1. www.VNMATH.com
S GD & T THANH HOÁ KI M TRA CH T LƯ NG D Y – H C B I DƯ NG L N 1
TRƯ NG THPT H U L C 4 NĂM H C: 2011 - 2012
----------***---------- MÔN TOÁN, KH I A (Th i gian làm bài 180 phút)
PH N CHUNG CHO T T C CÁC THÍ SINH (7,0 i m)
Câu I (2,0 i m) Cho hàm s y = x 3 − 3 x 2 + 1 .
1. Kh o sát s bi n thiên và v th (C) c a hàm s .
2. Tìm hai i m M, N thu c th (C) sao cho dài o n MN b ng 32 và ti p tuy n c a (C) t i M và
N song song v i nhau.
Câu II (2,0 i m)
π
2 sin( − x )
1. Gi i phương trình 4 (1 + sin 2 x ) = cot x + 1 .
sin x
2. Gi i b t phương trình 3 x 3 − 1 ≤ 2 x 2 + 3 x + 1 .
1
3 xe x + e x + 2
Câu III (1,0 i m) Tính tích phân I = ∫ dx .
0 xe x + 1
Câu IV (1,0 i m) Cho hình chóp S. ABC có áy ABC là tam giác vuông cân nh A, BC = 2 a . G i O là
trung i m c a BC, hình chi u vuông góc H c a S lên m t áy ( ABC ) th a mãn: OA + 2OH = 0 , góc
gi a SC và m t áy ( ABC ) b ng 600 . Hãy tính th tích kh i chóp S. ABC và kho ng cách t trung i m I
c a SB t i m t ph ng ( SAH ) .
2 y(4 y 2 + 3 x 2 ) = x 4 ( x 2 + 3)

Câu V (1,0 i m) Gi i h phương trình  x
2012 ( 2 y − 2 x + 5 − x + 1) = 4024

PhÇn riªng (3,0 ®iÓm)
ThÝ sinh chØ ®−îc lµm mét trong hai phÇn (phÇn A hoÆc phÇn B)
A. Theo ch−¬ng tr×nh chuÈn
C©u VI.a (2,0 i m)
1
1. Trong m t ph ng t a Oxy, cho hình thoi ABCD có tâm I (2;1) và AC = 2 BD . i m M (0; ) thu c
3
ư ng th ng AB, i m N (0;7) thu c ư ng th ng CD. Vi t phương trình ư ng chéo BD bi t nh B
có hoành dương.
2. Trong không gian t a Oxyz, cho hai i m A(1;8;9) và B(−3; −4; −3) . Tìm t a i m C trên m t
ph ng Oxy sao cho tam giác CAB cân t i C và có di n tích b ng 1672 .
{ }
C©u VII.a (1,0 i m) Cho t p h p X = x ∈ N 2 x 2 − 31x + 15 ≤ 0 . Ch n ng u nhiên t t p X ba s t
nhiên. Tính xác su t ba s ư c ch n có t ng là m t s l .
B. Theo ch−¬ng tr×nh n©ng cao
C©u VI.b (2,0 i m)
1. Trong m t ph ng t a Oxy, cho ư ng tròn (C ) : x 2 + y 2 = 2 . Vi t phương trình ti p tuy n c a
ư ng tròn (C) bi t ti p tuy n ó c t các tia Ox, Oy l n lư t t i A và B sao cho tam giác OAB có di n
tích nh nh t.
2. Trong không gian t a Oxyz, cho tam giác ABC có A(3;1;0) , nh B n m trên m t ph ng Oxy và
nh C n m trên tr c Oz. Tìm t a các i m B và C sao cho i m H (2;1;1) là tr c tâm c a tam giác
ABC.
1 1 8
Câu VII.b (1,0 i m) Gi i phương trình log 2 ( x + 3) + log 4 ( x − 1) = log 2 ( 4 x ) .
2 4
-------------------- HÕt --------------------
ThÝ sinh kh«ng ®−îc sö dông tµi liÖu. C¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm.
Hä vµ tªn thÝ sinh: .................................................... Sè b¸o danh: ………………

2. www.VNMATH.com
S GD & T THANH HOÁ ®¸p ¸n – thang ®iÓm
TRƯ NG THPT H U L C 4 ®Ò kiÓm tra chÊt l−îng d¹y - häc båi d−ìng LÇn 1
----------***---------- n¨m häc: 2011 – 2012- m«n to¸n, khèi A
( áp án – Thang i m g m 05 trang)
Câu N i dung i m T ng
Kh o sát hàm s .
10. T p xác nh: D=R 0,25
20. S bi n thiên:
Gi i h n: lim ( x3 − 3 x 2 + 1) = −∞; lim ( x3 − 3 x 2 + 1) = +∞
x →−∞ x →+∞
x = 0
y’=3x2-6x=0 ⇔ 
x = 2
B ng bi n thiên:
x -∞ 0 2 +∞
0,25
y’ + 0 - 0 +
1 +∞
y
-∞ -3
Hàm s ng bi n trên m i kho ng: (-∞;0) và (2; + ∞) 0,25
Hàm s ngh ch bi n trên kho ng (0;2)
C c tr : Hàm s t c c i t i x = 0, giá tr c c i b ng 1
Hàm s t c c ti u t i x = 2, giá tr c c i b ng -3. 1,0
I.1
( i m)
30. th
Có y’’= 6x-6
y’’ = 0 và y’’ i d u t i
x =1 → i m u n là I(1;-1)
Nh n xét:
th hàm s nh n i m 0,25
I(1;-1) là tâm i x ng
Tìm hai i m M, N
Gi s M (a; a3 − 3a + 1), N (b; b3 − 3b + 1) (a ≠ b) 0,25
Vì ti p tuy n c a (C) t i M và N song song suy ra
y′ (a) = y′ (b) ⇔ (a − b)(a + b − 2) = 0 ⇔b = 2 – a ⇒ a ≠ 1 (vì a ≠ b).
MN 2 = (b − a)2 + (b3 − 3b 2 + 1 − a3 + 3a2 − 1)2 0,25
1,0
I.2 2
= [ 2(1 − a)] + (b − 1)3 − (a − 1)3 − 3(b − a)
2
  ( i m)
2
= 4(a − 1)2 + 2(1 − a)3 − 6(1 − a) = 4(a − 1)6 − 24(a − 1)4 + 40(a − 1)2
  0,25
MN 2 = 32 ⇔ 4(a − 1)6 − 24(a − 1)4 + 40(a − 1)2 = 32 . t t = (a − 1)2

Gi i ra ư c t = 4 ⇒  a = 3 ⇒ b = −1 ⇒ M(3; 1) và N(–1; –3) 0,25
 a = −1 ⇒ b = 3

3. www.VNMATH.com
π
2 sin( − x )
Gi i phương trình: 4 (1 + sin 2 x ) = cot x + 1 .
sin x
i u ki n: sin x ≠ 0
PT ⇔ (cos x − s inx)(cos x + s inx)2 = cos x + s inx 0,25
⇔ (cos x + s inx) [(cos x − s inx)(cos x + s inx) − 1] = 0
⇔ (cos x + s inx)(cos2 x − 1) = 0 0,25
1,0
II.1  π ( i m)
⇔  2 s in(x+ 4 )=0
 0,25
 cos2 x = 1
 π
⇔  x = − 4 + kπ (tháa m·n §K)
 0,25
 x = kπ (kh«ng tháa m·n §K)
π
V y phương trình có nghi m x = − + kπ (k ∈ Z ).
4
Gi i b t phương trình
i u ki n: x ≥ 1
3 x 3 − 1 ≤ 2 x 2 + 3 x + 1 ⇔ 3 x − 1. x 2 + x + 1 ≤ ( x − 1) + 2( x 2 + x + 1) 0,25
Chia hai v cho x2 + x + 1, ta ư c b t phương trình tương ương
x −1 x −1
3 2
≤ 2 +2 0,25
x + x +1 x + x +1
x −1
tt= 2
, t ≥ 0, ta ta ư c b t phương trình:
x + x +1 1,0
II.2
3t ≤ t 2 + 2 ⇔ t ≤ 1 ho c t ≥ 2 0,25 ( i m)
+ V i t ≤ 1 , ta có:
x −1
2
≤ 1 ⇔ x − 1 ≤ x 2 + x + 1 ⇔ x 2 ≥ −2 (luôn úng)
x + x +1
+ V i t ≥ 2 , ta có:
x −1
2
≥ 2 ⇔ x − 1 ≥ 4( x 2 + x + 1) ⇔ 4 x 2 + 3 x + 5 ≤ 0 (vô nghi m) 0,25
x + x +1
V y b t phương trình ã cho có nghi m x ≥ 1.
Tính tích phân
1 1 1
3 xe x + e x + 2 xe x + e x 1 xe x + e x
I =∫ dx = ∫ (2 + )dx = 2 x + ∫ dx 0,25
0 xe x + 1 0 xe x + 1 x
0 0 xe + 1
1
xe x + e x
Xét J = ∫ dx . t t = xe x + 1 ⇒ dt = ( xe x + e x )dx 0,25 1,0
III x
0 xe + 1
( i m)
i c n: x = 0 ⇒ t = 1, x = 1 ⇒ t = e + 1
e +1
dt e +1
T ó J=
1
t∫= ln t
1
= ln(e + 1) 0.25
V y I = 2 + ln(e + 1) 0,25
Tính th tích, kho ng cách
Ta có OA + 2OH = 0 nên H thu c tia
i c a tia OA và OA = 2OH
a
BC = AB 2 = 2a ⇒ AB = AC = a 2 ; AO = a ; OH =
2
3a 0,25
AH = AO + OH =
2

4. www.VNMATH.com
a 5
Ta có HC = HO2 + OC 2 =
2
Vì SH ⊥ ( ABC ) ⇒
∧ ∧
( SC ; ( ABC )) = SCH = 60 0 0,25
a 15
SH = HC tan 60 0 = ;
2
1,0
IV ( i m)
1 1 1 2 a 15 a 3 15
VS . ABC = S ∆ABC .SH = . (a 2 ) =
3 3 2 2 6
BO ⊥ AH  0,25
Ta có  ⇒ BO ⊥ ( SAH )
BO ⊥ SH 
d ( I ,( SAH )) SI 1
⇒ = =
d ( B,( SAH )) SB 2
1 1 a
⇒ d ( I ,( SAH )) = d ( B,( SAH )) = BI = 0,25
2 2 2
2 y(4 y 2 + 3 x 2 ) = x 4 ( x 2 + 3)
 (1)
Gi i h phương trình:  x
2012 ( 2 y − 2 x + 5 − x + 1) = 4024 (2)

N u x = 0, t (1) suy ra y = 0. Khi ó không th a mãn (2). V y x ≠ 0
Chia c 2 v c a (1) cho x 3 , ta ư c:
2y 2y
( )3 + 3. = x 3 + 3 x (3) 0,25
x x
Xét hàm s f (t ) = t 3 + 3t, t ∈ R . D th y f(t) là hàm s ng bi n trên R
2y
Do ó t (3) ta ư c = x , hay 2y = x 2 .
x
Th vào (2) ta có: 2012 x −1  ( x − 1)2 + 4 − ( x − 1) = 2 0,25

 

t u = x – 1, ta ư c phương trình : 2012 u ( u 2 + 4 − u) = 2 (4) 1,0
V
L i xét hàm s g(u) = 2012 u ( u2 + 4 − u) = 2 trên R. ( i m)
u
Có g '(u) = 2012 u ln 2012( u 2 + 4 − u) + 2012 u ( − 1)
2
u +4
1
= 2012 u ( u2 + 4 − u)(ln 2012 − ) 0,25
2
u +4
1
Vì u 2 + 4 − u > 0 và < 1 < ln 2012 nên g’(u)>0 v i m i u ∈ R
u2 + 4
Suy ra hàm s g(u) ng bi n trên R. M t khác g(0)=2 nên u = 0 là nghi m
1
duy nh t c a (4). T ó x = 1 và y = .
2
1 0,25
V y h PT có 1 nghi m duy nh t ( x; y ) = (1; ) .
2

5. www.VNMATH.com
Vi t phương trình ư ng chéo BD
B
G i N’ là i m i x ng c a N
qua I thì N’ thu c AB, ta có : M N'
 x N ' = 2 xI − x N = 4
 A
I
C
 y N ' = 2 y I − y N = −5
N
D
Phương trình ư ng th ng AB(qua M và N’): 4x + 3y – 1 = 0 0,25
4.2 + 3.1 − 1
Kho ng cách t I n ư ng th ng AB: d = =2 0,25
4 2 + 32 1,0
VI.a.1
( i m)
AC = 2. BD nên AI = 2 BI, t BI = x, AI = 2x. Trong ∆vuông ABI có:
1 1 1
2
= 2 + 2 suy ra x = 5 suy ra BI = 5
d x 4x
i m B là giao i m c a ư ng th ng 4x + 3y – 1 = 0 v i ư ng tròn tâm I 0,25
bán kính 5
4x + 3y – 1 = 0
T a B là nghi m c a h :  2 2
( x − 2) + ( y − 1) = 5
B có hoành dương nên B( 1; -1). 0,25
V y phương trình ư ng chéo BD ( i qua B và I) là: 2x – y - 3 = 0.
Tìm t a i mC
G i C(a ;b ;0). Ta có CA = CB hay CA2 = CB2
⇔ (a − 1)2 + (b − 8)2 + 92 = (a + 3)2 + (b + 4)2 + 32 ⇔ a = 14 − 3b 0,25
G i I là trung i m c a AB. Ta có I(-1 ;2 ;3). AB = 304 .
2S 1,0
VI.a.2 Vì tam giác ABC cân t i C nên CI = ∆ABC = 22 0,25
AB ( i m)
Ta có C(14-3b; b; 0). CI = 22 ⇔ (15 − 3b)2 + (b − 2)2 + 32 = 22 0,25
27 11 27
T ó b = 4 ho c b = . Suy ra C (2; 4; 0) hoÆc C(- ; ; 0) 0,25
5 5 5
Tính xác su t
1
Ta có 2 x 2 − 31x + 15 ≤ 0 ⇔≤ x ≤ 15 .Vì x thu c N nên X = {1;2;3;...;15} . 0,25
2
S cách ch n ng u nhiên 3 s t nhiên trong t p X là C15 .
3
0,25
t ng 3 s ó là s l , ta có các trư ng h p:
VII.a +C 3s u l : S cách ch n là C8 (vì t p X có 8 s l và 7 s ch n)
3
1,0
+ Có 2 s ch n và 1 s l : S cách ch n là C7 .C8
2 1
( i m)
⇒ s cách ch n 3 s có t ng là 1 s l là C8 + C7 .C8 .
3 2 1 0,25
3 2 1
C8 + C7 .C8 224 32 0,25
V y xác su t c n tìm là: P = 3
= = .
C15 455 65

6. www.VNMATH.com
Vi t phương trình ti p tuy n

Taâm (C ): O (0;0)
+ ư ng tròn(C) có 
 . 0,25
Baùn kính (C ) : R = 2



G it a A(a;0) , B (0; b) v i a > 0, b > 0
x y x y
+ Phương trình AB: + = 1 ⇔ + −1 = 0 0,25
a b a b
1 ab 1,0
VI.b.1 AB ti p xúc (C) ⇔ d (O, AB ) = 2 ⇔ = 2⇔ = 2 (*)
1 1 a + b2
2 0,25 ( i m)
+
a2 b2
a 2b 2 a 2b 2
⇒2= 2 ≤ = S∆OAB
a + b2 2a b
⇒ S∆OAB nh nh t khi a = b .T a = b và (*) suy ra a = b = 2 .
x y
K t lu n: Phương trình ti p tuy n là + −1 = 0 . 0,25
2 2
Tìm t a các i m B và C
Vì B ∈ mp(Oxy) ⇒ B( x; y;0), C ∈ Oz ⇒ C(0;0; z ) 0,25
AH = (−1;0;1), BH = (2 − x;1 − y;1)
BC = (− x; − y; z ), AC = (−3; −1; z ), AB = ( x − 3; y − 1;0) 0,25
 AH. BC = 0


H là tr c tâm tam giác ABC ⇔  BH. AC = 0 0,25
 1,0
VI.b.2
  AH, AC  . AB = 0
  ( i m)
x + z = 0 z = − x  x = 3; y = 1; z = 3
 
⇔ 3 x + y + z − 7 = 0 ⇔  y = 7 − 2 x ⇔
 x + yz − 3 y − z = 0  2  x = −7 ; y = 14; z = 7 0,25
 2 x + x − 21 = 0  2 2
−7 7
V y B(3;1;0), C(0;0; −3) ho c B( ;14;0), C(0;0; )
2 2
Gi i phương trình
i u ki n: 0 < x ≠ 1 0,25
PT ⇔ ( x + 3) x − 1 = 4 x 0,25
1,0
VII.b Trư ng h p 1: x > 1 ( 2 ) ⇔ x 2 − 2 x = −3 ⇔ x = 3 0,25
( i m)
Trư ng h p 1: 0 < x < 1 ( 2 ) ⇔ x 2 + 6 x − 3 = 0 ⇔ x = 2 3 −3
{
V y t p nghi m c a phương trình là T = 3; 2 3 − 3 } 0,25
N u thí sinh làm bài không theo cách nêu trên áp án mà v n úng thì ư c i m thành ph n như
áp án quy nh.
-------------------- HÕt --------------------