1. Практичне заняття 1.
Функціональні ряди. Степеневі ряди. Область збіжності степеневого
ряду.
Мета заняття: Дати означення функціонального та степеневого рядів,
сформулювати теорему Абеля, вказати спосіб визначення
радіуса та інтервалу збіжності степеневого ряду.
Зміст заняття.
Завдання 1. Надання коротких теоретичних відомостей про
функціональні та степеневі ряди.
Завдання 2. Ознайомлення з теоремою Абеля.
Завдання 3. Розгляд прикладів на знаходження області збіжності
степеневих рядів.
Теоретичні відомості.
Означення 1.
Функціональним рядом називається ряд, членами якого є не числа, а функції,
визначені на деякій множині Е:
1
21 )(...)(...)()(
n
nn xuxuxuxu (1)
Якщо взяти довільне число Ex 0 і в ряді (1) покласти 0xx , то
дістанемо числовий ряд
1
000201 )(...)(...)()(
n
nn xuxuxuxu (2)
Цей ряд може бути як збіжним, так і розбіжним.
Означення 2.
Якщо ряд (2) є збіжним, то точка х0 називається точкою збіжності
функціонального ряду (1). Якщо ж ряд (2) є розбіжним, то точка х0
називається точкою розбіжності ряду (1).
Множина всіх точок збіжності функціонального ряду називається
областю його збіжності. Область збіжності функціонального ряду може або
збігатися з множиною Е, на якій визначені члени ряду, або становити деяку
частину цієї множини.
2. Означення 3.
Степеневим рядом, називається функціональний ряд вигляду
0
2
210
n
n
n
n
n xcxcxcxcc , (3)
а дійсні числа 0c , 1c , ..., nc – називаються коефіцієнтами степеневого ряду.
Означення 4.
Степеневим рядом за степенями двочлена х — х0, де х0 — дійсне число,
називають функціональний ряд вигляду
0
00010 )()()(
n
n
n
n
n xxcxxcxxcc (4)
Ряд (4) заміною змінної txx 0 зводиться до ряду вигляду (3), тому надалі
розглядатимемо лише степеневі ряди вигляду (3).
Область збіжності степеневого ряду завжди містить принаймні одну точку
нуль. Структура області збіжності степеневого ряду встановлюється за
допомогою теореми Абеля.
Теорема Абеля.
1. Якщо степеневий ряд (3) збіжний при 00 xx , то він абсолютно
збіжний для всіх значень х, що задовольняють нерівність 0xx .
2. Якщо при 1xx ряд (3) розбіжний, то він розбіжний всюди, де 1xx
Для області збіжності степеневого ряду можливі три випадки:
1) ряд (3) збіжний лише в точці х = 0;
2) ряд (3) збіжний при всіх );( x ;
3) існує таке скінченне число );0( R , що при Rx степеневий ряд
абсолютно збіжний, а при Rx — розбіжний.
Означення.
Число R називають радіусом збіжності степеневого ряду, а інтер-
вал ),( RR — інтервалом збіжності.
3. Поведінка степеневого ряду на кінцях інтервалу збіжності, тобто у
точках Rx та Rx , досліджується додатково.
Якщо існує границя
1
lim
n
n
n c
c
, то вона і є радіусом збіжності ряду (3)
1
lim
n
n
n c
c
R . (5)
На практиці інтервал збіжності степеневого ряду часто знаходять за
ознакою Д'Аламбера або ознакою Коші, застосовуючи їх до ряду, складеного
з модулів членів заданого ряду.
Розв’язування типових прикладів.
Приклад 1. Знайти область збіжності степеневого ряду
1
2
)3(
n
n
n
x
Розв’язання.
Скористаємось ознакою Д'Аламбера. Для даного ряду маємо
2
1
12
)1(
3
,
3
n
x
u
n
x
u
n
n
n
n
|3|
)1(
lim|3|
|3|)1(
|3|
limlim 2
2
2
21
1
x
n
n
x
xn
nx
u
u
nn
n
n
n
n
n
За ознакою Д'Аламбера ряд буде абсолютно збіжним, якщо 13 x
звідки 24,131 xабоx . Таким чином, (-4;-2) — інтервал
збіжності даного ряду і 1R — його радіус збіжності.
Дослідимо збіжність цього ряду на кінцях інтервалу збіжності.
При х = -4 маємо ряд
1
2
1
2
)1()34(
n
n
n
n
nn
який є збіжним за ознакою Лейбніца.
При х = -2 дістаємо узагальнений гармонічний ряд
1
2
1
2
1)32(
nn
n
nn
4. який також збіжний ( 12 p ). Отже, областю збіжності даного ряду є
відрізок [-4; -2].
Приклад 2. Знайти область збіжності степеневого ряду
0
)(
n
n
nx
Розв’язання.
Знайдемо радіус збіжності ряду
00
1
1
1
1
lim
)1(
limlim 1
1
enn
n
n
n
c
c
R
n
nn
n
n
n
n
n
тобто даний ряд збіжний лише в точці х=0.
Приклад 3. Знайти область збіжності степеневого ряду
1
2 1
3 1
n
n
x
n
.
Розв’язання. Складаємо ряд з модулів
1
2 1
3 1
n
n
x
n
. Застосуємо ознаку
Д’Аламбера для ряду, складеного з модулів даного ряду.
1
2 1 3 11 3 1
lim lim 2 1 lim 2 1
3 43 1 1 2 1
n
nn n n
x nUn n
x x
Un nn x
.
За ознакою Д’аламбера ряд збігається, якщо 2 1 1.x Розв’яжемо
нерівність:
2 1 1, 1 2 1 1; 2 2 0, 1 0.x x x x
Отже, на інтервалі (-1;0) даний ряд збігається.
Дослідимо збіжність степеневого ряду на кінцях інтервалу.
При 1x маємо ряд:
1 1 1
2 1 2 1 1
3 1 3 1 3 1
n n n
n n n
x
n n n
.
Отримали ряд, знаки членів якого строго чергуються.
Перевіримо умови ознаки Лейбніца:
1.
1 1 1
...
4 7 10
5. 2.
1
lim lim 0
3 1n n
Un
n
.
Отже, ряд при 1x збігається.
При 0x маємо ряд:
1 1
2 1 1
3 1 3 1
n
n n
x
n n
; за ознакою порівняння з
1
1
n n
ряд
1
1
3 1n n
є
розбіжним.
Областю збіжності даного степеневого ряду є інтервал 1;0 .
