Teachers book c class 2018

x1]
ΕΝΟΤΗΤΑ : 10 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
Να προηγηθεί μια επανάληψη στις Απόλυτες τιμές
1. ι ) Να γράψετε τις παρακάτω παραστάσεις χωρίς το σύμβολο της απόλυτης
τιμής για τις διάφορες τιμές του x :
A = 1-x Β = 1-x + 2+x Γ = 12
-- x
ιι ) Να συμπληρωθούν οι ανισότητες :
..........x £hm ..........x £sun ..........xx £+hm
2. Να αποδειχθούν οι ανισότητες :
ι ) α2 + β2 ≥ 2αβ ιι ) α + β ≥ 2 b×a
ιιι ) 4α2 +1 ≥ 4α ιν ) 2(α2+β2) ≥(α2+β2)
Να προηγηθεί μια επανάληψη στις πολυωνυμικές εξισώσεις και στην εξίσωση : xν = α
3. Να λυθούν οι πολυωνυμικές εξισώσεις :
α ) x3 = - 8 β ) x4 = -16 γ ) (x+1)3 +1 = 0
δ ) x2 - 3x = 0 ε ) 2x2+4 = 0 στ ) x3-3x2+ x + 2 = 0
ζ ) x3 – 7 x + 6= 0 η ) 7(3 x+2)2(1- x)2 – (3 x+2)(1- x)3 = 0
Να προηγηθεί μια επανάληψη στις εκθετικές – λογαριθμικές-τριγωνομετρικές και εξισώσεις με ριζικά
4. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις :
α ) 253 =-x β ) xx =+ 2 γ ) ημx =
2
1
δ ) 1 + 0
8
3
=
x
ε )
3
4
2
+
=+
x
x
στ ) x3 - 3x2+4 = 0 ζ ) 2x =
32
1
η ) 52
=-x
e
θ ) lnx = -1 ι ) ln(x-1) = 0 ια ) ln(lnx) = 0
5. Να βρεθεί το πρόσημο της παράστασης Κ για τις διάφορες τιμές του x.
Κ = x3(x+2)( x2-2x+4)

x2]
6. Να λυθούν οι ανισώσεις :
α ) 521 >- x β ) 13 <-x γ ) x4 < x2
δ ) 0
1
12
>
-
+
x
x
ε ) 112
<-x
e στ ) 31
<-x
e
ζ ) lnx > 0 η ) lnx < 1 θ ) ln(x-2)< lnx2
7. Να υπολογιστούν τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων :
α )
x1
x4
-
-
β ) )
x1
x1
ln(
+
-
γ ) FelnE x
1-
8. Να γίνουν, στο πρόχειρο σας , οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων :
α ) x
e-
β ) ln(x-1) γ ) 3συνx - 1 δ ) x
9. Δίνεται το τετράγωνο ΑΒΓΔ πλευράς 2 εκ. Αν το ΕΖΗΘ είναι τετράγωνο ,
α ) να εκφράσετε ως συνάρτηση του x την
πλευρά ΕΖ του ΕΖΗΘ.
β ) Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του
τετραγώνου ΕΖΗΘ δίνεται από τη συνάρτηση
f (x) = 2x2 - 4x + 4 , 0 ≤ x ≤ 2.
10. Έστω ορθογώνιο ΑΒΓΔ με διαστάσεις x , y . Το εμβαδόν του είναι 900 m2.
Να αποδείξετε ότι η περίμετρος του δίνεται απ τη σχέση Π(x)= +
x
1800
2x ,
όπου x>0.
11. Η περίμετρος ενός ορθογωνίου ΑΒΓΔ είναι ίση με 120m.
Nα αποδείξετε ότι το εμβαδόν του δίνεται απ τη σχέση Ε(x) = 60x-x2
, 0 < x < 60.

qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq
σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn
mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι
qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj
klzxcvλοπbnαmqwertyuiopasdfghjklz
xcvbnmσγqwφertyuioσδφpγρaηsόρ
ωυdfghjργklαzxcvbnβφδγωmζqwert
λκοθξyuiύασφdfghjklzxcvbnmqwerty
uiopaβsdfghjklzxcεrυtγyεuνiιoαpasdf
ghjklzxcηvbnασφδmqwertασδyuiopa
sdfασδφγθμκxcvυξσφbnmσφγqwθeξ
τσδφrtyuφγςοιopaασδφsdfghjklzxcv
ασδφbnγμ,mqwertyuiopasdfgασργκο
ϊτbnmqwertyσδφγuiopasσδφγdfghjk
lzxσδδγσφγcvbnmqwertyuioβκσλπp
asdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdγαε
ορlzxcvbnmqwertyuiopasdfghjkαεργ
=
=
=
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ΄
ΛΥΚΕΙΟΥ
ΦΥΛΛΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ - Βιβλίο Εκπαιδευτικού
ΣΧΟΛΙΚΑ ΕΤΗ 17-18H 18-19
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Ιορδάνη Κοσόγλου Msc μαθηματικού
http:IIblogs.sch.grIiorTaniskos
=

ΓΕ.Λ ΕΞΑΠΛΑΤΑΝΟΥ ΦΥΛΛΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
Επιμέλεια 9 Κοσόγλου Ιορδάνη
gsso9..aknfr-rbg-fq.hnqc`mhrjnr
x2]=
=
ΕΝΟΤΗΤΑ 9 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ : ΓΡ.ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
§= Η θεωρία αυτής της ενότητας βρίσκεται στις σελίδες 03;11-
§= Προτείνεται να λυθούν κατά προτεραιότητα οι παρακάτω ασκήσεις του
σχολικού βιβλίου 0 • 2 : 4 : 5 σελίδας 16-
§= Για περισσότερη εξάσκηση: να λυθούν και οι παρακάτω ασκήσεις-
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
0- Δίνονται οι συναρτήσεις : e{w| < w1 • 2w : f { w| < xx 32 - : g{w| < w+4-
α | να βρεθούν τα σημεία τομής των e{w| και f { w|-
β | να υπολογιστούν τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της e{w|
είναι κάτω από την g{w|-
1- Να βρεθούν τα σημεία τομής της παρακάτω συνάρτησης με τους άξονες :
e{w| <
1
1243 23
+
+--
x
xxx
2- Δίνεται η συνάρτηση e{w| <
x
aFxlnE
-
++
7
3
α | υπολογίστε το πεδίο ορισμού της-
β | βρείτε την τιμή του πραγματικού α : αν η e{w| διέρχεται από το Μ{;1:3|-
3- Εξετάστε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι άρτιες και ποιες
περιττές-
e{w| <
xx
xx
9
3
3
2
-
+
:
2
25 x
x
FxEg
-
=
sun
4- Δίνεται η συνάρτηση e{w| <
î
í
ì
>-
£
11
1
xFIxlnE
xIex
-
α | Mα γίνει η γραφική της παράσταση-
β| Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης e{w| < α : για τις
διάφορες τιμές του πραγματικού α-
5- Να βρεθούν τα σύνολα τιμών των συναρτήσεων 9
α | e{w| <
3
2
+- x
x
β | e{w| < 2kmw;0 γ | e{w|< 342
--x
e
δ | e{w| < w1 + 3w + 4-

x3]=
=
6- Δίνεται η συνάρτηση e{w| 9 QàQ : όπου
7022522 2
-+-=--- xxFxEfFxEf για κάθε oxÎ
α | Να δειχθεί ότι 9 e{w| ; 1e{2;w| < ;w1 +07w ;2/ : για κάθε oxÎ
β | Mα βρεθεί ο τύπος της e{w|-
7- Να βρεθεί η συνάρτηση e{w| 9 QàQ : για την οποία ισχύει 9
1222 -=++- xFxEfFxEf {0| : για κάθε oxÎ -
8- Δίνεται η συνάρτηση e 9 QàQ για την οποία ισχύει
1e{; w| + e{w| < αd;w + dw • w : για κάθε w oÎ και α oÎ - Αν η γραφική
παράσταση της e{w| τέμνει τον άξονα x΄x στο 0 -
α | Να βρεθεί ο αριθμός α-
β | Να βρεθεί ο τύπος της e{w|-
0/- Δίνεται η συνάρτηση e 9 {/: +∞|à Q : για την οποία ισχύουν
e{0| + e{d| < 1d+2 και e{w| ; e{x| < km
y
x
+1{w;x| : w : xÎ {/: +∞|-
α | Να βρεθούν τα e{0| και e{d|-
β | Να βρεθεί ο τύπος της e{w|-
00- Δίνεται η συνάρτηση 9 34 --= xFxEf -
α | να βρεθεί το πεδίο ορισμού της:
β | να υπολογιστεί το σύνολο τιμών της-
01- Δίνεται η e{w| < kmw-
α | Να βρείτε τη συνάρτηση που εκφράζει την απόσταση του Α{/:1| από την
Be-
β | Να βρείτε τη συνάρτηση που εκφράζει την απόσταση τυχαίου σημείου
της e{w| από την ευθεία x < w-
γ | Να βρείτε τη συνάρτηση που εκφράζει την κατακόρυφη απόσταση των
γραφικών παραστάσεων e{w| : f{w| : όπου f{w| < w : oxÎ -

x4]=
=
ΕΝΟΤΗΤΑ 9 ΙΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ • ΠΡΑΞΕΙΣ με ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
σχολικού βιβλίου 6 • 01 σελίδας 17 και 0;7 Β΄ ομάδας σελίδων 18;2/ και
η Ερώτηση Κατανόησης 0 στο τέλος του Κεφαλαίου-
§= Για περισσότερη εξάσκηση: να λυθούν οι παρακάτω ασκήσεις-
§= Δυο συναρτήσεις e{w| : f {w| είναι ίσες αν 9
o= Έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α
o= Για κάθε wÎ@ ισχύει e{w|< f{w|
§= Προσοχή ! Είναι οι συναρτήσεις e{w|< w1 : f{w|< w3 ίσες στο Α < z;0:/:0|
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
02- Δίνονται οι συναρτήσεις : e{w| <
x
FxlnE
-
+
4
3
: f { w| <
x
FxlnE
-
-
4
1
: ορίστε
τις συναρτήσεις e{w| + f { w| : e{w|∙f {w| : e{w| . f { w|-
03- Δίνονται οι συναρτήσεις : e{w| <
2
25 x- : f { w| < 3-x -
Να ορίσετε τις συναρτήσεις 9 e of : foe : e oe
04- Να ορίσετε την συνάρτηση 9 e of : αν
e{w| <
î
í
ì
<£-
<<-
634
303
xIx
xIx
: f { w| <
î
í
ì
<<-
££-
845
412
xIx
xIx
05- Δίνεται {e of| {w| < 1w;0 και : f { w| <
1
23
+
-
x
x
: να βρεθεί ο τύπος της
e{w|-
06- Δίνεται {e of| {w| < 2w1;5w+0/ και e{w| < 2w+0 : να βρεθεί ο τύπος της
f {w|-
07- Αν e{km1w| <w +2 : w = / : να βρεθεί η e{w|-

xR]=
=
08- Αν e{w| < 0+χ και f{e{w|| < 0;χ1 : βρείτε τις f{w| και e{f{w||-
1/- Αν f{e{w|| <
x1
x1
-
+
και e{w| < kmw : βρείτε την f{w|-
10- Δίνεται η f{e{w|| < 2w+1 και η f{w| <
1x
1x
-
+
: υπολογίστε την e{w|-
11- Μια συνάρτηση e9 {/: +∞| à Q : έχει την ιδιότητα
e{
e
x
)≤ kmw ≤ e{w|;0 : για κάθε w = /-
α | Να προσδιοριστεί ο τύπος της e{w| -
β | Να γίνει η γραφική παράσταση της e{w| -
γ | Να βρεθούν τα σημεία τομής της e{w| με τον άξονα w΄w-
12- Δίνονται οι συναρτήσεις e{w| <
ae
e
x
x
+
και f{w| < km{w+β| : όπου
α: β oÎ - Η γραφική παράσταση της e τέμνει τον x΄x στο
2
1
- και η γραφική
παράσταση της f τέμνει τον w΄w στο 1-
α | Να βρεθούν οι αριθμοί α και β-
β | Να ορίσετε την συνάρτηση e go -
γ | Να βρεθούν τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της e go με τη
γραφική παράσταση της g{w| <
4
x-
-
13- Δίνεται η συνάρτηση e 9 Q*àQ και η f{w| <
x
x
ln
-
+
2
2
α | Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της e of-
β | Να βρεθεί συνάρτηση g για την οποία να ισχύει 9 {g of|{w| < w-
γ | Να αποδειχθεί ότι η g{w| είναι περιττή-

x6]=
=
ΕΝΟΤΗΤΑ 9 ª0;0º : ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ: ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
§= Η θεωρία αυτής της ενότητας βρίσκεται στις σελίδες 2/;27-
σχολικού βιβλίου 0 • 3 σελίδων 27;28-
Σημαντικές παρατηρήσεις στη Θεωρία
α | Προφανές ότι αν ψ Îe{Α| και η e{w| ª0;0º : τότε η εξίσωση ψ < e{w| έχει
μοναδική λύση ως προς w-
β | Αν η e{w| είναι ª0;0º: δεν σημαίνει ότι η e{w| είναι γνησίως μονότονη-
Π- χ e{w| <
î
í
ì
-<<-+
££-
123
01
xIx
xIx
: είναι 0;0 στο πεδίο ορισμού της : επίσης είναι γν-
αύξουσα σε καθένα απ τα διαστήματα αλλά στην ένωση τίποτα-
γ | Αν η e{w| ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ª0;0º : τότε η e{w| ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ γνησίως μονότονη-
δ | Αν e{w| είναι γνησίως αύξουσα : τότε η e;0{w| είναι γνησίως αύξουσα στο e{Α|-
Ομοίως αν η e{w| είναι γνησίως φθίνουσα : τότε η e;0{w| είναι γνησίως φθίνουσα-
Τα παραπάνω ισχύουν ΠΑΝΤΑ υπό την προϋπόθεση ότι το e{@| είναι διάστημα-
ΑΠΟΔΕΙΞΗ
Έστω μια γνησίως αύξουσα e{w| στο Α- Και ψ0 : ψ1Îe{Α| : με ψ0 ; ψ1 -
Υποθέτω ότι η e;0{w| δεν είναι γνησίως αύξουσα : τότε 9
ψ0 ; ψ1 Þ e;0(ψ0| ³ e;0(ψ1| Þ e{e;0(ψ0|| ³ e{e;0(ψ1|| διότι η e{w| γνησίως
αύξουσα : άρα προκύπτει ψ0 ³ ψ1 Άτοπο από υπόθεση- Άρα η e;0{w| είναι γνησίως αύξουσα-
Ομοίως αποδεικνύεται και το άλλο-
ε | Αν θέλουμε να βρούμε τα κοινά σημεία των e;0{w| : e{w| : τότε λύνουμε το
(Σ| 9
î
í
ì
=
=
-
)x(fy
)x(fy
1
: το οποίο είναι ισοδυναμεί με τα συστήματα 9
(Σ0| 9
î
í
ì
=
=
)y(fx
)x(fy
:όταν ξέρω την e{w| και το {Σ1| 9
î
í
ì
=
=
-
-
)x(fy
)y(fx
1
1
: όταν ξέρω την e;0{w|
στ | Αν η e{w| είναι γνησίως αύξουσα : τότε e{w| < e;0{w| Û w < e{w|

x7]=
=
ΑΠΟΔΕΙΞΗ
{ Þ | Έστω ότι e{w| = w Þ e;0{e{w|| =e;0(χ| Þ w =e{w| Άτοπο : ομοίως αν θεωρήσω ότι e{w| ; w θα
καταλήξω σε άτοπο : άρα e{w| < w-
{ Ü | Αν e{w| < w Þ w < e;0{w| < e{w| -
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
14- Είναι η g{w| <
1
32
+
-
x
x
: συνάρτηση 0;0 : ΥΠΟΔΕΙΞΗ με το λ
15- Έστω e{w| 9 QàQ : και {e oe|{w| ; e{w| < 1 w ;3 : για κάθε oxÎ -
α | να δειχθεί ότι η e{w| είναι 0;0-
β | να υπολογιστεί η τιμή e{1|-
γ | να λυθεί η εξίσωση 9 e{3 ; e{w1+ w|| • 1 < /-
16- Δίνεται e{w| < 2 + dw;1 :
α | είναι 0;0 :
β | να βρεθεί ο τύπος της e;0{w|-
17- Ισχύει e2{w| + 2e{w| + w • 1 < / : για κάθε oxÎ -
α | είναι η e{w| 0;0 : β | να βρεθεί η e;0{w|-
ΛΥΣΗ
α |
Έστω w0 : w1 ÎQ με e{w0| < e{w1| Þ 2e{w0| < 2e{w1| {0|
e{w0| < e{w1| Þ e2{w0| < e2{w1| {1|
Προσθέτω {0| και {1| και : e2{w0| + 2e{w0| < e2{w1| + 2e{w1| Þ
1; w0 < 1 • w1 Þ w0 < w1 : άρα 0;0-
β | Θεωρώ τη συνάρτηση f{w| < 1 • w2 ; 2w : w Î Q και f{Q| < Q-
Η f{w| είναι γνησίως φθίνουσα στο Q γιατί :
έστω w0 : w1 ÎQ με w0 ; w1 Û w0
2 ; w1
2 Û ; w0
2 = ; w1
2 {2|
w0 ; w1 Û ;2 w0 = ;2w1 {3| -

x8]=
=
Προσθέτω {2|: {3| και προκύπτει f{w0 |= f{w1| : άρα 0;0-
e2{w| + 2e{w| + w • 1 < / Û w < f{e{w|| Û f;0 {w| < e{w| : w Î Q-
Οι συναρτήσεις e : f ;0 έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού και f;0 {w| < e{w| για
κάθε w Î Q άρα θα έχουν και το ίδιο σύνολο τιμών : άρα e{Q| < Q-
f;0 {w| < e{w| Û {f;0 |;0{w| < e ;0{w| Û f{w| < e ;0{w| Û
e ;0{w|< 1 • w2 ; 2w : wÎQ-
18- Έστω e 4{w| + 1e{w| + w • 3 < / : για κάθε oxÎ -
α | Να δειχθεί ότι η e{w| είναι 0;0 β | να βρεθεί η e;0{w|-
2/- Έστω e{w| 9 QàQ : και {e oe|{w| < 2 + w : για κάθε oxÎ - Να αποδειχθεί
ότι : α | η e{w| είναι 0;0 : β | e{Q| < Q γ | e ;0{w| < e{w| • 2 : w Î Q-
ΛΥΣΗ
α | Έστω w0 : w1 ÎQ με e{w0| < e{w1| Þ {eoe|{w0| < {eoe|{w1| Þ
2+ w0 < 2 + w1 Þ w0 < w1 : άρα 0;0-
β | Έστω τυχαίο xn ÎQ : αν θεωρήσουμε το wο < e{xn;2| έχουμε
Þ e{wο| < e{e{xn;2|| < 2 + xn ;2 < xn : άρα e{Q| < Q-
γ | {e oe|{w| < 2 + w : θέτω όπου w < e ;0{w| :
{e oe|{ e ;0{w|| < 2 + e ;0{w| Û e{w| < 2 + e ;0{w|-
20- Έστω e{w| 9 QàQ : και {e oe|{w| < ; w : για κάθε oxÎ - Να αποδειχθεί
ότι : α | η e{w| είναι 0;0 : β | e{Q| < Q γ | e ;0{w| < ; e{w| : w Î Q-
21- Δίνεται η συνάρτηση : e{w| < xln
x
-
1
:
α | εξετάστε τη μονοτονία της:
β | να λυθεί η ανίσωση 9
12
5
12
1
5
1
2
2
22
+
+
<
+
-
+ x
x
ln
xx
22- Να λυθεί η εξίσωση 9 w2 < 0 •kmw-

x9]=
=
23- Να λυθεί η ανίσωση 9 8 • χ2;dw;1 -
24- Έστω e{w| 9 {/ : +∞| àQ: γνησίως φθίνουσα και f{w| < e{w| ; xln -
α | να δειχθεί ότι η : f { w| είναι γνησίως φθίνουσα :
β | να λυθεί η ανίσωση 9 22
-<- xFeEfFeEf x
-
25- Αν e{w| : f{w| είναι γνησίως φθίνουσες στο Δ : να δείξετε ότι η e{w|+f{w|
είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ-
26-
α | Να δείξετε ότι μια γνησίως μονότονη συνάρτηση έχει το πολύ μια ρίζα στο
πεδίο ορισμού τις-
β | να λυθεί η 9 2χ + 3χ < 4χ στο σύνολο των πραγματικών-
27- Δίνεται η συνάρτηση e{w| < 1w1/06 + 4 w • 6 : oxÎ -
α | Να δειχθεί ότι η e{w| είναι γν- αύξουσα στο πεδίο ορισμού της-
β | Να λυθεί η εξίσωση 9 e{w| < /-
γ | Να βρεθεί το πρόσημο της e{w|-
28- Δίνεται η συνάρτηση e{w| < 2w1/04 + 1w • 4 : oxÎ -
α | Να δειχθεί ότι η e{w| είναι γν- αύξουσα στο πεδίο ορισμού της-
β | Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση e{w| < / έχει ακριβώς μια ρίζα την w < 0-
γ | Να βρεθεί το πρόσημο της e{w|-
3/- Αν e 9 QàQ γνησίως αύξουσα και f 9 QàQ γνησίως φθίνουσα : να δείξετε
ότι η e{f{w|| είναι γνησίως φθίνουσα στον Q- Ποια είναι η μονοτονία της
e of όταν οι e{w| : f{w| έχουν το ίδιο είδος μονοτονίας :
30- Έστω η συνάρτηση e{w| < xFelnE x
--1
α | Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της-
β | Να βρεθεί το πρόσημο της e{w|-
γ | Μελετήστε την e{w| ως προς τη μονοτονία-
δ | Αποδείξτε ότι αντιστρέφεται και να βρεθεί ο τύπος της e ;0{w|-
31- Η e 9 QàQ διέρχεται απ τα σημεία {;0:1//1| και {0:1//3|- Να δείξετε ότι
α | η e{w| είναι γνησίως αύξουσα
β | λύστε την e{e{w|;1//0| ; 1//3
γ | ομοίως την εξίσωση 9 e{1+e;0{w1+χ+1///|| < 1//3

x10]=
=
32- Δίνεται η e{w| < x
e + w ; 0
α | να δείξετε ότι είναι 0;0
β | λύστε την εξίσωση 9 xημ
e +ημχ < e +
2
1
γ | αποδείξτε ότι 9 πeee πe
+<+
δ | λύστε την 9 e{e{w|| < / ΥΠΟΔΕΙΞΗ δ| χρήση του 0;0 για την e{w| δυο φορές
33-
α | Θεωρώ τις e : f 9 ΑàQ- Αν ηe{w| είναι γνησίως αύξουσα στο Α και η f{w| είναι
γνησίως φθίνουσα στο Α και για κάθε χ στο Α είναι e{w| =/ και f{w|=/ :
να αποδείξετε ότι η συνάρτηση
)x(g
)x(f
είναι γνησίως αύξουσα στο Α-
β | να αποδείξετε ότι η Κ(χ| <
xσυν
xln
είναι γνησίως αύξουσα στο { )
2
π
,
3
π
γ | αν 1x
3
π
< <χ1;
2
π
: να αποδείξετε ότι 9 χ0
συνχ
1; χ1
συνχ
0 Z Ευκλείδης τεύχος 47
34- Αν e{w| < w4+2w • 3 : χ oÎ : τότε 9
α | Να αποδειχθεί ότι η e{w| είναι γνησίως αύξουσα-
β | Να βρεθεί το πρόσημο της e{w|-
γ | Να λυθούν οι ανισώσεις 9
{w4+w|4 • {3;1w|4= ;2w4 ; 8w + 01 {0| e{w1 + w| ; e{1w| ;w • w1 {1|
ΥΠΟΔΕΙΞΗ γ |θεώρησε την g{w| < e{w|+ wκαι εξέτασε τη μονοτονία της-
Z Ευκλείδης τεύχος 0/0
35- Δίνεται η συνάρτηση e 9 QàQ : για την οποία ισχύει 9
e{w| + e2{w| + w2 + w8 < / {0| : χ oÎ
α | Βρείτε τη μονοτονία της e{w|:
β | Βρείτε τον τύπο της e{w|-
ΥΠΟΔΕΙΞΗ α | Θεωρούμε τη συνάρτηση g{w| < w + w2 : οπότε „„--
Z Ευκλείδης τεύχος 0/0
Ενότητα 9 Επανάληψη Συναρτήσεις • Σύνθεση • Μονοτονία • Αντίστροφες
36- Δίνεται η συνάρτηση e 9 QàQ : για την οποία ισχύει
e 2{w| + e{w| + x
2
1
< / {0| για κάθε w oÎ -
α | Να αποδειχθεί ότι η e{w| είναι ª0;0º-
β | Να αποδειχθεί ότι e{Q| < Q-
β | Να βρεθεί ο τύπος της e ;0{w|-

x11]=
=
γ | Να λυθεί η εξίσωση e ;0{w2 ; w| < e ;0{2 ; 2w|-
37- Δίνεται η συνάρτηση e{w| < α + dw;0 : α oÎ -
α | Να αποδείξετε ότι η e{w| είναι αντιστρέψιμη-
β | Αν ισχύει e ;0{3| < 0 : τότε να βρεθεί ο α -
γ | Δίνεται η συνάρτηση f{w|<1dw;2 + w • 1 : να δειχθεί ότι η f {w| είναι 0;0-
δ | Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων f {w| και f;0 {w|-
38- Δίνεται η συνάρτηση e{w| 9 QàQ για την οποία ισχύει
e 2{w| + 1 e{w| < 01dw : w oÎ {0|-
α | Να αποδειχθεί ότι e{w| = / για κάθε w oÎ -
β | Να βρείτε τα σημεία τομής της e{w| με τον x΄x-
γ | Να αποδείξετε ότι η e{w| είναι 0;0-
δ | Να λυθεί η εξίσωση 9 e{ x ;2|<
2
22 1
e
lne ln
+ -
4/- Δίνεται η e{w| 9 QàQ για την οποία ισχύει 9 e{e{w|;1| < w {0|
α | Να αποδείξετε ότι η e{w| είναι 0;0-
β | Να αποδείξετε ότι e ;0{w| < e{w;1| : w oÎ -
γ | Να λυθεί η εξίσωση 9 e{1dw ;0| < e ;0{2|-
40- Δίνονται οι συναρτήσεις e{w| < dw + d;w : f {w| < 2συνw;0-
α | Να αποδείξετε ότι η e{w| έχει ελάχιστο το 1-
β | Να βρεθούν τα ακρότατα της f {w|-
γ | Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των e{w| : f {w| -
41- Δίνεται η γνησίως μονότονη e 9 Qà Q με / ; e{w| ; 0 για κάθε oxÎ και η
f{w| <
12
+FxEf
FxEf
-
α | Να αποδειχθεί ότι η f{w| έχει το ίδιο είδος μονοτονίας με την e{w|-
β | Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση e of είναι γνησίως αύξουσα-
γ | Να αποδείξετε ότι η εξίσωση e{f{w2+0|| < e{f{3w1+1w|| έχει ακριβώς δυο
θετικές ρίζες και μια αρνητική-
δ | Να επιλυθεί η ανίσωση 9 e of {w2+3| = e of{2w1|

x12]=
=
Ενότητα 9 Σωστά Λάθος • Συναρτήσεις
0- Οι συναρτήσεις e{w| < ημ w : f{w| < εφw¶συνw είναι ίσες- Λ
1- Κάθε συνάρτηση 0;0 :είναι γνησίως μονότονη- Λ
2- Αν e{w| : f{w| δυο συναρτήσεις και ορίζονται οι συνθέσεις e o f :
f o e : τότε υποχρεωτικά ισχύει eo f < fo e-
Λ
3- Αν e{w| : f{w| : g{w| τρεις συναρτήσεις και ορίζεται g o { f o e| : τότε
ορίζεται και η {g o f| o e και αυτές είναι υποχρεωτικά ίσες-
Σ
4- Μια συνάρτηση e{w| είναι 0;0 : αν και μόνον αν κάθε οριζόντια
ευθεία τέμνει τη γρ.παράσταση της e{w| το πολύ σε ένα σημείο-
Σ
5- Αν η e{w| έχει αντίστροφη e;0 και η γρ.παράσταση της e{w| έχει
κοινό σημείο Α με την x<w : τότε το Α ανήκει και στην γρ-
παράσταση της e;0-
Σ
6- Η γρ- παράσταση της ; e{w| είναι συμμετρική της e{w| ως προς τον
άξονα ww΄-
Λ
7- Μια συνάρτηση e 9 Αà Q είναι 0;0 : αν και μόνον αν για
οποιαδήποτε w0 : w1 ÎΑ ισχύει η συνεπαγωγή 9 αν w0 < w1 : τότε
e{w0| < e{w1|-
Λ
8- Μια συνάρτηση e{w| με πεδίο ορισμού το Α θα λέμε ότι στο wο ÎΑ
παρουσιάζει ολικό ελάχιστο όταν e{w| ; e{wο|: για κάθε w ÎΑ-
Λ
0/- Αν η συνάρτηση e{w| 9 Αà Q είναι 0;0 : τότε ισχύει e;0{e{w||< w : για
κάθε w ÎΑ-
Σ
00- Κάθε συνάρτηση γν- μονότονη είναι 0;0- Σ
01- Αν η συνάρτηση e{w| 9 Αà Q είναι 0;0 : τότε ισχύει e;0{e{w||< w : για
κάθε w Îe{Α|-
Λ

x13]=
=
ΕΝΟΤΗΤΑ 9 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ wn
§= Η θεωρία αυτής της ενότητας βρίσκεται στις σελίδες 28;34
§= Προτείνεται να λυθούν κατά προτεραιότητα όλες οι ασκήσεις του βιβλίου
σελίδων 35;36
§= Να λυθεί η παρακάτω άσκηση-
42- Αν e{w| <
ï
î
ï
í
ì
>--
-£-+
16
132
xIax
xIaxx
και υπάρχει το όριο της e{w| καθώς χà;0 :
να βρεθεί η τιμή του α oÎ -=
=
ΣΥΜΒΑΣΗ
0x μια ιδιότητα Ρ θα εννοούμεΌταν λέμε ότι μια συνάρτηση e έχει κοντά στο
ότι ισχύει μια από τις παρακάτω τρεις συνθήκες9
α|Η e είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής ),(),( 00 βxxα È και στο σύνολο αυτό
έχει την ιδιότητα Ρ-
β|Η e είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής ),( 0xα : έχει σ‘ αυτό την ιδιότητα Ρ:
αλλά δεν ορίζεται σε σύνολο της μορφής ),( 0 βx -
γ| Η e είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής ),( 0 βx : έχει σ‘ αυτό την ιδιότητα Ρ:
αλλά δεν ορίζεται σε σύνολο της μορφής ),( 0xα -
Για παράδειγμα: η συνάρτηση
x
x
xf
ημ
)( = είναι θετική κοντά στο 00 =x : αφού ορίζεται
στο σύνολο ÷
ø
ö
ç
è
æ
È÷
ø
ö
ç
è
æ
-
2
,00,
2
ππ
και είναι θετική σε αυτό-
Παρατήρηση
Πολλοί μαθητές θεωρούν ότι όταν ένα όριο δεν υπάρχει τα πλευρικά όρια υπάρχουν
και είναι διαφορετικά: να δοθούν γραφικά και να συζητηθούν παραδείγματα που
δεν υπάρχουν τα πλευρικά όρια: όπως για παράδειγμα η {Σχήμα 0|-
=
Σχήμα 0
1
( )f x ημ
x
=
=

x14]=
=
ΕΝΟΤΗΤΑ 9 ΟΡΙΟ και ΔΙΑΤΑΞΗ : ΟΡΙΟ και ΠΡΑΞΕΙΣ : ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ
§= Η θεωρία αυτής της ενότητας
βρίσκεται στις σελίδες 36;41
§= Προτείνεται αρχικά να λυθούν κατά
προτεραιότητα οι παρακάτω
ασκήσεις του σχολικού βιβλίου 0 • 4
σελίδας 45 και 7 • 8 Α΄ ομάδας-
§= Για περισσότερη εξάσκηση: να
λυθούν επίσης οι παρακάτω
ασκήσεις-
=
=
43- Αν we{w| ; e{w| ≤ w1 + 1 w • 2 :
για κάθε w oÎ και το όριο )x(flim
1x >-
υπάρχει: να υπολογιστεί-
44- e{w| 9 {/:+∞| à Q : και ισχύει 9
1 w xxFxEfx +££ 2
: για κάθε w = /- Να βρεθούν 9
α | )x(flim
1x >-
β |
1
2
1 -
-
>- x
FxEf
lim
x
45- Έστω e{w| 9 Qà Q και για κάθε w ≠ 0 : ισχύει 9
1
1
3 2
+£
-
-
x
x
xFxEf
: να βρεθεί το )x(flim
1x >-
-
46- Ομοίως για την f{w| <
9x
3x4xx3x
2
22
-
+-+-
: στο χ/ < 2-
47- Στο χ/ < / : έχει όριο η e{w| <
x
x 11 -+
: Αιτιολογήστε-
48- Να βρείτε τους α: β oÎ : για τους οποίους ισχύει 9
2
3
1x
βxα3x
lim
2
1x
=
-
+++
>-
Z Ευκλείδης Β‘ τεύχος 47
l
l
Ch
Cf
Cg
βα x0 x
y
50

x1R]=
=
ΕΝΟΤΗΤΑ 9 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΟΡΙΑ • ΟΡΙΟ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
σχολικού βιβλίου 5 ;6 σελίδων 46 και 0 • 3 Β΄ ομάδας σελίδας 47-
5/- e 9 Qà Q και περιττή και επίσης ισχύει 9 2x)x(fx8 +££ : για κάθε χ=/
Βρείτε το )x(flim
2x ->-
-
50- Έστω e{w| Qà Q και 3
422
=
-
-
>- x
xFxEf
lim
x
: να βρεθούν τα όρια 9
α | FxEflim
x 2>-
β |
22
62
2 -+
-+
>- x
xFxEf
lim
x
51- Να υπολογιστεί το όριο 9 F
x
FxxEElim
x
12
0
hm×+
>-
52- Να υπολογιστούν τα όρια 9
α |
x
x
lim
x
5
0
hm
>-
β |
x
x
lim
x 2
2
->- p
sun
p
53- Αν e{w|9 Qà Q και για κάθε w oÎ ισχύει 9
xxFxEfxx 353 22
+££- : να βρεθούν 9
α |
x
FxEf
lim
x hm0>-
β |
11
53
20 -+
×+
>- x
xxFxExf
lim
x
hmhm
ΘΕΜΑ 1 ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 1/06
54- Υπολογίστε τα όρια 9 α |
x
x10ημ
lim
0x >-
β |
1x
)1x(ημ
lim
1x -
-
>-
γ |
1xx2
)1x(ημ
lim
1x
--
-
>-
δ |
x3ημ
xRημ
lim
0x >-
ε |
1x1
x2ημ
lim
0x
-+>-
55- Αν e{w| 9 Qà Q και 3)
1x
x)x(f
(lim 21x
=
-
-
>-
: βρείτε τα παρακάτω όρια 9

x16]=
=
α | )x(flim
1x >-
β |
2
1
2
2
1
-+
-
>-
xx
FxEfx
lim
x
56- e{w| 9 Qà Q και 4
2x
x)x(f
lim
2x
=
-
-
>-
- Για ποια τιμή του λ oÎ η συνάρτηση
f{w| <
4x
λλ3)x(xf
2
2
-
--
έχει στο χ/ < 1 : Πόσο είναι αυτό το όριο :
57- e{w| 9 Qà Q και )x(flim
0x >-
< λ oÎ και e{w|ημ2χ £ χ2συν
x
1
: χ oÎ *
α | δείξτε ότι : 0)
x
1
συνx(lim 2
0x
=
>-
: β | αποδείξτε ότι λ < / :
γ | Υπολογίστε το 2
2
0x xxημ
x2ημ)x(xf
lim
+
+
>-
-
58- Μια συνάρτηση e{w| είναι ορισμένη στο {; )
2
π
,
2
π
και για κάθε χ σε αυτό το
διάστημα ισχύει 9 ημ1χ £ e{w| £ χ1- Βρείτε τα όρια 9
α | )x(flim
0x >-
β |
x
)0(f)x(f
lim
0x
-
>-
Ερώτηση Κρίσεως
«Να βρεθεί το º {άσκηση 2h ; σχολικού| θα πρέπει να ζητείται από τους
μαθητές να αιτιολογήσουν ποιες ιδιότητες των ορίων χρησιμοποιούνται στα
ενδιάμεσα στάδια μέχρι τον τελικό υπολογισμό-
Είναι οι και είναι ίσες :Δικαιολογήστε γιατί
έχουν ίσα όρια-
ΑΠΑΝΤΗΣΗ
„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„-
„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„--
ΤΩΡΑ ΜΠΟΡΟΥΝ ΝΑ ΑΠΑΝΤΗΘΟΥΝ ΟΙ ΕΡ- ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1 • 3 : 5 : 0/ : σελ 72;73-
4
32
16
lim
8x
x
x®
-
-
4
3
16
( )
8
x
f x
x
-
=
-
2
2
( 4) ( 2)
( )
2 4
x x
g x
x x
+ × +
=
+ +

x17]=
=
ΕΝΟΤΗΤΑ 9 ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ wn
§= Προτείνεται να λυθούν κατά προτεραιότητα όλες οι ασκήσεις του
σχολικού βιβλίου σελίδων 52;53-
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
6/- Να βρεθούν τα όρια 9
α |
96
5
23 +-
-
>- xx
x
lim
x
β |
2
6
22
--
-
>-
xx
x
lim
x
60- Να βρεθούν τα όρια των συναρτήσεων 9 e{w| <
2x
1
-
:
f{w| <
4x
Rxx2
2
3
-
-+
στο χ/ < 1-
61- Η συνάρτηση e{w| <
3x4x
xx
2
2
+-
+
: έχει όριο στο χ/ < 0 :
62- Να βρεθούν τα όρια των συναρτήσεων 9 e{w| <
xσυν1
1x2
-
-
:
f{w| <
xημx
x1 2
×
+
στο χ/ < /-
63- Για κάθε λ oÎ να υπολογιστεί το όριο 9
44
5
2
2
2 +-
+++
>- xx
xx
lim
x
ll
-
64- Αν -¥=
+-+
-
>- 3
5
23 llxx
x
lim
x
: να βρεθεί ο λ oÎ -
65- Αν e{w| Qà Q και 3122
1
-=+-
>-
F]xEfFxxxElim
x
: να βρεθούν 9
α | )x(flim
1x >-
β |
4
532
2
2
1 -+
--
>- FxEfFxEf
FxEfFxEf
lim
x
66- Αν για την e{w| : Qà Q ισχύει FxEflim
x 2>-
<+∞ : να βρεθεί 9
323
42
2 ---
-
>- FxEfFxExf
x
lim
x
-

x18]=
=
ΕΝΟΤΗΤΑ 9 ΟΡΙΑ στο ΑΠΕΙΡΟ
§= Προτείνεται να λυθούν κατά προτεραιότητα όλες οι ασκήσεις του
σχολικού βιβλίου σελίδων 57;58-
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
67- Να υπολογιστεί το παρακάτω όριο για τις διάφορες τιμές του λ oÎ :
FxxFExxFEElim
x
67543 2342
-+-++-
-¥>-
llll
68- Να υπολογιστούν τα παρακάτω όρια 9
α |
323
434
324
656
xxxx
xxxx
lim
x +-+
-+-+
-¥>-
β | FxxxElim
x
322
-+-
+¥>-
γ |
42
653
+
-+
-¥>- x
xx
x
lim δ |
xx
xx
x
lim
23
23
2
1
+
+
+
+
+¥>-
ε | F]xlnEFxxxlnElim
x
2253
+--
+¥>-
7/- Υπολογίστε τα όρια 9
α | ]x22xx4xlim 2
x
-++
-¥>-
β | ]xR7x3x91x3x4xlim 22
x
-+++++
+¥>-
γ | ]7x8x16x4xlim 2
x
+++
-¥>-
δ | )xx2xx3(lim 3R
x
-++-
-¥>-
ε | )]x2xx(
x
2
ημxxlim 2
x
-++
+¥>-
στ | )xx2xx3(lim 3R
x
--+-
+¥>-
ζ |
x
xημ
lim
x +¥>-
η |
x
π
ημxlim ν
x
×
+¥>-
θ | )xημx2(lim
x
+
+¥>-
ι | 2x x
xσυν
lim
-¥>-
-
70- Αν e{w| <
2xλ
3xλx)1λ( 2
+
++-
: για τις διάφορες τιμές του λ oÎ : βρείτε το
όριο της e{w| στο ;¥ -

x19]=
=
71- Αν e{w| < xλ7x8x4 2
-++ : για τις διάφορες τιμές του λ oÎ βρείτε το
όριο της e{w| στο +¥ -
72- Αν e 9 {/:+ ¥ | àQ : υποθέτω ότι ισχύει 9 4
3x
3x)x(xf
lim
x
=
+
-+
+¥>-
: βρείτε τα
όρια 9
α | της e{w| στο +¥ β |
2x)x(xf
1x2
x
1
ημ)x(fx
lim
2
x ++
++
+¥>-
73- e{w| : f{w| 9 Qà Q και ισχύουν 9 4
1x
x)x(f
lim
x
=
+
-
+¥>-
και 3
x
)x(g
lim
x
=
+¥>-
: αν
είναι 2
)x(g)x(f
)x(gλ3)x(f
lim
x
-=
-
+
+¥>-
: βρείτε τον λ oÎ -
74- Έστω e{w| < βxα1Rx8x4 2
++++ : χ oÎ - Αν το όριο της e{w| στο + ¥
είναι 5 : να βρεθούν οι α : β oÎ -
Παρατήρηση
Δείτε ένα παράδειγμα συναρτήσεων των οποίων το όριο: όταν το w τείνει στο +∞:
υπάρχει αλλά η συνάρτηση αυτή δεν είναι μονότονη: όπως είναι για παράδειγμα η
{Σχήμα|: καθώς και συναρτήσεων των οποίων το όριο δεν υπάρχει:
όταν το w τείνει στο +∞: όπως είναι για παράδειγμα η -
=
( )
ημx
f x
x
=
( )f x ημx=

x20]=
=
Ενότητα 9 Σωστά Λάθος • Όρια Πεπερασμένα ; Άπειρα
0- Αν δεν υπάρχουν τα όρια e{w| : f{w| στο wο τότε δεν μπορεί να
υπάρχει το όριο της συνάρτησης e{w|+ f{w| στο wο-
Λ
1- Αν 0=
>-
FxEflim
o
xx
: τότε 0=
>-
FxEflim
o
xx
-
Σ
2- Αν υπάρχουν στο Q τα όρια FxEflim
o
xx >-
: FFxEgFxEfElim
o
xx
+
>-
τότε απαραίτητα υπάρχει και το όριο της f{w| στο wο-
Σ
3- Αν FxEflim
o
xx >-
< / και e{w| ; / κοντά στο wο ,τότε
FxEf
lim
o
xx
1
>-
< ; ∞-
Σ
4- Αν FxEflim
o
xx >-
< +∞ ή ;∞ : τότε FxEflim
o
xx >-
< +∞-
Σ
5- Αν οι συναρτήσεις e : f έχουν όριο στο wο και ισχύει e{w|≤ f{w|
κοντά στο wο : τότε FxEflim
o
xx >-
≤ FxEglim
o
xx >-
Σ
6- Αν FxEflim
o
xx >-
< ; ∞ : τότε e{w| =/ κοντά στο wο-
Λ
7- Αν για δυο συναρτήσεις e : f ορισμένες κοντά στο
wοÎQÈz;∞:+∞| και ισχύει e{w|≤ f{w| κοντά στο wο και
FxEflim
o
xx >-
<+∞: τότε FxEglim
o
xx >-
<+∞-
Σ
8-
Αν FxEflim
o
xx >-
< +∞ ή ;∞ : τότε
FxEf
lim
o
xx
1
>-
< /- Σ
0/-
Ισχύει 1
1
0
=
-
>- x
x
lim
x
sun
Λ
00- Αν e{w| ορισμένη στο {α: wο| È{wο,β| και λ ÎQ : τότε ισχύει η
ισοδυναμία 9 FxEflim
o
xx >-
< λ 0=-Û
>-
FFxEfElim
o
xx
l - Σ

x21]=
=
ΕΝΟΤΗΤΑ 9 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
§= Η θεωρία αυτής της ενότητας βρίσκεται στις σελίδες 6/;62-
§= Προτείνεται να λυθούν κατά προτεραιότητα οι ασκήσεις 0;4 του
σχολικού βιβλίου σελίδων 68;7/-
Ερώτηση Κρίσεως
Δίνονται οι συναρτήσεις (Σχήμα 0| και (Σχήμα 1|-
Σχήμα 0 Σχήμα 1
Γιατί το γράφημα των συναρτήσεων αυτών διακόπτεται παρόλο που είναι
συνεχείς:
ΕΝΟΤΗΤΑ 9 ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
ΘΕΩΡΗΜΑ ANKY@MN
Διατυπώστε το θεώρημα 9 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„
1
( )f x
x
= 2
( ) 1g x x= -

x22]=
=
Ποια είναι η γεωμετρική του ερμηνεία:
Παρατηρήσεις στο Θεώρημα
Μπορεί μια συνάρτηση να έχει ρίζα στο Δ χωρίς να έχει ετερόσημες τιμές στα
άκρα του Δ :
h | Α < Z0:3 hh | Αf < Z;0:0 : f{w| < w1
h | Είναι ασυνεχής στο 1 και e{0|e{3|<{;0|¶2<;2 ; / και δεν έχει καμία ρίζα στο Α
hh | Είναι Συνεχής στο Z;0:0 και e{;0|e{0| = /: όμως υπάρχει wn στο εσωτερικό Α
για το οποίο e{wn| < / είναι το wn < /-
ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ του ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ANKY@MN; ΣΤΑΘΕΡΟ ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Ποιες είναι οι συνέπειες του Θεωρήματος :

x23]=
=
Παρατηρήσεις 9 «Μπορεί η συνάρτηση να διατηρεί πρόσημο στο Δ χωρίς να είναι
συνεχής στο Δ :º Τι λέτε :
Η συνάρτηση ορίζεται στο Α < Z;0:1-
Δεν είναι συνεχής στο wn < /-
Επίσης είναι e{w | ≠ / για κάθε w στο Α-
Συγκεκριμένα είναι θετική για κάθε w στο Α-
Άρα μπορεί να διατηρεί πρόσημο χωρίς να είναι συνεχής-
ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ; ΜΕΡΟΣ Ι
Παράδειγμα 0ο
Αν η συνάρτηση e 9 Â àÂ είναι συνεχής στο Â και ισχύει 9
e1{w| ; 5e {w| < w1 • 4 : wÎ Â
Να βρεθεί ο τύπος της e {w|-
ΛΥΣΗ
e 1{w| ; 5e {w| < w1 • 4 Û e1{w| ; 5e {w| +8< w1 • 4 +8 Û {e{w| • 2|1 < w1 + 3 {0|
ΘΕΩΡΩ την f{w| < e {w| • 2 : συνεχή συνάρτηση στο Q: ως διαφορά συνεχών-
G σχέση {0| γράφεται 9 f1 {w| < w1 + 3 και f{w| ≠ / για κάθε w γιατί αν
f{w| < / : τότε f1 {w| < / Û w1 + 3 < / : ΑΤΟΠΟ-
Άρα f{w| συνεχής στο Q και για κάθε w ισχύει f{w| ≠ / : συνεπώς διατηρεί
πρόσημο στο Q-
Ø= Αν f{w| = / : τότε f{w| < 42
+x
Ø= Αν f{w| ; / : τότε f{w| < ; 42
+x
Παράδειγμα 1ο {Τολμήστε το ΕΣΕΙΣ : για πάμε !! |
Αν η συνάρτηση e 9 Â àÂ είναι συνεχής στο Â και ισχύει 9
3e 1{w| ; 01we {w| < w +05 : w Î Â : e {/| < ;1
Να βρεθεί ο τύπος της e {w|-

x24]=
=
ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ Θ.Ε.Τ
Η συνάρτηση παίρνει όλες τις τιμές
μεταξύ των e {α| : e {β|-
ΑΜΕΣΗ ΣΥΝΕΠΕΙΑ ΤΟΥ Θ.Ε.Τ
hhh |Α < Z/:1 hu | Α < Zα: β
Στο σχήμα ιιι | η συνάρτηση ΔΕΝ είναι συνεχής και ΔΕΝ παίρνει όλες τις
ενδιάμεσες τιμές-
Στο σχήμα ιν| η συνάρτηση ΔΕΝ είναι συνεχής και παίρνει όλες τις ενδιάμεσες
τιμές-
Άρα το αντίστροφο ΔΕΝ ισχύει-

x2R]=
=
ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ • ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Θ.Μ.Ε.Τ

x26]=
=
Ειπώθηκε παραπάνω-
Α < {1:2| : e {Α| ανοικτό- Α<{;0:1| : e {Α| < Z0:4|
Α < {α: β | : e {Α| < Ze {w0| : e {w1|
ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ; ΜΕΡΟΣ Ι {Συνέχεια|
Αν e 1{w| < f1{w| : τότε δεν είναι υποχρεωτικά e {w| < f{w| ή e {w| < ; f{w| για
κάθε w Î Â : δηλαδή δεν υπάρχουν μόνο δυο συναρτήσεις e {w| για τις οποίες
ισχύει e 1{w| < f1{w| : αλλά άπειρες της μορφής 9
e {w| <
ï
î
ï
í
ì
-Î-
Î
D
D
oxFIxEg
xFIxEg
: Δ τυχαίο μη κενό υποσύνολο του Â -

x27]=
=
Στην περίπτωση όμως που e {w| συνεχής : τότε διατηρεί σταθερό πρόσημο
μεταξύ δυο διαδοχικών ριζών της : οπότε το πλήθος των συναρτήσεων που
ικανοποιεί τη σχέση e 1{w| < f1{w| : περιορίζεται-
Συγκεκριμένα : αν οι e {w| : f{w| δεν έχουν κοινά σημεία : τότε από την σχέση
e 1{w| < f1{w| : προκύπτουν οι δυο μόνο συναρτήσεις e {w| < f{w| ή e {w| < ; f{w|
Αν οι e {w| : f{w| έχουν ένα κοινό σημείο w/ : τότε από την σχέση e 1{w| < f1{w|
προκύπτουν οι συναρτήσεις 9
e {w| < f{w| ή e {w| < ; f{w| ή e {w| <
ï
î
ï
í
ì
<-
³
o
o
xxFIxEg
xxFIxEg
: e {w| <
ï
î
ï
í
ì
<
³-
o
o
xxFIxEg
xxFIxEg
-
Παράδειγμα 2ο
6 Β΄ Ομάδας σχολικού βιβλίου- { Λύσεις των Ασκήσεων|

x28]=
=
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΝΩΡΙΜΙΑΣ με τα Θεωρήματα & τη Συνέχεια
75- Έστω e{w| 9 Qà Q συνεχής και για κάθε w ισχύει 9 we{w| < w1 +ημw- Να
βρεθεί το e{/|-
76- Έστω e{w| 9 Qà Q συνεχής και για κάθε w ισχύει 9
we{w|+1 < e{w|+ 22
++ xx
Να βρεθεί ο τύπος της e{w|-
77- Να δείξετε ότι η εξίσωση 9 1//0∙ 3
x +4 x<1//3: έχει μια τουλάχιστον ρίζα
στο σύνολο Â -
ΛΥΣΗ
ΘΕΩΡΩ την συνάρτηση 9 e {w| < 1//0∙ 3
x +4 x ; 1//3 : με Π.Ο το Q-
Ø= Είναι συνεχής στο Zξ0: ξ1 Ì Q ως πολυώνυμο-
Ø= FxEflim
x -¥>-
< ;∞ : άρα υπάρχει ξ0 κοντά στο ;∞ για το οποίο ισχύει 9
e {ξ0| ; / -
Ø= FxEflim
x +¥>-
< +∞ : άρα υπάρχει ξ1 κοντά στο +∞ για το οποίο ισχύει 9
e {ξ1| = / -
Από Θ- Μπολζάνο υπάρχει τουλάχιστον ένα wn στο {ξ0: ξ1 | για το οποίο ισχύει
e {wο| < / ή 1//0∙ ox3
+4 ox <1//3
78- Ομοίως η εξίσωση 9 0
1
11 26
=
-
+
+
+
x
x
x
x
: έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο
{/:0|-
ΛΥΣΗ ; Όμοια με 4 Β΄ σχολικού-
ΘΕΩΡΩ την συνάρτηση 9 e {w| < {w5+0|{w;0| + w{w1+0| : με Π.Ο το Z/:0-
Ø= Είναι συνεχής στο Z/:0 ως πολυώνυμο-
Ø= e {/| < ;0 ; / : e {0| < 1 = / :
Άρα υπάρχει wn στο {/:0| ώστε 9 e {wn| < / ή {wο
5+0|{wο;0| + wο {wο
1+0| < /
ή 0
1
11 26
=
-
+
+
+
o
o
o
o
x
x
x
x

x29]=
=
8/- Να δειχθεί ότι η εξίσωση 9 w6;3w5+0 </ έχει δυο τουλάχιστον ρίζες
στο{;0: 0|-
ΛΥΣΗ
ΘΕΩΡΩ την e {w| < w6;3w5+0:
·= Συνεχή στα Z;0:/ ΚΑΙ Z/:0
·= e {;0| < ;3 e {/| < 0 e {0| < ; 1
·= e {;0| e {/| ; / ΚΑΙ e {/| e {0| ; /
Άρα υπάρχουν τουλάχιστον w0 στο {;0:/| και w1 στο {/:0| : ώστε 9
e {w0| < / και e {w1| < / : άρα w0
6;3w0
5+0 < / και w1
6;3w1
5+0 < /-
80- Έστω συνεχής συνάρτηση e {w| στο Z /:2 για την οποία ισχύει 9
e {/| < e {2| και e {0| < e {1|-
Να δείξετε ότι υπάρχει ξ ÎZ/:1 ώστε να ισχύει 9 e {ξ| < e {ξ+0|-
ΛΥΣΗ
ΘΕΩΡΩ την f{w| < e {w| ; e {w+0|-
Ποιο είναι το πεδίο ορισμού της :
Πρώτα θα βρώ το Π.Ο της e {w+0|-
Α0 < z wÎZ/:2 ΚΑΙ w+0 ÎZ/:2| < z/≤x≤2 ΚΑΙ ;0≤x≤1| < Z;0:1
Της e {w| το Π.Ο είναι το Α1 < Z/:2-
Άρα το Π.Ο της f{w| είναι το Z/:1 δηλαδή η τομή των Α0 : Α1 -
·= Η f{w| είναι συνεχής στο Z/:1 ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων-
·= f{/| < e {/| ; e {0|
·= f{1| < e {1| ; e {2| < e {0| ; e {/| < ; {e {/| ; e {0||
·= f{/| f{1| < ; {e {/|; e {0||1≤ /
Ø= Αν f{/| f{1| ; / : υπάρχει ξ στο {/:1| ώστε να ισχύει 9 e {ξ| < e {ξ+0|-
Ø= Αν f{w| f{w| < / : τότε ξ < / ή ξ < 1-
Συνεπώς υπάρχει ξ ÎZ/:1 ώστε να ισχύει 9 e {ξ| < e {ξ+0|-

x30]=
=
81- Να αποδείξετε ότι κάθε πολυώνυμο περιττού βαθμού έχει μια
τουλάχιστον ρίζα στο Â -
82- Έστω e {w| 9 Z;α: α à Z;α: α : συνεχής-
Να δειχθεί ότι υπάρχει χ/Î Z;α: α ώστε e {w/ | < wο-
ΛΥΣΗ
ΘΕΩΡΩ την
f{w| < e {w| • w : με Α < Z;α: α
Ισχύει ότι για κάθε w στο Z;α,α είναι 9 -α ≤ e {w|≤ α
·= Η f{w| είναι συνεχής στο Z;α,α
·= f{;α| < e {;α| + α ≥ /
·= f{α| < e {α| • α ≤ /
Άρα f{;α| f{α)≤ / : άρα υπάρχει τουλάχιστον ένα wn ÎZ;α,α ώστε να ισχύει
f{wn| < / ή e {w/ | < wο-
83- Έστω e 9 Zα: β à Q η οποία διέρχεται απ το σημείο Α(α:;0|-
Να δείξετε ότι υπάρχει wο στο {α: β| ώστε να ισχύει 9
wο¶{ e {wο| • 0| < β e {wο| • α
ΛΥΣΗ
ΘΕΩΡΩ την f{w| < w{e {w|;0|; β e {w|+α : συνεχής στο Zα: β-

x31]=
=
f{α| < α{e {α|;0|; β e {α|+α < {α-β| e {α| < ; {α-β|
f{β| < β{e {β|;0|; β e {β|+α < {α-β|-
Άρα από Θ- Μπολζάνο „„„„„„
84- Έστω e {w| 9 Qà Q συνεχής με e {;0| < 1κ και e {1| < ;λ-
Να δείξετε ότι υπάρχει ξ στο Z;0:1 τέτοιο ώστε να ισχύει 9
κ ; e {ξ| < λξ
ΛΥΣΗ
ΘΕΩΡΩ την f{w| < κ ; e {w| ; λ w : συνεχής στο Z;0:1-
f{;0| < κ • 1κ + λ < λ • κ-
f{1| < κ +λ • 1λ < κ • λ < ; {λ • κ|
Άρα f{;0| f{1| ≤ /-
Από Θ.Μπολζάνο υπάρχει ξ στο Z;0:1 ώστε να ισχύει η ζητούμενη σχέση-
85- Έστω e {w| < w2+συν(πw| • 2 με πεδίο ορισμού Z;1:1-
Να δείξετε ότι η συνάρτηση παίρνει την τιμή 1-
ΛΥΣΗ
e {w| συνεχής στο Z;1:1 ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων-
e {;1| < ;7 +0 ;2 < ;0/ : e {1| < 7 +0 ;2 < 5 : άρα e {;1| ≠ e {1|
ΚΑΙ ;0/ ; η < 1 ; 5
Από Θ.Ε.Τ υπάρχει wn Î{;1:1| ώστε e {wn| < η < 1-
86- Αν e {w| συνεχής στο Z0:4 και 2
1
=
>-
FxEflim
x
- Επίσης: e {0| e {4|<7-
Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ στο {0:4| ώστε να ισχύει 9
e {ξ| < 2
ΛΥΣΗ
Η e {w| συνεχής στο Z0:4 άρα και στο 0 και 2
1
=
>-
FxEflim
x
: άρα e {0| < 1-
Τότε e {4| < 3-
Απ το Θ.Ε.Τ υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ στο {0:4| ώστε e {ξ| < 2

x32]=
=
87- Α- Έστω α0 : α1 : α2„„„--αν ν αριθμοί : να δείξετε ότι ο αριθμητικός
μέσος αυτών {ή αλλιώς μέση τιμή| η <
n
na.........aa ++ 21
βρίσκεται
ανάμεσα σε αυτούς -
Β- Αν e {w| συνεχής στο Z0:2 : να δειχθεί ότι υπάρχει ξ στο Z0:2 ώστε να
ισχύει 9 e {ξ| <
3
321 FEfFEfFEf ++
ΛΥΣΗ
Α- Έστω μ το ελάχιστο των α0 : α1 : α2„„„--αν και Μ το μέγιστο τους-
Είναι 9 μ ≤ α0 ≤ Μ : μ ≤ α1 ≤ Μ : μ ≤ α2 ≤ Μ :„„„„„-- : μ ≤ αν ≤ Μ
Προσθέτοντας κατά μέλη προκύπτει 9 ν·μ ≤ α0+α1 + α2 +„+αν ≤ ν·Μ
ή αλλιώς μ ≤
n
na.........aa ++ 21
≤ Μ
Β- Εφόσον η e {w| είναι συνεχής στο Z0:2 δέχεται μέγιστη και ελάχιστη τιμή -
Έστω μ η ελάχιστη και Μ η μέγιστη τιμή-
Ισχύει 9 μ ≤ e {0| ≤ Μ : μ ≤ e {1| ≤ Μ : μ ≤ e {2|≤ Μ
Προσθέτοντας κατά μέλη προκύπτει 9 2μ ≤ e {0|+ e {1|+ e {2| ≤ 2Μ ή
μ ≤
3
321 FEfFEfFEf ++
≤ Μ
Ø= Αν μ < Μ : τότε η e {w| είναι σταθερή οπότε υπάρχει ξ στο Z0:2 ώστε
e {ξ| < b : έτσι e {0| + e {1| + e {2| < 2 b < 2 e {ξ|-
Ø= Αν μ ; Μ : τότε απ τη σχέση μ ≤
3
321 FEfFEfFEf ++
≤ Μ
συμπεραίνουμε ότι ο αριθμός
3
321 FEfFEfFEf ++
ανήκει στο σύνολο
τιμών της συνεχούς e {w| το Zμ: Μ -
Άρα είναι τιμή της συνεχούς συνάρτησης e {w|-
Συνεπώς υπάρχει ξ στο Z0:2 τέτοιο ώστε να ισχύει

x33]=
=
3
321 FEfFEfFEf ++
< e {ξ|
88- Έστω e {w| συνεχής στο Q- Για κάθε w στο Q ισχύει e {e {w||¶ e {w|<0-
Επίσης e {4| < 2-
α | Να υπολογιστεί το e {2|-
β | Να δείξετε ότι υπάρχει ξ στο {2:4| ώστε να ισχύει e {ξ| < 0-
γ | Να υπολογιστεί το e {0|-
ΛΥΣΗ
α | Θέτω όπου w < 4 στη σχέση- e {e {4||¶ e {4|<0 ή 2e {2|<0 : άρα
e {2| <
3
1
-
β | Ισχύει το Θ.Ε.Τ άρα „„„„„
γ | Θέτω στη σχέση όπου w < ξ-
e {e {ξ||¶ e {ξ|<0 ή e {0|<0 -
0//- Έστω e {w| 9 Z;α: α àÂ : συνεχής με w1 + e 1{w| < α1 : για κάθε
w Î Z;α: α-
Να δείξετε ότι η e {w| διατηρεί το πρόσημο των τιμών της στο {;α: α|-
ΛΥΣΗ • Όμοια με 6Β΄ σχολικού-
Βρίσκω τις ρίζες της e {w|-
e {w|< / Û e 1 {w| < / Û α1 < w1 Û w < ° α-
Η e {w| είναι συνεχής στο {;α: α| και για κάθε w Î{;α: α| είναι e {w|≠ /
Άρα διατηρεί πρόσημο στο {;α: α| και e {;α| < e {α| < /
Η ζητούμενη συνάρτηση ΔΕΝ ζητείται αλλά είναι 9
e {w| <
ï
ï
î
ïï
í
ì
=
-=
-Î-
axI
axI
FaIaExIxa
0
0
22
ή e {w| <
ï
ï
î
ïï
í
ì
=
-=
-Î--
axI
axI
FaIaExIxa
0
0
22
0/0- Αν e {w| : f{w| συνεχείς στο Z α :β : e {α|£ f{α| : e {β| ³ f{β| : να
δείξετε ότι υπάρχει w/Î Z α :β : ώστε 9 e {w/| < f{w/|-

x34]=
=
ΛΥΣΗ • Όμοια με 3 Β΄ {Γενίκευση της|
ΘΕΩΡΩ την e {w| ; f{w| < g{w| :
·= Συνεχής στο Zα: β ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων-
·= g{α| < e {α| ; f{α| ≤ /
·= g{β| < e {β| ; f{β| ≥ /
·= Άρα g{α| g{β| ≤ /
Συνεπώς από Μπολζάνο υπάρχει wn Î[α: β : ώστε g{wο | < / ή e {w/| < f{w/|-
0/1- Έστω e{w| συνεχής και γνησίως αύξουσα στο Z/:0 με e{0| < 0- Να
αποδείξετε ότι υπάρχει w/Î{/:0| τέτοιος ώστε 9 1x)x(fe 00
x0
=+-
-
ΛΥΣΗ
ΘΕΩΡΩ την f{w| < d;we{w| + w • 0 :
·= Συνεχή στο Z/:0 ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων στο Z/:0
·= f{/| < e {/| • 0 < e {/| ; e {0| ; / γιατί / ;0 Û e {/| ; e {0|-
·= f{0| <
e
1
=/
Άρα από Θ- Μπολζάνο υπάρχει τουλάχιστον ένα wn Î{/:0| ώστε 9
f{wn| < / ή 1x)x(fe 00
x0
=+-
-
0/2- Έστω e {w| < 2xlnex x
-+× : να δείξετε ότι η συνάρτηση έχει μια
τουλάχιστον ρίζα στο {/:0|-
ΛΥΣΗ
ΘΕΩΡΩ την e {w| στο Zξ :0 Ì {/:0: συνεχή -
·= e {0| < d • 1 = /
·= -¥=+
>-
FxEflim
x 0
: άρα υπάρχει ξ κοντά στο /+ τέτοιο ώστε e {ξ| ;/
Συνεπώς e {0| e {ξ| ; / : άρα από Θ- Μπολζάνο υπάρχει τουλάχιστον ένα
wn Î {ξ: 0| Ì {/:0| τέτοιο ώστε e {wn| < / -
0/3- Να δειχθεί ότι η εξίσωση 9 w2 • 2w + 0 < / έχει δύο μόνο ρίζες στο
διάστημα {/:1|-
ΛΥΣΗ
ΘΕΩΡΩ την e {w| < w2 • 2w + 0 : συνεχή στο Q-
·= Στο {;∞:/ είναι συνεχής και
·= e {/| < 0 = / -¥=
-¥>-
FxEflim
x
: άρα υπάρχει ξ κοντά στο „„„-
Άρα από Θ- Μπολζάνο έχει τουλάχιστον ένα w0 Î{;∞: /| ώστε e {w0| < /-

x3R]=
=
·= Στο Z/:0 είναι συνεχής και
·= e {/| < 0 = / e {0| < ;0 ; /
Άρα από Θ- Μπολζάνο έχει τουλάχιστον ένα w1 Î{/:0| ώστε e {w1| < /-
·= Στο Z0:1 είναι συνεχής και
·= e {0| < ; 0 ; / e {1| < 2 = /
Άρα από Θ- Μπολζάνο έχει τουλάχιστον ένα w2 Î{0:1| ώστε e {w2| < /-
Μιας και είναι πολυωνυμική τρίτου βαθμού έχει το πολύ 2 ρίζες στο Q-
Ακολουθεί η γραφική της παράσταση-
0/4- Έστω συνεχής συνάρτηση e {w| στο Z0:1 : με e {0| < e {1|- Να δείξετε
ότι υπάρχει θÎ Z 0 :
2
3
: ώστε 9 e {θ| < e {θ+
2
1
| -
ΛΥΣΗ : δες 80 : όμοια-
0/5- Δίνεται η e{w| < 2 • kmw • dw : ορισμένη στο Δ < {/:2-
α | να μελετηθεί η μονοτονία της στο Δ β | να βρεθεί το e{Δ|
γ | να δειχθεί ότι η εξίσωση 9 kmw + dw < 2 έχει ακριβώς μια ρίζα στο Δ-
ΛΥΣΗ

x36]=
=
α | Κατασκευαστικά με τον ορισμό θα προκύψει ότι η e {w| είναι γνησίως
φθίνουσα στο Δ-
β | Το e {Α| < Z2: FxEflim
x +
>- 0
| < Z 2 • km2 • d2 : +∞ | : διότι
·= e {2| < 2 • km2 • d2 ; / : γιατί : {περίπου ;07:1 |
·= +¥=+
>-
FxEflim
x 0
γ | Η εξίσωση ισοδύναμα γίνεται 9
kmw + dw < 2 Û kmw + dw ; 2 < / Û e {w| < /
Το / Îe {Α| : άρα έχει τουλάχιστον μια ρίζα και μιας και είναι και γνησίως
μονότονη έχει ακριβώς μια ρίζα-
0/6- Έστω η e{w| συνεχής στο Δ < Z/:0 και για κάθε χ ÎΔ ισχύει 9
;0; e{w|;/-
Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα χ/ Î{/:0| τέτοιος ώστε να ισχύει
e 1{w/| + e{w/| + χ/ < /-
ΛΥΣΗ
ΘΕΩΡΩ την f{w|< e 1{w|+ e{w|+ w : Δ < Z/:0
·= Συνεχής ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων στο Δ-
·= f{/| < e 1{/| + e {/| < e {/|¶{e {/|+0| ; / γιατί :
·= f{0| < e 1{0|+ e{0|+ 0 : το e {0| Î Q και το f{0| δευτεροβάθμια
παράσταση με διακρίνουσα ; / άρα ομόσημη του α και τελικά

x37]=
=
f{0| = /-
Από Θ- Μπολζάνο υπάρχει τουλάχιστον ένα χ/ Î{/:0| τέτοιος ώστε να ισχύει
e 1{w/| + e{w/| + w/ < /-
0/7- Να βρείτε τη συνεχή συνάρτηση e {w| 9 Â àÂ :για την οποία ισχύει 9
w¶e{w| • w¶dw < w1 + 4ημ2w : για κάθε wÎ Â -
ΛΥΣΗ
Η σχέση γράφεται 9 w¶e{w| • w¶dw < w1 + 4ημ2w Û
e {w| <
ïî
ï
í
ì
=
¹++
00
0
3
5
xFIEf
xI
x
x
xex hm
και η συνάρτηση συνεχής άρα„„--
προκύπτει e {/| < 05 : ακολουθεί η γραφική της παράσταση-
0/8- Έστω συνεχής e {w| 9 {/:+ ∞| à Q για την οποία ισχύει 9
e 2{w| + w e {w| + w2 < / {0|
Να δείξετε ότι 9
α | ; w1 ; e {w| ; /
β | Να δειχθεί ότι η εξίσωση 9 5 ; w e {w| < w1 + 4 w: έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο
{0:1|-

x38]=
=
γ | Βρείτε το όριο F
x
FxEfElim
x
1
0
hm+
>-
δ | Να υπολογιστούν τα όρια
x
FxEf
lim
x +
>- 0
:
20 x
FxEf
lim
x +
>-
-
ΛΥΣΗ
α | Αρκεί e {w| ; / και e {w| + w1 = / -
Η σχέση {0| γίνεται 9 e 2{w| + w e {w| + w2 < / ή e {w|{ e 1{w|+ w| < ; w2
ή e {w| < 02
3
<
+
-
xFxEf
x
γιατί :
Η σχέση {0| γίνεται 9 e 2{w| + w e {w| + w2 < / ή e 2{w| + w{ e {w| + w1 |< /
ή w{e {w| + w1 |< ; e 2{w| άρα e {w| + w1 = /-
β | Θεωρώ την f{w| < w e {w| + w1 + 4 w • 5 : στο Z0:1-
·= Συνεχής ως πράξεις„„ στο Z0:1-
·= f{0| < e {0| ; / : από α|
·= f{1| < 1e {1| + 7 < 1{e {1| + 3| = / από α|
Άρα από Θ- Μπολζάνο υπάρχει wο στο {0:1| ώστε f{wο| < /-
γ | Απ ο α| ερώτημα προκύπτει απ το Κ.Π ότι FxEflim
x +
>- 0
< /
FxEf
x
FxEfFxEfFxEf
x
FxEf ££-Û£
11
hmhm : άρα πάλι απ το Κ.Π
ισχύει ότι 9 F
x
FxEfElim
x
1
0
hm+
>-
< /-
δ | ; w1 ; e {w| ; / 0<<-Û
x
FxEf
x : άρα από Κ.Π
x
FxEf
lim
x +
>- 0
< /-
Η σχέση {0| διαιρώντας με w2 γίνεται 9
3
223
3
101 F
x
FxEf
E
x
FxEf
x
FxEf
x
FxEf
--=Û=++ : άρα
20 x
FxEf
lim
x +
>-
< ;0-

x39]=
=
Ερωτήσεις Κατανόησης Σχολικού

x40]=
=
Ενότητα 9 Σωστά Λάθος • Συνέχεια • Θεωρήματα Συνεχών Συναρτήσεων
0- Έστω e{w| συνεχής στο Zα,β - Αν e(α|e(β| =/ : η εξίσωση e{w|</
είναι βέβαιο ότι δεν έχει ρίζα στο {α,β|-
Λ
1- Δίνεται η συνεχής συνάρτηση e στο σύνολο Α<Z0:3 με e{w|≠/ για
κάθε wÎZ0:3 και e{2| <;1- Τότε ισχύει e{w| = / για κάθε wÎZ0:3-
Λ
2- Η εικόνα e(Δ| ενός διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς
συνάρτησης e{w| είναι πάντοτε διάστημα-
Λ
3- Για οποιαδήποτε συνάρτηση e{w| που είναι συνεχής στο Zα,β και
έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο {α,β| : ισχύει απαραίτητα
e(α|e(β|;/-
Λ
4- Αν η συνάρτηση e{w| είναι συνεχής στο Zα,β : τότε το σύνολο
τιμών της e{w)στο διάστημα αυτό είναι κατ‘ ανάγκην το
Ze(α|: e(β| ή το Ze(β|: e(α|-
Λ
5- Κάθε συνάρτηση e{w| συνεχής στο {α,β| : παίρνει στο {α,β| μια
μέγιστη και μια ελάχιστη τιμή-
Λ
6- Αν η e{w| είναι συνεχής στο Zα,β με e(α|≠ e(β| : τότε υπάρχει
τουλάχιστον ένας πραγματικός αριθμός wοÎ(α,β| έτσι ώστε
e{wο| <
2
FEfFaEf b+
-
Σ
7- Αν η συνεχής και γν- αύξουσα e{w| στο Zα,β| : τότε είναι βέβαιο ότι
παίρνει μέγιστη τιμή σε αυτό-
Λ
8- Δίνεται η συνεχής και αντιστρέψιμη e{w| στο Q για την οποία
ισχύει e;0{1/04|<3 και e;0{0838| < ;0- Τότε κατ‘ ανάγκην δεν
υπάρχει wοÎQ τέτοιο ώστε να ισχύει e{wο|< / -
Λ

x41]=
=
ΕΝΟΤΗΤΑ9 Ορισμός Παραγώγου • Εφαπτομένη • Ρυθμός Μεταβολής
Συνοπτική Θεωρία ; Ασκήσεις
Ορισμός Παραγώγου και ανισότητα
Εμφανίζω ή δημιουργώ το λόγο και εφαρμόζω τις ιδιότητες των ορίων ή το
κριτήριο παρεμβολής-
ü= Πρώτα να γίνουν οι 1: 3 Α΄ ομάδας και 3 Β΄ Ομάδας: κατόπιν οι 00/ • 001
Μετά οι υπόλοιπες του βιβλίου και των σημειώσεων {έως 008|-
00/- Έστω e{w| : f{w| : φ(χ| συναρτήσεις ορισμένες στον Â για τις οποίες
ισχύουν 9 φ{w| £ e{w| £ f{w| για κάθε w Î Â και ισχύουν
φ{/| < e{/|< f{/| και φ΄{/|< f΄{/|<1//3-
Να αποδείξετε ότι 9 e΄{/|<1//3-
[ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 1; ΓΚΑΤΖΟΥΛΗ
ΛΥΣΗ
φ{w| £ e{w| £ f{w| ή φ{w| • φ{/| £ e{w|; e {/| £ f{w| ; f{/|
Για w = / είναι 9
0
0
0
0
0
0
-
-
£
-
-
£
-
-
x
FEgFxEg
x
FEfFxEf
x
FEFxE jj
Από Κ.Π προκύπτει ότι
0
0
0 -
-
+
>- x
FEfFxEf
lim
x
<1//3 {0|
Για w ; / είναι 9
0
0
0
0
0
0
-
-
³
-
-
³
-
-
x
FEgFxEg
x
FEfFxEf
x
FEFxE jj
{1|
0
0
0 -
-
-
>- x
FEfFxEf
lim
x
<1//3
Από {0|: {1| προκύπτει 9 e ΄{/| < 1//3-
000- Έστω e{w| : f{w| παραγωγίσιμες στο / και ισχύουν 9
e{/|< f{/| < / και e{w| £ f{w| για κάθε w Î Â -
Να αποδείξετε ότι 9 e ΄{/|< f ΄{/|-
ΛΥΣΗ • Όμοια με 4 και 5 Β΄ ομάδας σχολικού
e{w| £ f{w| ή e{w| ; e {/| £ f{w| ; f{/| και έστω λ0 < e ΄{/| και λ1 < f΄{/|

x42]=
=
0
0
0
0
-
-
£
-
-
x
FEgFxEg
x
FEfFxEf
Από διάταξη +όριο : προκύπτει
0
0
0 -
-
+
>- x
FEfFxEf
lim
x
≤
0
0
0 -
-
+
>- x
FEgFxEg
lim
x
Άρα λ0 ≤ λ1 {0|
0
0
0
0
-
-
³
-
-
x
FEgFxEg
x
FEfFxEf
Από διάταξη +όριο : προκύπτει
0
0
0 -
-
-
>- x
FEfFxEf
lim
x
≥
0
0
0 -
-
-
>- x
FEgFxEg
lim
x
Άρα λ0 ≥ λ1 {1|
Από {0| : {1| προκύπτει 9 λ0 < λ1 ή e ΄{/| < f ΄{/|
001- Δίνεται η e 9 Qà Q για την οποία ισχύει 9 1;w 3 £ e{w| £ 1+w 3
Να αποδείξετε ότι 9
α | e{/|< 1 β | η e{w| είναι συνεχής στο /
γ | η e{w| είναι παραγωγίσιμη στο / και να βρεθεί η e ΄{/| -
ΛΥΣΗ • Όμοια με 4 και 5 Β΄ ομάδας σχολικού
α | όπου w < / και 1£ e{/| £ 1 άρα e {/| < 1-
β | 1;χ3 £ e{w| £ 1+χ3 και το Κ.Π προκύπτει ότι FxEflim
x 0>-
<1<e{/|
γ | 1;w3 £ e{w| £ 1+w 3 ή ;w3 £ e{w| ; e {/| £ w3
33
0
0
x
x
FEfFxEf
x £
-
-
£-
0
0
0 -
-
+
>- x
FEfFxEf
lim
x
</ {0|
33
0
0
x
x
FEfFxEf
x ³
-
-
³-

x43]=
=
0
0
0 -
-
-
>- x
FEfFxEf
lim
x
</ {1|
Από {0| : {1| είναι 9 e ΄{/| < /-
Παράγωγος στο w/ και συναρτησιακή σχέση
Δουλεύω με τον ορισμό-
002- Δίνεται η e{w| 9Qà Q για την οποία ισχύει 9
e{w+x|< e{w| + e{x|+2wx • 1 : για κάθε w : x Î Â : επίσης η e{w| είναι
παραγώγισιμη στο / και f΄{/|<3-
Να αποδείξετε ότι η e{w| είναι παραγωγίσιμη στο w/ Î Â -
ZΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ0;ΠΑΠΑΔΑΚΗΣ
ΛΥΣΗ • Όμοια με 1 Β΄ ομάδας σχολικού
Για w < x < / στη σχέση προκύπτει 9 1e {/| ; e {/| < 1 ή e {/| < 1
e ΄{/| < 3 ή 4
2
0
=
-
>- h
FhEf
lim
h
{0|
Η e {w| είναι παραγωγίσιμη στο wο αν και μόνον αν το παρακάτω όριο είναι
πραγματικός αριθμός-
Είναι : e ΄{wο| <
o
o
h
ooo
h
oo
h
x
h
hxFhEf
lim
h
FxEfhxFhEfFxEf
lim
h
FxEfFhxEf
lim
34
23
23
0
00
+=
-+
=
--++
=
-+
>-
>->-
003- Δίνεται e{w| Qà Q παραγωγίσιμη στο / και στο 2 με f΄{2|<4- Επιπλέον
ισχύει 9 e{w+x| < e{w| + e{x| + w¶x : για κάθε w: x Î Â -

x44]=
=
α | να αποδείξετε ότι 9 η e{w| διέρχεται απ την αρχή των αξόνων-
β | να βρείτε το e΄{/|- [ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑΓ0;ΠΑΠΑΔΑΚΗΣ
ΛΥΣΗ • Όμοια με 1 Β΄ ομάδας σχολικού και 002 : δοκιμάστε λίγο μόνοι σας !
α | Για w < x < / στη σχέση προκύπτει 9 1e {/| ; e {/| < / ή e {/| < /
e ΄{2| < 4 ή 5
33
0
=
-+
>- h
FEfFhEf
lim
h
ή
2053053
0
5
3
5
333
0
00
=¢Û=+¢Û=+
-
=
+
Û=
-++
>-
>->-
FEfFEfF
h
FhEf
Elim
h
hFhEf
lim
h
FEfhFhEfFEf
lim
h
hh
004- Για τις e{w| : f{w| Qà Q ισχύουν 9
e{α+β| < e{α|¶e{β| για κάθε α,βÎ Â :
e{w| < f{w|¶ημw +0 : για κάθε χÎ Â :
f{/| < 1//3 και f{w| συνεχής στο /-
Να αποδείξετε ότι 9 e ΄{w| < 1//3e{w| για κάθε χÎ Â -
ΛΥΣΗ
FxEf
h
hFhEg
limFxEf
h
FFhEfFExEf
lim
h
FxEfFhEfFxEf
lim
h
FxEfFhxEf
lim
o
h
o
o
h
oo
h
oo
h
2004
111
00
00
=
-+
=
-
=
-
=
-+
>->-
>->-
hm
Το τέχνασμα της προσθαφαίρεσης
005- Δίνεται η e{w| Qà Q : παραγωγίσιμη στο 2-
Να υπολογίσετε ως συνάρτηση των e{2| : e΄{2| το όριο 9

x4R]=
=
3
)3()(3
lim3
-
-
>-
x
xfxf
x
[ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑΓ0;ΠΑΠΑΔΑΚΗΣ
ΛΥΣΗ
3
)3()(3
lim3
-
-
>-
x
xfxf
x
<
3
333333
3 -
-+-
>- x
FExfFEfFEfFxEf
lim
x
<
FEfFEf
x
FxFEEfFFEfFxEfE
lim
x
333
3
3333
3
-¢=
-
---
>-
Παραγώγος και αλλαγή μεταβλητής
006- Αν για την e{w| Qà Q ισχύει 9 f΄{/|<4 : να υπολογίσετε τα όρια 9
α |
x
fxf
x
)0()3(
lim0
-
>-
β |
x
xfxf
x
)()3(
lim0
-
>-
ΛΥΣΗ
α | FEf
u
FEfFuEf
lim
u
FEfFuEf
lim
x
FEfFxEf
lim
uux
03
0
3
3
003
000
¢=
-
=
-
=
-
>->->-
β |
FEfFEfFEf
x
FFEfFxEfEFEfFxEf
lim
x
FxEfFEfFEfFxEf
lim
xx
02003
003003
00
¢=¢-¢
=
---
=
-+-
>->-
007- Δίνεται η e{w| Qà Q παραγωγίσιμη στο /- Να αποδείξετε ότι 9
α |
x
fxf
x
)0()(
lim0
-
>-
a
=αf΄{/| :α≠/ β |
x
xfxf
x
3
)2()5(
lim0
hm
-
>-
<e΄{/|
ΛΥΣΗ
α | Δες 006 α| • θα χρησιμοποιηθεί στο β|-

x46]=
=
β |
x
xfxf
x
3
)2()5(
lim0
hm
-
>-
<
x
x
x
FFEfFxEfEFEfFxEf
lim
x 3
0205
0 hm
---
>-
<
<„„„„<e ΄{/|-
008- Δίνεται η e{w| Qà Q παραγωγίσιμη στο w/ Î Â - Να αποδείξετε ότι 9
α |
h
xfhxf
h
)()(
lim 00
0
-+
>-
l
< λ¶e΄{w/| : λ ≠/
β |
h
hxfhxf
h
)4()5(
lim 00
0
+-+
>-
< e΄{w/| [ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑΓ0;ΠΑΠΑΔΑΚΗΣ
Σχολικό Βιβλίου 2 Α΄ Παράγραφος 1-1

x47]=
=

x48]=
=
Ø= Να ακολουθήσουν οι ασκήσεις 0:1:2 Β΄ Ομάδας Παραγράφου 1-1
Ø= Να γίνουν πρώτα οι 3 και 4 Α΄ Ομάδας σελίδα 01/-
Εξίσωση Εφαπτομένης
Ομάδα Ασκήσεων Α • Ξέρω το σημείο επαφής -
Όμοιες Ασκήσεις Σχολικού 9 3Β΄ παράγραφος 1-1
01/- Βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της e{w| < w ¶{ )3-x στο
{3: e{3||-
ΛΥΣΗ
Το {3:e{3|| <{3: ; 3| είναι το σημείο επαφής-
f΄{w| < { )3-x +w
x2
1
: e ΄{3| < ;0 +0 < / : άρα η ζητούμενη είναι
παράλληλη στον ww΄ και είναι η „„„„„-

x49]=
=
Ομάδα Ασκήσεων Β • Δεν γνωρίζω το σημείο επαφής-
Τότε θεωρώ ότι είναι το {w/: e{w/|| και φτιάχνω εξίσωση σύμφωνα με τα
δεδομένα της άσκησης-
Όμοιες Ασκήσεις Σχολικού 9 8Α΄ : 0/Α΄ παράγραφος 1-2
010- Έστω e{w| < w2;2w1+3w+7 : βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της
που είναι 9
α | παράλληλη στην x < 02w;6
β | είναι κάθετη στην x < ;
4
1
w +2 γ | σχηματίζει με τον χχ΄ γωνία 34/
ΛΥΣΗ Όμοια με 8 Α΄ Ομάδας-
α | Έστω {w/: e{w/|| το σημείο επαφής- Παράλληλες άρα e ΄{w/| < 02 ή
2wο
1 ; 5wο +3 ;02 < / ή 2{wο
1 ; 1wο ;2| < / ή {w/ < 2 ή w/ < ;0|
β | και γ| ομοίως-
Ομάδα Ασκήσεων Γ • Θέλω να δείξω ότι μια ευθεία εφάπτεται σε μια συνάρτηση-
Τότε έστω {w/: e{w/|| το σημείο επαφής : για να εφάπτεται η {ε| x<α w+β στη
συνάρτηση e{w| πρέπει και αρκεί να ισχύουν 9
e{w/| < αχ/+β και e ΄{w/| <α
Όμοιες Ασκήσεις Σχολικού 9 1Β΄ παράγραφος 1-1 : 00 Α΄ : 3 Β΄παράγραφος 1-2
011- Να δείξετε ότι η x<w+1 : εφάπτεται στη e{w| < χ2 ;1χ+3-
ΛΥΣΗ
Έστω {w/: e{w/|| το σημείο επαφής-
Πρέπει να ισχύουν 9 e{w/| < χ/+1 και e΄{w/| <0-
Είναι 9 e ΄{w| < 2 w1 • 1 : άρα 2 wο
1 • 1 < 0 ή wο
1 < 0 ή wο < °0
Απ την συνάρτηση 9 e{w| < w2 ;1w+3 : υπολογίζω:
e{0| < 2 και ικανοποιεί την e{w/| < χ/+1 -
e{;0| < 4 και ΔΕΝ ικανοποιεί την e{w/| < χ/+1 -
Συνεπώς 9 σημείο επαφής το {0:2| και η {ε| εφάπτεται στην e{w| σε αυτό-

xR0]=
=
012- Αποδείξτε ότι η 1w; x ;3 < / : εφάπτεται στις e{w| < w1;3w+4 και
f{w| < w1+1w;3 -
Ομάδα Ασκήσεων Δ • Δυο συναρτήσεις e{w| : f{w| δέχονται κοινή εφαπτομένη σε
κοινό τους σημείο- Τότε αν {w/: e{w/|| το κοινό τους σημείο : πρέπει και αρκεί να
ισχύει 9
e{w/| < f{w/| και e΄{w/| < f΄{w/|
Όμοιες Ασκήσεις Σχολικού 9 2Β΄ παράγραφος 1-2
013- Έστω e{w| < dw : f{w| < 3 • 3d;w - Να δείξετε ότι δέχονται κοινή
εφαπτομένη στο κοινό τους σημείο-
ΛΥΣΗ
Θα βρω το ή τα κοινά τους σημεία-
e{w| < f{w| ή dw < 3 • 3d;w ή d1w • 3dw + 3 < /
{dw • 1|1 < / ή dw < 1 ή w < km1 : άρα κοινό σημείο το @{km1 : 1|-
Η εφαπτομένη στο Α είναι η 9 x • 1 < 1{w;km1| ή αλλιώς
ε 9 x < 1w +1{0;km1|
G

xR1]=
=
014- Δίνονται οι e{w| < dαχ+β και f{w| < w1;w+0-
Να προσδιορίσετε τους α,β ώστε οι γραφικές παραστάσεις των
παραπάνω συναρτήσεων να έχουν κοινό σημείο με τετμημένη 0 και
συγχρόνως κοινή εφαπτομένη σε αυτό-
ΛΥΣΗ
Πρέπει να ισχύουν e{0| < f{0| και e΄{0| < f΄{0|
Κοινό με τετμημένη 0 : άρα e{0| < f{0| ή dα+β < 0 ή α + β < 0 {0|
e ΄{w| < α dαχ+β και e ΄{0| < α¶d
f ΄{w| < 1 w • 0 και f ΄{0| < 0- Άρα α < d;0 : β < 0 • d;0
015- Δίνονται οι f{w| < αw1+βw+0 και e{w|<w¶kmw : βρείτε τα α: β ώστε οι
γραφικές παραστάσεις των παραπάνω συναρτήσεων να έχουν κοινή
εφαπτομένη στο {0: e{0||-
Ομάδα Ασκήσεων Ε • Δυο συναρτήσεις e{w| : f{w| δέχονται κοινή εφαπτομένη
αλλά όχι σε κοινό τους σημείο- Τότε 9
αν {α: e{α|| το σημείο επαφής της {ε| με την e{w| και {β: f{β|| το σημείο επαφής
της {ε| με την f{w| έχω 9
x; e{α| < e΄(α|{χ-α| {0| και x; f{β| < f΄(β|{χ-β| {1|
από {0| : {1| πρέπει και αρκεί να ισχύουν 9
e ΄(α|< f΄(β| και e{α|;α e ΄(α| < f{β|;βg΄(β|
016- Έστω e{w| <
x
1
και f{w| < ;w1 : βρείτε τη κοινή τους εφαπτομένη-
ΛΥΣΗ
Έχουν κοινό σημείο οι δυο συναρτήσεις- Το βρίσκω ως εξής 9
e{w| < f{w| ή
x
1
< ;w1 ή w2 < ;0 ή w < ;0 και e{;0| < ;0
Άρα κοινό το {;0:;0|-
e ΄ {;0| < ;0 και f ΄{;0| < +1 : άρα δεν έχουν στο κοινό τους σημείο-
Έστω {α: e{α|| το σημείο επαφής της μιας και {β: f{β|| της άλλης-
Πρέπει να ισχύουν 9 e ΄(α|< f΄(β| και e{α|;α e ΄(α| < f{β|;βg΄(β|

xR2]=
=
22
1
2
1
aa
=Û-=- bb και
222 2
2
11
bbb =Û+-=+
aaa
Λύνοντας προκύπτει 9 α<
2
43
και β < 3
4
Η κοινή εφαπτομένη είναι η 9 x + {3
4 |1 < ;13
4 {w ; 3
4 | ή
x < ;13
4 w + {3
4 |1
Ø= Μια σημαντική άσκηση του βιβλίου 8 Β΄ Ομάδας

xR3]=
=
Ρυθμός μεταβολής
Ø= Να γίνουν οι 0;2 Α΄ και 0;3 Β΄ και η 6 Β΄
Ø= Μια σημαντική άσκηση του βιβλίου η 5 Β΄ Ομάδας
017- Από δεξαμενή με σχήμα αντιστραμμένου κώνου χύνεται νερό με ρυθμό
5π l2.r - Το ύψος του κώνου είναι 1/ μέτρα και η ακτίνα της βάσης του
0/-Βρείτε πόσο γρήγορα κατεβαίνει η στάθμη του νερού στη δεξαμενή κατά
τη χρονική στιγμή s/ που το νερό έχει ύψος 4 μέτρα-
ΥΠΟΔΕΙΞΗ 9 Όμοια τρίγωνα χ{s| < 0.1¶g{s| και U<0.2π¶w1{s|¶g{s|

xR4]=
=
018- Σημείο Μ της x < 1χ1 κινείται έτσι ώστε να ελαττώνεται η τεταγμένη
του με ρυθμό 0/ εκατοστά/δευτ- Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της
τετμημένης του Μ τη χρονική στιγμή κατά την οποία χ<0-
ΛΥΣΗ
Είναι x΄{s| < ;0/bl.r
Επίσης x{s| < 1w1{s| και τη χρονική στιγμή sο το w < 0 άρα w{sο| < 0 και x{sο| < 1
Έχω 9 x΄{ s| < 3 w{s|¶ w΄{ s| {0|- Ψάχνω το w΄{ sο|-
Βάζω στην {0| όπου s < sο: έχω 9 x΄{ sο | < 3 w{sο |¶ w΄{ sο | ή ;0/ < 3 w΄{ sο| άρα „-
02/- Έστω w{s| < 1s2 ;01s1 +07 s ;4 : η θέση ενός υλικού που κινείται σε
άξονα: όπου s ÎZ/:3-
α | βρείτε την ταχύτητα του και την επιτάχυνση του για s<1
β | βρείτε τις στιγμές που το υλικό είναι ακίνητο-
γ | ποια χρονικά διαστήματα το σώμα κινείται δεξιά και πότε κινείται
αριστερά-
δ | ποιο το ολικό διάστημα που διάνυσε στα 3 πρώτα δευτερόλεπτα-
ΛΥΣΗ ; Όμοια με 1 Εφαρμογή σχολικού Γ΄ Γενικής Παιδείας
α | υ{s| < 5s1 ;13s + 07 α {s| < 01 s • 13
β | υ{s| < / Û 5{s1 ; 3 s+2| < / Û s < 0 ή s < 2
γ | υ{s| ; / Û sÎ{0:2| : υ{s| = / Û sÎZ/: 0|È{2:3
δ | Η απάντηση υπολογίζεται όπως στην παρακάτω λύση-

xRR]=
=
020- Το εμβαδόν τετραγώνου αυξάνεται με ρυθμό 13bl1.r : τη χρονική
στιγμή που η πλευρά του είναι 3 εκατοστά- Στην ίδια χρονική στιγμή : βρείτε
το ρυθμό μεταβολής της διαγωνίου του-
ΛΥΣΗ
Δεδομένα είναι 9 Ε΄{ sn| < 13 : όπου Ε{s| < {w{s||1 : άρα
E΄{s| < 1¶w{s|¶w΄{s| : συνεπώς: Ε΄{ sn| <1¶w{sο|¶w΄{sο| < 13 bl1.rdb {0|
Ζητείται δ΄{sn|- Όμως δ1{s| < 1w1{s| : παραγωγίζοντας προκύπτει 9
2δ{sn|¶δ΄{ sn| < 3χ{sn|¶χ΄{ sn| < 1¶Ε΄{ sn| < 37 {1|
Τη χρονική στιγμή sn που κάθε πλευρά είναι 3 : το μήκος της διαγωνίου είναι
3 2 - Άρα δ{sn|< 3 2 : συνεπώς η {1| γίνεται 9
7 2 ·δ΄{sn|< 37 Û δ{sn| <
2
26
< 2 2 bl.rdb -
ΕΝΟΤΗΤΑ 9 Θεώρημα Qnkkd • Θ.Μ.Τ : Συνέπειες και Μονοτονία
ΘΕΩΡΗΜΑ QNKKD
Ø= Εφαρμόζεται όταν ισχύουν απαραίτητα και οι 2 προϋποθέσεις του-
Προφανώς αν η e{w| είναι παραγωγίσιμη στο Zα: β : θα είναι και συνεχής εκεί-
Ø= Αν ισχύει το Θ.Ρολ στο Δ : τότε η συνάρτηση ΔΕΝ είναι 0;0 στο Δ-

xR6]=
=
ΒΑΣΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΒΙΒΛΙΟΥ
Ø= Οι ασκήσεις σχολικού που αναφέρονται στο Θ- Ρολ είναι 9
0 Α΄ : 0;2 Β΄ και 6 Β΄- Ακολουθούν και άλλες ασκήσεις-
Ομάδα Ασκήσεων Α • Θέλω η εξίσωση 9 e ΄{w| < / : να έχει μια τουλάχιστον λύση
.Εφαρμόζω το Θεώρημα-
021- Δίνεται η e{w| < {w+0|4¶{w;1|3- Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 9 e ΄{w| < /
έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο {;0:1| και να προσδιοριστεί-
ΛΥΣΗ
Απλή εφαρμογή του Θ- Ρολ-
022- Ισχύουν οι υποθέσεις του Θ- QNKKD για την e{w| < 1-x στο Z;1:1 :
ΛΥΣΗ
Όχι γιατί ΔΕΝ είναι παραγωγίσιμη στο / εσωτερικό του {;1:1|-
023- Σε έναν αγώνα δρόμου δυο αθλητές τερματίζουν ταυτόχρονα- Να
αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον μια χρονική στιγμή s/ κατά τη διάρκεια
του αγώνα που έχουν την ίδια ταχύτητα-
ΛΥΣΗ
Έστω ότι ο αγώνας διαρκεί από s0 {έναρξη| έως s1 {τερματισμός| ή αλλιώς στο
διάστημα Δ < Zs0 : s1-
Έστω w0{s| 9 η θέση του 0ου αθλητή κατά τη διάρκεια του αγώνα-
Και w1{s| 9 η θέση του 1ου αθλητή κατά τη διάρκεια του αγώνα-
Θεωρώ τη συνάρτηση e{s| < w0{s| • w1 {s| στο Δ-
·= Είναι συνεχής στο Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ-
·= e{s0| < e{s1| < / γιατί :

xR7]=
=
Άρα από Θ- Ρολ υπάρχει sο στο {s0 : s1| ώστε e ΄{ sο| < / ή w0΄{sο| • w1΄ {sο| < / ή
υ0{sο| < υ1{sο|
Ομάδα Ασκήσεων Β • Θέλω η εξίσωση 9 e{w| < / : να έχει μια τουλάχιστον λύση
στο {α: β| και δεν εφαρμόζεται το Θ- Anky`mn-
Τότε θεωρώ την E{w| με E΄{w| < e{w| {την E{w| την ονομάζουμε αρχική της e{w||
και εφαρμόζω το Θεώρημα QNKKD για την E{w| -
024- Αν 0
234
=++
gba
: να αποδείξετε ότι η εξίσωση 9 αw2 +βw1 +γw < / :
έχει μια τουλάχιστον λύση στο {/:0|-
ΛΥΣΗ
Θεωρώ την e{w| <
234
234
xxx
gba
++ στο Z/:0 και εφαρμόζω Θ- Ρολ-
Ομάδα Ασκήσεων Γ • Αν θέλω η εξίσωση 9 e{w| < / : να έχει το πολύ μια ρίζα στο
(α: β| : αποδεικνύω ότι e ΄{w| ≠ / για κάθε χ Î(α: β|- Πως:
Δέχομαι ότι η εξίσωση έχει 1 άνισες ρίζες Θ- Ρολ και κατάληξη σε άτοπο ή
δείχνω ότι η e{w| είναι γνησίως μονότονη ή 0;0 : οπότε έχει το πολύ μια ρίζα-
025- Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 9 συνw < w • 0 έχει το πολύ μια ρίζα στο
{/: )
2
p
-
ΛΥΣΗ
Θεωρώ τη συνεχή και παραγωγίσιμη συνάρτηση στο πεδίο ορισμού της :
e{w| < συνw ; w + 0 : Îx Z/:
2
p
-
Έστω ότι έχει ΔΥΟ ρίζες τις ρ0 : ρ1 του Z/:
2
p
- Τότε ισχύουν οι προϋποθέσεις
του Θ- Ρολ στο Zρ0 : ρ1 υποσύνολο του Z/:
2
p
-

xR8]=
=
Άρα στο {ρ0 : ρ1| Ì {/: )
2
p
: υπάρχει ξÎ(ρ0: ρ1| ώστε e ΄(ξ| < /-
Όμως e ΄{w| < ; ημw ;0 -
Και ;0 ≤ημx≤0 Û 0≥-ημx≥;0Û 0≥-ημw;0≥;1Û ;1≤-ημw;0≤/: το ª<º με
μηδέν ισχύει για w < 2
2
p
-
Για κάθε w Î {/:
2
p
| είναι e ΄{w| ; / : άρα δεν υπάρχει ξ Î {/:
2
p
| ώστε
e ΄(ξ| < /:
Συνεπώς : η e{w| δεν μπορεί να έχει δυο ρίζες κατέληξα σε ΑΤΟΠΟ: συνεπώς έχει
το πολύ μια-
026- Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 9 συν1w < 2w+1 έχει το πολύ μια ρίζα στο Q-
ΛΥΣΗ
Θεωρώ τη συνεχή και παραγωγίσιμη συνάρτηση στο πεδίο ορισμού της :
e{w| < συν1w ; 2w ;1 : Îx Q-
Έστω ότι έχει ΔΥΟ ρίζες τις ρ0 : ρ1 -
Τότε ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θ- Ρολ στο Zρ0 : ρ1 υποσύνολο του Q-
Άρα στο {ρ0 : ρ1| Ì Q : υπάρχει ξÎ(ρ0: ρ1| ώστε e ΄(ξ| < /-
Όμως e ΄{w| < ; 1ημ1w ;2 : Îx Q-
Και ;0 ≤ημ1w≤0 Û 1≥;1ημ1w≥;1Û ;0≥;1ημ1w;2≥;4Û
;4≤;1ημ1w;2≤;0
Για κάθε w ÎQ είναι e ΄{w| ; / : ΑΤΟΠΟ-
Άρα η e{w| δεν μπορεί να έχει δυο ρίζες : συνεπώς έχει το πολύ μια-
027- Δείξτε ότι η εξίσωση 9 αw + βw < γw : με / ; α ; β ; γ : έχει το πολύ μια
πραγματική λύση-
ΛΥΣΗ

xR9]=
=
Θεωρώ την e{w| < 1-+ x
x
x
x
a
g
b
g
: w ÎQ-
Τότε ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θ- Ρολ στο Zρ0 : ρ1 υποσύνολο του Q-
Άρα στο {ρ0 : ρ1| Ì Q : υπάρχει ξÎ(ρ0: ρ1| ώστε e ΄(ξ| < /-
Όμως e ΄{w| < 01<-+
g
b
g
b
gg
lnFE
a
lnF
a
E xx
: για κάθε Îx Q- Άρα ΑΤΟΠΟ-
ΣΗΜΑΝΤΙΚΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ 0 9
Αν e ΄΄{w| ≠ / : τότε η εξίσωση e{w| < / θα έχει το πολύ δυο ρίζες: επίσης
αν e ΄΄΄{w| ≠ /: η e{w| < / θα έχει το πολύ 2 ρίζες-
028- Η εξίσωση 9 d;w < αw : α oÎ : έχει το πολύ 1 πραγματικές και άνισες
ρίζες-
ΛΥΣΗ
e{w| < d;w • αw : e ΄{w| < ; d;w ; α : e ΄΄{w| < d;w = /-
Άρα η εξίσωση e{w| < / έχει το πολύ δυο πραγματικές ρίζες-

x60]=
=
ΣΗΜΑΝΤΙΚΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ 1 9 Αν θέλω μοναδικότητα ρίζας σε ένα διάστημα
την εξασφαλίζω με προφανή ρίζα και εργάζομαι όπως προηγούμενα:
δηλαδή με απαγωγή σε άτοπο • {Ομάδα Γ| ή Θ- Anky`mn και Μονοτονία-
03/- Η εξίσωση 9 2χ <
x
1
έχει ακριβώς μια ρίζα στο {/:0|-
ΛΥΣΗ
Θεωρώ την e{w| < 2w ;
x
1
με πεδίο ορισμού το Δ < {/:0-
Τότε ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θ- Ρολ στο Zρ0 : ρ1 υποσύνολο του Δ-
Άρα στο {ρ0 : ρ1| Ì Δ : υπάρχει ξÎ(ρ0: ρ1| ώστε e ΄(ξ| < /-
Είναι e ΄{w| < 2wkm2 + 2
1
x
=/ για κάθε w στο Δ-
Άρα η e{w| έχει το πολύ μια ρίζα- Θα δείξω τώρα γιατί έχει ακριβώς μια-
Η e{w| είναι γνησίως αύξουσα στο Δ < {/:0 : γιατί :
·= έστω w0 ; w1 Þ 21
33 xx
< {0|
·= έστω w0 ; w1 Þ
2121
1111
xxxx
-<-Þ> {1| από {0|: {1| προκύπτει -
030- Να δειχθεί ότι η εξίσωση d2w + 1w < 0 έχει μοναδική ρίζα στο Q-
ΛΥΣΗ
Προφανή ρίζα η w < / -
Δείξε ότι είναι γνησίως αύξουσα στο Q-
031- Να δειχθεί ότι η εξίσωση w2+α w1+α1 w;0 < / έχει ακριβώς μια ρίζα
για κάθε α στο Q -
ΛΥΣΗ
Θεωρώ την συνάρτηση e{w| < w2+α w1+α1 w;0: w Î Q-
e ΄{w| < 2 w1 + 1αw + α1 : Δ < 3 α1 • 01 α1 < ;7 α1 ≤ /

Teachers book c class 2018

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Teachers book c class 2018

Similar to Teachers book c class 2018 (20)

More from General Lyceum "Menelaos Lountemis"

More from General Lyceum "Menelaos Lountemis" (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (10)

Teachers book c class 2018