν= ν S , ν R =ν 介质中波的频率为 u m vS 由于观察者的运动， u ± vR νR = ν , ν =ν S 其接收到的频率为 u 观察者与波源同时相对介质运动 多普勒效应 u ± vR 冲击波 νR = ν S , ν = ν S u m vs ν R >ν ; 相接近，相分离 ν R <ν 章首页
- 28. 机械波 7.6 多普勒效应 3. 讨论 (1) 若观察者与波源不在同一直线上运动 将各自的速度在两者连线上的 多普勒效应 冲击波 分量值代入上述公式即可 (2) 光波的多普勒效应 光波的传播不依赖于介质，只考虑光源与观察者 之间的相对运动情况对接收的光波频率产生的影响。 利用光波的多普勒效应可测出火箭、卫星或遥远天 体的速度 章首页
- 29. 机械波 7.6.2 冲击波 7.6.2 冲击波 ut α S1 S α υSt 图 7.6.4 冲击波的产生 图 7.6.5 超音速飞机的冲击波区 ut u sin α = = vS t vS
- 30. 机械波 7.7 声波 §7.7 声波 7.7.1 声波的一般性质 7.7.2 声强级和声压级 7.7.3 次声、超声和噪声
- 31. 机械波 本章已结束，点击返回