Теорія оптимального управління та теорія ігор

1. Курсова робота
з дисципліни «Теорія оптимального управління та теорія
ігор»
на тему: «Синтез оптимального керування для систем
диференціальних рівнянь с нефіксованим часом»
Виконала:
студентка ІІІ курсу, групи УК-51
Факультету менеджменту та маркетингу
Черепинець Вероніка Михайлівна
Київ-2018

2. Постановка задачі
Нехай модель системи керування має вигляд
𝑑𝑥𝑖 𝑡
𝑑𝑡
= 𝑓𝑖 𝑥 𝑡 , 𝑢 𝑡 , 𝑡 , 𝑖 = 1, 𝑛, 0 < 𝑡 ≤ 𝑇,
𝑥𝑖 0 = 𝑥𝑖
0
, 𝑖 = 1, 𝑛.
Функції 𝑓𝑖 𝑥 𝑡 , 𝑢 𝑡 , 𝑡 , 𝑖 = 1, 𝑛 – неперервні по всім аргументам і мають частинні похідні по 𝑥, 𝑇 – нефіксоване
додатне число.
Керування 𝑢𝑗 𝑡 , 𝑗 = 1, 𝑚 – кусково-неперервні по 𝑡 функції, для яких виконуються умови
𝑢𝑗 𝑡 ≤ 𝑙𝑗, 𝑗 = 1, 𝑚,
де 𝑙𝑗 – задані додатні числа.
Такі функції утворюють множину допустимих керувань, яку будемо позначати через 𝑈. Потрібно знайти вектор
допустимих керувань 𝑢∗ 𝑡 ∈ 𝑈 та число 𝑇, які б мінімізували критерій якості
𝐼 𝑢 =
0
𝑇
𝑓0 𝑥 𝑡 , 𝑢 𝑡 , 𝑡 𝑑𝑡 + 𝐹 𝑥 𝑇 ,
де 𝑓0 . , 𝐹 . – невід’ємні неперервні функції.
Так як задача з нефіксованим часом (вільним правим кінцем) збігається з усім фазовим простором, на правий кінець
обмежень немає.

3. Рівняння Беллмана для поставленої задачі
𝐼 = 0
𝑇
𝑓0 𝑥 𝑡 , 𝑢 𝑡 , 𝑡 𝑑𝑡 + 𝐹 𝑥 𝑇 → 𝑚𝑖𝑛
Будуємо рекурентну функцію:
𝑆𝑖 = 𝑚𝑖𝑛 𝑈 𝑖
𝐼𝑖 + 𝑆𝑖+1 , 𝑆 𝑁 = 𝐹 𝑥 𝑇
Далі будуємо квадратурну формулу прямокутників:
𝐼 =
0
𝑇
𝑓0 𝑥 𝑡 , 𝑢 𝑡 , 𝑡 𝑑𝑡 + 𝐹 𝑥 𝑇 =
𝑖=0
𝑁−1
𝑓0 𝑥𝑖, 𝑢𝑖, ∆𝑡𝑖 ∆𝑡 + 𝐹 𝑋 𝑁
𝐼 =
𝑖=0
𝑁−1
𝑓0 𝑥𝑖, 𝑢𝑖, ∆𝑡𝑖 ∆𝑡 + 𝐹 𝑋 𝑁 → 𝑚𝑖𝑛
Визначимо кількість відрізків: ∆𝑡 =
𝑇
𝑁
Рівняння Беллмана має вигляд:
𝑆𝑖 = 𝑚𝑖𝑛 𝑈 𝑖
𝑓0 𝑥𝑖, 𝑢𝑖,
𝑇
𝑁
𝑖
𝑇
𝑁
+ 𝑆𝑖+1
𝑆 𝑁 = 𝐹(𝑋 𝑁)

4. Дискретизація поставленої задачі
Система диференційних рівнянь має вигляд:
𝑑𝑋𝑖 𝑡
𝑑𝑡
= 𝑓𝑖 𝑥, 𝑢, 𝑡 , 0 < 𝑡 ≤ 𝑇
Зводимо задачу до дискретного вигляду:
(𝑥𝑖
𝑗+1
− 𝑥𝑖
𝑗
)𝑁
𝑇
= 𝑓𝑖(𝑥𝑖, 𝑢𝑖,
𝑇
𝑁
𝑗)
де, 𝑗 – номер точки в розбитті, а 𝑖 – номер рівняння.
Функціонал в дискретному виді має вигляд:
𝐼 =
𝑗=0
𝑁−𝑖
𝑓0 𝑥𝑖, 𝑢𝑖,
𝑇
𝑁
𝑗
𝑇
𝑁
+ 𝐹(𝑋 𝑁)

5. Схема Моісеєва
Розглядаємо задачу:
𝐽𝑖 𝑥, 𝑦, 𝑢 . =
𝑡 𝑖
𝑡 𝑖+1
𝑓0 𝑥 𝑡 , 𝑢 𝑡 , 𝑡 𝑑𝑡 → 𝑖𝑛𝑓, 𝑥 𝑡 = 𝑓 𝑥 𝑡 , 𝑢 𝑡 , 𝑡 , 𝑥 𝑡𝑖 = 𝑥, 𝑥 𝑡𝑖+1 = 𝑦, 𝑡𝑖 ≤ 𝑡 ≤ 𝑡𝑖+1,
𝑥 𝑡 ∈ 𝐺 𝑡 , 𝑡𝑖 ≤ 𝑡 ≤ 𝑡𝑖+1,
де 𝑢 = 𝑢(. ) кусково-неперервна й 𝑢(𝑡) ∈ 𝑉(𝑡) при 𝑡𝑖 ≤ 𝑡 ≤ 𝑡𝑖+1.
Нехай усі точки сусідніх шкал попарно з’єднані елементарними операціями, тоді величина
𝑖=0
𝑁−1
𝑀𝑖 𝑥𝑖𝑗, 𝑥𝑖+1,𝑗+1 + 𝐹(𝑥 𝑁𝑗 𝑘
)
виражає собою значення початкової функції.
Позначимо
𝐶 𝑘 𝑥 = 𝑚𝑖𝑛
𝑖=𝑘
𝑁−1
𝑀𝑖 𝑥𝑖𝑗, 𝑥𝑖+1, 𝑗𝑖+1 + 𝐹(𝑥 𝑁𝑗 𝑘
) ,
де нижня грань береться по всьому набору точок. Покажемо, що функції 𝐶 𝑘(𝑥) задовольняють наступні рекурентні співвідношення:
𝐶 𝑘 𝑥 = 𝑚𝑖𝑛 𝑦∈𝐻 𝑘+1
𝑀 𝑘 𝑥, 𝑦 + 𝐶 𝑘+1 𝑦 , 𝑘 = 0, … , 𝑁 − 1; 𝐶 𝑁 𝑥 = 𝐹 𝑥 ,
де 𝐻 – шкала стану.

6. Розв’язання економічної задачі
Динаміка величини запасів у момент часу 𝑡 з урахуванням зміни кількості виробів:
𝑑 𝑥
𝑑𝑡
= 𝛿 − 𝑑(𝑥, 𝑡)
Допоміжні співвідношення задачі:
𝛿 𝑡 + 1 = ℎ 𝑡 + 1 𝑥 𝑡 + 1 +
𝛿 𝑡 𝑥(𝑡 + 1) + 𝛿 𝑡 𝑥 𝑡 + 1 𝑘 𝑡 + 1
𝛿 𝑡
𝑡,
де ℎ 𝑡 + 1 𝑥 𝑡 + 1 – витрати на зберігання запасів;
𝛿 𝑡 𝑥(𝑡+1)
𝛿(𝑡)
- витрати на закупівлю або виробництво одиниць продукції в t рік;
𝛿 𝑡 𝑥 𝑡+1 𝑘(𝑡+1)
𝛿(𝑡)
– витрати на переналагодження замовлення в t рік.
Критерій задачі: ℐ = 0
10
((
𝛿𝑥
𝑘
)𝑡)𝑑𝑡 − 𝐹 𝛿 𝑡 → 𝑚𝑖𝑛, де 𝐹 𝛿 10 = −𝛾
(𝛿 10 +𝐷)2
𝑡
.
Постановка економічної задачі

7. Дискретизація поставленої економічної задачі
𝑡 ∈ 0; 10 , 𝑁 = 10, ∆𝑡 = 0.1 ,
тоді:
𝑥1 − 𝑥0
0,1
= 𝛿0 − 𝑑0,
𝑥2 − 𝑥1
0,1
= 𝛿1 − 𝑑1,
𝑥3 − 𝑥2
0,1
= 𝛿2 − 𝑑2,
𝑥4 − 𝑥3
0,1
= 𝛿3 − 𝑑3,
𝑥5 − 𝑥4
0,1
= 𝛿4 − 𝑑4,
𝑥6 − 𝑥5
0,1
= 𝛿5 − 𝑑5,
𝑥7 − 𝑥6
0,1
= 𝛿6 − 𝑑6,
𝑥8 − 𝑥7
0,1
= 𝛿7 − 𝑑7,
𝑥9 − 𝑥8
0,1
= 𝛿8 − 𝑑8,
𝑥10 − 𝑥9
0,1
= 𝛿9 − 𝑑9 .
Описуємо критерій за правилом лівих прямокутників:
ℐ =
𝛿0 𝑥0
𝑘0
+
𝛿1 𝑥1
𝑘1
+
𝛿2 𝑥2
𝑘2
+
𝛿3 𝑥3
𝑘3
+
𝛿4 𝑥4
𝑘4
+
𝛿5 𝑥5
𝑘5
+
𝛿6 𝑥6
𝑘6
+
𝛿7 𝑥7
𝑘7
+
𝛿8 𝑥8
𝑘8
+
𝛿9 𝑥9
𝑘9
0,1 − 𝛾
(𝛿9 + 𝐷)2
𝑡

8. За допомогою схеми Моїсеєва та рівнянь Беллмана знаходимо приблизний розв’язок задачі:
𝑆9 = −𝛾
(𝛿9+𝐷)2
𝑡
𝑆8 = 𝑚𝑖𝑛 𝛿8
𝛿8 𝑥8
𝑘8
− 𝛾
(𝛿9 + 𝐷)2
𝑡
= 𝑚𝑖𝑛 𝛿8
𝛿8 𝑥8
𝑘8
− 𝛾
(0,1 𝛿8 − 𝑑8 + 𝑥8 + 𝐷)2
𝑡
𝑆7 = 𝑚𝑖𝑛 𝛿7
𝛿7 𝑥7
𝑘7
− 𝛾
(𝛿8 + 𝐷)2
𝑡
=
= 𝑚𝑖𝑛 𝛿7
𝛿7 𝑥7
𝑘7
− 𝛾
(0,1 𝛿7 − 𝑑7 + 𝑥7 + 𝐷)2
𝑡
𝑆6 = 𝑚𝑖𝑛 𝛿6
𝛿6 𝑥6
𝑘6
− 𝛾
(𝛿7 + 𝐷)2
𝑡
= 𝑚𝑖𝑛 𝛿6
𝛿6 𝑥6
𝑘6
− 𝛾
(0,1 𝛿6 − 𝑑6 + 𝑥6 + 𝐷)2
𝑡
𝑆5 = 𝑚𝑖𝑛 𝛿5
𝛿5 𝑥5
𝑘5
− 𝛾
(𝛿6 + 𝐷)2
𝑡
=
= 𝑚𝑖𝑛 𝛿5
𝛿5 𝑥5
𝑘5
− 𝛾
(0,1 𝛿5 − 𝑑5 + 𝑥5 + 𝐷)2
𝑡
𝑆4 = 𝑚𝑖𝑛 𝛿4
𝛿4 𝑥4
𝑘4
− 𝛾
(𝛿5 + 𝐷)2
𝑡
= 𝑚𝑖𝑛 𝛿4
𝛿4 𝑥4
𝑘4
− 𝛾
(0,1 𝛿4 − 𝑑4 + 𝑥4 + 𝐷)2
𝑡
𝑆3 = 𝑚𝑖𝑛 𝛿3
𝛿3 𝑥3
𝑘3
− 𝛾
(𝛿4 + 𝐷)2
𝑡
=
= 𝑚𝑖𝑛 𝛿3
𝛿3 𝑥3
𝑘3
− 𝛾
(0,1 𝛿3 − 𝑑3 + 𝑥3 + 𝐷)2
𝑡
𝑆2 = 𝑚𝑖𝑛 𝛿2
𝛿2 𝑥2
𝑘2
− 𝛾
(𝛿3 + 𝐷)2
𝑡
= 𝑚𝑖𝑛 𝛿2
𝛿2 𝑥2
𝑘2
− 𝛾
(0,1 𝛿2 − 𝑑2 + 𝑥2 + 𝐷)2
𝑡
𝑆1 = 𝑚𝑖𝑛 𝛿1
𝛿1 𝑥1
𝑘1
− 𝛾
(𝛿2 + 𝐷)2
𝑡
=
= 𝑚𝑖𝑛 𝛿1
𝛿1 𝑥1
𝑘1
− 𝛾
(0,1 𝛿1 − 𝑑1 + 𝑥1 + 𝐷)2
𝑡
𝑆0 = 𝑚𝑖𝑛 𝛿0
𝛿0 𝑥0
𝑘0
− 𝛾
(𝛿1 + 𝐷)2
𝑡
= 𝑚𝑖𝑛 𝛿0
𝛿0 𝑥0
𝑘0
− 𝛾
(0,1 𝛿0 − 𝑑0 + 𝑥0 + 𝐷)2
𝑡

9. Оптимальні величини кількості виробів та величин запасів:
Значення критерію:

11. Дякую за увагу!