Bt toan cao cap tap 1 nguyen thuy thanh

883 views

Published on

0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total views
883
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
1
Actions
Shares
0
Downloads
26
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Bt toan cao cap tap 1 nguyen thuy thanh

  1. 1. ˜ ˆ ’ NGUYEN THUY THANH ` ˆ BAI TAP . ´ ´ ˆ TOAN CAO CAP Tˆp 1 a . ´ ´ Dai sˆ tuyˆn t´ . o e ınh ’ ıch v` H` hoc giai t´ a ınh . ` ´ ˆ ’ ´ ˆ ` ˆNHA XUAT BAN DAI HOC QUOC GIA HA NOI . . . H` Nˆi – 2006 a o.
  2. 2. Muc luc . . L`.i n´i dˆu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o o ` a 41 Sˆ ph´.c ´ u o 6 1.1 Dinh ngh˜ sˆ ph´.c . . . . . . . . . . . . -. ´ ıa o u . . . . . . . . 6 1.2 Dang d ai sˆ cua sˆ ph´.c . . . . . . . . . . ´ . o ’ o u ´ . . . . . . . . 8 ’ ˜ ınh . 1.3 Biˆu diˆn h` hoc. Mˆd un v` acgumen e e o a . . . . . . . . 13 1.4 Biˆu diˆn sˆ ph´.c du.´.i dang lu.o.ng gi´c e ’ ˜ o u e ´ o . . a . . . . . . . . 232 Da th´.c v` h`m h˜.u ty - u a a u ’ 44 - 2.1 Da th´u.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.1.1 Da th´.c trˆn tru.`.ng sˆ ph´.c C - u e o ´ o u . . . . . . . . . 45 2.1.2 Da th´.c trˆn tru.`.ng sˆ thu.c R - u e o ´ o . . . . . . . . . . 46 u.c h˜.u ty . . . . . . . . . . . . 2.2 Phˆn th´ u ’ a . . . . . . . . . 553 Ma trˆn. Dinh th´.c a . -. u 66 3.1 Ma trˆn . . . . . . . . . . . . . . . . a . . . . . . . . . . . 67 -. 3.1.1 Dinh ngh˜ ma trˆn . . . . . . ıa a . . . . . . . . . . . 67 e a ´ 3.1.2 C´c ph´p to´n tuyˆn t´ trˆn a e ınh e ma trˆn a. . . . . . 69 3.1.3 Ph´p nhˆn c´c ma trˆn . . . . e a a a . . . . . . . . . . . 71 ’ 3.1.4 Ph´p chuyˆn vi ma trˆn . . . e e . a. . . . . . . . . . . 72 - .nh th´.c . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Di u . . . . . . . . . . 85 . ´ 3.2.1 Nghich thˆ . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . 85 -. 3.2.2 Dinh th´ u.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 3.2.3 T´ chˆt cua dinh th´.c . . . ´ ınh a ’ . u . . . . . . . . . . 88
  3. 3. 2 MUC LUC . . 3.2.4 Phu.o.ng ph´p t´ dinh th´.c . . . . . . a ınh . u . . . . . 89 3.3 . ’ Hang cua ma trˆn . . . . . . . . . . . . . . . . a . . . . . . 109 3.3.1 Di- .nh ngh˜a . . . . . . . . . . . . . . . ı . . . . . 109 3.3.2 Phu .o.ng ph´p t` hang cua ma trˆn . a ım . ’ a . . . . . 109 . 3.4 Ma trˆn nghich da a. . ’o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 -. 3.4.1 Dinh ngh˜a . . . . . . . . . . . . . . . ı . . . . . 118 3.4.2 Phu .o.ng ph´p t` ma trˆn nghich dao a ım a ’ . . . . . 119 . . 4 Hˆ phu.o.ng tr` e . ´ ınh tuyˆn t´ e ınh 132 4.1 Hˆ n phu.o.ng tr` v´.i n ˆn c´ dinh th´.c e . ınh o ’ a o . u kh´c a 0. . . . 132 4.1.1 Phu.o.ng ph´p ma trˆn . . . . . . a a . . . . . . . . . 133 4.1.2 Phu .o.ng ph´p Cramer . . . . . . a . . . . . . . . 134 4.1.3 Phu .o.ng ph´p Gauss . . . . . . . a . . . . . . . . 134 4.2 Hˆ t`y y c´c phu.o.ng tr` tuyˆn t´ . . e u ´ a . ınh ´ e ınh . . . . . . . . 143 4.3 Hˆ phu.o.ng tr` tuyˆn t´ thuˆn nhˆt . e . ınh ´ e ınh ` a ´ a . . . . . . . . 165 n 5 Khˆng gian Euclide R o 177 5.1 Dinh ngh˜ khˆng gian n-chiˆu v` mˆt sˆ kh´i niˆm co. -. ıa o ` a o o a e e . ´ . ’ ` ban vˆ vecto e .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 5.2 Co. so.. Dˆi co. so. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ’ -o ’ ’ 188 5.3 Khˆng gian vecto. Euclid. Co. so. tru.c chuˆn . . . . . . o ’ . a’ 201 e ´ o e ’ ´ 5.4 Ph´p biˆn d ˆi tuyˆn t´ . . . . . . . . . . . . . . . . . e ınh 213 -i 5.4.1 D.nh ngh˜a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ı 213 a ’ 5.4.2 Ma trˆn cua ph´p bdtt . . . . . . . . . . . . . . . e 213 5.4.3 C´c ph´p to´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a e a 215 5.4.4 Vecto. riˆng v` gi´ tri riˆng . . . . . . . . . . . . e a a . e 216 6 Dang to`n phu.o.ng v` u.ng dung d ˆ . a a ´ . e’ nhˆn dang du.`.ng a . . o v` m˘t bˆc hai a a a . . 236 6.1 Dang to`n phu.o.ng . . . . . . . . . . a . . . . . . . . . . . 236 6.1.1 Phu.o.ng ph´p Lagrange . . . a . . . . . . . . . . . 237 6.1.2 Phu.o.ng ph´p Jacobi . . . . a . . . . . . . . . . . 241
  4. 4. MUC LUC . . 3 6.1.3 Phu.o.ng ph´p biˆn dˆi tru.c giao . . . . . . . . . 244 a ´ e o .’ 6.2 - Du .a phu.o.ng tr` tˆng qu´t cua du.`.ng bˆc hai v` m˘t ınh o’ a ’ o a a a . . a . e ´ ` dang ch´ t˘c . . . . . . . . . . . . . . . . 263 bˆc hai vˆ . ınh a
  5. 5. L`.i n´i dˆu o o ` aGi´o tr` B`i tˆp to´n cao cˆp n`y du.o.c biˆn soan theo Chu.o.ng a ınh a a . a ´ a a . e .tr` To´n cao cˆp cho sinh viˆn c´c ng`nh Khoa hoc Tu. nhiˆn cua ınh a ´ a e a a . . e ’Dai hoc Quˆc gia H` Nˆi v` d˜ du.o.c Dai hoc Quˆc gia H` Nˆi thˆng . . o´ a o a a . . . . ´ o a o. oqua v` ban h`nh. a a Muc d´ cua gi´o tr` l` gi´p d˜. sinh viˆn c´c ng`nh Khoa hoc . ıch ’ a ınh a u o e a a .Tu . nhiˆn n˘m v˜.ng v` vˆn dung du.o.c c´c phu.o.ng ph´p giai to´n cao e ´ a u a a ’ . . . . a a a ´ . e a ´ e . a o a . ´ u ’cˆp. Muc tiˆu n`y quyˆt dinh to`n bˆ cˆu tr´c cua gi´o tr`nh. Trong a a ımˆ ˜ i muc, dˆu tiˆn ch´ng tˆi tr`nh b`y t´m t˘t nh˜.ng co. so. l´ thuyˆt o . ` a e u o ı a o ´ a u ’ y ´ ev` liˆt kˆ nh˜ a e e u .ng cˆng th´.c cˆn thiˆt. Tiˆp d´, trong phˆn C´c v´ du o u ` a e´ ´ e o `a a ı . .ch´ng tˆi quan tˆm d˘c biˆt t´.i viˆc giai c´c b`i to´n mˆ u b˘ng c´ch u o a a. e o e . . ’ a a a ˜ ` a a avˆn dung c´c kiˆ a . . a e´n th´.c l´ thuyˆt d˜ tr` b`y. Sau c`ng, l` phˆn B`i u y e´ a ınh a u a ` a atˆp. O a a ’. dˆy, c´c b`i tˆp du.o.c gˆp th`nh t`.ng nh´m theo t`.ng chu dˆ a a a ’ ` . . . o . a u o u ev` du.o.c s˘p xˆp theo th´. tu. t˘ng dˆn vˆ dˆ kh´ v` mˆ i nh´m dˆu a . ´ ea ´ u . a ` ` o o a ˜ a e . o o ` ec´ nh˜ o u .ng chı dˆ n vˆ phu.o.ng ph´p giai. Ch´ng tˆi hy vong r˘ng viˆc ˜ ` ’ a e a ’ u o ` a e . .l`m quen v´ o a o.i l`.i giai chi tiˆt trong phˆn C´c v´ du s˜ gi´p ngu.`.i hoc ’ e´ `a a ı . e u o .n˘m du.o.c c´c phu.o.ng ph´p giai to´n co. ban. ´ a . a a ’ a ’ Gi´o tr` B`i tˆp n`y c´ thˆ su. dung du.´.i su. hu.´.ng dˆ n cua a ınh a a a o e ’ . . ’ o . o ˜ a ’gi´o viˆn ho˘c tu. m` nghiˆn c´.u v` c´c b`i tˆp dˆu c´ d´p sˆ, mˆt a e a . ınh . e u ı a a a ` o a o o . e ´ . ´ o o ’ a a ˜ .´.c khi giai c´c b`i tˆp n`y d˜ c´ phˆn C´c v´ dusˆ c´ chı dˆ n v` tru o ’ a a a a a o ` a a ı . .tr` b`y nh˜.ng chı dˆ n vˆ m˘t phu.o.ng ph´p giai to´n. ınh a u ˜ e . ’ a ` a a ’ a T´c gia gi´o tr` chˆn th`nh cam o.n c´c thˆy gi´o: TS. Lˆ D`nh a ’ a ınh a a ’ a ` a a e ı ˜ ´ a a . y ’ ’ a oPh`ng v` PGS. TS. Nguyˆn Minh Tuˆn d˜ doc k˜ ban thao v` d´ng u a e
  6. 6. Co. so. l´ thuyˆt h`m biˆn ph´.c ’ y ´ e a ´ e u 5 o ` ´ e e ´ y a ` ae ´g´p nhiˆu y kiˆn qu´ b´u vˆ cˆu tr´c v` nˆi dung v` d˜ g´p y cho t´c u a o . a a o ´ a ’ ` ugia vˆ nh˜ e .ng thiˆu s´t cua ban thao gi´o tr` ´ e o ’ ’ ’ a ınh. M´.i xuˆt ban lˆn dˆu, Gi´o tr`nh kh´ tr´nh khoi sai s´t. Ch´ng o a ’ ` ` ´ a a a ı o a ’ o utˆi rˆt chˆn th`nh mong du.o.c ban doc vui l`ng chı bao cho nh˜.ng o a ´ a a . . . o ’ ’ u ´ e o ’ ´ ’ gi´o tr` ng`y du.o.c ho`n thiˆn ho.n.thiˆu s´t cua cuˆn s´ch dˆ a o a e ınh a . a e. H` Nˆi, M`a thu 2004 a o. u T´c gia a ’
  7. 7. Chu.o.ng 1Sˆ ph´.c ´ o u 1.1 Dinh ngh˜ sˆ ph´.c . . . . . . . . . . . . . . -. ıa o´ u 6 1.2 Dang d ai sˆ cua sˆ ph´.c . . . . . . . . . . . . ´ . o ’ ´ o u 8 1.3 ’ ˜ Biˆu diˆ n h` e e ınh hoc. Mˆd un v` acgumen . 13 . o a 1.4 Biˆu diˆ n sˆ ph´.c du.´.i dang lu.o.ng gi´c . 23 e’ ˜ e ´ o u o . . a1.1 Dinh ngh˜ sˆ ph´.c -. ´ u ıa oMˆ i c˘p sˆ thu.c c´ th´. tu. (a; b) ∀ a ∈ R, ∀ b ∈ R du.o.c goi l` mˆt sˆ ˜ . ´ o a o . o u . . . a o o . ´ph´.c nˆu trˆn tˆp ho.p c´c c˘p d´ quan hˆ b˘ng nhau, ph´p cˆng v` u e ´ e a . . a a o . e ` . a e o . aph´p nhˆn du . e a .o.c du.a v`o theo c´c dinh ngh˜a sau dˆy: a a . ı a e ` (I) Quan hˆ b˘ng nhau . a  a = a , 1 2 (a1, b1) = (a2, b2 ) ⇐⇒ b1 = b2. (II) Ph´p cˆng e o .
  8. 8. 1.1. D. nh ngh˜ sˆ ph´.c -i ´ ıa o u 7 def (a1 , b1) + (a2, b2 ) = (a1 + a2, b1 + b2 ).1 (III) Ph´p nhˆn e a def (a1, b1 )(a2, b2) = (a1a2 − b1b2, a1 b2 + a2b1 ). Tˆp ho.p sˆ ph´.c du.o.c k´ hiˆu l` C. Ph´p cˆng (II) v` ph´p nhˆn a . o u . ´ . y e a . e o . a e a ´(III) trong C c´ t´ chˆt giao ho´n, kˆt ho o ınh a a ´ e . .p, liˆn hˆ v´.i nhau bo.i e e o ’ .luˆt phˆn bˆ v` moi phˆn tu. = (0, 0) dˆu c´ phˆn tu. nghich dao. a. a ´ o a . `a ’ ` e o ` a ’ . ’Tˆp ho.p C lˆp th`nh mˆt tru.`.ng (goi l` tru.`.ng sˆ ph´.c) v´.i phˆn a. . a . a o . o . a o ´ o u o `atu’. khˆng l` c˘p (0; 0) v` phˆn tu. do.n vi l` c˘p (1; 0). Ap dung quy o a a a ` a ’ ´ . . a a . . ´c (III) ta c´: (0; 1)(0; 1) = (−1, 0). Nˆu k´ hiˆu i = (0, 1) th`t˘ a o ´ y e e . ı i2 = −1 Dˆi v´.i c´c c˘p dang d˘c biˆt (a, 0), ∀ a ∈ R theo (II) v` (III) ta ´ o o a a . . a . e . ac´ o (a, 0) + (b, 0) = (a + b, 0), (a, 0)(b, 0) = (ab, 0).T`. d´ vˆ m˘t dai sˆ c´c c˘p dang (a, 0), a ∈ R khˆng c´ g` kh´c biˆt u o ` a . o a a e . ´ . . o o ı a e . .i sˆ thu.c R: v` ch´ng du.o.c cˆng v` nhˆn nhu. nh˜.ng sˆ thu.c. Do o ´v´ o . ı u ´ . o . a a u o . a o e `’ o ´ a a a .i sˆ thu.c a: o ´vˆy ta c´ thˆ dˆng nhˆt c´c c˘p dang (a; 0) v´ o . . . . (a; 0) ≡ a ∀ a ∈ R.D˘c biˆt l` (0; 0) ≡ 0; (1; 0) ≡ 1. a . e a . Dˆi v´.i sˆ ph´.c z = (a, b): ´ o o o u ´ 1+ Sˆ thu.c a du.o.c goi l` phˆn thu.c a = Re z, sˆ thu.c b goi l` phˆn ´ o . . . a ` a . ´ o . . a ` a’ a y e aao v` k´ hiˆu l` b = Im z. . 2 Sˆ ph´.c z = (a, −b) goi l` sˆ ph´.c liˆn ho.p v´.i sˆ ph´.c z + ´ o u ´ . a o u e . ´ o o u 1 def. l` c´ch viˆt t˘t cua t`. tiˆng Anh definition (dinh ngh˜ a a e ´ ’ u e ´ a ´ . ıa)
  9. 9. 8 Chu.o.ng 1. Sˆ ph´.c ´ o u 1.2 Dang dai sˆ cua sˆ ph´.c . ´ . o ’ ´ u o Moi sˆ ph´.c z = (a; b) ∈ C dˆu c´ thˆ viˆt du.´.i dang ´ . o u ` o e e e ’ ´ o . z = a + ib. (1.1) Thˆt vˆy, z = (a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (0, 1)(b, 0) = a + ib a a . . ’u th´.c (1.1) goi l` dang dai sˆ cua sˆ ph´.c z = (a, b). T`. (1.1) Biˆ e u . a . ´ . o ’ o u ´ u a . ´ v` dinh ngh˜ sˆ ph´ e . ıa o u .c liˆn ho.p ta c´ z = a − ib. o Du.´.i dang dai sˆ c´c ph´p t´nh trˆn tˆp ho.p sˆ ph´.c du.o.c thu.c o . ´ . o a e ı e a. ´ . o u . . . a ´ hiˆn theo c´c quy t˘c sau. e a Gia su. z1 = a1 + ib1, z2 = a2 + ib2. Khi d´ ’ ’ o (I) Ph´p cˆng: z1 ± z2 = (a1 ± a2) + i(b1 ± b2 ). e o . (II) Ph´p nhˆn: z1z2 = (a1a2 − b1b2 ) + i(a1b2 + a2b1 ). e a z2 a1 a2 + b1b2 a1b2 − a2 b1 (III) Ph´p chia: e = 2 2 +i 2 · z1 a1 + b1 a1 + b2 1 CAC V´ DU ´ I . V´ du 1. 1+ T´ in . T`. d´ ch´.ng minh r˘ng ı . ınh u o u ` a a) in + in+1 + in+2 + in+3 = 0; b) i · i2 · · · i99 · i100 = −1. 2+ T` sˆ nguyˆn n nˆu: ´ ım o e ´ e a) (1 + i)n = (1 − i)n ; 1+i n 1−i n b) √ + √ = 0. 2 2 Giai. 1+ Ta c´ i0 = 1, i1 = i, i2 = −1, i3 = −i, i4 = 1, i5 = i v` ’ o a gi´ tri l˜y th` a . u .a b˘t dˆu l˘p lai. Ta kh´i qu´t h´a. Gia su. n ∈ Z v` ´ a . u a ` a . a a o ’ ’ a n = 4k + r, r ∈ Z, 0 r 3. Khi d´ o in = i4k+r = i4k · ir = (i4 )k ir = ir
  10. 10. 1.2. Dang d ai sˆ cua sˆ ph´.c . ´ . o ’ o u ´ 9(v` i4 = i). T`. d´, theo kˆt qua trˆn ta c´ ı u o ´ e ’ e o  1  ´ nˆu n = 4k, e    i ´ nˆu n = 4k + 1, e in = (1.2) −1 nˆu n = 4k + 2,  ´ e     ´ −i nˆu n = 4k + 3. eT`. (1.2) dˆ d`ng suy ra a) v` b). u ˜ a e a + . hˆ th´.c (1 + i)n = (1 − i)n suy ra2 a) T` e u u . 1+i n = 1. 1−i 1+i 1+i nNhu.ng = i nˆn e = in = 1 ⇒ n = 4k, k ∈ Z. 1−i 1−i 1+i n 1−i n 1+i n b) T`. d˘ng th´.c √ u a ’ u + √ ` = 0 suy r˘ng a = −1 2 2 1−iv` do d´ in = −1 ⇒ n = 4k + 2, k ∈ Z. a oV´ du 2. Ch´.ng minh r˘ng nˆu n l` bˆi cua 3 th` ı . u ` a ´ e a o ’ . ı √ √ −1 + i 3 n −1 − i 3 n + =2 2 2 a e´ o ´v` nˆu n khˆng chia hˆt cho 3 th` e ı √ √ −1 + i 3 n −1 − i 3 n + = −1. 2 2 Giai. 1+ Nˆu n = 3m th` ’ ´ e ı √ √ −1 + i 3 3 m −1 − i 3 3 m S= + 2 √ √ 2 √ √ −1 + 3i 3 + 9 − 3i 3 m −1 − 3i 3 + 9 + 3i 3 m = + 8 8 m m = 1 + 1 = 2.
  11. 11. 10 Chu.o.ng 1. Sˆ ph´.c ´ o u 2+ Nˆu n = 3m + 1 th` ´ e ı √ √ √ √ −1 + i 3 3 m −1 + i 3 −1 − i 3 3 m 1−i 3 S= + 2 √ √ 2 2 2 −1 + i 3 −1 − i 3 = + = −1. 2 2 Tu.o.ng tu. nˆu n = 3m + 2 ta c˜ng c´ S = −1. . e ´ u o V´ du 3. T´ biˆu th´.c ı . ınh e ’ u 1+i 1+i 2 1+i 22 1+i 2n σ = 1+ 1+ 1+ ··· 1 + . 2 2 2 2 1+i Giai. Nhˆn v` chia biˆu th´.c d˜ cho v´.i 1 − ’ a a e’ u a o ta c´ o 2 1 + i 2n 2 1 + i 2n+1 1− 1− σ= 2 = 2 · 1+i 1+i 1− 1− 2 2 ` ınh Ta cˆn t´ a n 1+i 2n+1 1+i 2 2n i 2n i2 1 = = = 2n = 2n · 2 2 2 2 2 Do d´ o 1 1 1− 2n 2 1 − 2n 1+i σ= 2 = 2 × 1+i 1−i 1+i 1− 2 1 = 1 − 2n (1 + i) 2 √ V´ du 4. Biˆu diˆn sˆ ph´.c 4 − 3i du.´.i dang dai sˆ. ı . e’ ˜ o u e ´ o . . o ´ Giai. Theo dinh ngh˜a ta cˆn t` sˆ ph´.c w sao cho w2 = 4 − 3i. ’ . ı ` ım o u a ´ ´ Nˆu w = a + bi, a, b ∈ R th` e ı 4 − 3i = (a + bi)2 = a2 − b2 + 2abi.
  12. 12. 1.2. Dang d ai sˆ cua sˆ ph´.c . ´ . o ’ o u ´ 11T`. d´ u o a2 − b2 = 4, (1.3) 2ab = −3. (1.4) 3T`. (1.4) ta c´ b = − . Thˆ v`o (1.3) ta thu du.o.c u o ´ e a . 2a 4u2 − 16u − 9 = 0, u = a2 √ 8 + 100 8 + 10 18 9 u1 = = = = , ⇐⇒ 4 4 4 2 √ 8 − 100 8 − 10 1 u2 = = =− · 4 4 2 9V` a ∈ R nˆn u ı e 0⇒u= v` do vˆy a a . 2 3 1 a = ±√ ⇒ b = √ · 2 2 T`. d´ ta thu du.o.c u o . 3 1 w1,2 = ± √ − √ i 2 2V´ du 5. Biˆu diˆn sˆ ph´.c ı . ’ e ˜ o u e ´ √ √ 5 + 12i − 5 − 12i z=√ √ 5 + 12i + 5 − 12i √ √v´.i diˆu kiˆn l` c´c phˆn thu.c cua 5 + 12i v` 5 − 12i dˆu ˆm. o ` e e a a . ` a . ’ a ` a e ’ ´ Giai. Ap dung phu .o.ng ph´p giai trong v´ du 4 ta c´ a ’ ı . o . √ 5 + 12i = x + iy ⇒ 5 + 12i = x2 − y 2 − 2xyi  x2 − y 2 = 5, ⇐⇒ 2xy = 12.
  13. 13. 12 Chu.o.ng 1. Sˆ ph´.c ´ o u e a o . e . a a ` Hˆ n`y c´ hai nghiˆm l` (3; 2) v` (−3; −2). Theo diˆu kiˆn, phˆn e e. `a thu ’ .c cua √5 + 12i ˆm nˆn ta c´ √5 + 12i = −3 − 2i. Tu.o.ng tu. ta a e o . √ . t`m du . ı .o.c 5 − 12i = −3 + 2i. Nhu. vˆy a . −3 − 2i − (−3 + 2i) 2 z= = i −3 − 2i + (−3 + 2i) 3 z−1 V´ du 6. Gia su. z = a + ib, z = ±1. Ch´.ng minh r˘ng w = ı . ’ ’ u ` a l` a z+1 sˆ thuˆn ao khi v` chı khi a2 + b2 = 1. ´ o ` ’ a a ’ ’ Giai. Ta c´ o (a − 1) + ib a2 + b2 − 1 2b w= = 2 + b2 +i · (a + 1) + ib (a + 1) (a + 1)2 + b2 T`. d´ suy r˘ng w thuˆn ao khi v` chı khi u o ` a ` ’ a a ’ a2 + b2 − 1 = 0 ⇐⇒ a2 + b2 = 1. (a + 1)2 + b2 ` ˆ BAI TAP . T´ ınh (1 + i)8 − 1 15 1. · (DS. ) (1 − i)8 + 1 17 (1 + 2i)3 + (1 − 2i)3 11 2. · (DS. − i) (2 − i)2 − (2 + i)2 4 (3 − 4i)(2 − i) (3 + 4i)(2 + i) 14 3. − · (DS. − ) 2+i 2−i 5 1−i 1−i 2 1−i 22 1−i 2n 4. 1+ √ 1+ √ 1+ √ ··· 1 + √ . 2 2 2 2 (DS. 0) ’ ˜ ´ a . a ’ ı . Chı dˆ n. Ap dung c´ch giai v´ du 3. 5. Ch´.ng minh r˘ng u ` a z1 z1 a) z1 + z2 = z1 + z 2 ; b) z1 z2 = z1 · z 2 ; c) = ; z2 z2
  14. 14. ’ ˜ ınh .1.3. Biˆu diˆn h` hoc. Mˆd un v` acgumen e e o a 13 n d) z n = (z) ; e) z + z = 2Re z; g) z − z = 2Im z.6. V´.i gi´ tri thu.c n`o cua x v` y th` c´c c˘p sˆ sau dˆy l` c´c c˘p o a . . a ’ a . ´ ı a a o a a a a . ´ .c liˆn ho.p:sˆ ph´ e . o u 1) y 2 − 2y + xy − x + y + (x + y)i v` −y 2 + 2y + 11 − 4i; a 2) x + y 2 + 1 + 4i v` ixy 2 + iy 2 − 3 ? a (DS. 1) x1 = 1, y1 = 3; x2 = 9, y2 = 5; 2) x1,2 = −5, y1,2 = ±5)7. Ch´.ng minh r˘ng z1 v` z2 l` nh˜.ng sˆ ph´.c liˆn ho.p khi v` chı u ` a a a u ´ o u e . a ’khi z1 + z2 v` z1z2 l` nh˜ a a u .ng sˆ thu.c. ´ o .8. T´ ınh: √ 1) −5 − 12i. (DS. ±(2 − 3i)) √ 2) 24 + 10i. (DS. ±(5 + i)) √ 3) 24 − 10i. (DS. ±(5 − i)) √ √ √ √ 4) 1 + i 3 + 1 − i 3. (DS. ± 6, ±i 2)9. Ch´.ng minh r˘ng u ` a 2 4 6 8 1) 1 − C8 + C8 − C8 + C8 = 16; 2 4 6 8 2) 1 − C9 + C9 − C9 + C9 = 16; 1 3 5 7 9 3) C9 − C9 + C9 − C9 + C9 = 16. Chı dˆ n. Ap dung cˆng th´.c nhi th´.c Newton dˆi v´.i (1 + i)8 v` ’ a ´ ˜ . o u . u ´ o o a 9(1 + i) .1.3 e’ ˜ Biˆu diˆn h` hoc. Mˆdun v` acgu- e ınh . o a menMˆ i sˆ ph´.c z = a + ib c´ thˆ d˘t tu.o.ng u.ng v´.i diˆm M(a; b) cua ˜ ´ o o u o e a ’ . ´ o e ’ ’ ’m˘t ph˘ng toa dˆ v` ngu . . a a .o.c lai mˆ i diˆm M (a; b) cua m˘t ph˘ng dˆu ˜ ’ ’ ’ ` . . o a . o e a. a etu.o.ng u.ng v´.i sˆ ph´.c z = a + ib. Ph´p tu.o.ng u.ng du.o.c x´c lˆp l` ´ o o u´ e ´ . a a a .do.n tri mˆt - mˆt. Ph´p tu.o.ng u.ng d´ cho ph´p ta xem c´c sˆ ph´.c ´ . o. o. e ´ o e a o u . l` c´c diˆm cua m˘t ph˘ng toa dˆ. M˘t ph˘ng d´ du.o.c goi l`nhu a a ’ e ’ a ’ a ’ . . o . a . a o . . am˘t ph˘ng ph´.c. Truc ho`nh cua n´ du.o.c goi l` Truc thu.c, truc tung a. ’ a u . a ’ o . . a . . .
  15. 15. 14 Chu.o.ng 1. Sˆ ph´.c ´ o u du.o.c goi l` Truc ao. Thˆng thu.`.ng sˆ ph´.c z = a + ib c´ thˆ xem . . a −→ . ’ o o ´ o u o e ’ nhu . vecto. OM . Mˆ i vecto. cua m˘t ph˘ng v´.i diˆm dˆu O(0, 0) v` ˜ o ’ a ’ a o e’ ` a a . diˆm cuˆi tai diˆm M(a; b) dˆu tu.o.ng u.ng v´.i sˆ ph´.c z = a + ib v` e’ ´ o . e ’ ` e ´ ´ o o u a .o.c lai. ngu . . Su. tu.o.ng u.ng du.o.c x´c lˆp gi˜.a tˆp ho.p sˆ ph´.c C v´.i tˆp ho.p . ´ . a a . u a. ´ . o u o a . . ’ c´c diˆm hay c´c vecto a a e a . m˘t ph˘ng cho ph´p goi c´c sˆ ph´.c l` diˆm ’ a ´ e . a o u a e ’ . hay vecto .. V´.i ph´p biˆu diˆn h`nh hoc sˆ ph´.c, c´c ph´p to´n cˆng v` tr`. o e e’ ˜ ı e ´ . o u a e a o . a u c´c sˆ ph´.c du.o.c thu.c hiˆn theo quy t˘c cˆng v` tr`. c´c vecto.. a o u´ . . e . ´ o a . a u a Gia su. z ∈ C. Khi d´ dˆ d`i cua vecto. tu.o.ng u.ng v´.i sˆ ph´.c z ’ ’ o o a ’ . ´ ´ o o u du.o.c goi l` mˆdun cua n´. . . a o ’ o e´ Nˆu z = a + ib th` ı √ √ r = |z| = a2 + b2 = z z. G´c gi˜.a hu.´.ng du.o.ng cua truc thu.c v` vecto. z (du.o.c xem l` g´c o u o ’ . . a . a o du.o.ng nˆu n´ c´ dinh hu.´.ng ngu.o.c chiˆu kim dˆng hˆ) du.o.c goi l` ´ e o o . o `e ` o ` o . . . a ’ o ´ o o ´ acgumen cua sˆ z = 0. Dˆi v´ o´ .i sˆ z = 0 acgumen khˆng x´c dinh. o a . Kh´c v´.i mˆdun, acgumen cua sˆ ph´.c x´c dinh khˆng do.n tri, n´ a o o ´ ’ o u a . o . o .i su. sai kh´c mˆt sˆ hang bˆi nguyˆn cua 2π v` x´c dinh v´ . a . o a . ´ o o . o . e ’ a Arg z = arg z + 2kπ, k ∈ Z, trong d´ arg z l` gi´ tri ch´ cua acgumen du.o.c x´c dinh bo.i diˆu o a a . ınh ’ . a . ’ ` e kiˆn −π < arg z π ho˘c 0 arg z < 2π. e . a . ` a .c v` phˆn ao cua sˆ ph´.c z = a + ib du.o.c biˆu diˆn qua Phˆn thu a ` ’ a ´ ’ o u e’ ˜ e . . mˆdun v` acgument cua n´ nhu. sau o a ’ o  a = r cos ϕ, y = r sin ϕ.
  16. 16. ’ ˜ ınh .1.3. Biˆu diˆn h` hoc. Mˆd un v` acgumen e e o a 15 Nhu. vˆy, acgumen ϕ cua sˆ ph´.c c´ thˆ t`m t`. hˆ phu.o.ng tr` a . ´ ’ o u o e ı ’ u e . ınh  cos ϕ = √ a  , a2 + b2 sin ϕ = √ b  · a2 + b2 CAC V´ DU ´ I . x − y 2 + 2xyi 2 ı . ım o ’ o ´V´ du 1. T` mˆdun cua sˆ z = √ · xy 2 + i x4 + y 4 ’ Giai. Ta c´ o (x2 − y 2 )2 + (2xy)2 x2 + y 2 |z| = √ = 2 = 1. 2+( 4 + y 4 )2 x + y2 (xy 2) xV´ du 2. Ch´.ng minh r˘ng ∀ z1, z2 ∈ C ta dˆu c´: ı . u ` a ` o e (i) |z1 + z2| |z1 | + |z2|; (ii) |z1 − z2| |z1| + |z2|; (iii) |z1 + z2| |z1 | − |z2 |; (iv) z1 − z2 | |z1| − |z2. ’ Giai. (i) Ta c´o |z1 + z2|2 = (z1 + z2 )(z1 + z2 ) = |z1|2 + |z2|2 + 2Re(z1z 2 ).V` −|z1z2 | ı Re(z1 z 2) |z1z2| nˆn e |z1 + z2|2 |z1|2 + |z2|2 + 2|z1 ||z2| = (|z1| + |z2|)2 ⇒ |z1 + z2| |z1| + |z2 |. (ii) V` |z2 | = | − z2| nˆn ı e |z1 − z2 | = |z1 + (−z2)| ≤ |z1| + | − z2| = |z1 | + |z2|. (iii) Ap dung (ii) cho z1 = (z1 + z2 ) − z2 v` thu du.o.c ´ . a . |z1| |z1 + z2 | + |z2| → |z1 + z2| |z1| − |z2|.
  17. 17. 16 Chu.o.ng 1. Sˆ ph´.c ´ o u (iv) |z1 − z2| = |z1 + (−z2)| ≥ |z1| − | − z2 | = |z1| − |z2|. Nhˆn x´t. C´c bˆt d˘ng th´.c (iii) v` (iv) c`n c´ thˆ viˆt du.´.i a e . a a a ´ ’ u a o o e e ’ ´ o dang . (iii)∗. |z1 + z2 | |z1| − |z2| ; (iv)∗. |z1 − z2 | |z1| − |z2| . Thˆt vˆy ta c´ |z1 + z2| |z1| − |z2| v` |z1 + z2| |z2| − |z1 |. C´c a a . . o a a vˆ phai kh´c nhau vˆ dˆu do d´ nˆu lˆy vˆ phai du.o.ng th` thu du.o.c ´ ’ e a ` a e ´ ´ ´ ´ ’ o e a e ı . ∗ ´ ’ (iii) . Bˆt d˘ng th´ a a u.c (iv)∗ thu du.o.c t`. (iii)∗ b˘ng c´ch thay z2 bo.i ` ’ . u a a −z2. V´ du 3. Ch´.ng minh dˆng nhˆt th´.c ı . u ` o ´ a u |z1 + z2|2 + |z1 − z2|2 = 2(|z1 |2 + |z2 |2). Giai th´ y ngh˜ h`nh hoc cua hˆ th´.c d˜ ch´.ng minh. ’ ıch ´ ıa ı . ’ e u a u . ’ ’ ’ Giai. Gia su . z1 = x1 + iy1, z2 = x2 + iy2 . Khi d´ o z1 + z2 = x1 + x2 + i(y1 + y2), z1 − z2 = x1 − x2 + i(y1 − y2 ), |z1 + z2|2 = (x1 + x2 )2 + (y1 + y2)2 , |z1 − z2|2 = (x1 − x2)2 + (y1 − y2 )2 . T`. d´ thu du.o.c u o . |z1 + z2|2 + |z1 − z2|2 = 2(x2 + y1 )2 + 2(x2 + y2 ) = 2(|z1 |2 + |z2 |2). 1 2 2 T`. hˆ th´.c d˜ ch´.ng minh suy r˘ng trong mˆ i h`nh b`nh h`nh tˆng c´c u e u a u . ` a ˜ o ı ı a o’ a b` phu.o.ng dˆ d`i cua c´c du.`.ng ch´o b˘ng tˆng c´c b` phu.o.ng ınh o a ’ a . o e ` a o’ a ınh o a ’ a . ’ o dˆ d`i cua c´c canh cua n´. . V´ du 4. Ch´.ng minh r˘ng nˆu |z1| = |z2| = |z3| th` ı . u ` a ´ e ı z3 − z2 1 z2 arg = arg · z3 − z1 2 z1 Giai. Theo gia thiˆt, c´c diˆm z1 , z2 v` z3 n˘m trˆn du.`.ng tr`n ’ ’ ´ e a e’ a ` a e o o .i tˆm tai gˆc toa dˆ. Ta x´t c´c vecto. z3 − z2; z3 − z1, z1 v` n`o d´ v´ a a o o ´ . o . o . e a a z2 (h˜y v˜ h` a e ınh).
  18. 18. ’ ˜ ınh .1.3. Biˆu diˆn h` hoc. Mˆd un v` acgumen e e o a 17 B˘ng nh˜.ng nguyˆn do h` hoc, dˆ thˆy r˘ng ` a u e ınh . ˜ a a e ´ ` z3 − z2 arg = arg(z3 − z2 ) − arg(z3 − z1) z3 − z1v` g´c n`y nh` cung tr`n nˆi diˆm z1 v` z2 v` g´c o. tˆm a o a ın ´ ’ o o e a a o ’ a z2 arg = argz2 − argz1 z1 ´ ınh o o . y o ’ ınh .c˜ng ch˘n ch´ cung tr`n d´. Theo dinh l´ quen thuˆc cua h` hoc u a . . cˆp ta c´so a ´ o z3 − z2 1 z2 arg = arg · z3 − z1 2 z1V´ du 5. Ch´.ng minh r˘ng nˆu |z1| = |z2| = |z3 | = 1 v` z1 +z2+z3 = 0 ı . u ` a ´ e a ’ a a ’ ’ a ` . ´th` c´c diˆm z1, z2 v` z3 l` c´c dınh cua tam gi´c dˆu nˆi tiˆp trong ı a e a e o edu.`.ng tr`n do.n vi. o o . Giai. Theo gia thiˆt, ba diˆm z1, z2 v` z3 n˘m trˆn du.`.ng tr`n ’ ’ ´ e ’ e a ` a e o o .n vi. Ta t` dˆ d`i cua c´c canh tam gi´c.do . ım o a ’ a . a . + 1 T` dˆ d`i |z1 − z2|. Ta c´ ım o a . o |z1 − z2|2 = (x1 − x2)2 + (y1 − y2 )2 = x2 + y1 + x2 + y2 − (2x1 x2 + 2y1 y2) 1 2 2 2 = 2(x2 + y1 ) + 2(x2 + y2 ) − [(x1 + x2 )2 + (y1 + y2 )2] 1 2 2 2 = 2|z1 |2 + 2|z2 |2 − 2|z1 + z2 |2.Nhu.ng z1 + z2 = −z3 v` |z1 + z2| = |z3|. Do d´ a o |z1 − z2|2 = 2|z1 |2 + 2|z2|2 − |z3|2 = 2 · 1 + 2 · 1 − 1 = 3v` t`. d´ a u o √ |z1 − z2| = 3 . √ √ 2+ Tu.o.ng tu. ta c´ |z2 − z3 | = 3, |z3 − z1 | = 3. T`. d´ suy ra . o u otam gi´c v´.i dınh z1 , z2, z3 l` tam gi´c dˆu. a o ’ a a `e
  19. 19. 18 Chu.o.ng 1. Sˆ ph´.c ´ o u V´ du 6. V´.i diˆu kiˆn n`o th` ba diˆm kh´c nhau t`.ng dˆi mˆt z1, ı . o ` e e a . ı e’ a u o o . ` z2 , z3 n˘m trˆn mˆt du o a e o .`.ng th˘ng. a’ . ’ + Giai. 1 Nˆ a ´u c´c diˆm z1, z2, z3 n˘m trˆn du.`.ng th˘ng cho tru.´.c e ’ e ` a e o ’ a o th` vecto ı . di t`. z2 dˆn z1 c´ hu.´.ng nhu. cua vecto. di t`. diˆm z3 dˆn u ´ e o o ’ u e ’ ´ e z1 ho˘c c´ hu.´.ng ngu.o.c lai. Diˆu d´ c´ ngh˜ l` c´c g´c nghiˆng cua a o o . . . ` o o e ıa a a o e ’ c´c vecto. n`y dˆi v´.i truc thu.c ho˘c nhu. nhau ho˘c sai kh´c g´c π. a a o o ´ . . a . a . a o Nhu .ng khi d´ ta c´ o o arg(z1 − z2 ) = arg(z1 − z3 ) + kπ, k = 0, 1. T`. d´ suy ra u o z1 − z2 arg = arg(z1 − z2 ) − arg(z1 − z3) = kπ, k = 0, 1. z1 − z3 z1 − z2 Nhu. vˆy sˆ ph´.c . ´ a o u c´ acgumen b˘ng 0 ho˘c b˘ng π, t´.c l` sˆ o ` a a ` . a u a o ´ z1 − z3 z1 − z2 l` sˆ thu.c. Diˆu kiˆn thu du.o.c l` diˆu kiˆn cˆn. ´ a o . `e e . . a ` e e ` . a z1 − z3 2+ Ta ch´.ng minh r˘ng d´ c˜ng l` diˆu kiˆn du. Gia su. u ` a o u a ` e e ’ . ’ ’ z1 − z2 = α, α ∈ R. z1 − z3 z1 − z2 Khi d´ Im o = 0. Hˆ th´.c n`y tu.o.ng du.o.ng v´.i hˆ th´.c e u a . o e u. z1 − z3 y1 − y3 x1 − x3 = · (1.5) y1 − y2 x1 − x2 Phu.o.ng tr` du.`.ng th˘ng qua diˆm (x1, y1) v` (x2, y2 ) c´ dang ınh o ’ a ’ e a o . y − y1 x − x1 = · (1.6) y2 − y1 x2 − x1 T`. (1.5) v` (1.6) suy ra diˆm (x3 , y3) n˘m trˆn du.`.ng th˘ng d´. u a ’ e ` a e o ’ a o V´ du 7. X´c dinh tˆp ho.p diˆm trˆn m˘t ph˘ng ph´.c thoa m˜n c´c ı . a . a . . ’ e e a . ’ a u ’ a a ` diˆu kiˆn: e e .
  20. 20. ’ ˜ ınh .1.3. Biˆu diˆn h` hoc. Mˆd un v` acgumen e e o a 19 1) |z − 2| + |z + 2| = 5; 2) |z − 2| − |z + 2| > 3; 3) Re z c; 4) Im z < 0. Giai. 1) D˘ng th´.c |z − 2| + |z + 2| = 5 x´c dinh qu˜ t´ nh˜.ng ’ ’ a u a . y ıch u e’ ’diˆm cua m˘t ph˘ a . ’ ng m` tˆng khoang c´ch t`. d´ dˆn hai diˆm cho a a o ’ ’ a u o e ´ e’ .´.c F1 = −2 v` F2 = +2 l` h˘ng sˆ b˘ng 5. Theo dinh ngh˜a trongtru o a a ` a o ` ´ a ı . 5h` hoc giai t´ d´ l` du.`.ng ellip v´.i b´n truc l´.n b˘ng v` tiˆu ınh . ’ ıch o a o o a . o ` a a e 2 ’diˆm ±2. e e’ ’ a . ’ a ’ 2) Qu˜ t´ c´c diˆm cua m˘t ph˘ng C thoa m˜n diˆu kiˆn y ıch a a ` e e . a .`.ng hypecbˆn. D˘ng th´.c|z − 2| − |z + 2| = 3 l` du o o ’ a u |z − 2| − |z + 2| = 3x´c dinh nh´nh bˆn tr´i cua du.`.ng hypecbˆn v` bˆt d˘ng th´.c a . a e a ’ o o a a a´ ’ u a . `a ’|z − 2| − |z + 2| > 3 x´c dinh phˆn trong cua nh´nh d´. a o 3) Rez c ⇒ x c. D´ l` nu o a ’ .a m˘t ph˘ng bˆn phai du.`.ng th˘ng a ’ a e ’ o ’ a . ’ e ’x = c (kˆ ca du o .`.ng th˘ng x = c). ’ a 4) V` Im z = y ⇒ Im z < c ⇒ y < c. D´ l` nu.a m˘t ph˘ng du.´.i ı o a ’ a . ’ a o .`.ng th˘ng y = c (khˆng kˆ du.`.ng th˘ng d´).du o a’ o ’ e o ’ a oV´ du 8. X´c dinh tˆp ho.p diˆm trˆn m˘t ph˘ng ph´.c C du.o.c cho ı . a . a . . e’ e a . ’ a u . ’.i diˆu kiˆn:bo ` e e . 1) |z| = Rez + 1; 2) |z − 1| 2|z − i|; 3) |z − 2 + i|u2 − 2|z − 2 + i|u + 1 > 0 ∀ u ∈ R. 1 4) log3(2 + |z 2 + i|) + log27 = 0. (2 + |z 2 − i|)3 Giai. 1) Gia su. z = x + iy. Khi d´ t`. diˆu kiˆn ’ ’ ’ o u ` e e . |z| = Rez + 1 ⇒ x2 + y 2 = x + 1 ⇒ y 2 = 2x + 1.
  21. 21. 20 Chu.o.ng 1. Sˆ ph´.c ´ o u 1 D´ l` phu.o.ng tr` parabˆn v´.i dınh tai diˆm o a ınh o o ’ . e ’ − ; 0 v´.i truc dˆi o . o ´ .ng l` tia 2 x´ u a 1 γ = (x, y) ∈ R2 : x − ,y = 0 . 2 2) Gia su. z = x + iy. Khi d´ t`. diˆu kiˆn d˜ cho suy ra: ’ ’ o u ` e e a . |x − 1 + iy| 2|x + i(y − 1)| ⇒ (x − 1)2 + y 2 ≥ 2 x2 + (y − 1)2 1 2 4 2 8 ⇒ x+ + y− · 3 3 9 1 4 T`. d´ suy ra r˘ng diˆu kiˆn d˜ cho x´c dinh h`nh tr`n tˆm z0 = − +i u o ` a ` e e a . a . ı o a √ 3 3 2 2 v` b´n k´ a a ınh . 3 3) V` tam th´.c bˆc hai (dˆi v´.i u) o. vˆ tr´i cua diˆu kiˆn d˜ cho ı u a . ´ o o ´ ’ e a ’ ` e e a . .o.ng ∀ u ∈ R nˆn biˆt sˆ cua n´ ˆm, t´.c l` du e . ´ e o ’ oa u a |z − 2 + i|2 − |z − 2 + i| < 0 ⇒|z − 2 + i| < 1. D´ l` h` tr`n v´.i tˆm tai z0 = 2 − i v` b´n k´nh b˘ng 1. o a ınh o o a . a a ı ` a . diˆu kiˆn d˜ cho ta thu du.o.c 4) T` ` u e e a . . 2 + |z 2 + i| log3 =0 2 + |z 2 − i| 2 + |z 2 + i| ⇒ 2 − i| = 1 v` |z 2 + i| = |z 2 − i|. a 2 + |z T`. d´ suy r˘ng z 2 l` sˆ thu.c bˆt k`. Nhu.ng khi d´ z l` sˆ thu.c bˆt u o ` a ´ a o . ´ a y o a o . ´ ´ a k` ho˘c sˆ thuˆn ao bˆt k`. Nhu. vˆy chı c´ c´c diˆm n˘m trˆn c´c y a o. ´ ` ’ a ´ a y a . ’ o a ’ e ` a e a . . o a ’ . ` truc toa dˆ l` thoa m˜n diˆu kiˆn d˜ cho. a e e a . ` ˆ BAI TAP .
  22. 22. ’ ˜ ınh .1.3. Biˆu diˆn h` hoc. Mˆd un v` acgumen e e o a 211. Ch´.ng minh r˘ng u ` a 1) |z1 · z2| = |z1 | · |z2 |; 2) |z1 ± z2 | |z1| + |z2|; 3) |z1 ± z2 | |z1| − |z2| .2. Xuˆt ph´t t`. c´c biˆu diˆn h`nh hoc, ch´.ng minh: ´ a a u a e’ ˜ ı e . u z 1) −1 |argz|; |z| 2) |z − 1| |z| − 1 + |z||argz|.3. Ch´.ng minh r˘ng nˆu gi´ tri ch´ argz = arg(a + ib) thoa m˜n u ` a ´ e a . ınh ’ adiˆu kiˆn −π < argz π th` n´ du.o.c t´nh theo cˆng th´.c ` e e . ı o . ı o u  arctg b  ´ nˆu a > 0, e   a   b ´ arg(a + ib) = arctg + π nˆu a < 0, b 0, e   a    arctg b − π nˆu a < 0, b < 0. ´ e a4. Ch´.ng minh r˘ng nˆu gi´ tri ch´ arg(a + ib) thoa m˜n diˆu kiˆn u ` a ´ e a . ınh ’ a ` e e .0 arg(a + ib) < 2π th`ı  arctg b  ´ nˆu a > 0, b > 0, e   a   b arg(a + ib) = arctg + 2π ´ nˆu a > 0, b < 0, e   a    arctg b + π ´ nˆu a < 0. e a b π π Chı dˆ n. Lu.u y r˘ng gi´ tri ch´ cua arctg ∈ − , ’ a˜ ´ a` a . ınh ’ . a 2 25. Ch´.ng minh r˘ng |a + b|2 + |a − b|2 = 4|a|2 nˆu |a| = |b|. u ` a ´ e6. Ch´.ng minh dˆng nhˆt th´.c u ` o ´ a u |1 − ab|2 − |a − b|2 = (1 + |ab|)2 − (|a| + |b|)2, a ∈ C, b ∈ C. Chı dˆ n. Su. dung hˆ th´.c |z|2 = zz. ’ ˜a ’ . e u .
  23. 23. 22 Chu.o.ng 1. Sˆ ph´.c ´ o u 7. Ch´.ng minh dˆng nhˆt th´.c u ` o ´ a u 1) |a + b|2 = (|a| + |b|)2 − 2 |ab| − Re(ab) . 2) |ab + 1|2 + |a − b|2 = (|a|2 + 1)(|b|2 + 1). 8. Ch´.ng minh r˘ng moi sˆ ph´.c z = −1 v` |z| = 1 dˆu c´ thˆ biˆu u ` a ´ . o u a ` o e e e ’ ’ diˆn du.´.i dang ˜ e o . 1 + ti z= , t ∈ R. 1 − ti Chı dˆ n. Biˆu diˆn t qua z v` ch´.ng minh t = t. ’ a˜ ’ e ˜ e a u 1 + |a| 9. Ch´.ng minh r˘ng nˆu Rea u ` a ´ e √ · 0 th` |1 + a| ı 2 ’ a˜ ’ Chı dˆ n. C´ thˆ ch´ o e u .ng minh b˘ng phan ch´.ng. ` a ’ u 10. Trong c´c sˆ ph´.c thoa m˜n diˆu kiˆn ´ a o u ’ a ` e e . |z − 25i| 15 h˜y t` sˆ c´ acgument du.o.ng nho nhˆt. ´ a ım o o ’ a ´ 11. T` acgumen cua c´c sˆ ph´.c sau dˆy ım ´ ’ a o u a π π π 1) cos − i sin · (DS. − ) 6 6 6 π π 2π 2) − cos + i sin · (DS. ) 3 3 3 3) cos ϕ − i sin ϕ. (DS. −ϕ) 4) − cos ϕ − i sin ϕ. (DS. π + ϕ) π 5) sin ϕ + i cos ϕ. (DS. − ϕ) 2 π 6) sin ϕ − i cos ϕ. (DS. ϕ − ) 2 π 7) − sin ϕ − i cos ϕ. (DS. − − ϕ ) 2
  24. 24. 1.4. Biˆu diˆn sˆ ph´.c du.´.i dang lu.o.ng gi´c ’ e ˜ o u e ´ o . . a 231.4 Biˆu diˆn sˆ ph´.c du.´.i dang lu.o.ng e’ ˜ e ´ o u o . . gi´c aMoi sˆ ph´.c z = a + ib = 0 dˆu biˆu diˆn du.o.c du.´.i dang ´ . o u ` e ’ e ˜ e . o . z = a + ib = r(cos ϕ + i sin ϕ) (1.7) √trong d´ r = |z| = a2 + b2, ϕ l` mˆt trong c´c acgumen cua n´. o a o. a ’ o Ph´p biˆu diˆn d´ du.o.c goi l` dang lu.o.ng gi´c cua sˆ ph´.c z. Dˆ e e’ ˜ o e . . a . . a ’ o u ´ ’ echuyˆn t`. dang dai sˆ sang dang lu.o.ng gi´c ta chı cˆn t`m mˆdun ’ e u . . o ´ . . a ’ ` ı a o . a ’v` mˆt trong c´c acgument cua n´. V` mˆdun v` acgumen cua tˆng a o o ı o a ’ o ’(hiˆu) hai sˆ ph´.c kh´ c´ thˆ biˆu diˆn qua mˆdun v` acgumen cua e. ´ o u o o e e ’ ’ ˜ e o a ’ ´c´c sˆ hang nˆn ph´p cˆng v` ph´p tr` a o . e e o a e u. du.´.i dang lu.o.ng gi´c l` khˆng o . a a o . .kha thi. Ngu.o.c lai, ph´p nhˆn, ph´p chia, ph´p nˆng lˆn l˜y th`.a v` ’ . . e a e e a e u u a .o.c thu.c hiˆn rˆt tiˆn lo.i du.´.i dang lu.o.ng gi´c.khai c˘n du . a . . ´ . e a e . o . . a ’ ’ Gia su . z1 = r1(cos ϕ1 + i sin ϕ1 ), z2 = r2 (cos ϕ2 + i sin ϕ2),z = r(cos ϕ + i sin ϕ). Khi d´ o + 1 z1z2 = r1 r2 [cos(ϕ1 + ϕ2 ) + i sin(ϕ1 + ϕ2 )] z1 r1 2+ = [cos(ϕ1 − ϕ2 ) + i sin(ϕ1 − ϕ2 )], r2 = 0. z2 r2 3 z = rn [cos nϕ + i sin nϕ], n ∈ Z. + n √ ϕ + 2kπ ϕ + 2kπ 4+ wk = n r cos + i sin , k = 0, n − 1. n n T`. 3+ suy ra u [cos ϕ + i sin ϕ]n = cos nϕ + i sin nϕ. (1.8)Cˆng th´.c (1.8) du.o.c goi l` cˆng th´.c Moivre. o u . . a o u Ph´p to´n nˆng sˆ e lˆn lu˜ th`.a ph´.c z = x + iy du.o.c dinh ngh˜a e a a ´ o e y u u . . ıbo.i cˆng th´.c ’ o u def ez = ex+iy = ex(cos y + i sin y). (1.9) ’ Ch˘ng han a .
  25. 25. 24 Chu.o.ng 1. Sˆ ph´.c ´ o u e1+i = e(cos 1 + i sin 1), π π eπi/2 = cos + i sin = i, 2 2 πi e = cos π + i sin π = −1. T`. (1.9) khi z = iϕ ta thu du.o.c cˆng th´.c u . o u eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ (1.10) goi l` cˆng th´.c Euler. . a o u Moi sˆ ph´.c z = 0 dˆu c´ thˆ biˆu diˆn du.´.i dang ´ . o u ` o e e e ’ ’ ˜ e o . z = reiϕ , (1.11) a o. a ’ o e e’ trong d´ r = |z|, ϕ l` mˆt trong c´c acgumen cua n´. Ph´p biˆu diˆn o ˜ e (1.11) du.o.c goi l` dang m˜ cua sˆ ph´.c. C˜ng nhu. dˆi v´.i dang lu.o.ng . . a . u ’ o u ´ u ´ o o . . gi´c ta c´: a o 1/ nˆu z1 = r1 eiϕ1 , z2 = r2 eiϕ2 th` ´ e ı z1z2 = r1 r2 ei(ϕ1+ϕ2 ) , (1.12) r1 z1/z2 = ei(ϕ1 −ϕ2 ) , (1.13) r2 2/ nˆu z = reiϕ th` ´ e ı z n = rn einϕ , (1.14) √ √ ϕ+2kπ n z = n rei n , k = 0, n − 1 (1.15) CAC V´ DU ´ I . ı . e’ ˜ a o u e ´ V´ du 1. Biˆu diˆn c´c sˆ ph´ .c sau dˆy du.´.i dang lu.o.ng gi´c a o . a √ √ . 1) −1 + i 3; 2) 2 + 3 + i. Giai. 1) T` mˆdun v` acgumen cua sˆ ph´.c d˜ cho: ’ ım o a ´ ’ o u a √ √ r= (−1)2 + ( 3)2 = 2; tg ϕ = − 3 .
  26. 26. 1.4. Biˆu diˆn sˆ ph´.c du.´.i dang lu.o.ng gi´c ’ e ˜ o u e ´ o . . a 25 π 2πT`. d´ ho˘c ϕ = −π/3, ho˘c ϕ = − + π = u o a . a. . V` sˆ ph´.c d˜ ı o´ u a 3 3 2π √cho thuˆc g´c phˆn tu. II nˆn ta chon ϕ = o o . ` a e . . T`. d´ −1 + i 3 = u o 3 2π 2π2 cos i sin . 3 3 2) T` modun v` acgumen: ım a √ √ √ √ |2 + 3 + i| = (2 + 3)2 + 1 = 8+4 3=2 2+ 3. √ ´ Nˆu ϕ = arg(2 + e 3 + i) th` ı √ √ √ 3 π 2+ 1+ 1 + coscos ϕ = 3 2+ 3 2 = 6 = cos π · √ = = 2 2+ 3 2 2 2 12T`. d´ suy r˘ng u o ` a √ √ π π 2 3+i=2 2+ 3 cos + i sin 12 12V´ du 2. Biˆu diˆn c´c sˆ ph´.c du.´.i dang lu.o.ng gi´c ı . ’ e ˜ a o u e ´ o . . a 1) 1 + cos ϕ + i sin ϕ, −π < ϕ < π. 2) 1 + cos ϕ + i sin ϕ, π < ϕ < 2π. 1 + cos ϕ + i sin ϕ π 3) w = , 0<ϕ< · 1 + cos ϕ − i sin ϕ 2 ’ Giai. 1) Ta c´o ϕ ϕ |z| = 2(1 + cos ϕ) = 2 cos = 2 cos 2 2 π ϕ π ϕv` −π < ϕ < π ⇒ − < < ⇒ cos > 0. ı 2 2 2 2 Gia su. α = argz. Khi d´ ’ ’ o  1 + cos ϕ ϕ  cos α = ϕ = cos 2 ,   2 cos ϕ ϕ ϕ 2 ⇒ z = 2 cos cos + i sin . sin ϕ ϕ  2 2 2 sin α = ϕ = sin 2 ·    2 cos 2
  27. 27. 26 Chu.o.ng 1. Sˆ ph´.c ´ o u 2) Trong tru.`.ng ho.p n`y ta c´ o . a o ϕ ϕ r = |z| = 2(1 + cos ϕ) = 2 cos = −2 cos 2 2 π ϕ v` ı < < π. Gia su. α = argz. Khi d´ ’ ’ o 2 2 1 + cos ϕ ϕ ϕ cos α = ϕ = − cos 2 = cos −π , −2 cos 2 2 sin ϕ ϕ ϕ sin α = ϕ = − sin 2 = sin −π . −2 cos 2 2 T`. d´ suy r˘ng u o ` a ϕ ϕ ϕ 1 + cos ϕ + i sin ϕ = −2 cos cos − π + i sin −π . 2 2 2 3) Tru.´.c hˆt nhˆn x´t r˘ng |w| = 1 v` tu. sˆ v` mˆ u sˆ cua n´ c´ o e ´ a e a . ` ´ ˜ ´ ı ’ o a a o ’ o o ` modun b˘ng nhau. Ta t`m dang lu . a ı .o.ng gi´c cua tu. sˆ v` mˆ u sˆ. a ’ ´ ’ o a a o ˜ ´ . π X´t tu. sˆ: z1 = 1 + cos ϕ + i sin ϕ, ϕ ∈ 0, e ’ o ´ 2 |z1| = 2(1 + cos ϕ) , sin ϕ ϕ ϕ π π ϕ1 = argz1 = arctg = arctg tg = ∈ − , . 1 + cos ϕ 2 2 2 2 Tu.o.ng tu., dˆi v´.i mˆ u sˆ . o o´ ˜ ´ a o z2 = 1 + cos ϕ − i sin ϕ ta c´ o |z2| = 2(1 + cos ϕ) , − sin ϕ ϕ2 = argz2 = arctg 1 + cos ϕ ϕ ϕ ϕ π π = arctg − tg = arctg tg − =− ∈ − , . 2 2 2 2 2
  28. 28. 1.4. Biˆu diˆn sˆ ph´.c du.´.i dang lu.o.ng gi´c ’ e ˜ o u e ´ o . . a 27T`. d´ thu du.o.c u o . ϕ ϕ z2 = 2(1 + cos ϕ) cos − + i sin − 2 2v` do vˆy a a . ϕ ϕ 2(1 + cos ϕ) cos + i sin w= × 2 2 2(1 + cos ϕ) ϕ ϕ cos − + i sin − 2 2 = cos ϕ + i sin ϕ. √V´ du 3. 1) T´ ( 3 + i)126 ı . ınh 2) T´ acgumen cua sˆ ph´.c sau ınh ´ ’ o u w = z 4 − z 2 nˆu argz = ϕ v` |z| = 1. ´ e a √ π π ’ Giai. 1) Ta c´ 3 + i = 2 cos + i sin o . T`. d´ ´p dung cˆng u oa . o .c Moivre ta thu du.o.c: 6 6th´ u . √ 126π 126π ( 3 + i)126 = 2126 cos + i sin 6 6 = 2 [cos π + i sin π] = −2126 . 126 2) Ta c´ o w = z 4 − z 2 = cos 4ϕ + i sin 4ϕ − [cos 2ϕ − i sin 2ϕ] = cos 4ϕ − cos 2ϕ + i(sin 4ϕ + sin 2ϕ) = −2 sin 3ϕ sin ϕ + 2i sin 3ϕ cos ϕ = 2 sin 3ϕ[− sin ϕ + i cos ϕ]. 2kπ (2k + 1)π (i) Nˆu sin 3ϕ > 0 (t´.c l` khi ´ e u a <ϕ< , k ∈ Z) th` ı 3 3 π π w = 2 sin 3ϕ cos + ϕ + i sin +ϕ . 2 2 (2k − 1)π 2kπ (ii) Nˆu sin 3ϕ < 0 (t´.c l` khi ´ e u a <ϕ< , k ∈ Z) th` ı 3 3 w = (−2 sin 3ϕ)[sin ϕ − i cos ϕ].
  29. 29. 28 Chu.o.ng 1. Sˆ ph´.c ´ o u Ta t` dang lu.o.ng gi´c cua v = sin ϕ − i cos ϕ. Hiˆn nhiˆn |v| = 1. ım . . a ’ e’ e Ta t´ argv ınh − cos ϕ argv = arctg = arctg(−cotgϕ) sin ϕ π π = arctg − tg − ϕ = arctg tg ϕ − 2 2 π =ϕ− · 2 Nhu. vˆy nˆu sin 3ϕ < 0 th` a e . ´ ı π π w = (−2 sin 3ϕ) cos ϕ − + i sin ϕ − . 2 2 kπ ´ (iii) Nˆu sin 3ϕ = 0 ⇒ ϕ = e ⇒ w = 0. 3 Nhu. vˆya .  π + ϕ  ´ nˆu e 2kπ <ϕ< (2k + 1)π , 2  3 3  kπ argw = khˆng x´c dinh nˆu ϕ = o a . ´ e ,   3   ϕ − π ´ nˆu e (2k − 1)π <ϕ< 2kπ · 2 3 3 V´ du 4. Ch´.ng minh r˘ng ı . u ` a π 3π 5π 7π 1 1) cos + cos + cos + cos = . 9 9 9 9 2 2) cos ϕ + cos(ϕ + α) + cos(ϕ + 2α) + · · · + cos(ϕ + nα) (n + 1)α nα sin cos ϕ + = 2 2 · α sin 2 ’ Giai. 1) D˘ta . π 3π 7π S = cos + cos + · · · + cos , 9 9 9 π 3π 7π T = sin + sin + · · · + sin , 9 9 9 π π z = cos + i sin . 9 9
  30. 30. 1.4. Biˆu diˆn sˆ ph´.c du.´.i dang lu.o.ng gi´c ’ e ˜ o u e ´ o . . a 29Khi d´ o z(1 − z 8) S + iT = z + z 3 + z 5 + z 7 = 1 − z2 9 z−z z+1 1 1 = = = = π π 1 − z2 1 − z2 1−z 1 − cos − i sin 9 9 π π π 1 − cos + i sin sin = 9 9 =1+ 9 · π 2 2 π 2 2 1 − cos π 1 − cos + sin 9 9 9 1Do d´ S = · o 2 2) Tu.o.ng tu. nhu. trong 1) ta k´ hiˆu . y e . S = cos ϕ + cos(ϕ + α) + · · · + cos(ϕ + nα), T = sin ϕ + sin(ϕ + α) + · · · + sin(ϕ + nα), z = cos α + i sin α, c = cos ϕ + i sin ϕ.Khi d´ o c(1 − z n+1 )S + iT = c + cz + · · · + cz n = 1−z (cos ϕ + i sin ϕ)[1 − cos(n + 1)α − i sin(n + 1)α]= 1 − cos α − i sin α (n + 1)α (n + 1)α − π (n + 1)α − π (cos ϕ + i sin ϕ)2 sin cos + i sin= 2 2 2 α α−π α−π 2 sin cos + i sin 2 2 2 (n + 1)α nα (n + 1)α nα sin cos ϕ + sin sin ϕ += 2 2 + 2 2 i. α α sin sin 2 2T`. d´ so s´nh phˆn thu.c v` phˆn ao ta thu du.o.c kˆt qua. u o a ` a . a ` ’ a . e´ ’ ` B˘ng phu a .o.ng ph´p tu.o.ng tu. ta c´ thˆ t´nh c´c tˆng dang a o e ı’ a o ’ . . a1 sin b1 + a2 sin b2 + · · · + an sin bn , a1 cos b1 + a2 cos b2 + · · · + an cos bn

×