integrales definidas explicadas con ejemplos ecuaciones diferenciales explicadas y con ejemplos

1. República Bolivariana De Venezuela.
Instituto Universitario De Tecnología
De Administración Industrial.
Extensión Puerto La Cruz.
Integrantes: Tutor:
Crysmari Mujica V-26.422.252 Miguel Maestre
Georgina Ríos V-29.538.424
Engelberth Salaya V-29.633.490
Puerto La Cruz, 29 de Agosto de 2020.
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE
TECNOLOGÍA DE
ADMINISTRACIÓN INDUSTRIAL
EXTENSIÓN PUERTO LA CRUZ

2. 1.- Resolver las siguientes integrales definidas:
𝒂) ∫ (𝟒𝒙 − 𝟔𝒙𝟐)
𝟐
−𝟏
𝒅𝒙
El teorema de la suma establece que:
∫[𝒇(𝒙) ± 𝒈(𝒙)] 𝒅𝒙 = ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 ± ∫ 𝒈(𝒙) 𝒅𝒙
Y el teorema de la constante establece que:
∫ 𝒄𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝒄 ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙
Aplicando ambos teoremas a nuestra integral, tenemos:
𝟒 ∫ 𝒙
𝟐
−𝟏
𝒅𝒙 − 𝟔 ∫ 𝒙𝟐
𝟐
−𝟏
𝒅𝒙
Integramos:
𝟒
𝒙𝟏+𝟏
𝟏 + 𝟏
− 𝟔
𝒙𝟐+𝟏
𝟐 + 𝟏
= 𝟒
𝒙𝟐
𝟐
− 𝟔
𝒙𝟑
𝟑
= 𝟐𝒙𝟐
− 𝟐𝒙𝟑
Evaluamos los límites de integración:
𝟐(𝟐)𝟐
− 𝟐(𝟐)𝟑
− [𝟐(−𝟏)𝟐
− 𝟐(−𝟏)𝟑] = 𝟖 − 𝟏𝟔 − 𝟐 − 𝟐 = −𝟏𝟐 𝒖
Por lo tanto:
∫ (𝟒𝒙 − 𝟔𝒙𝟐)
𝟐
−𝟏
𝒅𝒙 = −𝟏𝟐 𝒖
𝒃) ∫ (𝒙
𝟏
𝟑
⁄
+ 𝒙
𝟒
𝟑
⁄
)
𝟖
𝟏
𝒅𝒙
El teorema de la suma establece que:
∫[𝒇(𝒙) ± 𝒈(𝒙)] 𝒅𝒙 = ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 ± ∫ 𝒈(𝒙) 𝒅𝒙

3. Aplicando este teorema a nuestra integral, tenemos:
∫ 𝒙
𝟏
𝟑
⁄
𝟖
𝟏
𝒅𝒙 + ∫ 𝒙
𝟒
𝟑
⁄
𝟖
𝟏
𝒅𝒙
Integramos:
𝒙
[
𝟏
𝟑
+𝟏]
[
𝟏
𝟑
+ 𝟏]
+
𝒙
[
𝟒
𝟑
+𝟏]
[
𝟒
𝟑
+ 𝟏]
=
𝟑
𝟒
𝒙
𝟒
𝟑
⁄
+
𝟑
𝟕
𝒙
𝟕
𝟑
⁄
Evaluamos los límites de integración:
𝟑
𝟒
(𝟖)
𝟒
𝟑
⁄
+
𝟑
𝟕
(𝟖)
𝟕
𝟑
⁄
− [
𝟑
𝟒
(𝟏)
𝟒
𝟑
⁄
+
𝟑
𝟕
(𝟏)
𝟕
𝟑
⁄
] =
𝟑
𝟒
(𝟏𝟔) +
𝟑
𝟕
(𝟏𝟐𝟖) −
𝟑
𝟒
−
𝟑
𝟕
= 𝟏𝟐 +
𝟑𝟖𝟒
𝟕
−
𝟑
𝟒
−
𝟑
𝟕
=
𝟏𝟖𝟑𝟗
𝟐𝟖
𝒖
Por lo tanto:
∫ (𝒙
𝟏
𝟑
⁄
+ 𝒙
𝟒
𝟑
⁄
)
𝟖
𝟏
𝒅𝒙 =
𝟏𝟖𝟑𝟗
𝟐𝟖
𝒖
𝒄) ∫ 𝟑 𝐬𝐢𝐧(𝒙)
𝝅
𝟎
𝒅𝒙
El teorema de la constante establece que:
∫ 𝒄𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝒄 ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙
Aplicando este teorema a nuestra integral, tenemos:
𝟑 ∫ 𝐬𝐢𝐧(𝒙)
𝝅
𝟎
𝒅𝒙
Integrando, nos queda:
−𝟑 𝐜𝐨𝐬(𝒙)
Evaluamos los límites de integración:
−𝟑 𝐜𝐨𝐬(𝝅) + 𝟑 𝐜𝐨𝐬(𝟎) = 𝟑 + 𝟑 = 𝟔

4. Por lo tanto:
∫ 𝟑 𝐬𝐢𝐧(𝒙)
𝝅
𝟎
𝒅𝒙 = 𝟔
𝒅) ∫ [𝐜𝐨𝐬(𝟐𝒙) + 𝐬𝐢𝐧(𝟐𝒙)]
𝝅
𝟒
⁄
𝟎
𝒅𝒙
El teorema de la suma establece que:
∫[𝒇(𝒙) ± 𝒈(𝒙)] 𝒅𝒙 = ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 ± ∫ 𝒈(𝒙) 𝒅𝒙
Aplicando este teorema a nuestra integral, tenemos:
∫ 𝐜𝐨𝐬(𝟐𝒙)
𝝅
𝟒
⁄
𝟎
𝒅𝒙 + ∫ 𝐬𝐢𝐧(𝟐𝒙)
𝝅
𝟒
⁄
𝟎
𝒅𝒙
Hacemos un cambio de variable para ambas integrales:
𝒖 = 𝟐𝒙
𝒅𝒖 = 𝟐𝒅𝒙
𝒅𝒖
𝟐
= 𝒅𝒙
Nos queda:
∫
𝟏
𝟐
𝐜𝐨𝐬(𝒖)
𝝅
𝟒
⁄
𝟎
𝒅𝒖 + ∫
𝟏
𝟐
𝐬𝐢𝐧(𝒖)
𝝅
𝟒
⁄
𝟎
𝒅𝒖
El teorema de la constante establece que:
∫ 𝒄𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝒄 ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙
Aplicándolo a ambas integrales, nos queda:
𝟏
𝟐
∫ 𝐜𝐨𝐬(𝒖)
𝝅
𝟒
⁄
𝟎
𝒅𝒖 +
𝟏
𝟐
∫ 𝐬𝐢𝐧(𝒖)
𝝅
𝟒
⁄
𝟎
𝒅𝒖

5. Integrando, tenemos:
𝟏
𝟐
𝐬𝐢𝐧(𝒖) −
𝟏
𝟐
𝐜𝐨𝐬(𝒖)
Regresando a la variable original:
𝟏
𝟐
𝐬𝐢𝐧(𝟐𝒙) −
𝟏
𝟐
𝐜𝐨𝐬(𝟐𝒙)
Evaluamos los límites de integración:
𝟏
𝟐
𝐬𝐢𝐧 (𝟐
𝝅
𝟒
) −
𝟏
𝟐
𝐜𝐨𝐬 (𝟐
𝝅
𝟒
) − [
𝟏
𝟐
𝐬𝐢𝐧(𝟎) −
𝟏
𝟐
𝐜𝐨𝐬(𝟎)] =
𝟏
𝟐
+
𝟏
𝟐
= 𝟏
Por lo tanto:
∫ [𝐜𝐨𝐬(𝟐𝒙) + 𝐬𝐢𝐧(𝟐𝒙)]
𝝅
𝟒
⁄
𝟎
𝒅𝒙 = 𝟏
2.- Demuestre que:
∫ 𝒙 𝐜𝐨𝐬(𝒙)
𝝅
𝟐
⁄
𝟎
𝒅𝒙 =
𝝅
𝟐
− 𝟏
El teorema de integración por parte establece:
∫ 𝒖 𝒅𝒗 = 𝒖𝒗 − ∫ 𝒗 𝒅𝒖
Diremos por conveniencia que:
𝒖 = 𝒙, por tanto: 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙
𝒅𝒗 = 𝐜𝐨𝐬(𝒙) 𝒅𝒙, por tanto: ∫ 𝒅𝒗 = ∫ 𝐜𝐨𝐬(𝒙) 𝒅𝒙
Integrando, nos queda que: 𝒗 = 𝐬𝐢𝐧(𝒙) + 𝒄
Sustituyendo, tenemos:
∫ 𝒙 𝐜𝐨𝐬(𝒙)
𝝅
𝟐
⁄
𝟎
𝒅𝒙 = 𝒙 𝐬𝐢𝐧(𝒙) − ∫ 𝐬𝐢𝐧(𝒙)
𝝅
𝟐
⁄
𝟎
𝒅𝒙
Integrando, nos queda entonces:
𝒙 𝐬𝐢𝐧(𝒙) + 𝐜𝐨𝐬(𝒙)

6. Evaluamos los límites de integración:
𝝅
𝟐
𝐬𝐢𝐧 (
𝝅
𝟐
) + 𝐜𝐨𝐬 (
𝝅
𝟐
) − [(𝟎) 𝐬𝐢𝐧(𝟎) + 𝐜𝐨𝐬(𝟎)] =
𝝅
𝟐
− 𝟏
Por tanto:
∫ 𝒙 𝐜𝐨𝐬(𝒙)
𝝅
𝟐
⁄
𝟎
𝒅𝒙 =
𝝅
𝟐
− 𝟏
3.- Responder en forma clara y precisa las siguientes preguntas:
a.- ¿Qué es una ecuación diferencial? De 1 ejemplo.
Una ecuación diferencial es una ecuación que contiene las derivadas de una o
más variables dependientes, con respecto a una o más variables independientes.
b.- ¿Cómo se clasifican las ecuaciones diferenciales? De 1 ejemplo.
Las ecuaciones diferenciales se clasifican por tipo, orden y linealidad.
Clasificación por tipo:
 Ecuación diferencial ordinaria (EDO): son ecuaciones que contienen sólo
derivadas ordinarias de una o más variables dependientes de una sola
variable independiente.
Ejemplo:
Con una variable:
𝒅𝒚
𝒅𝒙
+ 𝟓𝒚 = 𝒆𝒙
Con más de una variable:
𝒅𝒙
𝒅𝒕
+
𝒅𝒚
𝒅𝒕
= 𝟐𝒙 + 𝒚

7.  Ecuación diferencial parcial (EDP): Son ecuaciones que contienen
derivadas parciales de una o más variables dependientes de dos o más
variables independientes.
Ejemplo:
𝝏𝟐
𝒖
𝝏𝒙𝟐
+
𝝏𝟐
𝒖
𝝏𝒚𝟐
= 𝟎
Clasificación según el orden:
El orden de una ecuación diferencial (ya sea EDO o EDP) es el orden mayor de
las derivadas involucradas en la ecuación.
Ejemplo:
Clasificación según el grado:
El grado de una ecuación diferencial es el grado algebraico de su derivada de
mayor orden. Es decir, el grado de una ecuación diferencial es la potencia a la que
esta elevada la derivada que nos da el orden de la ecuación diferencial.
Ejemplo:
𝒅𝟐
𝒚
𝒅𝒙𝟐
+ 𝟓 [
𝒅𝒚
𝒅𝒙
]
𝟑
− 𝟒𝒚 = 𝒆𝒙
Esta ecuación es de primer grado, dado que la segunda derivada, que nos da el
orden de la EDO, está elevada a uno.
Clasificación según la linealidad:
Se dice que una EDO de orden 𝒏 es lineal si 𝑭 (en la forma general) es lineal
en 𝒚, 𝒚’, 𝒚”, … , 𝒚(𝒏).
𝒂𝒏(𝒙)
𝒅𝒏
𝒚
𝒅𝒙𝒏
+ 𝒂𝒏−𝟏(𝒙)
𝒅𝒏−𝟏
𝒚
𝒅𝒙𝒏−𝟏
+ ⋯ + 𝒂𝟏(𝒙)
𝒅𝒚
𝒅𝒙
+ 𝒂𝟎(𝒙)𝒚 = 𝒈(𝒙)

8.  Lineal homogénea: El término independiente 𝒈(𝒙) es nulo.
Ejemplo:
𝒅𝟐
𝒚
𝒅𝒙𝟐
− 𝝁(𝟏 − 𝒚𝟐)
𝒅𝒚
𝒅𝒙
+ 𝒚 = 𝟎
 Lineal con coeficientes constantes: Los coeficientes 𝒂𝟎(𝒙), … , 𝒂𝒏(𝒙) son
constantes.
Ejemplo:
𝟑
𝒅𝟐
𝒚
𝒅𝒙𝟐
− 𝟔
𝒅𝒚
𝒅𝒙
+ 𝟑𝒚 = 𝟏𝟐
 Lineal con coeficientes variables: Enfatiza el hecho de que al menos uno
de los coeficientes 𝒂𝟎(𝒙), … , 𝒂𝒏(𝒙) no es constante.
Ejemplo:
𝒅𝟐
𝒚
𝒅𝒙𝟐
− 𝟔 𝐬𝐢𝐧(𝒙)
𝒅𝒚
𝒅𝒙
+ 𝟑𝒚 = 𝐜𝐨𝐬(𝟐𝒙)
c.- ¿Qué es el orden de una ecuación diferencial? De 1 ejemplo.
El orden de una ecuación diferencial es el orden de la derivada más alta que
aparece en la ecuación.
Ejemplo:
𝒅𝟐
𝒙
𝒅𝒕𝟐
− 𝟐
𝒅𝒙
𝒅𝒕
− 𝟏𝟓𝒙 = 𝟎
La derivada más alta que aparece en ecuación es 𝒅𝟐
𝒙
𝒅𝒕𝟐
⁄ , la cual es de segundo
orden, por lo tanto, la ecuación diferencial es de orden 𝟐.
d.- ¿Qué es una solución de una ecuación diferencial?
Llamamos solución de un ecuación diferencial a toda función n- derivable 𝒚 =
𝒇(𝒙) que satisfaga dicha ecuación diferencial, es decir, al derivarla las veces
necesarias y sustituir en la ecuación diferencial se obtenga una identidad. En toda
ecuación diferencial podemos considerar dos tipos de soluciones:
 Solución General: Es la solución de la ecuación diferencial que contiene
una o más constantes arbitrarias, obtenidas de los sucesivos procesos de
integración.
 Solución Particular: Es la solución en la que las constantes toman valores
específicos.

9. Al proceso de obtener las soluciones de una ecuación diferencial lo llamamos
Integración de dicha ecuación diferencial.
Ejemplo:
𝒚 = 𝟐 + 𝑪 𝒆−𝒙 𝟐
es la solución general de la ecuación diferencial 𝒚 ′ + 𝟐𝒙𝒚 = 𝟒𝒙.
𝒚 = 𝟐 − 𝒆−𝒙 𝟐
es la solución particular que pasa por el punto (𝟎, 𝟏).
e.- ¿Cómo se clasifican las ecuaciones diferenciales de primer orden?
Las ecuaciones diferenciales de primer orden se clasifican en:
 Ecuaciones homogéneas:
Tienen la siguiente forma:
𝒚 ′ + 𝒑(𝒙)𝒚 = 𝟎
 Ecuaciones lineales de primer orden:
Tienen la siguiente forma:
𝒚 ′ + 𝒑(𝒙)𝒚 = 𝒒(𝒙)
 Ecuación diferencial de Bernoulli:
Tiene la siguiente forma:
𝒚 ′ + 𝒑(𝒙)𝒚 = 𝒒(𝒙)𝒚 𝒏 , 𝒏 ≠ 𝟎, 𝟏
f.- ¿Qué se entiende por ecuaciones diferenciales de variables separables?
De 1 ejemplo.
Se dice que una ecuación diferencial es de variables separadas si mediante
operaciones algebraicas puede expresarse de la forma 𝒚’ = 𝒇(𝒙)𝒈(𝒚), siendo
𝒇(𝒙), 𝒈(𝒚) funciones continúas.
Para integrar este tipo de ecuaciones basta expresar la derivada en su forma
diferencial:
𝒚’ = 𝒇(𝒙)𝒈(𝒚),
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝒇(𝒙)𝒈(𝒚), 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 =
𝒅𝒚
𝒈(𝒚)
Y, al ser 𝒇(𝒙), 𝒈(𝒚) funciones continuas, se tiene:
∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = ∫
𝒅𝒚
𝒈(𝒚)
Que integrando respecto de las correspondientes variables, proporciona la
solución general.

10. Normalmente este tipo de ecuaciones viene dada de la forma:
𝒇𝟏(𝒙)𝒈𝟏(𝒚) + 𝒇𝟐(𝒙)𝒈𝟐(𝒚)𝒚 ′ = 𝟎
Que queda reducida a la forma estándar sin más que despejar 𝒚′:
𝒚′
= (−
𝒇𝟏(𝒙)
𝒇𝟐(𝒙)
) (
𝒈𝟏(𝒚)
𝒈𝟐(𝒚)
)
Ejemplo: Hallar la solución particular que pasa por el punto (𝟎, 𝟏) de la ecuación:
𝟑𝒙𝟑 (𝟏 + 𝒚𝟐) + 𝒙𝒚′ = 𝟎
Despejando 𝒚′, nos queda:
𝒚′
= −
𝟑𝒙𝟑 (𝟏 + 𝒚𝟐)
𝒙
= −𝟑𝒙𝟐 (𝟏 + 𝒚𝟐)
Recordando que: 𝒚′
=
𝒅𝒚
𝒅𝒙
⁄ , tenemos:
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= −𝟑𝒙𝟐 (𝟏 + 𝒚𝟐)
Separamos las variables, nos queda:
𝒅𝒚
(𝟏 + 𝒚𝟐)
= −𝟑𝒙𝟐
𝒅𝒙
Aplicamos la integral:
∫
𝒅𝒚
(𝟏 + 𝒚𝟐)
= ∫ −𝟑𝒙𝟐
𝒅𝒙
Integrando nos queda:
𝐭𝐚𝐧−𝟏(𝒚) = −𝒙𝟑
+ 𝑪
Por tanto, la solución general de la ecuación: 𝟑𝒙𝟑 (𝟏 + 𝒚𝟐) + 𝒙𝒚′ = 𝟎, es:
𝒙𝟑
+ 𝐭𝐚𝐧−𝟏(𝒚) = 𝑪
La solución particular que pasa por (𝟎, 𝟏):
(𝟎)𝟑
+ 𝐭𝐚𝐧−𝟏(𝟏) = 𝑪

11. Es decir que:
𝑪 =
𝝅
𝟒
Por lo tanto, la solución particular de que pasa por el punto (0,1) de ecuación
diferencial : 𝟑𝒙𝟑 (𝟏 + 𝒚𝟐) + 𝒙𝒚′ = 𝟎, es:
𝒙𝟑
+ 𝐭𝐚𝐧−𝟏(𝒚) =
𝝅
𝟒
4.- Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:
𝒂)
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝒙𝟐
− 𝟐𝒙 + 𝟒, 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒙 = 𝟑; 𝒚 = 𝟐
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝒙𝟐
− 𝟐𝒙 + 𝟒
Separando:
𝒅𝒚 = (𝒙𝟐
− 𝟐𝒙 + 𝟒)𝒅𝒙
Aplicamos la integral:
∫ 𝒅𝒚 = ∫(𝒙𝟐
− 𝟐𝒙 + 𝟒)𝒅𝒙
Integrando, nos queda:
𝒚 =
𝟏
𝟑
𝒙𝟑
− 𝒙𝟐
+ 𝟒𝒙 + 𝑪
Para (𝟑, 𝟐):
(𝟐) −
𝟏
𝟑
(𝟑)𝟑
+ (𝟑)𝟐
− 𝟒(𝟑) = 𝑪
𝟐 − 𝟗 + 𝟗 − 𝟏𝟐 = 𝑪
Nos queda:
𝑪 = −𝟏𝟎

12. Por lo tanto:
𝒚 =
𝟏
𝟑
𝒙𝟑
− 𝒙𝟐
+ 𝟒𝒙 − 𝟏𝟎
𝒃)
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= (𝒙 + 𝟏)(𝒙 + 𝟐), 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒙 = −𝟑; 𝒚 = 𝟓
𝟐
⁄
Separando:
𝒅𝒚 = (𝒙 + 𝟏)(𝒙 + 𝟐)𝒅𝒙
Aplicamos la integral:
∫ 𝒅𝒚 = ∫(𝒙 + 𝟏)(𝒙 + 𝟐)𝒅𝒙 = ∫(𝒙𝟐
+ 𝟑𝒙 + 𝟐)𝒅𝒙
Integrando, nos queda:
𝒚 =
𝟏
𝟑
𝒙𝟑
+
𝟑
𝟐
𝒙𝟐
+ 𝟐𝒙 + 𝑪
Para (−𝟑, 𝟓
𝟐
⁄ ):
𝟓
𝟐
−
𝟏
𝟑
(−𝟑)𝟑
−
𝟑
𝟐
(−𝟑)𝟐
− 𝟐(−𝟑) = 𝑪
𝟓
𝟐
+ 𝟗 −
𝟐𝟕
𝟐
+ 𝟔 = 𝑪
𝟏𝟓 − 𝟏𝟏 = 𝑪
Nos queda:
𝑪 = 𝟒
Por lo tanto:
𝒚 =
𝟏
𝟑
𝒙𝟑
+
𝟑
𝟐
𝒙𝟐
+ 𝟐𝒙 + 𝟒

13. Bibliografía:
 Dennis G. Zill y Michael R. Cullen. Ecuaciones diferenciales. Matemáticas
avanzadas para ingeniería, vol. 1. Ed. Thomson Paraninfo, 2006.Tercera
edición.
 George F. Simmons y Steven G. Krantz. Ecuaciones Diferenciales. García-
Maroto Editores, 2008.
 M. Cordero y M. Gómez. Ecuaciones Diferenciales. García-Maroto Editores,
2008.
 Murray R. Spiegel. Ecuaciones Diferenciales Aplicadas. 3ra Edición.
Prentice-Hall. México.
 Erwin Kreyszig. Matemáticas avanzadas para ingeniería. Vol: 1. 3era
Edición. Limusa Wiley. 2003.