345

1. Практичне заняття 1.
Числові ряди. Збіжність ряду. Необхідна ознака. Достатні ознаки
збіжності знакододатних рядів.
Мета заняття: ознайомлення з поняттям ряду, його збіжності та
розбіжності, властивостями числових рядів,
ознайомлення з ознаками збіжності числових рядів та
застосування їх на прикладах.
Зміст заняття.
Завдання 1. Надання коротких теоретичних відомостей про числові
ряди та їх властивості.
Завдання 2. Надання коротких теоретичних відомостей про методи
дослідження знакододатних рядів.
Завдання 3. Розгляд прикладів на дослідження збіжності числових
рядів.
Теоретичні відомості.
Означення 1. Числовим рядом називається такий вираз:




1
21
n
nn uuuu  . (1)
Числа 1u , 2u , ..., nu , ... називаються членами ряду, а член nu –
загальним або n-м членом ряду.
Розглянемо суми скінченого числа членів ряду:
11 uS  , 212 uuS  , ..., nn uuuS  21 .
Означення 2. Сума n перших членів ряду nS називається n-ою
частинною сумою ряду.
Означення 3. Якщо існує скінчена границя послідовності частинних
сум , тобто
SSn
n


lim ,
то число S називається сумою ряду (1), а ряд називається збіжним.

2. У разі збіжності можна записати
Suuuu
n
nn  

1
21  .
Означення 4. Якщо послідовність частинних сум не має скінченої
границі, то ряд називається розбіжним.
Необхідна умова збіжності ряду. Якщо ряд 

1n
nu збіжний, то його
загальний член nu прямує до нуля, тобто 0lim 

n
n
u .
Достатня умова розбіжності ряду.
Якщо 0lim 

n
n
u або ця границя не існує, то ряд 

1n
nu розбіжний.
Теорема 1 (критерій порівняння). Нехай дано два ряди з додатними
членами: 

1n
nu (2) і 

1n
nv (3), причому члени першого ряду не
перевершують членів другого, тобто при будь-якому n
nn vu 0 .
Тоді: а) якщо збігається ряд (3), то збігається і ряд (2); б) якщо
розбігається ряд (2), то розбігається і ряд (3).
"Еталонні" ряди, які часто використовуються для порівняння:
1) геометричний ряд 



1
1
n
n
aq – збіжний при 1q , розбіжний при
1q ;
2) гармонічний ряд 

1
1
n n
– розбіжний;
3) ряд Діріхле або узагальнений гармонічний ряд
,0,
1
3
1
2
1
1
1
1



p
nn ppp
n
p

збіжний при 1p , розбіжний при 1p

3. Теорема 2 (граничний критерій порівняння). Якщо 

1n
nu і 

1n
nv –
ряди з додатними членами та існує скінчена границя відношення їхніх
загальних членів 0lim 

k
v
u
n
n
n
, то ряди одночасно збігаються, або
розбігаються.
Теорема 3 (ознака Д’Аламбера). Нехай дано ряд з додатними членами
та існує скінчена або нескінчена границя l
u
u
n
n
n


1
lim . Тоді ряд збігається при
1l та розбігається при 1l . Якщо 1l , то потрібні додаткові дослідження.
Зауваження. Ознаку Д’Аламбера доцільно застосовувати, якщо
загальний член ряду містить вирази вигляду !n та n
a .
Теорема 4 (ознака Коші).
Нехай дано ряд з додатними членами та існує скінчена або нескінчена
границя lun
n
n


lim . Тоді ряд збігається при 1l і розбігається при 1l .
Якщо 1l , то потрібні додаткові дослідження.
Теорема 5 (інтегральна ознака). Якщо члени додатного ряду 

1n
nu
можуть бути зображені як числові значення деякої неперервної монотонно
спадаючої на інтервалі  ;1 функції  xf так, що  11 fu  ,  22 fu  , ...,
 nfun  , ..., то:
1) якщо  

1
dxxf збігається, то збігається і ряд 

1n
nu ;
2) якщо  

1
dxxf розбігається, то розбігається і ряд 

1n
nu .
Приклад 1. Дослідити на збіжність ряд: 

 

1 2
12
n n
n

4. Тут виконується достатня умова розбіжності:
02
2
12
limlim 



 n
n
u
n
n
n
, тому ряд розбіжний.
Приклад 2. Дослідити на збіжність ряд: 

 1 3
1
n
n
n
Застосовуємо ознаку порівняння.
Оскільки ,...2,1,
3
1
3
1


n
n nn
і ряд 

13
1
n
n
збіжний як геометрична прогресія
із знаменником 1
3
1
q , то досліджуваний ряд теж збіжний.
Приклад 3. Дослідити на збіжність ряд: 



1
3
12
n n
n
Застосуємо граничну ознаку (критерій) порівняння
Порівняємо цей ряд із збіжним рядом 

1
2
1
n n
(це ряд вигляду 

1
1
n
p
n
, де
12 p ):
02
2
lim
112
lim 3
23
23










 n
nn
nn
n
nn
Отже, даний ряд збіжний.
Приклад 4. Дослідити на збіжність ряд: 

1
2
2n
n
n
Скористаємося ознакою Д'Аламбера:
1
2
1
2
)1(
lim
2
2)1(
limlim 2
2
21
2
1








 n
n
n
n
u
u
nn
n
n
n
n
n
Заданий ряд збіжний
Приклад 5. Дослідити на збіжність ряд: 








1 1
4
n
n
n
n
Застосуємо ознаку Коші,
14
1
4
limlim 


 n
n
u
n
n
n
n
тобто заданий ряд розбіжний.

5. Приклад 6. Дослідити на збіжність ряд 

 1
2
3
2
n n
n
Застосуємо інтегральну ознаку Коші.
Візьмемо функцію    

 ;1,
3
2
2
x
x
x
xf , тоді матимемо ряд
...)(...)2()1(
3
2
1
2





nfff
n
n
n
Розглянемо невласний інтеграл






b
b
xdx
x
x
dxxf
1
2
1
2
1
)3ln(lim
3
2
)( .
Цей інтеграл розбіжний, тому і даний ряд розбіжний.