Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.
Квантовые алгоритмы:           возможности и ограничения. Лекция 3: Сложность булевых функций в модели                    ...
План1   Определения и основные результаты2   Квантовое вычисление дизъюнкции3   Вероятностное вычисление дизъюнкции: нижня...
Три вида запросовБулева функция x → f (x),            x ∈ {0, 1}n , f (x) ∈ {0, 1}.Классический запросПосылаем k, 1       ...
Три вида запросовБулева функция x → f (x),            x ∈ {0, 1}n , f (x) ∈ {0, 1}.Классический запросПосылаем k, 1       ...
Три вида запросовБулева функция x → f (x),            x ∈ {0, 1}n , f (x) ∈ {0, 1}.Классический запросПосылаем k, 1       ...
Три вида запросовБулева функция x → f (x),            x ∈ {0, 1}n , f (x) ∈ {0, 1}.Классический запросПосылаем k, 1       ...
Формулировка задачиЗадача(-и) вычисления булевой функции fДано: Черный ящик , который выдает значения переменных изнекотор...
Формулировка задачиЗадача(-и) вычисления булевой функции fДано: Черный ящик , который выдает значения переменных изнекотор...
Полиномиальная эквивалентность между сложностямиТеоремаДля любой всюду определенной булевой функции f                Q1/3 ...
Полиномиальная эквивалентность между сложностямиТеоремаДля любой всюду определенной булевой функции f                Q1/3 ...
Полиномиальная эквивалентность между сложностямиТеоремаДля любой всюду определенной булевой функции f                Q1/3 ...
Очевидные соотношенияQ1/3 (f )   R1/3 (f )   D(f )Классический алгоритм это вероятностный, который используеттолько детерм...
Очевидные соотношенияQ1/3 (f )   R1/3 (f )   D(f )Классический алгоритм это вероятностный, который используеттолько детерм...
План1   Определения и основные результаты2   Квантовое вычисление дизъюнкции3   Вероятностное вычисление дизъюнкции: нижня...
Квантовое вычисление дизъюнкцииМодификация алгоритма Гровера обеспечит вычисление дизъюнкции     √за O( n) квантовых запро...
Квантовое вычисление дизъюнкцииМодификация алгоритма Гровера обеспечит вычисление дизъюнкции     √за O( n) квантовых запро...
Квантовое вычисление дизъюнкцииМодификация алгоритма Гровера обеспечит вычисление дизъюнкции     √за O( n) квантовых запро...
Инвариантное двумерное подпространство                          G : C(|ψ , |ξ ) → C(|ψ , |ξ )                             ...
Инвариантное двумерное подпространство                          G : C(|ψ , |ξ ) → C(|ψ , |ξ )                             ...
Инвариантное двумерное подпространство                          G : C(|ψ , |ξ ) → C(|ψ , |ξ )                             ...
Инвариантное двумерное подпространство                          G : C(|ψ , |ξ ) → C(|ψ , |ξ )                             ...
Инвариантное двумерное подпространство                          G : C(|ψ , |ξ ) → C(|ψ , |ξ )                             ...
Инвариантное двумерное подпространство                          G : C(|ψ , |ξ ) → C(|ψ , |ξ )                             ...
Инвариантное двумерное подпространство                          G : C(|ψ , |ξ ) → C(|ψ , |ξ )                             ...
Угол поворота                                       1 1                 h                      sin ϑ = ψ|ξ = h √ √ =      ...
Схема алгоритмаКоличество итераций зависит от числа единиц. Оно нам неизвестно.Будем выбирать случайно.Алгоритм Q∨ : 1    ...
Схема алгоритмаКоличество итераций зависит от числа единиц. Оно нам неизвестно.Будем выбирать случайно.Алгоритм Q∨ : 1    ...
Схема алгоритмаКоличество итераций зависит от числа единиц. Оно нам неизвестно.Будем выбирать случайно.Алгоритм Q∨ : 1    ...
Схема алгоритмаКоличество итераций зависит от числа единиц. Оно нам неизвестно.Будем выбирать случайно.Алгоритм Q∨ : 1    ...
Схема алгоритмаКоличество итераций зависит от числа единиц. Оно нам неизвестно.Будем выбирать случайно.Алгоритм Q∨ : 1    ...
Схема алгоритмаКоличество итераций зависит от числа единиц. Оно нам неизвестно.Будем выбирать случайно.Алгоритм Q∨ : 1    ...
Схема алгоритмаКоличество итераций зависит от числа единиц. Оно нам неизвестно.Будем выбирать случайно.Алгоритм Q∨ : 1    ...
Схема алгоритмаКоличество итераций зависит от числа единиц. Оно нам неизвестно.Будем выбирать случайно.Алгоритм Q∨ : 1    ...
Схема алгоритмаКоличество итераций зависит от числа единиц. Оно нам неизвестно.Будем выбирать случайно.Алгоритм Q∨ : 1    ...
Схема алгоритмаКоличество итераций зависит от числа единиц. Оно нам неизвестно.Будем выбирать случайно.Алгоритм Q∨ : 1    ...
Свойства алгоритма                          √    Количество запросов O( n).    Если OR(x) = 0, то вероятность ошибки 0.Утв...
Свойства алгоритма                          √    Количество запросов O( n).    Если OR(x) = 0, то вероятность ошибки 0.Утв...
Свойства алгоритма                          √    Количество запросов O( n).    Если OR(x) = 0, то вероятность ошибки 0.Утв...
Свойства алгоритма                          √    Количество запросов O( n).    Если OR(x) = 0, то вероятность ошибки 0.Утв...
Свойства алгоритма                          √    Количество запросов O( n).    Если OR(x) = 0, то вероятность ошибки 0.Утв...
Оценка вероятности ошибки: два случая 1    Количество единиц велико: h           n/5.           Вторая стадия алгоритма по...
Оценка вероятности ошибки: два случая 1    Количество единиц велико: h           n/5.           Вторая стадия алгоритма по...
Оценка вероятности ошибки: два случая 1    Количество единиц велико: h           n/5.           Вторая стадия алгоритма по...
Оценка вероятности ошибки: два случая 1    Количество единиц велико: h           n/5.           Вторая стадия алгоритма по...
Оценка вероятности успеха для заданного числаитерацийЛеммаВероятность успеха после t итераций Гровера, начиная с состояния...
Оценка вероятности успеха для заданного числаитерацийЛеммаВероятность успеха после t итераций Гровера, начиная с состояния...
Оценка вероятности успеха для заданного числаитерацийЛеммаВероятность успеха после t итераций Гровера, начиная с состояния...
Оценка вероятности успеха для заданного числаитерацийЛеммаВероятность успеха после t итераций Гровера, начиная с состояния...
Оценка вероятности успеха для заданного числаитерацийЛеммаВероятность успеха после t итераций Гровера, начиная с состояния...
Случайный выбор числа итерацийЛеммаВероятность успеха                                         1   sin(4mϑ)                ...
Случайный выбор числа итерацийЛеммаВероятность успеха                                         1   sin(4mϑ)                ...
Вероятность успеха на второй стадии алгоритма   Из второй леммы                                     1   sin(4mϑ)          ...
Вероятность успеха на второй стадии алгоритма   Из второй леммы                                     1   sin(4mϑ)          ...
Вероятность успеха на второй стадии алгоритма   Из второй леммы                                     1   sin(4mϑ)          ...
Вероятность успеха на второй стадии алгоритма   Из второй леммы                                     1   sin(4mϑ)          ...
Вероятность успеха на второй стадии алгоритма   Из второй леммы                                     1   sin(4mϑ)          ...
Вероятность успеха на второй стадии алгоритма   Из второй леммы                                     1   sin(4mϑ)          ...
План1   Определения и основные результаты2   Квантовое вычисление дизъюнкции3   Вероятностное вычисление дизъюнкции: нижня...
ЧувствительностьОпределениеЧувствительность sx (f ) функции f в точке x равна количествупеременных xk , для которых f (x) ...
ЧувствительностьОпределениеЧувствительность sx (f ) функции f в точке x равна количествупеременных xk , для которых f (x) ...
ЧувствительностьОпределениеЧувствительность sx (f ) функции f в точке x равна количествупеременных xk , для которых f (x) ...
ЧувствительностьОпределениеЧувствительность sx (f ) функции f в точке x равна количествупеременных xk , для которых f (x) ...
Нижняя оценка вероятностной сложностиТеоремаs(f )   3R1/3 (f )ДоказательствоАналогично оценке для числа вероятностных запр...
Нижняя оценка вероятностной сложностиТеоремаs(f )   3R1/3 (f )ДоказательствоАналогично оценке для числа вероятностных запр...
Нижняя оценка вероятностной сложностиТеоремаs(f )   3R1/3 (f )ДоказательствоАналогично оценке для числа вероятностных запр...
Нижняя оценка вероятностной сложностиТеоремаs(f )   3R1/3 (f )ДоказательствоАналогично оценке для числа вероятностных запр...
Нижняя оценка вероятностной сложностиТеоремаs(f )   3R1/3 (f )ДоказательствоАналогично оценке для числа вероятностных запр...
План1   Определения и основные результаты2   Квантовое вычисление дизъюнкции3   Вероятностное вычисление дизъюнкции: нижня...
Многочлены и булевы функцииОпределенияМногочлен p : Rn → R приближает булеву функциюf : {0, 1}n → {0, 1}, если для любого ...
Многочлены и булевы функцииОпределенияМногочлен p : Rn → R приближает булеву функциюf : {0, 1}n → {0, 1}, если для любого ...
Многочлены и булевы функцииОпределенияМногочлен p : Rn → R приближает булеву функциюf : {0, 1}n → {0, 1}, если для любого ...
Многочлены и булевы функцииОпределенияМногочлен p : Rn → R приближает булеву функциюf : {0, 1}n → {0, 1}, если для любого ...
Оценка Q1/3 (f ) через степень приближенияТеоремаДля любой булевой функции deg(f )        2Q1/3 (f ).ЛеммаЕсли алгоритм вы...
Оценка Q1/3 (f ) через степень приближенияТеоремаДля любой булевой функции deg(f )        2Q1/3 (f ).ЛеммаЕсли алгоритм вы...
Оценка Q1/3 (f ) через степень приближения         Перед измерением:                 αw (x)|w ,       deg αw (x)       d. ...
Оценка Q1/3 (f ) через степень приближения         Перед измерением:                 αw (x)|w ,       deg αw (x)       d. ...
Оценка Q1/3 (f ) через степень приближения         Перед измерением:                 αw (x)|w ,       deg αw (x)       d. ...
Оценка Q1/3 (f ) через степень приближения         Перед измерением:                 αw (x)|w ,       deg αw (x)       d. ...
Оценка Q1/3 (f ) через степень приближения         Перед измерением:                 αw (x)|w ,       deg αw (x)       d. ...
deg(f )       2Q1/3 (f ): доказательство леммыСостояние памяти алгоритма после k запросов:                       |ψk = Uk ...
deg(f )       2Q1/3 (f ): доказательство леммыСостояние памяти алгоритма после k запросов:                       |ψk = Uk ...
deg(f )       2Q1/3 (f ): доказательство леммыСостояние памяти алгоритма после k запросов:                       |ψk = Uk ...
deg(f )       2Q1/3 (f ): доказательство леммыСостояние памяти алгоритма после k запросов:                       |ψk = Uk ...
deg(f )       2Q1/3 (f ): доказательство леммыСостояние памяти алгоритма после k запросов:                       |ψk = Uk ...
deg(f )       2Q1/3 (f ): доказательство леммыСостояние памяти алгоритма после k запросов:                       |ψk = Uk ...
deg(f )       2Q1/3 (f ): доказательство леммыСостояние памяти алгоритма после k запросов:                       |ψk = Uk ...
Насколько хорошо степень приближает Qε (f )?   Амбайнис (2006) построил семейство функций, для которых   deg(fk ) = 2k , а...
Насколько хорошо степень приближает Qε (f )?   Амбайнис (2006) построил семейство функций, для которых   deg(fk ) = 2k , а...
Насколько хорошо степень приближает Qε (f )?   Амбайнис (2006) построил семейство функций, для которых   deg(fk ) = 2k , а...
Оценка квантовой сложности дизъюнкцииТеоремаdeg(OR)       n/6.  М. Вялый (ВЦ РАН)   Лекция 3: сложность запросов   Санкт-П...
Оценка квантовой сложности дизъюнкцииДоказательство   p(x1 , . . . , xn ) приближает OR(x1 , . . . , xn ).   Симметризация...
Оценка квантовой сложности дизъюнкцииДоказательство   p(x1 , . . . , xn ) приближает OR(x1 , . . . , xn ).   Симметризация...
Оценка квантовой сложности дизъюнкцииДоказательство   p(x1 , . . . , xn ) приближает OR(x1 , . . . , xn ).   Симметризация...
Оценка квантовой сложности дизъюнкцииДоказательство   p(x1 , . . . , xn ) приближает OR(x1 , . . . , xn ).   Симметризация...
Оценка квантовой сложности дизъюнкцииДоказательство   p(x1 , . . . , xn ) приближает OR(x1 , . . . , xn ).   Симметризация...
Оценка квантовой сложности дизъюнкцииДоказательство   p(x1 , . . . , xn ) приближает OR(x1 , . . . , xn ).   Симметризация...
Оценка квантовой сложности дизъюнкцииДоказательство   p(x1 , . . . , xn ) приближает OR(x1 , . . . , xn ).   Симметризация...
Оценка степени многочленаТеорема (нижняя оценка на степень многочлена)Пусть f (x) многочлен и |f (0)| < 1/3, |f (1) − 1| <...
Оценка степени многочленаТеорема (нижняя оценка на степень многочлена)Пусть f (x) многочлен и |f (0)| < 1/3, |f (1) − 1| <...
Оценка степени многочленаТеорема (нижняя оценка на степень многочлена)Пусть f (x) многочлен и |f (0)| < 1/3, |f (1) − 1| <...
Оценка степени многочленаТеорема (нижняя оценка на степень многочлена)Пусть f (x) многочлен и |f (0)| < 1/3, |f (1) − 1| <...
Оценка квантовой сложности дизъюнкции: итогТеорема    √                  √√1    n   Q1/3 (OR)        n. 24Зазор между веро...
20110403 quantum algorithms_vyali_lecture03
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

20110403 quantum algorithms_vyali_lecture03

601 views

Published on

Published in: Technology
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

20110403 quantum algorithms_vyali_lecture03

  1. 1. Квантовые алгоритмы: возможности и ограничения. Лекция 3: Сложность булевых функций в модели запросов М. Вялый Вычислительный центр им. А.А.Дородницына Российской Академии наук Санкт-Петербург, 2011М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 1 / 29
  2. 2. План1 Определения и основные результаты2 Квантовое вычисление дизъюнкции3 Вероятностное вычисление дизъюнкции: нижняя оценка4 Степень многочлена, приближающего булеву функцию М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 2 / 29
  3. 3. Три вида запросовБулева функция x → f (x), x ∈ {0, 1}n , f (x) ∈ {0, 1}.Классический запросПосылаем k, 1 k n.Получаем xk .Вероятностный запросПосылаем k, выбранное по некоторому вероятностному распределению(pk ).Получаем xk .Квантовый запросОператор Ox : |k, b → |k, b ⊕ xk (общий случай) или фазовый запросOx : |k → (−1)xk |k . М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 3 / 29
  4. 4. Три вида запросовБулева функция x → f (x), x ∈ {0, 1}n , f (x) ∈ {0, 1}.Классический запросПосылаем k, 1 k n.Получаем xk .Вероятностный запросПосылаем k, выбранное по некоторому вероятностному распределению(pk ).Получаем xk .Квантовый запросОператор Ox : |k, b → |k, b ⊕ xk (общий случай) или фазовый запросOx : |k → (−1)xk |k . М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 3 / 29
  5. 5. Три вида запросовБулева функция x → f (x), x ∈ {0, 1}n , f (x) ∈ {0, 1}.Классический запросПосылаем k, 1 k n.Получаем xk .Вероятностный запросПосылаем k, выбранное по некоторому вероятностному распределению(pk ).Получаем xk .Квантовый запросОператор Ox : |k, b → |k, b ⊕ xk (общий случай) или фазовый запросOx : |k → (−1)xk |k . М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 3 / 29
  6. 6. Три вида запросовБулева функция x → f (x), x ∈ {0, 1}n , f (x) ∈ {0, 1}.Классический запросПосылаем k, 1 k n.Получаем xk .Вероятностный запросПосылаем k, выбранное по некоторому вероятностному распределению(pk ).Получаем xk .Квантовый запросОператор Ox : |k, b → |k, b ⊕ xk (общий случай) или фазовый запросOx : |k → (−1)xk |k . М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 3 / 29
  7. 7. Формулировка задачиЗадача(-и) вычисления булевой функции fДано: Черный ящик , который выдает значения переменных изнекоторого набора (x1 , . . . , xn ).Найти: значение f (x).Сложность алгоритма: количество запросов.Вероятность ошибки: меньше 1/3.ОпределенияD(f ) минимальная сложность алгоритма вычисления f поклассическим запросам.R1/3 (f ) минимальная сложность алгоритма вычисления f повероятностным запросам.Q1/3 (f ) минимальная сложность алгоритма вычисления f поквантовым запросам. М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 4 / 29
  8. 8. Формулировка задачиЗадача(-и) вычисления булевой функции fДано: Черный ящик , который выдает значения переменных изнекоторого набора (x1 , . . . , xn ).Найти: значение f (x).Сложность алгоритма: количество запросов.Вероятность ошибки: меньше 1/3.ОпределенияD(f ) минимальная сложность алгоритма вычисления f поклассическим запросам.R1/3 (f ) минимальная сложность алгоритма вычисления f повероятностным запросам.Q1/3 (f ) минимальная сложность алгоритма вычисления f поквантовым запросам. М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 4 / 29
  9. 9. Полиномиальная эквивалентность между сложностямиТеоремаДля любой всюду определенной булевой функции f Q1/3 (f ) R1/3 (f ) D(f ) = O Q1/3 (f )6 .Наилучший известный разрывДля дизъюнкции OR = x1 ∨ x2 ∨ · · · ∨ xn выполняется √ Q1/3 (OR) = O( n); R1/3 (OR) = Ω(n); D(OR) = n.Открытая проблемаКакова точная величина разрыва между сложностями? М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 5 / 29
  10. 10. Полиномиальная эквивалентность между сложностямиТеоремаДля любой всюду определенной булевой функции f Q1/3 (f ) R1/3 (f ) D(f ) = O Q1/3 (f )6 .Наилучший известный разрывДля дизъюнкции OR = x1 ∨ x2 ∨ · · · ∨ xn выполняется √ Q1/3 (OR) = O( n); R1/3 (OR) = Ω(n); D(OR) = n.Открытая проблемаКакова точная величина разрыва между сложностями? М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 5 / 29
  11. 11. Полиномиальная эквивалентность между сложностямиТеоремаДля любой всюду определенной булевой функции f Q1/3 (f ) R1/3 (f ) D(f ) = O Q1/3 (f )6 .Наилучший известный разрывДля дизъюнкции OR = x1 ∨ x2 ∨ · · · ∨ xn выполняется √ Q1/3 (OR) = O( n); R1/3 (OR) = Ω(n); D(OR) = n.Открытая проблемаКакова точная величина разрыва между сложностями? М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 5 / 29
  12. 12. Очевидные соотношенияQ1/3 (f ) R1/3 (f ) D(f )Классический алгоритм это вероятностный, который используеттолько детерминированные распределения (одна из вероятностейравна 1).Вероятностные и детерминированные запросы можно моделироватьквантовыми, как уже объяснялось.D(OR) = nДизъюнкция от нулевого набора равна 0, а от остальных 1. Еслисделать меньше n запросов противник даст нулевые ответы и затемобмануть алгоритм. М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 6 / 29
  13. 13. Очевидные соотношенияQ1/3 (f ) R1/3 (f ) D(f )Классический алгоритм это вероятностный, который используеттолько детерминированные распределения (одна из вероятностейравна 1).Вероятностные и детерминированные запросы можно моделироватьквантовыми, как уже объяснялось.D(OR) = nДизъюнкция от нулевого набора равна 0, а от остальных 1. Еслисделать меньше n запросов противник даст нулевые ответы и затемобмануть алгоритм. М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 6 / 29
  14. 14. План1 Определения и основные результаты2 Квантовое вычисление дизъюнкции3 Вероятностное вычисление дизъюнкции: нижняя оценка4 Степень многочлена, приближающего булеву функцию М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 7 / 29
  15. 15. Квантовое вычисление дизъюнкцииМодификация алгоритма Гровера обеспечит вычисление дизъюнкции √за O( n) квантовых запросов.Аналогично предыдущим случаям, попробуем фазовый запрос Ox : |k → (−1)xk |k .Будем применять итерацию Гровера G = Rψ Ox , начиная с вектора |ψ .Здесь, как и раньше Rψ = 2|ψ ψ| − I . М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 8 / 29
  16. 16. Квантовое вычисление дизъюнкцииМодификация алгоритма Гровера обеспечит вычисление дизъюнкции √за O( n) квантовых запросов.Аналогично предыдущим случаям, попробуем фазовый запрос Ox : |k → (−1)xk |k .Будем применять итерацию Гровера G = Rψ Ox , начиная с вектора |ψ .Здесь, как и раньше Rψ = 2|ψ ψ| − I . М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 8 / 29
  17. 17. Квантовое вычисление дизъюнкцииМодификация алгоритма Гровера обеспечит вычисление дизъюнкции √за O( n) квантовых запросов.Аналогично предыдущим случаям, попробуем фазовый запрос Ox : |k → (−1)xk |k .Будем применять итерацию Гровера G = Rψ Ox , начиная с вектора |ψ .Здесь, как и раньше Rψ = 2|ψ ψ| − I . М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 8 / 29
  18. 18. Инвариантное двумерное подпространство G : C(|ψ , |ξ ) → C(|ψ , |ξ ) 1 |ξ = √ |k h k:x =1 kПроверим: 1 1 |ψ = √ |k + √ |k = n n k:xk =1 k:xk =0 h n−h 1 h n−h = |ξ + √ |k = |ξ + |η n n n−h n n k:xk =0 Ox |ξ = −|ξ Ox |η = |η М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 9 / 29
  19. 19. Инвариантное двумерное подпространство G : C(|ψ , |ξ ) → C(|ψ , |ξ ) 1 |ξ = √ |k h k:x =1 kПроверим: 1 1 |ψ = √ |k + √ |k = n n k:xk =1 k:xk =0 h n−h 1 h n−h = |ξ + √ |k = |ξ + |η n n n−h n n k:xk =0 Ox |ξ = −|ξ Ox |η = |η М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 9 / 29
  20. 20. Инвариантное двумерное подпространство G : C(|ψ , |ξ ) → C(|ψ , |ξ ) 1 |ξ = √ |k h k:x =1 kПроверим: 1 1 |ψ = √ |k + √ |k = n n k:xk =1 k:xk =0 h n−h 1 h n−h = |ξ + √ |k = |ξ + |η n n n−h n n k:xk =0 Ox |ξ = −|ξ Ox |η = |η М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 9 / 29
  21. 21. Инвариантное двумерное подпространство G : C(|ψ , |ξ ) → C(|ψ , |ξ ) 1 |ξ = √ |k h k:x =1 kПроверим: 1 1 |ψ = √ |k + √ |k = n n k:xk =1 k:xk =0 h n−h 1 h n−h = |ξ + √ |k = |ξ + |η n n n−h n n k:xk =0 Ox |ξ = −|ξ Ox |η = |η М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 9 / 29
  22. 22. Инвариантное двумерное подпространство G : C(|ψ , |ξ ) → C(|ψ , |ξ ) 1 |ξ = √ |k h k:x =1 kПроверим: 1 1 |ψ = √ |k + √ |k = n n k:xk =1 k:xk =0 h n−h 1 h n−h = |ξ + √ |k = |ξ + |η n n n−h n n k:xk =0 Ox |ξ = −|ξ Ox |η = |η М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 9 / 29
  23. 23. Инвариантное двумерное подпространство G : C(|ψ , |ξ ) → C(|ψ , |ξ ) 1 |ξ = √ |k h k:x =1 kПроверим: 1 1 |ψ = √ |k + √ |k = n n k:xk =1 k:xk =0 h n−h 1 h n−h = |ξ + √ |k = |ξ + |η n n n−h n n k:xk =0 Ox |ξ = −|ξ Ox |η = |η М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 9 / 29
  24. 24. Инвариантное двумерное подпространство G : C(|ψ , |ξ ) → C(|ψ , |ξ ) 1 |ξ = √ |k h k:x =1 kПроверим: 1 1 |ψ = √ |k + √ |k = n n k:xk =1 k:xk =0 h n−h 1 h n−h = |ξ + √ |k = |ξ + |η n n n−h n n k:xk =0 Ox |ξ = −|ξ Ox |η = |η М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 9 / 29
  25. 25. Угол поворота 1 1 h sin ϑ = ψ|ξ = h √ √ = n h n |ξ 2ϑ |ψ ϑ М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 10 / 29
  26. 26. Схема алгоритмаКоличество итераций зависит от числа единиц. Оно нам неизвестно.Будем выбирать случайно.Алгоритм Q∨ : 1 Повторить следующие действия 5 раз: (a) выбрать номер переменной k по равномерному распределению на [1; n]; (b) запросить xk ; (c) если xk = 1, то завершить алгоритм с результатом 1. √ 2 Положить m = n. 3 Выбрать t по равномерному распределению на [0; m − 1]; 4 Приготовить состояние |ψ . 5 Выполнить t итераций Гровера. 6 Измерить полученное состояние, результат обозначим k. 7 Закончить работу с результатом xk . М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 11 / 29
  27. 27. Схема алгоритмаКоличество итераций зависит от числа единиц. Оно нам неизвестно.Будем выбирать случайно.Алгоритм Q∨ : 1 Повторить следующие действия 5 раз: (a) выбрать номер переменной k по равномерному распределению на [1; n]; (b) запросить xk ; (c) если xk = 1, то завершить алгоритм с результатом 1. √ 2 Положить m = n. 3 Выбрать t по равномерному распределению на [0; m − 1]; 4 Приготовить состояние |ψ . 5 Выполнить t итераций Гровера. 6 Измерить полученное состояние, результат обозначим k. 7 Закончить работу с результатом xk . М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 11 / 29
  28. 28. Схема алгоритмаКоличество итераций зависит от числа единиц. Оно нам неизвестно.Будем выбирать случайно.Алгоритм Q∨ : 1 Повторить следующие действия 5 раз: (a) выбрать номер переменной k по равномерному распределению на [1; n]; (b) запросить xk ; (c) если xk = 1, то завершить алгоритм с результатом 1. √ 2 Положить m = n. 3 Выбрать t по равномерному распределению на [0; m − 1]; 4 Приготовить состояние |ψ . 5 Выполнить t итераций Гровера. 6 Измерить полученное состояние, результат обозначим k. 7 Закончить работу с результатом xk . М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 11 / 29
  29. 29. Схема алгоритмаКоличество итераций зависит от числа единиц. Оно нам неизвестно.Будем выбирать случайно.Алгоритм Q∨ : 1 Повторить следующие действия 5 раз: (a) выбрать номер переменной k по равномерному распределению на [1; n]; (b) запросить xk ; (c) если xk = 1, то завершить алгоритм с результатом 1. √ 2 Положить m = n. 3 Выбрать t по равномерному распределению на [0; m − 1]; 4 Приготовить состояние |ψ . 5 Выполнить t итераций Гровера. 6 Измерить полученное состояние, результат обозначим k. 7 Закончить работу с результатом xk . М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 11 / 29
  30. 30. Схема алгоритмаКоличество итераций зависит от числа единиц. Оно нам неизвестно.Будем выбирать случайно.Алгоритм Q∨ : 1 Повторить следующие действия 5 раз: (a) выбрать номер переменной k по равномерному распределению на [1; n]; (b) запросить xk ; (c) если xk = 1, то завершить алгоритм с результатом 1. √ 2 Положить m = n. 3 Выбрать t по равномерному распределению на [0; m − 1]; 4 Приготовить состояние |ψ . 5 Выполнить t итераций Гровера. 6 Измерить полученное состояние, результат обозначим k. 7 Закончить работу с результатом xk . М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 11 / 29
  31. 31. Схема алгоритмаКоличество итераций зависит от числа единиц. Оно нам неизвестно.Будем выбирать случайно.Алгоритм Q∨ : 1 Повторить следующие действия 5 раз: (a) выбрать номер переменной k по равномерному распределению на [1; n]; (b) запросить xk ; (c) если xk = 1, то завершить алгоритм с результатом 1. √ 2 Положить m = n. 3 Выбрать t по равномерному распределению на [0; m − 1]; 4 Приготовить состояние |ψ . 5 Выполнить t итераций Гровера. 6 Измерить полученное состояние, результат обозначим k. 7 Закончить работу с результатом xk . М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 11 / 29
  32. 32. Схема алгоритмаКоличество итераций зависит от числа единиц. Оно нам неизвестно.Будем выбирать случайно.Алгоритм Q∨ : 1 Повторить следующие действия 5 раз: (a) выбрать номер переменной k по равномерному распределению на [1; n]; (b) запросить xk ; (c) если xk = 1, то завершить алгоритм с результатом 1. √ 2 Положить m = n. 3 Выбрать t по равномерному распределению на [0; m − 1]; 4 Приготовить состояние |ψ . 5 Выполнить t итераций Гровера. 6 Измерить полученное состояние, результат обозначим k. 7 Закончить работу с результатом xk . М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 11 / 29
  33. 33. Схема алгоритмаКоличество итераций зависит от числа единиц. Оно нам неизвестно.Будем выбирать случайно.Алгоритм Q∨ : 1 Повторить следующие действия 5 раз: (a) выбрать номер переменной k по равномерному распределению на [1; n]; (b) запросить xk ; (c) если xk = 1, то завершить алгоритм с результатом 1. √ 2 Положить m = n. 3 Выбрать t по равномерному распределению на [0; m − 1]; 4 Приготовить состояние |ψ . 5 Выполнить t итераций Гровера. 6 Измерить полученное состояние, результат обозначим k. 7 Закончить работу с результатом xk . М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 11 / 29
  34. 34. Схема алгоритмаКоличество итераций зависит от числа единиц. Оно нам неизвестно.Будем выбирать случайно.Алгоритм Q∨ : 1 Повторить следующие действия 5 раз: (a) выбрать номер переменной k по равномерному распределению на [1; n]; (b) запросить xk ; (c) если xk = 1, то завершить алгоритм с результатом 1. √ 2 Положить m = n. 3 Выбрать t по равномерному распределению на [0; m − 1]; 4 Приготовить состояние |ψ . 5 Выполнить t итераций Гровера. 6 Измерить полученное состояние, результат обозначим k. 7 Закончить работу с результатом xk . М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 11 / 29
  35. 35. Схема алгоритмаКоличество итераций зависит от числа единиц. Оно нам неизвестно.Будем выбирать случайно.Алгоритм Q∨ : 1 Повторить следующие действия 5 раз: (a) выбрать номер переменной k по равномерному распределению на [1; n]; (b) запросить xk ; (c) если xk = 1, то завершить алгоритм с результатом 1. √ 2 Положить m = n. 3 Выбрать t по равномерному распределению на [0; m − 1]; 4 Приготовить состояние |ψ . 5 Выполнить t итераций Гровера. 6 Измерить полученное состояние, результат обозначим k. 7 Закончить работу с результатом xk . М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 11 / 29
  36. 36. Свойства алгоритма √ Количество запросов O( n). Если OR(x) = 0, то вероятность ошибки 0.УтверждениеЕсли OR(x) = 1, то вероятность ошибки < 3/4.Повторив алгоритм k раз, сделаем вероятность ошибки < (3/4)k .ТеоремаСуществует алгоритм, который вычисляет дизъюнкцию n переменных √с вероятностью ошибки ε за O( n log ε−1 ) квантовых запросов. М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 12 / 29
  37. 37. Свойства алгоритма √ Количество запросов O( n). Если OR(x) = 0, то вероятность ошибки 0.УтверждениеЕсли OR(x) = 1, то вероятность ошибки < 3/4.Повторив алгоритм k раз, сделаем вероятность ошибки < (3/4)k .ТеоремаСуществует алгоритм, который вычисляет дизъюнкцию n переменных √с вероятностью ошибки ε за O( n log ε−1 ) квантовых запросов. М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 12 / 29
  38. 38. Свойства алгоритма √ Количество запросов O( n). Если OR(x) = 0, то вероятность ошибки 0.УтверждениеЕсли OR(x) = 1, то вероятность ошибки < 3/4.Повторив алгоритм k раз, сделаем вероятность ошибки < (3/4)k .ТеоремаСуществует алгоритм, который вычисляет дизъюнкцию n переменных √с вероятностью ошибки ε за O( n log ε−1 ) квантовых запросов. М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 12 / 29
  39. 39. Свойства алгоритма √ Количество запросов O( n). Если OR(x) = 0, то вероятность ошибки 0.УтверждениеЕсли OR(x) = 1, то вероятность ошибки < 3/4.Повторив алгоритм k раз, сделаем вероятность ошибки < (3/4)k .ТеоремаСуществует алгоритм, который вычисляет дизъюнкцию n переменных √с вероятностью ошибки ε за O( n log ε−1 ) квантовых запросов. М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 12 / 29
  40. 40. Свойства алгоритма √ Количество запросов O( n). Если OR(x) = 0, то вероятность ошибки 0.УтверждениеЕсли OR(x) = 1, то вероятность ошибки < 3/4.Повторив алгоритм k раз, сделаем вероятность ошибки < (3/4)k .ТеоремаСуществует алгоритм, который вычисляет дизъюнкцию n переменных √с вероятностью ошибки ε за O( n log ε−1 ) квантовых запросов. М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 12 / 29
  41. 41. Оценка вероятности ошибки: два случая 1 Количество единиц велико: h n/5. Вторая стадия алгоритма потребуется с вероятностью, не превосходящей 5 1 1− ≈ e −1 5 и вероятность ошибки не больше этой величины. 2 Количество единиц мало: 0 < h < n/5. Будем оценивать вероятность успеха при итерациях Гровера. Успех: такое измерение, которое дает номер переменной, равной 1. М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 13 / 29
  42. 42. Оценка вероятности ошибки: два случая 1 Количество единиц велико: h n/5. Вторая стадия алгоритма потребуется с вероятностью, не превосходящей 5 1 1− ≈ e −1 5 и вероятность ошибки не больше этой величины. 2 Количество единиц мало: 0 < h < n/5. Будем оценивать вероятность успеха при итерациях Гровера. Успех: такое измерение, которое дает номер переменной, равной 1. М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 13 / 29
  43. 43. Оценка вероятности ошибки: два случая 1 Количество единиц велико: h n/5. Вторая стадия алгоритма потребуется с вероятностью, не превосходящей 5 1 1− ≈ e −1 5 и вероятность ошибки не больше этой величины. 2 Количество единиц мало: 0 < h < n/5. Будем оценивать вероятность успеха при итерациях Гровера. Успех: такое измерение, которое дает номер переменной, равной 1. М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 13 / 29
  44. 44. Оценка вероятности ошибки: два случая 1 Количество единиц велико: h n/5. Вторая стадия алгоритма потребуется с вероятностью, не превосходящей 5 1 1− ≈ e −1 5 и вероятность ошибки не больше этой величины. 2 Количество единиц мало: 0 < h < n/5. Будем оценивать вероятность успеха при итерациях Гровера. Успех: такое измерение, которое дает номер переменной, равной 1. М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 13 / 29
  45. 45. Оценка вероятности успеха для заданного числаитерацийЛеммаВероятность успеха после t итераций Гровера, начиная с состояния|ψ , равна sin2 ((2t + 1)ϑ).Доказательство |ξ 2ϑ |ψ ϑ М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 14 / 29
  46. 46. Оценка вероятности успеха для заданного числаитерацийЛеммаВероятность успеха после t итераций Гровера, начиная с состояния|ψ , равна sin2 ((2t + 1)ϑ).Доказательство |ξ Начальный угол ϑ. 2ϑ |ψ ϑ М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 14 / 29
  47. 47. Оценка вероятности успеха для заданного числаитерацийЛеммаВероятность успеха после t итераций Гровера, начиная с состояния|ψ , равна sin2 ((2t + 1)ϑ).Доказательство |ξ Начальный угол ϑ. 2ϑ Каждая итерация поворачивает |ψ вектор на угол 2ϑ. ϑ М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 14 / 29
  48. 48. Оценка вероятности успеха для заданного числаитерацийЛеммаВероятность успеха после t итераций Гровера, начиная с состояния|ψ , равна sin2 ((2t + 1)ϑ).Доказательство |ξ Начальный угол ϑ. 2ϑ Каждая итерация поворачивает |ψ вектор на угол 2ϑ. ϑ Координаты вектора после t итераций (cos((2t + 1)ϑ), sin((2t + 1)ϑ)) М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 14 / 29
  49. 49. Оценка вероятности успеха для заданного числаитерацийЛеммаВероятность успеха после t итераций Гровера, начиная с состояния|ψ , равна sin2 ((2t + 1)ϑ).Доказательство |ξ Вероятность успеха квадрат модуля 2ϑ амплитуды базисного вектора |ξ : |ψ ϑ sin2 ((2t + 1)ϑ) М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 14 / 29
  50. 50. Случайный выбор числа итерацийЛеммаВероятность успеха 1 sin(4mϑ) Pm = − . 2 4m sin(2ϑ)Доказательство По формуле полной вероятности m−1 m−1 1 1 Pm = sin2 ((2j + 1)ϑ) = 1 − cos((2j + 1)2ϑ) . m 2m j=0 j=0 Теперь свернем сумму косинусов, используя формулу m−1 sin(2mϕ) cos((2j + 1)ϕ) = . 2 sin ϕ j=0 М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 15 / 29
  51. 51. Случайный выбор числа итерацийЛеммаВероятность успеха 1 sin(4mϑ) Pm = − . 2 4m sin(2ϑ)Доказательство По формуле полной вероятности m−1 m−1 1 1 Pm = sin2 ((2j + 1)ϑ) = 1 − cos((2j + 1)2ϑ) . m 2m j=0 j=0 Теперь свернем сумму косинусов, используя формулу m−1 sin(2mϕ) cos((2j + 1)ϕ) = . 2 sin ϕ j=0 М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 15 / 29
  52. 52. Вероятность успеха на второй стадии алгоритма Из второй леммы 1 sin(4mϑ) Pm = − 2 4m sin(2ϑ) При m > 1/ sin(2ϑ) вероятность успеха не меньше 1/4. Если h < n/5, то sin(2ϑ) > sin ϑ = h/n. Поэтому √ n 1 1 n> = > . h sin ϑ sin(2ϑ) Вероятность успеха не меньше 1/4. Вероятность ошибки меньше 3/4. М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 16 / 29
  53. 53. Вероятность успеха на второй стадии алгоритма Из второй леммы 1 sin(4mϑ) Pm = − 2 4m sin(2ϑ) При m > 1/ sin(2ϑ) вероятность успеха не меньше 1/4. Если h < n/5, то sin(2ϑ) > sin ϑ = h/n. Поэтому √ n 1 1 n> = > . h sin ϑ sin(2ϑ) Вероятность успеха не меньше 1/4. Вероятность ошибки меньше 3/4. М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 16 / 29
  54. 54. Вероятность успеха на второй стадии алгоритма Из второй леммы 1 sin(4mϑ) Pm = − 2 4m sin(2ϑ) При m > 1/ sin(2ϑ) вероятность успеха не меньше 1/4. Если h < n/5, то sin(2ϑ) > sin ϑ = h/n. Поэтому √ n 1 1 n> = > . h sin ϑ sin(2ϑ) Вероятность успеха не меньше 1/4. Вероятность ошибки меньше 3/4. М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 16 / 29
  55. 55. Вероятность успеха на второй стадии алгоритма Из второй леммы 1 sin(4mϑ) Pm = − 2 4m sin(2ϑ) При m > 1/ sin(2ϑ) вероятность успеха не меньше 1/4. Если h < n/5, то sin(2ϑ) > sin ϑ = h/n. Поэтому √ n 1 1 n> = > . h sin ϑ sin(2ϑ) Вероятность успеха не меньше 1/4. Вероятность ошибки меньше 3/4. М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 16 / 29
  56. 56. Вероятность успеха на второй стадии алгоритма Из второй леммы 1 sin(4mϑ) Pm = − 2 4m sin(2ϑ) При m > 1/ sin(2ϑ) вероятность успеха не меньше 1/4. Если h < n/5, то sin(2ϑ) > sin ϑ = h/n. Поэтому √ n 1 1 n> = > . h sin ϑ sin(2ϑ) Вероятность успеха не меньше 1/4. Вероятность ошибки меньше 3/4. М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 16 / 29
  57. 57. Вероятность успеха на второй стадии алгоритма Из второй леммы 1 sin(4mϑ) Pm = − 2 4m sin(2ϑ) При m > 1/ sin(2ϑ) вероятность успеха не меньше 1/4. Если h < n/5, то sin(2ϑ) > sin ϑ = h/n. Поэтому √ n 1 1 n> = > . h sin ϑ sin(2ϑ) Вероятность успеха не меньше 1/4. Вероятность ошибки меньше 3/4. М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 16 / 29
  58. 58. План1 Определения и основные результаты2 Квантовое вычисление дизъюнкции3 Вероятностное вычисление дизъюнкции: нижняя оценка4 Степень многочлена, приближающего булеву функцию М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 17 / 29
  59. 59. ЧувствительностьОпределениеЧувствительность sx (f ) функции f в точке x равна количествупеременных xk , для которых f (x) = f (x ⊕ ek ). Здесьek = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0). k−1(Сколько соседей на булевом кубе имеют другое значение функции.)Чувствительность s(f ) функции f равна maxx sx (f ).Примерs(OR) = n, так как s0n (OR) = n (у всех соседей точки 0n значение 1, ау самой точки 0). М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 18 / 29
  60. 60. ЧувствительностьОпределениеЧувствительность sx (f ) функции f в точке x равна количествупеременных xk , для которых f (x) = f (x ⊕ ek ). Здесьek = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0). k−1(Сколько соседей на булевом кубе имеют другое значение функции.)Чувствительность s(f ) функции f равна maxx sx (f ).Примерs(OR) = n, так как s0n (OR) = n (у всех соседей точки 0n значение 1, ау самой точки 0). М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 18 / 29
  61. 61. ЧувствительностьОпределениеЧувствительность sx (f ) функции f в точке x равна количествупеременных xk , для которых f (x) = f (x ⊕ ek ). Здесьek = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0). k−1(Сколько соседей на булевом кубе имеют другое значение функции.)Чувствительность s(f ) функции f равна maxx sx (f ).Примерs(OR) = n, так как s0n (OR) = n (у всех соседей точки 0n значение 1, ау самой точки 0). М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 18 / 29
  62. 62. ЧувствительностьОпределениеЧувствительность sx (f ) функции f в точке x равна количествупеременных xk , для которых f (x) = f (x ⊕ ek ). Здесьek = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0). k−1(Сколько соседей на булевом кубе имеют другое значение функции.)Чувствительность s(f ) функции f равна maxx sx (f ).Примерs(OR) = n, так как s0n (OR) = n (у всех соседей точки 0n значение 1, ау самой точки 0). М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 18 / 29
  63. 63. Нижняя оценка вероятностной сложностиТеоремаs(f ) 3R1/3 (f )ДоказательствоАналогично оценке для числа вероятностных запросов в задачепоиска.Пусть в x достигается максимум sx (f ) = s, а x1 , . . . , xsсоответствующие переменные.Если алгоритм делает k s/3 запросов, то вероятность того, что однаиз этих переменных пропущена, не меньше 1/3.Но в этом случае противник может гарантировать ошибку, так какf (x) = f (x ⊕ ej ). М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 19 / 29
  64. 64. Нижняя оценка вероятностной сложностиТеоремаs(f ) 3R1/3 (f )ДоказательствоАналогично оценке для числа вероятностных запросов в задачепоиска.Пусть в x достигается максимум sx (f ) = s, а x1 , . . . , xsсоответствующие переменные.Если алгоритм делает k s/3 запросов, то вероятность того, что однаиз этих переменных пропущена, не меньше 1/3.Но в этом случае противник может гарантировать ошибку, так какf (x) = f (x ⊕ ej ). М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 19 / 29
  65. 65. Нижняя оценка вероятностной сложностиТеоремаs(f ) 3R1/3 (f )ДоказательствоАналогично оценке для числа вероятностных запросов в задачепоиска.Пусть в x достигается максимум sx (f ) = s, а x1 , . . . , xsсоответствующие переменные.Если алгоритм делает k s/3 запросов, то вероятность того, что однаиз этих переменных пропущена, не меньше 1/3.Но в этом случае противник может гарантировать ошибку, так какf (x) = f (x ⊕ ej ). М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 19 / 29
  66. 66. Нижняя оценка вероятностной сложностиТеоремаs(f ) 3R1/3 (f )ДоказательствоАналогично оценке для числа вероятностных запросов в задачепоиска.Пусть в x достигается максимум sx (f ) = s, а x1 , . . . , xsсоответствующие переменные.Если алгоритм делает k s/3 запросов, то вероятность того, что однаиз этих переменных пропущена, не меньше 1/3.Но в этом случае противник может гарантировать ошибку, так какf (x) = f (x ⊕ ej ). М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 19 / 29
  67. 67. Нижняя оценка вероятностной сложностиТеоремаs(f ) 3R1/3 (f )ДоказательствоАналогично оценке для числа вероятностных запросов в задачепоиска.Пусть в x достигается максимум sx (f ) = s, а x1 , . . . , xsсоответствующие переменные.Если алгоритм делает k s/3 запросов, то вероятность того, что однаиз этих переменных пропущена, не меньше 1/3.Но в этом случае противник может гарантировать ошибку, так какf (x) = f (x ⊕ ej ). М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 19 / 29
  68. 68. План1 Определения и основные результаты2 Квантовое вычисление дизъюнкции3 Вероятностное вычисление дизъюнкции: нижняя оценка4 Степень многочлена, приближающего булеву функцию М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 20 / 29
  69. 69. Многочлены и булевы функцииОпределенияМногочлен p : Rn → R приближает булеву функциюf : {0, 1}n → {0, 1}, если для любого x ∈ {0, 1}n выполняется 1 |p(x) − f (x)| < . 3Степенью (приближения) deg(f ) булевой функции f называетсянаименьшая степень многочлена, приближающего f .ЗадачаДокажите, что для любой булевой функции f от n переменныхсуществует единственный мультилинейный многочлен p степени невыше n, который точно представляет f : равенство f (x) = p(x)выполняется для всех x ∈ {0, 1}n . М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 21 / 29
  70. 70. Многочлены и булевы функцииОпределенияМногочлен p : Rn → R приближает булеву функциюf : {0, 1}n → {0, 1}, если для любого x ∈ {0, 1}n выполняется 1 |p(x) − f (x)| < . 3Степенью (приближения) deg(f ) булевой функции f называетсянаименьшая степень многочлена, приближающего f .ЗадачаДокажите, что для любой булевой функции f от n переменныхсуществует единственный мультилинейный многочлен p степени невыше n, который точно представляет f : равенство f (x) = p(x)выполняется для всех x ∈ {0, 1}n . М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 21 / 29
  71. 71. Многочлены и булевы функцииОпределенияМногочлен p : Rn → R приближает булеву функциюf : {0, 1}n → {0, 1}, если для любого x ∈ {0, 1}n выполняется 1 |p(x) − f (x)| < . 3Степенью (приближения) deg(f ) булевой функции f называетсянаименьшая степень многочлена, приближающего f .ЗадачаДокажите, что для любой булевой функции f от n переменныхсуществует единственный мультилинейный многочлен p степени невыше n, который точно представляет f : равенство f (x) = p(x)выполняется для всех x ∈ {0, 1}n . М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 21 / 29
  72. 72. Многочлены и булевы функцииОпределенияМногочлен p : Rn → R приближает булеву функциюf : {0, 1}n → {0, 1}, если для любого x ∈ {0, 1}n выполняется 1 |p(x) − f (x)| < . 3Степенью (приближения) deg(f ) булевой функции f называетсянаименьшая степень многочлена, приближающего f .ЗадачаДокажите, что для любой булевой функции f от n переменныхсуществует единственный мультилинейный многочлен p степени невыше n, который точно представляет f : равенство f (x) = p(x)выполняется для всех x ∈ {0, 1}n . М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 21 / 29
  73. 73. Оценка Q1/3 (f ) через степень приближенияТеоремаДля любой булевой функции deg(f ) 2Q1/3 (f ).ЛеммаЕсли алгоритм вычисления f делает d квантовых запросов, тосостояние его памяти перед финальным измерением имеет вид αw (x)|w , w ∈Wгде w состояния памяти алгоритма, а αw (x) (комплексные)многочлены от x степени не выше d . М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 22 / 29
  74. 74. Оценка Q1/3 (f ) через степень приближенияТеоремаДля любой булевой функции deg(f ) 2Q1/3 (f ).ЛеммаЕсли алгоритм вычисления f делает d квантовых запросов, тосостояние его памяти перед финальным измерением имеет вид αw (x)|w , w ∈Wгде w состояния памяти алгоритма, а αw (x) (комплексные)многочлены от x степени не выше d . М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 22 / 29
  75. 75. Оценка Q1/3 (f ) через степень приближения Перед измерением: αw (x)|w , deg αw (x) d. w ∈WВывод теоремы из леммыИсход w наблюдается при измерении с вероятностьюpw (x) = |αw (x)|2 .W1 множество тех состояний памяти, в которых алгоритм выдаетответ 1 . Вероятность ответа 1 равна p1 (x) = pw (x). wЭто многочлен от x степени 2d и такой, что 1 p1 (x) > 2/3 при f (x) = 1; 1/3 > p1 (x) 0 при f (x) = 0.Таким образом, deg(f ) deg p1 (x) 2d . М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 23 / 29
  76. 76. Оценка Q1/3 (f ) через степень приближения Перед измерением: αw (x)|w , deg αw (x) d. w ∈WВывод теоремы из леммыИсход w наблюдается при измерении с вероятностьюpw (x) = |αw (x)|2 .W1 множество тех состояний памяти, в которых алгоритм выдаетответ 1 . Вероятность ответа 1 равна p1 (x) = pw (x). wЭто многочлен от x степени 2d и такой, что 1 p1 (x) > 2/3 при f (x) = 1; 1/3 > p1 (x) 0 при f (x) = 0.Таким образом, deg(f ) deg p1 (x) 2d . М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 23 / 29
  77. 77. Оценка Q1/3 (f ) через степень приближения Перед измерением: αw (x)|w , deg αw (x) d. w ∈WВывод теоремы из леммыИсход w наблюдается при измерении с вероятностьюpw (x) = |αw (x)|2 .W1 множество тех состояний памяти, в которых алгоритм выдаетответ 1 . Вероятность ответа 1 равна p1 (x) = pw (x). wЭто многочлен от x степени 2d и такой, что 1 p1 (x) > 2/3 при f (x) = 1; 1/3 > p1 (x) 0 при f (x) = 0.Таким образом, deg(f ) deg p1 (x) 2d . М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 23 / 29
  78. 78. Оценка Q1/3 (f ) через степень приближения Перед измерением: αw (x)|w , deg αw (x) d. w ∈WВывод теоремы из леммыИсход w наблюдается при измерении с вероятностьюpw (x) = |αw (x)|2 .W1 множество тех состояний памяти, в которых алгоритм выдаетответ 1 . Вероятность ответа 1 равна p1 (x) = pw (x). wЭто многочлен от x степени 2d и такой, что 1 p1 (x) > 2/3 при f (x) = 1; 1/3 > p1 (x) 0 при f (x) = 0.Таким образом, deg(f ) deg p1 (x) 2d . М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 23 / 29
  79. 79. Оценка Q1/3 (f ) через степень приближения Перед измерением: αw (x)|w , deg αw (x) d. w ∈WВывод теоремы из леммыИсход w наблюдается при измерении с вероятностьюpw (x) = |αw (x)|2 .W1 множество тех состояний памяти, в которых алгоритм выдаетответ 1 . Вероятность ответа 1 равна p1 (x) = pw (x). wЭто многочлен от x степени 2d и такой, что 1 p1 (x) > 2/3 при f (x) = 1; 1/3 > p1 (x) 0 при f (x) = 0.Таким образом, deg(f ) deg p1 (x) 2d . М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 23 / 29
  80. 80. deg(f ) 2Q1/3 (f ): доказательство леммыСостояние памяти алгоритма после k запросов: |ψk = Uk Ox Uk−1 Ox . . . U1 Ox |ψ0 . Доказательство индукцией по k. Для k = 0 амплитуды не зависят от x, степень 0. Применение запроса. Было · · · + α(x)|w , k, 0 + β(x)|w , k, 1 + . . . Стало · · ·+(β(x)xk +α(x)(1−xk ))|w , k, 0 +(α(x)xk +β(x)(1−xk ))|w , k, 1 +. . . Степень увеличилась самое большее на 1. Унитарное преобразование: новая амплитуда линейная комбинация старых (коэффициенты от x не зависят). Степень не увеличивается. М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 24 / 29
  81. 81. deg(f ) 2Q1/3 (f ): доказательство леммыСостояние памяти алгоритма после k запросов: |ψk = Uk Ox Uk−1 Ox . . . U1 Ox |ψ0 . Доказательство индукцией по k. Для k = 0 амплитуды не зависят от x, степень 0. Применение запроса. Было · · · + α(x)|w , k, 0 + β(x)|w , k, 1 + . . . Стало · · ·+(β(x)xk +α(x)(1−xk ))|w , k, 0 +(α(x)xk +β(x)(1−xk ))|w , k, 1 +. . . Степень увеличилась самое большее на 1. Унитарное преобразование: новая амплитуда линейная комбинация старых (коэффициенты от x не зависят). Степень не увеличивается. М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 24 / 29
  82. 82. deg(f ) 2Q1/3 (f ): доказательство леммыСостояние памяти алгоритма после k запросов: |ψk = Uk Ox Uk−1 Ox . . . U1 Ox |ψ0 . Доказательство индукцией по k. Для k = 0 амплитуды не зависят от x, степень 0. Применение запроса. Было · · · + α(x)|w , k, 0 + β(x)|w , k, 1 + . . . Стало · · ·+(β(x)xk +α(x)(1−xk ))|w , k, 0 +(α(x)xk +β(x)(1−xk ))|w , k, 1 +. . . Степень увеличилась самое большее на 1. Унитарное преобразование: новая амплитуда линейная комбинация старых (коэффициенты от x не зависят). Степень не увеличивается. М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 24 / 29
  83. 83. deg(f ) 2Q1/3 (f ): доказательство леммыСостояние памяти алгоритма после k запросов: |ψk = Uk Ox Uk−1 Ox . . . U1 Ox |ψ0 . Доказательство индукцией по k. Для k = 0 амплитуды не зависят от x, степень 0. Применение запроса. Было · · · + α(x)|w , k, 0 + β(x)|w , k, 1 + . . . Стало · · ·+(β(x)xk +α(x)(1−xk ))|w , k, 0 +(α(x)xk +β(x)(1−xk ))|w , k, 1 +. . . Степень увеличилась самое большее на 1. Унитарное преобразование: новая амплитуда линейная комбинация старых (коэффициенты от x не зависят). Степень не увеличивается. М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 24 / 29
  84. 84. deg(f ) 2Q1/3 (f ): доказательство леммыСостояние памяти алгоритма после k запросов: |ψk = Uk Ox Uk−1 Ox . . . U1 Ox |ψ0 . Доказательство индукцией по k. Для k = 0 амплитуды не зависят от x, степень 0. Применение запроса. Было · · · + α(x)|w , k, 0 + β(x)|w , k, 1 + . . . Стало · · ·+(β(x)xk +α(x)(1−xk ))|w , k, 0 +(α(x)xk +β(x)(1−xk ))|w , k, 1 +. . . Степень увеличилась самое большее на 1. Унитарное преобразование: новая амплитуда линейная комбинация старых (коэффициенты от x не зависят). Степень не увеличивается. М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 24 / 29
  85. 85. deg(f ) 2Q1/3 (f ): доказательство леммыСостояние памяти алгоритма после k запросов: |ψk = Uk Ox Uk−1 Ox . . . U1 Ox |ψ0 . Доказательство индукцией по k. Для k = 0 амплитуды не зависят от x, степень 0. Применение запроса. Было · · · + α(x)|w , k, 0 + β(x)|w , k, 1 + . . . Стало · · ·+(β(x)xk +α(x)(1−xk ))|w , k, 0 +(α(x)xk +β(x)(1−xk ))|w , k, 1 +. . . Степень увеличилась самое большее на 1. Унитарное преобразование: новая амплитуда линейная комбинация старых (коэффициенты от x не зависят). Степень не увеличивается. М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 24 / 29
  86. 86. deg(f ) 2Q1/3 (f ): доказательство леммыСостояние памяти алгоритма после k запросов: |ψk = Uk Ox Uk−1 Ox . . . U1 Ox |ψ0 . Доказательство индукцией по k. Для k = 0 амплитуды не зависят от x, степень 0. Применение запроса. Было · · · + α(x)|w , k, 0 + β(x)|w , k, 1 + . . . Стало · · ·+(β(x)xk +α(x)(1−xk ))|w , k, 0 +(α(x)xk +β(x)(1−xk ))|w , k, 1 +. . . Степень увеличилась самое большее на 1. Унитарное преобразование: новая амплитуда линейная комбинация старых (коэффициенты от x не зависят). Степень не увеличивается. М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 24 / 29
  87. 87. Насколько хорошо степень приближает Qε (f )? Амбайнис (2006) построил семейство функций, для которых deg(fk ) = 2k , а Q1/3 (f ) = Ω(2.5k ). Для доказательства нижней оценки на квантовую сложность он использовал метод квантового противника (Амбайнис, 2002). Рейхарт (2010) доказал для одной из версий метода квантового противника, что она дает оценку Qε (f ) с точностью до мультипликативной константы. М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 25 / 29
  88. 88. Насколько хорошо степень приближает Qε (f )? Амбайнис (2006) построил семейство функций, для которых deg(fk ) = 2k , а Q1/3 (f ) = Ω(2.5k ). Для доказательства нижней оценки на квантовую сложность он использовал метод квантового противника (Амбайнис, 2002). Рейхарт (2010) доказал для одной из версий метода квантового противника, что она дает оценку Qε (f ) с точностью до мультипликативной константы. М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 25 / 29
  89. 89. Насколько хорошо степень приближает Qε (f )? Амбайнис (2006) построил семейство функций, для которых deg(fk ) = 2k , а Q1/3 (f ) = Ω(2.5k ). Для доказательства нижней оценки на квантовую сложность он использовал метод квантового противника (Амбайнис, 2002). Рейхарт (2010) доказал для одной из версий метода квантового противника, что она дает оценку Qε (f ) с точностью до мультипликативной константы. М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 25 / 29
  90. 90. Оценка квантовой сложности дизъюнкцииТеоремаdeg(OR) n/6. М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 26 / 29
  91. 91. Оценка квантовой сложности дизъюнкцииДоказательство p(x1 , . . . , xn ) приближает OR(x1 , . . . , xn ). Симметризация многочлена: 1 p sym (x1 , . . . , xn ) = p(xσ(1) , xσ(2) , . . . , xσ(n) ). n! σ∈Sn Специализация p (t) = p sym (t, t, . . . , t). ˜ Свойства специализации |˜(0)| < 1/3; p |˜(k) − 1| < 1/3 при 1 p k n. Отсюда следует deg p deg p sym deg p ˜ n/6. М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 27 / 29
  92. 92. Оценка квантовой сложности дизъюнкцииДоказательство p(x1 , . . . , xn ) приближает OR(x1 , . . . , xn ). Симметризация многочлена: 1 p sym (x1 , . . . , xn ) = p(xσ(1) , xσ(2) , . . . , xσ(n) ). n! σ∈Sn Специализация p (t) = p sym (t, t, . . . , t). ˜ Свойства специализации |˜(0)| < 1/3; p |˜(k) − 1| < 1/3 при 1 p k n. Отсюда следует deg p deg p sym deg p ˜ n/6. М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 27 / 29
  93. 93. Оценка квантовой сложности дизъюнкцииДоказательство p(x1 , . . . , xn ) приближает OR(x1 , . . . , xn ). Симметризация многочлена: 1 p sym (x1 , . . . , xn ) = p(xσ(1) , xσ(2) , . . . , xσ(n) ). n! σ∈Sn Специализация p (t) = p sym (t, t, . . . , t). ˜ Свойства специализации |˜(0)| < 1/3; p |˜(k) − 1| < 1/3 при 1 p k n. Отсюда следует deg p deg p sym deg p ˜ n/6. М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 27 / 29
  94. 94. Оценка квантовой сложности дизъюнкцииДоказательство p(x1 , . . . , xn ) приближает OR(x1 , . . . , xn ). Симметризация многочлена: 1 p sym (x1 , . . . , xn ) = p(xσ(1) , xσ(2) , . . . , xσ(n) ). n! σ∈Sn Специализация p (t) = p sym (t, t, . . . , t). ˜ Свойства специализации |˜(0)| < 1/3; p |˜(k) − 1| < 1/3 при 1 p k n. Отсюда следует deg p deg p sym deg p ˜ n/6. М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 27 / 29
  95. 95. Оценка квантовой сложности дизъюнкцииДоказательство p(x1 , . . . , xn ) приближает OR(x1 , . . . , xn ). Симметризация многочлена: 1 p sym (x1 , . . . , xn ) = p(xσ(1) , xσ(2) , . . . , xσ(n) ). n! σ∈Sn Специализация p (t) = p sym (t, t, . . . , t). ˜ Свойства специализации |˜(0)| < 1/3; p |˜(k) − 1| < 1/3 при 1 p k n. Отсюда следует deg p deg p sym deg p ˜ n/6. М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 27 / 29
  96. 96. Оценка квантовой сложности дизъюнкцииДоказательство p(x1 , . . . , xn ) приближает OR(x1 , . . . , xn ). Симметризация многочлена: 1 p sym (x1 , . . . , xn ) = p(xσ(1) , xσ(2) , . . . , xσ(n) ). n! σ∈Sn Специализация p (t) = p sym (t, t, . . . , t). ˜ Свойства специализации |˜(0)| < 1/3; p |˜(k) − 1| < 1/3 при 1 p k n. Отсюда следует deg p deg p sym deg p ˜ n/6. М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 27 / 29
  97. 97. Оценка квантовой сложности дизъюнкцииДоказательство p(x1 , . . . , xn ) приближает OR(x1 , . . . , xn ). Симметризация многочлена: 1 p sym (x1 , . . . , xn ) = p(xσ(1) , xσ(2) , . . . , xσ(n) ). n! σ∈Sn Специализация p (t) = p sym (t, t, . . . , t). ˜ Свойства специализации |˜(0)| < 1/3; p |˜(k) − 1| < 1/3 при 1 p k n. Отсюда следует deg p deg p sym deg p ˜ n/6. М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 27 / 29
  98. 98. Оценка степени многочленаТеорема (нижняя оценка на степень многочлена)Пусть f (x) многочлен и |f (0)| < 1/3, |f (1) − 1| < 1/3, а−1/3 < f (k) < 4/3 при 2 k n.Тогда deg f n/6.Теорема (Марков, 1889)Если |f (x)| 1 на отрезке [−1; 1], то |f (x)| (deg f )2 на отрезке[−1; 1].ЗадачаВыведите нижнюю оценку на степень многочлена из неравенстваМаркова. М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 28 / 29
  99. 99. Оценка степени многочленаТеорема (нижняя оценка на степень многочлена)Пусть f (x) многочлен и |f (0)| < 1/3, |f (1) − 1| < 1/3, а−1/3 < f (k) < 4/3 при 2 k n.Тогда deg f n/6.Теорема (Марков, 1889)Если |f (x)| 1 на отрезке [−1; 1], то |f (x)| (deg f )2 на отрезке[−1; 1].ЗадачаВыведите нижнюю оценку на степень многочлена из неравенстваМаркова. М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 28 / 29
  100. 100. Оценка степени многочленаТеорема (нижняя оценка на степень многочлена)Пусть f (x) многочлен и |f (0)| < 1/3, |f (1) − 1| < 1/3, а−1/3 < f (k) < 4/3 при 2 k n.Тогда deg f n/6.Теорема (Марков, 1889)Если |f (x)| 1 на отрезке [−1; 1], то |f (x)| (deg f )2 на отрезке[−1; 1].ЗадачаВыведите нижнюю оценку на степень многочлена из неравенстваМаркова. М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 28 / 29
  101. 101. Оценка степени многочленаТеорема (нижняя оценка на степень многочлена)Пусть f (x) многочлен и |f (0)| < 1/3, |f (1) − 1| < 1/3, а−1/3 < f (k) < 4/3 при 2 k n.Тогда deg f n/6.Теорема (Марков, 1889)Если |f (x)| 1 на отрезке [−1; 1], то |f (x)| (deg f )2 на отрезке[−1; 1].ЗадачаВыведите нижнюю оценку на степень многочлена из неравенстваМаркова. М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 28 / 29
  102. 102. Оценка квантовой сложности дизъюнкции: итогТеорема √ √√1 n Q1/3 (OR) n. 24Зазор между вероятностной и квантовой сложностью 1√ R1/3 (OR) √ √ n 24 n 3 Q1/3 (OR) М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 29 / 29

×