Dokumen tersebut membahas tentang dekomposisi pecahan parsial dari fungsi rasional untuk menghitung integralnya. Metode ini melibatkan pembagian fungsi rasional menjadi jumlahan suku-suku polinomial sederhana yang dapat diintegralkan. Contoh pembagian dilakukan untuk kasus fungsi rasional yang merupakan kombinasi dari faktor-faktor linier dan kuadratik.

1. Fungsi Rasional dan Pecahan Parsial
• Fungsi rasional diekspresikan sbb
• Untuk menghitung integral fungsi rasional, perlu dilakukan
dekomposisi pecahan-parsial dari fungsi rasional tersebut.
polinomialadalah)(dan)(dimana
)(
)(
)( xQxP
xQ
xP
xR =

2. • Metode pecahan parsial adalah suatu tehnik aljabar
dimana R(x) didekomposisi menjadi jumlahan suku-suku:
konstanta.-konstantaadalah,,,,,
kuadratik)(faktor
)(
ataulinier)(faktor
)(
berbentuk
parsial-pecahan)(danpolinomialsuatu)(dimana
),()()()(
)(
)(
)(
2
21
cbaCBA
cbxax
CBx
bax
A
xFxp
xFxFxFxp
xQ
xP
xR
n
n
i
k
++
+
+
++++== 

3. Contoh
.
1
11
)1(
1
Jadi.1,1,1Diperoleh
)()(1
)()1(1
:penyebutfungsidgn
sisikeduamengalikandengandiperolehdanKonstanta
1)1(
1
:parsial-pecahan
isididekomposdapatygrasionalfungsiadalah2-keSuku
)1(
1
1
1
:integrandiDekomposis
1
Hitung
22
2
2
22
23
3
3
3
+
+−
+=
+
+
=−==
+++=+
+++=+
+
+
+=
+
+
+
+
−=
+
−
+
−
∫
x
x
xxx
x
CBA
AxCxBAx
xCBxxAx
CA,B
x
CBx
x
A
xx
x
xx
x
xx
x
dx
xx
x

4. cxxxx
dx
x
x
x
dx
xx
x
x
x
xxx
x
+−++−=






+
−
+−=
+
−
+
−
+−=
+
−
−
∫ ∫
12
2
1
23
3
23
3
tan)1ln(||ln
1
11
1
1
1
11
1
1
menjadiisididekompossemularasionalfungsiJadi

5. Faktor-faktor Linier
• Jika Q(x) adalah (ax +b)n
( kelipatan n dari faktor
ax +b), maka dekomposisinya
• Jika Q(x) adalah faktor-faktor linier dengan
kelipatan n = 1,
konstanta,,,,
)()(
212
21
nn
n
AAA
bax
A
bax
A
bax
A

+
++
+
+
+
)()()(
:idekomposismaka
)())(()(
22
2
11
1
2211
nn
n
nn
bxa
A
bxa
A
bxa
A
bxabxabxaxQ
+
++
+
+
+
+++=



6. • Contoh
( )( )
∫
∫
−+
−−
−+
dx
xxx
xx
dx
xx
2
434
.2
.
212
5
.1
23
2

7. Faktor Kuadratik
• Jika Q(x) adalah (ax2
+ bx + c)n
(kelipatan n dari
faktor kuadratik ax2
+ bx + c), dimana ax2
+ bx + c
tidak dapat difaktorkan i.e. b2
–4ac <0,
maka, dekomposisi R(x)
konstanta.-konstanta,,,,,,,
)()(
2121
222
22
2
11
nn
n
nn
CCCBBB
cbxax
CxB
cbxax
CxB
cbxax
CxB


++
+
++
++
+
+
++
+

8. • Jika faktor-faktor kuadratik mempunyai kelipatan
n=1, maka dekomposisi
• Jika Q(x) kombinasi dari faktor linier dan
kuadratik, gunakan dekomposisi yang sesuai
untuk masing-masing faktor.
konstanta.-konstanta,,,,,,, 2121
2
22
2
2
22
11
2
1
11
nn
nnn
nn
CCCBBB
cxbxa
CxB
cxbxa
CxB
cxbxa
CxB


++
+
++
++
+
+
++
+

9. Contoh
1
1235
)1(
1235
2224
23
2224
24
23
+
+
++=
+
−+−
+=+
+
−+−
∫
x
DCx
x
B
x
A
xx
xxx
xxxx
dx
xx
xxx

10. INTEGRAL TAK-WAJAR
• Beberapa aplikasi calculus melibatkan integral dimana
1. Interval integrasi tidak terbatas:
[a,+∞), (- ∞, a], atau (- ∞, + ∞)
2. Integran adalah fungsi diskontinu tak-hingga di suatu
titik c di dalam selang [a, b]: limx→c f(x) = ±∞
Contoh:
1. 2.
∫
∞
1
2
1
dx
x ∫
1
0
1
dx
x

11. Limit tak-hingga dari integral
• Definisi:
• Jika limitnya ada, dikatakan integral tak-wajar
(kiri) tsb. convergen;
• Jika limitnya tidak ada, dikatakan integral tak-
wajar tsb. Divergen.
)(lim)( ∫∫ ∞→
∞
=
t
a
t
a
dxxfdxxf

12. • Hal yang sama berlaku untuk
• Contoh:
1. 2.
∫∫ −∞→
∞−
=
b
t
t
b
dxxfdxxf )(lim)(
∫
∞
1
2
1
dx
x ∫∞− −
0
1
1
dx
x

13. Integran tak-hingga
• Definisi:
Jika limitnya ada: konvergen
sebaliknya: divergen
.)(lim)(
makabila)(tetapi
b)[a,padanegatif-nondankontinu)(Misalkan
∫∫ −
→
−
=
→+∞→
t
abt
b
a
dxxfdxxf
bxxf
xf

14. • Hal yang sama:
• Jika f kontinu disetiap titik pada [a,b] kecuali di
titik c∈(a,b) dan salah satu atau kedua2 limit
sepihak f di c adalah tak-hingga maka
.)(lim)(
makabila)(tetapi
](padanegatif-nondankontinu)(Jika
∫∫ +
→
+
=
→+∞→
b
tat
b
a
dxxfdxxf
axxf
a, bxf
∫∫∫ +=
b
c
c
a
b
a
dxxfdxxfdxxf )()()(

15. Contoh
Selidiki integral tak-wajar berikut
∫
∫
∫
−
−
2
0 3/2
2
1 2
1
0
)12(
1
.3
)2(
1
.2
1
.1
dx
x
dx
x
dx
x