Metodi numerici per la derivazione

1. METODI NUMERICI PER LA
DERIVAZIONE DI FUNZIONI

2. Prerequisiti
• Conoscere la definizione di derivata e il suo
significato geometrico
• Saper calcolare derivate anche di funzioni
composte

3. È data una funzione derivabile nel punto x o.
La derivata è definita come limite del
rapporto incrementale per h→0
Consideriamo il rapporto incrementale
come approssimazione della derivata
f ' ( xo ) ≅
f ( xo + h ) − f ( xo )
h

4. Il limite del rapporto incrementale
e le possibili “approssimazioni”

5. Considerare il rapporto incrementale come
approssimazione della derivata comporta
un errore che dipende da xo e da h
f ( xo + h ) − f ( xo )
f ( xo + h ) − f ( xo )
f ' ( xo ) ≅
⇒ f ' ( xo ) =
+ ε ( xo + h )
h
h
Posso ridurre l’errore ad un valore
accettabile scegliendo opportunamente h.
Non posso eliminare l’errore, perché opero
comunque con un numero finito di decimali

6. Usando il teorema di Taylor si può
dimostrare che se f’’(xo)≠0, posto:
f ( xo + h ) − f ( xo )
D1 =
h
h

f  xo +  − f ( xo )
10 
D2 = 
h
10
Calcolata con
passo h
Calcolata riducendo
10 volte
il passo h
l’errore massimo (su D2) è
ε max =
D1 − D 2
9

7. Considerare invece il rapporto incrementale
destro/sinistro comporta un errore minore
f ( xo + h ) − f ( xo − h )
f ' ( xo ) ≅
2h
⇓
f ' ( xo ) =
f ( xo + h ) − f ( xo − h )
+ ε * ( xo + h )
2h

8. Usando il teorema di Taylor si può
dimostrare che se f’’’(xo)≠0, posto:
f ( xo + h ) − f ( xo − h )
D1 =
2h
h
h


f  xo +  − f  xo − 
10 
10 

D2 = 
h
2
10
Calcolata con
passo h
Calcolata riducendo
10 volte
il passo h
l’errore massimo (su D2) è
ε * max =
D1 − D 2
99

9. ESERCIZIO CON MATLAB
• Data la funzione y=esenx, disegnarla in
[0,2π].
• Disegnare la funzione derivata in [0,2π].
• Calcolare la derivata in x= 1,20.
• Calcolare l’errore commesso con passo di
derivazione 1/1000.