12

1. Лекція 1. Числові ряди. Збіжність ряду. Необхідна ознака. Достатні
ознаки збіжності знакододатних рядів.
План лекції.
1.Основні поняття та означення.
2. Найпростіші властивості збіжних числових рядів
3. Знакододатні ряди. Ознаки порівняння.
4. Достатні ознаки збіжності знакододатних рядів.
5. Розв’язання типових прикладів.
1.Основні поняття та означення.
Нехай задано послідовність дійсних чисел
Означення 1. Числовим рядом називається такий вираз:




1
21
n
nn uuuu  . (1)
Числа ,...,...,, 21 nuuu , 2u , ..., nu , ... називаються членами ряду, а член nu
– загальним або n -м членом ряду.
Розглянемо суми скінченого числа членів ряду:
11 uS  , 212 uuS  , ..., nn uuuS  21 .
Означення 2. Сума n перших членів ряду nS називається n -ою
частинною сумою ряду.
Означення 3. Якщо існує скінчена границя послідовності частинних
сум , тобто
SSn
n


lim ,
то число S називається сумою ряду (1), а ряд називається збіжним.
У разі збіжності можна записати
Suuuu
n
nn  

1
21  .

2. Означення 4. Якщо послідовність частинних сум не має скінченої
границі, то ряд називається розбіжним.
Приклад 1. Дослідити на збіжність геометричний ряд, тобто ряд,
складений з членів геометричної прогресії





1
112
n
nn
aqaqaqaqa  . (2)
Розв’язання. Необхідно встановити, при яких значеннях знаменника
прогресії q геометричний ряд збіжний і при яких – розбіжний.
Відомо, що сума n членів геометричної прогресії, тобто n -на частинна
сума ряду при 1q дорівнює
q
qa
S
n
n



1
)1(
. Знайдемо границю цієї суми:
q
q
a
q
a
q
qa
S
n
n
n
n
n
n 






 1
lim
11
)1(
limlim .
Розглянемо наступні випадки:
1. Якщо 1q , то 0n
q при n . Тому 0
1
lim 
 q
qn
n
, а
q
a
Sn
n 

 1
lim . Тобто ряд (2) збіжний і його сума дорівнює
q
a
1
.
2. Якщо 1q , то n
q при n . Тому 

n
n
Slim , тобто ряд
(2) розбіжний.
3. Якщо 1q , то при 1q ряд (2) має вигляд
  aaaa . Для нього anSn  та 

n
n
Slim . Тому цей
ряд розбіжний. При 1q ряд (2) має вигляд  aaaa . У
цьому випадку 0nS при парному n та aSn  при непарному n .
Тому n
n
S

lim не існує. Це означає, що ряд (2) розбіжний.
Таким чином, ряд геометричної прогресії збіжний при 1q та
розбіжний при 1q .
2. Найпростіші властивості збіжних числових рядів

3. 1°. Якщо ряд 

1n
nu збіжний і має суму S, то ряд 

1n
nсu також збіжний і
сума його дорівнює . Іншими словами, збіжний ряд можна
множити почленно на одне і те саме число.
2°. Збіжні ряди можна почленно додавати та віднімати, тобто якщо
ряди 

1n
nu і 

1n
nv збіжні і мають суми відповідно 1S та 2S , то збіжними є
також ряди )(
1
n
n
n vu 


і суми їх дорівнюють 21 SS  .
3°. На збіжність ряду не впливає відкидання або приєднання до нього
скінченної кількості членів.
Означення 5. Ряд, утворений з ряду (1) відкиданням перших n його
членів, тобто ряд    mnnn uuu 21 , називається n -м залишком ряду.
Позначимо суму n -ого залишку ряду через nr , тобто
   mnnnn uuur 21 .
Якщо ряд збіжний і SSn
n


lim , то nn rSS  і 0lim 

n
n
r .
Справедливе і більш загальне твердження.
4°. Ряд (1) збіжний (розбіжний) тоді і тільки тоді, коли збіжний (розбіжний)
довільний його залишок.
5°. Необхідна умова збіжності ряду. Якщо ряд 

1n
nu збіжний, то його
загальний член nu прямує до нуля, тобто 0lim 

n
n
u .
Умова 0lim 

n
n
u є тільки необхідною для збіжності ряду, але не
достатньою. Це означає, що існують розбіжні ряди, для яких ця умова
виконується.
Приклад 2. Дослідити на збіжність ряд 

1
1
n n
.
Розв’язання. Тут виконується необхідна умова збіжності:

4. 0
1
limlim 
 n
u
n
n
n
проте ряд розбіжний. Дійсно,
n
n
n
nnnn
Sn 
11
...
111
...
3
1
2
1
1
тобто nSn  , звідки 

n
n
Slim . Отже, ряд розбіжний.
6°. Достатня умова розбіжності ряду.
Якщо 0lim 

n
n
u або ця границя не існує, то ряд 

1n
nu розбіжний.
3. Знакододатні ряди. Ознаки порівняння.
При дослідженні на збіжність знакододатних рядів, тобто рядів з
невід'ємними членами, часто користуються такими достатніми умовами
(ознаками) збіжності, як ознаки порівняння.
Теорема 1 (критерій порівняння). Нехай дано два ряди з додатними
членами: 

1n
nu (3) і 

1n
nv (4), причому члени першого ряду не
перевершують членів другого, тобто при будь-якому n
nn vu 0 . (5)
Тоді: а) якщо збігається ряд (4), то збігається і ряд (3); б) якщо
розбігається ряд (3), то розбігається і ряд (4).
Відзначимо "еталонні" ряди, які часто використовуються для
порівняння:
1) геометричний ряд 



1
1
n
n
aq – збіжний при 1q , розбіжний при
1q ;
2) гармонічний ряд 

1
1
n n
– розбіжний;

5. 3) ряд Діріхле або узагальнений гармонічний ряд
,0,
1
3
1
2
1
1
1
1



p
nn ppp
n
p

збіжний при 1p , розбіжний при 1p (див. приклад 9.16).
Теорема 2 (граничний критерій порівняння). Якщо 

1n
nu і 

1n
nv –
ряди з додатними членами та існує скінчена границя відношення їхніх
загальних членів 0lim 

k
v
u
n
n
n
, то ряди одночасно збігаються, або
розбігаються.
4. Достатні ознаки збіжності знакододатних рядів.
Теорема 3 (ознака Д’Аламбера). Нехай дано ряд з додатними членами
та існує скінчена або нескінчена границя l
u
u
n
n
n


1
lim . Тоді ряд збіжний при
1l та розбіжний при 1l . Якщо 1l , то потрібні додаткові дослідження.
Зауваження. Ознаку Д’Аламбера доцільно застосовувати, якщо
загальний член ряду містить вирази вигляду !n та n
a .
Теорема 4 (ознака Коші).
Нехай дано ряд з додатними членами та існує скінчена або нескінчена
границя lun
n
n


lim . Тоді ряд збіжний при 1l і розбіжний при 1l . Якщо
1l , то потрібні додаткові дослідження.
Теорема 5 (інтегральна ознака). Якщо члени додатного ряду 

1n
nu
можуть бути зображені як числові значення деякої неперервної монотонно
спадаючої на інтервалі  ;1 функції  xf так, що
     ,...,...,2,1 21 nfufufu n  , то:
1) якщо  

1
dxxf збіжний, то збіжний і ряд 

1n
nu ;

6. 2) якщо  

1
dxxf розбіжний, то розбіжний і ряд 

1n
nu .
Приклад 3. Дослідити на збіжність ряд 

 

1 5
23
n n
n
.
Розв’язання. Ряд 

 

1 5
23
n n
n
розбіжний, тому що
03
5
23
limlim 



 n
n
u
n
n
n
, тобто виконується достатня умова розбіжності
ряду.
Приклад 4. Дослідити на збіжність ряд
 


















n
n
1
1
2
1
1
1
1
1
21
.
Розв’язання. Даний ряд розбіжний, тому що не виконується необхідна
умова збіжності: 0
1
1limlim 







e
n
u
n
n
n
n
.
Приклад 5. Дослідити на збіжність ряд 

 1 23
1
n
n
.
Розв’язання. Порівняємо даний ряд з рядом геометричної прогресії


12
1
n
n
, який збіжний 





 1
2
1
q . При будь-якому n маємо nn
2
1
23
1


. Отже,
за критерієм порівняння даний ряд збіжний.
Приклад 6. Дослідити на збіжність ряд 

1
3
1
n n
.
Розв’язання. Тут 3
1
n
un  . Візьмемо ряд із загальним членом
n
vn
1
 ,
який є розбіжним (гармонічний ряд). Маємо
nn
11
3
 . Отже, даний ряд
розбіжний за ознакою порівняння.
Приклад 7. Дослідити на збіжність ряд 

1 5
tg
n n

.

7. Розв’язання. Застосуємо граничний критерій порівняння. Оскільки
0
51
5
tg
lim 



n
n
n
, то за граничним критерієм порівняння маємо, ряд 

1 5
tg
n n

розбігається, як порівнянний з гармонічним рядом.
Приклад 8. Дослідити на збіжність ряд 

1 !
1
n n
.
Розв’язання. Знаходимо границю l :
 
 
0
1
1
lim
!1
!
lim
!
1
!1
1
limlim 1









 nn
n
n
n
u
u
l
nnnn
n
n
.
Оскільки 10 l , то даний ряд збіжний за ознакою Д’Аламбера.
Приклад 9. Дослідити на збіжність ряд 

1
2
3
n
n
n
.
Розв’язання. Обчислюємо границю
   2
2
22
1
13
33
lim
3
:
1
3
lim














 n
n
nn
l n
n
n
nn
n
3
1
1
1
lim3
1
lim3
2
2





















n
n
n
nn
.
Оскільки 13 l , то даний ряд розбіжний за ознакою Д’Аламбера
Приклад 10. Дослідити на збіжність ряд 










1
2
13
2
n
n
n
n
n
.
Розв’язання. Оскільки




















11
22
13
1
2
13
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
,
то доцільно застосувати ознаку Коші.
Обчислюємо границю
1
1
3
1
1
1
1
lim
3
1
13
1
limlim
2
















 e
n
n
n
ul nn
n
n
nn
n
n
n
.
Ряд 










1
2
13
1
n
n
n
n
n
збіжний, тому збіжний і ряд 










1
2
13
2
n
n
n
n
n
.

8. Приклад 11. Дослідити на збіжність узагальнений гармонічний ряд,
тобто ряд наступного вигляду: ,
1
4
1
3
1
2
1
1
1
1
 


pppp
n
p
nn
де
0p – дійсне число.
Розв’язання. Для дослідження ряду на збіжність застосуємо
інтегральну ознаку (ознака Д’Аламбера та ознака Коші відповідь на
збіжність не дають).
Розглянемо функцію   p
x
xf
1
 . Ця функція неперервна, монотонно
спадає на інтервалі  ;1 та   np
u
n
nf 
1
. При 1p маємо:
ap
a
a
p
ap
p
x
dxx
x
dx
1
1
11 1
limlim


























.1якщо,
,1якщо,
1
1
1
1
1
lim
1
p
p
p
pp
a p
n
При 1p маємо гармонічний ряд
n
un
1
 , що є розбіжним. Таким
чином, узагальнений гармонічний ряд збіжний при 1p та розбіжний при
1p .
Питання для самоконтролю
1. Що називається числовим рядом?
2. Що називається загальним членом ряду?
3. Який ряд називається збіжним? Що називається його сумою?
4. Який ряд називається розбіжним? Навести приклади.
5. Який ряд називається геометричним? При яких умовах він збіжний, а при
яких розбіжний?
6. Сформулювати найпростіші властивості збіжних числових рядів.
7. Що називається n - м залишком ряду?

9. 8. Сформулювати необхідну ознаку збіжності ряду. У чому полягає
найпростіша достатня ознака розбіжності? Навести приклади.
9. Сформулювати достатні ознаки порівняння і граничну ознаку порівняння.
10. Сформулювати достатні ознаки Д’Аламбера і Коші, інтегральну ознаку
Коші.