2. Τι είναι κύμα;
Κύμα ονομάζεται η διάδοση μιας διαταραχής σε
ένα ελαστικό μέσο με ορισμένη ταχύτητα που
λέγεται ταχύτητα διάδοσης του κύματος. Κατά τη
διάδοση του κύματος μεταφέρεται ενέργεια και
ορμή, αλλά όχι ύλη.
Τρέχοντα Στάσιμα
(διαδίδονται (εγκλωβίζονται
μετακινούμενα ανάμεσα σε δύο
στο χώρο) σημεία)
2
3. Είδη κυμάτων
σύμφωνα με το μηχανισμό
παραγωγής και διάδοσης
Μηχανικά
(απαιτούν την ύπαρξη Ηλεκτρομαγνητικά
ελαστικού μέσου για (δεν απαιτούν την ύπαρξη
τη διάδοσή τους) ελαστικού μέσου για τη
διάδοσή τους)
Μεταφέρουν μηχανική ενέργεια. Μεταφέρουν ενέργεια ηλεκτρικού
και μαγνητικού πεδίου. 3
4. Τι απαιτείται για τη δημιουργία ενός
μηχανικού κύματος;
• μια πηγή του κύματος (αιτία)
• ένα μέσο διάδοσης (ελαστικό μέσο)
Αρμονικό κύμα
Αν η πηγή εκτελεί ΑΑΤ η διαταραχή που παράγει το
κύμα είναι ΑΑΤ, τότε τα σωματίδια του μέσου κινούνται
περιοδικά και το κύματα ονομάζεται αρμονικό.
4
5. • Ταχύτητα διάδοσης του κύματος (υ)
x
υ=
όπου
t
x είναι η απόσταση στην οποία διαδόθηκε η
διαταραχή σε χρόνο t.
ΠΡΟΣΟΧΗ!!!
Η ταχύτητα διάδοσης ενός κύματος (σ’ ένα ομογενές και
ισότροπο μέσο) είναι σταθερή και εξαρτάται μόνο από τις
ιδιότητες του μέσου και όχι από το πόσο ασθενής ή ισχυρή
είναι η διαταραχή. 5
6. ∆ιάκριση κυμάτων
(σύμφωνα με τις διαστάσεις
του ελαστικού μέσου)
Γραμμικά Επιφανειακά Κύματα
κύματα κύματα χώρου
Τεντωμένη Στην επιφάνεια Ηχητικά κύματα
ελαστική χορδή, του νερού στον αέρα
τεντωμένο
σχοινί
6
7. ∆ιάκριση κυμάτων
(σύμφωνα με τον τρόπο κίνησης των
σημείων του ελαστικού μέσου)
Εγκάρσια ∆ιαμήκη
∆ιαδίδονται στα στερεά και ∆ιαδίδονται στα στερεά, στα
στην επιφάνεια υγρών υγρά και στα αέρια (σώματα
(σώματα με ελαστικότητα με ελαστικότητα όγκου)
σχήματος)
7
8. Εγκάρσια κύματα
Εγκάρσια κύματα λέγονται εκείνα
στα οποία η διεύθυνση διάδοσης
του κύματος είναι κάθετη προς τη
διεύθυνση ταλάντωσης των
σωματιδίων του ελαστικού μέσου.
Χαρακτηριστικό τους είναι τα
«όρη» και οι «κοιλάδες».
8
9. ∆ιαμήκη κύματα
∆ιαμήκη κύματα λέγονται εκείνα στα
οποία η διεύθυνση διάδοσης του
κύματος είναι παράλληλη προς τη
διεύθυνση ταλάντωσης των σωματιδίων
του ελαστικού μέσου.
Χαρακτηριστικό τους είναι τα
«πυκνώματα» και τα
«αραιώματα».
9
11. Χαρακτηριστικά της πηγής
Η πηγή εκτελεί περιοδική κίνηση που
είναι Απλή Αρμονική Ταλάντωση.
Η απομάκρυνσή της περιγράφεται από την
εξίσωση
y = Aημωt (χωρίς αρχική φάση)
ή την εξίσωση
y = Aημ(ωt+φ0) (με αρχική φάση)
11
12. Χαρακτηριστικά του κύματος
• Περίοδος του κύματος (Τ )
ο χρόνος μέσα στον οποίο ένα σωματίδιο του μέσου ολοκληρώνει
την κίνησή του ή
το χρονικό διάστημα μέσα στο οποίο
η κυματική εικόνα σε μια περιοχή του
μέσου επαναλαμβάνεται
(Συμπίπτει με την περίοδο της πηγής)
• Συχνότητα του κύματος (f )
η συχνότητα ταλάντωσης των μορίων του μέσου
(Συμπίπτει με την συχνότητα της πηγής)
• Γωνιακή συχνότητα του κύματος (ω)
(Συμπίπτει με την γωνιακή συχνότητα της πηγής) 12
13. • Μήκος κύματος (λ)
Μήκος κύματος λέγεται
- η απόσταση που διανύει το κύμα σε χρόνο μιας περιόδου.
ή
- η απόσταση δύο διαδοχικών σημείων του μέσου που
απέχουν το ίδιο από τη ΘΙ τους και κινούνται κατά την ίδια
φορά.
13
14. Θεμελιώδης εξίσωση της κυματικής
1
x t =T → x =λ λ Τ=
υ = ⎯⎯ ⎯ →υ = ⎯⎯ →υ = λ ⋅ f
⎯ ⎯ f
t Τ
ΠΡΟΣΟΧΗ !
Όταν το κύμα αλλάζει μέσο διάδοσης μεταβάλλονται η
ταχύτητα διάδοσης και το μήκος κύματος, αλλά δεν
αλλάζει η συχνότητα (που αποτελεί χαρακτηριστικό της
πηγής).
Η ταχύτητα διάδοσης του κύματος εξαρτάται μόνο από
τις ιδιότητες του μέσου αλλάζει αν το κύμα αλλάξει
μέσο διάδοσης ή αν αλλάξουν οι ιδιότητες του μέσου
διάδοσης! 14
16. Μαθηματική περιγραφή αρμονικού κύματος
Θεωρούμε γραμμικό, ελαστικό μέσο, το ένα άκρο του οποίου είναι
ακλόνητα στερεωμένο, ενώ το άλλο άκρο του Ο ξεκινά την t=0 να εκτελεί
ΑΑΤ της μορφής y = A·ημωt
M
O
x
x
Το κύμα φτάνει στο σημείο Μ σε χρόνο t1 =
υ
άρα τη χρονική στιγμή t, το σημείο Μ ταλαντώνεται για χρόνο
x
t M = t − t1 = t −
υ
οπότε η εξίσωση κίνησης του σημείου Μ θα είναι
x
yM = Aημωt M ⇒ y M = Aημω (t − )
υ
16
17. Μαθηματική περιγραφή αρμονικού κύματος
2π
x ω=
yM = Aημωt M ⇒ yM = Aημω (t − ) Τ
υ
2π x t x υ ⋅Τ = λ
yM = Aημ (t − ) ⇒ yM = Aημ 2π ( − )
Τ υ T υ ⋅T
t x
⇒ y M = Aημ 2π ( − ) Εξίσωση αρμονικού
T λ κύματος
t x
Το τόξο φ = 2π ( − )
T λ δείχνει κάθε στιγμή την απομάκρυνση
ονομάζεται φάση του κύματος. όλων των σημείων της χορδής από τη
θέση ισορροπίας τους σε συνάρτηση
με:
εξαρτάται από την απόσταση από
• τον χρόνο t
την πηγή την ίδια χρονική στιγμή
τα διάφορα σημεία του μέσου έχουν • την απόσταση χ του σημείου από
διαφορετικές φάσεις την πηγή. 17
18. Μαθηματική περιγραφή αρμονικού κύματος
Εξίσωση αρμονικού κύματος που διαδίδεται προς τα δεξιά
t x
yM = Aημ 2π ( − )
T λ
τα σημεία του μέσου καθυστερούν
σε σχέση με την πηγή
Εξίσωση αρμονικού κύματος που διαδίδεται προς τα αριστερά (προς την
αρνητική κατεύθυνση)
t x
yM = Aημ 2π ( + )
T λ
ΠΡΟΣΟΧΗ !
y
Κ • x είναι η απόσταση ενός σημείου του
μέσου από την πηγή του κύματος
x • y είναι η απομάκρυνση κάθε σημείου
από τη ΘΙ του
18
19. Γραφική παράσταση αρμονικού κύματος
Α. Στιγμιότυπο κύματος
Για συγκεκριμένη χρονική στιγμή t = t1
t x x
y = Aημ 2π ( 1 − ) ⇒ y = Aημ 2π (σταθ − )
T λ λ
δίνει τη θέση των σημείων του μέσου
σε μια ορισμένη χρονική στιγμή Για δύο σημεία Μ και Ν που απέχουν
ΣΤΙΓΜΙΟΤΥΠΟ αντίστοιχα από την πηγή αποστάσεις
χΜ και χΝ (με χΜ < χΝ)
t xM
φM = 2π ( − )
Μ T λ φΜ > φΝ
Ν
t xN
φ N = 2π ( − )
χΜ
χΝ
T λ
Την ίδια στιγμή, μεγαλύτερη φάση έχει
x1=υ·t το σημείο που βρίσκεται πιο κοντά
19
στην πηγή.
20. Στιγμιότυπο εγκάρσιου κύματος
Το στιγμιότυπο ενός κύματος παριστάνει την εικόνα της
ταλάντωσης (απομάκρυνση από ΘΙ) των μορίων του
ελαστικού μέσου (άξονας y) σε συνάρτηση με την
απόστασή τους από την πηγή (άξονας x).
20
21. Γραφική παράσταση αρμονικού κύματος
Β. Ταλάντωση ενός σημείου του μέσου
Για συγκεκριμένη απόσταση από την πηγή x=x1,
t x t
y = Aημ 2π ( − 1 ) ⇒ y = Aημ 2π ( − σταθ )
T λ T
δίνει την απομάκρυνση ενός σημείου
σε συνάρτηση με τον χρόνο
ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΑΑΤ
x
t1=
υ
21
22. Γραφικές παραστάσεις φάσης
χ=σταθ t 2π
φ = 2π ( − σταθ ) = t − 2π ⋅ σταθ
t x T T
φ = 2π ( − )
T λ
t=σταθ x 2π
φ = 2π (σταθ − ) = − x + 2π ⋅ σταθ
λ λ
φ x=σταθ. φ t=σταθ.
2 πt
T
… γραμμική
… γραμμική συνάρτηση της
συνάρτηση του απόστασης από
χρόνου την πηγή
0 xT 0 λt
t x
λ T
2πx
− 22
λ
23. ∆ιαφορές φάσης
Για δύο σημεία που απέχουν απόσταση ∆χ την ίδια χρονική στιγμή
t xM t xM t xN
φM = 2π ( − ) Δφ = φM − φΝ = 2π ( − ) − 2π ( − ) =
T λ T λ T λ
t xN 2πt 2πxM 2πt 2πxΝ 2π ( xΝ − xΜ )
φ N = 2π ( − ) − − + = ⇒
T λ T λ T λ λ
2π (− Δx) 2π | Δx |
Δφ = ⇒| Δφ |=
λ λ
Για το ίδιο σημείο, μεταξύ δύο χρονικών στιγμών t1 και t2
t 2 xM t1 xM
t1 xM Δφ = φM 2 − φM 1 = 2π ( − ) − 2π ( − )=
φM 1 = 2π ( − ) T λ T λ
T λ 2πt 2 2πxM 2πt1 2πxM 2π (t 2 − t1 )
t 2 xM − − + = ⇒
φM 2 = 2π ( − ) T λ T λ T
T λ 2π ⋅ Δt
Δφ = 23
T
24. Φάση - ∆ιαφορές φάσης
Στιγμιαία φάση κύματος
t x
φ = 2π ( − )
T λ
καθώς απομακρυνόμαστε από την πηγή (χ αυξάνει)
η φάση μειώνεται, δηλαδή το κύμα διαδίδεται από
μεγαλύτερες προς μικρότερες φάσεις
∆ιαφορά φάσης δύο σημείων του Δx
μέσου την ίδια χρονική στιγμή Δφ = 2π
λ
∆ιαφορά φάσης ενός σημείου σε Δt
δύο χρονικές στιγμές Δφ = 2π
T 24
25. Παρατηρήσεις
• Η ταχύτητα ταλάντωσης ενός σωματιδίου ΠΡΟΣΟΧΗ!
t x η ταχύτητα αυτή είναι η
υ = ωΑσυν2π( - ) ταχύτητα με την οποία
T λ ταλαντώνονται τα
σημεία του μέσου γύρω
• Η επιτάχυνση ταλάντωσης ενός σωματιδίου από τη ΘΙ τους και όχι η
ταχύτητα διάδοσης του
t x
α = -ω Αημ 2 π ( - )
2 κύματος, δηλαδή η
ταχύτητα με την οποία
T λ διαδίδεται η διαταραχή!
• Η ολική ενέργεια Ε της ταλάντωσης για κάθε σωματίδιο του μέσου
διατηρείται σταθερή και ισχύει:
1 1 1
DA = mυ + Dy
2 2 2
2 2 2 25
26. Αρμονικό κύμα με αρχική φάση πηγής
• Αν η πηγή έχει αρχική φάση φ0, τότε
η εξίσωση της απομάκρυνσης της
πηγής είναι
2π
y = Aημ( t + φ0 )
Τ
η εξίσωση του κύματος είναι
⎡ t x ⎤
y = Aημ ⎢2 π ( − ) + φ0 ⎥
⎣ T λ ⎦
26
27. Εγκάρσια και διαμήκη κύματα
ΟΜΟΙΟΤΗΤΕΣ
1. κύματα ελαστικότητας που μεταφέρουν ενέργεια και όχι ύλη
2. διαδίδονται στα στερεά
3. δημιουργούν υπό συνθήκες στάσιμα κύματα
4. δίνουν φαινόμενα συμβολής, περίθλασης, ανάκλασης και διάθλασης
∆ΙΑΦΟΡΕΣ
ΕΓΚΑΡΣΙΑ ∆ΙΑΜΗΚΗ
1. διαδίδονται μόνο στα στερεά διαδίδονται σε στερεά, υγρά, αέρια
2. ∆ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ
κάθετη στη διεύθυνση διάδοσης παράλληλη στη διεύθυνση διάδοσης
3. «όρη» και «κοιλάδες» «πυκνώματα» και «αραιώματα»
4. πολώνονται δεν πολώνονται
5. μικρότερη ταχύτητα διάδοσης μεγαλύτερη ταχύτητα διάδοσης
στα στερεά στα στερεά
27
