4. 机械波 7.2 平面简谐波表达式
§7.2 平面简谐波表达式 平面简谐波表达式
平 （ x,t) 的物理意义
7.2.1 平面简谐波表达式 波动方程
1. 写出波源或振动质点的振动表达 ξ ( 0, t ) = A cos ωt
式
2. 考虑播向，求出位于 P 的质点在时刻 t 的振动表达式
ξ
xP vϕ
ξ ( x P , t ) = A cos ω t −
vϕ
P
●
o x
3. 平面简谐波波动表达式
ξ ( x , t ) = A cos ω t − x x = vϕ ∆ t
v
ϕ
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5. 机械波 7.2 平面简谐波表达式
7.2.2 ξ( x, t ) 的物理意 平面简谐波表达式
平 （ x,t) 的物理意义
义1. ξ ( x , t ) 2. ξ ( x , t ) 波动方程
0 0
3. ξ ( x, t ) = ξ ( x + ∆x, t + ∆t ) ξ t 波形图
∂ξ 2π t+∆t 波形图
{ }ξ
4. vϕ 与 5. ∆ϕ = ∆x
∂t λ ξx vϕ
x + ∆x
x
6. ξ ( x, t0 ) = ξ ( x + λ , t0 ) o
ξ ( x0 , t ) = ξ ( x0 , t + T ) ∆x
x
x x x + ∆x
7. ξ (t + ) 8. ξ // x; ξ ⊥ x
vϕ
x ∂ 2ξ 1 ∂ 2ξ
9. ξ ( x, t ) = A cos ω (t − )为 2 = 2 2 的一个解
vϕ ∂x vϕ ∂t
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6. 机械波 7.2 平面简谐波表达式
7.2.3 波动方程 平面简谐波表达式
平 （ x,t) 的物理意义
1. 体元的形变和受力分析 波动方程
f ∂ξ
∆ V = s∆ x σ = σ =Y
s ∂x o x x+∆x
当 ∆V 受外力拉伸时 f a = σ s 向左 ∆x
ξ+∆ξ
x
ξ
∂f ∂σ
f b = f a + ∆x = (σ + ∆x) s 向右 x
∂x ∂x
2. 动力学方程
∂ σ ∂2ξ
∑F =[−σ +(σ + ∂x ∆x)]s = ρs∆x ∂t 2
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7. 机械波 7.2 平面简谐波表达式
3. 波动方程 平面简谐波表达式
平 （ x,t) 的物理意义
∂ 2ξ 1 ∂ 2ξ Y
= 2 2 式中 vϕ = 波动方程
∂x 2
vϕ ∂t ρ
x x
4. 波动表达式 ξ = F (t − ) + G (t + )
vϕ vϕ
x
5. 平面简谐波表达式 ξ = A cos ω(t − )
vϕ
6. 常用的相速度公式
G Y B F
● vϕ = ● vϕ = ● vϕ = ● vϕ =
ρ ρ ρ µ
G ,Y,B 分别为介质的切变 , 杨氏 , 容变弹性模量。
● 为质量密度 ,F 为弦上张力 ,µ 为单位长
质量 章首页
8. 机械波 7. 3 平面简谐波的能
量
§7.3 平面简谐波的能量
7.3.1 波的能量
1 ∂ξ 2 1 x
∆Wk = ( ρ∆V )( ) = ρ∆VA ω sin ω (t − )
2 2 2
2 ∂t 2 vϕ 波的能量
能量密度
1 1 ∆ξ 2 1 ∂ξ 2
∆W p = k (∆ξ ) = Ys∆x( ) ∆x → 0 Y ∆V ( )
2
能流密度
2 2 ∆x 2 ∂x 波的吸收
1 x
= ρ∆VA ω sin ω (t − )
2 2 2
2 vϕ
Ys f ∆ξ
式中 k = 可由 f = k∆ξ 与 =Y 比较得到
∆x s ∆x
x
∆W = ∆Wk + ∆W p = ρ∆VA ω sin ω (t − )
2 2 2
vϕ
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9. 机械波 7. 3 平面简谐波的能
量
• ∆Wk = ∆W p • ∆W ( x, t ) = ∆W ( x + ∆x, t + ∆t ) 波的能量
能量密度
波动实质是振动能量的传播 能流密度
波的吸收
ξ1 ξ2
7.3.2 能量密度
ξ1 x2
1. 能量密度
∆W x
w= = ρ A ω sin ω (t − )
2 2 2
x1 x2
∆V vϕ x1 ξ 2
1 T 1
2. 平均能量密度 w = ∫ wdt = ρ A2ω 2
T 0 2
重要结论：机械波的能量 (∆W , w, w) ∝ ρA ω 2 2
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10. 机械波 7. 3 平面简谐波的能
量
波的能
7.3.3 能流密度矢量 ( 或波的强度 ) 量
能量密
1. 能流 度
例 : 求通过垂直于 vϕ
方向面积 S 的能流 P 和平均能流
能流密
P
度
解： P = wvϕ S , P = 1 Pdt = wvϕ S
T 波的吸
T ∫0
收
vϕ
→ → →
2. 能流密度矢量 I I = wvϕ S
→ → 1 T→ →
3.平均能流密度矢量 I I = ∫ I dt = wvϕ
T 0
→ → → → →
4. I 与P 的关系 P = ∫ I ⋅ d S = ∫ wvϕ ⋅ d S
s s
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11. 机械波 7.3.4 波的吸收
波的能量
**
7.3.4 波的吸收 能量密度
能流密度
在介质中平面波振幅 A 随传播距离 x 衰减的规律 波的吸收
波通过介质内厚度为 dx一层介质后 , 振幅的减少量
−dA = α Adx α 称为介质的吸收系数
一般地说，流体 : α ∝ν 2
固体 : α ∝ν ν 为波的频率
A = A0 e −αx
平面波强度 I 随传播距离 x衰减的规律
I = I 0 e −2αx
14. 机械波 7. 4 惠更斯原理及其应
用
7.4.2 应用 惠更斯原
1. 波的衍射的解释 ( 略 ) 理
应用
2. 波的反射的解释 ( 略 )
3. 波的折射的解释
(1) 己知入射波波前，求
折射波波前
(2) 折射定律
BC = AC sin i, AD = AC sin r
sin i vϕ1 n2 波的折射
∴ = =
sin r vϕ 2 n1
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25. 机械波 7.6 多普勒效应
当波源和观察者都相对介质静止时 ν R = ν S = ν
当波源或观察者或两者同时相对于介质运动 , 这三个
频率会不相同 , 此现象称为多普勒效应。
多普勒效应
2. 三种情形 冲击波
(1). 波源不动，观察者相对于介质运动
当观察者以速度 ±vR相对于介质运动 , 其接收的频率 :
u ± vR u ± vR u ± vR
νR = = = ν , ν = ν S
λ uT u
“+”表示观察者与波源相 −
对接近，“ ”为两者相对分离
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26. 机械波 7.6 多普勒效应
(2). 观察者不动，波源相对于介质运动
R
在波源运动的前方，波长变短。在 TS 内波
S
υS
在介质中传播距离 uTS发出一个完整波形 ; 波
源位置由 S 移到 S1 ，移过距离vS TS 将前方的波形压缩
由于波源的运动，在波源运动的前方，介质中的波
长为 λ = uTS − vsTS 波的频率 :
多普勒效应
u u u
ν= = = ν s , ν R =ν 冲击波
λ (u m vS )TS u m vS
“−”表示波源与观察者相 +
对接近，“ ”为两者相对分离
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27. 机械波 7.6 多普勒效应
(3). 波源和观察者同时相对于介质运动
由于波源的运动， u
ν= ν S , ν R =ν
介质中波的频率为 u m vS
由于观察者的运动， u ± vR
νR = ν , ν =ν S
其接收到的频率为 u
观察者与波源同时相对介质运动
多普勒效应
u ± vR 冲击波
νR = ν S , ν = ν S
u m vs
ν R >ν ;
相接近，相分离 ν R <ν
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