ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΛΥΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ ΓΕΛ (ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ) 2020

Σχολικά Έτη : 18-19 19-20 Φυλλάδιο Ασκήσεων
2020
ΓΕΛ ΕΞΑΠΛΑΤΑΝΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1,2&3
236 ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΚΑΙ
68 ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ Σ-Λ
ΣΤΙΣ
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ,
ΟΡΙΑ,
ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ &
ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ
Επιμέλεια, Ιορδάνη Χ. Κοσόγλου, Msc μαθηματικού
https://blogs.sch.gr/iordaniskos/archives/1334

Φυλλάδιο Ασκήσεων 2020 ΓΕΛ ΕΞΑΠΛΑΤΑΝΟΥ
Επιμέλεια Ιορδάνη Χ. Κοσόγλου, Msc μαθηματικού – https://blogs.sch.gr/iordaniskos/archives/1334
ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
Να προηγηθεί μια επανάληψη στις Απόλυτες τιμές
1. ι ) Να γράψετε τις παρακάτω παραστάσεις χωρίς το σύμβολο της απόλυτης τιμής
για τις διάφορες τιμές του x :
A = 1x Β = 1x + 2x Γ = 12
 x
ιι ) Να συμπληρωθούν οι ανισότητες :
..........x  ..........x  ..........xx 
2. Να αποδειχθούν οι ανισότητες :
ι ) α2 + β2 ≥ 2αβ ιι ) α + β ≥ 2 a
ιιι ) 4α2 +1 ≥ 4α ιν ) 2(α2+β2) ≥(α2+β2)
Να προηγηθεί μια επανάληψη στις πολυωνυμικές εξισώσεις και στην εξίσωση : xν = α
3. Να λυθούν οι πολυωνυμικές εξισώσεις :
α ) x3 = - 8 β ) x4 = -16 γ ) (x+1)3 +1 = 0
δ ) x2 - 3x = 0 ε ) 2x2+4 = 0 στ ) x3-3x2+ x + 2 = 0
ζ ) x3 – 7 x + 6= 0 η ) 7(3x+2)2(1- x)2 – (3x+2)(1- x)3 = 0
Να προηγηθεί μια επανάληψη στις εκθετικές – λογαριθμικές-τριγωνομετρικές και εξισώσεις με ριζικά
4. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις :
α ) 253 x β ) xx  2 γ ) ημx =
2
1
δ ) 1 + 0
8
3

x
ε )
3
4
2


x
x
στ ) x3 - 3x2+4 = 0 ζ ) 2x =
32
1
η ) 52
x
e
θ ) lnx = -1 ι ) ln(x-1) = 0 ια ) ln(lnx) = 0
ιβ) log(2∙x)+log(x+3)=log(12x-4) ιγ ) 2∙logx=log(x+3)+log(x-2)
ιδ ) ln2x – 3lnx = 0

5. Να βρεθεί το πρόσημο της παράστασης Κ για τις διάφορες τιμές
του x.
Κ = x3(x+2)( x2-2x+4)
6. Να λυθούν οι ανισώσεις :
α ) 521  x β ) 13 x γ ) x4 < x2
δ ) 0
1
12



x
x
ε ) 112
x
e στ ) 31
x
e
ζ ) 2x+1 - 3∙2x-1 ≤ 2 η ) e2x + ex – 2 > 0
θ ) lnx > 0 ι ) lnx < 1 ια ) ln(x-2)< lnx2
ιβ ) log(x2-5x+6) ≥ 0 ιγ ) ln2x – (e+1)lnx + e ≤ 0
ιδ ) lnx ≥ ln3x ιε ) ln(ln(x+4)) > 0
7. Να υπολογιστούν τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων :
α )
x1
x4


β ) )
x1
x1
ln(


γ ) )eln( x
1
8. Δίνεται η συνάρτηση f (x) = ln(x + 1)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f . (Μονάδες 8)
β) Να βρείτε τα σημεία τομής (αν υπάρχουν) της γραφικής παράστασης της
συνάρτησης f με τους άξονες xx΄ και yy΄. (Μονάδες 10)
γ) Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση f μετατοπίζοντας κατάλληλα τη
γραφική παράσταση της y = lnx. (Μονάδες 7)
9. Δίνεται η συνάρτηση f (x) = ln(3 − √ 𝑥 + 1) .
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f . (Μονάδες 13)
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0 . (Μονάδες 12)

10.Δίνεται το τετράγωνο ΑΒΓΔ πλευράς 2 εκ. Αν το ΕΖΗΘ είναι τετράγωνο ,
α ) να εκφράσετε ως συνάρτηση του x την πλευρά
ΕΖ του ΕΖΗΘ.
β ) Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του τετραγώνου
ΕΖΗΘ δίνεται από τη συνάρτηση
f (x) = 2x2 - 4x + 4 , 0 ≤ x ≤ 2.
11. Έστω ορθογώνιο ΑΒΓΔ με διαστάσεις x , y . Το εμβαδόν του είναι 900 m2. Να
αποδείξετε ότι η περίμετρος του δίνεται απ τη σχέση Π(x)= 
x
1800
2x , όπου
x>0.
12. Η περίμετρος ενός ορθογωνίου ΑΒΓΔ είναι ίση με 120m.
Nα αποδείξετε ότι το εμβαδόν του δίνεται απ τη σχέση Ε(x) = 60x-x2
, 0 < x < 60.

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ – Συναρτήσεις, Π.Ο – Σ.Τ , Πάνω-Κάτω ,
Σημεία Τομής με τους Άξονες, Γραφική Παράσταση Cf
13.Ασκήσεις 1 – 3 , 5 – 6 , Α΄ Ομάδας σχολικού σελίδα 27.
14.Δίνονται οι συναρτήσεις , f(x) = x2 – 3x , g(x) = xx 32  , h(x) = x+5.
α ) να βρεθούν τα σημεία τομής των f(x) και g(x).
β ) να υπολογιστούν τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της
f(x) είναι κάτω από την h(x).
15.Δίνεται η συνάρτηση f(x) =
x
a)xln(


7
3
α ) υπολογίστε το πεδίο ορισμού της.
β ) βρείτε την τιμή του πραγματικού α , αν η f(x)διέρχεται από το Μ(-2,4).
16.Δίνονται οι συναρτήσεις :
34  x)x(f , g(x) =
3
2
 x
x
, h(x) = 3lnx-1
Nα βρεθούν τα πεδία ορισμού και τα σύνολα τιμών τους.
17.Ασκήσεις 1 – 5 , Β΄ Ομάδας σχολικού σελίδα 29.
18.Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των παρακάτω συναρτήσεων :
α )f(x) =e-x β )f(x) = ln(-x) γ )f(x)=- ex
δ )f(x) = -ln(x-2) ε )f(x) = x2 + 4x + 5 στ )f(x) = 𝑒|𝑥|
ζ ) f(x) =x2 + 2x + 2 η ) f(x)= ex-2 θ ) f(x)=ln|𝑥|
19.Δίνεται η συνάρτηση f(x) = lnx.
α ) Να βρείτε τη συνάρτηση που εκφράζει την απόσταση του Α(0,2) από την Cf.
β ) Να βρείτε τη συνάρτηση που εκφράζει την απόσταση τυχαίου σημείου της
f(x)από την ευθεία y = x.
γ ) Να βρείτε τη συνάρτηση που εκφράζει την κατακόρυφη απόσταση των
γραφικών παραστάσεων f(x) , g(x), όπου g(x) = x , Rx .(Δίνεται lnx<x)
δ ) Να απαντήσετε στα ίδια ερωτήματα (α) – (γ) για τη συνάρτηση h(x) = ex.
(Δίνεται , ex>x, για κάθε Rx ).

20. Να εκφράσετε το εμβαδόν (ΟΑΓ)
του ορθογωνίου τριγώνου του διπλανού
σχήματος ως συνάρτηση του x και να
βρεθεί το πεδίο ορισμού της. Η ευθεία έχει
εξίσωση (y =-x + 1) και το Α τυχαίο σημείο
αυτής στο 1ο Τεταρτημόριο.
ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ – Ισότητα και Πράξεις Συναρτήσεων
21.Ασκήσεις 7 – 9 , Α΄ Ομάδας σχολικού σελίδα 28.
22.Δίνονται οι συναρτήσεις , f(x) =
x
)xln(


4
3
, g (x) =
x
)xln(


4
1
, να
ορίσετε τις συναρτήσεις f(x) + g(x) , f(x)∙g (x) ,
f(x)
g (x)
23.Αν f(x) , g (x) με f(1) = 2g(1) , f(1) > 0 και f2(1) + g2(1) = 5 , να
υπολογιστούν οι τιμές ,
α ) (f +g)(1) , β ) f3(1) , γ ) (f∙g)(1).
24.Να βρεθούν οι πραγματικοί α, β έτσι ώστε οι συναρτήσεις f(x) =
5𝑥−1
𝑥2−1
και
g (x) =
𝛼
𝑥−1
+
𝛽
𝑥+1
να είναι ίσες.
ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ
ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Ι
Αν x1 , x2Df και x1 = x2 , τότε f(x1) = f(x2).
Το αντίστροφο ΔΕΝ ισχύει πάντα. Ισχύει ΜΟΝΟ αν η συνάρτηση είναι 1-1.
(Λίγο αργότερα θα πούμε περισσότερα για την «1-1»)
ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ ΙΙ
 Δυο συναρτήσεις f(x) , g(x)είναι ίσες αν :
o Έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α
o Για κάθε xA ισχύει f(x)= g(x)

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ – Σύνθεση & Αποσύνθεση Συναρτήσεων
25.Ασκήσεις 10 – 12 Α΄ Ομάδας , σελίδες 28 – 29 και 6 – 8 , Β΄ Ομάδας .
26.Δίνονται οι συναρτήσεις , f(x) =
2
25 x , g ( x) = 3x .
Να ορίσετε τις συναρτήσεις : fog , gof , fo f
27.Δίνεται (fog)(x) = 2x-1 και , g (x) =
1
23


x
x
, να βρεθεί ο τύπος της f(x).
28.Δίνεται (fog) (x) = 3x2-6x+10 και f(x) = 3x+1 , να βρεθεί ο τύπος
της g (x).
29. Αν f : [0,1]→ R , να βρεθούν τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων
ι ) f(x+1) ιι ) f(2x-1) ιιι ) f(x2) ιν ) f(
𝑥
2
)
30.Αν f(ln2x) =x+3 για κάθε x> 0 , να βρεθεί η f(x).
31.Αν f(x) = 1+x και g(f(x)) = 1-x2 , βρείτε τις g(x) και f(g(x)).
32.Αν g(f(x)) =
x1
x1


, x ∈ (0,1) ∪ (1, +∞) και f(x) = lnx , να βρεθεί η g(x).
33.Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) =
ae
e
x
x

και g(x) = ln(x+β) , όπου
α, β R . Η γραφική παράσταση της f τέμνει τον y΄y στο
2
1
 και η γραφική
παράσταση της g τέμνει τον x΄x στο 2.
i ) Να βρεθούν οι αριθμοί α και β.
ii ) Να ορίσετε την συνάρτηση f g .
iii ) Να βρεθούν τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f g με τη
γραφική παράσταση της h(x) =
4
x
.
34.Δίνεται η συνάρτηση f : R*R και η g(x) =
x
x
ln


2
2
α ) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της fog.
β ) Να βρεθεί συνάρτηση h για την οποία να ισχύει : (hog)(x) = x.
γ ) Να αποδειχθεί ότι η h(x) είναι περιττή.

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ – Συνάρτηση «1-1» , Αντίστροφες και
Μονότονες
35.Ασκήσεις 2 – 3 , σχολικού σελίδες 38 – 39.
36.Είναι η h(x) =
1
32


x
x
, συνάρτηση 1-1 ;
37.Δίνεται η f(x) = x
e +x-1
α ) να δείξετε ότι είναι 1-1
β ) λύστε την εξίσωση : xημ
e +ημx = e +
2
1
38.Έστω f(x) : RR , και (fof)(x) - f(x) = 2x-4 , για κάθε Rx .
α ) να δειχθεί ότι η f(x) είναι 1-1.
β ) να υπολογιστεί η τιμή f(2).
γ ) να λυθεί η εξίσωση : f(4 - f(x2+x)) – 2 = 0.
39.Ασκήσεις 1 και 4 , σχολικού σελίδες 38-39.
40.Δίνεται η συνάρτηση , f(x) = xln
x

1
,
α ) εξετάστε τη μονοτονία της,
β ) να λυθεί η ανίσωση :
12
5
12
1
5
1
2
2
22





 x
x
ln
xx
41.Να λυθούν οι ανισώσεις :
α ) lnx+x2 – 1 ≥ 0 β ) ln(x2-4)+x2 – 5 ≥ 0
γ ) 𝑒 𝑥2+2𝑥
≥ −𝑥2
− 2𝑥 + 1
42.Να λυθεί η ανίσωση : 9 – x3< ex-2.

43.Δίνεται f(x) = 3 + ex-2,
α ) είναι 1-1 ;
β ) να βρεθεί ο τύπος της f-1(x).
44.Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 2x2017 + 5x – 7 , Rx .
α ) Να δειχθεί ότι η f(x) είναι γν. αύξουσα στο πεδίο ορισμού της.
β ) Να λυθεί η εξίσωση : f(x) = 0.
γ ) Να βρεθεί το πρόσημο της f(x).
45.Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 3x2015 + 2x – 5 , Rx .
α ) Να δειχθεί ότι η f(x) είναι γν. αύξουσα στο πεδίο ορισμού της.
β ) Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση f(x) = 0 έχει ακριβώς μια ρίζα την x = 1.
γ ) Να βρεθεί το πρόσημο της f(x).
46.Αν f : RR , γνησίως αύξουσα και g : RR γνησίως φθίνουσα , να δείξετε ότι
η f(g(x)) είναι γνησίως φθίνουσα στον R. Ποια είναι η μονοτονία της
fog όταν οι f(x) , g(x) έχουν το ίδιο είδος μονοτονίας ;
47.Έστω η συνάρτηση f(x) = x)eln( x
1
α ) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της.
β ) Να βρεθεί το πρόσημο της f(x).
γ ) Μελετήστε την f(x) ως προς τη μονοτονία.
δ ) Αποδείξτε ότι αντιστρέφεται και να βρεθεί ο τύπος της f-1(x).
48.α ) Θεωρώ τις f , g : ΑR.
Αν ηf(x) είναι γνησίως αύξουσα στο Α και η g(x) είναι γνησίως φθίνουσα στο
Α και για κάθε χ στο Α είναι f(x)>0 και g(x)>0 ,
να αποδείξετε ότι η συνάρτηση
)x(g
)x(f
είναι γνησίως αύξουσα στο Α.
β ) να αποδείξετε ότι η Κ(x) =
xσυν
xln
είναι γνησίως αύξουσα στο ( )
2
π
,
3
π
γ ) αν 1x
3
π
 <x2 <
2
π
, να αποδείξετε ότι : χ1συνχ2 < χ2συνχ1
[ Ευκλείδης τεύχος 58 ]

49.Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x3 + x + 8.
α ) Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία και να αποδειχθεί ότι
αντιστρέφεται.
β ) Να λυθεί το σύστημα
f(x) = 𝑦
f(y) = x
γ ) Να βρεθούν τα κοινά σημεία των f(x) και f-1(x).
50.Δίνεται η συνάρτηση f(x) = lnx + 2x-1
α ) Να αποδείξετε ότι η f(x) αντιστρέφεται.
β ) Να λυθεί το σύστημα
f(x) = 𝑦
f(y) = x
γ ) Να βρεθούν τα κοινά σημεία των f(x) και f-1(x).
51.Έστω η συνάρτηση f(x) = x3 + x + 1 , x R
α ) Να αποδειχθεί ότι είναι γνησίως αύξουσα.
β ) Να αποδειχθεί ότι αντιστρέφεται.
γ ) Να βρεθούν τα κοινά σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f(x)
και της y = x.
δ ) Να βρεθούν τα κοινά σημεία της y = f-1(x) και y = x.
ε ) Αφού δείξετε ότι η g (x) = x + f(x), x R είναι 1-1, να βρείτε τα κοινά
σημεία των γραφικών παραστάσεων f(x) , f-1(x).
52.Έστω η συνάρτηση f(x) = x2 -4x +4 , x> 2.
α ) Να βρεθεί το σύνολο τιμών της.
β ) Να αποδειχθεί ότι είναι γνησίως αύξουσα.
γ ) Να αποδειχθεί ότι αντιστρέφεται.
δ ) Να βρεθούν τα κοινά σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f(x)
και της y = x.
ε ) Να βρεθούν τα κοινά σημεία της y = f-1(x) και y = x.
στ ) Αφού δείξετε ότι η g (x) = x + f(x), x R είναι 1-1, να βρείτε τα
κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων f(x) , f-1(x).

Ενότητα : Επανάληψη «Συναρτήσεις – Σύνθεση – Μονοτονία – Αντίστροφες»
ΠΡΟΤΑΣΗ [ Πρόδρομος Π. Ελευθερίου, Σχ. Σύμβουλος Μαθηματικών Ν. Λέσβου 24/10/2016 ]
 Αν f :Α→R και g :Β→ R δυο συναρτήσεις ,
 η g(x) είναι 1-1 και
 ισχύει g(f(x)) = x, για κάθε x στο Α. Επίσης,
 g(Β) = Α (πεδίο ορισμού g-1 = πεδίο ορισμού f )
τότε συνεπάγεται f(x) = g-1(x) και f(Α) = Β (ίδια σύνολα τιμών)
ΑΠΟΔΕΙΞΗ
Η g : 1-1 και το πεδίο ορισμού της g-1 είναι το ίδιο με της f(x).
Έχω g(f(x)) = x ⇒ f(x) = g-1(x) , x στο Α.
Επειδή είναι ίσες συναρτήσεις θα έχουν και το ίδιο σύνολο τιμών άρα f(Α) = Β.
ΑΜΕΣΗ ΣΥΝΕΠΕΙΑ της ΠΡΟΤΑΣΗΣ
 Αν f :R→R και g :R→ R δυο συναρτήσεις ,
 η g(x) είναι 1-1 και
 ισχύει g(f(x)) = x, για κάθε x στο R.
Τότε συνεπάγεται f(x) = g-1(x) και f(R) = R (σύνολο τιμών της f το R)
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1.1-1.3
53.Δίνεται η συνάρτηση f : RR, με f(R) = R, για την οποία ισχύει
f3(x) + f(x) + x
2
1
= 0 (1) για κάθε x R .
α ) Να αποδειχθεί ότι η f(x) είναι «1-1».
β ) Να βρεθεί ο τύπος της f-1(x).
γ ) Να λυθεί η εξίσωση f-1(x3 - x) = f-1(3 - 3x).
54.Δίνεται η συνάρτηση f(x) = α + ex-1 , α R .
α ) Να αποδείξετε ότι η f(x) είναι αντιστρέψιμη.
β ) Αν ισχύει f-1(4) = 1 , τότε να βρεθεί ο α .
γ ) Δίνεται η συνάρτηση g(x)=2ex-3 + x – 2 , να δειχθεί ότι η g (x) είναι 1-1.
δ ) Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων g (x) και g-1 (x).

55.Δίνεται η συνάρτηση f : R →Rγια την οποία ισχύει
f3(x) + 2f(x) = 12ex, x R (1).
α ) Να αποδειχθεί ότι f(x) > 0 για κάθε x R .
β ) Να βρείτε τα σημεία τομής της f(x) με τον y΄y.
γ ) Να αποδείξετε ότι η f(x) είναι 1-1.
δ ) Να λυθεί η εξίσωση : f( x -3)=
2
22 1
e
lne ln
 .
56.Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = ex + e-x , g (x) = 3συνx-1.
α ) Να αποδείξετε ότι η f(x) έχει ελάχιστο το 2.
β ) Να βρεθούν τα ακρότατα της g (x).
γ ) Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των f(x) , g (x) .
57.Δίνεται η γνησίως μονότονη f : R →R με 0 <f(x) < 1 για κάθε Rx και η
g(x) =
12
)x(f
)x(f
.
α ) Να αποδειχθεί ότι η g(x) έχει το ίδιο είδος μονοτονίας με την f(x).
β ) Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση fog είναι γνησίως αύξουσα.
γ* ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(g(x3+1)) = f(g(4x2+2x)) έχει ακριβώς
δυο θετικές ρίζες και μια αρνητική.
δ ) Να επιλυθεί η ανίσωση, fog (x3+4) >fog(3x2)
Ενότητα : Σωστά Λάθος – 1.1 – 1.3
1. Οι συναρτήσεις f(x) = ημx , g(x) = εφx·συνx είναι ίσες.
2. Κάθε συνάρτηση 1-1 ,είναι γνησίως μονότονη.
3. Αν f(x) , g(x)δυο συναρτήσεις και ορίζονται οι συνθέσεις fg ,
gf , τότε υποχρεωτικά ισχύει fg = gf.
4. Αν f(x) , g(x) , h(x) τρεις συναρτήσεις και ορίζεται h(gf) , τότε ορίζεται
και η (hg) f και αυτές είναι υποχρεωτικά ίσες.
5. Αν ένα σημείο Μ (α, β) ανήκει στη γρ. παράσταση μιας αντιστρέψιμης
συνάρτησης f , τότε το σημείο Μ΄(β, α) ανήκει στη γρ. παράσταση της f-1
6. Αν η f(x) έχει αντίστροφη f-1 και η γρ.παράσταση της f(x) έχει κοινό σημείο
Α με την y=x, τότε το Α ανήκει και στην γρ. παράσταση της f-1.
7. Η γρ. παράσταση της - f(x) είναι συμμετρική της f(x) ως προς τον άξονα xx΄.

8. Μια συνάρτηση f : Α →R είναι 1-1 , αν και μόνον αν για οποιαδήποτε
x1 , x2Α ισχύει η συνεπαγωγή « αν x1 = x2 , τότε f(x1) = f(x2) ».
9. Μια συνάρτηση f(x) με πεδίο ορισμού το Α θα λέμε ότι στο xοΑ
παρουσιάζει ολικό ελάχιστο όταν f(x) < f(xο), για κάθε xΑ.
10. Αν η συνάρτηση f : Α →R είναι 1-1 , τότε ισχύει f-1(f(x))=x , για κάθε
xΑ.
11. Κάθε συνάρτηση γν. μονότονη είναι 1-1.
12. Αν η συνάρτηση f : Α →R είναι 1-1 , τότε ισχύει f-1(f(x))=x , για κάθε
xf(Α).
13. Αν οι συναρτήσεις f(x) , g(x) έχουν πεδίο ορισμού το [0,1] και σύνολο τιμών
το [2,3] , τότε ορίζεται η σύνθεση της g(x) με την f(x) με πεδίο ορισμού το
[0,1] και σύνολο τιμών το [2,3].
14. Αν μια συνάρτηση f: R →R είναι «1-1» τότε κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει τη
γραφική παράσταση της το πολύ σε ένα σημείο.
15. Κάθε κατακόρυφη ευθεία έχει το πολύ ένα κοινό σημείο με τη γραφική
παράσταση μιας συνάρτησης f(x).
16. Αν η f(x) είναι αντιστρέψιμη , τότε οι γρ. παραστάσεις των f(x) , f-1 (x)
αντίστοιχα είναι συμμετρικές ως προς την y = x.
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
1.Λ 2.Λ 3.Λ 4.Σ 5.Σ 6.Σ 7.Σ 8.Λ 9.Λ 10.Σ
11.Σ 12.Λ 13.Λ 14.Σ 15.Σ 16.Σ

ΕΝΟΤΗΤΑ : ΟΡΙΟ και ΔΙΑΤΑΞΗ , ΟΡΙΟ και ΠΡΑΞΕΙΣ , ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ
 Η θεωρία αυτής της ενότητας βρίσκεται
στις σελίδες 47-52
 Προτείνεται αρχικά να λυθούν κατά
προτεραιότητα οι παρακάτω ασκήσεις
του σχολικού βιβλίου 1 – 5 σελίδας 56
και 8 – 9 Α΄ ομάδας.
 Για περισσότερη εξάσκηση, να λυθούν
επίσης οι παρακάτω ασκήσεις.
58.Αν ισχύει : x∙f(x) - f(x) ≤ x2 + 2x – 3 ,για κάθε x R και το όριο )x(flim
1x 
υπάρχει, να υπολογιστεί.
59.f : (0,+∞) R , και ισχύει :
2 x xx)x(fx  2
, για κάθε x> 0. Να βρεθούν :
α ) )x(flim
1x 
β )
1
2
1 

 x
)x(f
lim
x
60.Έστω f(x) : RR και για κάθε x ≠ 1 , ισχύει :
1
1
3 2



x
x
x)x(f
, να βρεθεί το )x(flim
1x 
.
61.Ομοίως για την g(x) =
9x
3x4xx3x
2
22


, στο x0 = 3.
62.Στο x0 = 0 , έχει όριο η f(x) =
x
x 11 
; Αιτιολογήστε.
63.Να υπολογιστούν τα όρια :
i ) lim
𝑥→1
|5−3𝑥|−|3𝑥−1|
𝑥2−1
ii ) lim
𝑥→2
|𝑥2−2𝑥|
𝑥−2
iii ) lim
𝑥→2
|𝑥−3|+2|𝑥2−1|−7
𝑥−2
iv ) lim
𝑥→1
|𝑥−2|−𝑥2
𝑥2−𝑥
O

Ch
Cf
Cg
βα x0 x
y
50

ΕΝΟΤΗΤΑ : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΟΡΙΑ – ΟΡΙΟ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
 Η θεωρία αυτής της ενότητας βρίσκεται στις σελίδες 52-56.
 Προτείνεται να λυθούν κατά προτεραιότητα οι παρακάτω ασκήσεις του
σχολικού βιβλίου 6 -7 σελίδων 57 και 1 – 4 Β΄ ομάδας σελίδας 58.
 Για περισσότερη εξάσκηση, να λυθούν οι παρακάτω ασκήσεις.
64.f : R →R και περιττή και επίσης ισχύει : 2x)x(fx8  , για κάθε x>0
Βρείτε το )x(flim
2x 
.
65.Έστω f : R →R και 3
422



 x
x)x(f
lim
x
, να βρεθούν τα όρια :
α ) )x(flim
x 2
β )
22
62
2 

 x
x)x(f
lim
x
66.Να υπολογιστεί το όριο : )
x
)xx((lim
x
12
0


67.Υπολογίστε τα όρια : α )
x
x10ημ
lim
0x 
β ) lim
𝑥→0
𝜂𝜇(𝛼𝑥)
𝑥
γ ) lim
𝑥→0
𝜂𝜇(6𝑥)
𝜂𝜇(4𝑥)
δ )
1x1
x2ημ
lim
0x

ε ) lim
𝑥→0
𝜀𝜑𝑥
𝑥
στ ) lim
𝑥→0
𝜀𝜑(𝛼𝑥)
𝑥
ζ ) lim
𝑥→0
𝜀𝜑𝑥(1−𝜎𝜐𝜈𝑥)
𝑥3 η ) lim
𝑥→1
𝜂𝜇(1−𝑥)
√ 𝑥−1
θ ) lim
𝑥→0
𝑥+𝜂𝜇𝑥
2𝑥+5𝜂𝜇𝑥
68.Αν f : R →R και 3)
1x
x)x(f
(lim 21x




, βρείτε τα παρακάτω όρια :
α ) lim
𝑥→1
f(x) β )
2
1
2
2
1



xx
)x(fx
lim
x
69. f : R →R και 4
2x
x)x(f
lim
2x




. Για ποια τιμή του λ R η συνάρτηση
g(x) =
4x
λλ3)x(xf
2
2


έχει στο x0 = 2 ; Πόσο είναι αυτό το όριο ;
70. f : R →R και )x(flim
0x 
= λ R και f(x)ημ2xx3συν
x
1
, x R *
α ) δείξτε ότι , 0)
x
1
συνx(lim 2
0x


, β ) αποδείξτε ότι λ = 0 ,
γ ) Υπολογίστε το 2
2
0x xxημ
x2ημ)x(xf
lim



. [ ΘΕΜΑ 2 ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2016 ]

ΕΝΟΤΗΤΑ : ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ xo
 Προτείνεται να λυθούν κατά προτεραιότητα όλες οι ασκήσεις του σχολικού
βιβλίου σελίδων 63-64.
71.Να βρεθούν τα όρια :
α )
96
5
23 

 xx
x
lim
x
β )
2
6
22



xx
x
lim
x
72.Να βρεθούν τα όρια των συναρτήσεων : f(x) =
2x
1

,
g(x) =
4x
5xx2
2
3


στο χ0 = 2.
73.Η συνάρτηση f(x) =
3x4x
xx
2
2


, έχει όριο στο χ0 = 1 ;
74.Να βρεθούν τα όρια των συναρτήσεων : f(x) =
xσυν1
1x2


,
g(x) =
xημx
x1 2


στο χ0 = 0.
75.Για κάθε λ R να υπολογιστεί το όριο :
44
5
2
2
2 

 xx
xx
lim
x

.
76.Αν 


 3
5
23 xx
x
lim
x
, να βρεθεί ο λ R .
77.Αν f(x) R →R και 3122
1


)]x(f)xx[(lim
x
, να βρεθούν :
α ) )x(flim
1x 
β )
4
532
2
2
1 

 )x(f)x(f
)x(f)x(f
lim
x
78.Αν για την f : R →R ισχύει )x(flim
x 2
=+∞ , να βρεθεί :
323
42
2 

 )x(f)x(xf
x
lim
x
.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ – ΕΡΓΑΣΙΑ στα Όρια 1.4 – 1.6
79.Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x).
α ) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της
συνάρτησης, g(x) =
1
𝑓(𝑥)
β ) Να βρεθούν τα όρια : ι )lim
𝑥→3
f(x)
ιι ) lim
𝑥→3−
g(x) ιιι )lim
𝑥→3
f(f(x))
ιν )lim
𝑥→0
g(f(x)) ν )lim
𝑥→2
1
f(x) +4
νι )lim
𝑥→0
1
f(−f(x) +3)
80.Να βρεθούν τα παρακάτω όρια, εφόσον υπάρχουν :
ι )lim
𝑥→𝜋
2𝑥+3
1+𝜎𝜐𝜈x
ιι )lim
𝑥→0
(x ∙ συνx ∙ ημ
1
x
) ιιι )lim
𝑥→𝜋
σφx
81.Για τις διάφορες τιμές της πραγματικής παραμέτρου λ, να βρεθεί το όριο :
lim
𝑥→3
3x2−𝜆2x−18
|x−3|
.
82.Έστω f(x) , g(x): RR. Αν ισχύουν lim
𝑥→3
f(x)
x−3
= 1 και
lim
𝑥→3
[𝑔(x) ∙ (2x2
+ 3x − 27)] = 15, να βρεθεί το lim
𝑥→3
[f(x) ∙ g(x)].
83.Έστω f(x) , g(x): RR. Αν ισχύουν lim
𝑥→0
[𝜂𝜇x ∙ f(x) + g(x)] = 1
lim
𝑥→0
g(x)−ημx
x
=2. Να βρεθούν, εφόσον υπάρχουν, τα όρια :
ι ) lim
𝑥→0
g(x) ιι ) lim
𝑥→0
f(x) ιιι ) lim
𝑥→0
[f(x) ∙ g(x)]

ΕΝΟΤΗΤΑ : ΟΡΙΑ στο ΑΠΕΙΡΟ «ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1.7»
 Προτείνεται να λυθούν κατά προτεραιότητα όλες οι ασκήσεις του σχολικού
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
84.Να υπολογιστεί το παρακάτω όριο για τις διάφορες τιμές του λ R ,
)xx)(xx)((lim
x
67543 2342



85.Να υπολογιστούν τα παρακάτω όρια :
α )
323
434
324
656
xxxx
xxxx
lim
x 


β ) )xxx(lim
x
322


γ )
42
653


 x
xx
x
lim δ )
xx
xx
x
lim
23
23
2
1





ε ) )]xln()xx[ln(lim
x
2253


86.Υπολογίστε τα όρια :
α ) ]x22xx4[lim 2
x


β ) ]x57x3x91x3x4[lim 22
x


γ ) ]7x8x16x4[lim 2
x


δ ) )xx2xx3(lim 35
x


87.Αν f(x) =
2xλ
3xλx)1λ( 2


, για τις διάφορες τιμές του λ R , βρείτε το
όριο της f(x) στο - .
88.Αν f(x) = xλ7x8x4 2
 , για τις διάφορες τιμές του λ R βρείτε το
όριο της f(x) στο + .
89.Αν f : (0,+  ) R , υποθέτω ότι ισχύει : 4
3x
3x)x(xf
lim
x




, βρείτε τα όρια
α ) lim
𝑥→+∞
f(x) β )
2x)x(xf
1x2
x
1
ημ)x(fx
lim
2
x 



Ενότητα : Σωστά Λάθος - Παράγραφοι 1.4-1.7
1. Αν δεν υπάρχουν τα όρια f(x) , g(x) στο xο τότε δεν μπορεί να υπάρχει το
όριο της συνάρτησης f(x)+g(x) στο xο.
2. Αν 0

)x(flim
oxx
, τότε 0

)x(flim
oxx
.
3. Αν υπάρχουν στο R τα όρια )x(flim
oxx 
, ))x(g)x(f(lim
oxx


τότε
απαραίτητα υπάρχει και το όριο της g(x) στο xο.
4.
Αν )x(flim
oxx 
= 0 και f(x) < 0 κοντά στο xο ,τότε
)x(f
lim
oxx
1

= - ∞.
5. Αν )x(flim
oxx 
= +∞ ή -∞ , τότε )x(flim
oxx 
= +∞.
6. Αν οι συναρτήσεις f , g έχουν όριο στο xο και ισχύει f(x)≤g(x) κοντά στο xο ,
τότε )x(flim
oxx 
≤ )x(glim
oxx 
7. Αν )x(flim
oxx 
= - ∞ , τότε f(x) >0 κοντά στο xο.
8. Αν για δυο συναρτήσεις f , g ορισμένες κοντά στο xοR {-∞,+∞} και
ισχύει f(x)≤g(x) κοντά στο xο και
)x(flim
oxx 
=+∞, τότε )x(glim
oxx 
=+∞.
9.
Αν )x(flim
oxx 
= +∞ ή -∞ , τότε
)x(f
lim
oxx
1

= 0.
10.
Ισχύει 1
1
0


 x
x
lim
x

11. Αν f(x) ορισμένη στο (α,xο) (xο, β) και λ R , τότε ισχύει η ισοδυναμία
)x(flim
oxx 
= λ 0

))x(f(lim
oxx
 .
1.Λ 2.Σ 3.Σ 4.Σ 5.Σ 6.Σ 7.Λ 8.Σ 9.Σ 10.Λ
11.Σ

ΕΝΟΤΗΤΑ : ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
 Προτείνεται να λυθούν κατά προτεραιότητα οι ασκήσεις 1-5 του σχολικού
Ερώτηση Κρίσεως
Δίνονται οι συναρτήσεις (Σχήμα 1) και (Σχήμα 2).
Σχήμα 1 Σχήμα 2
Γιατί το γράφημα των συναρτήσεων αυτών διακόπτεται παρόλο που είναι συνεχείς;
ΕΝΟΤΗΤΑ : ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO
Διατυπώστε το θεώρημα : …………………………………………………………………………
Ποια είναι η γεωμετρική του ερμηνεία;
1
( )f x
x
 2
( ) 1g x x 

Παρατηρήσεις στο Θεώρημα
Μπορεί μια συνάρτηση να έχει ρίζα στο Δ χωρίς να έχει ετερόσημες τιμές στα άκρα του
Δ ;
i )Α = [1,4] ii )Αg = [-1,1] , g(x) = x2
i )Είναι ασυνεχής στο 2 και f(1)f(4)=(-1)·3=-3 < 0 και δεν έχει καμία ρίζα στο Α
ii )Είναι Συνεχής στο [-1,1] και f(-1)f(1)> 0, όμως υπάρχει xoστο εσωτερικό Α για το
οποίο f(xo) = 0 είναι το xo = 0.
ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ του ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ BOLZANO- ΣΤΑΘΕΡΟ ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Ποιες είναι οι συνέπειες του Θεωρήματος ;
Παρατήρηση: «Μπορεί η συνάρτηση να διατηρεί πρόσημο στο Δ χωρίς να είναι συνεχής
στο Δ ;» Τι λέτε ;

Η συνάρτηση ορίζεται στο Α = [-1,2].
Δεν είναι συνεχής στο xo = 0.
Επίσης είναι f(x ) ≠ 0 για κάθε x στο Α.
Συγκεκριμένα είναι θετική για κάθε xστο Α.
Άρα μπορεί να διατηρεί πρόσημο χωρίς να είναι
συνεχής.
ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΜΕΡΟΣ Ι
Παράδειγμα 1ο
Αν η συνάρτηση f :  είναι συνεχής στο R και ισχύει :
f2(x) - 6f (x) = x2 – 5 ,x∈R
Να βρεθεί ο τύπος της f (x).
ΛΥΣΗ
f2(x) - 6f (x) = x2 – 5  f2(x) - 6f (x) +9= x2 – 5 +9  (f(x) – 3)2 = x2 + 4 (1)
ΘΕΩΡΩ την g(x) = f (x) – 3 , συνεχή συνάρτηση στο R, ως διαφορά συνεχών.
H σχέση (1) γράφεται : g2 (x) = x2 + 4 και g(x) ≠ 0 για κάθε x γιατί αν
g(x) = 0 , τότε g2 (x) = 0  x2 + 4 = 0 , ΑΤΟΠΟ.
Άρα g(x) συνεχής στο R και για κάθε x ισχύει g(x)≠ 0 , συνεπώς διατηρεί πρόσημο στο
R.
 Αν g(x) > 0 , τότε f(x) = 3+ 42
x
 Αν g(x) < 0 , τότε f(x) = 3- 42
x
Παράδειγμα 2ο(Τολμήστε το ΕΣΕΙΣ , για πάμε !! )
Αν η συνάρτηση f :  είναι συνεχής στο R και ισχύει :
4f2(x) - 12xf (x) = x +16 , x  , f (0) = -2
Να βρεθεί ο τύπος της f (x).

ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ Θ.Ε.Τ
Η συνάρτηση παίρνει όλες τις τιμές
μεταξύ των f (α) , f (β).
ΑΜΕΣΗ ΣΥΝΕΠΕΙΑ ΤΟΥ Θ.Ε.Τ
iii )Α = [0,2] iv ) Α = [α, β]
Στο σχήμα ιιι ) η συνάρτηση ΔΕΝ είναι συνεχής και ΔΕΝ παίρνει όλες τις ενδιάμεσες
τιμές.
Στο σχήμα ιν) η συνάρτηση ΔΕΝ είναι συνεχής και παίρνει όλες τις ενδιάμεσες
τιμές.
Άρα το αντίστροφο του Θ.Ε.Τ ΔΕΝ ισχύει πάντα.

ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ – ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Θ.Μ.Ε.Τ
Διατυπώστε το θεώρημα : …………………………………………………………………………

Ειπώθηκε παραπάνω.
Α = (2,3) , f (Α) ανοικτό. Α=(-1,2) , f (Α) = [1,5)
Α = (α, β) , f (Α) = [f (x1) , f (x2)]

ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΜΕΡΟΣ Ι (Συνέχεια)
 Αν f2(x) = g2(x) , τότε δεν είναι υποχρεωτικά f (x) = g(x) ή f (x) = - g(x)
για κάθε x  , δηλαδή δεν υπάρχουν μόνο δυο συναρτήσεις f (x) για τις
οποίες ισχύει f2(x) = g2(x) , αλλά άπειρες της μορφής :
f (x) =









Rx),x(g
x),x(g
, Δ τυχαίο μη κενό υποσύνολο του .
 Π. χ , βρείτε τις συναρτήσεις που ικανοποιούν τη σχέση : f2(x) = 4 , Rx .
 Στην περίπτωση όμως που f (x),g(x) συνεχείς, τότε το πλήθος των
συναρτήσεων που ικανοποιεί τη σχέση f2(x) = g2(x) , περιορίζεται.
1. Συγκεκριμένα , αν οι f (x) , g(x) δεν έχουν κοινά σημεία (f(x)≠ g(x) για
κάθε x ), τότε από την σχέση f2(x) = g2(x) , προκύπτουν οι δυο μόνο
συναρτήσεις :
f (x) = g(x) ή f (x) = - g(x).
2. Αν οι f (x) , g(x)έχουν ένα μόνο κοινό σημείο x0(f(xο)= g(xο)) , τότε από
την σχέση f2(x) = g2(x)προκύπτουν οι :
f (x) = g(x) , Rx ή
f (x) = - g(x) , Rx ή
f (x) =







o
o
xx),x(g
xx),x(g
,
f (x) =







o
o
xx),x(g
xx),x(g
.

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ – Συνέχεια & Θεωρήματα Συνεχών Συναρτήσεων
90.Έστω f(x) : RR συνεχής και για κάθε xισχύει : x∙f(x) = x2 +ημx.
Να βρεθεί το f(0).
91.Έστω f(x) : RR συνεχής και για κάθε xισχύει :
x∙f(x)+2 = f(x)+ 22
 xx
Να βρεθεί ο τύπος της f(x).
92.Να δείξετε ότι η εξίσωση : 2001∙ 3
x +5 x =2004, έχει μια τουλάχιστον ρίζα
στο σύνολο .
93.Ομοίως η εξίσωση : 0
1
11 26





x
x
x
x
, έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (0,1).
94.Να δειχθεί ότι η εξίσωση : x7-4x6+1 =0 έχει δυο τουλάχιστον ρίζες στο(-1, 1).
95.Έστω συνεχής συνάρτηση f (x) στο [ 0,3] για την οποία ισχύει :
f (0) = f (3) και f (1) = f (2). Να δείξετε ότι υπάρχει ξ [0,2] ώστε να ισχύει :
f (ξ) = f (ξ+1).
96.Να αποδείξετε ότι κάθε πολυώνυμο περιττού βαθμού έχει μια τουλάχιστον
ρίζα στο  .
97.Έστω f (x) = x3+συν(πx) – 3 με πεδίο ορισμού [-2,2].
Να δείξετε ότι η συνάρτηση παίρνει την τιμή 2.
98.Αν f (x) συνεχής στο [1,5] και 2
1


)x(flim
x
. Επίσης, f (1)f (5)=8.
Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ στο (1,5) ώστε να ισχύει :
f (ξ) = 3
99.Έστω f (x) συνεχής στο R. Για κάθε x στο R ισχύει f (f (x))· f (x)=1.
Επίσης f (5) = 3.
α ) Να υπολογιστεί το f (3).
β ) Να δείξετε ότι υπάρχει ξ στο (3,5) ώστε να ισχύει f (ξ) = 1.
γ ) Να υπολογιστεί το f (1).
100. Έστω f (x) : [-α, α]  , συνεχής με x2 + f2(x) = α2, για κάθε
x [-α, α].
Να δείξετε ότι η f (x) διατηρεί το πρόσημο των τιμών της στο (-α, α).
101. Αν f (x) , g(x) συνεχείς στο [ α ,β ] , f (α)g(α) , f (β) g(β) , να
δείξετε ότι υπάρχει x0 [ α ,β ] , ώστε : f (x0) = g(x0).

102. Έστω f(x) συνεχής και γνησίως αύξουσα στο [0,1] με f(1) = 1. Να
αποδείξετε ότι υπάρχει x0(0,1) τέτοιος ώστε : 1x)x(fe 00
x0

.
103. Έστω f (x) = 2xlnex x
 , να δείξετε ότι η συνάρτηση έχει μια
τουλάχιστον ρίζα στο (0,1).
104. Να δειχθεί ότι η εξίσωση : x3 – 3x + 1 = 0 έχει δύο μόνο ρίζες στο
διάστημα (0,2).
105. Έστω συνεχής συνάρτηση f (x) στο [1,2] , με f (1) = f (2). Να δείξετε
ότι υπάρχει θ [ 1 ,
2
3
] , ώστε : f (θ) = f (θ+
2
1
) .
106. Δίνεται η f(x) = 3 – lnx – ex , ορισμένη στο Δ = (0,3].
α ) να μελετηθεί η μονοτονία της στο Δ β ) να βρεθεί το f(Δ)
γ ) να δειχθεί ότι η εξίσωση : lnx + ex = 3 έχει ακριβώς μια ρίζα στο Δ.
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 1ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ
ΘΕΜΑ Β
Για την συνεχή συνάρτηση f : RR ισχύει : f 2(x) = 4x∙f(x) + 2x + 1 , για κάθε
x∈ 𝑅 και f(1) > 2.
Β1. Να δείξετε ότι f(x) = 2x + √4x2 + 2x + 1
Β2. Να βρεθεί το όριο της f(x) στο -∞.
Β3. Να βρεθούν τα παρακάτω όρια :
ι ) lim
𝑥→+∞
f(x)
x
ιι ) lim
𝑥→+∞
ημ(f(x))
x
ΘΕΜΑ Β
Η συνάρτηση f(x) : RR είναι γνησίως μονότονη στο R και f( R ) = R. Αν η
γραφική παράσταση της f(x) διέρχεται απ τα σημεία Α(1,2) και Β(2,1) , τότε :
Β1. Να βρεθεί το είδος της μονοτονίας της f(x).

Β2. Να λυθεί η ανίσωση f-1(f(x2+ x)+1) > 1
Β3. Να λυθεί η εξίσωση f(f-1(2x+5)-1) =2
Β4. Να βρεθεί , αν υπάρχει , η αντίστροφη της συνάρτησης f(x)=2ln(1-x) +5 ,
για κάθε x ≤ 0.
ΘΕΜΑ Γ
Δίνεται η συνάρτηση f(x) = √2x + 4 − √9 − x
Γ1. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της.
Γ2. Να μελετηθεί η f(x) ως προς τη μονοτονία και να δειχθεί ότι αντιστρέφεται.
Γ3. Να βρεθούν το μέγιστο και το ελάχιστο της f(x), αν υπάρχουν.
Γ4. Να βρείτε το f-1(-1) και να δειχθεί ότι η f-1(x) είναι γνησίως αύξουσα.
Γ5. Να λυθεί η ανίσωση , √2x2 + 4 + √9 − x < √2x + 4 + √9 − x2
ΘΕΜΑ Δ
Έστω μια συνεχής συνάρτηση f : (0,1] →R για την οποία ισχύουν
f 2(x) - 2f(x) lnx = 1 – x – (lnx)2 για κάθε x στο (0,1]
lim
𝑥→−∞
[(f (
1
e
) + 1) x3
+ 5x − 2016] = +∞
Δ1. Να αποδείξετε ότι f(x) = lnx - √1 − x , x∈(0,1]
Δ2. Να αποδείξετε ότι η f(x) αντιστρέφεται και ότι το πεδίο ορισμού της
αντίστροφης είναι το (-∞ , 0 ].
Δ3. Να βρεθεί το όριο lim
𝑥→−∞
[f−1
(x) ∙ ex
]
Δ4. Να λυθεί η εξίσωση , f-1(x) + συνx = 2

Ενότητα : Σωστά Λάθος – Παράγραφος 1.8
1. Έστω f(x) συνεχής στο [α, β] . Αν f(α)f(β) >0 , η εξίσωση f(x)=0 είναι βέβαιο
ότι δεν έχει ρίζα στο (α, β).
2. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f στο σύνολο Α=[1,4] με f(x)≠0 για κάθε x
[1,4] και f(3) =-2. Τότε ισχύει f(x) > 0 για κάθε x[1,4].
3. Η εικόνα f(Δ) ενός διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς συνάρτησης f(x) είναι
πάντοτε διάστημα.
4. Για οποιαδήποτε συνάρτηση f(x) που είναι συνεχής στο [α, β] και έχει μια
τουλάχιστον ρίζα στο (α, β) , ισχύει απαραίτητα
f(α)f(β)<0.
5. Αν η συνάρτηση f(x) είναι συνεχής στο [α, β] , τότε το σύνολο τιμών της
f(x)στο διάστημα αυτό είναι κατ’ ανάγκην το
[f(α),f(β)] ή το [f(β),f(α)].
6. Κάθε συνάρτηση f(x) συνεχής στο (α, β) , παίρνει οπωσδήποτε στο (α, β)
μια μέγιστη και μια ελάχιστη τιμή.
7. Αν η f(x) είναι συνεχής στο [α ,β] με f(α)≠f(β) , τότε υπάρχει τουλάχιστον
ένας πραγματικός αριθμός xο(α, β) έτσι ώστε
f(xο) =
2
)(f)a(f 
.
8. Αν η συνεχής και γν. αύξουσα f(x) στο [α, β) , τότε είναι βέβαιο ότι παίρνει
μέγιστη τιμή σε αυτό.
9. Δίνεται η συνεχής και αντιστρέψιμη f(x) στο R για την οποία ισχύει
f-1(2015)=4 και f-1(1949) = -1. Τότε οπωσδήποτε δεν υπάρχει xοR τέτοιο
ώστε να ισχύει f(xο)= 0 .
1.Λ 2.Λ 3.Λ 4.Λ 5.Λ 6.Λ 7.Σ 8.Λ 9.Λ

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ – Παράγωγος και Εξίσωση Εφαπτομένης
107. Ασκήσεις 2 και 3 Β΄ Ομάδας σχολικού σελίδας 110.
108. Ασκήσεις 7 – 10 Α΄ Ομάδας σχολικού σελίδας 121.
109. Ασκήσεις 1 - 4 Β΄ Ομάδας σχολικού σελίδας 122.
110. Βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της f(x) = x ·( )3x στο
(4, f(4)).
111. Έστω f(x) = x3-3x2+4x+8 , βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της
που είναι :
α ) παράλληλη στην y = 13x-7
β ) είναι κάθετη στην y = -
4
1
x +3
γ ) σχηματίζει με τον xx΄ γωνία 450
112. Να δείξετε ότι η y=x+2 , εφάπτεται στη f(x) = x3 -2x+4.
113. Αποδείξτε ότι η 2x- y -4 = 0 , εφάπτεται στις f(x) = x2-4x+5 και
g(x) = x2+2x-4 .
114. Έστω f(x) = ex , g(x) = 4 – 4e-x . Να δείξετε ότι δέχονται κοινή
εφαπτομένη στο κοινό τους σημείο.
115. Δίνονται οι f(x) = eαx+β και g(x) = x2-x+1.
Να προσδιορίσετε τους πραγματικούς α,β ώστε οι γραφικές παραστάσεις των
παραπάνω συναρτήσεων να έχουν κοινό σημείο με τετμημένη 1 και συγχρόνως
κοινή εφαπτομένη σε αυτό.
116. Δίνονται οι g(x) = αx2+βx+1 και f(x)=x·lnx , βρείτε τα α, β ώστε οι
γραφικές παραστάσεις των παραπάνω συναρτήσεων να έχουν κοινή
εφαπτομένη στο (1, f(1)).
117. Έστω f(x) =
x
1
και g(x) = -x2 , βρείτε την κοινή τους εφαπτομένη.
118. Να βρείτε τις τιμές των πραγματικών α, β για τις οποίες οι γραφικές
παραστάσεις των f(x) = 1+
𝛼
𝑥2, g(x) =
𝛽
𝑥
, έχουν κοινή εφαπτομένη στο
κοινό τους σημείο με τετμημένη xο = 3. [ α= 9 , β =6]

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ – Ρυθμός Μεταβολής
ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ
 Αν u(t) = x΄(t) > 0 , τότε το κινητό κινείται προς τη θετική κατεύθυνση (δεξιά).
 Αν u(t) = x΄(t)< 0 , τότε το κινητό κινείται προς τα αριστερά.
 Αν α(t)∙u(t) > 0 , τότε έχουμε επιταχυνόμενη κίνηση.
 Αν α(t)∙u(t) < 0 , τότε έχουμε επιβραδυνόμενη κίνηση.
 Αν ο ρυθμός μεταβολής του y ως προς x είναι θετικός, τότε η αύξηση του x επιφέρει αύξηση
στο y.
 Αν ο ρυθμός μεταβολής του y ως προς x είναι αρνητικός, τότε η αύξηση του x επιφέρει
μείωση στο y.
119. Ασκήσεις 1, 2 , 4 , 5 Α΄ Ομάδας σχολικού σελίδας 125-126.
120. Ασκήσεις 1 - 7 Β΄ Ομάδας σχολικού σελίδας 126 - 127.
121. Σημείο Μ της y = 2x2κινείται έτσι ώστε να ελαττώνεται η τεταγμένη
του με ρυθμό 10 εκατοστά/δευτ. Nα βρείτε το ρυθμό μεταβολής της
τετμημένης του Μ τη χρονική στιγμή κατά την οποία x=1.
122. Έστω x(t) = 2t3 -12t2 +18 t -5 , η θέση ενός υλικού που κινείται σε
άξονα, όπου t[0,4].
α ) βρείτε την ταχύτητα του και την επιτάχυνση του για t=2
β ) βρείτε τις στιγμές που το υλικό είναι ακίνητο.
γ ) ποια χρονικά διαστήματα το σώμα κινείται δεξιά και πότε κινείται
αριστερά.
δ ) ποιο το ολικό διάστημα που διάνυσε στα 4 πρώτα δευτερόλεπτα.
123. Δίνεται η συνάρτηση f(x) =x2 + 1 για κάθε x≥1 και ένα σημείο Μ(x,y)
κινείται κατά μήκος της καμπύληςy = f(x) , x≥1. Τη
χρονική στιγμή toκατά την οποία το Μ διέρχεται απ
το σημείο Α(3,10), ο ρυθμός μεταβολής της
τετμημένης του Μ είναι 2 μονάδες το δευτερόλεπτο.
Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού του
τριγώνου (ΜΟΚ) τη χρονική στιγμή to ,όπου Κ(x,0)
και Ο(0,0).
[ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2019]

124. Οι διαστάσεις ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου είναι 20cm και 30
cm αντίστοιχα. Αν αρχίζουν να ελαττώνονται με ρυθμό 2cm/ s και 1cm/ s
αντίστοιχα, να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού του ορθογωνίου τη
χρονική στιγμή to κατά την οποία οι διαστάσεις είναι ίσες με 15 cm και 20
cm.
125. Ένα σώμα κινείται σε κυκλική τροχιά με εξίσωση x2 + y2 = 4. Καθώς
περνάει απ το σημείο Α(-1,√3) η τετμημένη του ελαττώνεται με ρυθμό 6
μονάδες το δευτερόλεπτο. Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της τεταγμένης
του τη χρονική στιγμή που το σώμα περνάει απ το σημείο Α.
126. Έστω x > 4 και Ε το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ που έχει κορυφές τα
σημεία Ο(0,0) , Α(4x,0) και Β(0 , √x − 2). Αν το x μεταβάλλεται με ρυθμό 2
cm/ s , να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του Ε όταν το x = 9 cm.
127. Ένα σώμα κινείται κατά μήκος της καμπύλης y = x√x έτσι ώστε η
απόσταση του απ την αρχή των αξόνων να αυξάνεται με σταθερό ρυθμό
2cm/s. Να βρείτε το
dx
dt
όταν x = 2.
128. Σκάλα μήκους 14 μέτρα είναι ακουμπισμένη σε κατακόρυφο τοίχο. Το
κάτω μέρος της ολισθαίνει με ρυθμό 2cm/s. Να βρείτε :
ι ) πόσο γρήγορα ολισθαίνει το πάνω μέρος της όταν το κάτω άκρο απέχει
απ τον τοίχο 5 μέτρα.
ιι ) τον ρυθμό μεταβολής του εμβαδού του τριγώνου που σχηματίζει η σκάλα
με τον τοίχο και το έδαφος, όταν το κάτω άκρο της απέχει απ τον
κατακόρυφο τοίχο 12 μέτρα.
129. Ποδήλατο βρίσκεται 4 χλμ ανατολικά από ένα σταυροδρόμι και
κινείται προς αυτό με ταχύτητα 9 χλμ / ώρα. Την ίδια ώρα ένα άλλο
ποδήλατο βρίσκεται 3 χλμ βόρεια απ το σταυροδρόμι και απομακρύνεται με
ταχύτητα 10 χλμ/ώρα. Να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής της απόστασης των
ποδηλάτων εκείνη τη χρονική στιγμή.
130. Το εμβαδόν τετραγώνου αυξάνεται με ρυθμό 24cm2/s , τη χρονική
στιγμή που η πλευρά του είναι 4 εκατοστά. Στην ίδια χρονική στιγμή , βρείτε
το ρυθμό μεταβολής της διαγωνίου του.
[ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΓΕΛ ΕΞΑΠΛΑΤΑΝΟΥ 2017]

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ –ΘΕΩΡΗΜΑ Rolle
131. Άσκηση 3 Β΄ Ομάδας σχολικού σελίδα 132
132. Άσκηση 7 Β΄ Ομάδας σχολικού σελίδα 132
133. Αν η f(x) είναι παραγωγίσιμη στο [2,3] και f(3) - f(2) = ln3 – ln2 , να
δείξετε ότι υπάρχει ξ∈ (2,3) ώστε f ΄(ξ) =
1
𝜉
.
134. Σε έναν αγώνα δρόμου δυο αθλητές τερματίζουν ταυτόχρονα. Να αποδείξετε ότι
υπάρχει τουλάχιστον μια χρονική στιγμή t0 κατά τη διάρκεια του αγώνα που έχουν
την ίδια ταχύτητα.
135. Αν 0
234


, να αποδείξετε ότι η εξίσωση : αx3 +βx2 +γx = 0 ,
έχει μια τουλάχιστον λύση στο (0,1).
136. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση : συν2x = 3x+2 έχει το πολύ μια ρίζα στο R.
137. Δείξτε ότι η εξίσωση : αx + βx = γx, με 0 < α < β < γ , έχει το πολύ μια
πραγματική λύση.
138. Η εξίσωση : e-x= αx, α R , έχει το πολύ 2 πραγματικές και άνισες ρίζες.
139. Η εξίσωση : 3x=
x
1
έχει ακριβώς μια ρίζα στο (0,1).
140. Να δειχθεί ότι η εξίσωση e3x + 2x = 1 έχει μοναδική ρίζα στο R.
141. Να δειχθεί ότι η εξίσωση x3+αx2+α2x-1 = 0 έχει ακριβώς μια ρίζα
για κάθε α στο R .
142. Πόσες ρίζες έχει η εξίσωση x5 + 2x – 3 = 0 ;
143. Αν η f(x) είναι παραγωγίσιμη στο [0,1] με f(1) = 5 + f(0) .
Να αποδείξετε ότι υπάρχει x0(0,1) τέτοιο ώστε : f ΄(x0) = 5.
144. Έστω f(x) παραγωγίσιμη στον R με 2f(1) = f(2).
Να δείξετε ότι η εξίσωση x·f ΄(x) - f(x) = 0 , έχει μια τουλάχιστον ρίζα
στο (1,2).

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ – ΘΕΩΡΗΜΑ Θ.Μ.Τ
145. Ασκήσεις 2 και 3 Α΄ σχολικού σελίδα 131 ,4 , 5, 6 Β΄ σελίδα 132.
146. Να αποδείξετε ότι : i ) 2 -
e
3
< ln3 <
3
e
ii ) 2 -
e
𝜋
< lnπ <
𝜋
e
147. Αν 0 < α < β <
2

, να αποδείξετε ότι :
ι )
𝛼−𝛽
𝜎𝜐𝜈2 𝛽
< 𝜀𝜑𝛼 − 𝜀𝜑𝛽 <
𝛼−𝛽
𝜎𝜐𝜈2 𝛼
ιι) σφβ<
ln(ημβ)−ln(ημα)
β−α
<σφα
148. Αν f(x) συνεχής στο [0, 3] με f(0) =2 και 3 ≤f ΄(x) ≤ 6 για κάθε
x∈(0, 3), να αποδείξετε ότι 11 ≤f(3) ≤ 20.
149. Αν f(x) συνεχής στο [α, β] με f(α) =α και 0 <f ΄(x) <1 για κάθε x∈(α, β),
να αποδείξετε ότι α <f(β) < β.
150. Αν η συνάρτηση f : R →R, είναι παραγωγίσιμη με την f ΄(x) γνησίως
αύξουσα στο R, να δειχθεί ότι f(7) + f(6) <f(5) + f(8)
151. Αν η f(x) είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο R και 2∙f(2) = f(1)+ f(3) , να δειχθεί
ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (1,3) ώστε f ΄΄(ξ) = 0.
152. Αν η f(x) παραγωγίσιμη στο [α, β] και η f ΄(x) είναι γνησίως φθίνουσα στο
[α, β] . Να δείξετε ότι : f(
2
a
) >
f(α) +f(β)
2
.
153. Αν α < β < γ , η f(x) είναι παραγωγίσιμη στο R , η f ΄(x) είναι συνεχής στο
R και f(α) <f(γ) <f(β) , να δειχθεί ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (α, γ)
τέτοιο ώστε f ΄(ξ) = 0.
154. Έστω f(x) παραγωγίσιμη στο [0,2015] με f(0)=0 και f(2015)=2015.
Να αποδειχθεί ότι :
α ) υπάρχει x0 (0,2015) τέτοιο ώστε να ισχύει :
f(x0) + x0 = 2015
β ) υπάρχουν ξ1 , ξ2  (0,2015) τέτοια ώστε : f ΄(ξ1)·f ΄(ξ2) = 1.
155. Να αποδείξετε ότι : 1 - 1ln
1
 xx
x
για κάθε x> 0.
156. Να δείξετε ότι για κάθε x>0 ισχύει , x<ex-1<x∙ex

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ – Σ.Θ.Μ.Τ
157. Ασκήσεις 1 Α΄ Ομάδας και 1 Β΄ Ομάδας σχολικού σελίδα 138-139.
158. Αν για την f(x) ισχύουν :
 f(x) ορισμένη και παραγωγίσιμη στο (- )
2
,
2

με f(0) = 2 και
 f ΄(x)συνx= f(x)(ημx+συνx) για κάθε x(- )
2
,
2

,
τότε να βρείτε τον τύπο της.
159. Βρείτε την f(x) : (0,+∞) R για την οποία ισχύει :
x2f΄(x) + 2xf(x) = x2f(x) ,για κάθε x>0 και f(1)=2.
160. Βρείτε τον τύπο της f(x) : Δ R στις περιπτώσεις :
α ) f ΄(x) = 3x2-6x+2 , xΔ και f(1) = 5
β ) f ΄΄(x) = ex – συνx , xΔ και f ΄(0) = 1 και f(0) = 3.
161. Έστω οι συναρτήσεις : f(x) , g(x) ορισμένες στον R και f(0) = g(0) και
f΄΄(x) = g΄΄(x) για κάθε xR , να αποδείξετε ότι υπάρχει σταθερά κ τέτοια
ώστε : f(x) - g(x) = κx για κάθε xR.
162. Δίνεται η f(x) : RR ώστε : f ΄(x) + 2f(x) = 0 για κάθε xR. Αν f(0)=3 ,
να βρεθεί ο τύπος της f(x).
163. Αν f(x) παραγωγίσιμη στον R με f(x) ≠ 0 για κάθε xR . Αν ισχύουν :
f(x)·f΄(x) = x και 2)(lim1

xfx
για κάθε xR, βρείτε την f(x).
164. Αν για την f :  ισχύουν : f (x) παραγωγίσιμη στο 
2x·f(x) + (x2+1)f ΄(x) = ex , για κάθε x , f (0)=1 .
Nα βρεθεί ο τύπος της f (x).
165. Δίνεται η άρτια συνάρτηση : f(x) : R*R για την οποία ισχύουν :
f(1) = 2 και x·f΄(x) = -3f(x) για κάθε x ≠ 0.
α ) να δείξετε ότι η g(x)= x3f(x) είναι σταθερή σε καθένα απ τα διαστήματα
(-∞, 0) και (0 , +∞). β ) να βρείτε τον τύπο της f(x).
166. Έστω f(x) παραγωγίσιμη στο R*R με f(2) = 2 , f(-1) = -3και f΄(x) = -
x
xf )(2
.
Να αποδειχθεί ότι : α ) για την g(x) = x2f(x) ισχύει : g΄(x) = 0 για κάθε xR*
β ) Βρείτε τον τύπο της f(x).

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ – MONOTONIA
167. Ασκήσεις 2 - 6 Α΄ Ομάδας σχολικού σελίδα 138.
168. Ασκήσεις 2 , 3 , 5 , 7 KAI 8 Β΄ Ομάδας σχολικού σελίδα 139-140.
169. Να μελετηθούν ως προς τη μονοτονία οι κάτωθι συναρτήσεις :
α ) x2-4x+5 β ) x3-3x2-9x+2 γ ) x +
x
1
δ ) x3-3x2+3x+2 ε ) x2lnx στ ) ημx-συνx-2x
ζ )
2
2
x
-x συνx + ημx η ) f(x) =







263
222
x,x
x,xx
170. Αν f(x) είναι παραγωγίσιμη στο R και f3(x) + 3f(x)+2 = 5ex,
xR , να δειχθεί ότι η f(x) είναι γνησίως αύξουσα στο R.
171. Αν f(x) = x + ln(x2+1) .
α ) να δείξετε ότι η f(x) είναι γνησίως αύξουσα
β ) να λύσετε την εξίσωση : x- 4 = ln17 – ln(x2+1)
γ ) να λύσετε την ανίσωση : x3 – x2>
1
1
ln 6
4


x
x
172. Να λυθούν οι εξισώσεις :
α ) 𝑒 𝑥3
− 𝑥3
= 1
β ** ) 𝑒 𝑥
− 𝑥2
= 1
γ ) x∙lnx = e , x > 0
δ ) 𝑒 𝑥2−1
+ 𝑥2
= 2
173. Να αποδειχθούν οι ανισότητες :
α ) x2 +3∙lnx + 2 > 3x, για κάθε x>1.
β ) Αν 0 < α < β <
2

να δειχθεί ότι :





γ ) Αν α < β < 1 , να δειχθεί ότι :
1
1




 a
ea
δ ) Να δείξετε ότι ex ≥ 1 + 𝑥 +
𝑥2
2
+
𝑥3
6
, για κάθε x∈ 𝑅.

174. Να λυθεί η ανίσωση στο R : x3> x
e 1
175. Αν η f(x) είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο [α, β] με f(α) =
f(β) , f ΄΄(x) > 0 , x[α, β] και η f ΄ είναι συνεχής στο [α, β] ,να
δειχθεί ότι f ΄(α)f ΄(β) < 0.
176. Αν η f(x) είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο [α, β] με f ΄΄(x) > 0
, x[α, β] και υπάρχει γ (α, β) ώστε f(γ) = f ΄(γ)= 0 , να δειχθεί
ότι f(x) > 0 για κάθε x ≠γ.

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ – Τοπικά Ακρότατα Συνάρτησης
Θεώρημα Φερμά
177. Ασκήσεις ΟΛΕΣ Α΄ Ομάδας σχολικού σελίδα 149-150.
178. Ασκήσεις 1 – 9 και 13 Β΄ Ομάδας σχολικού σελίδα 151-153.
179. Ερώτηση Κατανόησης 4 σελίδα 177.
180. Εξετάστε τις παρακάτω συναρτήσεις ως προς τα ακρότατα.
f(x) = x2-4x+1 , g(x) = x3+x2+3x+1 , h(x) = x +
x
1
, t(x) =
2
9 x
181. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τις συναρτήσεις :
α ) f(x) = -2x2+4x-(x-1)∙lnx β ) g(x) =
2
ln
x
x
182. Αν 2a να δειχθεί ότι η f(x) = (x2+αx+2)
x
e δεν παρουσιάζει
ακρότατα.
183. Αν f(x) = x3+αx2 – lnx, να βρεθεί ο α , αν ισχύει f(x) ≥ f(1) για κάθε x> 0.
184. Αν 0 < α ≠ 1 και xα ≤ αx για κάθε πραγματικό x , τότε α = e.
185. Αν α , β >0 με α ≠1 , β≠1 και αx + βx ≥ 2 , να δειχθεί ότι α∙β = 1.
186. Για την παραγωγίσιμη συνάρτηση f : RR , ισχύει :
(f(x))4 +(f(x))2 -2xf(x) = -x2, για κάθε x∈ 𝑅.
Να δείξετε ότι η fΔΕΝ έχει τοπικά ακρότατα.
187. Θεωρούμε τη συνάρτηση f(x) =
𝛼𝑙𝑛𝑥
√ 𝑥
, x∈ [1, 𝑒2
]. Αν η συνάρτηση έχει
μέγιστη τιμή την 2∙e-1 στο διάστημα [1,e2] , να δείξετε ότι α = 1.
188. Αν f(x) : [1,3] R και παραγωγίσιμη στο [1,3], με f(x) > 0, για κάθε x
[1,3] και τέλος f(1) +f(3) =f(2) , να δείξετε ότι υπάρχει xο(1,3) ώστε
f ΄( xο) = 0.

189. Αν f(x) = x4 +2x3 + 3x2 +14x + 5. Να δειχθεί ότι
α ) η f΄(x) έχει μοναδική ρίζα xο,
β ) η f(x) να παρουσιάζει σε αυτό δηλαδή στο xο , ΜΟΝΑΔΙΚΟ ελάχιστο.
190. Ασκήσεις 7 Γ΄ Ομάδας σχολικού σελίδα 174.
191. Ασκήσεις 9 Γ΄ Ομάδας σχολικού σελίδα 174.
192. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f: RR με f(0) = 1, για την οποία
ισχύει : 𝑒 𝑥
𝑓(𝑦) − 𝑒 𝑦
𝑓(𝑥) ≤ (𝑥 − 𝑦)2
, για κάθε x, y∈ 𝑅. Nα δείξετε ότι η
f(x) = ex , x∈ 𝑅.

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ – Κυρτότητα, Σημεία Καμπής
193. Ασκήσεις 2,3,4,5 Α΄ Ομάδας σχολικού, σελίδες 159-160.
194. Ασκήσεις 1 – 5 Β΄ Ομάδας σχολικού, σελίδες 160-161.
195. Στο διάγραμμα φαίνεται η γραφική παράσταση της f ΄, η οποία είναι
συνεχής στο [α, β] και η f(x) δυο φορές παραγωγίσιμη στο (α, β).
Χαρακτηρίστε τις
προτάσεις.
ι ) Η f ΚΥΡΤΗστο[α, β]
ιι ) Η f είναι γν. αύξουσα
στο [γ, δ].
ιιι ) Η f ΚΟΙΛΗ στο [α, ε].
ιν ) Το f(ε) είναι Τ.Ε της f(x) ν ) Το ε θέση Σ.Κ της f(x).
196. Στο διάγραμμα φαίνεται η γραφική παράσταση της f ΄, μιας τυχαίας αλλά
συνεχούς συνάρτησης f(x) : [α, β] R. Χαρακτηρίστε τις παρακάτω
προτάσεις.
ι )Η f(x) ΚΥΡΤΗ στο [α, β] ιι ) Η f(x) ΚΥΡΤΗ στο [α, γ].
ιιι ) Η f(x) έχει ΜΟΝΟ ένα κρίσιμο σημείο. ιν )f ΄΄(γ) = 0.
197. Αν η f(x) είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο (-2,2) και ισχύει για κάθε
x(-2,2) , f2(x) -2 f(x) + x2 – 3= 0 . Να δειχθεί ότι η f(x) δεν έχει Σ.Κ.

198. Στο διάγραμμα φαίνεται η γραφική παράσταση της f, μιας τυχαίας
συνάρτησης f(x) : [α, β] R. Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις.
ι ) Η f συνεχής στο [ α, β].
ιι ) Η f δεν είναι παραγωγίσιμη
στο (α,β).
ιιι ) Η f έχει δυο ακριβώς Τ.Α
ιν ) Η f ΔΕΝ έχει Σ.Κ
ν ) Για την f ισχύει το Θ. Ρολ
στο [α, β].
νι ) ΔΕΝ υπάρχει ξ στο (α,β) ώστε f ΄(ξ) = 0.
νιι ) Στο [γ, δ] ισχύει το Θ. Μπολζάνο.
199. Στο διάγραμμα φαίνεται η γραφική παράσταση της f ΄ , μιας τυχαίας
συνάρτησης f(x) με πεδίο ορισμού το [α, β]. Συμπληρώστετις παρακάτω
προτάσεις.
ι ) Η f είναι γν. φθίνουσα στο ………………………
ιι ) Στο [α, γ] η f(x) είναι ………….. και ……………
ιιι ) Η f(x) είναι ……………….. στο [δ, β].
ιν ) Το f(κ) είναι τοπικό…………….. της f(x).
ν ) Τα σημεία………… , ……………. είναι Σ.Κ της f(x).
200. Στο διάγραμμα φαίνεται η γραφική παράσταση της f ΄, μιας τυχαίας αλλά
συνεχούς και δυο φορές παραγωγίσιμης συνάρτησης f(x) στο [α, β] R.
Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις.
ι ) Η fγν. αύξουσα στο [α, γ].
ιι ) Η fγν. φθίνουσα στο [δ, ε].
ιιι ) Η f είναι ΚΥΡΤΗ στα [α,δ] , [ε,β].
ιν ) Το f(γ) είναι Τ.Μ της f(x).
ν ) Το f(ε) είναι Τ.Ε της f(x) .
νι ) Τα (δ,f(δ)) , (ε,f(ε)) είναι Σ.Κ.

201. Αν f(x) =
1
2
2
x
x
, να δειχθεί ότι έχει τρία Σ.Κ, τα οποία είναι
συνευθειακά.
202. Έστω f(x) = (x+1)∙lnx
α) Να εξεταστεί ως προς την κυρτότητα.
β ) Να βρεθεί η εφαπτομένη της f(x) στο σημείο με τετμημένη 1.
γ ) Να δειχθεί ότι : ,
x
x
xln
1
1
2
1


 x(0,1).
203. Αν f(x) :RR και κυρτή με f(xο) Τ.Α .
Να δειχθεί ότι το f(xο) είναι Ολικό Ακρότατο.
204. Αν f(x) :RR , παραγωγίσιμη με f(xο) Τ.Α .
Να δειχθεί ότι το f(xο) ΔΕΝ είναι Σημείο Καμπής.
205. Στο διάγραμμα φαίνεται η γραφική παράσταση της f: [α, β] R.
Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις.
ι ) Το f(δ) είναι Τ.Ε της f(x) . ιι ) Η f(x) είναι συνεχής στο γ.
ιιι) Το f(γ) είναι Ο.Μ της f(x) . ιν ) Στο [α, γ) η f(x) είναι ΚΥΡΤΗ.
ν ) Η f(x) έχει Ο.Ε στο [α, β]. νι )Στο [α, β] ισχύει το Θ.Ε.Τ.
νιι ) Στο [α, β] ισχύει το συμπέρασμα του Θ.Ε.Τ.
νιιι ) Το f(Α) είναι το [f(α),f(β)].

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ – Απροσδιόριστες Μορφές , Ασύμπτωτες ,
Κανόνες DLH
Απροσδιόριστες Μορφές : 0∙(±∞) , 00
)(,1,0 

206. Να υπολογιστούν τα όρια :
α ) xlnxlim
0x


β ) x2
x
exlim 

γ) x
0x
xlim 
 
, x> 0 δ ) )xe(lim 2x
x


Ασύμπτωτες
207. Ασκήσεις 1,2,3 σελίδα 167.
208. Ασκήσεις 1,2 σελίδες 167-168.
Κανόνες DLH
209. Ασκήσεις 3 και 6 σελίδα 168
210. Άσκηση 10 Γ΄ ομάδας σελίδα 174.
211. Ερώτηση Κατανόησης 2 σελίδα 181.
Σ-Λ Κεφαλαίου 2 (Στα Λάθος, δώστε Αντιπαράδειγμα)
Ι )Αν η f(x) είναι παραγωγίσιμη στο xο , τότε η f ΄(x) είναι πάντοτε συνεχής στο xο .
ΙΙ)Αν η f(x) δεν είναι συνεχής στο xο, τότε η f(x) είναι παραγωγίσιμη στο xο.
ΙΙΙ ) Αν η f(x) είναι συνεχής στο [α,β] , παραγωγίσιμη στο (α, β) και στο xο (α, β)
ισχύει f ΄( xο) = 0 , τότε το xο είναι θέση τοπικού ακροτάτου της f(x).
IV )Αν η f(x) ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος του Rolle στο [α, β] , τότε η
f(x) δεν είναι «1-1».
V )Αν η ευθεία x = xο είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης μιας f(x)
, τότε η ευθεία x = xο δεν τέμνει τη γραφική παράσταση της f(x).
VI )Οι πολυωνυμικές συναρτήσεις βαθμού ≥ 2 δεν έχουν ασύμπτωτες.

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Κεφαλαίου 2
ΘΕΜΑ Β
Β1. Έστω η συνάρτηση f(x) = lnx +x2 – 1 , x > 0. Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 0 και
να βρεθεί το πρόσημο της f(x).
Β2. Θεωρούμε τη συνάρτηση g(x) = lnx , x > 0.
ι ) Να βρεθεί το σημείο Α της Cg το οποίο απέχει τη μικρότερη απόσταση
απ το Β(0,1). Ποια είναι η απόσταση αυτή ;
ιι ) Να δειχθεί ότι η ευθεία ΑΒ είναι κάθετη στην εφαπτομένη της Cg στο
Α.
ΘΕΜΑ Β
Δίνεται η f : R →R για την οποία ισχύει : f(1- lnx) = 1 – x – lnx , x >0.
Β1. Να δείξετε ότι f(x) = x – e1-x , x ∈ 𝑅.
B2. Να δειχθεί ότι η f(x) είναι γνησίως αύξουσα στο 𝑅.
Β3. Να βρεθεί το πρόσημο της f(x).
Β4. Να εξετάσετε την f(x) ως προς τις ασύμπτωτες.
Β5. Να μελετηθεί η g(x) =
1
3
x3 +(x+1)e1-x ως προς τη μονοτονία και τα
ακρότατα.
ΘΕΜΑ Γ
Για την παραγωγίσιμη συνάρτηση f : R →R με την f ΄(x) γνησίως μονότονη στο R
ισχύουν : f(0) = 0 και f(x) + f(2-x) = 2x2 - 4x + 4 , x ∈ 𝑅.
Γ1. Να δείξετε ότι η f ΄(x) είναι γνησίως αύξουσα στο 𝑅.
Γ2. Να δείξετε ότι υπάρχει xο ∈(0,2) ώστε f(xο) = 2.
Γ3. Να δειχθεί ότι υπάρχουν x1 , x2 ∈(0,2) τέτοια ώστε
1
f΄(x1)
+
1
f΄(x2)
= 1
Γ4. Να αποδειχθεί ότι xο > 1 .

ΘΕΜΑ Δ
Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : R →R με σύνολο τιμών το 𝑅 και
f ΄(x) ≠ 0 για κάθε x ∈ 𝑅.
Ορίζουμε την g(x) =
f(x)
f΄(x)
, x ∈ 𝑅.
Δ1. Να αποδείξετε ότι η f(x) αντιστρέφεται .
Δ2. Αν η γραφική παράσταση της f -1(x) διέρχεται απ τα σημεία (9,2) και (4,3) ,
ι ) τότε να λυθεί η εξίσωση : f-1(5+ f(x2-1) ) = 2
ιι ) να δειχθεί ότι υπάρχει ξ ∈ (2,3) ώστε 2g(ξ) + ξ = 0
Δ3. Αν η f ΄(x) είναι συνεχής και η Cg τέμνει τον x΄x στο Μ(xο,0) , τότε να δείξετε
ότι η εφαπτομένη της Cg στο Μ σχηματίζει με τον x΄x γωνία ίση με
𝜋
4
.

ΠΙΝΑΚΑΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ Ι
∫ 𝑐𝑑𝑥 = [𝑐𝑥] 𝑎
𝛽
=
𝛽
𝛼
𝑐 ∙β-c∙α ∫
1
x
𝑑𝑥
𝛽
𝛼
= [𝑙𝑛|x|] 𝑎
𝛽
, α∙β>0
∫ ημx𝑑𝑥 = [−𝜎𝜐𝜈x]α
β
𝛽
𝛼
∫ συνx𝑑𝑥 = [𝜂𝜇x]α
β
𝛽
𝛼
∫ xκ
𝑑𝑥 = [
xκ+1
𝜅+1
]α
β𝛽
𝛼
, κ≠-1 ∫ 𝑒 𝑥
𝑑𝑥 = [𝑒 𝑥
]α
β
𝛽
𝛼
∫ 𝑎 𝑥
𝑑𝑥 = [
𝑎 𝑥
𝑙𝑛𝑎
]κ
λ𝜆
𝑘
, α>0 ∫
1
𝜎𝜐𝜈2x
𝑑𝑥 = [𝜀𝜑x]α
β
𝛽
𝛼
∫
1
𝜂𝜇2x
𝑑𝑥 = [−𝜎𝜑x]α
β
𝛽
𝛼
∫
1
√x
𝑑𝑥 = [2√x]α
β
𝛽
𝛼
ΠΙΝΑΚΑΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ ΙΙ
∫ 𝜈fν−1
(x) 𝑓΄(𝑥)𝑑𝑥 = [fν
(x) ] 𝑎
𝛽
𝛽
𝛼
∫
𝑓΄(𝑥)
f(x)
𝑑𝑥
𝛽
𝛼
= [𝑙𝑛|f(x)|] 𝑎
𝛽
∫ ημf(x)𝑓΄(𝑥)𝑑𝑥 = [−𝜎𝜐𝜈𝑓(x)]α
β
𝛽
𝛼
∫ συνf(x)𝑓΄(𝑥)𝑑𝑥 = [𝜂𝜇𝑓(x)]α
β
𝛽
𝛼
∫
𝑓΄(𝑥)
f2(x)
𝑑𝑥 = [−
1
f(x)
]α
β
𝛽
𝛼
∫ 𝑒 𝑓(𝑥)
𝑓΄(𝑥)𝑑𝑥 = [𝑒 𝑓(𝑥)
]α
β
𝛽
𝛼
∫ 𝑎 𝑓(𝑥)
∙ 𝑓΄(𝑥)𝑑𝑥 = [
𝑎 𝑓(𝑥)
𝑙𝑛𝑎
]κ
λ𝜆
𝑘
, 0<α≠1
∫
𝑓΄(𝑥)
𝜎𝜐𝜈2f(x)
𝑑𝑥 = [𝜀𝜑𝑓(x)]α
β
𝛽
𝛼
∫
𝑓΄(𝑥)
𝜂𝜇2f(x)
𝑑𝑥 = [−𝜎𝜑f(x) ]α
β
𝛽
𝛼
∫
𝑓΄(𝑥)
2√f(x)
𝑑𝑥 = [√𝑓(𝑥)]α
β
𝛽
𝛼

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ – Ολοκληρώματα
212. Βρείτε τις παράγουσες των συναρτήσεων :
α ) f(x) = 0x,
x
1
1x3x8 23
 β ) g(x) = x∙ex + ex
γ ) h(x) =
𝑒 𝑥(𝑥−1)
𝑥2
, 𝑥 > 0 δ ) k(x) =
𝑙𝑛𝑥−1
𝑙𝑛2 𝑥
, 𝑥 > 1
ε ) ρ(x) =
2𝑥−𝑥2
𝑒 𝑥
, x∈ 𝑅
213. Nα βρείτε την παράγουσα F(x) της f(x) = 4x-5 – 3x∙
2
x
e ,όταν F(-1)=F(2) = 0
214. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f(x) : RR , για την οποία ισχύει f(2) = 1.
Να αποδείξετε ότι :
α ) 0)9)(6)((
3
1
2
 dxxfxf β )   
3
1
3
1
2
8)(4)( dxxfdxxf
215. Να αποδείξετε ότι :
α )
2
2
1


x
x , για κάθε x≥ -1 , β )
8
9
1
1
0
3
 dxx
216. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f(x) : [1,3]R , για την οποία ισχύει :
  
3
1
3
1
2
786 dx)x(xfdx)x(f
α ) Να αποδειχθεί ότι : 789
3
1
2
 dxx
β ) Να βρεθεί ο τύπος της f(x)
217. Να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα :
i )∫ 𝑒−𝑥
∙ 𝑥2
𝑑𝑥
1
0
ii ) ∫ 𝑙𝑛𝑥 ∙ 𝑥3
𝑑𝑥
𝑒
1
iii ) ∫
𝑙𝑛𝑥
𝑥2
𝑑𝑥
𝑒
1
218. Να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα με αντικατάσταση.
α ) ∫ 𝜎𝜐𝜈𝑥 ∙ 𝑒 𝜂𝜇𝑥
𝑑𝑥
𝜋
2
0
β ) 
6
0
3

 xdx γ )  
1
0
12 dx)xln(
δ )  
2
0
3

 xdxx ε ) ∫
𝑒 𝑥
𝑒 𝑥+1
𝑑𝑥
1
0
στ ) ∫
𝑥2
√𝑥3+2
𝑑𝑥
1
0
ζ ) ∫ 𝜂𝜇(𝑒 𝑥
) ∙ 𝑒 𝑥
𝑑𝑥
1
0

219. Να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα :
α ) 

2
0



dx
xx
x
β ) 
 
2
2
2
2
4
dx
x
xx 
220. Έστω οι συνεχείς συναρτήσεις f , g στο R. Αν η f είναι άρτια στο R και η g
περιττή στο R,
ι ) να δειχθεί ότι :  

aa
a
)x(g
dx)x(fdx
e
)x(f
01
ιι ) Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα : 


2
2
1
5




dx
e
x
x
221. Αν  
2
1
2
3
5
)( dxxf , να δειχθεί ότι  
2
1
2)( dxxxf
222. Αν 1 ≤f(x) ≤3 για κάθε x στο [0,1] και 
1
0
dx)x(f = 2 , να δειχθεί ότι
α )  
1
0
2
5)( dxxf β )  
1
0
3
2
)(
1
dx
xf
223. Να αποδειχθούν :
α )  
2
1
2
3
20
)32ln( dxx β ) edxex
 
1
0
2
3
4
224. Να αποδειχθεί ότι  
4
2
8)
ln
4
(ln dx
x
x
225. α ) Να δειχθεί ότι η f(x) =
x
ex
είναι κυρτή στο (0,+∞)
β ) Να βρεθεί η εφαπτομένη της f(x) στο (2 , f(2))
γ ) Να δειχθεί ότι 2
3
1
)( edxxf 
226. Δείξτε ότι :   

2008
0
2008
0
2
1ln dx
x
x
dxx
227. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την
γραφική παράσταση της f(x) = x2 - 3x και τον xx΄. [άσκηση 3 Α΄ σχολικού]
228. Να υπολογιστεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την
f(x) = x3-2x2-x+2 και τον xx΄.

229. Να υπολογιστεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από
την f(x) = -x2 + 4x – 3, και τον xx΄ .
230. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ln(x+2). Να βρεθεί το εμβαδόν του
χωρίου που περικλείεται απ την γραφική παράσταση της f(x) ,
τον xx΄ και την ευθεία x= 1.
τις f(x) =ex , g (x) = 1-x και τις ευθείες x = -1 , x = 1.
τις f(x) = x3 , g (x) = 2x - x2 [άσκηση 4 Α΄ σχολικού]
την f(x) = x3+x και την g(x) = x2+3x.
τις f(x) =√x − 1 , g (x) =
𝑥+1
3
[άσκηση 4 B΄ σχολικού]
235. Έστω , f : [0,2π] R .Να υπολογιστεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται
μεταξύ των f(x) =x - συνx και f-1.
236. Δίνεται η f(x) = lnx – e1-x .
α ) Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία – κυρτότητα.
β ) Να βρεθεί η εφαπτομένη (ε) της f(x) στο Μ(1, f(1)).
γ ) Να υπολογιστεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf την (ε)
και την ευθεία x = 2.
δ ) Αν Ε(λ) το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από Cf τον xx΄ και τις
ευθείες x = 1 και x = λ , όπου 0 < λ < 1 , να βρεθεί το )(Elim 
 
 0
Ενότητα : Σωστά Λάθος - Διαφορικού & Ολοκληρωτικού Λογισμού
1. Αν η f(x) είναι παραγωγίσιμη στο xο , τότε η f΄(x) είναι πάντοτε
συνεχής στο xο .
2. Αν η f(x) δεν είναι συνεχής στο xο, τότε η f(x) είναι παραγωγίσιμη στο xο.
3. Αν η f(x) έχει δεύτερη παράγωγο στο xο , τότε η f΄(x) είναι
συνεχής στο xο.

4. Η συνάρτηση f : (α,β) R που είναι συνεχής στο (α, β)
μπορεί να έχει τοπικό ακρότατο στο xο(α,β) μόνο αν είναι f΄(xο) = 0.
5. Αν είναι f΄(x) ≥ 0 στο Δ=(α, β) αλλά όχι f΄(x) >0 σε όλο το Δ , τότε
η f(x) δεν μπορεί να είναι γνησίως αύξουσα στο Δ.
6. Αν είναι f΄(x) < 0 στο διάστημα Δ=(α, β) ,τότε η f(x) μπορεί να έχει τοπικό
ακρότατο στο xοΔ.
7. Αν η f(x) είναι συνεχής στο [α, β] , παραγωγίσιμη στο (α, β) και
στο xο (α, β) ισχύει f΄(xο) = 0 , τότε το xο είναι θέση τοπικού
ακροτάτου της f(x).
8. Αν η f(x) είναι παραγωγίσιμη στο [α, β] και έχει στο xο [α, β]
τοπικό ακρότατο , τότε είναι πάντοτε f΄(xο) = 0 .
9. Αν η f : [α, β] R είναι συνεχής στο xο κρίσιμο σημείο της f(x)
και η f(x) παρουσιάζει στο xο τοπικό ακρότατο , τότε είναι και f΄(xο) = 0.
10. Αν μια συνάρτηση f(x) είναι γνησίως αύξουσα στο Δ και παραγωγίσιμη σε
αυτό , τότε f΄(x) > 0 για κάθε x στο Δ.
11. Αν f΄(x) > 0 για κάθε xR τότε τα σημεία (1,2) , (2,-4) ανήκουν και τα δυο
στη γραφική παράσταση της f(x).
12. Αν f(x) παραγωγίσιμη με συνεχή παράγωγο σε ένα διάστημα Δ και ισχύει
f΄(x) ≠ 0 για κάθε χ στο Δ , τότε η f(x) είναι γν.μονότονη στο Δ.
13. Αν η f(x) είναι δυο φορές παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και για το σημείο
xοΔ ισχύει : f ΄΄( xο) = 0 , τότε το σημείο (xο, f(xο))είναι σ.κ της f(x).
14. Αν μια f(x) είναι δυο φορές παραγωγίσιμη και κυρτή σε ένα διάστημα Δ ,
τότε ισχύει : f΄΄(x) > 0 για κάθε x Δ.
15. Έστω μια συνάρτηση f(x) παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α,β) , με εξαίρεση
ίσως ένα σημείο χο . Αν η f΄(x) διατηρεί στο (α, xο)( xο , β) , τότε το f(xο)
δεν είναι τοπικό ακρότατο.
16. Αν η f(x) είναι δυο φορές παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και ισχύει

f΄΄(x) > 0 για κάθε χΔ , τότε η f(x) είναι κοίλη στο Δ.
17. Αν η f(x) ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος του Rolle σε ένα
διάστημα [α,β] , τότε η f(x) δεν είναι «1-1».
18. Αν η ευθεία x = xο είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης
μιας f(x) , τότε η ευθεία x = xο δεν τέμνει τη γραφική παράσταση της f(x).
19.
Ισχύει  


a
)a(ccdx για κάθε α, βR και για κάθε πραγματική
σταθερά c.
20. Αν f ΄(x) , g΄(x) είναι συνεχείς στο [α,β] , τότε ισχύει πάντοτε
  
 
a aa
dx)x(gdx)x(fdx)x(g)x(f
21. Για κάθε συνάρτηση f(x) η οποία είναι συνεχής στο [α, β] το ολοκλήρωμα


a
dx)x(f παριστάνει εμβαδόν.
22. Αν g(x) , f(x) είναι συνεχείς στο [α, β] με f(x)≥ g(x) για κάθε
x[α, β] και η f(x) δεν είναι παντού ίση με την g(x) στο [α, β], τότε


a
dx)x(f > 

a
dx)x(g .
23. Αν για τη συνεχή συνάρτηση fστο Δ (διάστημα) ισχύει f(x) > 0 για κάθε
xστο Δ και α, β Δ , τότε 

a
dx)x(f < 0.
24.
Αν η f(x) είναι συνεχής στο [α, β] με 

a
dx)x(f ≥0 , τότε κατ’ ανάγκην θα
είναι f(x)≥0 για κάθε x[α, β].
25. Αν η f(x) είναι συνεχής στο [α, β] και για κάθε x[α, β] ισχύει f(x)≥0 και η
συνάρτηση f(x) δεν είναι παντού μηδέν στο [α, β] , τότε κατ’ ανάγκην είναι


a
dx)x(f > 0.
26. Αν η f(x) είναι συνεχής στο Δ και α, β, γ Δ , τότε ισχύει :


a
dx)x(f = 

a
dx)x(f + 


dx)x(f .

27. Αν η f(x) είναι συνεχής στο [α, β] τότε υπάρχει πάντοτε το ολοκλήρωμα


a
dx)x(f και είναι πραγματικός αριθμός.
28.
Ισχύει 

a
dx)x(f = - 
a
dx)x(f

.
29. Κάθε συνεχής συνάρτηση f(x) σε ένα διάστημα Δ , έχει παράγουσα στο Δ.
30. Αν g(x) , f(x) είναι συνεχείς στο [α, β] με f(x)≥ g(x) για κάθε
x[α, β] τότε 

a
dx)x(f < 

a
dx)x(g .
31. Αν η f(x) είναι συνεχής στο Rμε f(x) > 0 για κάθε xR , τότε
 

a
dx)x(f 0  α = β
32. Αν η συνάρτηση f(x) είναι συνεχής στο [α, β] , τότε ισχύει
( 

a
dx)x(f )΄ = 0.
ΠΗΓΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ
[1] Σχολικό Βιβλίο Γ΄ Λυκείου, Έκδοση 2016.
[2] Μαθηματικά Γ1 και Γ2 , Βασίλης Παπαδάκης , Εκδόσεις Σαββάλας, 2013.
[3] Θέματα Μαθηματικών , Γιάννης Μπαϊλάκης , Εκδόσεις Σαββάλας, 2006.
[4] Επανάληψη στα Μαθηματικά , Γιάννης Καραγιάννης , Σχολικός Σύμβουλος
Μαθηματικών , Έκδοση 3η , 2017.
[5] Διαχείριση Διδακτέας-Εξεταστέας Ύλης, Υπουργείο Παιδείας, σχολικό έτος 17-18 ,
19-20.
[6] Μαθηματικά Γ , Ν.Ζανταρίδης, Κ.Τηλέγραφος, Κ.Αθανασιάδης, Π.Παντουλάς
,Εκδόσεις Ζανταρίδης– Τηλέγραφος, 2017 και 2019.
[7] Αναλύοντας την Ανάλυση , Γιώργος Τσαπακίδης , ΕκδόσειςΜαυρίδη , Θες/νίκη 2017.
[8] Μαθηματικά 1,2,3 Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης, Κώστας Γκατζούλης ,
Εκδόσεις Γκατζούλη , 2004.
[9] Βιντεομαθήματα , Νίκος Ιωσηφίδης , https://www.youtube.com/user/iossifid ,
2017-2018.

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΛΥΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ ΓΕΛ (ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ) 2020

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΛΥΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ ΓΕΛ (ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ) 2020

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΛΥΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ ΓΕΛ (ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ) 2020

Similar to ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΛΥΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ ΓΕΛ (ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ) 2020 (20)

More from General Lyceum "Menelaos Lountemis"

More from General Lyceum "Menelaos Lountemis" (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (13)

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΛΥΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ ΓΕΛ (ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ) 2020