Phuongtrinh bpt-hpt

Chuyên đề 2

Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ
Phương Trình Đại Số
§1. Phương Trình - Bất Phương Trình Không Chứa Căn
A. Phương Pháp Giải Cơ Bản
1. Đưa về phương trình tích.
• Biến đổi đưa phương trình về dạng f (x).g(x) = 0.
f (x) = 0
• Áp dụng công thức f (x).g(x) = 0 ⇔
.
g(x) = 0
2. Đặt ẩn phụ.
• Chọn ẩn phụ t = u(x) phù hợp.
• Đưa phương trình về phương trình theo ẩn t đã biết cách giải (phương trình có thể vẫn chứa x).
3. Phuơng pháp khoảng (đối với phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối).
• Lập bảng xét dấu các biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối.
• Xét phương trình trên từng khoảng.
Lưu ý. Nếu phương trình chỉ chứa một dấu trị tuyệt đối |f (x)| thì xét hai trường hợp f (x) ≥ 0 và f (x) < 0.

B. Bài Tập
2.1. Giải các bất phương trình sau
a) x2 − 6x + 6 > 0.
c) x4 − 4x3 + 3x2 + 8x − 10 ≤ 0.

b) −4x2 + x − 2 ≥ 0.
d) x4 + x2 + 4x − 3 ≥ 0.

x−2
≥ 0.
a) 2
x − 9x + 8
x+5
2x − 1
c)
+
> 2.
2x − 1
x+5

x2 − 3x − 2
≥ 2x + 2.
x−1
1
1
d) 2
< 2
.
x − 5x + 4
x − 7x + 10

2.3. Giải các phương trình sau
a) x3 − 5x2 + 5x − 1 = 0.
c) x4 − 4x3 − x2 + 16x − 12 = 0.
3
3
3
e) x2 + 1 + (1 − 3x) = x2 − 3x + 2 .

√
√
b) x3 − 3 3x2 + 7x − 3 = 0.
3
3
d) (x − 3) + (2x + 3) = 18x3 .
2
3
f) (4 + x) − (x − 1) = (1 − x) x2 − 2x + 17 .

2
a) x2 − 4x + 3 − x2 − 6x + 5
c) x4 + 3x2 + 3 = 2x.
e) x4 = 6x2 − 12x + 8.

b) x4 = (2x − 5) .
d) x4 − 4x − 1 = 0.
f) x4 = 2x3 + 3x2 − 4x + 1.

b)

2

= 0.

2

4
4
a) (x + 3) + (x + 5) = 2.
4
4
c) (x + 3) + (x − 1) = 82.

b) (x + 1) + (x + 3) = 16.
4
d) x4 + (x − 1) = 41 .
8

a) (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4) = 3.
c) (x − 1) (x − 2) (x − 3) (x − 6) = 3x2 .

b) x2 + 1 (x + 3) (x + 5) + 16 = 0.
d) x2 − 2x + 4 x2 + 3x + 4 = 14x2 .

4

11

4

Nguyễn Minh Hiếu
a) x4 − 4x3 + 6x2 − 4x + 1 = 0.
c) 2x4 + 3x3 − 27x2 + 6x + 8 = 0.

b) 2x4 + 3x3 − 9x2 − 3x + 2 = 0.
d) x4 − 5x3 + 8x2 − 10x + 4 = 0.

2
a) x2 + 5x − 2 x2 + 5x − 24 = 0.

b) x2 + x + 1

c) x2 − 2x − 2

2

− 2x2 + 3x + 2 = 0.

1
1
6
a)
+
= 2
.
2x2 − x + 1 2x2 − x + 3
2x − x + 7
x2 + 1
x
5
c)
+ 2
=− .
x
x +1
2
2
x
= 1.
e) x2 +
x+1
2.10.
a)
c)
e)

Giải các phương trình sau
|x − 1| = x2 − 3x + 1 .
x2 − 5x + 4 − x = 4.
x2 − 5x + 4 = x2 + 6x + 5.

x2 + x + 2 = 12.

2

d) (4x + 3) (x + 1) (2x + 1) = 810.

4x
3x
+
= 1.
4x2 − 8x + 7 4x2 − 10x + 7
2
2
x−1
x−3
x−3
d)
+
−2
= 0.
x+2
x+2
x−1
2
2
1
1
13
f)
+
=
.
2+x+1
2+x+2
x
x
36
b)

b) x2 + 4x − 5 = x2 + 5 .
√
d) x2 + 4x + 4 = 5 − x2 .
f) x2 − 5x + 5 = −2x2 + 10x − 11.

a) x2 − x

2

2

+ x2 − x − 6 = 0.

c) x2 + 3x − 10 + x2 − 4 = 0.

x+1
2x − 1
−
− 2 = 0.
x+1
2x − 1
d) x2 + 3x − 4 + x2011 + 2011x − 2012 = 0.

b) 3

a) |x − 2| < |2x + 1|.
c) x2 − 5x + 4 ≤ x2 + 6x + 5.
a) |9 − x| = |6 − 5x| + |4x + 3|.
c) |7 − 2x| = |5 − 3x| + |x + 2|.
√
√
e) x2 − 2x + 1 + x2 + 4x + 4 = 5.

2x − 3
≤ 1.
x−3
d) x2 − 2x + x2 − 4 > 0.
b)

b) x2 − 5x + 4 + x2 − 5x = 4.
d) |x − 1| − 2 |x − 2| + 3 |x − 3| = 4.
√
√
f) x + 2 x − 1 + x − 2 x − 1 = 2.

§2. Phương Trình & Bất Phương Trình Chứa Căn
1. Sử dụng phép biến đổi tương đương.
f (x) ≥ 0
.
• f (x) = g(x) ⇔
f (x) = g(x)
•
•

3

g(x) ⇔ f (x) = g(x).

 f (x) ≥ 0
g(x) > 0
f (x) < g(x) ⇔
.

f (x) < g 2 (x)
f (x) =

3

•
•
•

f (x) = g(x) ⇔
3

g(x) ≥ 0
.
f (x) = g 2 (x)

f (x) = g(x) ⇔ f (x) = g 3 (x).

g(x) < 0

f (x) ≥ 0

f (x) > g(x) ⇔ 
g(x) ≥ 0
f (x) > g 2 (x)

.

2. Đặt ẩn phụ
• Dạng 1: Đặt t = u(x), đưa phương trình về ẩn t (phương trình có thể vẫn chứa ẩn x).
• Dạng 2. Đặt u = u(x); v = v(x), đưa phương trình về hệ theo ẩn u và v.
3. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số.
• Dự đoán nghiệm (nếu có).
• Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để chỉ ra phương trình chỉ có nghiệm đã dự đoán (hoặc chỉ ra PTVN).
4. Đánh giá hai vế.
f (x) = A
• Đánh giá f (x) ≥ A; g(x) ≤ A. Khi đó f (x) = g(x) ⇔
.
g(x) = A
12

http://mathqb.eazy.vn

Chuyên đề 2. Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số

B. Bài Tập
√
a) x − x − 1 − 7 = 0.
√
√
√
c) 3x − 3 − 5 − x = 2x − 4.
√
√
√
e) 3 2x − 1 + 3 x − 1 = 3 3x + 1.

√
√
√
b) 2x + 9 = 4 − x + 3x + 1.
√
d) √ 2x + 6x2 + 1 = √+ 1.
x
√
f) 3 x + 1 + 3 x + 2 + 3 x + 3 = 0.

2.15. √ các bất phương trình sau
Giải
a) √x2 − 4x − 12 > 2x + 3.
c) 3 6x − 9x2 < 3x.

√
b) √x2 − 4x − 12 ≤ x − 4.
d) x3 + 1 ≥ x + 1.

√
√
√
a) (CĐ-09) x + 1 + 2 x − 2 ≤ 5x + 1.
√
c) 2x + 6x2 + 1 > x + 1.

b) (A-05)
d) (A-04)

√
√
a) (D-05) 2 x + 2 + 2 x + 1 − x + 1 = 4.

b)

c) x +

x+

1
2

+

x+

1
4

d)

= 9.

√
a) x + x − 4 ≥ 8 − x.
4
√
c) (x − 2) x2 + 4 < x2 − 4.
√
√
√
e) x2 − 3x + 2 + x2 − 4x + 3 ≥ 2 x2 − 5x + 4.
√
a) (D-06) 2x − 1 + x2 − 3x + 1 = 0.
√
√
c) 2x2 + 8x + 6 + x2 − 1 = 2x + 2.
√
e) x2 + 3x + 1 = (x + 3) x2 + 1.

√

√
√
5x − 1 − x − 1 > 2x − 4.
2 (x2 − 16) √
7−x
√
+ x−3> √
.
x−3
x−3

√
√
x − 1 + 2 x − 2 − x − 1 − 2 x − 2 = 1.
√
√
x+3
x+2 x−1+ x−2 x−1=
.
3

√
b) (D-02) x2 − 3x 2x2 − 3x − 2 ≥ 0.
√
2
d) √ + 2) 9 − x√≤ x2 − 2x − 8. √
(x
2+x−2+
f) x
x2 + 2x − 3 ≤ x2 + 4x − 5.
√
√
b) 7 − x2 + x x + 5 = √3 − 2x − x2 .
√
d) 3 2 + x − 2 = 2x + x + 6.
7
7
f) x2 − 2 + x − 2 = x.
x
x

2.20. Giải√ bất phương trình sau
các
1 − 1 − 4x2
a)
< 3.
x
2x
c) √
> 2x + 2.
2x + 1 − 1

21 − 4x + x2
≥ 0.
x+1
x2
d)
√
2 > x − 4.
1+ 1+x

√
a) (x + 5) (2 − x) = 3 x2 + 3x.
√
√
c) x + 1 + 4 − x + (x + 1) (4 − x) = 5.

b) (x + 1) (2 − x) = 1 + 2x − 2x2 .
√
√
√
d) 3x − 2 + x − 1 = 4x − 9 + 2 3x2 − 5x + 2.

√
√
a) x + 4 − x2 = 2 + 3x 4 − x2 .
√
4
x2
5
4 − x2
x
c) 2 +
+
+√
x
4 − x2
2
x
4 − x2

b)

1−

√

b) (x − 3) (x + 1) + 4 (x − 3)

x+1
x−3

= −3.

√
√
√
+ 2 = 0. d) (B-2011) 3 2 + x − 6 2 − x + 4 4 − x2 = 10 − 3x.

√
a) x2 + 3x + 2 ≥ 2 x2 + 3x + 5.
√
c) x (x + 1) − x2 + x + 4 + 2 ≥ 0.
x
x+1
e)
−2
> 3.
x+1
x

√
b) x2 + 2x2 + 4x + 3 ≥ 6 − 2x.
d) x2 − 2x + 8 − 6 (4 − x) (2 + x) ≤ 0.
√
√
√
f) x + 2 + x − 1 + 2 x2 + x − 2 ≤ 11 − 2x.

√
a) x2 − 1 =√ x2 − 2x.
2x
c) (4x − 1) x3 + 1 = 2x3 + 2x + 1.

√
b) x2 − 1 = 2x x2 +√
2x.
d) x2 + 4x = (x + 2) x2 − 2x + 24.

√
√
a) 3 2 − x = 1 − √ x − 1.
c) 2 x2 + 2 = 5 x3 + 1.

√
√
b) (A-09) 2 3 3x − 2 + √ 6 − 5x − 8 = 0.
3
d) 2 x2 − 3x + 2 = 3 x3 + 8.


13

2.26. Giải √ phương trình sau
các
5
a) x2 + x +√ = 5.
c) x3 + 1 = 2 3 2x − 1.

√
b) x3 + 2 = 3 3 3x − 2.
√
√
d) x 3 35 − x3 x + 3 35 − x3 = 30.

2.27. Giải các phương trình, bất phương trình sau
√
√
a) (B-2012) x + 1 + x2 − 4x + 1 ≥ 3 x.
√
√
c) 3 x2 − 2 = 2 − x3 .

b) (A-2010)

√
√
a) √ 4x − 1 + √ 4x2 − 1 = 1.
c) 2x − 1 + x2 + 3√ 4 − x.
=
e) x3 + 4x − (2x + 7) 2x + 3 = 0.

√
b) x − 1 = −x3 − 4x + 5.
√
d) x5 + x3 − 1 − 3x + 4 = 0. √
f) (CĐ-2012) 4x3 + x − (x + 1) 2x + 1 = 0.

2.29. √ các phương trình sau
Giải
√
a) x2 − 2x + 5 + x − 1 = 2.
√
√
√
2
c) 2 x − 2 − 1 + x + 6 + x − 2 − 2 = 0.

√
√
b) x − 2 + 4 − x = x2 − 6x + 11.
√
1
1
d) 5x3 + 3x2 + 3x − 2 = 2 x2 + 3x − 2 .

d) x +

x−

√

x

≥ 1.
1 − 2 (x2 − x + 1)
3 (1 − x2 ) = 2 1 − 2x2 .

§3. Hệ Phương Trình Đại Số
1. Đưa về hệ mẫu mực. (Hệ đối xứng loại I, hệ đối xứng loại II, hệ đẳng cấp)
2. Phương pháp thế.
• Loại 1: Rút một biểu thức từ một phương trình rồi thế vào phương trình kia.
• Loại 2: Giải cụ thể một phương trình rồi thế vào phương trình kia.
• Loại 3. Thế hằng số.
3. Đặt ẩn phụ.
4. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số.
• Nếu y = f (x) luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên D thì f (u) = f (v) ⇔ u = v.
• Nếu y = f (x) luôn đồng biến trên D còn y = g(x) luôn nghịch biến hoặc không đổi trên D thì phương trình
f (x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trên D.

B. Bài Tập
2.30. Giải các hệ phương trình sau
x2 + y 2 + xy = 7
a)
.
x + y + xy = 5
x2 + y 2 + x + y = 4
c) (DB-05)
.
x (x + y + 1) + y (y + 1) = 2

b)
d)

x + y + xy = 1
.
2
x3 + y 3 + 3(x − y) − 4 = 0
x2 − xy + y 2 = 3 (x − y)
2 .
x2 + xy + y 2 = 7(x − y)

2

a)

2

x − 2y = 2x + y
.
y 2 − 2x2 = 2y + x


 2x + y = 3

x2 .
c)
3

 2y + x = 2
y
x2 − xy = 2
a)
.
2x2 + 4xy − 2y 2 = 14
x3 + y 3 = 1
.
c)
x2 y + 2xy 2 + y 3 = 2
x + y = −1
a)
.
x3 − 3x = y 3 − 3y
x4 + 2x3 y + x2 y 2 = 2x + 9
c) (B-08)
.
x2 + 2xy = 6x + 6


 x − 3y = 4y

x
b)
4x .

 y − 3x =
y

2
 3y = y + 2

x2
d) (B-03)
x2 + 2 .
 3x =

y2
x2 − 2xy + 3y 2 = 9
.
x2 − 4xy + 5y 2 = 5
(x − y) x2 + y 2 = 13
d) (DB-06)
.
(x + y) x2 − y 2 = 25
b)

b) (DB-06)
d) (D-09)

14

x2 + 1 + y (y + x) = 4y
.
x2 + 1 (y + x − 2) = y
x (x + y + 1) − 3 = 0
.
2
5
(x + y) − x2 + 1 = 0

Chuyên đề 2. Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số
√
√
3
x−y = x−y
√
a) (B-02)
.
x+y = x+y+2
2xy
x2 + y 2 + x+y = 1
√
c)
.
x + y = x2 − y

1
1
x− x =y− y
.
2y = x3 + 1
6x2 − 3xy + x + y = 1
.
x2 + y 2 = 1

b) (A-03)
d)

xy + x + y = x2 − 2y 2
x4 − x3 y − x2 y 2 = 1
√
√
.
a) (DB-07)
.
b) (D-08)
3
2
x y − x − xy = −1
x 2y − y x − 1 = 2x − 2y
x3 + 2y 2 = x2 y + 2xy
xy + x − 2 = 0
c) (D-2012)
. d)
.
3
2
2
2
2x − x y + x + y − 2xy − y = 0
2 x2 − 2y − 1 + 3 y 3 − 14 = x − 2
x2 + y 2 + xy = 1
a)
.
x3 + y 3 = x + 3y
x3 − 8x = y 3 + 2y
c) (DB-06)
x2 − 3 = 3 y 2 + 1

x3 + 2xy 2 + 12y = 0
.
8y 2 + x2 = 12
5x2 y − 4xy 2 + 3y 3 − 2 (x + y) = 0
d) (A-2011)
.
2
xy x2 + y 2 + 2 = (x + y)
b)

.

xy + x + 1 = 7y
a) (B-09)
.
x2 y 2 + xy + 1 = 13y 2
8x3 y 3 + 27 = 18y 3
c)
.
4x2 y + 6x = y 2

b)
d)

x (3x + 2y) (x + 1) = 12
a)
.
x2 + 2y + 4x − 8 = 0
√
2 2x + y = 3 − 2x − y
.
c) (CĐ-2010)
x2 − 2xy − y 2 = 2
2
2
x +y =5
√
√
e)
.
y − 1 (x + y − 1) = (y − 2) x + y

1
2x2 + x − y = 2
.
2
y − y x − 2y 2 = −2
x3 − y 3 = 9
.
x2 + 2y 2 = x − 4y

√
x
xy
√+ y − √ = 3
.
x+1+ y+1=4
√
√
2x + y + 1 − x + y = 1
d) (DB-05)
.
3x + 2y = 4
5
2
3
2
x + y + x y + xy + xy = − 4
f) (A-08)
.
5
x4 + y 2 + xy (1 + 2x) = − 4
b)

√
√
√
√
x − 1 − y = 8 − x3
√x + 10 + y − 1 = 11 .
√
a)
b)
.
4
x − 1 + y + 10 = 11
(x − 1) = y
√
4x2 + 1 x + (y − 3) 5 − 2y = 0
x3 − 3x2 − 9x + 22 = y 3 + 3y 2 − 9y
√
. d) (A-2010)
.
c) (A-2012)
x2 + y 2 − x + y = 1
4x2 + y 2 + 2 3 − 4x = 7
2

§4. Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Chứa Tham Số
A. Kiến Thức Bổ Sung
Cho hàm số y = f (x) liên tục trên D và có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên D. Ta có:
• m = f (x) có nghiệm trên D ⇔ min f (x) ≤ m ≤ max f (x).
x∈D

x∈D

• m ≤ f (x) có nghiệm trên D ⇔ m ≤ max f (x).
x∈D

• m ≥ f (x) có nghiệm trên D ⇔ m ≥ min f (x).
x∈D

• m ≤ f (x), ∀x ∈ D ⇔ m ≤ min f (x).
x∈D

• m ≥ f (x), ∀x ∈ D ⇔ m ≥ max f (x).
x∈D

B. Phương Pháp Giải Cơ Bản
1. Phương pháp tam thức bậc hai.
• Dựa vào định lý về dấu tam thức bậc hai để có điều kiện phù hợp cho từng bài toán.
2. Phương pháp chiều biến thiên hàm số.
• Từ bài toán biến đổi và rút m theo f (x).
• Lập BBT của f (x). Từ BBT và các kiến thức bổ sung để rút ra KL.
3. Phương pháp điều kiện cần và đủ.
• Từ tính chất bài toán rút ra điều kiện cần để xảy ra bài toán.
• Giải điều kiện cần được m, thay lại vào bài toán để kiểm tra.

15


C. Bài Tập
2.40. Tìm m để phương trình m −
a) Có nghiệm.

√

5 x2 − 3mx + m + 1 = 0.
b) Vô nghiệm

c) Có hai nghiệm trái dấu.

2.41. Tìm m để phương trình x2 + 2 (m + 1) x + 9m − 5 = 0 có hai nghiệm âm phân biệt.
2.42. Tìm m để phương trình (m − 2) x2 − 2mx + m + 3 = 0 có hai nghiệm dương phân biệt.
2.43. Tìm m để phương trình (m − 2) x4 − 2 (m + 1) x2 + 2m − 1 = 0.
a) Có một nghiệm.
b) Có hai nghiệm phân biệt.
√
√
x
√+ y =1
√
2.44. (D-04) Tìm m để hệ
có nghiệm.
x x + y y = 1 − 3m
√
√
2.45. Tìm m để bất phương trình 4x − 2 + 16 − 4x ≤ m có nghiệm.
2.46. Tìm m để phương trình (x − 3) (x + 1) + 4 (x − 3)

x+1
x−3

c) Có bốn nghiệm phân biệt.

= m có nghiệm.

√
√
2.47. (DB-07) Tìm m để bất phương trình m x2 − 2x + 2 + 1 + x (2 − x) ≤ 0 có nghiệm thuộc đoạn 0; 1 + 3 .
√
√
√
2.48. (A-07) Tìm m để phương trình 3 x − 1 + m x + 1 = 2 4 x2 − 1 có nghiệm thực.
√
2.49. (B-06) Tìm m để phương trình x2 + mx + 2 = 2x + 1 có hai nghiệm thực phân biệt.
√
√
√
√
√
2.50. (B-04) Tìm m để phương trình m 1 + x2 − 1 − x2 + 2 = 2 1 − x4 + 1 + x2 − 1 − x2 có nghiệm.
√
√
√
√
2.51. (A-08) Tìm m để phương trình 4 2x + 2x + 2 4 6 − x + 2 6 − x = m có hai nghiệm phân biệt.
√
2.52. (DB-07) Tìm m để phương trình 4 x4 − 13x + m + x − 1 = 0 có đúng một nghiệm.
2.53. (B-07) Chứng minh rằng với mọi m > 0, phương trình x2 + 2x − 8 =

m (x − 2) có hai nghiệm phân biệt.

2.54. Chứng minh rằng với mọi m, phương trình x4 + x3 − 2x2 + 3mx − m2 = 0 luôn có nghiệm.
2.55. (DB-04) Tìm m để hệ

x2 − 5x +√ ≤ 0
4
có nghiệm.
3x2 − mx x + 16 = 0

2x3 − (y + 2) x2 + xy = m
có nghiệm.
x2 + x − y = 1 − 2m
√
√
2.57. Tìm m để hệ 1 − x2 + 2 3 1 − x2 = m có nghiệm duy nhất.
2.56. (D-2011) Tìm m để hệ

2.58. Tìm m để hệ

x = y2 − y + m
có nghiệm duy nhất.
y = x2 − x + m

16


Phuongtrinh bpt-hpt

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Phuongtrinh bpt-hpt

Similar to Phuongtrinh bpt-hpt (20)

Phuongtrinh bpt-hpt