2. 2
Όταν σε ένα ελαστικό μέσο διαδίδονται
2 ή περισσότερα κύματα, τότε
• Κάθε κύμα διαδίδεται ανεξάρτητα από τα υπόλοιπα
διατηρώντας αναλλοίωτα τα χαρακτηριστικά του.
Διαδίδεται χωρίς να αλληλεπιδρά με τα άλλα κύματα.
Αρχή της Ανεξαρτησίας ή Αρχή της Επαλληλίας κυμάτων
• Τα διάφορα σημεία του ελαστικού μέσου
ταλαντώνονται εξαιτίας κάθε κύματος
ανεξάρτητα από την ύπαρξη των άλλων κυμάτων
• Τα φυσικά μεγέθη που περιγράφουν τη σύνθετη ταλάντωση
(απομάκρυνση, ταχύτητα, επιτάχυνση) κάθε μορίου του ελ.μέσ.
είναι ίσα με τα διανυσματικά αθροίσματα των αντίστοιχων
μεγεθών των επιμέρους ταλαντώσεων
που εκτελεί το σημείο εξαιτίας κάθε κύματος.
3. 3
𝒚 = 𝒚 𝟏 + 𝒚 𝟐 + ⋯ 𝒚 𝚴
Δεν ισχύει για τα μονόμετρα μεγέθη
Ε≠ 𝚬 𝟏 + 𝚬 𝟐
Αρχή της Ανεξαρτησίας ή Αρχή της Επαλληλίας κυμάτων
Όταν σε ένα ελαστικό μέσο διαδίδονται 2 ή περισσότερα
κύματα (έστω Ν κύματα)
η απομάκρυνση ενός σημείου του μέσου
είναι ίση
με τη συνισταμένη των απομακρύνσεων που οφείλονται
στα επί μέρους κύματα (αλγεβρικό άθροισμα).
Η αρχή της επαλληλίας παραβιάζεται, όταν τα κύματα
είναι τόσο δυνατά, ώστε να μεταβάλλουν τις ιδιότητες
του μέσου στο οποίο διαδίδονται (οι δυνάμεις δεν είναι
ανάλογες της απομάκρυνσης π.χ. σε μια έκρηξη).
4. 4
Η ταυτόχρονη διάδοση 2 ή περισσότερων
κυμάτων στην ίδια περιοχή
ενός ελαστικού μέσου ονομάζεται συμβολή.
Συμβολή
Σύγχρονες πηγές: οι πηγές που βρίσκονται σε φάση
(δημιουργούν ταυτόχρονα μέγιστα και ελάχιστα,
ίδια ταχύτητα διάδοσης).
5. 5
Παραδείγματα: Συμβολή 2 παλμών
Συμβολή 2 ίδιων παλμών
στο σημείο συνάντησης Μ
έχουμε όρος με διπλάσιο ύψος=
αλγεβρικό άθροισμα των
επιμέρους απομακρύνσεων
(Ενίσχυση)
Μ
Μ
Συμβολή 2 αντίθετων παλμών
το σημείο συνάντησης Μ
παραμένει ακίνητο
(απόσβεση)
7. 7
Παραδείγματα: Συμβολή 2 κυμάτων
Στα σημεία που συμπίπτουν
κοιλάδα με κοιλάδα
ή όρος με όρος
έχουμε ενισχυτική συμβολή:
όρος ή κοιλάδα με διπλάσιο ύψος
Στα σημεία που συμπίπτουν
κοιλάδα με όρος
ή αντίστροφα
Έχουμε συμβολή απόσβεσης:
παραμένουν ακίνητα
8. 8
Μέτωπο κύματος
λέγεται μια ισοφασική επιφάνεια,
δηλαδή μια επιφάνεια
στην οποία τα σημεία του κύματος
τα οποία περιέχει βρίσκονται σε φάση
Το κύμα «ταξιδεύει
υπό την μορφή όρεων (διακεκομμένη γρ.)
και κοιλάδων (συνεχή γρ.).
9. 9
Στα σημεία που συμπίπτουν
κοιλάδα με κοιλάδα
ή όρος με όρος
έχουμε ενίσχυση και
εμφανίζονται στην οθόνη
φωτεινά
Στα σημεία που συμπίπτουν
κοιλάδα με όρος
ή αντίστροφα
έχουμε απόσβεση και
εμφανίζονται στην οθόνη
σκοτεινά
Συμβολή 2 σύγχρονων πηγών
11. 11
)
λ
-
T
t
ημ2π( 1
1
r
Ay
)
λ
-
T
t
ημ2π( 2
2
r
Ay
Μελέτη της συμβολής 2 σύγχρονων πηγών
21 += yyy )
λ
r
-
T
t
ημ2π(Ay 1
= =+ 2
)
λ
r
-
T
t
ημ2π(A
2+2= )
λ
r
-
T
t
(πημ)
λ
r
-
T
t
(πημA 21
[ ] =
Έστω σημείο Μ
στο οποίο έχουν φθάσει και τα 2 κύματα
13. 13
Το μόριο του ελαστικού μέσου, όπου συμβάλλουν τα
δύο κύματα, κάνει Α.Α.Τ.
2
r-
22' 21r
)
2
r
-(2 21
r
T
t
Πλάτος
Φάση
14. 14
Εφαρμογή
1)Έστω 2 σύγχρονες πηγές που βρίσκονται στην επιφάνεια ενός
υγρού και έχουν εξίσωση ταλάντωσης
Τα κύματα διαδίδονται με ταχύτητα 1m/s.’Ενας φελλός βρίσκεται σε
σημείο Φ που απέχει από τις πηγές 1 και 2 αποστάσεις 1,4m και
0,8m αντίστοιχα.
1) Βρείτε το πλάτος ταλάντωσης του φελλού μετά τη συμβολή.
2) Ποια η απομάκρυνση του φελλού t=0,675s, 55/60s, 97/60s
3) Πότε ο φελλός εξαιτίας της συμβολής έχει τη μέγιστη ταχύτητα
για 2 φορά.
)tημ(102,021 yy
15. 15
Ενίσχυση
Το πλάτος της ταλάντωσης γίνεται
μέγιστο (Α ’=2Α), όταν:
λ- 21 Nrr με N=O,1,2,….
Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων
που η διαφορά των αποστάσεων τους
από 2 δεδομένα σημεία
είναι σταθερή
είναι μια ΥΠΕΡΒΟΛΗ
ΜΕ ΕΣΤΙΕΣ τα σημεία αυτά
2...1,0,N,- 21 Nrr
17. 17
2r 21 r
1
x
2
2
2
2
y
Υπερβολές: Π1, Π2 εστίες της υπερβολής, απέχουν απόσταση d
d 2)( 21
222
18. 18
Υπερβολές Ενίσχυσης
Αν Ν=0,τα σημεία βρίσκονται
πάνω στη μεσοκάθετο του Π1Π2
λ- 21 Nrr
με N=O,1,2,….
Αν Ν>0, τότε r1>r2 και τα σημεία
βρίσκονται σε υπερβολές δεξιά
της μεσοκαθέτου του Π1Π2
Αν Ν<0, τότε r1<r2 και τα σημεία
βρίσκονται σε υπερβολές αριστερά
της μεσοκαθέτου του Π1Π2
Αν Ν=1, τότε r1-r2=λ δεξιά
της μεσοκαθέτου του Π1Π2
Αν Ν=2, τότε r1-r2=2λ δεξιά
της μεσοκαθέτου του Π1Π2
19. 19
Ενίσχυση
TtA
r
Ay ),1-
T
t
ημ2π()
λ
-
T
t
ημ2π( 1
1
TtA
r
Ay 2),2-
T
t
ημ2π()
λ
-
T
t
ημ2π( 2
2
Η απομάκρυνση του σημείου Κ λόγω του κύματος από τη πηγή 1
Η απομάκρυνση του σημείου Κ λόγω του κύματος από τη πηγή 2
20. 20
Ενίσχυση
Για χρόνο t≥2T, στο σημείο Κ έχουν φθάσει και τα 2 κύματα
όταν φθάνει όρος από την πηγή 1 φθάνει όρος και από τη 2
οπότε δημιουργείται όρος με διπλάσιο πλάτος (ομοίως κοιλάδες).
21. 21
Τα σημεία των οποίων οι αποστάσεις r1 και r2, από τις 2 πηγές,
διαφέρουν κατά ακέραιο πολλαπλάσιο του μήκους κύματος λ
ταλαντώνονται με μέγιστο πλάτος. Τότε έχουμε ενίσχυση.
Το πλάτος της ταλάντωσης γίνεται
μέγιστο (Α ’=2Α), όταν:
λ- 21 Nrr
με N=O,1,2,….
Ενίσχυση
23. 23
Εφαρμογή
2) Έστω 2 πηγές που απέχουν 7m και λ=2m. Πόσες υπερβολές
ενίσχυσης υπάρχουν μεταξύ των 2 πηγών;
d΄΄ 21
Έστω σημείο Μ΄ της υπερβολής
(πάνω στην ευθεία που ενώνει τις εστίες)
που είναι σημείο ενισχυτικής συμβολής
λ21 N΄΄
2...1,0,N
d΄ 10
d
N
d
2
7
2
7
N
3,2,1,0 N
24. 24
Εφαρμογή
2) Πόσο απέχουν 2 σημεία (πάνω στην ευθεία που ενώνει τις εστίες)
που βρίσκονται σε διαδοχικές υπερβολές ενίσχυσης;
ΓΔ
λ)1(21 N
λ21 N
λ2
25. 25
Το πλάτος της ταλάντωσης γίνεται
ελάχιστο (Α ’=0), όταν:
2
λ
1)(2N- 21 rr με N=O,1,2,….
Απόσβεση
Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων
που η διαφορά των αποστάσεων τους
από 2 δεδομένα σημεία
είναι σταθερή
είναι μια ΥΠΕΡΒΟΛΗ
ΜΕ ΕΣΤΙΕΣ τα σημεία αυτά
26. 26
Υπερβολές απόσβεσης
Αν Ν≥0, τότε r1>r2 και τα σημεία
βρίσκονται σε υπερβολές δεξιά
της μεσοκαθέτου του Π1Π2
Αν Ν<0, τότε r1<r2 και τα σημεία
βρίσκονται σε υπερβολές αριστερά
της μεσοκαθέτου του Π1Π2
28. 28
Απόσβεση
Για χρόνο t≥T, στο σημείο Κ έχουν φθάσει και τα 2 κύματα
όταν φθάνει όρος από την πηγή 1 φθάνει κοιλάδα από τη 2
(ή αντιστρόφως) οπότε παραμένει ακίνητο.
29. 29
Το πλάτος της ταλάντωσης γίνεται
ελάχιστο (Α ’=0), όταν:
2
λ
1)(2N- 21 rr με N=O,1,2,….
Τα σημεία των οποίων οι αποστάσεις r1 και r2, από τις 2 πηγές,
διαφέρουν κατά περιττό πολλαπλάσιο του μισού μήκους κύματος λ
μένουν διαρκώς ακίνητα. Τότε έχουμε απόσβεση.
30. 30
Απόσβεση
Δυο Α.Α.Τ βρίσκονται σε
ασυμφωνία φάσης όταν η
ποσότητα kr1-kr2
είναι πολλαπλάσιο του π
(περιττά πολλαπλάσια)
2...1,0,N
,
2
1)N2(-
2...1,0,N
,1)N2(k-
21
21
rr
rkr
31. 31
Εφαρμογή
3)Έστω 2 πηγές που απέχουν 5m και λ=3m. Πόσες υπερβολές
απόσβεσης υπάρχουν μεταξύ των 2 πηγών;
2
λ
)12(21 NK΄K΄
dK΄K΄ 21
dK΄ 10
dNd
2
)12(
6
7
6
13
N
1,0,1,2 N
33. 33
Εφαρμογή
4) Πόσο απέχουν 2 σημεία (πάνω στην ευθεία που ενώνει τις εστίες)
που βρίσκονται σε διαδοχικές υπερβολές απόσβεσης;
5) Βρείτε την απόσταση μεταξύ 1 σημείου που βρίσκεται σε
υπερβολή ενίσχυσης και του σημείου που βρίσκεται στην
πλησιέστερη υπερβολή απόσβεσης (πάνω στην ευθεία που
ενώνει τις πηγές).
34. 34
Εφαρμογή
6) Βρείτε μια σχέση μεταξύ των χρόνων t1 και t2 που απαιτούνται για
να φθάσουν τα κύματα από τις πηγές Π1, Π2 σε ένα σημείο Κ στην
περίπτωση της ενισχυτικής συμβολής (και στην περίπτωση
αποσβεστικής).
35. 35
7) Βρείτε μια σχέση μεταξύ των φάσεων του σημείου Κ λόγω της
ταλάντωσής τους από τα κύματα που εκπέμπουν οιπηγές Π1, Π2 στην
περίπτωση της ενισχυτικής συμβολής (και στην περίπτωση της
αποσβεστικής).
Εφαρμογή
37. 37
1. Δύο όμοιες πηγές κυμάτων Α και Β στην επιφάνεια μιας
ήρεμης λίμνης βρίσκονται σε φάση και παράγουν υδάτινα
αρμονικά κύματα. Η καθεμιά παράγει κύμα (πρακτικά)
αμείωτου πλάτους 10cm και μήκους κύματος 2m. Ένα
σημείο Γ στην επιφάνεια της λίμνης απέχει από την πηγή Α
απόσταση 6m και από την πηγή Β απόσταση 2m. Το
πλάτος της ταλάντωσης του σημείου Γ είναι:
α. 0cm. β. 10cm. γ. 20cm. δ. 40cm.
Ημερ.2003
2. Δύο όμοιες πηγές κυμάτων που βρίσκονται στην
επιφάνεια νερού ταλαντώνονται σε φάση παράγοντας
αρμονικά κύματα ίδιου πλάτους. Ο γεωμετρικός τόπος των
σημείων της επιφάνειας του νερού τα οποία παραμένουν
διαρκώς ακίνητα, είναι
α. κύκλοι. β. ελλείψεις.
γ. παραβολές. δ. υπερβολές. Ομογ. 2005
38. 38
3. Η αρχή της επαλληλίας των κυμάτων:
α. παραβιάζεται μόνον όταν τα κύματα είναι τόσο ισχυρά,
ώστε οι δυνάμεις που ασκούνται στα σωματίδια του μέσου,
δεν είναι ανάλογες των απομακρύνσεων.
β. δεν παραβιάζεται ποτέ.
γ. ισχύει μόνον όταν τα κύματα που συμβάλλουν,
προέρχονται από πηγές που βρίσκονται σε φάση.
δ. δεν ισχύει, όταν συμβάλλουν περισσότερα από δύο
κύματα. Ημερ. 2005
4. Δύο σύγχρονες πηγές δημιουργούν στην επιφάνεια
υγρού εγκάρσια κύματα πλάτους Α και μήκους κύματος λ.
Ένα σημείο Σ βρίσκεται στην επιφάνεια του υγρού σε
αποστάσεις r1 και r2 από τις πηγές αντίστοιχα. Αν ξέρουμε
ότι ισχύει τότε το Σ ταλαντώνεται με πλάτος
α. Α. β. Α. γ. 0. δ. 2Α.
,λr-r 21 11=
2
Εσπ. 2006
39. 39
.
5. ∆ύο σύγχρονες σημειακές πηγές δημιουργούν στην
επιφάνεια υγρού εγκάρσια αρμονικά κύματα. Σημείο Μ
που απέχει από τις πηγές αποστάσεις r1 και r2 εκτελεί,
λόγω συμβολής, ταλάντωση πλάτους 2Α. Αν k είναι
ακέραιος και λ το μήκος κύματος των δύο κυμάτων
για τα r1 και r2, ισχύει
α. r1+r2=kλ. β. r1−r2=kλ.
γ. δ..
λ
)k(r-r 2
2
1+2=1 .
λ
)k(rr 2
2
1+2=+1
Ομογ. 2012
40. 40
6. ∆ύο σύμφωνες πηγές (1) και (2) δημιουργούν στην
επιφάνεια υγρού εγκάρσια αρμονικά κύματα με πλάτος Α
και μήκος κύματος λ=4 cm. Σημείο Μ της επιφάνειας του
υγρού απέχει r1=17 cm από την πηγή (1) και r2=9 cm από
την πηγή (2).
Α. Το πλάτος της ταλάντωσης στο σημείο Μ λόγω
συμβολής είναι ίσο με
α. 0. β. Α. γ. 2Α.
Β. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.
2
41. 41
7. Κατά μήκος ευθείας x΄x βρίσκονται στις θέσεις K και Λ
δύο σημειακές πηγές Π1 και Π2 παραγωγής μηχανικών
αρμονικών κυμάτων. Η εξίσωση που περιγράφει τις
απομακρύνσεις τους από τη θέση ισορροπίας τους σε
συνάρτηση με το χρόνο είναι y=Aημωt. Η απόσταση (ΚΛ)
είναι 6cm. Το μήκος κύματος των παραγόμενων κυμάτων
είναι 4cm. Σε σημείο Σ της ευθείας x΄x, το οποίο δεν
ανήκει στο ευθύγραμμο τμήμα ΚΛ και δεν βρίσκεται κοντά
στις πηγές, το πλάτος ταλάντωσής του Α΄ θα είναι
α. A΄= 2Α. β. Α΄= 0. γ. 0 < Α΄ < 2Α.
Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Ημερ. 2006
42. 42
8. Στην ελεύθερη επιφάνεια ενός υγρού δύο σύγχρονες
πηγές αρμονικών κυμάτων εκτελούν κατακόρυφες
ταλαντώσεις με συχνότητα f και δημιουργούν εγκάρσια
κύματα ίδιου πλάτους Α. Ένα σημείο Σ της επιφάνειας του
υγρού ταλαντώνεται εξ αιτίας της συμβολής των δύο
κυμάτων με πλάτος 2Α. Αν οι δύο πηγές εκτελέσουν
ταλάντωση με συχνότητα 2f και με το ίδιο πλάτος Α, τότε το
σημείο Σ θα
α. ταλαντωθεί με πλάτος 2Α.
β. ταλαντωθεί με πλάτος 4Α.
γ. παραμένει ακίνητο.
Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση.
Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας.
43. 43
9. Δύο σύγχρονες σημειακές πηγές Α και Β, που
βρίσκονται στην επιφάνεια υγρού, ταλαντώνονται
αρμονικά παράγοντας κύματα, πλάτους Α, με μήκος
κύματος λ=16 cm. Σημείο Γ, που βρίσκεται σε αποστάσεις
rΑ=24 cm και rΒ=20 cm από τις πηγές Α και Β αντίστοιχα,
έχει πλάτος ταλάντωσης:
α. Α. β. 0. γ. Α.
Να επιλέξετε την σωστή απάντηση.
Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.
3 2
Επαν. Εσπερ. 2012
44. 44
10. Δύο σύγχρονες πηγές Π1, Π2 δημιουργούν στην επιφάνεια υγρού
εγκάρσια αρμονικά κύματα. Η εξίσωση της ταλάντωσης κάθε πηγής είναι
y = 0,01.ημ(10πt) (SI) και η ταχύτητα διάδοσης των εγκαρσίων κυμάτων
στην επιφάνεια του υγρού είναι ίση με 1,5 m/s. Ένα σημείο Λ της
επιφάνειας του υγρού απέχει από την πηγή Π1 απόσταση 0,6 m και από
την πηγή Π2 απόσταση 1 m, όπως δείχνει το σχήμα.
γ. Να υπολογισθεί το πλάτος της ταλάντωσης του σημείου Λ μετά την
έναρξη της συμβολής.
δ. Να προσδιορισθεί η απομάκρυνση του σημείου Λ από τη θέση
ισορροπίας του, τη χρονική στιγμή t = .
Οι πηγές Π1, Π2 αρχίζουν να ταλαντώνονται τη
χρονική στιγμή t = 0.
α. Να υπολογισθεί το μήκος κύματος των κυμάτων
που δημιουργούν οι πηγές.
β. Πόση είναι η συχνότητα της ταλάντωσης του
σημείου Λ μετά την έναρξη της συμβολής;
s
3
4
Δίνεται: συν
2
1
-
π
=
3
4 Επαν. Ημερ. 2008
