Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

Matrix

3,046 views

Published on

  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

Matrix

  1. 1. เมตริกซ์ความหมายและสัญลักษณ์ของเมตริ กซ์เมตริกซ์ หมายถึง การนาจานวนมาเขียนในรู ปแถวและหลัก ซึ่งถูกล้อมรอบด้วย ( ) หรื อ [ ]เช่น หลักที่ 1 หลักที่ 2 หลักที่ 3    แถวที่ 1    แถวที่ 2         เมื่อ m, n เป็ นจานวนเต็มบวก เรี ยกเมตริ กซ์ที่มี m แถว n หลัก ว่า m × n เมตริ กซ์ หรื อเมตริ กซ์ที่มีมิติ m × n และเรี ยกจานวนแต่ละจานวนในเมตริ กซ์ว่า สมาชิกของเมตริ กซ์ เรานิยมใช้ตัวอักษรใหญ่ A, B, C, … แทนชื่อของเมตริ กซ์ เรี ยก aij แทนสมาชิกของ A ในแถวที่ i หลักที่ jหมายเหตุ 1. ตั้งแต่น้ ีในการเขียนเมตริ กซ์ จะใช้วงเล็บ [ ] 2. การระบุตาแหน่งของสมาชิกที่ชดเจนและถูกต้องจะต้องระบุว่าอยูในแถวใด ั ่และหลักใดทั้ง 2 อย่าง โดยทัวไปจะเขียนแทนสมาชิกของเมตริ กซ์ดวยอักษรภาษาอังกฤษตัวเขียนเล็ก และมีเลข ่ ้ห้อยระบุตาแหน่ง 2 ตัว เช่น a13 หมายถึงสมาชิกซึ่งอยูในแถวที่ 1 และหลักที่ 3 ่ a25 หมายถึงสมาชิกซึ่งอยูในแถวที่ 2 และหลักที่ 5 ่ aij หมายถึงสมาชิกซึ่งอยูในแถวที่ i และหลักที่ j ่ ตัวเลขตัวแรกระบุลาดับที่ของแถว และตัวเลขตัวหลังระบุลาดับที่ของหลัก ในกรณี ทวไป ั่นิยมเขียน A = aij mn แทนเมตริ กซ์ซ่ ึงมี m แถว n หลัก และสมาชิกซึ่งอยูแถวที่ i และหลักที่ j ่คือ aij ในกรณี ที่ A เป็ นเมตริ กซ์ซ่ ึงมี m แถว n หลัก อาจเขียน  a11 a12 a13 ... a1n  a a 22 a 23 ... a 2 n   21   a31 a32 a33 ... a3n A . . . . .  หรื อ A = [aij]m×n    . . . . .   . . . . .    a m1 am2 a m3 ... a mn 
  2. 2. ในกรณี ที่มิติของ A เป็ นที่ชดเจนหรื อเข้าใจตรงกันอาจเขียน A = [aij]m×n ัเช่น กาหนด  1  1 0 5 A 2  3 4 7   3  4  2 9   จะได้ว่า A เป็ นเมตริ กซ์ซ่ ึงมี 3 แถว 4 หลัก a11 = 1 a21 = 2 a31 = -3 a12 = -1 a22 = 3 a32 = -4 a13 = 0 a23 = 4 a33 = -2 a14 = 5 a24 = 7 a34 = 9บทนิยาม สาหรับจานวนเต็มบวก m และ n ใด ๆ ถ้า A เป็ นเมตริ กซ์ซ่ึงมี m แถวและ n หลัก จะกล่าวว่า A เป็ น m × n เมตริ กซ์ (m × n matrix) และกล่าวว่า A มีมิติ (order) เท่ากับ m × n  1  1 0 5เช่น 1. A 2  3 4 7  เป็ น 34 เมตริ กซ์ และมีมิติเท่ากับ 34  3  4  2 9    2. 1 0 2 3 เป็ น 14 เมตริ กซ์ และมีมิติเท่ากับ 14 0  3. 1  เป็ น 31 เมตริ กซ์ และมีมิติเท่ากับ 31   0    4. [5] เป็ น 11 เมตริ กซ์ และมีมิติเท่ากับ 11ข้ อสังเกต 1) เรากล่าวว่าเมตริ กซ์ใน ข้อ 1 เป็ น “สามคูณสี่เมตริ กซ์” มีมิติเท่ากับ “สามคูณสี่ ” 2) เมตริ กซ์ [5] เป็ นเมตริ กซ์ที่มี 1 แถวและ 1 หลัก 3) จากมิติของเมตริ กซ์สามารถระบุจานวนแถว และจานวนหลักของเมตริ กซ์ เช่นA มีมิติ 75 แสดงว่า A มี 7 แถว และ 5 หลักบทนิยาม 1. เรี ยกเมตริ กซ์ซ่ ึงมีจานวนแถวเท่ากับจานวนหลักว่า เมตริ กซ์จตุรัส ั (square matrix) 2. เรี ยกเมตริ กซ์ซ่ ึงสมาชิกทุกตัวเป็ น 0 ว่า เมตริ กซ์ 0 (zero matrix)
  3. 3. บทนิยาม กาหนด A = [aij]m×n เป็ นเมตริ กซ์จตุรัส จะกล่าวว่า A เป็ นเมตริ กซ์เอกลักษณ์ ั ก็ต่อเมื่อ 1) aij = 1 สาหรับทุก i = 1, 2, 3, . . ., m และ 2) ถ้า i  j แล้ว aij = 0 ถ้า A = [aij]m×m เป็ นเมตริ กซ์เอกลักษณ์ นิยมเขียนแทน A ด้วย Imตัวอย่าง เมตริ กซ์เอกลักษณ์ 1 0 0 1   I 2   1 0 0 0 1 0   I   3 0 0 1   การเท่ากันของเมตริ กซ์ บทนิยาม กาหนดเมตริ กซ์ A = [aij]m×n และ B = [bij]m×n ; A = B ก็ต่อเมื่อ aij = bij สาหรับทุก ๆ J = 1, 2, 3, . . ., n จากบทนิยามนี้จะเห็นว่าเมตริ กซ์ A จะเท่ากับเมตริ กซ์ B ก็ต่อเมื่อเมตริ กซ์ท้งสองมีมิติ ัเท่ากันและสมาชิกในตาแหน่งเดียวกันเท่ากัน  4   1 2 0  1 3  3เช่น A  และ B 2    1 2 3  2 2 2  1  2  จะได้ว่า A = B เพราะว่า A และ B มีมิติเท่ากันคือ 23 และ b11 = 1 = a11 4 b12 = = 2 = a12 2 b13 = 3-3 = 0 = a13 2 b21 =  = -1 = a21 2 b22 = 2 = a22 b23 = 2+1 = 3 = a23
  4. 4. การบวกลบเมตริ กซ์ บทนิยาม ถ้า A = [aij]m×n และ B = [bij]m×n แล้ว A+B =[aij+bij]mn จากบทนิยามจะเห็นว่าเมตริ กซ์ 2 เมตริ กซ์ จะบวกกันได้ก็ต่อเมื่อมีมิติเท่ากัน และผลบวกจะเป็ นเมตริ กซ์มิติเดิมซึ่งได้จากการเอาสมาชิกตาแหน่งเดียวกันบวกกันตัวอย่าง กาหนดให้ 0 1  1  1 0 1  A  และ B  1 0 2   2 0  2จงหา A+B 0  (1) 1  0  1  1   1 1 0วิธีทา A B     1 2 0  0 2  (2)  3 0 0    บทนิยาม ถ้า A = [aij]m×n และ B = [bij]m×n แล้ว A-B =[aij+(-bij)]mn หรื อ A-B =[aij-bij)]mnตัวอย่าง กาหนดให้ 0 1  1  1 0 1  A  และ B  1 0 2   2 0  2จงหา A-B 0 1  1  1 0 1วิธีทา A B    1 0 2   2 0  2  0  (1) 1  0 11    1 2 00 2  (2)   1 1  2    1 0 4 สมบัติการบวกเมตริ กซ์กาหนด A, B, C เป็ นเมตริ กซ์ที่มี m × n 1. สมบัติปิดการบวก A และ B เป็ นเมตริ กซ์ A+B เป็ นเมตริ กซ์ดวย ้ 2. สมบัติสลับที่ A+B=B+A 3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มได้ A+(B+C) =(A+B)+C
  5. 5. 4. สมบัติการมีเอกลักษณ์การบวก A+0 = A = 0 + A เรี ยก 0 ว่า เอกลักษณ์การบวก5. สมบัติการมีอินเวอร์สการบวก A+(-A) = 0 = (-A)+A เรี ยก –A ว่า อินเวอร์สการบวกของ A

×