20131006 h10 lecture3_matiyasevich

457 views

Published on

0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total views
457
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
137
Actions
Shares
0
Downloads
3
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

20131006 h10 lecture3_matiyasevich

  1. 1. Что можно делать с вещественными числами и нельзя делать с целыми числами Ю. В. Матиясевич Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова РАН http://logic.pdmi.ras.ru/~yumat
  2. 2. Что можно делать с вещественными числами и нельзя делать с целыми числами Ю. В. Матиясевич Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова РАН http://logic.pdmi.ras.ru/~yumat
  3. 3. Что можно делать с вещественными числами и нельзя делать с целыми числами Часть 2. Десятая проблема Гильберта Третья лекция Ю. В. Матиясевич Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова РАН http://logic.pdmi.ras.ru/~yumat
  4. 4. Теорема Куммера m+n m = Cm m+n
  5. 5. Теорема Куммера m+n m = Cm m+n = (m + n)! m!n!
  6. 6. Теорема Куммера m+n m = Cm m+n = (m + n)! m!n! = 2α2 (m,n) 3α3 (m,n) . . . p αp (m,n) . . .
  7. 7. Теорема Куммера m+n m = Cm m+n = (m + n)! m!n! = 2α2 (m,n) 3α3 (m,n) . . . p αp (m,n) . . . Теорема (Ernst Eduard Kummer [1852]). Запишем числа m и n в позиционной системе счисления с основанием p и сложим их «в столбик»;
  8. 8. Теорема Куммера m+n m = Cm m+n = (m + n)! m!n! = 2α2 (m,n) 3α3 (m,n) . . . p αp (m,n) . . . Теорема (Ernst Eduard Kummer [1852]). Запишем числа m и n в позиционной системе счисления с основанием p и сложим их «в столбик»; αp (m, n) равно количеству переносов из разряда в разряд при этом сложении.
  9. 9. Теорема Куммера m+n m = (m + n)! m!n! = 2α2 (m,n) 3α3 (m,n) . . . p αp (m,n) . . .
  10. 10. Теорема Куммера m+n m = (m + n)! m!n! = 2α2 (m,n) 3α3 (m,n) . . . p αp (m,n) . . . k! = 2β2 (k) 3β3 (k) . . . p βp (k) . . .
  11. 11. Теорема Куммера m+n m = (m + n)! m!n! = 2α2 (m,n) 3α3 (m,n) . . . p αp (m,n) . . . k! = 2β2 (k) 3β3 (k) . . . p βp (k) . . . αp (m, n) = βp (m + n) − βp (m) − βp (n)
  12. 12. Теорема Куммера k! = 1 · 2 · 3 · · · k = 2β2 (k) 3β3 (k) . . . p βp (k) . . .
  13. 13. Теорема Куммера k! = 1 · 2 · 3 · · · k = 2β2 (k) 3β3 (k) . . . p βp (k) . . . p, 2p, 3p, . . . ,
  14. 14. Теорема Куммера k! = 1 · 2 · 3 · · · k = 2β2 (k) 3β3 (k) . . . p βp (k) . . . p, 2p, 3p, . . . , k p p
  15. 15. Теорема Куммера k! = 1 · 2 · 3 · · · k = 2β2 (k) 3β3 (k) . . . p βp (k) . . . Имеется k p чисел кратных p: p, 2p, 3p, . . . , k p p
  16. 16. Теорема Куммера k! = 1 · 2 · 3 · · · k = 2β2 (k) 3β3 (k) . . . p βp (k) . . . Имеется Имеется k k чисел кратных p: p, 2p, 3p, . . . , p p p k k чисел кратных p 2 : p 2 , 2p 2 , 3p 2 , . . . , 2 p 2 2 p p
  17. 17. Теорема Куммера k! = 1 · 2 · 3 · · · k = 2β2 (k) 3β3 (k) . . . p βp (k) . . . Имеется Имеется Имеется k k чисел кратных p: p, 2p, 3p, . . . , p p p k k чисел кратных p 2 : p 2 , 2p 2 , 3p 2 , . . . , 2 p 2 2 p p k k чисел кратных p 3 : p 3 , 2p 3 , 3p 3 , . . . , 3 p 3 3 p p
  18. 18. Теорема Куммера k! = 1 · 2 · 3 · · · k = 2β2 (k) 3β3 (k) . . . p βp (k) . . . Имеется Имеется Имеется . . . k k чисел кратных p: p, 2p, 3p, . . . , p p p k k чисел кратных p 2 : p 2 , 2p 2 , 3p 2 , . . . , 2 p 2 2 p p k k чисел кратных p 3 : p 3 , 2p 3 , 3p 3 , . . . , 3 p 3 3 p p
  19. 19. Теорема Куммера k! = 1 · 2 · 3 · · · k = 2β2 (k) 3β3 (k) . . . p βp (k) . . . Имеется Имеется Имеется k k чисел кратных p: p, 2p, 3p, . . . , p p p k k чисел кратных p 2 : p 2 , 2p 2 , 3p 2 , . . . , 2 p 2 2 p p k k чисел кратных p 3 : p 3 , 2p 3 , 3p 3 , . . . , 3 p 3 3 p p . . . βp (k) = k k k + 2 + 3 + ... p p p
  20. 20. Теорема Куммера m+n m = (m + n)! m!n! = 2α2 (m,n) 3α3 (m,n) . . . p αp (m,n) . . .
  21. 21. Теорема Куммера m+n m = (m + n)! m!n! = 2α2 (m,n) 3α3 (m,n) . . . p αp (m,n) . . . k! = 2β2 (k) 3β3 (k) . . . p βp (k) . . .
  22. 22. Теорема Куммера m+n m = (m + n)! m!n! = 2α2 (m,n) 3α3 (m,n) . . . p αp (m,n) . . . k! = 2β2 (k) 3β3 (k) . . . p βp (k) . . .
  23. 23. Теорема Куммера m+n m = (m + n)! m!n! = 2α2 (m,n) 3α3 (m,n) . . . p αp (m,n) . . . k! = 2β2 (k) 3β3 (k) . . . p βp (k) . . . αp (m, n) = βp (m + n) − βp (m) − βp (n)
  24. 24. Теорема Куммера m+n m = (m + n)! m!n! = 2α2 (m,n) 3α3 (m,n) . . . p αp (m,n) . . . k! = 2β2 (k) 3β3 (k) . . . p βp (k) . . . αp (m, n) = βp (m + n) − βp (m) − βp (n) m+n m+n m+n = + + + ... p p2 p3 m m m − − 2 − 3 − ... p p p n n n − − 2 − 3 − ... p p p
  25. 25. Теорема Куммера αp (m, n) = βp (m + n) − βp (m) − βp (n) m+n m+n m+n + + + ... = 2 p p p3 m m m − − 2 − 3 − ... p p p n n n − − 2 − 3 − ... p p p
  26. 26. Теорема Куммера αp (m, n) = βp (m + n) − βp (m) − βp (n) m+n m+n m+n + + + ... = 2 p p p3 m m m − − 2 − 3 − ... p p p n n n − − 2 − 3 − ... p p p m+n m n m+n m n = − − + − 2 − 2 p p p p2 p p m+n m n + − 3 − 3 + ... 3 p p p +
  27. 27. Теорема Куммера m m+n − k k p p − n pk = 1, если есть перенос 0, если нет переноса
  28. 28. Теорема Куммера m m+n − k k p p m= n= m+n = r j j=0 mj p r j j=0 nj p r j j=0 j p − n pk = = = mr nr m/p k = n/p k = (m + n)/p k = mr nr r r = 1, если есть перенос 0, если нет переноса ... ... ... mk nk mk−1 nk−1 k k−1 ... ... ... mk nk k ... ... ... m0 n0 0
  29. 29. Теорема Куммера αp (m, n) = βp (m + n) − βp (m) − βp (n) m+n m+n m+n + + + ... = 2 p p p3 m m m − − 2 − 3 − ... p p p n n n − − 2 − 3 − ... p p p
  30. 30. Теорема Куммера αp (m, n) = βp (m + n) − βp (m) − βp (n) m+n m+n m+n + + + ... = 2 p p p3 m m m − − 2 − 3 − ... p p p n n n − − 2 − 3 − ... p p p m+n m n m+n m n = − − + − 2 − 2 p p p p2 p p m+n m n + − 3 − 3 + ... 3 p p p +
  31. 31. Следствия теоремы Куммера
  32. 32. Следствия теоремы Куммера Лемма. При сложении чисел a и b в двоичной системе счисления не проиходит ни одного переноса из разряд в разряд в том и только том случае, когда биномиальный коэффициент a+b явлется нечетным a
  33. 33. Следствия теоремы Куммера Лемма. При сложении чисел a и b в двоичной системе счисления не проиходит ни одного переноса из разряд в разряд в том и только том случае, когда биномиальный коэффициент a+b явлется нечетным, то есть существует натуральное число a d такое, что a+b = 2d + 1. a
  34. 34. Следствия теоремы Куммера Лемма. При сложении чисел a и b в двоичной системе счисления не проиходит ни одного переноса из разряд в разряд в том и только том случае, когда биномиальный коэффициент a+b явлется нечетным, то есть существует натуральное число a d такое, что a+b = 2d + 1. a a Лемма. Биномиальный коэффициент b явлется нечетным тогда и только тогда, когда каждый двочный разряд числа a не меньше соответствующего двоичного разряда числа b: ∞ ∞ ak 2 k a= k=0 bk 2k b= k=0 ak ≥ b k
  35. 35. Следствия теоремы Куммера Лемма. При сложении чисел a и b в двоичной системе счисления не проиходит ни одного переноса из разряд в разряд в том и только том случае, когда биномиальный коэффициент a+b явлется нечетным, то есть существует натуральное число a d такое, что a+b = 2d + 1. a a Лемма. Биномиальный коэффициент b явлется нечетным тогда и только тогда, когда каждый двочный разряд числа a не меньше соответствующего двоичного разряда числа b: ∞ ∞ ak 2 k a= bk 2k b= k=0 k=0 a b = b + (a − b) b ak ≥ b k
  36. 36. Поразрядное умножение ∞ ∞ k ak 2 a= k=0 ∞ bk 2 b= k=0 k ck 2k c= k=0
  37. 37. Поразрядное умножение ∞ ∞ k ak 2 a= a b c ... ... ... bk 2 b= k=0 ∞ k k=0 0 0 0 ... ... ... 0 1 0 ck 2k c= k=0 ... ... ... 1 0 0 ... ... ... 1 1 1 ... ... ...
  38. 38. Поразрядное умножение ∞ ∞ k ak 2 a= a b c a−c b−c c = a&b ... ... ... ... ... bk 2 b= k=0 ∞ k k=0 0 0 0 0 0 ... ... ... ... ... 0 1 0 0 1 ck 2k c= k=0 ... ... ... ... ... 1 0 0 1 0 ... ... ... ... ... 1 1 1 0 0 ... ... ... ... ...
  39. 39. Поразрядное умножение ∞ ∞ k ak 2 a= a b c a−c b−c c = a&b ... ... ... ... ... bk 2 b= k=0 ∞ k k=0 0 0 0 0 0 ... ... ... ... ... 0 1 0 0 1 ck 2k c= k=0 ... ... ... ... ... 1 0 0 1 0 ... ... ... ... ... 1 1 1 0 0 ... ... ... ... ...
  40. 40. Поразрядное умножение ∞ ∞ k ak 2 a= a b c a−c b−c c = a&b =⇒ bk 2 b= k=0 ∞ k k=0 ... ... ... ... ... a c 0 0 0 0 0 ... ... ... ... ... нечетн. 0 1 0 0 1 ck 2k c= k=0 ... ... ... ... ... 1 0 0 1 0 ... ... ... ... ... 1 1 1 0 0 ... ... ... ... ...
  41. 41. Поразрядное умножение ∞ ∞ k ak 2 a= a b c a−c b−c c = a&b =⇒ bk 2 b= k=0 ∞ k k=0 ... ... ... ... ... a c 0 0 0 0 0 ... ... ... ... ... 0 1 0 0 1 нечетн. ∧ ck 2k c= k=0 ... ... ... ... ... b c 1 0 0 1 0 ... ... ... ... ... нечетн. 1 1 1 0 0 ... ... ... ... ...
  42. 42. Поразрядное умножение ∞ ∞ k ak 2 a= a b c a−c b−c c = a&b =⇒ bk 2 b= k=0 ∞ k k=0 ... ... ... ... ... a c 0 0 0 0 0 ... ... ... ... ... 0 1 0 0 1 ck 2k c= k=0 ... ... ... ... ... 1 0 0 1 0 ... ... ... ... ... 1 1 1 0 0 b нечетн. ∧ c (a − c) + (b − c) ∧ a−c ... ... ... ... ... нечетн. ∧ нечетн.
  43. 43. Поразрядное умножение ∞ ∞ k ak 2 a= a b c a−c b−c c = a&b =⇒ bk 2 b= k=0 ∞ k k=0 ... ... ... ... ... a c 0 0 0 0 0 ... ... ... ... ... 0 1 0 0 1 ck 2k c= k=0 ... ... ... ... ... 1 0 0 1 0 ... ... ... ... ... 1 1 1 0 0 b нечетн. ∧ c (a − c) + (b − c) ∧ a−c ... ... ... ... ... нечетн. ∧ нечетн.
  44. 44. Поразрядное умножение ∞ ∞ k ak 2 a= a b c a−c b−c c = a&b ⇐= bk 2 b= k=0 ∞ k k=0 ... ... ... ... ... a c 0 0 0 0 0 ... ... ... ... ... 0 1 0 0 1 ck 2k c= k=0 ... ... ... ... ... 1 0 0 1 0 ... ... ... ... ... 1 1 1 0 0 b нечетн. ∧ c (a − c) + (b − c) ∧ a−c ... ... ... ... ... нечетн. ∧ нечетн.
  45. 45. Поразрядное умножение ∞ ∞ k ak 2 a= a b c a−c b−c c = a&b ⇐⇒ bk 2 b= k=0 ∞ k k=0 ... ... ... ... ... a c 0 0 0 0 0 ... ... ... ... ... 0 1 0 0 1 нечетн. ∧ ∧ ck 2k c= k=0 ... ... ... ... ... 1 0 0 1 0 ... ... ... ... ... 1 1 1 0 0 b нечетн. ∧ c (a − c) + (b − c) a−c ... ... ... ... ... нечетн.
  46. 46. Биномиальные коэффициенты
  47. 47. Биномиальные коэффициенты (1 + u)m = m m m m u + u m−1 + u m−2 + m m−1 m−2 m n m m + ··· + u + ··· + u+ n 1 0
  48. 48. Биномиальные коэффициенты (1 + u)m = m m m m u + u m−1 + u m−2 + m m−1 m−2 m n m m + ··· + u + ··· + u+ n 1 0 2m = m m m + ··· + + ··· + 0 n m
  49. 49. Биномиальные коэффициенты (1 + u)m = m m m m u + u m−1 + u m−2 + m m−1 m−2 m n m m + ··· + u + ··· + u+ n 1 0 2m = c= m n ⇐⇒ m m m + ··· + + ··· + 0 n m ∃upq{(1 + u)m = pu n+1 + cu n + q ∧ c < u ∧ q < u n−1 ∧ u > 2m }
  50. 50. Гипотеза Martin’a Davis’а (=DPRM-теорема) Гипотеза M. Davis’а (DPRM-теорема). Каждое перечислимое множество является диофантовым.
  51. 51. Гипотеза Martin’a Davis’а (=DPRM-теорема) Гипотеза M. Davis’а (DPRM-теорема). Каждое перечислимое множество является диофантовым. Теорема (Davis-Putnam-Robinson [1961]). Каждое перечислимое множество M имеет экспоненциально диофантово представление a1 , . . . , an ∈ M ⇐⇒ ⇐⇒ ∃x1 . . . xm {EL (a1 , . . . , an , x1 , x2 , . . . , xm ) = = ER (a1 , . . . , an , x1 , x2 , . . . , xm )}
  52. 52. Гипотеза Martin’a Davis’а (=DPRM-теорема) Гипотеза M. Davis’а (DPRM-теорема). Каждое перечислимое множество является диофантовым. Теорема (Davis-Putnam-Robinson [1961]). Каждое перечислимое множество M имеет экспоненциально диофантово представление a1 , . . . , an ∈ M ⇐⇒ ⇐⇒ ∃x1 . . . xm {EL (a1 , . . . , an , x1 , x2 , . . . , xm ) = = ER (a1 , . . . , an , x1 , x2 , . . . , xm )} a = b c ⇐⇒ ∃x1 . . . xm {P(a, b, c, x1 , . . . , xm ) = 0}
  53. 53. Рекуррентные последовательности второго порядка βb (0) = 1 βb (n + 1) = bβb (n)
  54. 54. Рекуррентные последовательности второго порядка βb (0) = 1 αb (0) = 0 αb (1) = 1 βb (n + 1) = bβb (n) αb (n+2) = bαb (n+1)−αb (n) b≥2
  55. 55. Рекуррентные последовательности второго порядка βb (0) = 1 αb (0) = 0 αb (1) = 1 βb (n + 1) = bβb (n) αb (n+2) = bαb (n+1)−αb (n) 0 < 1 < αb (2) < · · · < αb (n) < αb (n + 1) < . . . b≥2
  56. 56. Рекуррентные последовательности второго порядка α2 (0), α2 (1), . . . , α2 (n), . . .
  57. 57. Рекуррентные последовательности второго порядка α2 (0), α2 (1), . . . , α2 (n), . . .
  58. 58. Рекуррентные последовательности второго порядка α2 (0), α2 (1), . . . , α2 (n), . . . 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .
  59. 59. Рекуррентные последовательности второго порядка α2 (0), α2 (1), . . . , α2 (n), . . . 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . . α2 (n + 2) = 2α2 (n + 1) − α2 (n)
  60. 60. Рекуррентные последовательности второго порядка α2 (0), α2 (1), . . . , α2 (n), . . . 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . . α2 (n + 2) = 2α2 (n + 1) − α2 (n) = 2(n + 1) − n
  61. 61. Рекуррентные последовательности второго порядка α2 (0), α2 (1), . . . , α2 (n), . . . 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . . α2 (n + 2) = 2α2 (n + 1) − α2 (n) = 2(n + 1) − n = n+2
  62. 62. Диофантовость последовательности αb (k) Основная лемма. Существует многочлен Q(x, b, k, x1 , . . . , xm ) такой что b ≥ 4 & x = αb (k) ⇐⇒ ∃x1 . . . xm {Q(x, b, k, x1 , . . . , xm ) = 0}
  63. 63. Диофантовость последовательности αb (k) Основная лемма. Существует многочлен Q(x, b, k, x1 , . . . , xm ) такой что b ≥ 4 & x = αb (k) ⇐⇒ ∃x1 . . . xm {Q(x, b, k, x1 , . . . , xm ) = 0}
  64. 64. Скорость роста αb (0) = 0 αb (1) = 1 αb (n+2) = bαb (n+1)−αb (n) b≥2
  65. 65. Скорость роста αb (0) = 0 αb (1) = 1 αb (n+2) = bαb (n+1)−αb (n) (b − 1)αb (n + 1) ≤ αb (n + 2) ≤ bαb (n + 1) b≥2
  66. 66. Скорость роста αb (0) = 0 αb (1) = 1 αb (n+2) = bαb (n+1)−αb (n) (b − 1)αb (n + 1) ≤ αb (n + 2) ≤ bαb (n + 1) (b − 1)n ≤ αb (n + 1) ≤ b n b≥2
  67. 67. От α к β (b − 1)n ≤ αb (n + 1) ≤ b n
  68. 68. От α к β (b − 1)n ≤ αb (n + 1) ≤ b n b n ≤ αb+1 (n + 1) ≤ (b + 1)n
  69. 69. От α к β (b − 1)n ≤ αb (n + 1) ≤ b n b n ≤ αb+1 (n + 1) ≤ (b + 1)n (b − 1)n ≤ αb (n + 1) ≤ b n ≤ αb+1 (n + 1) ≤ (b + 1)n
  70. 70. От α к β (b − 1)n ≤ αb (n + 1) ≤ b n b n ≤ αb+1 (n + 1) ≤ (b + 1)n (b − 1)n ≤ αb (n + 1) ≤ b n ≤ αb+1 (n + 1) ≤ (b + 1)n (bd − 1)n ≤ αbd (n + 1) ≤ (bd)n ≤ αbd+1 (n + 1) ≤ (bd + 1)n
  71. 71. От α к β (b − 1)n ≤ αb (n + 1) ≤ b n b n ≤ αb+1 (n + 1) ≤ (b + 1)n (b − 1)n ≤ αb (n + 1) ≤ b n ≤ αb+1 (n + 1) ≤ (b + 1)n (bd − 1)n ≤ αbd (n + 1) ≤ (bd)n ≤ αbd+1 (n + 1) ≤ (bd + 1)n (d − 1)n ≤ αd (n + 1) ≤ d n ≤ αd+1 (n + 1) ≤ (d + 1)n
  72. 72. От α к β (b − 1)n ≤ αb (n + 1) ≤ b n b n ≤ αb+1 (n + 1) ≤ (b + 1)n (b − 1)n ≤ αb (n + 1) ≤ b n ≤ αb+1 (n + 1) ≤ (b + 1)n (bd − 1)n ≤ αbd (n + 1) ≤ (bd)n ≤ αbd+1 (n + 1) ≤ (bd + 1)n (d − 1)n ≤ αd (n + 1) ≤ d n ≤ αd+1 (n + 1) ≤ (d + 1)n bd − 1 d +1 n αbd (n + 1) αbd+1 (n + 1) ≤ bn ≤ ≤ ≤ αd+1 (n + 1) αd (n + 1) bd + 1 d −1 n
  73. 73. От α к β bd − 1 d +1 n ≤ αbd (n + 1) αbd+1 (n + 1) ≤ bn ≤ ≤ αd+1 (n + 1) αd (n + 1) bd + 1 d −1 n
  74. 74. От α к β bd − 1 d +1 n ≤ αbd (n + 1) αbd+1 (n + 1) ≤ bn ≤ ≤ αd+1 (n + 1) αd (n + 1) bd + 1 d −1 n a = b n ⇐⇒ ⇐⇒ ∃d αbd (n + 1) αbd+1 (n + 1) αbd (n + 1) 1 ≤a≤ ≤ + αd+1 (n + 1) αd (n + 1) αd+1 (n + 1) 2
  75. 75. Матричное представление αb (0) = 0 αb (1) = 1 αb (n + 2) = bαb (n + 1) − αb (n)
  76. 76. Матричное представление αb (0) = 0 αb (1) = 1 αb (n + 2) = bαb (n + 1) − αb (n) Ab (n) = αb (n + 1) −αb (n) αb (n) −αb (n − 1)
  77. 77. Матричное представление αb (0) = 0 αb (1) = 1 αb (n + 2) = bαb (n + 1) − αb (n) Ab (n) = αb (n + 1) −αb (n) αb (n) −αb (n − 1) Ab (n + 1) = Ab (n)Ψb
  78. 78. Матричное представление αb (0) = 0 αb (1) = 1 αb (n + 2) = bαb (n + 1) − αb (n) Ab (n) = αb (n + 1) −αb (n) αb (n) −αb (n − 1) Ab (n + 1) = Ab (n)Ψb Ψb = b −1 1 0
  79. 79. Матричное представление αb (0) = 0 αb (1) = 1 αb (n + 2) = bαb (n + 1) − αb (n) Ab (n) = αb (n + 1) −αb (n) αb (n) −αb (n − 1) Ab (n + 1) = Ab (n)Ψb Ψb = b −1 1 0
  80. 80. Матричное представление αb (0) = 0 αb (1) = 1 αb (n + 2) = bαb (n + 1) − αb (n) Ab (n) = αb (n + 1) −αb (n) αb (n) −αb (n − 1) Ab (n + 1) = Ab (n)Ψb Ψb = b −1 1 0 Ab (n) = Ψn
  81. 81. Характеристическое уравнение 2 det(Ab (n)) = αb (n) − αb (n + 1)αb (n − 1)
  82. 82. Характеристическое уравнение 2 det(Ab (n)) = αb (n) − αb (n + 1)αb (n − 1) 2 2 = αb (n + 1) − bαb (n + 1)αb (n) + αb (n)
  83. 83. Характеристическое уравнение 2 det(Ab (n)) = αb (n) − αb (n + 1)αb (n − 1) 2 2 = αb (n + 1) − bαb (n + 1)αb (n) + αb (n) 2 2 = αb (n − 1) − bαb (n − 1)αb (n) + αb (n) = det(Ψn ) b
  84. 84. Характеристическое уравнение 2 det(Ab (n)) = αb (n) − αb (n + 1)αb (n − 1) 2 2 = αb (n + 1) − bαb (n + 1)αb (n) + αb (n) 2 2 = αb (n − 1) − bαb (n − 1)αb (n) + αb (n) = det(Ψn ) b = (det Ψb )n
  85. 85. Характеристическое уравнение 2 det(Ab (n)) = αb (n) − αb (n + 1)αb (n − 1) 2 2 = αb (n + 1) − bαb (n + 1)αb (n) + αb (n) 2 2 = αb (n − 1) − bαb (n − 1)αb (n) + αb (n) = det(Ψn ) b = (det Ψb )n
  86. 86. Характеристическое уравнение 2 det(Ab (n)) = αb (n) − αb (n + 1)αb (n − 1) 2 2 = αb (n + 1) − bαb (n + 1)αb (n) + αb (n) 2 2 = αb (n − 1) − bαb (n − 1)αb (n) + αb (n) = det(Ψn ) b = (det Ψb )n
  87. 87. Характеристическое уравнение 2 det(Ab (n)) = αb (n) − αb (n + 1)αb (n − 1) 2 2 = αb (n + 1) − bαb (n + 1)αb (n) + αb (n) 2 2 = αb (n − 1) − bαb (n − 1)αb (n) + αb (n) = det(Ψn ) b = (det Ψb )n = 1
  88. 88. Характеристическое уравнение 2 det(Ab (n)) = αb (n) − αb (n + 1)αb (n − 1) 2 2 = αb (n + 1) − bαb (n + 1)αb (n) + αb (n) 2 2 = αb (n − 1) − bαb (n − 1)αb (n) + αb (n) = det(Ψn ) b = (det Ψb )n = 1 x 2 − bxy + y 2 = 1
  89. 89. Характеристическое уравнение 2 det(Ab (n)) = αb (n) − αb (n + 1)αb (n − 1) 2 2 = αb (n + 1) − bαb (n + 1)αb (n) + αb (n) 2 2 = αb (n − 1) − bαb (n − 1)αb (n) + αb (n) = det(Ψn ) b = (det Ψb )n = 1 x 2 − bxy + y 2 = 1 x = αb (n + 1) y = αb (n) x = αb (n − 1) y = αb (n)
  90. 90. Характеристическое уравнение Лемма. Если x 2 − bxy + y 2 = 1, то найдется число n такое, что x = αb (n + 1) y = αb (n) или же x = αb (n) y = αb (n + 1)
  91. 91. Характеристическое уравнение Лемма. Если x 2 − bxy + y 2 = 1, то найдется число n такое, что x = αb (n + 1) y = αb (n) или же x = αb (n) y = αb (n + 1) Лемма. Если x 2 − bxy + y 2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n такое, что x = αb (n + 1), y = αb (n).
  92. 92. Индукция по y : случай y = 0 Лемма. Если x 2 − bxy + y 2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n такое, что x = αb (n + 1), y = αb (n).
  93. 93. Индукция по y : случай y = 0 Лемма. Если x 2 − bxy + y 2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n такое, что x = αb (n + 1), y = αb (n). x2 = 1
  94. 94. Индукция по y : случай y = 0 Лемма. Если x 2 − bxy + y 2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n такое, что x = αb (n + 1), y = αb (n). x 2 = 1, следовательно x = 1.
  95. 95. Индукция по y : случай y = 0 Лемма. Если x 2 − bxy + y 2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n такое, что x = αb (n + 1), y = αb (n). x 2 = 1, следовательно x = 1. Полагая n = 0, имеем x = 1 = αb (1) = αb (n + 1) y = 0 = αb (0) = αb (n)
  96. 96. Индукция по y : случай y > 0 Лемма. Если x 2 − bxy + y 2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n такое, что x = αb (n + 1), y = αb (n).
  97. 97. Индукция по y : случай y > 0 Лемма. Если x 2 − bxy + y 2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n такое, что x = αb (n + 1), y = αb (n). y −1
  98. 98. Индукция по y : случай y > 0 Лемма. Если x 2 − bxy + y 2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n такое, что x = αb (n + 1), y = αb (n). n−1
  99. 99. Индукция по y : случай y > 0 Лемма. Если x 2 − bxy + y 2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n такое, что x = αb (n + 1), y = αb (n). n−1 Мы ожидаем, что
  100. 100. Индукция по y : случай y > 0 Лемма. Если x 2 − bxy + y 2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n такое, что x = αb (n + 1), y = αb (n). n−1 Мы ожидаем, что y = αb (n), x = αb (n + 1)
  101. 101. Индукция по y : случай y > 0 Лемма. Если x 2 − bxy + y 2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n такое, что x = αb (n + 1), y = αb (n). n−1 Мы ожидаем, что αb (n − 1), y = αb (n), x = αb (n + 1)
  102. 102. Индукция по y : случай y > 0 Лемма. Если x 2 − bxy + y 2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n такое, что x = αb (n + 1), y = αb (n). n−1 Мы ожидаем, что αb (n − 1), y = αb (n), x = αb (n + 1)
  103. 103. Индукция по y : случай y > 0 Лемма. Если x 2 − bxy + y 2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n такое, что x = αb (n + 1), y = αb (n). n−1 Мы ожидаем, что αb (n − 1), y = αb (n), x = αb (n + 1) αb (n − 1) = bαb (n) − αb (n + 1)
  104. 104. Индукция по y : случай y > 0 Лемма. Если x 2 − bxy + y 2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n такое, что x = αb (n + 1), y = αb (n). n−1 Мы ожидаем, что by − x = αb (n − 1), y = αb (n), x = αb (n + 1) αb (n − 1) = bαb (n) − αb (n + 1)
  105. 105. Индукция по y : случай y > 0 Лемма. Если x 2 − bxy + y 2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n такое, что x = αb (n + 1), y = αb (n). Мы ожидаем, что by − x = αb (n − 1), y = αb (n), x = αb (n + 1)
  106. 106. Индукция по y : случай y > 0 Лемма. Если x 2 − bxy + y 2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n такое, что x = αb (n + 1), y = αb (n). Мы ожидаем, что by − x = αb (n − 1), y = αb (n), ? by − x ≥ 0 x = αb (n + 1)
  107. 107. Индукция по y : случай y > 0 Лемма. Если x 2 − bxy + y 2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n такое, что x = αb (n + 1), y = αb (n). Мы ожидаем, что by − x = αb (n − 1), y = αb (n), ? by − x ≥ 0 x = by + 1 − y2 x x = αb (n + 1)
  108. 108. Индукция по y : случай y > 0 Лемма. Если x 2 − bxy + y 2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n такое, что x = αb (n + 1), y = αb (n). Мы ожидаем, что by − x = αb (n − 1), y = αb (n), x = αb (n + 1) ? by − x ≥ 0 x = by + 1 − y2 ≤ by x z = by − x
  109. 109. Индукция по y : случай y > 0 Лемма. Если x 2 − bxy + y 2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n такое, что x = αb (n + 1), y = αb (n). Мы ожидаем, что by − x = αb (n − 1), y = αb (n), x = αb (n + 1) ? by − x ≥ 0 1 − y2 ≤ by x Мы знаем, что 0 ≤ z = by − x x = by + z = by − x
  110. 110. Индукция по y : случай y > 0 Лемма. Если x 2 − bxy + y 2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n такое, что x = αb (n + 1), y = αb (n). Мы ожидаем, что z = by − x = αb (n − 1), y = αb (n), x = αb (n + 1)
  111. 111. Индукция по y : случай y > 0 Лемма. Если x 2 − bxy + y 2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n такое, что x = αb (n + 1), y = αb (n). Мы ожидаем, что z = by − x = αb (n − 1), y = αb (n), ? z ≤y x = αb (n + 1)
  112. 112. Индукция по y : случай y > 0 Лемма. Если x 2 − bxy + y 2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n такое, что x = αb (n + 1), y = αb (n). Мы ожидаем, что z = by − x = αb (n − 1), y = αb (n), ? z ≤y x = by + 1 y2 − x x x = αb (n + 1)
  113. 113. Индукция по y : случай y > 0 Лемма. Если x 2 − bxy + y 2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n такое, что x = αb (n + 1), y = αb (n). Мы ожидаем, что z = by − x = αb (n − 1), y = αb (n), ? z ≤y x 1 y2 − x x y2 > by − y = by − y = by + x = αb (n + 1)
  114. 114. Индукция по y : случай y > 0 Лемма. Если x 2 − bxy + y 2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n такое, что x = αb (n + 1), y = αb (n). Мы ожидаем, что z = by − x = αb (n − 1), y = αb (n), ? z ≤y x 1 y2 − x x y2 > by − y = by − y = by + Мы знаем, что 0 ≤ z = by − x < y x = αb (n + 1)
  115. 115. Индукция по y : случай y > 0 Лемма. Если x 2 − bxy + y 2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n такое, что x = αb (n + 1), y = αb (n). Мы ожидаем, что z = by − x = αb (n − 1), y = αb (n), x = αb (n + 1)
  116. 116. Индукция по y : случай y > 0 Лемма. Если x 2 − bxy + y 2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n такое, что x = αb (n + 1), y = αb (n). Мы ожидаем, что z = by − x = αb (n − 1), y = αb (n), ? y 2 − byz + z 2 = 1 x = αb (n + 1)
  117. 117. Индукция по y : случай y > 0 Лемма. Если x 2 − bxy + y 2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n такое, что x = αb (n + 1), y = αb (n). Мы ожидаем, что z = by − x = αb (n − 1), y = αb (n), ? y 2 − byz + z 2 = 1 y 2 − byz + z 2 x = αb (n + 1)
  118. 118. Индукция по y : случай y > 0 Лемма. Если x 2 − bxy + y 2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n такое, что x = αb (n + 1), y = αb (n). Мы ожидаем, что z = by − x = αb (n − 1), y = αb (n), x = αb (n + 1) ? y 2 − byz + z 2 = 1 y 2 − byz + z 2 = y 2 − by (by − x) + (by − x)2
  119. 119. Индукция по y : случай y > 0 Лемма. Если x 2 − bxy + y 2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n такое, что x = αb (n + 1), y = αb (n). Мы ожидаем, что z = by − x = αb (n − 1), y = αb (n), x = αb (n + 1) ? y 2 − byz + z 2 = 1 y 2 − byz + z 2 = y 2 − by (by − x) + (by − x)2 = x 2 − bxy + y 2
  120. 120. Индукция по y : случай y > 0 Лемма. Если x 2 − bxy + y 2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n такое, что x = αb (n + 1), y = αb (n). Мы ожидаем, что z = by − x = αb (n − 1), y = αb (n), x = αb (n + 1) ? y 2 − byz + z 2 = 1 y 2 − byz + z 2 = y 2 − by (by − x) + (by − x)2 = x 2 − bxy + y 2 = 1
  121. 121. Индукция по y : случай y > 0 Лемма. Если x 2 − bxy + y 2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n такое, что x = αb (n + 1), y = αb (n). Мы ожидаем, что z = by − x = αb (n − 1), y = αb (n), x = αb (n + 1) ? y 2 − byz + z 2 = 1 y 2 − byz + z 2 = y 2 − by (by − x) + (by − x)2 = x 2 − bxy + y 2 = 1 Мы знаем, что 0 ≤ z = by − x < y , y 2 − byz + z 2 = 1
  122. 122. Индукция по y : случай y > 0 Лемма. Если x 2 − bxy + y 2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n такое, что x = αb (n + 1), y = αb (n). Мы ожидаем, что z = by − x = αb (n − 1) y = αb (n) x = αb (n + 1) Мы знаем, что 0 ≤ z = by − x < y , y 2 − byz + z 2 = 1
  123. 123. Индукция по y : случай y > 0 Лемма. Если x 2 − bxy + y 2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n такое, что x = αb (n + 1), y = αb (n). Мы ожидаем, что z = by − x = αb (n − 1) y = αb (n) x = αb (n + 1) Мы знаем, что 0 ≤ z = by − x < y , y 2 − byz + z 2 = 1 По индукционному предположению существует m такое, что y = αb (m + 1), z = αb (m)
  124. 124. Индукция по y : случай y > 0 Лемма. Если x 2 − bxy + y 2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n такое, что x = αb (n + 1), y = αb (n). Мы ожидаем, что z = by − x = αb (n − 1) y = αb (n) x = αb (n + 1) Мы знаем, что 0 ≤ z = by − x < y , y 2 − byz + z 2 = 1 По индукционному предположению существует m такое, что y = αb (m + 1), z = αb (m) x = by − z = bαb (m + 1) − αb (m) = αb (m + 2)
  125. 125. Индукция по y : случай y > 0 Лемма. Если x 2 − bxy + y 2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n такое, что x = αb (n + 1), y = αb (n). Мы ожидаем, что z = by − x = αb (n − 1) y = αb (n) x = αb (n + 1) Мы знаем, что 0 ≤ z = by − x < y , y 2 − byz + z 2 = 1 По индукционному предположению существует m такое, что y = αb (m + 1), z = αb (m) x = by − z = bαb (m + 1) − αb (m) = αb (m + 2) n =m+1
  126. 126. Диофантово представление множества чисел αb Следствие леммы: x ∈ Mb ⇐⇒ x ∈ {0, 1, b, . . . , αb (n), . . . }
  127. 127. Диофантово представление множества чисел αb Следствие леммы: x ∈ Mb ⇐⇒ x ∈ {0, 1, b, . . . , αb (n), . . . } ⇐⇒ ∃y {x 2 − bxy + y 2 = 1}
  128. 128. Диофантово представление множества чисел αb Следствие леммы: x ∈ Mb ⇐⇒ x ∈ {0, 1, b, . . . , αb (n), . . . } ⇐⇒ ∃y {x 2 − bxy + y 2 = 1}
  129. 129. Диофантово представление множества чисел αb Следствие леммы: x ∈ Mb ⇐⇒ x ∈ {0, 1, b, . . . , αb (n), . . . } ⇐⇒ ∃y {x 2 − bxy + y 2 = 1} Требуется: x, k ∈ Nb ⇐⇒ x = αb (k)
  130. 130. Диофантово представление множества чисел αb Следствие леммы: x ∈ Mb ⇐⇒ x ∈ {0, 1, b, . . . , αb (n), . . . } ⇐⇒ ∃y {x 2 − bxy + y 2 = 1} Требуется: x, k ∈ Nb ⇐⇒ x = αb (k) ⇐⇒ ?
  131. 131. Свойства делимости 2 Лемма. αb (k) | αb (m) ⇒ kαb (k) | m
  132. 132. Свойства делимости 2 Лемма. αb (k) | αb (m) ⇒ kαb (k) | m Доказательство. m =n+k , 0≤n<k
  133. 133. Свойства делимости 2 Лемма. αb (k) | αb (m) ⇒ kαb (k) | m Доказательство. m =n+k , Ab (m) = 0≤n<k αb (m + 1) −αb (m) αb (m) −αb (m − 1)
  134. 134. Свойства делимости 2 Лемма. αb (k) | αb (m) ⇒ kαb (k) | m Доказательство. m =n+k , Ab (m) = 0≤n<k αb (m + 1) −αb (m) αb (m) −αb (m − 1) = Ψm b
  135. 135. Свойства делимости 2 Лемма. αb (k) | αb (m) ⇒ kαb (k) | m Доказательство. m =n+k , Ab (m) = 0≤n<k αb (m + 1) −αb (m) αb (m) −αb (m − 1) = Ψm b = Ψn+k b
  136. 136. Свойства делимости 2 Лемма. αb (k) | αb (m) ⇒ kαb (k) | m Доказательство. m =n+k , Ab (m) = 0≤n<k αb (m + 1) −αb (m) αb (m) −αb (m − 1) = Ψm b = Ψn+k b = Ψn (Ψk ) b b
  137. 137. Свойства делимости 2 Лемма. αb (k) | αb (m) ⇒ kαb (k) | m Доказательство. m =n+k , Ab (m) = 0≤n<k αb (m + 1) −αb (m) αb (m) −αb (m − 1) = Ψm b = Ψn+k b = Ψn (Ψk ) b b = Ab (n)Ab (k)
  138. 138. Свойства делимости 2 Лемма. αb (k) | αb (m) ⇒ kαb (k) | m Доказательство. m =n+k , Ab (m) = 0≤n<k αb (m + 1) −αb (m) αb (m) −αb (m − 1) = Ψm b = Ψn+k b = Ψn (Ψk ) b b = Ab (n)Ab (k) = αb (n + 1) −αb (n) αb (n) −αb (n − 1) αb (k + 1) −αb (k) αb (k) −αb (k − 1)
  139. 139. Свойства делимости 2 Лемма. αb (k) | αb (m) ⇒ kαb (k) | m αb (m + 1) −αb (m) αb (m) −αb (m − 1) αb (n + 1) −αb (n) αb (n) −αb (n − 1) ≡ αb (k + 1) 0 0 −αb (k − 1) (mod αb (k))
  140. 140. Свойства делимости 2 Лемма. αb (k) | αb (m) ⇒ kαb (k) | m αb (m + 1) −αb (m) αb (m) −αb (m − 1) αb (n + 1) −αb (n) αb (n) −αb (n − 1) ≡ αb (k + 1) 0 0 −αb (k − 1) αb (m) ≡ αb (n)αb (k + 1) (mod αb (k)) (mod αb (k))
  141. 141. Свойства делимости 2 Лемма. αb (k) | αb (m) ⇒ kαb (k) | m αb (m + 1) −αb (m) αb (m) −αb (m − 1) αb (n + 1) −αb (n) αb (n) −αb (n − 1) ≡ αb (k + 1) 0 0 −αb (k − 1) αb (m) ≡ αb (n)αb (k + 1) αb (k) | αb (n) (mod αb (k)) (mod αb (k))
  142. 142. Свойства делимости 2 Лемма. αb (k) | αb (m) ⇒ kαb (k) | m αb (m + 1) −αb (m) αb (m) −αb (m − 1) αb (n + 1) −αb (n) αb (n) −αb (n − 1) ≡ αb (k + 1) 0 0 −αb (k − 1) αb (m) ≡ αb (n)αb (k + 1) (mod αb (k)) αb (k) | αb (n) m =n+k , 0≤n<k (mod αb (k))
  143. 143. Свойства делимости 2 Лемма. αb (k) | αb (m) ⇒ kαb (k) | m αb (m + 1) −αb (m) αb (m) −αb (m − 1) αb (n + 1) −αb (n) αb (n) −αb (n − 1) ≡ αb (k + 1) 0 0 −αb (k − 1) αb (m) ≡ αb (n)αb (k + 1) (mod αb (k)) αb (k) | αb (n) m =n+k , n=0 0≤n<k m=k (mod αb (k))
  144. 144. Свойства делимости m=k Ab (m) = Ab (k)
  145. 145. Свойства делимости m=k Ab (m) = Ab (k) = αb (k + 1) −αb (k) αb (k) −αb (k − 1)
  146. 146. Свойства делимости m=k Ab (m) = Ab (k) = αb (k + 1) −αb (k) αb (k) −αb (k − 1) = bαb (k) − αb (k − 1) −αb (k) αb (k) −αb (k − 1)
  147. 147. Свойства делимости m=k Ab (m) = Ab (k) = αb (k + 1) −αb (k) αb (k) −αb (k − 1) = bαb (k) − αb (k − 1) −αb (k) αb (k) −αb (k − 1) = αb (k) b −1 1 0 − αb (k − 1) 1 0 0 1
  148. 148. Свойства делимости m=k Ab (m) = Ab (k) = αb (k + 1) −αb (k) αb (k) −αb (k − 1) = bαb (k) − αb (k − 1) −αb (k) αb (k) −αb (k − 1) = αb (k) b −1 1 0 − αb (k − 1) 1 0 0 1 = [αb (k)Ψb − αb (k − 1)E ]
  149. 149. Свойства делимости m=k Ab (m) = Ab (k) = αb (k + 1) −αb (k) αb (k) −αb (k − 1) = bαb (k) − αb (k − 1) −αb (k) αb (k) −αb (k − 1) = αb (k) b −1 1 0 − αb (k − 1) 1 0 0 1 = [αb (k)Ψb − αb (k − 1)E ] = (−1) i=0 −i i i αb (k)αb−i (k − 1)Ψib
  150. 150. Свойства делимости m=k Ab (m) = Ab (k) = αb (k + 1) −αb (k) αb (k) −αb (k − 1) = bαb (k) − αb (k − 1) −αb (k) αb (k) −αb (k − 1) = αb (k) b −1 1 0 − αb (k − 1) 1 0 0 1 = [αb (k)Ψb − αb (k − 1)E ] = (−1) i=0 −i i i αb (k)αb−i (k − 1)Ψib
  151. 151. Свойства делимости αb (m + 1) −αb (m) αb (m) −αb (m − 1) =
  152. 152. Свойства делимости αb (m + 1) −αb (m) αb (m) −αb (m − 1) = (−1) i=0 −i i = Ab (m) i αb (k)αb−i (k − 1)Ψib
  153. 153. Свойства делимости αb (m + 1) −αb (m) αb (m) −αb (m − 1) = (−1) i=0 −i i = Ab (m) i αb (k)αb−i (k − 1)Ψib ≡ (−1) αb (k − 1)E + (−1) −1 2 αb (k)αb−1 (k − 1)Ψb (mod αb (k))
  154. 154. Свойства делимости αb (m + 1) −αb (m) αb (m) −αb (m − 1) = (−1) −i i=0 i = Ab (m) i αb (k)αb−i (k − 1)Ψib ≡ (−1) αb (k − 1)E + (−1) = (−1) αb (k − 1) +(−1) −1 1 0 0 1 −1 2 αb (k)αb−1 (k − 1)Ψb (mod αb (k)) + αb (k)αb−1 (k − 1) b −1 1 0 2 (mod αb (k))
  155. 155. Свойства делимости αb (m + 1) −αb (m) αb (m) −αb (m − 1) = (−1) −i i=0 i = Ab (m) i αb (k)αb−i (k − 1)Ψib ≡ (−1) αb (k − 1)E + (−1) = (−1) αb (k − 1) +(−1) −1 1 0 0 1 −1 + b −1 1 0 2 (mod αb (k)) αb (k)αb−1 (k − 1) 2 (mod αb (k)) αb (k)αb−1 (k − 1) αb (m) ≡ (−1) −1 2 αb (k)αb−1 (k − 1)Ψb (mod αb (k))
  156. 156. Свойства делимости 2 Лемма. αb (k) | αb (m) ⇒ kαb (k) | m αb (m) ≡ (−1) −1 αb (k)αb−1 (k − 1) 2 (mod αb (k))
  157. 157. Свойства делимости 2 Лемма. αb (k) | αb (m) ⇒ kαb (k) | m αb (m) ≡ (−1) −1 αb (k)αb−1 (k − 1) αb (k) | αb−1 (k − 1) 2 (mod αb (k))
  158. 158. Свойства делимости 2 Лемма. αb (k) | αb (m) ⇒ kαb (k) | m αb (m) ≡ (−1) −1 αb (k)αb−1 (k − 1) αb (k) | αb−1 (k − 1) αb (k) | 2 (mod αb (k))
  159. 159. Свойства делимости 2 Лемма. αb (k) | αb (m) ⇒ kαb (k) | m αb (m) ≡ (−1) −1 αb (k)αb−1 (k − 1) αb (k) | αb−1 (k − 1) αb (k) | m=k 2 (mod αb (k))
  160. 160. Свойства делимости 2 Лемма. αb (k) | αb (m) ⇒ kαb (k) | m αb (m) ≡ (−1) −1 αb (k)αb−1 (k − 1) αb (k) | αb−1 (k − 1) αb (k) | m=k 2 (mod αb (k))

×