Pr i-7

1. §7. Гладкая задача с равенствами 7.1 Постановка задачи X, Y — линейные нормированные пространства, f : X → R, F : X → Y. Гладкая задача с ограничениями типа равенств: f(x) → extr; F(x) = 0. (P) Отметим, что отображение типа равенства в бесконечномерных пространствах может содержать в себе как конечное, так и бесконечное число равенств. Допустимые точки. Галеев Э. М. МГУ Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

9. §7. Гладкая задача с равенствами 7.2 Необходимые условия I порядка f(x) → extr; F(x) = 0. (P) Теорема (принцип Лагранжа) ˆx ∈ locextr P, X, Y — банаховы, f, F ∈ SD(ˆx) (гладкость), Im F (ˆx) — замкнутое подпространство в Y (ослабленное условие регулярности) ⇒ ∃ (λ0, y∗) ∈ R × Y∗, (λ0, y∗) = 0 : для функции Лагранжа L (x) = λ0f(x) + y∗, F(x) выполняется условие стационарности: L (ˆx) = 0 ⇔ λ0f (ˆx), h + y∗ , F (ˆx)[h] = 0 ∀ h ∈ X ⇔ λ0f (ˆx) + (F (ˆx))∗ y∗ = 0. Галеев Э. М. МГУ Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

24. Теорема (принцип Лагранжа) ˆx ∈ locextr P, X, Y — банаховы, f, F ∈ SD(ˆx), Im F (ˆx) — замкнуто в Y ⇒ ∃ (λ0, y∗) ∈ R × Y∗, (λ0, y∗) = 0 : для L =λ0f(x)+ y∗, F(x) выполняется условие стационарности: L (ˆx) = 0 ⇔ λ0f (ˆx), h + y∗ , F (ˆx)[h] = 0 ∀ h ∈ X. ¡ Определим F(x):= (f(x) − f(ˆx), F(x)), F : X → R × Y ⇒ F ∈ SD(ˆx), F (ˆx) = (f (ˆx), F (ˆx)): X → R × Y. Перепишем условие стационарности в виде (λ0,y∗ ), ( f (ˆx),h , F (ˆx)[h]) =0 ⇔ (λ0, y∗ ), F (ˆx)[h] =0 ∀ h∈X ⇔ (λ0, y∗), Im F (ˆx) = 0 ⇔ (λ0, y∗) ∈ (Im F (ˆx))⊥ ⇔ (Im F (ˆx))⊥ = 0. Поскольку по лемме о замкнутости образа (Im F (ˆx) замкнуто по условию, f (Ker F (ˆx)) = 0 или R — замкнуты) Im F (ˆx) замкнут в R × Y, то по лемме о нетривиальности аннулятора это эквивалентно тому, что замкнутое подпространство Im F (ˆx) в R × Y является собственным. Галеев Э. М. МГУ Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

42. f(x) → extr; F(x) = 0. (P) F(x):= (f(x) − f(ˆx), F(x)), F, F (ˆx): X → R × Y Доказательство теоремы проведем от противного. Предположим, что теорема не верна ⇒ Im F (ˆx) не является собственным подпространством в R × Y ⇒ Im F (ˆx) = R × Y. F(ˆx) = (0, 0). По т. об обратном отображении ∃ F−1: W ∈ O((0, 0), R×Y) → X : F−1(0, 0) = ˆx, F(F−1 (α,y))=(α,y), F−1 (α,y)−F−1 (0, 0) ≤ K (α,y)−(0, 0) ⇔ F−1 (α, y) − ˆx ≤ K (α, y) ∀ (α, y) ∈ W (K > 0). Положим x(ε):= F−1(ε, 0), |ε| мал ⇒ F(x(ε)) = (ε, 0) ⇔ f(x(ε)) − f(ˆx) = ε, F(x(ε)) = 0, x(ε) − ˆx = F−1 (ε, 0) − ˆx ≤ K (ε, 0) = K|ε| ⇒ ˆx ∈ locextr P — противоречие. £ Галеев Э. М. МГУ Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

63. Теорема (принцип Лагранжа) ˆx ∈ locextr P, X, Y — банаховы, f, F ∈ SD(ˆx), Im F (ˆx) — замкнуто в Y ⇒ ∃ (λ0, y∗) ∈ R × Y∗, (λ0, y∗) = 0 : λ0 f (ˆx), h + y∗ , F (ˆx)[h] = 0 ∀ h ∈ X. Замечание Если в условиях теоремы Im F (ˆx) = Y, то λ0 = 0, и, следовательно, можем считать его равным единице: λ0 = 1. ¡ Действительно, если λ0 = 0, то y∗ = 0 в силу того, что множители Лагранжа одновременно в ноль не обращаются. Поэтому условие стационарности приобретает вид: y∗, F (ˆx)[h] = 0 ∀ h ∈ X ⇔ y∗, Y = 0 ⇔ y∗ = 0 — противоречие. £ Галеев Э. М. МГУ Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

74. §7. Гладкая задача с равенствами 7.3 Необходимые условия II порядка X, Y — лин. норм. пространства, f : X → R, F : X → Y. f(x) → extr; F(x) = 0. (P) Теорема ˆx ∈ locmin P, X, Y — банаховы (условие банаховости), f, F ∈ D2(ˆx) (условие гладкости), Im F (ˆx) = Y (условие регулярности) ⇒ ∃ y∗ ∈ Y∗ : для функции Лагранжа с λ0 = 1 L (x) = f(x) + y∗, F(x) выполняется условие стационарности L (ˆx) = 0 ⇔ f (ˆx) + F (ˆx) ∗ y∗ = 0 и неотрицательности: L (ˆx)[h, h] ≥ 0 ∀ h ∈ Ker F (ˆx). Галеев Э. М. МГУ Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

97. ¡ Напомним, что (Замечание к Следствию 2 п. 5.3.3) существование второй производной Фреше в точке гарантирует строгую дифференцируемость отображения в этой точке. Поэтому условие стационарности вытекает из правила множителей Лагранжа для гладкой задачи с равенствами и замечания к нему (λ0 = 1 при Im F (ˆx) = Y). Галеев Э. М. МГУ Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

100. Условие неотрицательности. Возьмем h ∈ Ker F (ˆx). Поскольку по т. о касательном пространстве Ker F (ˆx)=Tˆx M, то h ∈ Tˆx M, где M := D(P) = {x ∈ X | F(x) = F(ˆx) = 0}. По определению касательного вектора ∃ ε > 0 и отображение r : [−ε; ε] → Y : F(ˆx + th + r(t)) = 0 ∀ t ∈ [−ε; ε] и r(t) = o(t) при t → 0 ⇒ ˆx + th + r(t) ∈ D(P) при t ∈ [−ε; ε]. Тогда для L (x) = f(x) + y∗, F(x) имеем: f(ˆx) ˆx∈locmin ≤ f(ˆx + th + r(t)) def L = L (ˆx + th + r(t))− − y∗, F(ˆx + th + r(t)) ф. Тейлора = L (ˆx) + L (ˆx)[th + r(t)]+ +1 2 L (ˆx)[th + r(t), th + r(t)] + o( th + r(t) 2) = = f(ˆx) + t2 2 L (ˆx)[h, h] + o(t2) ⇒ t2 2 L (ˆx)[h, h] + o(t2) ≥ 0 при малых t. Разделим обе части последнего неравенства на t2 и устремим t к нулю. Получим L (ˆx)[h, h] ≥ 0. £ Необходимое условие максимума формулируется аналогично для L (x) = −f(x) + y∗, F(x) . £ Галеев Э. М. МГУ Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

Pr i-7

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Viewers also liked

Viewers also liked (8)

Similar to Pr i-7

Similar to Pr i-7 (19)

Pr i-7