2. План лекції.
1. Ряди, в яких знаки членів строго чергуються.
Ознака Лейбніца
2. Знакозмінні ряди.
3. Абсолютна і умовна збіжності
3. 1. Ряди, в яких знаки членів строго чергуються. Ознака Лейбніца
Розглянемо ряд, знаки членів якого строго чергуються, тобто ряд,
довільні два сусідні члени якого мають різні знаки:
1
11
4321 11
n
n
n
n
n
uuuuuu (1)
0nuде для усіх Nn
Такий ряд називається знакопочережним рядом.
Цей ряд досліджується на збіжність за допомогою такої достатньої ознаки.
Теорема (ознака Лейбніца).
Знакопочережний ряд (1) збіжний, якщо:
,...2,1,1 nuu nn
2. Загальний член ряду прямує до нуля: 0lim
n
n
u
При цьому сума ряду додатна і не перевищує першого його члена:
1.
10 uS (2)
4. Зазначимо, що до рядів, знаки яких строго чергуються, належить також ряд
0...,)1(54321 nn
n
uuuuuuu (3)
Якщо для такого ряду виконуються умови 1 і 2 ознаки Лейбніца, то він збіжний,
його сума S від'ємна і задовольняє нерівність 1uS
Таким чином, для рядів (1) і (3) ознака Лейбніца формулюється так: якщо
модуль n-го члена ряду (1) чи (3) із зростанням n спадає і прямує до нуля, то
ряд збіжний, причому модуль його суми не перевищує модуля першого члена.
Означення 1.
Ряди (1) і (3), для яких виконується ознака Лейбніца, називаються рядами
лейбніцевого типу.
5. S
Співвідношення (2) дає змогу одержати просту та зручну оцінку похибки, яка
даного ряду його частинною сумою nS
Наслідок. Абсолютна похибка від заміни суми збіжного ряду (1) його частинною
сумою не перевищує модуля першого з відкинутих членів ряду, тобто
1|| nn uSS (4)
Залишок збіжного ряду (1)
2
1
1 11 n
n
n
n
n uur
є збіжним рядом, члени якого строго чергуються і модуль n-го залишку || nr
не перевищує модуля (n + 1)-го члена цього ряду, тобто
1|||| nnn uSSr (5)
Цей наслідок широко використовується при наближених обчисленнях.
виникає при заміні суми
6. Приклад 1. Дослідити на збіжність ряд
1
2
1 1
1
n
n
n
Розв’язання.
Даний ряд є рядом Лейбніца, оскільки всі умови ознаки Лейбніца виконуються.
Його члени спадають по абсолютній величині
222
1
3
1
2
1
1
n
та границя загального члену ряду дорівнює нулю: 0
1
lim 2
nn
Таким чином, за ознакою Лейбніца ряд
1
2
1 1
1
n
n
n
збіжний.
Приклад 2. Обчислити наближено суму ряду
1
1 1
1
n
n
n
n
Розв’язання.
Даний ряд є рядом Лейбніца. Умови ознаки Лейбніца виконуються, ряд
збігається. Можна записати:
7. S 32
3
1
2
1
1
Розрахуємо частинну суму п'ятого порядку
7834,0
3125
1
256
1
27
1
4
3
5
1
4
1
3
1
2
1
1 54325 S
За формулою (4) маємо 65 || uSS , тобто значення 5S
як суми ряду дає похибку, меншу за 00003,0
46656
1
6
1
66 u
Отже, 7834,0S
2. Знакозмінні ряди.
Означення 2.
Числовий ряд
1n
nu , що містить нескінченну множину додатних та нескінченну
множину від’ємних членів, називається знакозмінним.
Розглянуті в попередньому пункті ряди, в яких знаки чергуються, є, очевидно,
окремим випадком знакозмінних рядів.
8. Розглянемо довільний знакозмінний ряд
nuuu 21 (6)
Одночасно розглянемо ряд, утворений з модулів ряду (6):
nuuu 21
(7)
Для знакозмінних рядів справедлива така ознака збіжності.
Теорема (достатня ознака збіжності знакозмінного ряду).
Якщо ряд утворений з модулів (7) збіжний, то і знакозмінний ряд (6) збіжний.
Ця теорема дає лише достатню умову збіжності і не є необхідною умовою
збіжності знакозмінного ряду, оскільки існують знакозмінні ряди, які є
збіжними, а ряди, утворені з модулів їхніх членів, розбіжні. Наприклад, ряд
1
)1(
n
n
n
збіжний за ознакою Лейбніца, а ряд
1
1
n n , утворений з модулів
його членів, розбіжний.
9. У зв'язку з цим всі збіжні ряди можна розділити на абсолютно збіжні і
3. Абсолютна і умовна збіжності
Означення 3.
Знакозмінний ряд називається абсолютно збіжним, якщо ряд, утворений з
модулів його членів, є збіжним.
Означення 4.
Знакозмінний ряд називається умовно збіжним, якщо сам ряд збіжний, а
ряд, утворений з модулів його членів, розбіжний.
Зазначимо, що розмежування рядів на абсолютно і умовно збіжні є досить істотним.
умовно збіжні.
10. Справа в тому, що абсолютно збіжні ряди мають цілу низку важливих
властивостей скінченних сум, тоді як умовно збіжні ряди таких властивостей
не мають. Наприклад, абсолютно збіжні мають переставну властивість:
будь-який ряд, утворений за допомогою перестановки членів абсолютно
збіжного ряду, також абсолютно збіжний і має ту саму суму, що і заданий ряд.
Умовно збіжні ряди переставної властивості не мають, тому що від
перестановки їхніх членів може змінитися сума ряду і навіть утворитись
розбіжний ряд.
11. Приклад 3. Дослідити на збіжність ряд
1 12
ln1
n
n
n
n
Розв’язання.
Оскільки члени знакопочережного ряду, починаючи з другого, спадають
12
ln
5
3ln
3
2ln
n
n
та границя загального члену 0
12
ln
lim
n
n
n
(це можна довести за допомогою правила Лопіталя),
то за ознакою Лейбніца ряд збіжний.
Ряд
1 12
ln
n n
n
утворений з модулів членів ряду, розбіжний за
критерієм порівняння з гармонічним рядом. Тому що його члени більше
половини членів гармонічного ряду:
nnn
n
2
1
12
1
12
ln
Таким чином, ряд
1 12
ln1
n
n
n
n
умовно збіжний.
по абсолютній величині
12. Приклад 4. Дослідити на збіжність ряд
1
2
1
3
cos1
n
n
n
n
Розв’язання.
Розглянемо ряд, утворений з модулів членів даного ряду. Він збіжний за
ознакою порівняння з рядом Діріхле, тому що його члени менше членів
узагальненого гармонічного ряду з 2p
222
1
1
1
1
3
cos1
nnn
nn
Таким чином, ряд
1
2
1
3
cos1
n
n
n
n
збіжний абсолютно.
13. Питання для самоконтролю
1.Сформулювати ознаку Лейбніца. Для якого ряду застосовна ця
ознака?
2. У чому полягає наслідок із ознаки Лейбніца?
3. Який ряд називається знакозмінним?
4. Сформулювати достатню ознаку збіжності знакозмінного ряду.
5. Який ряд називається абсолютно збіжним?
6. Який ряд називається умовно збіжним? Навести приклади.
