1. Di n ñàn h c t p ntquang.net Box: Toán
ð THI TUY N SINH ð I H C NĂM 2011
Môn : TOÁN - Kh i : B
PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH (7,0 ñi m)
Câu I (2,0 ñi m) Cho hàm s y = x 4 − 2( m + 1 )x 2 + m (1), m là tham s .
1. Kh o sát s bi n thiên và v ñ th hàm s (1) khi m = 1.
2. Tìm m ñ ñ th hàm s (1) có ba ñi m c c tr A, B, C sao cho OA = BC, O là g c t a ñ , A là
c c tr thu c tr c tung, B và C là hai ñi m c c tr còn l i.
Câu II (2,0 ñi m)
1. Gi i phương trình sin 2 x cos x + sin x cos x = cos 2 x + sin x + cos x
2. Gi i phương trình 3 2 + x − 6 2 − x + 4 4 − x 2 = 10 − 3x (x ∈ R).
π
3
1 + x sin x
Câu III (1,0 ñi m) Tính tích phân I = ∫ dx
0
cos 2 x
Câu IV (1,0 ñi m) Cho lăng tr ABCD.A1B1C1D1 có ñáy ABCD là hình ch nh t. AB = a,
AD = a 3 . Hình chi u vuông góc c a ñi m A1 trên m t ph ng (ABCD) trùng v i giao ñi m AC
và BD. Góc gi a hai m t ph ng (ADD1A1) và (ABCD) b ng 600. Tính th tích kh i lăng tr ñã
cho và kho ng cách t ñi m B1 ñ n m t ph ng (A1BD) theo a.
Câu V (1,0 ñi m) Cho a và b là các s th c dương th a mãn 2(a2 + b2) + ab = (a + b)(ab + 2).
 a 3 b3   a 2 b 2 
Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c P = 4  3 + 3  − 9  2 + 2  .
b a  b a 
PH N RIÊNG (3,0 ñi m)
Thí sinh ch ñư c làm m t trong hai ph n (ph n A ho c B)
A. Theo chương trình Chu n
Câu VI.a (2,0 ñi m)
1. Trong m t ph ng to ñ Oxy, cho hai ñư ng th ng ∆ : x – y – 4 = 0 và d : 2x – y – 2 = 0. Tìm
t a ñ ñi m N thu c ñư ng th ng d sao cho ñư ng th ng ON c t ñư ng th ng ∆ t i ñi m M
th a mãn OM.ON = 8.
x − 2 y +1 z
2. Trong không gian h to ñ Oxyz, cho ñư ng th ng ∆ : = = và m t ph ng (P) :
1 −2 −1
x + y + z – 3 = 0. G i I là giao ñi m c a ∆ và (P). Tìm t a ñ ñi m M thu c (P) sao cho MI
vuông góc v i ∆ và MI = 4 14 .
5+i 3
Câu VII.a (1,0 ñi m) Tìm s ph c z, bi t: z − −1 = 0 .
z
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (2,0 ñi m)
1 
1. Trong m t ph ng t a ñ Oxy, cho tam giác ABC có ñ nh B  ;1 . ðư ng tròn n i ti p tam
2 
giác ABC ti p xúc v i các c nh BC, CA, AB tương ng t i các ñi m D, E, F. Cho D (3; 1) và
ñư ng th ng EF có phương trình y – 3 = 0. Tìm t a ñ ñ nh A, bi t A có tung ñ dương.
x + 2 y −1 z + 5
2. Trong không gian v i h to ñ Oxyz, cho ñư ng th ng ∆ : = = và hai ñi m
1 3 −2
A (-2; 1; 1); B (-3; -1; 2). Tìm t a ñ ñi m M thu c ñư ng th ng ∆ sao cho tam giác MAB có
di n tích b ng 3 5 .
3
 1+ i 3 
Câu VII.b (1,0 ñi m) Tìm ph n th c và ph n o c a s ph c z = 
 1+ i  .

 
ðáp án ñ thi tuy n sinh ñ i h c 2011 – Môn Toán - Kh i B
Http://ntquang.net/forum © Do Not Copy

2. Di n ñàn h c t p ntquang.net Box: Toán
BÀI GI I G I Ý
PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH (7,0 ñi m)
Câu I: 1/ Kh o sát, v (C) :
m = 1 ⇒ y = x4 – 4x2 + 1
D = R, y’ = 4x3 – 8x, y’ = 0 ⇔ x = 0 hay x = ± 2
Hàm s ñ ng bi n trên ( − 2 ; 0) và ( 2 ; +∞), ngh ch bi n trên (-∞; − 2 ) và (0; 2)
Hàm s ñ t c c ñ i t i x = 0 và yCð = 1, ñ t c c ti u t i x = ± 2 và yCT = -3
lim y = +∞
x →±∞
B ng bi n thiên : y
x -∞ − 2 0 2 +∞
1
y’ − 0 + 0 − 0 +
y +∞ 1 +∞ − 2 2
-3 -3 -2 O 2 x
2/ y’ = 4x3 – 4(m + 1)x
y’ = 0 ⇔ x = 0 hay x2 = m + 1
Hàm s có 3 c c tr ⇔ m + 1 > 0 ⇔ m > -1
Khi ñó ñ th hàm s có 3 c c tr A (0; m), -3
B ( m + 1 ; -m2 – m – 1); C (- m + 1 ; -m2 – m – 1)
Ta có: OA = BC ⇔ m2 = 4(m + 1) ⇔ m = 2 ± 2 2 (th a m > -1)
Câu II.
1. Phương trình ñã cho tương ñương :
2sinxcos2x + sinxcosx = 2cos2x – 1 + sinx + cosx
⇔ sinxcosx (2cosx + 1) = cosx (2cosx + 1) – 1 + sinx
⇔ cosx(2cosx + 1)(sinx – 1) – sinx + 1 = 0
⇔ sinx = 1 hay cosx(2cosx + 1) – 1 = 0
π
⇔x= + k 2π hay 2cos2x + cosx – 1 = 0
2
π 1
⇔x= + k 2π hay cosx = – 1 hay cosx =
2 2
π π
⇔ x= + k 2π hay x = π + k2π hay x = ± + k 2π (k ∈ Z)
2 3
2. ð t t = 3 2 + x − 6 2 − x ⇒ t2 = 9(10 − 3 x − 4 4 − x 2 )
Phương trình ñã cho tr thành : t2 – 9t = 0 ⇔ t = 0 hay t = 9
6
V i t = 0 : 3 2+ x = 6 2− x ⇔ x =
5
V it=9: 3 2 + x − 6 2 − x = 9 (ñi u ki n : -2 ≤ x ≤ 2)
⇔ 2 + x = 3 + 2 2 − x ⇔ 2 + x = 9 + 12 2 − x +4(2 – x)
⇔ 12 2 − x = 5 x − 15 (vô nghi m)
Cách khác : ð t u = 2 + x và v = 2 − x (u, v ≥ 0), phương trình ñã cho tr thành:
3u − 6v + 4uv = u + 4v (1)
 2 2
 2 2
u + v = 4
 (2)
(1) ⇔ 3(u – 2v) = (u – 2v)2 ⇔ u = 2v hay u = 2v + 3
ðáp án ñ thi tuy n sinh ñ i h c 2011 – Môn Toán - Kh i B
Http://ntquang.net/forum © Do Not Copy

3. Di n ñàn h c t p ntquang.net Box: Toán
4 4 6
V i u = 2v ta có (2) ⇔ v2 = suy ra: 2 – x = ⇔x=
5 5 5
V i u = 2v + 3 ta có (2) ⇔ (2v + 3)2 + v2 = 4 ⇔ 5v2 + 12v +5 = 0 (VN vì v≥ 0)
Câu III:
π π π π
3 3 π 3 3
dx x sin xdx x sin xdx x sin xdx
I=∫ 2
+∫ 2
= [ tan x ]03 + ∫ 2
= 3+∫
0
cos x 0 cos x 0
cos x 0
cos 2 x
ð t u = x => du = dx
sin xdx 1
dv = 2
, ch n v =
cos x cos x
π π π π
3
x sin xdx x 3 dx 3
2π 3 cos xdx
3+∫ −∫
3 ∫ sin 2 x − 1
⇒I= = 3+ = 3+ +
0
cos 2 x cos x 0 0 cos x 0
π
2π 1 sin x − 1 3 2π 1 2 − 3
= 3+ + ln = 3+ + ln
3 2 sin x + 1 0
3 2 2+ 3
Câu IV.
a A1
Ta có : OI = , ∆OIA1 là n a tam giác ñ u
2
⇒ A1I = 2OI = a
a 3 3a 3 D C
VABCD.A1B1C1D1 = a.a 3. = I
2 2 B2
O
G i B2 là ñi m chi u c a B1 xu ng m t ph ng ABCD A
V y d (B1, A1BD) chính là ñư ng cao v t B2 c a ∆OB2B B
H
1 1 a2 3 1
S(OBB2 ) = a. a 3 = = OB.B2 H
2 2 4 2
2
a 3 1 a 3
⇒ B2H = 2. . =
4 a 2
Câu V.
Theo gi thi t ta có 2 ( a 2 + b 2 ) + ab = ( a + b )( ab + 2 ) . T ñây suy ra :
a b 1 1 a b 2 2
2  +  + 1 =  +  ( ab + 2 ) hay 2  +  + 1 = a + + b +
b a a b b a b a
2 2  a b
Áp d ng b t ñ ng th c Cauchy, ta có : a + + b + ≥ 2 2   b + 

b a  a
a b 5
ð t t = + , ta suy ra : 2t + 1 ≥ 2 2 t + 2 ⇒ 4t2 – 4t – 15 ≥ 0 ⇒ t ≥
b a 2
a b  a b 
3 3 2 2
M t khác: P = 4  3 + 3  − 9  2 + 2  = 4(t3 – 3t) – 9(t2 – 2) = 4t3 – 9t2 – 12t + 18 = f(t)
b a  b a 
1
f’(t) = 12t2 – 18t – 12, f’(t) = 0 ⇒ t = − hay t = 2
2
23 5
⇒ Min f(t) = − khi t =
4 2
23
V y min P = − khi a = 1 và b = 2 hay a = 2 và b = 1.
4
Câu VI.a.
ðáp án ñ thi tuy n sinh ñ i h c 2011 – Môn Toán - Kh i B
Http://ntquang.net/forum © Do Not Copy

4. Di n ñàn h c t p ntquang.net Box: Toán
 x = at
1. Phương trình ON có d ng  (a2 + b2 ≠ 0), N (at1; bt1) và M (at2; bt2)
 y = bt
4
N = ON ∩ ∆ : at1 – bt1 – 4 = 0 ⇔ t1 = (a ≠ b)
a −b
2
M = ON ∩ d : 2at2 – bt2 – 2 = 0 ⇔ t2 = (2a ≠ b)
2a − b
 4a 4b   2a 2b 
Suy ra : N  ; , M  ; 
 a −b a−b   2a − b 2a − b 
4 2
Ta có: OM.ON = 8 ⇔ a 2 + b2 a 2 + b 2 = 8 ⇔ a 2 + b 2 = a − b 2a − b
a −b 2a − b
TH1: a = 0 ta có : b2 = b2, ch n b = 1 ⇒ N (0; -4) , M (0; -2)
TH2: a ≠ 0, ch n a = 1 ta ñư c: 1 + b2 = (1 − b)(2 − b) ⇔ 1 + b2 = b 2 − 3b + 2
b 2 − 3b + 2 = 1 + b 2 1 6 2
⇔  2 ⇔ b = . V y N (6; 2) ; M  ;  .
b − 3b + 2 = −1 − b 5 5
2
3
uuur
Cách khác : ði m N ∈ d ⇒ N (n; 2n – 2) ⇒ ON = (n; 2n – 2)
uuuu
r
ði m M ∈ ∆ ⇒ M (m; m – 4) ⇒ OM = (m; m – 4)
Nh n xét : 2 ñư ng th ng d và ∆ n m cùng phía ñ i v i ñi m O nên OM.ON = 8
uuuu uuu
r r
⇔ OM .ON = 8 ⇔ m = 5n (1)
uuuu
r uuur
Ta có OM cùng phương v i ON ⇔ m.n + 4n – 2m = 0 (2)
6
T (1) và (2) ⇒ 5n2 – 6n = 0 ⇔ n = 0 hay n =
5
V i n = 0 thì m = 0, ta có ñi m M (0; -4); N (0; -2)
6 6 2
V i n = thì m = 6, ta có ñi m M (6; 2); N  ; 
5 5 5
2. Ta có ∆ c t (P) t i I (1; 1; 1); ñi m M ∈ (P) ⇒ M (x; y; 3 – x – y)
uuur r
⇒ MI = (1 – x; 1 – y; -2 + x + y). Vectơ ch phương c a ∆ là a = (1; -2; -1)
uuu r
r
MI.a = 0
  y = 2x −1
Ta có :  2 ⇔ 
 MI = 16.14 (1 − x) + (1 − y ) + (−2 + x + y ) = 16.14
2 2 2

⇔ x = -3 hay x = 5
V i x = -3 thì y = -7. ði m M (4; -7; 6)
V i x = 5 thì y = 9. ði m M (5; 9; -11)
Câu VII.a. G i z = x + yi ≠ 0 v i x, y ∈ R
5+i 3
z− − 1 = 0 ⇔ z z − 5 − i 3 − z = 0 ⇔ x2 + y2 – x – 5 −( 3 + y ) i = 0
z
⇔ x – x – 2 = 0 và y = − 3 ⇔ (x = -1 và y = − 3 ) hay (x = 2 và y = − 3 )
2
V y z = −1 − 3i hay z = 2 − 3i .
Câu VI.b. A
1. Ta có phương trình BD : y = 1, phương trình EF : y = 3, nên
BD // EF ⇒ ∆ABC cân t i A
2
5 1
Ta có BD = BE ⇒   = ( x − ) 2 + (3 − 1)2 E F
2 2
⇒ x = 2 hay x = -1 (lo i) ⇒ E (2; 3)
B C
ðáp án ñ thi tuy n sinh ñ i h c 2011 – Môn Toán - KhD i B
Http://ntquang.net/forum © Do Not Copy

5. Di n ñàn h c t p ntquang.net Box: Toán
13
ðư ng th ng BE c t AD t i A nên ta có: A (3; )
3
2. M ∈ ∆ ⇒ M (-2 + t; 1 + 3t; -5 – 2t)
uuu
r uuuu
r uuu uuuu
r r
AB = (−1; −2;1) ; AM = (t ;3t ; −6 − 2t ) ; [ AB, AM ] = (t + 12; −t − 6; −t )
1 uuu uuuu
r r 1
SMAB = 3 5 = [ AB, AM ] = 3 5 ⇔ (t + 12)2 + (−t − 6)2 + t 2 = 3 5
2 2
⇔ 3t2 + 36t = 0 ⇔ t = 0 hay t = -12
V y M (-2; 1; -5) hay M (-14; -35; 19)
3
  π π 
 2  cos 3 + i sin 3  
Câu VII.b. z =     = 8 cos π + i sin π
 2  cos π + i sin π   3π 3π
  cos + i sin
 
 4 4  4 4
  3π   3π    π π
= 2 2 cos  π −  + i sin  π −   = 2 2  cos + i sin  = 2 + 2i
  4   4   4 4
V y ph n th c c a z là 2 và ph n o c a z là 2.
1 + 3i 3 + 9i 2 + 3 3i 3 4
Cách khác : z = = = 2 + 2i
1 + 3i + 3i + i
2 3
1− i
V y ph n th c c a z là 2 và ph n o c a z là 2.
Tr n Minh Quang, Tr n Minh Th nh
(Trư ng THPT Vĩnh Vi n – TP.HCM)
ðáp án ñ thi tuy n sinh ñ i h c 2011 – Môn Toán - Kh i B
Http://ntquang.net/forum © Do Not Copy