20111120 circuit complexity_seminar_lecture09_alexeenko

Семинар по сложности булевых функций
Лекция 9: Отрицания в схемах

В. Алексеенко

Computer Science клуб при ПОМИ
http://compsciclub.ru

20.11.2011

В. Алексеенко (Computer Science в схемах
9. Отрицания клуб) 20.11.2011 1 / 27

План лекции

1 Когда NOT гейты бесполезны

2 Теорема Маркова

3 Формулы и NOT гейтов

4 Теорема Фишера

9. Отрицания клуб) 20.11.2011 2 / 27

Введение

9. Отрицания клуб) 20.11.2011 3 / 27

Введение

Главная трудность в нижних оценках размера схемы над
базисом {∨ ∧ ¬} – присутствие NOT гейтов.

9. Отрицания клуб) 20.11.2011 3 / 27

Введение

Можем доказать экспоненциальные нижние оценки для
схем без NOT гейтов.

9. Отрицания клуб) 20.11.2011 3 / 27

Введение

Для каких классов функций NOT гейты бесполезны.

9. Отрицания клуб) 20.11.2011 3 / 27

Введение

Каково минимальное число NOT гейтов в схеме,
вычисления f .

9. Отрицания клуб) 20.11.2011 3 / 27

Введение

Каково минимальное число NOT гейтов в схеме,
вычисления f .
Как сильно можно уменьшить число NOT гейтов в схеме
без существенного увеличения её размера

9. Отрицания клуб) 20.11.2011 3 / 27






9. Отрицания клуб) 20.11.2011 4 / 27

K – sline функция

9. Отрицания клуб) 20.11.2011 5 / 27


Определение
Функция f называется K-sline’ой если:

9. Отрицания клуб) 20.11.2011 5 / 27


1) f (x) = 1 когда |x| = x1 + x2 + · · · + xn >k
(т. е.возвращает 1 если вектор x содержит строго больше k
единиц)

9. Отрицания клуб) 20.11.2011 5 / 27


1) f (x) = 1 когда |x| = x1 + x2 + · · · + xn >k
единиц)
2) f (x) = 0 когда |x| = x1 + x2 + · · · + xn <k
(т. е.возвращает 0 если вектор x содержит строго меньше k
единиц)

9. Отрицания клуб) 20.11.2011 5 / 27


1) f (x) = 1 когда |x| = x1 + x2 + · · · + xn >k
единиц)
2) f (x) = 0 когда |x| = x1 + x2 + · · · + xn <k
(т. е.возвращает 0 если вектор x содержит строго меньше k
единиц)

K-sline функции монотонны

9. Отрицания клуб) 20.11.2011 5 / 27


9. Отрицания клуб) 20.11.2011 6 / 27


Теорема
Если f является K-sline функцией от n переменных, тогда любая схема
де Моргана, вычисляющая f , может быть приведена к монотонной
схеме добавлением не более O(n · log 2 (n)) гейтов.

9. Отрицания клуб) 20.11.2011 6 / 27


Теорема

Доказательство
Пусть f - k-sline функция, а F - схема де Моргана вычисляющая f , т. е.

f (x1 , ..., xn ) = F (x1 , ..., xn , ¬x1 , ..., ¬xn )

9. Отрицания клуб) 20.11.2011 6 / 27


Теорема

Пусть f - k-sline функция, а F - схема де Моргана вычисляющая f , т. е.

f (x1 , ..., xn ) = F (x1 , ..., xn , ¬x1 , ..., ¬xn )

Рассмотрим пороговую функцию Thk (x − xi ), где

(x − xi ) = (x1 , ..., xi−1 , xi+1 , ..., xn )

9. Отрицания клуб) 20.11.2011 6 / 27


Для векторов, содержащих ровно k единиц (|x| = x1 + · · · + xn = k),
значение функции Thk (x − xi ) легко вычислить:

Thk (x − xi ) = ¬xi

9. Отрицания клуб) 20.11.2011 7 / 27




Известно, что все n пороговых функций Thk (x − xi ), i = 1..n можно
вычислить монотонной схемой размера O(n · log 2 (n))(Wegener 1985).

9. Отрицания клуб) 20.11.2011 7 / 27




Известно, что все n пороговых функций Thk (x − xi ), i = 1..n можно
вычислить монотонной схемой размера O(n · log 2 (n))(Wegener 1985).
Т.о, если заменить все отрицательные входы в схеме

F (x1 , ..., xn , ¬x1 , ..., ¬xn )

на значения пороговых функций Thk (x − xi ), то получим монотонную
схему:

F+ (x1 , ..., xn ) = F (x1 , ..., xn , ¬Thk (x − x1 ), ..., ¬Thk (x − xn ))

9. Отрицания клуб) 20.11.2011 7 / 27

Отрицательные входы как новые переменные

Теорема (Lipton 2010)
Для любой булевой функции f от n переменных cправедливо:

C (f ) ≤ C+ (gf ) ≤ C (f ) + 4n

C (f ) —минимальный размер схемы ДеМоргана для вычисления f
C+ (gf ) — минимальный размер монотонной схемы для вычисления gf

gf (x, y ) = f (x) ∧ ��(x, y ) ∨ ��(x, y )

где
n
⋀︁ n
⋁︁
��(x, y ) = (xi ∨ yi ) а ��(x, y ) = (xi ∧ yi )
i=1 i=1

9. Отрицания клуб) 20.11.2011 8 / 27


Утверждение
Для любой булевой функции f , функция gf является монотонной.

9. Отрицания клуб) 20.11.2011 9 / 27


Для любой булевой функции f , функция gf является монотонной.

От противного.
Положим, что gf не монотонна. Тогда существуют вектора a, b
такие, что gf (a, b) = 1 и изменение любого бита с 0 на 1 приведёт
к gf (a, b) = 0.
��(a, b) = 0 ( иначе, после 0 → 1gf (a, b) = 1)
gf = 1 ⇒ ��(a, b) = 1
после 0 → 1 ��(a, b) = 1

9. Отрицания клуб) 20.11.2011 9 / 27


Для любой булевой функции f справедливо:

gf (x1 , ..., xn , ¬x1 , ..., ¬xn ) = f (x1 , ..., xn )

9. Отрицания клуб) 20.11.2011 10 / 27



gf (x1 , ..., xn , ¬x1 , ..., ¬xn ) = f (x1 , ..., xn )

n
⋀︀
Обозначив y = (¬x1 , ..., ¬xn ), получим, что ��(x, y ) = (xi ∨ ¬xi ) = 1,
i=1
n
⋁︀
а ��(x, y ) = (xi ∧ ¬xi ) = 0
i=1
Откуда:
gf = f ∧ 1 ∨ 0 = f

9. Отрицания клуб) 20.11.2011 10 / 27



9. Отрицания клуб) 20.11.2011 11 / 27


1) Неравенство C (f ) ≤ C+ (gf ) следует из

gf (x1 , ..., xn , ¬x1 , ..., ¬xn ) = f (x1 , ..., xn )

9. Отрицания клуб) 20.11.2011 11 / 27



gf (x1 , ..., xn , ¬x1 , ..., ¬xn ) = f (x1 , ..., xn )

2) Пусть f = F (x1 , ..., xn , ¬x1 , ..., ¬xn ), размера L.

9. Отрицания клуб) 20.11.2011 11 / 27



gf (x1 , ..., xn , ¬x1 , ..., ¬xn ) = f (x1 , ..., xn )

Заменим (¬x1 , ..., ¬xn ) = (y1 , ..., yn )

9. Отрицания клуб) 20.11.2011 11 / 27



gf (x1 , ..., xn , ¬x1 , ..., ¬xn ) = f (x1 , ..., xn )

Заменим (¬x1 , ..., ¬xn ) = (y1 , ..., yn )
F + = ∧��(x, y )

9. Отрицания клуб) 20.11.2011 11 / 27



gf (x1 , ..., xn , ¬x1 , ..., ¬xn ) = f (x1 , ..., xn )

Заменим (¬x1 , ..., ¬xn ) = (y1 , ..., yn )
F + = ∧��(x, y )
F + = ∨��(x, y )

9. Отрицания клуб) 20.11.2011 11 / 27



gf (x1 , ..., xn , ¬x1 , ..., ¬xn ) = f (x1 , ..., xn )

Заменим (¬x1 , ..., ¬xn ) = (y1 , ..., yn )
F + = ∧��(x, y )
F + = ∨��(x, y )
В итоге получим схему:

F ′ (x, y ) = F (x, y ) ∧ ��(x, y ) ∨ ��(x, y )

размер которой - L + 4n.

9. Отрицания клуб) 20.11.2011 11 / 27


Покажем что F ′ (x, y ) = gf (x, y ).

9. Отрицания клуб) 20.11.2011 12 / 27


От обратного. Допустим что F ′ отличается от gf на некоторых
значениях входных векторов a, b.

9. Отрицания клуб) 20.11.2011 12 / 27


��(a, b) = 0 (else F ′ (x, y ) = 1 = gf (a, b))

9. Отрицания клуб) 20.11.2011 12 / 27


��(a, b) = 0 (else F ′ (x, y ) = 1 = gf (a, b))
��(a, b) = 1 (else значение F ′ (x, y ) = gf (a, b))

9. Отрицания клуб) 20.11.2011 12 / 27


��(a, b) = 0 (else F ′ (x, y ) = 1 = gf (a, b))
Из этих условий следует, что xk = ¬yk

9. Отрицания клуб) 20.11.2011 12 / 27


��(a, b) = 0 (else F ′ (x, y ) = 1 = gf (a, b))
Из этих условий следует, что xk = ¬yk

f (x) = F (x1 , ...xn , ¬x1 , ..., ¬xn ) = F ′ (x, y )

f (x) = gf (x1 , ...xn , ¬x1 , ..., ¬xn ) = gf (x, y ) утв. 10.3

9. Отрицания клуб) 20.11.2011 12 / 27






9. Отрицания клуб) 20.11.2011 13 / 27

Теорема Маркова

9. Отрицания клуб) 20.11.2011 14 / 27

1 Рассматриваются схемы над базисом ∧, ∨, ¬ (не только схемы де
Моргана).

9. Отрицания клуб) 20.11.2011 14 / 27

Моргана).
Инверсионной сложностью I (f ) булевой функции f называют
минимальное число NOT гейтов в любой схеме вычисляющей f

9. Отрицания клуб) 20.11.2011 14 / 27

Моргана).

Цепью увеличивающаяся последовательность
Y = {y 1 < y 2 ... < y k } векторов в {0, 1}n

9. Отрицания клуб) 20.11.2011 14 / 27

Моргана).


Примеры

9. Отрицания клуб) 20.11.2011 14 / 27

Моргана).


Примеры
(0; 0; 0) < (0; 1; 0) < (0; 1; 1);

9. Отрицания клуб) 20.11.2011 14 / 27

Моргана).


Примеры
(0; 0; 0) < (0; 1; 0) < (0; 1; 1); true

9. Отрицания клуб) 20.11.2011 14 / 27

Моргана).


Примеры
(0; 0; 0) < (0; 1; 0) < (0; 1; 1); true
(1; 0; 0) < (1; 1; 0) < (1; 1; 1);

9. Отрицания клуб) 20.11.2011 14 / 27

Моргана).


Примеры
(0; 0; 0) < (0; 1; 0) < (0; 1; 1); true
(1; 0; 0) < (1; 1; 0) < (1; 1; 1); true

9. Отрицания клуб) 20.11.2011 14 / 27

Моргана).


Примеры
(0; 0; 0) < (0; 1; 0) < (0; 1; 1); true
(1; 0; 0) < (1; 1; 0) < (1; 1; 1); true
(1; 0; 0) < (0; 1; 1) < (1; 1; 1);

9. Отрицания клуб) 20.11.2011 14 / 27

Моргана).


Примеры
(0; 0; 0) < (0; 1; 0) < (0; 1; 1); true
(1; 0; 0) < (1; 1; 0) < (1; 1; 1); true
(1; 0; 0) < (0; 1; 1) < (1; 1; 1); false

9. Отрицания клуб) 20.11.2011 14 / 27

Моргана).


Примеры
(0; 0; 0) < (0; 1; 0) < (0; 1; 1); true
(1; 0; 0) < (1; 1; 0) < (1; 1; 1); true
(1; 0; 0) < (0; 1; 1) < (1; 1; 1); false
(1; 0; 1) < (1; 0; 1) < (0; 1; 1);
9. Отрицания клуб) 20.11.2011 14 / 27

Моргана).


Примеры
(0; 0; 0) < (0; 1; 0) < (0; 1; 1); true
(1; 0; 0) < (1; 1; 0) < (1; 1; 1); true
(1; 0; 0) < (0; 1; 1) < (1; 1; 1); false
(1; 0; 1) < (1; 0; 1) < (0; 1; 1); false
9. Отрицания клуб) 20.11.2011 14 / 27

Будем говорить что i является позицией перехода вниз (jump -down
position) функции f на цепи Y = {y 1 < y 2 ... < y k } если f (y i ) = 1, а
f (y i+1 ) = 0

9. Отрицания клуб) 20.11.2011 15 / 27

f (y i+1 ) = 0

Пример
{y1 , y2 , y3 , y4 , y5 , y6 } → f ({y1 , y2 , y3 , y4 , y5 , y6 }) = {0, 1, 0, 1, 1, 0};

9. Отрицания клуб) 20.11.2011 15 / 27

f (y i+1 ) = 0

Пример
{y1 , y2 , y3 , y4 , y5 , y6 } → f ({y1 , y2 , y3 , y4 , y5 , y6 }) = {0, 1, 0, 1, 1, 0};

Обозначим через dY (f ) число всех переходных позиций функции f на
цепи Y

9. Отрицания клуб) 20.11.2011 15 / 27

f (y i+1 ) = 0

Пример
{y1 , y2 , y3 , y4 , y5 , y6 } → f ({y1 , y2 , y3 , y4 , y5 , y6 }) = {0, 1, 0, 1, 1, 0};

Обозначим через dY (f ) число всех переходных позиций функции f на
цепи Y

Обозначим через d (f ) максимальное число всех переходных позиций
функции f на всех цепях Y
9. Отрицания клуб) 20.11.2011 15 / 27


Теорема

d (f ) = 2I (f ) − 1

9. Отрицания клуб) 20.11.2011 16 / 27


Теорема

d (f ) = 2I (f ) − 1

Доказать d (f ) ≤ 2I (f ) − 1

9. Отрицания клуб) 20.11.2011 16 / 27


Теорема

d (f ) = 2I (f ) − 1

Доказать d (f ) ≥ 2I (f ) − 1

9. Отрицания клуб) 20.11.2011 16 / 27


Теорема

d (f ) = 2I (f ) − 1

Доказать d (f ) ≥ 2I (f ) − 1
⇒ d (f ) = 2I (f ) − 1

9. Отрицания клуб) 20.11.2011 16 / 27

Лемма

d (f ) ≤ 2I (f ) − 1

9. Отрицания клуб) 20.11.2011 17 / 27

Лемма

d (f ) ≤ 2I (f ) − 1


9. Отрицания клуб) 20.11.2011 17 / 27

Лемма

d (f ) ≤ 2I (f ) − 1

Индукция по I (f )

9. Отрицания клуб) 20.11.2011 17 / 27

Лемма

d (f ) ≤ 2I (f ) − 1

База индукции I (f ) = 0 (иначе ⇒ f – монотонна ⇒ d (f ) = 0 )

9. Отрицания клуб) 20.11.2011 17 / 27

Лемма

d (f ) ≤ 2I (f ) − 1

Индукционное предположение:

d (g ) ≤ 2I (g ) − 1

содержит все булевы функции, для которых I (g ) ≤ I (f ) − 1

9. Отрицания клуб) 20.11.2011 17 / 27

Лемма

d (f ) ≤ 2I (f ) − 1


d (g ) ≤ 2I (g ) − 1

В любой схеме есть NOT гейт чей вход не зависит от значения
другого NOT гейта.

9. Отрицания клуб) 20.11.2011 17 / 27

Лемма

d (f ) ≤ 2I (f ) − 1


d (g ) ≤ 2I (g ) − 1

В любой схеме есть NOT гейт чей вход не зависит от значения
другого NOT гейта.
⇒ f = g (¬h(x), x) где I (g ) = I (f ) − 1 и I (h) = 0
9. Отрицания клуб) 20.11.2011 17 / 27


9. Отрицания клуб) 20.11.2011 18 / 27

Фиксируем цепь Y = {y 1 < ... < y k } для которой dY (f ) = d (f )

9. Отрицания клуб) 20.11.2011 18 / 27

Т.к I (h) = 0 ⇒ ∃ 1 ≤ l ≤ k : h = 0 ∀ Y = {y 1 < .. < y l }, h =
1 ∀ Y1 = Y ∖Y0

9. Отрицания клуб) 20.11.2011 18 / 27

Т.к I (h) = 0 ⇒ ∃ 1 ≤ l ≤ k : h = 0 ∀ Y = {y 1 < .. < y l }, h =
1 ∀ Y1 = Y ∖Y0
Пусть gi := g (¬i, x), i = 0, 1

9. Отрицания клуб) 20.11.2011 18 / 27

Т.к I (h) = 0 ⇒ ∃ 1 ≤ l ≤ k : h = 0 ∀ Y = {y 1 < .. < y l }, h =
1 ∀ Y1 = Y ∖Y0
Пусть gi := g (¬i, x), i = 0, 1
I (gi ) I (g ) I (f ) − 1 ⇒ по гипотизе индукции dX (gi )
2I (gi ) − 1 ∀ цепи Х

9. Отрицания клуб) 20.11.2011 18 / 27

Т.к I (h) = 0 ⇒ ∃ 1 ≤ l ≤ k : h = 0 ∀ Y = {y 1 < .. < y l }, h =
1 ∀ Y1 = Y ∖Y0
Пусть gi := g (¬i, x), i = 0, 1
2I (gi ) − 1 ∀ цепи Х
В том числе и для цепей Y0 , Y1 :

dY0 (f ) = dY0 (g0 ) ≤ 2I (g0 ) − 1 ≤ 2I (f )−1 − 1
dY1 (f ) = dY1 (g1 ) ≤ 2I (g1 ) − 1 ≤ 2I (f )−1 − 1

9. Отрицания клуб) 20.11.2011 18 / 27

Т.к I (h) = 0 ⇒ ∃ 1 ≤ l ≤ k : h = 0 ∀ Y = {y 1 < .. < y l }, h =
1 ∀ Y1 = Y ∖Y0
Пусть gi := g (¬i, x), i = 0, 1
2I (gi ) − 1 ∀ цепи Х
В том числе и для цепей Y0 , Y1 :

dY0 (f ) = dY0 (g0 ) ≤ 2I (g0 ) − 1 ≤ 2I (f )−1 − 1
dY1 (f ) = dY1 (g1 ) ≤ 2I (g1 ) − 1 ≤ 2I (f )−1 − 1

d (f ) = dY (f ) ≤ dY0 (f ) + dY1 (f ) + 1 ≤ 2I (f )−1

9. Отрицания клуб) 20.11.2011 18 / 27


Лемма

d (f ) ≥ 2I (f ) − 1

9. Отрицания клуб) 20.11.2011 19 / 27






9. Отрицания клуб) 20.11.2011 20 / 27

Формулы и NOT гейтов

9. Отрицания клуб) 20.11.2011 21 / 27


Формула - схема, соответствующий граф которой является деревом.

9. Отрицания клуб) 20.11.2011 21 / 27



Инверсионной сложностью IF (f ) булевой функции f в классе формул
называют минимальное число NOT гейтов входящих в формулу для f

9. Отрицания клуб) 20.11.2011 21 / 27




Теорема

IF (f ) = d (f )

9. Отрицания клуб) 20.11.2011 21 / 27




Теорема

IF (f ) = d (f )

IF (f ) ≥ d (f ) +

9. Отрицания клуб) 20.11.2011 21 / 27




Теорема

IF (f ) = d (f )

IF (f ) ≥ d (f ) + IF (f ) ≤ d (f )

9. Отрицания клуб) 20.11.2011 21 / 27




Теорема

IF (f ) = d (f )

IF (f ) ≥ d (f ) + IF (f ) ≤ d (f )⇒ d (f ) = 2I (f ) − 1

9. Отрицания клуб) 20.11.2011 21 / 27

Формулы и NOT гейт

Лемма

IF (f ) ≥ d (f )

9. Отрицания клуб) 20.11.2011 22 / 27


Лемма

IF (f ) ≥ d (f )


9. Отрицания клуб) 20.11.2011 22 / 27


Лемма

IF (f ) ≥ d (f )

Пусть C – формула для f .

9. Отрицания клуб) 20.11.2011 22 / 27


Лемма

IF (f ) ≥ d (f )

Зафиксируем цепь Y = {y 1 < ... < y k } для которой dY (f ) = d (f )

9. Отрицания клуб) 20.11.2011 22 / 27


Лемма

IF (f ) ≥ d (f )

Хотим показать - dY (f ) ≤ IF (C )

9. Отрицания клуб) 20.11.2011 22 / 27


Лемма

IF (f ) ≥ d (f )

1) dY (f ∧ g ) ≤ dY (f ) + dY (g )

9. Отрицания клуб) 20.11.2011 22 / 27


Лемма

IF (f ) ≥ d (f )

1) dY (f ∧ g ) ≤ dY (f ) + dY (g )
2) dY (f ∨ g ) ≤ dY (f ) + dY (g )

9. Отрицания клуб) 20.11.2011 22 / 27


Лемма

IF (f ) ≥ d (f )

1) dY (f ∧ g ) ≤ dY (f ) + dY (g )
2) dY (f ∨ g ) ≤ dY (f ) + dY (g )
3) dY (¬f ) ≤ dY (f ) + 1

9. Отрицания клуб) 20.11.2011 22 / 27






9. Отрицания клуб) 20.11.2011 23 / 27

Теорема Фишера

9. Отрицания клуб) 20.11.2011 24 / 27

Теорема
Если функция от n переменных может быть вычислена схемой над
базисом {∨, ∧, ¬} размером t, тогда она может быть вычислена
схемой, размер которой не более чем 2t + O(n2 log 2 n) используя не
более чем ⌈log (n + 1)⌉ NOT гейтов.

9. Отрицания клуб) 20.11.2011 24 / 27

Теорема


9. Отрицания клуб) 20.11.2011 24 / 27

Теорема

Любую схему размера t можно свести к схеме де Моргана
размера 2t

9. Отрицания клуб) 20.11.2011 24 / 27

Теорема

размера 2t
Достаточно показать как вычислить функцию

INVn (x1 , ..., xn ) = (¬x1 , ..., ¬xn )

схемой O(n2 log 2 (n)) используя M(n) = ⌈log (n + 1)⌉ отрицаний.

9. Отрицания клуб) 20.11.2011 24 / 27

Теорема

размера 2t
Достаточно показать как вычислить функцию

INVn (x1 , ..., xn ) = (¬x1 , ..., ¬xn )

схемой O(n2 log 2 (n)) используя M(n) = ⌈log (n + 1)⌉ отрицаний.
Для векторов, содержащих ровно k единиц, отрицание i-го бита -
¬xi можно заменить пороговой функцией
9. Отрицания клуб) 20.11.2011 24 / 27

Формулы и NOT гейты


9. Отрицания клуб) 20.11.2011 25 / 27


Для остальных векторов вычисление ¬xi ведётся по формуле:
n
⋁︁
fi (x) = (¬Thk (x) ∨ Thk (x − xi ))
k=1

9. Отрицания клуб) 20.11.2011 25 / 27


n
⋁︁
fi (x) = (¬Thk (x) ∨ Thk (x − xi ))
k=1

Известно что все функции Thk (x) и Thk (x − xi ) можно вычислить
монотонной схемой с размером O(n2 log 2 (n))

9. Отрицания клуб) 20.11.2011 25 / 27


n
⋁︁
fi (x) = (¬Thk (x) ∨ Thk (x − xi ))
k=1

Известно что все функции Thk (x) и Thk (x − xi ) можно вычислить
монотонной схемой с размером O(n2 log 2 (n))
Остаётся вычислить функцию:

¬T (x) = (¬Th1 (x), ..., ¬Thn (x))

используя не более ⌈log (n + 1)⌉ отрицаний.

9. Отрицания клуб) 20.11.2011 25 / 27


Сперва возьмём схему C1 (x) которая вычисляет:

T (x) = (Th1 (x), ..., Thn (x))

9. Отрицания клуб) 20.11.2011 26 / 27



T (x) = (Th1 (x), ..., Thn (x))

Полученный вектор от функции T (x) входит в множество

Asort = {1i 0n−i , i = 1, 2, ..., n}

9. Отрицания клуб) 20.11.2011 26 / 27



T (x) = (Th1 (x), ..., Thn (x))


Asort = {1i 0n−i , i = 1, 2, ..., n}

Используя только M(n) отрицаний можно построить схему C2 (y )
размера O(n), которая вычисляет функцию INVn (y ) для всех
векторов из Asort

9. Отрицания клуб) 20.11.2011 26 / 27



T (x) = (Th1 (x), ..., Thn (x))


Asort = {1i 0n−i , i = 1, 2, ..., n}

Используя только M(n) отрицаний можно построить схему C2 (y )
размера O(n), которая вычисляет функцию INVn (y ) для всех
векторов из Asort
Т.о схема C (x) = C2 (C1 (x)) = ¬T (x)

9. Отрицания клуб) 20.11.2011 26 / 27

Спасибо за внимание!

9. Отрицания клуб) 20.11.2011 27 / 27

20111120 circuit complexity_seminar_lecture09_alexeenko

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Viewers also liked

Viewers also liked (20)

Similar to 20111120 circuit complexity_seminar_lecture09_alexeenko

Similar to 20111120 circuit complexity_seminar_lecture09_alexeenko (20)

More from Computer Science Club

More from Computer Science Club (20)

20111120 circuit complexity_seminar_lecture09_alexeenko