1. www.VNMATH.com
SỞ GD & ĐT BẮC NINH
TRƯỜNG THPT LÝ THÁI TỔ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 2 NĂM HỌC 2011- 2012
MÔN: TOÁN; Khối: D
(Đề thi có 01 trang) Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
Ngày thi 19/2/2012
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7,0điểm)
Câu I ( 2,0 điểm) Cho hàm số y  x 3  3 x 2  4
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(3,4) và có hệ số góc m. Tìm m để d cắt (C) tại 3 điểm phân
biệt A, M, N sao cho tiếp tuyến tại M và N vuông góc với nhau.
Câu II ( 2,0 điểm)
3 sin 2 x  5cos x  1
1. Giải phương trình: 2
1.
 sin x  3 cos x 
x4  y4
2. Cho số thực x, y thoả điều kiện 2  x 2 +y 2  =xy+1 . Tìm GTLN, GTNN của biểu thức P= .
2 xy +1
4
dx
Câu III ( 1,0 điểm) Tính tích phân I=  x 1
3 2x  1
.
2
Câu IV ( 1,0 điểm)
Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 4. Biết diện tích tam giác A’BC
bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ và khoảng cách từ C’ đến mặt phẳng (A’BC).
 x 2 + 2y 2 + 3xy-4x-3y-5= 0

Câu V ( 1,0 điểm) Giải hệ phương trình  2
.
 2y+ 1- x+ y + 2y -x-9y-1= 0

II.PHẦN RIÊNG ( 3,0 điểm) (Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B).
PHẦN A
Câu VI. a (2,0 điểm)
1. Trong mÆt ph¼ng víi hÖ trôc täa ®é Oxy cho hai ®­êng th¼ng d1: x + y + 5 = 0, d2: x + 2y - 7= 0 vµ
tam gi¸c ABC cã A(2 ; 3), träng t©m lµ ®iÓm G(2; 0), ®iÓm B thuéc d1 vµ ®iÓm C thuéc d2.
ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC.
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho M(1;2;3). Lập phương trình mặt phẳng đi qua M cắt
ba tia Ox tại A, Oy tại B, Oz tại C sao cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất.
Câu VII. A ( 1,0 điểm)
x x
Giải phương trình 9  2  x  2  3  2 x  5= 0 .
PHẦN B
Câu VI. b (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): (x-1)2 + y2 =1 tâm I và đường thẳng d: x
+ y + m = 0. Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho diện tích  IAB lớn nhất.
2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho A( 1,1,1); B( 1,2,1) và (Q) : 2x – 5 y + z + 2012 = 0.
Lập phương trình mp (P) qua A,B và tạo với (Q) góc 60o.
Câu VII. b ( 1,0 điểm)
Giải bất phương trình 3 3 log 3 x  log 3  3 x   1  0 .
----------------------------Hết----------------------

2. www.VNMATH.com
THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 2 NĂM HỌC 2011- 2012
MÔN: TOÁN; Khối: D
H­íng dÉn chÊm m«n to¸n
C©u Néi dung §iÓm
3 2
I.1 Kh¶o s¸t hµm sè y  x  3 x  4 1,00
1. TËp x¸c ®Þnh: R
2. Sù biÕn thiªn: 0,25
a) Giíi h¹n: lim y  lim (x 3  3x 2  4)  , lim y  lim (x 3  3x 2  4)  
x   x   x  x  
b) B¶ng biÕn thiªn: y' = 3x2 - 6x, y' = 0  x = 0, x = 2
B¶ng biÕn thiªn:
x - 0 2 +
y' + 0 - 0 +
4 + 0,50
y
- 0
- Hµm sè ®ång biÕn trªn (-  ; 0) vµ (2; +  ), nghÞch biÕn trªn (0; 2)
- Hµm sè ®¹t cùc ®¹i t¹i x = 0, yC§ = 4, ®¹t cùc tiÓu t¹i x = 2, yCT = 0.
3. §å thÞ: §å thÞ giao víi trôc tung t¹i (0; 4), giao víi trôc hoµnh t¹i (-1; 0),(2; 0).
NhËn ®iÓm uèn I(1; 2) lµm t©m ®èi xøng
y
4
0,25
2
x
-1 O 1 2
I.2 T×m m ®Ó hai tiÕp tuyÕn vu«ng gãc ..... 1,00
d cã ph­¬ng tr×nh y = m(x – 3) + 4.
Hoµnh ®é giao ®iÓm cña d vµ (C) lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh
x  3 0,50
x 3  3x 2  4  m(x  3)  4  (x  3)(x 2  m)  0   2
x  m  0
Theo bµi ra ta cã ®iÒu kiÖn m > 0; m  9 vµ y' ( m ).y' ( m )  1 0,25
18  3 35
 (3m  6 m )(3m  6 m )  1  9m 2  36m  1  0  m  (tháa m·n) 0,25
9
II.1 Gi¶i ph­¬ng tr×nh l­¬ng gi¸c… 1,00
§iÒu kiÖn: sin x  3 cos x  0 . 0,25
2
Ph­¬ng tr×nh ®· cho t­¬ng ®­¬ng víi 
3 sin 2 x  5cos x  1  sin x  3 cos x  0,25
 3 sin 2 x  5cos x  1  sin 2 x  3cos 2 x  3 sin 2 x
 cos x  2 VN 
2
 2 cos x  5cos x  2  0   0,25
 cos x   1

 2
1

3. www.VNMATH.com
 2
 x  2k  loai 
1 3
 cos x    
2  cos x   2  2k  Tm  0,25

 3
2
VËy ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm x    2k  k  , (k  )
3
II.2 T×m GTLN, GTNN… 1,00
1
 2
Đặt t  xy . Ta có: xy  1  2  x  y   2 xy  4 xy  xy    5
0,25
1 1 1

Và xy  1  2  x  y 
2
 2 xy   4 xy  xy  . ĐK:   t  .
3 5 3
2
Suy ra : P 
x 2
 y2   2 x2 y 2

7t 2  2t  1
. 0,25
2 xy  1 4  2t  1
Do đó: P ' 

7 t 2  t  , P '  0  t  0, t  1( L)
2
2  2t  1 0,25
 1 1 2 1  1 1
P   P   và P  0   . NhËn xÐt HSLT trên đoạn  5 ; 3  )
 5  3  15 4  
1 2
KL: GTLN là và GTNN là 0,25
4 15
III TÝnh tÝch ph©n 1,00
4
dx
+I=  §Æt t= 2 x  1  t 2  2 x  1  tdt=dx
3 x 1  2x 1
2
3 0,25
+§æi cËn : x=  t=2
2
x=4  t = 3
3 3
tdt tdt
+Khi ®ã I=  = 2
2
t 1 2 0,25
2 2 (t  1)
1 t
2
3 3 3
t 11 1 dt
=2  dt = 2 dt  2
(t  1) 2
(t  1) 2 0,25
2 2 2 (t  1)
3 2 3
= 2 ln t  1  =2ln2+1. VËy I= 2ln2+1 0,25
2 t 1 2
IV TÝnh thÓ tÝch khèi l¨ng trô 1,00
0,25
Gọi I là trung điểm BC.  A’BC c©n t¹i A’ nªn A’I  BC
2

4. www.VNMATH.com
A' C'
B'
A C
I
B
AB 3
Ta có  ABC đều nên AI   2 3 & AI  BC
2
 A 'I  BC (dl3 )
2
AB 3 2S
SABC=  4 3 (®vdt) ; SA'BC  1 BC.A 'I  A 'I  A'BC  4
4 2 BC
AA '  (ABC)  AA '  AI .
A'AI  AA '  A 'I2  AI2  2 0,25
ThÓ tÝch khèi l¨ng trô: VABC.A’B’C’ = SABC .AA'= 8 3 (đvtt)
d(C’/(A’BC))=d(A/(A’BC)) 0,25
Dùng AH  A’I  AH  (A’BC)  d(A/(A’BC))=AH
1 1 1 1 0,25
2
 2
 2   AH  3 . VËy d(C’/(A’BC))= 3 .
AH AA ' AI 3
V Giải hệ phương trình …. 1,00
®k: 2 y+ 1  0; x  y  0 . 0,25
1   x 2 +  3 y  4  x+ 2y 2 -3y-5= 0. coi lµ pt bËc 2 Èn x, tham sè y.
 x= -y-1  l  0,25
  .

 x= -2y+ 5  tm 
1
Thay x=-2y+5 vµo (2) ®­îc 2y+ 1- 5-y + 2y 2 -7y-6= 0 víi  y  5.
2
 2y+ 1-3+ 1- 5-y + 2y 2 -7y-4= 0
2y 8 y4
    y  4  2 y  1  = 0
2y+ 1 + 3 1+ 5-y 025
 2 1 
  y  4 

  2 y  1 =0

 2y+ 1 + 3 1+ 5-y 
 y = 4  tm 
(v× 2 y+ 1  0 ).
Suy ra x=-3.
0,25
VËy hÖ cã duy nhÊt mét nghiÖm (-3;4).
VIa.1 ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng trßn ®i …. 1,00
Do B  d1 nªn B = (m; - m – 5), C  d2 nªn C = (7 – 2n; n) 0,25
3

5. www.VNMATH.com
2  m  7  2n  3.2 m 2n  3 m  1
Do G lµ träng t©m tam gi¸c ABC nªn   
3  m  5  n  3.0  m n  2 n  1 0,25
Suy ra B = (-1; -4), C= (5; 1)
Gi¶ sö ®­êng trßn (C) ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC cã ph­¬ng tr×nh
x 2  y 2  2ax  2by  c  0 . Do A, B, C  (C) nªn ta cã hÖ
4  9  4a  6b  c  0 a  83 / 54 0,25
 
1  16  2a  8b  c  0  b  17 / 18
25  1  10a  2b  c  0 c  338 / 27
 
83 17 338
VËy (C) cã ph­¬ng tr×nh x 2  y 2  x  y   0.
27 9 27
VIa.2 ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng .... 1,00
MÆt ph¼ng c¾t 3 tia Ox,Oy,Oz t¹i A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c) cã d¹ng
x y z 0,25
  :    1,  a, b, c  0 
a b c
1 2 3 C os i 6
Do M    nªn:    1  3. 3  abc  162 0,25
a b c abc
a  3
1 
ThÓ tÝch: V  abc  27  Vmin  27  b  6 0,25
6 c  9

MÆt ph¼ng cÇn t×m: 6x+3y+2z-18=0. 0,25
VII Gi¶i ph­¬ng tr×nh…… 1,00
§Æt t= 3x  t  0  ph­¬ng tr×nh trë thµnh t 2  2  x  2  t  2 x  5  0 0,25
 t  1  l 
  3x  5  2 x (*) 0,25
t  5  2 x
Hµm sè f(x)= 3x ®ång biÕn trªn R.
Hµm sè g(x)=5-2x nghÞch biÕn trªn R. 0,25
f(1)=g(1). ph­¬ng tr×nh (*) cã duy nhÊt mét nghiÖm x=1.
KL S  1 0,25
VIb.1 T×m m để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt… 1,00
(C) cã t©m I (1,0) b¸n kÝnh R=1.
(d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt  d (I ;d )  1 0,25
1  1  1
Ta có SIAB  IA.IB.sin AIB  .sin AIB 
2 2 2
Từ đó diện tích tam giác AIB lớn nhất khi và chỉ khi AIB  900
Gäi H lµ trung ®iÓm AB  IH  AB I 0,25
2 A H B
IAB vu«ng t¹i I  AB= 2  IH=
2
1 m 1 m  0
 d I,d     0,25
2 2  m  2
VËy cã 2 đường thẳng cÇn t×m d: x + y = 0; x + y -2 = 0. 0,25
VIb.2 ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng .... 1,00
Gọi (Q) cÇn lËp cã ph­¬ng tr×nh Ax + By +Cz + D = 0 §k ( A2  B 2  C 2  0 )
(Q) qua A nªn A + B +C + D = 0 0,25
(Q) qua B nªn A +2 B +C + D = 0 . Suy ra B=0.
4

6. www.VNMATH.com
2 A  5B  C 1 0,25
Ta cã  cos 600 
A2  B 2  C 2 10 2
2A C 1
Thay B=0 ®­îc 
A2  C 2 10 2
0,25
2 2  A  3C
3 A  8 AC  3C  0   A  3C  3 A  C   0  
3 A  C
TH1: A=-3C ®­îc ph­¬ng tr×nh 3x – z - 2 = 0.
0,25
TH2: 3A=C ®­îc ph­¬ng tr×nh x+3z -4 = 0 .
VIIb Gi¶i bÊt ph­¬ng tr×nh 1,00
x 3
®k: x>0. §Æt t  3 log ta cã bpt: t  3t  2  0
3
0,25
2
  t  1  t  2   0 0,25
 t  2
 0,25
t  1
t  2  0  x  38
0,25
t=1  x  3 KL: S=  0;38   3 .
Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì được đủ điểm từng phần như đáp
án quy định
------------------Hết------------------
5