ชุดการเรียนการสอน เรื่อง การเขียนจำนวนเชิงซ้อนในรูป (a,b) หรือ a+bi

1. 1
คาชี้แจงเกี่ยวกับชุดการเรียนการสอน
1. ชุดการเรียนการสอนรายวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม 4 รหัสวิชา ค30204
เรื่อง จานวนเชิงซ้อน สาหรับนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 5 ประกอบด้วย
ชุดการเรียนการสอน จานวน 12 ชุด ดังนี้
1.1 ชุดการเรียนการสอน ชุดที่ 1 เรื่อง การเขียนจานวนเชิงซ้อนในรูป (a,b) หรือ a + bi
1.2 ชุดการเรียนการสอน ชุดที่ 2 เรื่อง การหาผลบวกของจานวนเชิงซ้อน
1.3 ชุดการเรียนการสอน ชุดที่ 3 เรื่อง การหาผลลบของจานวนเชิงซ้อน
1.4 ชุดการเรียนการสอน ชุดที่ 4 เรื่อง การหาผลคูณจานวนเชิงซ้อน
1.5 ชุดการเรียนการสอน ชุดที่ 5 เรื่อง การหาผลหารจานวนเชิงซ้อน
1.6 ชุดการเรียนการสอน ชุดที่ 6 เรื่อง รากที่ 2 ของจานวนเชิงซ้อน
1.7 ชุดการเรียนการสอน ชุดที่ 7 เรื่อง การหาคาตอบของสมการกาลังสองที่มี
สัมประสิทธิ์เป็นจานวนจริง
1.8 ชุดการเรียนการสอน ชุดที่ 8 เรื่อง ค่าสัมบูรณ์ของจานวนเชิงซ้อน
1.9 ชุดการเรียนการสอน ชุดที่ 9 เรื่อง การเขียนจานวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้ว

2. 2
2. เอกสารฉบับนี้เป็นเอกสารชุดการเรียนการสอนรายวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม 4
รหัสวิชา ค30204 เรื่อง จานวนเชิงซ้อน ชุดที่ 1 เรื่อง การเขียนจานวนเชิงซ้อน
ในรูป (a,b) หรือ a + bi ใช้สาหรับสอนนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 5
3. ชุดการเรียนการสอนนี้ ประกอบด้วย
- คาชี้แจงเกี่ยวกับชุดการเรียนการสอน
- คาแนะนาสาหรับครู
- คาแนะนาสาหรับนักเรียน
- สาระการเรียนรู้ สาระสาคัญและจุดประสงค์การเรียนรู้
- ลาดับขั้นตอนการเรียนชุดการเรียนการสอน
- บัตรคาสั่ง
- แบบทดสอบก่อนเรียน
- บัตรเนื้อหา, บัตรคาถาม, บัตรเฉลยบัตรคาถาม
- บัตรสรุปผลการเรียนรู้
- แบบทดสอบหลังเรียน
- บัตรบันทึกประจาวันในการเรียนของนักเรียน
4. ชุดการเรียนการสอนนี้ได้แบ่งสาระการเรียนรู้ออกเป็น 1 เรื่องย่อย ใช้เวลาทั้งสิ้น
2 ชั่วโมง
1.10 ชุดการเรียนการสอน ชุดที่ 10 เรื่อง การหาผลคูณของจานวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้ว
1.11 ชุดการเรียนการสอน ชุดที่ 11 เรื่อง การหาผลหารของจานวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้ว
1.12 ชุดการเรียนการสอน ชุดที่ 12 เรื่อง การหาค่าของจานวนเชิงซ้อนยกกาลัง n

3. 3
คาแนะนาสาหรับครู
1. ครูควรเตรียมชุดการเรียนการสอน ซึ่งประกอบด้วย บัตรคาสั่ง แบบทดสอบ
ก่อนเรียน บัตรเนื้อหา บัตรคาถาม บัตรเฉลยบัตรคาถาม บัตรสรุปผลการเรียนรู้
แบบทดสอบหลังเรียน และบัตรบันทึกประจาวันในการเรียนของนักเรียนตลอดจน
อุปกรณ์ต่าง ๆ ให้ครบถ้วน
2. ให้นักเรียนทาแบบทดสอบก่อนเรียน ชุดที่ 1 เพื่อประเมินความรู้เดิม
ของนักเรียน
3. แจ้งจุดประสงค์การเรียนรู้ให้นักเรียนทราบ
4. แจกชุดการเรียนการสอนให้นักเรียนศึกษา และแนะนาวิธีการใช้ชุดการเรียน
การสอน เพื่อนักเรียนจะได้ปฏิบัติอย่างถูกต้อง
5. ดาเนินการสอนตามกิจกรรมการเรียนรู้ที่กาหนดไว้ในแผนการจัดการเรียนรู้
6. หากนักเรียนคนใดเรียนไม่ทันหรือขาดเรียน ครูควรให้คาแนะนาหรือมอบหมาย
งานหรือให้ศึกษาชุดการเรียนการสอนในเวลาว่าง
7. หลังจากนักเรียนศึกษาชุดการเรียนการสอน ชุดที่ 1 เรียบร้อยแล้วให้นักเรียน
ทาแบบฝึกหัดจากบัตรคาถาม พร้อมทั้งตรวจคาตอบจากบัตรเฉลย
8. ให้นักเรียนทาบัตรสรุปผลการเรียนรู้ เพื่อส่งเสริมความแม่นยาในการเรียนรู้
ของนักเรียน
9. ให้นักเรียนทาแบบทดสอบหลังเรียน ชุดที่ 1 เพื่อประเมินความก้าวหน้า
ของนักเรียนหลังจากเรียนชุดการเรียนการสอน ชุดที่ 1 จบแล้ว และบันทึก
คะแนนแต่ละคนไว้ หากนักเรียนคนใดได้คะแนนไม่ผ่านเกณฑ์ครูควรจัดสอน
ซ่อมเสริม หรือให้นักเรียนศึกษาชุดการเรียนการสอนใหม่อีกครั้ง
10. ให้นักเรียนทาบัตรบันทึกประจาวันในการเรียนของนักเรียน เพื่อส่งเสริม
การคิดวิเคราะห์ อ่าน เขียน และสื่อความหมายของนักเรียน
11. การจัดชั้นเรียนจะจัดให้นักเรียนศึกษาเป็นกลุ่มหรือรายบุคคลก็ได้

4. 4
1. อ่านคาชี้แจงเกี่ยวกับชุดการเรียนการสอน และคาแนะนาสาหรับนักเรียน
ให้เข้าใจก่อนที่จะลงมือศึกษาชุดการเรียนการสอน
2. ทาแบบทดสอบก่อนเรียน ชุดที่ 1 เพื่อประเมินความรู้เดิมของนักเรียน
3. ศึกษาชุดการเรียนการสอนจากบัตรเนื้อหาที่ครูจัดเตรียมไว้ให้ด้วยความตั้งใจ
โดยปฏิบัติตามลาดับขั้นตอนที่กาหนดไว้ในบัตรคาสั่ง
4. เมื่อนักเรียนศึกษาบัตรเนื้อหาเสร็จเรียบร้อยแล้วให้นักเรียนทาแบบฝึกหัด
จากบัตรคาถามที่ครูจัดเตรียมไว้ให้ พร้อมทั้งตรวจคาตอบจากบัตรเฉลยบัตรคาถาม
5. หากนักเรียนคนใดยังไม่เข้าใจในเนื้อหาใด ก็ให้กลับไปศึกษาอีกครั้ง เพื่อให้
เกิดความเข้าใจในเนื้อหาดียิ่งขึ้น
6. ทาบัตรสรุปผลการเรียนรู้เพื่อส่งเสริมความแม่นยาในการเรียนรู้ของนักเรียน
7. ทาแบบทดสอบหลังเรียน ชุดที่ 1 เพื่อประเมินความก้าวหน้าของนักเรียน
หลังจากเรียนชุดการเรียนการสอน ชุดที่ 1 จบแล้ว
8. ทาบัตรบันทึกประจาวันในการเรียนของนักเรียน เพื่อฝึกการคิดวิเคราะห์ อ่าน
เขียน และสื่อความหมายของนักเรียน
9. ในการทาแบบฝึกหัด แบบทดสอบก่อนเรียน – หลังเรียน ขอให้นักเรียนทาด้วย
ความตั้งใจ และมีความซื่อสัตย์ต่อตนเองให้มากที่สุด โดยไม่เปิดดูเฉลยก่อน
คาแนะนาสาหรับนักเรียน

5. 5
สาระการเรียนรู้
การเขียนจานวนเชิงซ้อนในรูป (a,b) หรือ a + bi
จานวนเชิงซ้อน เป็นจานวนที่เขียนอยู่ในรูปของคู่อันดับ (a,b)
หรือ a + bi เมื่อ a, b เป็นจานวนจริงใด ๆ ซึ่งจะเรียก a ว่าส่วน
จริง(real part) และเรียก b ว่าส่วนจินตภาพ (imaginary part)
เมื่อส่วนจริงและส่วนจินตภาพมีค่าเปลี่ยนแปลงไป จะทาให้เกิดจานวน
เชิงซ้อนอยู่ในรูปลักษณะที่แตกต่างกัน
สาระสาคัญ
1. บอกความหมายของจานวนเชิงซ้อนได้
2. เขียนจานวนเชิงซ้อนในรูป (a,b) ให้อยู่ในรูป a + bi และเขียน
จานวนเชิงซ้อนในรูป a + bi ให้อยู่ในรูป (a,b) ได้
3. บอกส่วนจริงและส่วนจินตภาพของจานวนเชิงซ้อนได้
4. ระบุความแตกต่างของจานวนเชิงซ้อนแต่ละชนิดได้
5. บอกความหมายของ i และหาค่าของ i
n
เมื่อ n เป็นจานวนเต็มบวกได้
จุดประสงค์การเรียนรู้

6. 6
ลาดับขั้นตอนการเรียนชุดการเรียนการสอน
ชุดที่ 1 เรื่อง การเขียนจานวนเชิงซ้อนในรูป (a,b) หรือ a + bi
1. อ่านคาแนะนาและบัตรคาสั่ง
2. ทาแบบทดสอบก่อนเรียน
3. ศึกษาชุดการเรียนการสอน
โดยปฏิบัติกิจกรรม
- ศึกษาบัตรเนื้อหา
- ทาบัตรคาถาม
- ทาบัตรสรุปผลการเรียนรู้
4. ทาแบบทดสอบหลัง
เรียน
ไม่ผ่านเกณฑ์
การประเมินผล
ผ่านเกณฑ์
ศึกษาชุดการเรียนการสอน ชุดที่ 2 ต่อไป
5. ทาบัตรบันทึกประจาวัน
ในการเรียนของนักเรียน

7. 7
1. อ่านคาแนะนาสาหรับนักเรียนให้เข้าใจก่อนลงมือศึกษาชุดการเรียนการสอน
2. ทาแบบทดสอบก่อนเรียน ชุดที่ 1 เพื่อประเมินความรู้เดิมของนักเรียน
3. ศึกษาบัตรเนื้อหา เรื่อง การเขียนจานวนเชิงซ้อนในรูป (a,b) หรือ a + bi
ที่ครูแจกให้ด้วยความตั้งใจ
4. ทาแบบฝึกหัดจากบัตรคาถามที่ครูจัดเตรียมไว้ให้ และเมื่อนักเรียนทาแบบฝึกหัด
เสร็จเรียบร้อยแล้ว ให้นักเรียนตรวจคาตอบจากบัตรเฉลยบัตรคาถาม
5. ทาบัตรสรุปผลการเรียนรู้ เพื่อส่งเสริมความแม่นยาในการเรียนรู้
6. ทาแบบทดสอบหลังเรียน ชุดที่ 1 เพื่อประเมินความก้าวหน้าของนักเรียน
หลังจากเรียนชุดการเรียนการสอน ชุดที่ 1 จบแล้ว
7. ทาบัตรบันทึกประจาวันในการเรียนของนักเรียน เพื่อฝึกการคิดวิเคราะห์ อ่าน
เขียน และสื่อความหมายของนักเรียน
8. หากนักเรียนคนใดทาแบบทดสอบหลังเรียนไม่ผ่านเกณฑ์ให้นักเรียนศึกษา
ชุดการเรียนการสอนอีกครั้ง หรือปรึกษาครูผู้สอน
9. ในการทาแบบฝึกหัด แบบทดสอบก่อนเรียน – หลังเรียน ขอให้นักเรียน
ซื่อสัตย์ต่อตนเองให้มากที่สุด ห้ามเปิดดูเฉลยก่อน
บัตรคาสั่ง
เข้าใจไหมคะ

8. 8
คาชี้แจง
คำชี้แจง 1. แบบทดสอบก่อนเรียน ใช้ทดสอบนักเรียนก่อนเรียน ชุดที่ 1
เรื่อง การเขียนจานวนเชิงซ้อนในรูป (a,b) หรือ a + bi จานวน 10 ข้อ
2. การตอบแบบทดสอบ ให้นักเรียนกาเครื่องหมาย × ลงในช่อง 
ใต้ตัวอักษร ก , ข , ค และ ง ที่เป็นคาตอบที่ถูกที่สุดเพียงคาตอบ
เดียวลงในกระดาษคาตอบ ใช้เวลาสอบ 10 นาที
1. ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
ก. 6i3(3,6) 
ข. 2i1(1,2) 
ค. 5i44,5)( 
ง. 2i62)6,( 
2. ข้อใดต่อไปนี้ไม่ถูกต้อง
ก. 1)2,(i2 
ข. (6,2)2i6 
ค. 4)3,(4i3 
ง. 8,5)(5i8 
3. ค่าของ 3)(2, เขียนอยู่ในรูป bia
ตรงกับข้อใด
ก. 3i2
ข. 3i2
ค. 3i2
ง. 3i2
4. กาหนดให้ 5)(1,Z  แล้วส่วนจริง
ของจานวนเชิงซ้อนมีค่าตรงกับข้อใด
ก. 5
ข. 0
ค. 1
ง. 2
แบบทดสอบก่อนเรียน
ชุดที่ 1 เรื่อง การเขียนจานวนเชิงซ้อนในรูป (a,b) หรือ a + bi

9. 9
5. ค่าของ i8 เขียนอยู่ในรูป b)(a,
คือจานวนในข้อใด
ก. 1)(8,
ข. (8,1)
ค. 1)8,( 
ง. 8,1)(
6. กาหนดให้ 3i4Z  แล้วส่วน
จินตภาพของจานวนเชิงซ้อนมีค่าตรงกับ
ข้อใด
ก. 4
ข. 3
ค. 4
ง. 3
7. ค่าของ 25i มีค่าตรงกับข้อใด
ก. i
ข. 1
ค. 1
ง. i
8. จานวนจินตภาพแท้ คือจานวนในข้อใด
ก. 5
ข. 2i5
ค. i3
ง. i2
9. ค่าของ 24i20i16i8i  มีค่า
ตรงกับข้อใด
ก. 0
ข. 2
ค. 4
ง. 8
10. ค่าของ 8)1002(i2i  มีค่าตรงกับ
ข้อใด
ก. 9
ข. 7
ค. 5
ง. 3
ทดสอบความรู้เดิมก่อนนะค่ะ

10. 10
กระดาษคาตอบแบบทดสอบก่อนเรียน
ชุดที่ 1 เรื่อง การเขียนจานวนเชิงซ้อนในรูป (a,b) หรือ a + bi
ตัวเลือก
ข้อที่
ก ข ค ง
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
คะแนนที่ได้ ...................................
ผู้ตรวจ ..........................................
วันที่ ...... เดือน .......... พ.ศ. .......
ชื่อ ............................... นามสกุล ................................ ชั้น ..................... เลขที่ .......

11. 11
เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียน
ชุดที่ 1 เรื่อง การเขียนจานวนเชิงซ้อนในรูป (a,b) หรือ a + bi
1. ข
2. ก
3. ง
4. ค
5. ข
6. ง
7. ก
8. ง
9. ค
10. ข
อย่าพึ่งดูเฉลยนะคะเด็ก ๆ

12. 12
บัตรเนื้อหา
1. การเขียนจานวนเชิงซ้อนในรูป (a,b) หรือ a + bi
จากบทนิยาม จานวนเชิงซ้อน a + bi จะเรียก a ว่าส่วนจริง (real part) และ
b ว่าส่วนจินตภาพ (imaginary part) ซึ่งจะแสดงลักษณะต่าง ๆ ของจานวน
เชิงซ้อนดังตารางต่อไปนี้
ตารางแสดงลักษณะต่าง ๆ ของจานวนเชิงซ้อน
ข้อที่
จานวน
เชิงซ้อน
ในรูป (a,b)
จานวน
เชิงซ้อน
ในรูป a + bi
ส่วนจริง
ส่วน
จินตภาพ
ลักษณะของ
จานวนเชิงซ้อน
1 (4,0) 4 + 0i 4 0 (a,b) หรือ a + bi
2 (–8,0) –8 + 0i –8 0 เมื่อ a  0 และ
b = 0
3 (9,0) 9 + 0i 9 0
4 (2,7) 2 + 7i 2 7 (a,b) หรือ a + bi
5 (–4,8) –4 + 8i –4 8 เมื่อ a  0 และ
b  0
6 (–3, –5) –3 – 5i –3 –5
7 (0,3) 0 + 3i 0 3 (a,b) หรือ a + bi
8 (0, –7) 0 – 7i 0 –7 เมื่อ a = 0 และ
9 (0,15) 0 + 15i 0 15 b  0
บทนิยาม จานวนเชิงซ้อน คือจานวนที่เขียนอยู่ในรูป (a,b)
หรือ a + bi เมื่อ a, b เป็นจานวนจริงใด ๆ
และ i
2
= –1 โดยที่ i คือ (0,1)

13. 13
จากตารางสามารถสรุปลักษณะต่าง ๆ ของจานวนเชิงซ้อนได้ ดังนี้
1. จานวนเชิงซ้อนที่อยู่ในรูป (a,b) หรือ a + bi เมื่อ a  0 และb = 0
เรียก จานวนเชิงซ้อนนี้ว่า จานวนจริง a (ดังปรากฏในตารางข้อ 1 – ข้อ 3)
2. จานวนเชิงซ้อนที่อยู่ในรูป (a,b) หรือ a + bi เมื่อ a  0 และb  0
เรียก จานวนเชิงซ้อนนี้ว่า จานวนจินตภาพ (ดังปรากฏในตารางข้อ 4 – ข้อ 6)
3. จานวนเชิงซ้อนที่อยู่ในรูป (a,b) หรือ a + bi เมื่อ a = 0 และb  0
เรียก จานวนเชิงซ้อนนี้ว่า จานวนจินตภาพแท้ (ดังปรากฏในตารางข้อ 7 – ข้อ 9)
ตัวอย่างที่ 1 จงเขียนจานวนเชิงซ้อน (a,b) ให้อยู่ในรูป a + bi พร้อมทั้งบอก
ส่วนจริงและส่วนจินตภาพ
1. (2, –4)
2. (1,8)
3. ( 5 ,–1)
วิธีทา 1. (2,–4) = 2 – 4i ส่วนจริง คือ 2 ส่วนจินตภาพ คือ –4
2. (1,8) = 1 + 8i ส่วนจริง คือ 1 ส่วนจินตภาพ คือ 8
3. ( 5 ,–1) = 5 – i ส่วนจริง คือ 5 ส่วนจินตภาพ คือ –1

14. 14
iรi
ตัวอย่างที่ 2 จงเขียนจานวนเชิงซ้อน a + bi ให้อยู่ในรูป (a,b) พร้อมทั้งบอก
ส่วนจริงและส่วนจินตภาพ
1. 4 + 4i
2. –2i
3. 11
วิธีทา 1. 4 + 4i = (4,4) ส่วนจริงคือ 4 ส่วนจินตภาพคือ 4
2. –2i = (0,–2) ส่วนจริงคือ 0 ส่วนจินตภาพคือ –2
3. 11 = ( 11,0) ส่วนจริงคือ 11 ส่วนจินตภาพคือ 0
จากนิยาม จะได้ว่า i คือ 1
ตัวอย่างที่ 3 จงหาคาตอบของจานวนเชิงซ้อนในข้อต่อไปนี้
1. 3
2. 9
3. 8
4. 1442 
5. 121 
วิธีทา 1. 3 = 13  = i3
2. 9 = 19  = 3i
3. 8 = 18  = i22
4. 1442  = 11442  = 12i2
5. 121  = 1121  = i321
บทนิยาม ถ้า a เป็นจานวนจริงบวก แล้ว ia1aa 

15. 15
2. การหาค่า i
n
เมื่อ n เป็นจานวนเต็มบวก
ข้อที่ i อยู่ในรูปยกกาลัง ค่าของ i
1 i i
2 i
2 –1
3 i
3 –i
4 i
4 1
5 i
5 i
6 i
6 –1
7 i
7 –i
8 i
8 1
9 i
9 i
10 i
10 –1
11 i
11 –i
12 i
12 1
13 i
13 i
จากตาราง จะเห็นว่าค่าของ i
n
จะมีคาตอบ 1 ,–1 ,i ,–i เพียง 4 คาตอบ
เท่านั้นไม่ว่า i จะยกกาลังเท่าไรก็ตาม ดังนั้นจึงสามารถสรุปการหาค่าของ i
n
ได้ดังนี้








0ศษแล้วเหลือเ4หารด้วยnเมื่อ1
3ศษแล้วเหลือเ4หารด้วยnเมื่อi-
2ศษแล้วเหลือเ4หารด้วยnเมื่อ1-
1ศษแล้วเหลือเ4หารด้วยnเมื่อi
ni

16. 16
ตัวอย่างที่ 1 จงหา ค่าของ i
136
และ i
2345
วิธีทา i
136
= 1 ( 4 หาร 136 แล้วเหลือเศษ 0 หรือหารลงตัว )
i
2345
= i ( 4 หาร 2345 แล้วเหลือเศษ 1 )
ตัวอย่างที่ 2 จงหาผลสาเร็จของจานวนต่อไปนี้
1. 20i18i15i9i 
2. )49i28(i36i 
วิธีทา จากข้อสรุปของ ni จะได้ว่า
1. 20i18i15i9i  = 11)(i)(i 
= 11ii 
= 2
ตอบ 20i18i15i9i  คือ 2
2. )49i28(i36i  = i)1(1
= i1
ตอบ )49i28(i36i  คือ i1

17. 17
1. จงเติมคาตอบลงในช่องว่างให้ถูกต้อง
ข้อที่
จานวน
เชิงซ้อน
เขียนให้อยู่
ในรูป a + bi
ข้อที่
จานวน
เชิงซ้อน
เขียนให้อยู่
ในรูป (a,b)
1.1 (6,2) 1.4 5 + 12i
1.2 (–3,4) 1.5 –3 + 6i
1.3 (7, –12) 1.6 –4 – 5i
2. จงเติมคาตอบลงในช่องว่างให้ถูกต้อง
ข้อที่ จานวนเชิงซ้อน ส่วนจริง ส่วนจินตภาพ
ลักษณะของ
จานวนเชิงซ้อน
2.1 12 – 5i
2.2 (–7,2)
2.3 –12 + 0i
2.4 0 + 9i
3. จงหาผลลัพธ์ของ i
n
ต่อไปนี้
3.1 i
28
= ..……………………………..
3.2 i
2375
= …………………………..
บัตรคาถาม 1.1
คาชี้แจง ให้นักเรียนเติมคาตอบในแต่ละข้อต่อไปนี้ให้ถูกต้อง

18. 18
คาชี้แจง ให้นักเรียนเติมคาตอบในแต่ละข้อต่อไปนี้ให้ถูกต้อง
1. จงเติมคาตอบลงในช่องว่างให้ถูกต้อง
ข้อที่
จานวน
เชิงซ้อน
เขียนให้อยู่
ในรูป a + bi
ข้อที่
จานวน
เชิงซ้อน
เขียนให้อยู่
ในรูป (a,b)
1.1 (6,2) 6 + 2i 1.4 5 + 12i (5,12)
1.2 (–3,4) –3 + 4i 1.5 –3 + 6i (–3,6)
1.3 (7, –12) 7 – 12i 1.6 –4 – 5i (–4, –5)
2. จงเติมคาตอบลงในช่องว่างให้ถูกต้อง
ข้อที่ จานวนเชิงซ้อน ส่วนจริง ส่วนจินตภาพ
ลักษณะของ
จานวนเชิงซ้อน
2.1 12 – 5i 12 –5 จำนวนจินตภำพ
2.2 (–7,2) –7 2 จำนวนจินตภำพ
2.3 –12 + 0i –12 0 จำนวนจริง
2.4 0 + 9i 0 9 จำนวนจินตภำพแท้
3. จงหาผลลัพธ์ของ i
n
ต่อไปนี้
3.1 i
28
= 1
3.2 i
2375
= –i
บัตรเฉลยบัตรคาถาม 1.1
เก่งจังเลย

19. 19
คาชี้แจง จงพิจารณาข้อความที่กาหนดให้ต่อไปนี้ข้อใดถูกให้ใส่เครื่องหมาย ()
และข้อใดผิดให้ใส่เครื่องหมาย ()
บัตรคาถาม 1.2
...........1. 20i มีค่าเท่ากับ –1
...........2. 19i มีค่าเท่ากับ –i
...........3. 9 มีค่าเท่ากับ 3i
...........4. 4 มีค่าเท่ากับ –2
...........5. 25 มีค่าเท่ากับ 5i
...........6. 2 มีค่าเท่ากับ i2
...........7. 18i17i16i15i  มีค่าเท่ากับ 1
...........8. )3i5(i20i  มีค่าเท่ากับ 0
...........9. 40i30i20i10i  มีค่าเท่ากับ 1
...........10. 4)(3, เขียนในรูป bia คือ 3 – 4i
...........11. 1)(5, เขียนในรูป bia คือ 5 + i
...........12. ,2)2( เขียนในรูป bia คือ 2i2 
...........13. 8i2 เขียนในรูป b)(a, คือ 8)(2,
...........14. i53  เขียนในรูป b)(a, คือ )5,3( 
...........15. จานวน bi เมื่อ 0b  เรียกว่าจานวนจินตภาพแท้
ตั้งใจทานะ

20. 20
คาชี้แจง จงพิจารณาข้อความที่กาหนดให้ต่อไปนี้ข้อใดถูกให้ใส่เครื่องหมาย ()
และข้อใดผิดให้ใส่เครื่องหมาย ()
บัตรเฉลยบัตรคาถาม 1.2
..... ..... 1. 20i มีค่าเท่ากับ –1
..... ..... 2. 19i มีค่าเท่ากับ –i
.....  ..... 3. 9 มีค่าเท่ากับ 3i
.....  ….. 4. 4 มีค่าเท่ากับ –2
.....  ..... 5. 25 มีค่าเท่ากับ 5i
.....  ..... 6. 2 มีค่าเท่ากับ i2
.....  ….. 7. 18i17i16i15i  มีค่าเท่ากับ 1
.....  ..... 8. )3i5(i20i  มีค่าเท่ากับ 0
.....  ….. 9. 40i30i20i10i  มีค่าเท่ากับ 1
..... ..... 10. 4)(3, เขียนในรูป bia คือ 3 - 4i
.....  ….. 11. 1)(5, เขียนในรูป bia คือ 5 + i
.....  ..... 12. ,2)2( เขียนในรูป bia คือ 2i2 
.....  ..... 13. 8i2 เขียนในรูป b)(a, คือ 8)(2,
.....  ….. 14. i53  เขียนในรูป b)(a, คือ )5,3( 
.....  ..... 15. จานวน bi เมื่อ 0b  เรียกว่าจานวนจินตภาพแท้
เก่งมากเลยทุกคน

21. 21
บัตรสรุปผลการเรียนรู้
คาชี้แจง ให้นักเรียนสรุปผลการเรียนรู้จากบัตรเนื้อหาของชุดการเรียนการสอน
ชุดที่ 1 เรื่อง การเขียนจานวนเชิงซ้อนในรูป (a,b) หรือ a + bi ตามหัวข้อต่อไปนี้
1. จานวนเชิงซ้อนสามารถเขียนได้ 2 รูปแบบ ดังนี้
1.1……………………………………………………………………….
1.2……………………………………………………………………….
2. จานวนเชิงซ้อน biaZ  เรียกชื่อส่วนต่าง ๆ ได้ดังนี้
2.1 ส่วน a เรียกว่า.................................................
2.2 ส่วน b เรียกว่า..................................................

22. 22
3. ถ้า a เป็นจานวนจริงบวก แล้ว a จะถูกเรียกว่าอะไร
..................................................................................................
4. 1 ถูกเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ว่าอย่างไร
....................................................................................................
5. ข้อสรุปเกี่ยวกับ “ ni ” เมื่อ n เป็นจานวนเต็มบวก ได้ดังนี้
1………………………………………………….
2………………………………………………….
3…………………………………………………..
4…………………………………………………..

23. 23
คาชี้แจง 1. แบบทดสอบหลังเรียน ใช้ทดสอบนักเรียนหลังเรียน ชุดที่ 1
เรื่อง การเขียนจานวนเชิงซ้อนในรูป (a,b) หรือ a + bi จานวน 10 ข้อ
2. การตอบแบบทดสอบ ให้นักเรียนกาเครื่องหมาย × ลงในช่อง
ใต้ตัวอักษร ก , ข , ค และ ง ที่เป็นคาตอบที่ถูกที่สุดเพียงคาตอบเดียว
ลงในกระดาษคาตอบ ใช้เวลาสอบ 10 นาที
1. ค่าของ 24i20i16i8i  มีค่า
ตรงกับข้อใด
ก. 8
ข. 4
ค. 2
ง. 0
2. ค่าของ i8 เขียนอยู่ในรูป b)(a,
คือจานวนในข้อใด
ก. 1)8,( 
ข. 8,1)(
ค. 1)(8,
ง. (8,1)
3. ค่าของ 25i มีค่าตรงกับข้อใด
ก. i
ข. i
ค. 1
ง. 1
4. กาหนดให้ 3i4Z  แล้ว
ส่วนจินตภาพของจานวนเชิงซ้อนมีค่า
ตรงกับข้อใด
ก. 4
ข. 3
ค. 3
ง. 4
แบบทดสอบหลังเรียน
ชุดที่ 1 เรื่อง การเขียนจานวนเชิงซ้อนในรูป (a,b) หรือ a + bi

24. 24
5. ค่าของ 8)1002(i2i  มีค่าตรงกับ
ข้อใด
ก. 3
ข. 5
ค. 7
ง. 9
6. กาหนดให้ 5)(1,Z  แล้วส่วนจริง
ของจานวนเชิงซ้อนมีค่าตรงกับข้อใด
ก. 2
ข. 1
ค. 0
ง. 5
7. ค่าของ 3)(2, เขียนอยู่ในรูป bia
ตรงกับข้อใด
ก. 3i2
ข. 3i2
ค. 2 + 3i
ง. 3i2
8. ข้อใดต่อไปนี้ไม่ถูกต้อง
ก. 4)3,(4i3 
ข. 8,5)(5i8 
ค. 1)2,(i2 
ง. (6,2)2i6 
9. ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
ก. 2i62)6,( 
ข. 5i44,5)( 
ค. 6i3(3,6) 
ง. 2i1(1,2) 
10. จานวนจินตภาพแท้ คือจานวนในข้อใด
ก. i2
ข. i3
ค. 2i5
ง. 5
สู้ สู้ นะคะทุกคน

25. 25
กระดาษคาตอบแบบทดสอบหลังเรียน
ชุดที่ 1 เรื่อง การเขียนจานวนเชิงซ้อนในรูป (a,b) หรือ a + bi
ชื่อ ............................... นามสกุล ................................ ชั้น ..................... เลขที่ .......
ตัวเลือก
ข้อที่
ก ข ค ง
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
คะแนนที่ได้ ...................................
ผู้ตรวจ ..........................................
วันที่ ........ เดือน ................ พ.ศ......

26. 26
เฉลยแบบทดสอบหลังเรียน
ชุดที่ 1 เรื่อง การเขียนจานวนเชิงซ้อนในรูป (a,b) หรือ a + bi
1. ข
2. ง
3. ก
4. ข
5. ค
6. ข
7. ก
8. ค
9. ง
10. ก
เก่งมาก...ถูกทุกข้อเลย
...

27. 27
บัตรบันทึกประจาวันในการเรียนของนักเรียน
ชื่อ .................................. นามสกุล ................................ ชั้น ......... เลขที่ ..........
บันทึกครั้งที่ ..................... วันที่ ............... เดือน .......................... พ.ศ. .............
คาชี้แจง ให้นักเรียนบันทึกสิ่งที่เกิดขึ้นจากความรู้สึกจริง ๆ ของนักเรียน
จากประสบการณ์ในการเรียนโดยใช้ชุดการเรียนการสอน ตามหัวข้อต่อไปนี้
1. สิ่งที่ชอบที่สุดในการเรียน
.........................................................................................................................
.........................................................................................................................
.........................................................................................................................
..........................................................................................................................
2. สิ่งที่ข้าพเจ้าได้ช่วยเหลือเพื่อนในการเรียน
.........................................................................................................................
.........................................................................................................................
.........................................................................................................................
..........................................................................................................................

28. 28
3. สิ่งที่เพื่อนได้ช่วยเหลือข้าพเจ้าในการเรียน
.........................................................................................................................
.........................................................................................................................
.........................................................................................................................
4. การมีส่วนร่วมในการเรียนการสอน
.........................................................................................................................
.........................................................................................................................
..........................................................................................................................
5. การมีปฏิสัมพันธ์กับเพื่อนในการเรียน
.........................................................................................................................
.........................................................................................................................
..........................................................................................................................

29. 29
6. บรรยากาศในการเรียน
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
7. ปัญหาที่พบในการเรียน
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
8. วิธีแก้ปัญหาในการเรียน
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................

30. 30
9. ประโยชน์ที่ได้รับในการเรียน
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
10. ความคิดเห็นอื่น ๆ
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
คณิตศาสตร์ไม่ได้ยากอย่างที่คิดเลย …เย้...

31. 31
บรรณานุกรม
เจริญ ภูภัทรพงศ์ และศรีลัดดา ภูภัทรพงศ์. คู่มือและเทคนิคคิดลัดโจทย์คณิตศาสตร์
ม.5 เล่ม 4 ค014, ค044. กรุงเทพฯ : SIENCE CENTER, ม.ป.ป.
จารัส อินสม. “จานวนเชิงซ้อน” วารสารแม็ค ม.ปลาย. 16(7) : 145–152
พฤศจิกายน 2539.
นงเยาว์ เป็นสุข. “จานวนเชิงซ้อน” วารสารแม็ค ม.ปลาย. 8(18) : 26–31 ; ธันวาคม
2541.
ประสงค์ ปานเจริญ. แบบเรียนคณิตศาสตร์ ค412 คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษา
ตอนปลาย. กรุงเทพฯ : ไทยวัฒนาพานิช, 2520.
ไพรัตน์ วงษ์นาม และคณะ. คู่มือหลักสูตรใหม่คณิตศาสตร์ ค014 ม.5. กรุงเทพฯ :
ประสานมิต, ม.ป.ป.
ศุภกิจ เฉลิมวิสุตย์กุล. “จานวนเชิงซ้อน ตอนที่ 1” วารสารแม็ค ม.ปลาย. 10(7) :
182–188 ; พฤศจิกายน 2540.
ศุภกิจ เฉลิมวิสุตย์กุล. “จานวนเชิงซ้อน ตอนที่ 2” วารสารแม็ค ม.ปลาย. 10(8) :
176–181 ; ธันวาคม 2540.
สมัย เหล่าวานิชย์ และพัวพรรณ เหล่าวานิชย์. Modern Acadamic Math
คณิตศาสตร์ ม.5 เล่ม 4. กรุงเทพฯ : ไฮเอ็ดพับลิชชิ่ง, 2535.
ส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี, สถาบัน. หนังสือเรียนสาระการเรียนรู้
เพิ่มเติมคณิตศาสตร์ เล่ม 2 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษา
ปีที่ 5. กรุงเทพฯ : คุรุสภา, 2547.
ส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี, สถาบัน. คู่มือครูสาระการเรียนรู้เพิ่มเติม
คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เล่ม 2 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปี
ที่ 5. นครปฐม : นครปฐมการพิมพ์, 2548.
สุรศักดิ์ ชาญฤทธิรณ และพรชัย กุนยมานนท์. “จานวนเชิงซ้อน (Complex
Number).” วารสารแม็ค ม.ปลายศิลป์. 1(6) : 79-87 ; ตุลาคม 2531.
อเนก หิรัญ. คณิตศาสตร์ ค014. กรุงเทพฯ : ฟิสิกส์เซนเตอร์, 2535.