5. 质 点运动 的直角坐标 表示 质 点运动 的自然坐标 表示
s = s(t)
r = r ( t ) = x ( t )i + y ( t ) j
dr dx dy ds
v= τ
v= = i + j dt
dt dt dt
dv d 2 r d 2 x d 2 y dv
a= = 2 = 2 i + 2 j a= = at τ + ann
dt dt dt dt dt
dv v 2
a = a n + a t2
2
a = a = ax + a2
2
y
= τ+ n
dt ρ
dv
at = 只反映速度大小的变 化。
dt
v2
an =
R 只反映速度方向的变 化。质 点若作
直线运动 ，则 法向加速度为 零。
质 点做曲线运动则 法向加速度必不为 零！（拐点除
外）
6. 1. 质点作半径为 R 的变速圆周运动时的加速度大小为
(v 表示任一时刻质点的速率 ) 1/ 2
d v 2 v 4
dv v2 d v v2 + 2
+
d t R
(A) ． t
d R
(B) ． d t (C) ．
R (D) ．
(D)
2. 一运动质点在某瞬间时位于 ( x , y ) 矢径的端点处，速
r
度大小为 2 1/ 2
2
d x d y
dr dr dr
(A) ． (B) ． (C) ． (D) d t + d t
．
dt dt
(D)
dt
3. 对于沿曲线运动的物体，以下几种说法中哪一种是正确
的：
(A) 切向加速度必不为零．
(B) 法向加速度必不为零（拐点处除外）．
(C) 由于速度沿切线方向，法向分速度必为零，因此法向
加速度必为零． (B)
(D) 若物体作匀速率运动，其总加速度必为零．
7. 1 2 1 3
1．已知质点运动方程为: r = ( 5 + 2t − 2 t )i + ( 4t + 3 t ) j ( SI )
v
当t = 2 s时, v = . a= .
an = . at = .
2. 质量m =2 kg的物体, 在坐标原点处由静止在水平面
内沿x轴运动, 其所受合力方向与运动方向相同, 合力
大小为F = 8 + 6x (SI), 则x＝3m时，合力作功为
________________；其速率v＝________________。
3 、质 量为 0.1kg 的质 点，由静止开 始沿曲线
r = (5 / 3)t i + 2 j ，则 在 t= 0 到 t =2s 时间 内，作
(SI) 运动
3
用在该质 点上的合外力所做的功为
（ A ） 5/4 J (B) 20 J (C) 40 J (D) 75/4 J （B）
8. 二 质点运动定理与守恒定律大致题
型 三个保守力作功
1. 计 算功 方法： a ) 用定义 式： F-r 曲线 下的面 的表达 式重要！
积 b ) 用动 能定理 c ) 用保守力作功 = 系统势 能的减
2. 计 算冲量 方法 : a ）定义 式 少 b ）动 量定理
3. 计 算角动 L = r × p = m r ×v M = r ×F
量
4. 动 量守恒 + 相对运动重点：因为动 量守恒定律只在惯 性系中适
用，所以需计 算研究对 象的绝对 速度。
5. 机械能守恒 + 动 量守恒 + 相对运动
重点：在惯 性系中列方程要计 算绝对 速度。
6. 角动 量守恒（ + 机械能守恒）
重点：三个守恒律的条件！
10. 1. 计算功举例
例：质量m =2 kg的物体, 在坐标原点处由静止在水平面内
质量m kg的物体,
例：一弹簧原长为R ,劲度系数为k ,其一端固定半径为R 的
一弹簧原长为R 劲度系数为k ,其一端固定半径为R
沿x轴运动, 其所受合力方向与运动方向相同, 合力大小为F
轴运动, 其所受合力方向与运动方向相同, 合力大小为F
半圆环一端A处,另一端和一套环相连,在把小环由半圆中点
半圆环一端A 另一端和一套环相连,
= 8 + 6x (SI), 则x＝3m时，这段路程所做的功_________
6x 3m时，这段路程所做的功_________
B 移到另一端点C 的过程中,弹簧的拉力对小环所作的功。
移到另一端点C 的过程中,
解法一： A =∫ F ⋅ dr
3 3
质点做直线运动： A =∫ Fdx =∫ (8 +6 x )dx
0 0 解: 弹簧拉力是保守力, 保守力做功 B
1 为势能增量的负值
解法二： A = E k 2 −E k 1 = mv 2 A C
2 A = −( E pC − E pB )
dv dv dx dv
a= 4 + 3x a= = =v 1 1
dt dx dt dx = − k ( 2 R − R) 2 − k ( 2 R − R) 2
[
2 2
x v 1 2 3
∫0 adx =∫v vdv v =∫ adx
0 求出v = −( 2 −1) kR 2
0
2
例. 有一种说法认为地球上的一次灾难性物种( 如恐龙) 绝灭
有一种说法认为地球上的一次灾难性物种( 如恐龙) 2. 计算冲量举例
是由于 6500万年前一颗大的小行星撞入地球引起的。设小
6500万年前一颗大的小行星撞入地球引起的。设小 例：圆锥摆运动 当质点从a 点绕行半周到b点，求此过程
当质点从a 点绕行半周到b
行星的半径是10km 密度为6. 0× 103kg／m( 和地球的一样) ，
行星的半径是10km 密度为6. 0×
， ’ 和地球的一样) 中重力、绳中张力的冲量。
它撞入地球将释放多少引力势能?这能量是唐山地震估计能
它撞入地球将释放多少引力势能?
量的多少倍?
量的多少倍? 解：重力的冲量（恒力的冲量）
解： θ
πR
T va
解：小行星落到地球上所释放的引力势能： t
IP = ∫0 − mg kdt = − mg
v
k a
MEm M m M m
∆E P = −G −( −G E ) = G E
r RE RE 要求张力的冲量（变力的冲量） mg b
vb
小行星运行轨道半径 r >>地球的半径 RE 用动量定理
4
m = πr 3 ρ ∆E P = 1.6 ×10 24 J I P + I T = mv b − mva = 2mvi k j
3
2m v
I T = 2mvi − I P =
约为唐山地震释放的能量的106倍！
πR IP IT i
= 2mvi − mg k
v
12. 4.动 量守恒+相对运动范例分析
动量守恒 例7. 质量为m的小球以速度v0沿质量为M,半径为R的地球表面
回忆课堂上已分析过的例题 水平切向向右飞去，如图。地轴OO′与 v0平行，小球的运动
水平切向向右飞去，如图。地轴OO′
L
轨道与轴OO’相交于距地心O为3R的C点。不考虑地球自转和
轨道与轴OO’相交于距地心O
Y
u 炮弹对地的 空气阻力，求小球在C点的速度v与 v0的夹角。
空气阻力，求小球在C 点的速度v
绝对速度 m
v V 解：分析小球受力——万有引力 ；力心是O，所以
θ 对 O点角动量守恒： L1 =L2
A v0
V M O X R C O'
X x2
S
x
0 x
1
L1 =OA × 0 =Rv0 k 方向 ⊗ o
v 3R
v
s L2 =OC × =3 Rv sin θk
v ⊗
重点：因为动量守恒定律只在惯性系中适用，
所以需计算研究对象的绝对速度。一般牵连速 万有引力是保守力，以m,M为系统，机械能守恒：
万有引力是保守力，以m,M
度是未知的，要设定。 1 GMm 1 GMm
2
mv0 − = mv 2 − 联立即得所求。
2 R 2 3R
6.角动量守恒（+机械能守恒）应用举例
例题 有一 宇宙飞船，欲考察某一质量为 M 、半
例.在光滑水平桌面上一质量为M的木块A与劲度系数为 k的轻质弹
在光滑水平桌面上一质量为M 的木块A
径 为 R 的 星 球 ， 当 飞 船 距 这 一 星 球 中 心 5R 处 时
簧相连,弹簧另一端固定在O点.一质量为m的子弹B以速度v0(v0 ⊥l0)
簧相连, 弹簧另一端固定在O 一质量为m 的子弹B 以速度v 与星球相对静止．飞船发射出一质量为
射向木块A并嵌在其中.当木块A由点 a 运动到点 b 时,弹簧的长度
射向木块A 并嵌在其中. 当木块A m （ m<<M ） 的 仪 器 舱 ， 其 相 对 星 球 的 速 度 为
由原长 l0 变为 l . 试求：木块A在点b时的速度的大小和方向.
试求：木块A在点b 的速度的大小和方向. v0 ，要 使这一仪器舱恰好掠 过星球表面（与表面
v2
解：两个过程:子弹射入 O
l
θ 相切）， 发射倾角应为 （见图）．为确定
木块前后动量守恒。 b 角，需设定 仪器舱掠 过星球表面时的速度 v ， 并
m v 0 =( m +M )v1 l0 列出两个方程．它们是 v0
木块连同子弹由a点运动到b点. v0 与 ____ m___________ 。 R θ
系统机械能守恒，且对O点的 a M v
5m v 0 R sin θ = m vR
角动量守恒。 5R
1 1 1
( M +m )v12 = ( M +m )v2 + k ( l −l0 ) 2
2
1 1
2 2 2 m v 0 − GMm /(5 R ) = m v 2 − GMm / R
2
( M +m ) l0 v1 =( M +m ) lv2 sinθ 2 2
13. 三 刚体绕定轴转动的动力学
M 问题
MZ 的计 算是重点：重力矩和摩擦力矩的计 算！
=J β
Z Z
组 合刚 体的转动惯 量的计 算 ( 平行轴 定理的应
用）
1 、一轻绳跨过一具有水平光滑轴、质量为 M 的定滑轮，绳的两端分别
悬有质量为 m1,m2 的物体 (m1<m2), 如图所示，绳与轮之间相对无滑动。
若某时刻滑轮沿逆时针方向转动，则绳中的张力
A. 处处相等 2m
B. 左边大于右边 60°
O
C. 右边大于左边 答案 C
m2 m
D. 哪边大无法判断 m1
2. 一 长 为 L 的 轻 质 细 杆 ， 两 端 分 别 固 定 质 量 为 m 和 2m 的 小 球 ， 此 系 统 在
竖直平面内可绕过中点 O 且与杆垂直的水平光滑固定轴 (O 轴 ) 转动。开始
时 杆 与 水 平 成 60° 角 ， 处 于 静 止 状 态 ． 无 初 转 速 地 释 放 以 后 ， 杆 球 这 一 刚
体 系 统 绕 O 轴 转 动 。 系 统 绕 O 轴 的 转 动 惯 量 J ＝ ____________ 。 释 放 后
， 当 杆 转 到 水 平 位 置 时 ， 刚 体 受 到 的 合 外 力 矩 M ＝ ______________ ； 角
加速度 ＝ ________________ 。
14. 例：阿特伍德机由一轻绳跨过一定滑轮组成. 绳两端
T1′<T2′ 否则滑轮将不转动 T1
分别悬挂质量为m1和m2 和物体A、B(m1 < m2)，
滑轮质量为m,半径为R, 在转动过程中受摩擦阻力 A : T1 −G1 = m1a (1) m1 A
a
矩为Mr ,并设绳与滑轮之间无相对滑动,试求物体 B : G2 −T2 = m2 a ( 2) T2
的加速度和绳的张力. C : T2′R −T1′ −M r = Jβ
r ( 3) G1
m2 B
a
解：受力分析如图(隔离体) a =Rβ (4)
G2
T1 T2 α ( m −m1 ) g − M r R
Mr a= 2 α
c. c 1 Mr
m1 A
a m2 B
a oR m1 +m2 + m c.
2 oR
T2′ A
G1 G2 T1′ T1 = m1 ( g +a ) ; T2 = m2 ( g −a ) T2′
m1 B T1′
m2
1
滑轮视为匀质圆盘 刚体
的 J = mR 2 一般方法：对质点应用牛顿第二定律,对刚体应用
一般方法
2
绳质量忽略 ∴ T1 =T1′ ; T2 =T2′ 转动定律,并由角量与线量关系,列出几何补充方程.
例题 一轻绳跨过两个质量均为m、半径均为r的均匀圆盘
状定滑轮，绳的两端分别挂着质量为m和2m的重物，如图
所示．绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑．两个定滑轮
的转动惯量均为．将由两个定滑轮以及质量为m和2m的重
物组成的系统从静止释放，求两滑轮之间绳内的张力.
β β
T
T2
m,r m,r 受力分析 T1
a m a
m 2m
2m P1
P2
2mg－T1＝2ma T2－mg＝ma
1 2 1
T1 r－T r＝ mr β T r－T2 r＝ 2 mr
2
β
2
a＝rβ 求解得：T＝11mg / 8
15. 四 刚体绕定轴转动中守恒律的应
用 dL
MZ = z
M Z = 0，则 Jω = 恒量
dt
若刚 体对 某定轴 的合外力矩为 零 , 则刚 体对 同一
定轴 的角动 量保持不变 .
O
尤其在小球与可绕 固定轴转
动 的直棒碰 撞过 程中，对 固 d M.l
定轴角动 量守恒而非动 量守
恒！ v0
1
mv 0 d = Ml 2ω + md 2ω m
3 嵌入后不复 出
16. 例: 一个圆柱体质量为M,半径为R，可绕固定的通过
1 、角动 量守恒的应 用 其中心轴线的光滑轴转动，原来处于静止，现有
一质量为m,速度v的子弹沿圆周切向方向射入圆
柱体的边缘。子弹嵌入圆柱体边缘后瞬间求圆柱
例:大圆盘M,R. 人m.二者最初都相对地面静止.当人沿 体和子弹开始一起转动时的角速度?
盘边缘行走一周时,求盘对地面转过的角度?
解: 以盘+人 系统 解: 碰撞时间很短,
o ω 对固定轴角动量守恒 v0
R
对竖直轴的外力矩=0
系统对轴的角动量守恒. Ω m
1
I ′ −IΩ =0
ω I ′ =mR 2 1
I = MR 2 mRv 0 =( MR 2 +mR 2 )ω
2 2
m v0
θ 分别表示人和盘对地面发生的角位移
与Θ ∴ = ω
m +M / 2 R
1
mθ= MΘ 人在盘上走一周时 θ=2π−Θ
2
2m
Θ = ⋅2π
2m +M
4 质量为m的小圆环套在一长为l质量为M
质量为m 的小圆环套在一长为l 质量为M 4. 杆(m,l )与球(m‘,v0)弹性碰撞,求碰撞后球和杆的速度、角速
与球( 弹性碰撞,
的光滑均匀杆AB上,杆可以绕过其A端的固
的光滑均匀杆AB上 杆可以绕过其A v 度。
A• l
M θ l,mv ω
定轴在水平面上自由旋转。开始时杆旋转
o v0 m′
的角速度为ω 0而小环位于A处，当小环受
的角速度为ω 而小环位于A
到一微小扰动后，即沿杆向外滑行。 解: 杆与球的系统对轴的角动量守恒
求：小环脱离杆时环的速度大小和方向？ m ′lv 0 m ′lv 1
= + ml 2ω
解：角动量守恒，机械能守恒。
+相对运动 2 2 12
弹性碰撞→机械能守恒 转动动 能
转动动能
1
Jω Jω
0 = +
mvl sin θ J = Ml 2
1 1 1 1
3
v牵 m ′v 0 = m ′v 2 + ⋅ ml 2ω 2
2
1 1 1 v 2 2 2 12
Jω
2
0 = Jω
2
+mv 2
2 2 2 θ′ 12m ′v0 3m ′ − m
v 解上二式 ω = v= v0
v =l
ω 相对
( m + 3m ′)l 3m ′ + m
v sin θ ω 注意！
=l
18. 相 对 论
狭义相对论 洛伦兹 x ′ = γ′( x − ut )
研究 两个事件的时空间隔在两
原理 时空变换 y ′ = y, z ′ = z γ = 1 1 − u2 c2 > 1 问题 个参考系中的结果的计算
狭 u
两 t ′ = γ( t − x)
义 运动学 c2
个 S’ u
相 S
对 基
本 动力学 异地同时
论 ∆x ′ ≠ 0, ∆t ′ = 0 ∆x ≠ 0, ∆t ≠ 0
假 三 相对性
设
光速不变原理 个 原时
时间膨胀 ∆x ′ = 0, ∆t ′ = τ （原时） ∆t = γτ 最短
特
长度收缩 l0 原长
例 ∆x ′ = l0（原长） ∆t = 0, ∆x = 最长
γ
相对论质量： = m0 / 1 − v c
2 2
m
E
pc
相对论动量：p = mv
相对论能量： = mc 2 = m c 2 + E
E m0 c 2
0 k
相对论动能： k = mc − m0 c
2 2
E
相对论三角关系：2 = p 2 c 2 + m0 c 4
E 2
