...

1. Завдання олімпіади ІІІ етап
7 класс
1. П'ять цілих чисел записані по колу так, що сума
ніяких двох або трьох поспіль чисел не ділиться на 3.
Скільки чисел серед цих п'яти діляться на 3?
2. Знайти останні дві цифри числа
2012
11
2012
21  .
3. У таблиці, зображеної на малюнку, в кожному
стовпціі в кожномуряду повинні бути дві червоні клітинки (КР) і дві зелені клітини
(З). Якого кольору клітинки А і В відповідно?
Далі…
Відповіді
1. Якщо серед п’ятичисел є три, або більше чисел, кратних трьом, то, принаймні, два з
них є сусідніми, що суперечить умові задачі. Якщо серед цих п’яти чисел є менше
двох чисел, кратних трьом, то серед чотирьох інших чисел є або три сусідні числа,
що дають однакову остачу при діленні на 3 (тоді їх сума ділиться на 3), або два
сусідні числа, що дають різні ненульові остачі при діленні на 3 (тоді їх сума кратна
3), що суперечить умові задачі.
Відповідь:2 числа.
2. Якщо підносити 21 до степеня, то 21,41,61,81,01,21,… - можливі останні дві цифри.
Аналогічно, якщо підносити 11 до степеня, то 11,21,31,41,51,61,71,81,91,01.11,… -
можливі останні дві цифри. Отже, число 2012
21 буде закінчуватись на 41, а число
2012
11 буде закінчуватись на 21, тому число
2012
11
2012
21  буде закінчуватись на
20.
Відповідь:20.
3. Якщо заповнити таблицю згідно з правилом, вказаним в задачі то клітинки А і В
будуть червоного кольору.
Відповідь:А, В – червоні.
КР КР
КР
А З
В

2. Задачі на переливання
№1.
Поряд з лабораторією протікає бурхлива річка. Як за допомогою двох посудин
об'ємом 3 і 5 літрів відміряти рівно 4 літри річкової води?
№2
У великого алхіміка є нерозчинна колба, в якій міститься 12 мілілітров сірчаної
кислоти, а також дві нерозчинні мензурки об'ємом 5 і 7 мілілітров. Як йому
отримати дві порції по 6 мілілітров сірчаної кислоти, необхідних для досвіду?
(Кислота розчинить будь-який інший посуд в лабораторії.)
Далі…
Розв’язання
Крок 1 2 3 4 5 6 7
3л 0 0 3 0 2 2 3
5л 0 5 2 2 0 5 4
річка +3
4 літра можуть поміститися лише в 5-літрову судину. Вони можуть бути отриманіпісля
доливання 1 літра до 3, 2 літрів до 2, 3 літрів до 1, або шляхом відливання від 5 літрів 1
літра. Щоб можна було відлити рівно 1 літр, потрібно, щоб в судині призначення було
вільне місце рівно для 1 літра, тобто щоб в 3-літровій судині перед цим було 2 літри.
Різницю об'ємів судин легко отримати: 2 літра виходять, якщо набрати повну 5-літрову
судину і відлити з неї в порожню 3-літрову судину. Після цього їх треба перелити в 3-
літрову судину, заздалегідь випорожнивши її назад в річку.
Розв’язання
Крок 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
12ml 12 5 5 10 10 3 3 8 8 1 1 6
5ml 0 0 5 0 2 2 5 0 4 4 5 0
7ml 0 7 2 2 0 7 4 4 0 7 6 6
№3
У цистерні є n літрів олії, де n – ціле число, більше за 7. Довести, що всю олію
можна розлити у банки по 3 і 5 літрів таким чином, що в цистерні олії не
залишиться, і всі банки будуть повними.
Далі…
Розв’язання. Потрібно довести, що число Nn , 7n , можна записати у вигляді:
tsn 53  , де Ztsts  ,,0,0 .
Всі цілі числа, більші за 7, можна розбитина три класи, що не перетинаються:
kkk 310,39,38  де  0 Nk .
Тодічисло n належить до одного з класів.

3. Якщо kn 38  , то   1513  kn .
Якщо kn 39  , то   0533  kn .
Якщо kn 310  , то 253  kn .
Всі випадки розглянуто. Задачурозв’язано.
Задача 1. Знайти всі двоцифрові натуральні числа, які при перестановці своїх цифр
зменшуються на 25%.
Розв’язання. Нехай yxxy 10 – шукане число.
Тодізгідно з умовою, причому  9,,2,1 x
%100xy ,
%7510  yxxy
Звідси отримуємо рівняння
100)10(75)10(  xyyx
або
4)10(3)10(  xyyx
xyyx 440330 
yx 3726 
Оскільки права частина ділиться на простечисло 37, то 37x .
Лише одна цифра 0 ділиться націло на 37. Але запис двоцифрового числаз нуля
починатись не може. Тому таких чисел не існує.
В і д п о в і д ь: таких чисел не існує.
1. Розміститив порожніхклітинках цілі числатак, щоб сумачиселв будь-якихтрьох
сусідніх клітинках дорівнювала 99. Числа можуть повторюватися.
34 32
2. Ціну на підручник з математики спочатку підвищили на 25%, а потім знизили на
20%. Коли підручник коштував дорожче:до підвищення ціни чи після зниження?
3. Розмістити6 точокна чотирьохпрямихтак, щоб на кожній з них було по 3 точки.
4. Відомо, що a – 1 = b + 2 = c – 3 = d + 4 = e – 5. Яке серед чисел a, b, c, d, e буде
найбільшим?
5. До якого степеня треба піднести число 44
, щоб отримати 88
Відповідь:
можливе розміщення:
34 33 32 34 33 32 34 33 32 34 33 32 34 33 32 34
1. Відповідь та вказівки: однаково.

4. Нехай підручник коштував х грн., тоді після підвищення на 25% ціна буде
складати 125% від попередньої,тобто 1,25х. Після зниження на 20% ціна буде
становити 100 - 20 = 80(%) від попередньої:
0,8 ∙ 1,25 ∙ х = х (грн.). Тобто ціна не зміниться.
4. Відповідь: e > c > a > b > d.
5. Відповідь: 88
= (44
)3.
ІІ етап Всеукраїнської учнівської олімпіади з математики 7клас
1. Знайти всі двоцифрові числа, які збільшуються у 8, 5 раза, якщо між
цифрами вписати 0.
Розв’язання:
abba 5,80  ,
)10(5,8100 baaba  , baba 5,85,8100  , ba 2 .
Враховуючи, що 91  a та 90  b , отримаємо, що 41  a
Отже, шукані числа 12, 24,36,48.
Відповідь: 12, 24,36,48
2. Знайти останню цифру числа 1122
2233 
Розв’язання:
Число 33 при піднесенні до степеня може закінчуватись цифрами 3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1,…
. Отже, число 33 буде закінчуватись цифрою 9. Аналогічно, можна довести, що число
11
22 закінчується цифрою 8. Тоді число 1122
2233  закінчується цифрою 7.
Відповідь: 7
2. Витративши половину всіх коштів, учень побачив, що гривень в нього
залишилось вдвічі менше, ніж спочатку було копійок, і стільки копійок,
скільки на початку було гривень. Скільки грошей витратив учень, якщо
копійок у нього було менше 100?
Розв’язання:
Нехай учень на початку мав х гривень і у копійок. За умовою задачіу нього залишилось
2
y
гривень і х копійок. Тому yxx
y
yx 9998100
2
2100 





 .
Враховуючи, що 100y і числа 98 і 99 взаємно прості, отримуємо, х=99, у=98.
Відповідь: учень витратив 49 гривень 99 копійок.
4. Довести, що добуток п’яти послідовних цілих чисел ділиться на 120.
Розв’язання:
Розглянемо добуток      2112  nnnnn , де n –ціле число. Серед п’яти послідовних
цілих чиселзнайдеться однечисло, якеділиться на 5.Томудобутокділиться на5. Серед
4 послідовних цілих чисел знайдеться однечисло, якеділиться на 4, але два з цих чисел

5. парні. Тому добуток ділиться на 8. Серед 3 послідовних цілих чисел знайдеться одне
число, яке ділиться на 3.
Томудобутокділиться на 3. Отже число      2112  nnnnn ділиться на 385  = 120,
що і треба було довести.
5. Вся площина розмальована в чотири кольори. Чи обов’язково знайдеться
пряма, яка містить принаймні три точки різного кольору?
Розв’язання:
Розглянемо чотири точки різного кольору. Якщо три з них лежать на одній прямій, то
це і є шукана пряма. Якщо жодні три точки не лежать на одній прямій, то вони
утворюють чотирикутник. Розглянемо точку перетину прямих, що містять діагоналі
цього чотирикутника, якого б кольору вона не була, одна із діагоналей є шуканою
прямою.
ВСЕУКРАЇНСЬКА ОЛIМПIАДА З МАТЕМАТИКИ, III
етап
7 клас
№1. Периметр трикутника бiльший вiд довжинйого трьох сторiн на 1007, 509 i 498 см,
вiдповiдно. Знайти периметр трикутника.
Вiдповiдь обгрунтувати.
№2. Знайдiть всi коренi рiвняння 2014|x − 2015| = x/2014+ 2015, якi задовольняють
умову 2014 ≤ x ≤ 2016. Вiдповiдь обгрунтувати.
№3. Добуток тризначного числа на суму його цифр дорiвнює 3211. Знайти всi такi
тризначнi числа. Вiдповiдь обгрунтувати.
№4. Велосипедист виїхав з готелю на прогулянку гiрською дорогою у напрямку
перевалу о 8.00. О котрiй годинiвiн повернувся цiєю ж дорогою доготелю, якщо вiдомо,
що рухаючись без зупинок, по рiвнинних дiлянках вiн їхав зi швидкiстю 20 км/год, вниз
— 30 км/год, а вгору — 15 км/год, i подолав вiдстань 50 км? Вiдповiдь обгрунтувати.
№5. Знайти всi пари натуральних чисел x, y, для яких виконується рiвнiсть
xy(x + 17y) = 2014. Вiдповiдь обгрунтувати.