Physics problems for exercise Προβλήματα Φυσικής για την Γ΄ Λυκείου

1. ΤΟ ∆++
ΘΕΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
Μιχαήλ Π. Μιχαήλ
761
Κρούσεις - Φαινόµενο DOPPLER
255. Μετωπική κρούση και συντελεστής κρούσεως
∆ύο σφαίρες Σ1 και Σ2 µε µάζες m1 και m2 κινούνται µε ταχύτητες υ1 και υ2, όπως στο
σχήµα. Οι σφαίρες συγκρούονται έτσι ώστε µετά την κρούση να κινούνται πάλι στην
ίδια ευθεία. Να υπολογίσετε τις ταχύτητές υ1΄ και υ2' , των σφαιρών µετά την κρούση
αν ο συντελεστής κρούσης (e) είναι:
α) e=0
β) e=1 και
γ) e=0,5.
Συνοπτική λύση:
Οι σφαίρες συγκρούονται έτσι ώστε µετά την κρούση να κινούνται πάλι στην ίδια
ευθεία. Η κρούση αυτή ονοµάζεται µετωπική κρούση.
Εάν γνωρίζουµε τις ταχύτητες των σφαιρών πριν την κρούση και τις µάζες τους
µπορούµε να υπολογίσουµε τις ταχύτητές τους υ1΄ και υ2', µετά την κρούση.
Για την κρούση ισχύουν :
m1υ1 + m2υ2 = m1υ1' + m2υ2' (διατήρηση της ορµής ) (1)
Η εξίσωση αυτή δεν είναι αρκετή για να υπολογίσουµε τις τελικές ταχύτητες υ1΄ και υ2',
µετά την κρούση. Αν η κρούση είναι ελαστική τότε ισχύει η διατήρηση της µηχανικής
ενέργειας. Επειδή όµως κατά τα διάρκεια της κρούσης δεν έχουµε µεταβολή της θέσεως
δεν υπάρχει και µεταβολή της δυναµικής ενέργειας. Έτσι έχουµε:
1
2
m1υ1
2
+
1
2
m2υ2
2
=
1
2
m1υ1
2
' +
1
2
m2υ2
2
' (διατήρηση της κινητικής ενέργειας) (2)
η (1) γράφεται και m1 (υ1 - υ1' ) = m2(υ2'- υ2 ) (3), ενώ
η (2) γράφεται m1 (υ1
2
- υ1
2
') = m2( υ2
2
' - υ2
2
) (4)

2. 762 KΡΟΥΣΕΙΣ – ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ DOPPLER
Μιχαήλ Π. Μιχαήλ
∆ιαιρούµε τις (4) και (3) κατά µέλη και βρίσκουµε,
υ1 + υ1' = υ2 + υ2' (5)
Από τη σχέση (5) φαίνεται πως υ2' - υ1' = -(υ2–υ1)⇒υσχ΄=-υσχ, δηλαδή από αυτή τη
σχέση φαίνεται πως,
στην τελείως ελαστική κρούση η σχετική ταχύτητα των σωµάτων πριν και µετά την
κρούση διατηρείται σταθερή κατά µέτρο.
Στην πραγµατικότητα εµπειρικά βρέθηκε ότι κατά τη διάρκεια της κρούσης των
σφαιρών ισχύει η σχέση, υ2' - υ1' = -e·(υ2–υ1) (6)
όπου ο αριθµητικός συντελεστής e ονοµάζεται συντελεστής κρούσης είναι
ανεξάρτητος των ταχυτήτων και εξαρτάται από το υλικό των επιφανειών που
συγκρούονται. Ο e παίρνει τιµές στο διάστηµα 0 και 1 δηλαδή 0≤e≤1. Για e=1 η
κρούση θεωρείται τελείως ελαστική και για e=0 έχουµε πλαστική κρούση.
Επιλύοντας το σύστηµα των (3) και (6) ως προς υ1' και υ2' βρίσκουµε:
m1 (υ1 - υ1' ) = m2 (υ2'-υ2) (3)
υ2' - υ1' = -e·(υ2–υ1) (6)
(6)⇒ υ2' =υ1'-e·(υ2–υ1)
(3)⇒ m1·υ1 - m1·υ1' = m2·υ2'- m2·υ2
(6)
⇒ m1·υ1 - m1·υ1' = m2·υ1'-m2·e·(υ2–υ1)- m2·υ2⇒
⇒ m1·υ1 - m1·υ1' =m2·υ1'- e·m2·υ2+e·m2·υ1- m2·υ2⇒
⇒ (m1-e·m2)·υ1=(m1+m2)·υ1'- m2·υ2·(1+e)⇒ υ1'= 1 2
1 2
m -e m
m +m
⋅
·υ1+(1+e)· 2
1 2
m
m +m
· υ2,
υ2' =υ1'-e·(υ2–υ1)⇒ υ2' = 1 2
1 2
m -e m
m +m
⋅
·υ1+(1+e)· 2
1 2
m
m +m
·υ2-e·(υ2–υ1)⇒
⇒ υ2' = 1 2 1 2
1 2
m -e m e m e m
m +m
⋅ + ⋅ + ⋅
·υ1+ 2 2 1 2
1 2
m +e m -e m -e m
m +m
⋅ ⋅ ⋅
·υ2⇒
⇒ υ2' = 1 1
1 2
m e m
m +m
+ ⋅
·υ1+ 2 1
1 2
m -e m
m +m
⋅
·υ2⇒ υ2' =(1+e)· 1
1 2
m
m +m
·υ1+ 2 1
1 2
m -e m
m +m
⋅
·υ2.
α) Για την πλαστική κρούση είναι e=0 και έχουµε:
υ1'= 1
1 2
m
m +m
·υ1+ 2
1 2
m
m +m
· υ2⇒ υ1'= 1 1 2 2
1 2
m υ m υ
m +m
+
και

3. ΤΟ ∆++
ΘΕΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
Μιχαήλ Π. Μιχαήλ
763
υ2' = 1
1 2
m
m +m
·υ1+ 2
1 2
m
m +m
·υ2⇒ υ2' = 1 1 2 2
1 2
m υ m υ
m +m
+
. Άρα υ1'= υ2' που σηµαίνει πως τα
δυο σώµατα µετά την κρούση κινούνται ως ένα συσσωµάτωµα.
β) Για την τελείως ελαστική κρούση είναι e=1 και έχουµε:
υ1'= 1 2
1 2
m -m
m +m
·υ1+ 2
1 2
2m
m +m
· υ2 και
υ2' = 1
1 2
2m
m +m
·υ1+ 2 1
1 2
m -m
m +m
·υ2.
γ) Για e=0,5 έχουµε ανελαστική κρούση και ισχύει:
υ1'= 1 2
1 2
2m -m
2(m +m )
·υ1+ 2
1 2
3m
2(m +m )
·υ2 και υ2' = 1
1 2
3m
2(m +m )
·υ1+ 2 1
1 2
2m -m
2(m +m )
·υ2.
256. Μέγιστη ορµή
Σώµα µάζας m1 που κινείται µε
ταχύτητα υ1 συγκρούεται
µετωπικά (κεντρικά) και
ελαστικά µε αρχικά ακίνητο
σώµα m2.
Για ποια αναλογία µαζών 2
1
m
m
,
και για τη δεδοµένη αρχική
ορµή, η ορµή της ακίνητης µάζας m2 µετά την κρούση γίνεται µέγιστη;
257. Μέγιστη ορµή…συνέχεια
Σώµα µάζας m1 που κινείται µε ταχύτητα υ1 συγκρούεται µετωπικά (κεντρικά) και
ελαστικά µε αρχικά ακίνητο σώµα m2.
Για ποια αναλογία µαζών 2
1
m
m
, η ορµή της ακίνητης µάζας m2 µετά την κρούση γίνεται
µέγιστη;
m1
υ1
m2

4. 764 KΡΟΥΣΕΙΣ – ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ DOPPLER
Μιχαήλ Π. Μιχαήλ
258. Η µισή της µέγιστης ορµής
Σώµα µάζας m1 που κινείται µε
ταχύτητα υ1 συγκρούεται
µετωπικά (κεντρικά) και
ελαστικά µε αρχικά ακίνητο
σώµα m2. Για ποια αναλογία
µαζών 2
1
m
m
, και για τη
δεδοµένη αρχική ορµή, η ορµή
της ακίνητης µάζας m2 µετά την κρούση γίνεται η µισή της µέγιστης τιµής της;
259. Πλάγια κρούση µε τριβή
Απαραµόρφωτη σφαίρα Σ µάζας m=1Kg, κινείται µε σταθερή ταχύτητα, µέτρου
υ0=12m/s και προσπίπτει σε οριζόντιο δάπεδο µε γωνίας πρόσπτωσης φ. Η σφαίρα
ανακλάται µε ταχύτητα
υ=10m/s ενώ η γωνία
ανάκλασης είναι θ.
Αν ο χρόνος επαφής της
σφαίρας µε το δάπεδο είναι
∆t=10-1
s, να βρείτε:
α) Αν το οριζόντιο δάπεδο
είναι λείο και
β) τη δύναµη που δέχτηκε η
σφαίρα κατά την κρούση. Η
σφαίρα εκτελεί µόνο
µεταφορική κίνηση.
∆ίνεται ηµφ=0,6 και ηµθ=0,8.
260. Κρούση και ταλάντωση
α) Η µάζα m1=1Kg του σχήµατος είναι δεµένη σε κατακόρυφο ελατήριο σταθεράς
Κ1=25Ν/m και ισορροπεί. Τη χρονική στιγµή t0=0, δίνουµε στη µάζα m1 κατακόρυφη
προς τα κάτω ταχύτητα υ1=0,5 m/s και αυτή αρχίζει να ταλαντώνεται. Ποια είναι η
εξίσωση ταλάντωσης της; Θεωρείστε την προς τα πάνω φορά ως θετική.
m1 1
1
Θ.Ι.Τ(m )
m1
υ1
m2
Σ
φ
θ
υ
υ
0

5. ΤΟ ∆++
ΘΕΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
Μιχαήλ Π. Μιχαήλ
765
β) Έστω ότι πάνω από τη µάζα m1 κινείται
κατακόρυφα προς τα κάτω µάζα m=2Kg µε
σταθερή ταχύτητα υ2=0,5m/s. Η µάζα m2
συγκρούεται µετωπικά και ελαστικά µε τη
µάζα m1 µετά από χρόνο t=
3π
5
s, από τη
στιγµή που η µάζα m1 άρχισε την ταλάντωσή
της. Να γίνει η γραφική παράσταση της
αποµάκρυνσης x(t) της µάζας m1 από t=0s
µέχρι και t=πs.Θεωρήστε ότι η µάζα m2 µετά
την κρούση αποµακρύνεται από το χώρο του
πειράµατος.
γ) Έστω ότι πάνω από τη µάζα m1 και σε
απόσταση h=0,3m από τη θέση ισορροπίας
της υπάρχει ελατήριο σταθεράς Κ2 =200N/m.
Τη χρονική στιγµή t1=0,2πs και ενώ η m1
ταλαντώνεται, κρεµάµε από το ελατήριο Κ2
τη µάζα m2=2 Kg. Η µάζα m2 αρχίζει τη
χρονική στιγµή t1 να ταλαντώνεται και αυτή.
Ποια χρονική στιγµή θα συναντηθεί µε τη
µάζα m1 και σε ποια θέση;
261. Ράβδος- σηµειακές µάζες και κρούση
∆υο µάζες Μ=4 Kg στερεώνονται στα άκρα µιας λεπτής αβαρούς ράβδου µήκους
ℓ=1m. Η ράβδος µπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβή γύρω από έναν οριζόντιο άξονα
που περνά από το κέντρο της. Ένα κοµµάτι στόκος µάζας m= 1 Kg κινείται µε σταθερή
ταχύτητα υ=2 m/s και κολλά στη µια µάζα Μ, όπως φαίνεται στο σχήµα.
α) Να υπολογιστεί η γωνιακή
ταχύτητα της ράβδου µετά
την πλαστική κρούση.
υ
m
m
1 1
2
2
K
Θ.Ι.Τ(m )
M M
m
Uβ=0
υ
K
m
m
1 1
2
22
K
K
Θ.Ι.Τ(m )
Θ.Φ.Μ(m )
h

6. 766 KΡΟΥΣΕΙΣ – ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ DOPPLER
Μιχαήλ Π. Μιχαήλ
β) Να βρεθεί κατά ποια γωνία θα περιστραφεί το σύστηµα µετά την κρούση. ∆ίνεται
g=10m/s2
.
262. Οµογενής ράβδος και κρούση
Η οµογενής ράβδος ΑΒ=L=1m, του σχήµατος µάζας Μ=6Kg, ισορροπεί οριζόντια σε
κατακόρυφο επίπεδο. Η ράβδος
µπορεί να περιστρέφεται
ελεύθερα, γύρω από οριζόντιο
άξονα που περνά από το κέντρο
µάζας της Κ. Από ύψος h=0,2m
αφήνουµε µάζα m=8Kg να
πέσει ελεύθερα και η οποία
συγκρούεται πλαστικά µε τη
ράβδο σε απόσταση x=
1
4
m,
από το κέντρο µάζας Κ. Αν δίνεται για τη ράβδο ότι Ιcm=1/12⋅Μ⋅L2
, τότε να
υπολογιστούν:
α) Η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής ω, του συστήµατος των δυο µαζών αµέσως µετά
την κρούση.
β) Η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής ω΄, του συστήµατος των δυο µαζών όταν το
σύστηµα ράβδος – m, έχει έρθει στην κατακόρυφη θέση.
γ) Η γωνιακή επιτάχυνση όταν το σύστηµα ράβδος – m, έχει περιστραφεί κατά 1800
.
δ) Η γωνία περιστροφής στην οποία το σύστηµα ηρεµεί στιγµιαία. ∆ίνεται g=10m/s2
.
263. Ελατήριο- ράβδος και ανακύκλωση
Στο ελεύθερο άκρο , ενός οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς Κ=1900 Ν/m, που το άλλο
άκρο του είναι στερεωµένο
σε ακίνητο τοίχο,
τοποθετούµε (χωρίς να το
δέσουµε) σώµα µάζας
m1=0,5 Kg και
συσπειρώνουµε το ελατήριο
κατά x. Στη συνέχεια
αφήνουµε το σώµα ελεύθερο
και αφού διανύσει διάστηµα
s=0,5 m > x, συγκρούεται
µετωπικά και ελαστικά µε το
κατώτερο σηµείο,
x
m
KA B
h
1
m
υ
K
Ox
L
S
U =0β
Θ.Φ.Μ
(A) (B)
K.M
K.M
M
K

7. ΤΟ ∆++
ΘΕΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
Μιχαήλ Π. Μιχαήλ
767
κατακόρυφης ράβδου µάζας M=1,5Kg και µήκους = 0,6 m, που µπορεί να στρέφεται
σε κατακόρυφο επίπεδο, γύρω από οριζόντιο άξονα που περνά από το ανώτερο άκρο
της. Αν ο συντελεστής τριβής ολίσθησης µεταξύ σώµατος και επιπέδου είναι µ=0,2.
α) Να υπολογίσετε τη µέγιστη συσπείρωση x του ελατηρίου, ώστε να πετύχουµε οριακή
ανακύκλωση της ράβδου.
β) Να υπολογίσετε τη µέγιστη ενέργεια παροδικής παραµόρφωσης κατά τη διάρκεια
της κρούσης και να γίνει η γραφική παράσταση της κινητικής ενέργειας του
συστήµατος των δυο µαζών κατά τη διάρκεια της ελαστικής κρούσης σε συνάρτηση µε
το χρόνο t.
∆ίνονται η ροπή αδράνειας της ράβδου για άξονα περιστροφής από το κέντρο µάζας
της Ιcm=1/12M 2
και g=10m/s2
.
264. Κύλιση και κρούση
Η µάζα m1=2Kg του
σχήµατος ολισθαίνει σε
οριζόντιο επίπεδο και
συγκρούεται µετωπικά και
ελαστικά µε σφαίρα µάζας
m2=1Kg, η οποία αρχικά
κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. Η µάζα m1 έχει ακριβώς πριν τη σύγκρουση οριζόντια
ταχύτητα µέτρου υ1=12m/s ενώ η οριζόντια ταχύτητα του κέντρου µάζας της σφαίρας
πριν τη σύγκρουση έχει µέτρο υ2=3m/s όπως φαίνεται στο σχήµα.
α) Να βρείτε τις ταχύτητες των δυο µαζών αµέσως µετά τη σύγκρουση αν οι µάζες
εξακολουθούν να κινούνται οριζόντια. Οι επιφάνειες των µαζών θεωρούνται λείες, ότι
η διάρκεια της κρούσης είναι πολύ µικρή και ότι κατά τη διάρκεια της κρούσης καµία
µάζα δεν αναπηδά.
β) Σε πόσο χρόνο µετά τη σύγκρουση η µάζα m2 θα σταµατήσει να ολισθαίνει; ∆ίνεται
ο συντελεστής τριβής ολίσθησης µεταξύ σφαίρας και επιπέδου µ=0,2. ∆ίνεται για τη
σφαίρα Icm=
2
5
⋅m2⋅R2
και g=10m/s2
.
γ) Πόσο µεταβλήθηκε η κινητική ενέργεια της σφαίρας από τη στιγµή της σύγκρουσης
µέχρι τη στιγµή που είχαµε κύλιση χωρίς ολίσθηση;
δ) Ποια είναι η ταχύτητα του κατώτερου σηµείου της σφαίρας,
i) Αµέσως µετά τη σύγκρουση,
ii) Ακριβώς τη στιγµή που αρχίζει η κύλιση χωρίς ολίσθηση;
υυ
m m ω
21
1 2 2
K

8. 768 KΡΟΥΣΕΙΣ – ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ DOPPLER
Μιχαήλ Π. Μιχαήλ
265. Ράβδος- σφαίρα - αποχωρισµός και µετά ταλάντωση
Μια οµογενής ράβδος ΑΒ έχει µήκος L=1m και µάζα M=6Kg. Στο άκρο της Β υπάρχει
µια ελεύθερη µάζα
m1=2Kg ενώ η ράβδος
στηρίζεται µε το άκρο της
Α µέσω άρθρωσης και
αρχικά ισορροπεί
οριζόντια µε τη βοήθεια
νήµατος που είναι δεµένο
στο µέσο της ράβδου το
άλλο άκρο του οποίου
είναι σταθερά
συνδεδεµένο στο σηµείο
Γ.
α) Να υπολογίσετε τη
δύναµη FA που ασκείται
από την άρθρωση στο
σηµείο Α στη ράβδο όταν
αυτή αρχικά ισορροπεί
β) Κάποια στιγµή κόβουµε
το νήµα. Γιατί
αποχωρίζεται η m1 από τη
ράβδο; Θεωρήστε ότι ο
αποχωρισµός των δυο
σωµάτων γίνεται στην οριζόντια θέση.
γ) Μόλις η µάζα m1, µετατοπιστεί κατακόρυφα κατά h=0,45m συγκρούεται µετωπικά
και πλαστικά µε τη µάζα m2=4Kg που ισορροπεί δεµένη σε κατακόρυφο ελατήριο
σταθεράς Κ=200Ν/m. Ποιο είναι το πλάτος της ταλάντωσης του συσσωµατώµατος;
δ) Ποια είναι η δύναµη FA που ασκείται από την άρθρωση Α στη ράβδο όταν η ράβδος
γίνει κατακόρυφη και το κέντρο µάζας της είναι κάτω από το άκρο της Α;
ε) Σε ποια θέση η µάζα m1 αποχωρίζεται από τη µάζα m2; ∆ίνεται η ροπή αδράνειας της
ράβδου για άξονα που περνάει από το κέντρο µάζας της και είναι κάθετος σε αυτή
Ιcm=
1
12
⋅Μ⋅L2
και g=10m/s2
.
M
L
h
m1
A
Γ
B

9. ΤΟ ∆++
ΘΕΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
Μιχαήλ Π. Μιχαήλ
769
266. ∆ίσκος – έκρηξη και µετά ταλάντωση
Ο δίσκος του σχήµατος
ακτίνας R=1m, έχει µάζα
M=4Kg και µπορεί να
περιστρέφεται ελεύθερα γύρω
από άξονα που περνά από το
Κ.Μ του Ο. Ο δίσκος είναι
αρχικά ακίνητος. Πάνω του
βρίσκεται ακίνητη σηµειακή
µάζα m1=2Kg όπως φαίνεται στο σχήµα. Ξαφνικά µ’ έναν εκρηκτικό µηχανισµό η m1
εκσφενδονίζεται οριζόντια εφαπτοµενικά στο δίσκο µε ταχύτητα υ1=10 m/s. H m1
διανύει απόσταση s=1m κινούµενη µε σταθερή ταχύτητα υ1 και συγκρούεται µετωπικά
και πλαστικά µε τη µάζα m2=3Kg που ταλαντώνεται, δεµένη σε ελατήριο σταθεράς
Κ=320 N/m και εκείνη τη στιγµή βρίσκεται στη µέγιστη αποµάκρυνσή της αριστερά
από τη Θ.Ι.Τ ενώ έχει δυναµική ενέργεια 120J.
Τη στιγµή που η m1 συγκρούεται µε τη µάζα m2, ασκείται στο δίσκο σταθερή
εφαπτοµενική δύναµη F, µέχρι αυτός να σταµατήσει να περιστρέφεται.
Α α. Να υπολογιστεί η δύναµη F ώστε ο δίσκος να σταµατήσει να περιστρέφεται σε
χρόνο 0,1 s από τη στιγµή που άρχισε να ασκείται αυτή.
β. Να υπολογιστεί το έργο της δύναµης F µέχρι να σταµατήσει η περιστροφή του
δίσκου και η ισχύς της τη χρονική στιγµή 0,04 s από τη στιγµή που άρχισε να ασκείται
στο δίσκο. Πόση είναι τότε η µέση ισχύς της δύναµης µέχρι να σταµατήσει ο δίσκος;
γ. Να υπολογιστεί η συνολική γωνία στροφής του δίσκου από τη στιγµή που
εκτοξεύτηκε η m1 και µέχρι να σταµατήσει η περιστροφή του.
Β. α. Να γραφεί η εξίσωση της Α.Α.Τ του συστήµατος m1+m2 αµέσως µετά την
κρούση. (Θεωρήστε την προς τα δεξιά φορά θετική).
β. Να υπολογιστεί ο µέγιστος ρυθµός µεταβολής της κινητικής ενέργειας του
συστήµατος των δυο µαζών κατά τη διάρκεια της ταλάντωσής του.
γ. Να γράψετε την εξίσωση της κινητικής ενέργειας του συστήµατος των δυο µαζών σε
συνάρτηση µε το χρόνο t, κατά τη διάρκεια της ταλάντωσης και να κάνετε την
αντίστοιχη γραφική παράσταση.
Θεωρήστε λείο το επίπεδο ταλάντωσης. ∆ίνεται η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς
το Κ.Μ του Ιδ=
2
1
⋅Μ⋅R2
.
267. Κύλιση σε κεκλιµένο επίπεδο και πλαστική κρούση µε ταλάντωση
Πάνω σε κεκλιµένο επίπεδο γωνίας κλίσης φ=300
βρίσκεται ένας κύλινδρος µάζας
M=2Kg ακτίνας R=0,4m. Σε απόσταση r=R/2 από το κέντρο του κυλίνδρου και πάνω
O
K
S=1m
M
m
m
1
2
0
R
Z
Z΄
υ1
ω =0

10. 770 KΡΟΥΣΕΙΣ – ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ DOPPLER
Μιχαήλ Π. Μιχαήλ
σε αυτόν βρίσκεται τυλιγµένο κατάλληλα ένα αβαρές σχοινί που µπορεί να ξετυλίγεται
χωρίς να γλιστρά.
Το σχοινί περνάει από το αυλάκι µιας σταθερής τροχαλίας µάζας m1=2Kg και ακτίνας
r1=0,1m, στο ελεύθερο άκρο του οποίου είναι δεµένο σώµα µάζας m=1Kg. Αν
αφήσουµε το σύστηµα ελεύθερο να κινηθεί και αν ο κύλινδρος κυλίεται χωρίς να
ολισθαίνει τότε να υπολογιστούν:
Α) α) Η επιτάχυνση της
µάζας m.
β) Η γωνιακή επιτάχυνση
του κυλίνδρου και της
τροχαλίας
γ) Η τάση στα άκρα του
σχοινιού. Πόση είναι τότε η
στατική τριβή ανάµεσα στο
σχοινί και την τροχαλία;
δ) Η σταθερή στατική τριβή
που δέχεται ο κύλινδρος
από το κεκλιµένο επίπεδο.
Β) Να υπολογιστούν:
α) Ο ρυθµός αύξησης της στροφορµής της τροχαλίας και του κυλίνδρου.
β) Η ταχύτητα του σώµατος µάζας m, τη στιγµή που το σώµα µάζας m έχει κατέβει
κατά L = 0,32 m. Ποιος είναι τότε ο ρυθµός µεταβολής της κινητικής ενέργειας του
κυλίνδρου της τροχαλίας καθώς και της µάζας m;
Γ) Αν τη στιγµή εκείνη κόβεται το νήµα και η µάζα m, συγκρούεται πλαστικά µε τη
µάζα m2=1Kg που πραγµατοποιεί α.α.τ µε εξίσωση x= 2 ηµ(5 2 t) (S.I) και εκείνη τη
στιγµή βρίσκεται στη θέση ισορροπίας της, κινούµενη προς τη θετική κατεύθυνση, τότε
να βρείτε την εξίσωση της α.α.τ του συσσωµατώµατος µετά την πλαστική κρούση.
∆ίνεται η ροπή αδράνειας ως προς το Κ.Μ του κυλίνδρου ΙΚ=1/2ΜR2
και της τροχαλίας
Ιτ=1/2m1r1
2
.
268. Πρώτα ολίσθηση και µετά ελαστική κρούση
Γύρω από µια οµογενή τροχαλία µάζας Μ=1Κg και ακτίνας R, είναι τυλιγµένο αβαρές
σχοινί, στο ένα άκρο του οποίου κρέµεται η µάζα m=0,5Kg ενώ στο άλλο άκρο είναι
δεµένο το σώµα µάζας m1=4 Kg το οποίο ισορροπεί αρχικά στο κεκλιµένο επίπεδο
γωνίας κλίσης φ=300
, όπως φαίνεται στο σχήµα.
m1
m
m1
m2
υ2 υ1
S
φ
M
R
φ
Μ
K
Θ.I.T
R
r
m
m
m
α
α
(+)
1
2
1
L

11. ΤΟ ∆++
ΘΕΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
Μιχαήλ Π. Μιχαήλ
771
Όταν το σώµα µάζας m1, αφεθεί ελεύθερο τότε ολισθαίνει προς τα κάτω στο κεκλιµένο
επίπεδο χωρίς να περιστρέφεται µε το νήµα να παραµένει τεντωµένο. Αν ο
συντελεστής τριβής ολίσθησης ανάµεσα στη µάζα m1 και το κεκλιµένο επίπεδο είναι µ=
6
3
, τότε:
Α. α) Να υπολογίσετε το συνολικό έργο των δυνάµεων που ασκούνται στην τροχαλία,
όταν η m1 έχει διανύσει απόσταση S=4,5m κατά µήκος του κεκλιµένου επιπέδου.
β) Πόσος είναι εκείνη τη στιγµή ο ρυθµός παραγωγής έργου στην τροχαλία;
Β) Να υπολογίσετε τη στατική τριβή ανάµεσα στο αβαρές σχοινί και την τροχαλία.
Γ) Τη στιγµή που η m1 έχει διανύσει την απόσταση S το νήµα κόβεται και στη συνέχεια
και µέχρι να φτάσει αυτή στη βάση του κεκλιµένου επιπέδου διανύει άλλα 1,4 m. Να
βρείτε το ποσοστό µεταβολής της κινητικής ενέργειας της m1 από τη στιγµή που
κόβεται το νήµα και µέχρι να φτάσει αυτή στη βάση του κεκλιµένου επιπέδου.
∆) Στη συνέχεια η m1 ολισθαίνει στο λείο οριζόντιο επίπεδο και συγκρούεται µετωπικά
και ελαστικά µε µάζα m2=2Kg που ολισθαίνει µε αντίθετη φορά και µε ταχύτητα
υ2=2 m/s. Αν η δύναµη που ασκείται µεταξύ των µαζών θεωρηθεί σταθερή να γίνει η
γραφική παράσταση του µέτρου της ορµής της κάθε σφαίρας σε συνάρτηση µε το
χρόνο κατά τη διάρκεια της κρούσης.
∆ίνονται για την τροχαλία Ι=
2
1
MR2
και g=10 m/s2
.
269. Μάζα και ελεύθερη ράβδος
Σηµειακή µάζα m=1Kg κινείται σε λείο οριζόντιο επίπεδο
µε ταχύτητα υ=10m/s και συγκρούεται ελαστικά µε
ελεύθερη οµογενή ράβδο µήκους L=1m και µάζας M=2Kg.
Η ράβδος βρίσκεται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο και
αρχικά είναι κάθετη στη διεύθυνση της ταχύτητας όπως
φαίνεται στο σχήµα. Αν η µάζα m τη στιγµή της
σύγκρουσης απέχει απόσταση x=0,25m από το κέντρο
µάζας Κ, της ράβδου και η ροπή αδράνειας της ράβδου ως
προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο µάζας της είναι
Ιcm=
1
12
⋅M⋅L2
, τότε:
α) Να περιγράψετε το είδος της κίνησης της ράβδου αµέσως
µετά τη σύγκρουση.
Κ
M
m υ
x

12. 772 KΡΟΥΣΕΙΣ – ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ DOPPLER
Μιχαήλ Π. Μιχαήλ
β) Να υπολογίσετε την ταχύτητα V του Κ.Μ της ράβδου αµέσως µετά τη σύγκρουση
και την ταχύτητα υ΄ της µάζας m.
γ) Να υπολογίσετε τη γωνιακή ταχύτητα ω, της ράβδου µετά τη σύγκρουση.
δ) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της ταχύτητας της µάζας m, της ταχύτητας της
µάζας Μ και της γωνιακής ταχύτητας ω της ράβδου σε συνάρτηση µε το χρόνο t κατά
τη διάρκεια του φαινοµένου.
270. Κρούση µε τέσσερις µάζες
Οι τέσσερις µάζες m1-m4, συνδέονται
µεταξύ τους µε αβαρείς ράβδους,
κάθετες µεταξύ τους, µε τα κέντρα
µάζας τους να ταυτίζονται, όπως
φαίνεται στο σχήµα. H ράβδος Α∆ έχει
µήκος (Α∆)=2α=2m και η ΒΓ έχει µήκος
(ΒΓ)=α=1m. Το σύστηµα βρίσκεται
πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Μάζα
m κινείται οριζόντια µε ταχύτητα
υ0=15m/s και συγκρούεται πλαστικά µε
τη µάζα m1, τότε:
α) Να περιγράψετε το είδος της κίνησης
του συσσωµατώµατος αµέσως µετά τη
σύγκρουση.
β) Να υπολογίσετε τη µεταφορική
ταχύτητα του Κ.Μ του συσσωµατώµατος αµέσως µετά την κρούση.
γ) Να υπολογίσετε τη γωνιακή ταχύτητα ω, του συστήµατος των µαζών µετά την
κρούση.
∆ίνεται: m1=m2=m3=m και m4=2m. Ακόµη Θεωρήστε το κέντρο µάζας του συστήµατος
µετά την κρούση στο σηµείο τοµής των δυο ράβδων.
δ) Τι ισχύει στην περίπτωση που η ράβδος µήκους α, έχει µάζα Μ=2m και η ράβδος
µήκους 2α, έχει µάζα 2Μ=4m; ∆ίνεται για ράβδο µήκους L και µάζας Μ, ότι
Ιcm=
12
1
ML2
.
m υ
2a
a
0 mm1
mm2
mm3
mm4
Α
Β Γ
∆

13. ΤΟ ∆++
ΘΕΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
Μιχαήλ Π. Μιχαήλ
773
271. Κρούση και ελεύθερος
δίσκος
Ένας δίσκος µε µάζα Μ=2Kg
και ακτίνα R=1m βρίσκεται
ελεύθερος πάνω σε λείο
οριζόντιο επίπεδο.
Ένα βλήµα µάζας m=1Kg που
το θεωρούµε υλικό σηµείο,
κινείται οριζόντια µε ταχύτητα
υ= 3 m/s και χτυπά στο
δίσκο στη διεύθυνση µιας
ευθείας που απέχει από το
κέντρο µάζας απόσταση
d=R/2. Να βρεθεί το είδος της
κίνησης που θα κάνει ο δίσκος αν το βλήµα χτυπήσει το δίσκο και αναπηδήσει
ελαστικά, σχηµατίζοντας γωνία 900
µε την αρχική κατεύθυνσή του. ∆ίνεται
Ιδ=1/2⋅Μ⋅R2
.
272. Φαινόµενο Doppler
Μια ακίνητη ηχητική πηγή S εκπέµπει αρµονικό ήχο µε συχνότητα fs=680Hz για
χρονικό διάστηµα ∆ts=2s. Ένας παρατηρητής Α, ο οποίος κινείται ευθύγραµµα µε
σταθερή ταχύτητα υA, αποµακρύνεται από την πηγή και η ευθύγραµµη τροχιά του
περνά ακριβώς από την πηγή. Κατά τη διάρκεια της κίνησής του ο παρατηρητής ακούει
ήχο του οποίου η συχνότητα είναι fΑ=0,9fs. Η ταχύτητα του ήχου στον αέρα είναι
υ=340 m/s. Να υπολογιστούν:
Aα) Το µήκος κύµατος λs των κυµάτων που εκπέµπει η πηγή.
β) Η ταχύτητα υΑ µε την οποία αποµακρύνεται ο παρατηρητής Α από την ακίνητη
πηγή S.
γ) Ο χρόνος ∆tA για τον οποίο ακούει τα ηχητικά κύµατα ο παρατηρητής Α.
δ) Το µήκος κύµατος λΑ των κυµάτων που αντιλαµβάνεται ο κινούµενος παρατηρητής.
B) Μια ηχητική πηγή S κινείται ευθύγραµµα µε ταχύτητα υs=20m/s πλησιάζοντας έναν
κινούµενο παρατηρητή Α και εκπέµπει αρµονικό ήχο µε συχνότητα fs=640Hz. Ο
παρατηρητής Α, κινείται ευθύγραµµα µε σταθερή ταχύτητα υA=10m/s και
αποµακρύνεται από την πηγή, ενώ η ευθύγραµµη τροχιά του περνά ακριβώς από την
πηγή. Η ταχύτητα του ήχου στον αέρα είναι υ=340 m/s. Να υπολογιστούν:
α) Η συχνότητα fA του ήχου που αντιλαµβάνεται ο παρατηρητής.
β) Το µήκος κύµατος λs των κυµάτων που εκπέµπει η πηγή.
γ) Το µήκος κύµατος λΑ των κυµάτων που αντιλαµβάνεται ο κινούµενος παρατηρητής.

14. 774 KΡΟΥΣΕΙΣ – ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ DOPPLER
Μιχαήλ Π. Μιχαήλ
273. Doppler και εξίσωση κύµατος
Ηχητική πηγή S αποµακρύνεται από ακίνητο παρατηρητή Α µε ταχύτητα V. Η
ταχύτητα V βρίσκεται πάνω στην ευθεία που ενώνει την πηγή S µε τον παρατηρητή Α.
Όταν η πηγή είναι αρχικά ακίνητη τότε ο παρατηρητής Α, αντιλαµβάνεται ηχητικό
κύµα της µορφής: yA=Α⋅ηµ2π(
t
T
-
x
λ
). Ποια είναι η εξίσωση του κύµατος που
αντιλαµβάνεται ο Α, όταν η ηχητική πηγή κινείται και η ταχύτητα του ήχου είναι υ;
274. Doppler και εξίσωση κύµατος (ΙΙ)
Ακίνητη ηχητική πηγή S εκπέµπει ηχητικό κύµα. Ένας ακίνητος παρατηρητής Α,
αντιλαµβάνεται τότε κύµα που περιγράφεται από την εξίσωση:
yA=0,2⋅ηµ2π(140t-
7x
17
). Αν η ηχητική πηγή αρχίσει τη χρονική στιγµή t=0, να
αποµακρύνεται από τον ακίνητο παρατηρητή µε ταχύτητα V=10m/s, τότε να βρεθεί η
καινούργια εξίσωση του κύµατος που θα αντιλαµβάνεται ο παρατηρητής. Η V
βρίσκεται πάνω στην ευθεία που ενώνει την πηγή S µε τον παρατηρητή Α. Η ταχύτητα
του ήχου στον αέρα είναι υ=340 m/s.
275. Doppler και εξίσωση κύµατος (ΙΙΙ)
Ένας παρατηρητής Α αποµακρύνεται από ακίνητη πηγή S µε ταχύτητα V, που
βρίσκεται πάνω στην ευθεία που ενώνει την πηγή µε τον παρατηρητή. Η ακίνητη πηγή
παράγει ηχητικό κύµα της µορφής ΨΑ=Α⋅ηµ2π(
t
T
-
x
λ
). Τότε να βρεθεί η εξίσωση του
κύµατος, που αντιλαµβάνεται ο κινούµενος παρατηρητής. Έστω ότι η ταχύτητα του
ήχου είναι υ.
276. Doppler και εξίσωση κύµατος (ΙV)
Παρατηρητής Α, αποµακρύνεται µε σταθερή ταχύτητα V=10m/s από ακίνητη πηγή S,
που παράγει ηχητικό κύµα της µορφής yS=0,2⋅ηµ2π(170t-
x
2
). Αν η V βρίσκεται πάνω
στην ευθεία (ΑS), τότε να βρεθεί η εξίσωση του απλού αρµονικού κύµατος που
αντιλαµβάνεται ο κινούµενος παρατηρητής. Η ταχύτητα του ήχου στον αέρα είναι
υ=340 m/s.

15. ΤΟ ∆++
ΘΕΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
Μιχαήλ Π. Μιχαήλ
775
277. Μη µετωπική
ελαστική κρούση m1 και m2
Μια σφαίρα µάζας m1
κινείται µε ταχύτητα υ=1m/s
και συγκρούεται µη
µετωπικά και ελαστικά µε αρχικά ακίνητη
σφαίρα µάζας m2 µε m1=2m2.
Τότε:
α) Να υπολογίσετε τη µέγιστη γωνία
εκτροπής της m1.
β) Για τη γωνία εκτροπής που υπολογίσατε
να βρείτε τις ταχύτητες υ1 και υ2 των δυο
µαζών m1 και m2 αντίστοιχα, µετά την
κρούση.
278. Όπως ο Chadwick
Σώµα (Σ) άγνωστης µάζας mx κινείται µε ταχύτητα υ και συγκρούεται κεντρικά και
ελαστικά µε αρχικά ακίνητο σώµα µάζας m1=m=0,1Kg.
Το ίδιο σώµα (Σ), κινούµενο µε την ίδια αρχική ταχύτητα, συγκρούεται κεντρικά και
ελαστικά και µε ένα δεύτερο αρχικά ακίνητο σώµα µάζας m2=14m.
Αν οι ταχύτητες των δυο σωµάτων m1 και m2 µετά την κρούση είναι αντίστοιχα υ1 και
υ2 µε 1
2
υ
υ
=7,5, τότε να υπολογίσετε την άγνωστη µάζα mx.
279. Κρούση και αποθηκευµένη ενέργεια
Σώµα µάζας m=1Kg κινείται µε ταχύτητα υ0 και συγκρούεται κεντρικά µε αρχικά
ακίνητο σώµα µάζας M=4Kg.
Κατά την κρούση ενέργεια Ε=2,5J αποθηκεύεται στο σύστηµα των δυο µαζών. Ποια
πρέπει να είναι τότε η ελάχιστη τιµή της ταχύτητας υ0 του σώµατος µάζας m;
280. Κρούση 4 σφαιρών
m1
m1
m2
m2
P1
P1
1
P΄
P΄
1
2
P΄1
P΄2
P
Α
Β
xθ Γ1=Pαρχ
αρχ=P τελ=P
y
m υ0
M m υ V
M

16. 776 KΡΟΥΣΕΙΣ – ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ DOPPLER
Μιχαήλ Π. Μιχαήλ
∆ιαθέτουµε τέσσερις όµοιες
λείες σφαίρες Σ, Σ1, Σ2, Σ3
µάζας m η καθεµία που
βρίσκονται πάνω σε λείο
οριζόντιο δάπεδο.
Οι σφαίρες Σ1, Σ2 και Σ3
εφάπτονται αρχικά όπως
φαίνεται στο σχήµα.
Η σφαίρα Σ κινείται αρχικά
µε οριζόντια ταχύτητα
υ0=7m/s η οποία
κατευθύνεται πάνω στην
ευθεία που διέρχεται από το σηµείο επαφής των Σ1 και Σ2 και το κέντρο της Σ3.
Όλες οι κρούσεις θεωρούνται ελαστικές.
Να υπολογιστούν οι ταχύτητες όλων των σφαιρών µετά την κρούση.
281. Κρούση 4 σφαιρών (2)
∆ιαθέτουµε τέσσερις όµοιες λείες σφαίρες Σ1, Σ2, Σ3, Σ4, µάζας m η καθεµία που
βρίσκονται πάνω σε λείο οριζόντιο δάπεδο.
Οι σφαίρες Σ3 και Σ4 εφάπτονται αρχικά όπως φαίνεται στο σχήµα.
Οι σφαίρες Σ1και Σ2 ισαπέχουν από τη διάκεντρο των Σ3 και Σ4 και κινούνται µε την
ίδια οριζόντια ταχύτητα υ0=1m/s. Οι ταχύτητές τους κατευθύνονται πάνω στην
οριζόντια ευθεία που διέρχεται από το σηµείο επαφής των Σ3 και Σ4 και συγκρούονται
ταυτόχρονα µε αυτές. Όλες οι κρούσεις θεωρούνται ελαστικές.
Να υπολογιστούν οι ταχύτητες όλων των σφαιρών µετά την κρούση.
m
m
m
υ0
m
Σ1
Σ2
Σ
Σ
3
Σ
Σ
3
4
m
υ υ0 0
m m
m
Σ1
Σ2
Σ3

17. ΤΟ ∆++
ΘΕΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
Μιχαήλ Π. Μιχαήλ
777
282. Κρούση, παράµετρος κρούσης και ενεργός διατοµή
Μια σφαίρα Σ1, µάζας m1=m και ακτίνας r1= R
κινείται µε ταχύτητα υ1 και συγκρούεται
ελαστικά και µη µετωπικά µε όµοια αρχικά
ακίνητη σφαίρα Σ2. Μάζας m2=m και ακτίνας
r2= R. Αν d είναι η απόσταση του κέντρου της
ακίνητης σφαίρας από το φορέα της υ1, τότε:
α) Να αποδείξετε ότι οι ταχύτητες των δυο
σφαιρών µετά την κρούση δίνονται από τις
σχέσεις υ1΄=υ1⋅
2 2
4R -d
2R
και υ2΄= υ1⋅
d
2R
.
β) Να υπολογίσετε τις τιµές που µπορεί να πάρει η
παράµετρος της παραπάνω κρούσης.
γ) Ποια είναι η ενεργός διατοµή της παραπάνω
κρούσης;
283. Μη µετωπική ελαστική κρούση 2 σφαιρών
Μια σφαίρα Σ1, µάζας m και ακτίνας R κινείται µε
ταχύτητα υ1 και συγκρούεται ελαστικά και µη
µετωπικά µε όµοια αρχικά ακίνητη σφαίρα Σ2. Αν d
είναι η απόσταση του κέντρου της ακίνητης σφαίρας
από το φορέα της υ1, τότε να αποδείξετε ότι οι
ταχύτητες των δυο σφαιρών µετά την κρούση δίνονται
από τις σχέσεις:
υ1΄=υ1⋅
2 2
4R -d
2R
και υ2΄= υ1⋅
d
2R
m
m
d
Σ
Γ
1
Σ2
Κ1
Κ2
φ
υ1
m
m
d
Σ
Γ
1
Σ2
Κ1
Κ2
φ
υ1
mm
m
d
Σ
Γ
1
Σ2
Κ1
Κ2
φ
υ1
m
σ
Σ1
Κ1
φ
υ1

18. 778 KΡΟΥΣΕΙΣ – ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ DOPPLER
Μιχαήλ Π. Μιχαήλ
284. Μη µετωπική ελαστική κρούση m1 και m2 (2)
Μια σφαίρα µάζας m1=5Kg
κινείται (ολισθαίνει)
οριζόντια µε ταχύτητα
υ=1m/s και συγκρούεται µη
µετωπικά και ελαστικά µε
αρχικά ακίνητη σφαίρα
µάζας m2=7Kg. Αν µετά
την κρούση η σφαίρα m1
κινείται µε ταχύτητα υ1 που
σχηµατίζει µε την
οριζόντια διεύθυνση γωνία
θ1=600
, τότε να
υπολογίσετε την ταχύτητα
υ1 καθώς και την ταχύτητα
υ2 της m2, µετά την
κρούση. Τριβές δεν
υπάρχουν.
285. Μη µετωπική
ελαστική κρούση m1 και m2 .
Μια σφαίρα µάζας m1=5Kg
κινείται (ολισθαίνει) οριζόντια
µε ταχύτητα υ1=1m/s και
συγκρούεται µη µετωπικά και
ελαστικά µε αρχικά ακίνητη
σφαίρα µάζας m2=7Kg. Αν µετά
την κρούση η σφαίρα m2
κινείται µε ταχύτητα υ2΄ που
σχηµατίζει µε την οριζόντια
διεύθυνση γωνία θ µε εφθ=
3
2
,
τότε να υπολογίσετε την
ταχύτητα υ1΄ καθώς και την
ταχύτητα υ2΄ της m2, µετά την
κρούση. Τριβές δεν υπάρχουν.
m1
m1
m2
m2
P1
P1
1
0
P΄
P΄
1
2
P΄1
P΄2
P xθ =60
θ
1=Pαρχ
αρχ=P τελ=P
y
m1
m1
m2
m2
P1
P1
P΄
P΄
1
2
P΄1
P΄2
P x
θ
1=Pαρχ
αρχ=P τελ=P
y
φ

19. ΤΟ ∆++
ΘΕΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
Μιχαήλ Π. Μιχαήλ
779
286. Κρούση 3 σφαιρών
∆ιαθέτουµε τρεις όµοιες λείες σφαίρες Σ,
Σ1 και Σ2, µάζας m η καθεµία που
βρίσκονται πάνω σε λείο οριζόντιο
δάπεδο.
Οι σφαίρες Σ1 και Σ2 εφάπτονται αρχικά
όπως φαίνεται στο σχήµα.
Η σφαίρα Σ κινείται αρχικά µε οριζόντια
ταχύτητα υ0=5m/s, η οποία είναι κάθετη
στη διάκεντρο των Σ1 και Σ2.
Όλες οι κρούσεις θεωρούνται ελαστικές.
Να υπολογιστούν οι ταχύτητες των τριών σφαιρών µετά την κρούση.
287. Πλάγια κρούση σε κεκλιµένο επίπεδο
Σφαίρα Σ σχετικά µικρής µάζας m=0,04Kg, προσπίπτει σε λείο κεκλιµένο επίπεδο
γωνίας κλίσης φ=600
. Η σφαίρα αρχικά κινείται οριζόντια, παράλληλα στη βάση του
κεκλιµένου επιπέδου µε
σταθερή ταχύτητα, µέτρου
υ=100m/s. Αν η κρούση
της σφαίρας µε το
κεκλιµένο επίπεδο είναι
ελαστική και ο χρόνος
επαφής της µ’ αυτό είναι
∆t=10-2
s, να βρείτε:
α) την ταχύτητα της
σφαίρας (µέτρο και
κατεύθυνση) µετά την
κρούση,
β) τη δύναµη που δέχτηκε η σφαίρα κατά την κρούση. Η σφαίρα εκτελεί µόνο
µεταφορική κίνηση.
Σ1
m
υ0
m
m
Σ
Σ2
Σ
φ=60
0
υ

20. 780 KΡΟΥΣΕΙΣ – ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ DOPPLER
Μιχαήλ Π. Μιχαήλ
288. Θα ολισθήσει;
Η οµογενής ράβδος ΑΒ του σχήµατος έχει µάζα Μ=3 3 Κg και µήκος L=2m. Η
ράβδος στηρίζεται µε το άκρο της Α σε λείο
κατακόρυφο τοίχο και µε το άκρο της Β σε οριζόντιο
δάπεδο. Ακόµη σχηµατίζει µε το οριζόντιο δάπεδο
γωνία φ=600
.
Σφαίρα Σ µάζας m=0,04Kg, κινείται οριζόντια, µε
σταθερή ταχύτητα, µέτρου υ=10m/s κάθετα στον τοίχο
και προσκρούει στη ράβδο στο σηµείο Λ σε απόσταση
L
4
από το άκρο της Α. Η κρούση της σφαίρας µε τη
ράβδο είναι ελαστική και ο χρόνος επαφής της µ’ αυτή
είναι ∆t=10-2
s.
Αν ο συντελεστής στατικής τριβής µεταξύ της ράβδου
και του δαπέδου είναι µ=
3
3
τότε να βρείτε αν τη
στιγµή της κρούσης η ράβδος ολισθαίνει.
Θεωρήστε ότι µεταξύ της ράβδου και της σφαίρας δεν υπάρχουν τριβές. ∆ίνεται
g=10m/s2
.
289. Φαινόµενο Doppler σε µια κυκλική κίνηση
Ηχητική πηγή S διαγράφει κυκλική τροχιά
ακτίνας R µε σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω. Η
πηγή εκπέµπει ηχητικά κύµατα συχνότητας fs.
Ακίνητος παρατηρητής Α βρίσκεται στην
οριζόντια διάµετρο της κυκλικής τροχιάς που
διαγράφει η ηχητική πηγή S όπως φαίνεται στο
σχήµα.
Να υπολογιστεί η συχνότητα fA του ήχου που
ακούει ο παρατηρητής Α. Θεωρήστε ότι τη
χρονική στιγµή t0=0 η πηγή και ο παρατηρητής
ταυτίζονται. Ακόµη δίνεται η ταχύτητα του
ήχου στον αέρα υηχ=υ.
AA
gM
m
υ
N΄
F
Β
Κ
Λ
Tφ
Σ
tω
θ
θ
φ
θ
O
A
S
υS
υSx
υSy
R
R

21. ΤΟ ∆++
ΘΕΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
Μιχαήλ Π. Μιχαήλ
781
290. Άνθρωπος σε µια κυκλική τροχιά
Ένας άνθρωπος µάζας m=50Kg, τρέχει
κατά την ωρολογιακή φορά, πάνω σε
έναν κυκλικό δίσκο µάζας Μ=100Kg
και ακτίνας R=2m. Ο άνθρωπος
κινείται σε κυκλική τροχιά σε
απόσταση d=1m από το κέντρο του
δίσκου, µε ταχύτητα υ=3m/s ως προς
το δίσκο, ενώ ο δίσκος περιστρέφεται
χωρίς τριβές, αντιωρολογιακά µε
σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω0=1 rad/s.
Κάποια στιγµή ο άνθρωπος
σκοντάφτει και πέφτει. Ποια είναι η
καινούργια γωνιακή ταχύτητα του
συστήµατος άνθρωπος – δίσκος µετά το πέσιµο του ανθρώπου; Πόσο µεταβλήθηκε η
κινητική ενέργεια του συστήµατος κατά το πέσιµο του ανθρώπου;
∆ίνεται για το δίσκο Ιδ=Ιcm=
1
2
⋅M⋅R2
και ότι δεν υπάρχουν εξωτερικές ροπές.
291. Ελαστική κρούση 2 σφαιρών που κινούνται α) σε κάθετες διευθύνσεις και
β) στην ίδια ευθεία
α) Σφαίρα Σ1, µάζας m και ακτίνας R κινείται
µε ταχύτητα υ και συγκρούεται ελαστικά µε
όµοια σφαίρα Σ2 που κινείται µε ταχύτητα
ίσου µέτρου υ σε κάθετη διεύθυνση. Να
υπολογιστούν οι ταχύτητες των δυο σφαιρών
µετά την κρούση.
β) ∆υο τελείως ελαστικές σφαίρες ίσης µάζας m, κινούνται στην ίδια ευθεία
πλησιάζοντας η µια την άλλη µε ταχύτητες αντίστοιχα υ1 και υ2. Κάποια χρονική
στιγµή απέχουν µεταξύ τους απόσταση d. Μετά από πόσο χρόνο θα απέχουν πάλι την
ίδια απόσταση d;
292. Ελαστική κρούση σφαιρών που κυλίονται
Η συµπαγής σφαίρα m1=2Kg του σχήµατος κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει σε οριζόντιο
επίπεδο και συγκρούεται µετωπικά και ελαστικά µε αρχικά ακίνητη κούφια σφαίρα
µάζας m2=1Kg της ίδιας ακτίνας R. (Οι ακτίνες θεωρούνται ίσες ώστε η κρούση να
0
M
M
R d
m
Σ1 Σ2
υ
υ
υ
m
A
mω
1
11 2

22. 782 KΡΟΥΣΕΙΣ – ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ DOPPLER
Μιχαήλ Π. Μιχαήλ
είναι κεντρική). Η οριζόντια ταχύτητα του κέντρου µάζας της σφαίρας πριν τη
σύγκρουση έχει µέτρο υ1=3m/s όπως φαίνεται στο σχήµα.
α) Να βρείτε τις ταχύτητες των δυο σφαιρών αµέσως µετά τη σύγκρουση αν οι µάζες
εξακολουθούν να κινούνται οριζόντια.
β) Σε πόσο χρόνο µετά τη σύγκρουση οι µάζες m1 και m2 θα σταµατήσουν να
ολισθαίνουν; Ποια µάζα θα σταµατήσει την ολίσθηση πρώτη;
γ) Έστω πως η m2 είναι δεµένη σε ελατήριο σταθεράς Κ όπως φαίνεται στο σχήµα.
Τότε αν αµέσως µετά
την κρούση
αποµακρύνουµε τη
µάζα m1 σε πόσο
χρόνο θα σταµατήσει
η ολίσθηση της µάζας
m2;
∆ίνεται ο συντελεστής τριβής ολίσθησης µεταξύ σφαίρας και επιπέδου µ=1/7.
Θεωρούµε ότι µεταξύ των σφαιρών δεν αναπτύσσεται κάποια τριβή. Aκόµη δίνεται για
τη σφαίρα µάζας m1 και ακτίνας R, Icm=Ι1=
2
5
⋅m1⋅R2
και για τη σφαίρα µάζας m2 και
ακτίνας R, Icm=Ι2=m2⋅R2
. Για τις πράξεις θεωρείστε g=10m/s2
.
293. Κρούσεις δυο σφαιρών
A) ∆υο µικρές ελαστικές σφαίρες µε µάζες m1 και m2, προσπίπτουν ταυτόχρονα
στη µια πλευρά ενός οριζόντιου τραπεζιού και συγκρούονται ελαστικά και πλάγια όπως
φαίνεται στο σχήµα. Οι ταχύτητες των δυο σφαιρών πριν την κρούση έχουν µέτρα
υ1=υ2=4 2 m/s και η γωνία πρόσπτωσης για την κάθε σφαίρα είναι 450
. Στη συνέχεια
οι σφαίρες συγκρούονται µεταξύ τους και η κρούση είναι πλάγια και ελαστική. Να
υπολογιστούν οι ταχύτητες των δυο σφαιρών µετά τη µεταξύ τους σύγκρουση αν:
υ
m mω
1
11 2
K
θ
1
2
1
2
m
m
υ
υ
φ
1 2
1 2m m
υ υ

23. ΤΟ ∆++
ΘΕΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
Μιχαήλ Π. Μιχαήλ
783
α) m1= m2=0,5Kg και
β) m1=0,5Kg και m2=1,5Kg (m2=3m1).
Β) Αν η ταχύτητα της m1 πριν την κρούση είναι υ1=5m/s και η γωνία πρόσπτωσης είναι
θ µε εφθ=
3
4
, ενώ η ταχύτητα της m2 πριν την κρούση είναι υ2=4 2 m/s µε γωνία
πρόσπτωσης φ=450
τότε να υπολογιστούν οι ταχύτητες των δυο σφαιρών µετά τη
µεταξύ τους σύγκρουση αν:
α) m1= m2=0,5Kg και
β) m1=0,5Kg και m2=1,5Kg (m2=3m1).
294. Πλάγιες κρούσεις 1 σφαίρας
Από ένα σηµείο Ο που βρίσκεται σε τοίχο ύψος Η=0,8m από λείο οριζόντιο δάπεδο,
εκτοξεύεται µια µικρή λεία, τελείως ελαστική σφαίρα µάζας m, µε οριζόντια ταχύτητα
µέτρου υ0=4m/s, όπως φαίνεται στο σχήµα.
α) Αν η κρούση της
σφαίρας µε το δάπεδο
θεωρείται τελείως
ελαστική, να βρείτε τη
γωνία ανάκλασης της
σφαίρας µετά τη
πρόσπτωσή της στο
δάπεδο.
β) Σε απόσταση
d=2,4m από τον πρώτο τοίχο βρίσκεται και δεύτερος τοίχος. Αν η σφαίρα χτυπάει
πλάγια και ελαστικά και στο δεύτερο κατακόρυφο τοίχο, να υπολογίσετε τη γωνία
ανάκλασης της σφαίρας µετά τη δεύτερη κρούση.
Θεωρείστε ότι η αντίσταση του αέρα είναι αµελητέα και για τις πράξεις g=10m/s2
.
295. Κρούση σφαιρών (και έργο τριβής κύλισης).
Η συµπαγής σφαίρα
m1=2Kg του
σχήµατος κυλίεται
χωρίς να ολισθαίνει υ
m
A
mω
1
11 2
m
O
H
d=2,4m
xυ
0
=υ

24. 784 KΡΟΥΣΕΙΣ – ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ DOPPLER
Μιχαήλ Π. Μιχαήλ
σε οριζόντιο επίπεδο και συγκρούεται µετωπικά και ελαστικά µε αρχικά ακίνητη
κούφια σφαίρα µάζας m2=1Kg της ίδιας ακτίνας R=5cm. (Οι ακτίνες θεωρούνται ίσες
ώστε η κρούση να είναι κεντρική). Η οριζόντια ταχύτητα του κέντρου µάζας της
σφαίρας πριν τη σύγκρουση έχει µέτρο υ1=3m/s όπως φαίνεται στο σχήµα.
α) Να βρείτε τις ταχύτητες των δυο σφαιρών αµέσως µετά τη σύγκρουση αν οι µάζες
εξακολουθούν να κινούνται οριζόντια.
β) Να υπολογιστεί η συνολική στροφορµή του συστήµατος των δυο µαζών ακριβώς
πριν την κρούση και για σταθερό σηµείο του εδάφους.
γ) Σε πόσο χρόνο µετά τη σύγκρουση οι µάζες m1 και m2 θα σταµατήσουν να
ολισθαίνουν; Ποια µάζα θα σταµατήσει την ολίσθηση πρώτη;
δ) i) Να υπολογιστεί το έργο της τριβής ολίσθησης ακριβώς µετά την κρούση και µέχρι
να αρχίσει η κύλιση της σφαίρας m2.
ii) Ποιος είναι τότε ο ρυθµός µεταβολής της στροφορµής της
∆L
∆t
;
iii) Πόσο είναι το έργο της τριβής κύλισης από τη στιγµή που αρχίζει η κύλιση και
µέχρι να σταµατήσει η κίνηση της σφαίρας; Θεωρείστε αµελητέο το έργο της τριβής κύλισης
κατά τη διάρκεια της ολίσθησης.
∆ίνεται ο συντελεστής τριβής ολίσθησης µεταξύ σφαίρας και επιπέδου µ=1/7.
Θεωρούµε ότι µεταξύ των σφαιρών δεν αναπτύσσεται κάποια τριβή. Aκόµη δίνεται για
τη σφαίρα µάζας m1 και ακτίνας R, Icm=Ι1=
2
5
⋅m1⋅R2
και για τη σφαίρα µάζας m2 και
ακτίνας R, Icm=Ι2=m2⋅R2
. Για τις πράξεις θεωρείστε g=10m/s2
.