2016年度秋学期　画像情報処理　第１２回　画像フィルタとフィルタ定理 (2016. 12. 22)

A.Asano,KansaiUniv.
2016年度秋学期　画像情報処理
浅野　晃
関西大学総合情報学部
画像フィルタとフィルタ定理
第１２回

A.Asano,KansaiUniv.
フィルタ定理

A.Asano,KansaiUniv. フィルタとは
フィルタ＝濾過器
何かを投入すると
一定の作用を及ぼして
出力する

A.Asano,KansaiUniv. 画像処理におけるフィルタ
画像の各画素について,その画素および近傍の画素とでな
んらかの演算を行なって,その結果で各画素を置き換える
各画素の輝度を上げる
（あまりフィルタとは
　いわない）
ぼかし＝近傍の画素との
平均
輪郭強調＝近傍の画素と
の差を増強

A.Asano,KansaiUniv. モルフォロジにおけるフィルタ
移動不変性
(translation-invariance) Ψ(Xb) = [Ψ(X)]b

移動不変性
フィルタ

移動不変性
フィルタ図形

移動不変性
フィルタ図形
移動

移動不変性
フィルタ図形
移動
移動してからフィルタを適用するのと，
フィルタを適用してから移動するのとが同じ

移動不変性
フィルタ図形
移動
移動してからフィルタを適用するのと，
フィルタを適用してから移動するのとが同じ
移動不変でない
（背景だけぼかし）

増加性
(increasingness) X ⊂ Y ⇒ Ψ(X) ⊂ Ψ(Y )

増加性
(increasingness) X ⊂ Y ⇒ Ψ(X) ⊂ Ψ(Y )
フィルタを適用する前後で
包含関係が保たれる

増加性
(increasingness)
ノイズ除去を例にすると
ノイズ画素は，意味のある図形に比べて小さい→
　図形を残してノイズを除去→増加的
　ノイズを残して図形を消去→増加的でない
X ⊂ Y ⇒ Ψ(X) ⊂ Ψ(Y )
フィルタを適用する前後で
包含関係が保たれる

A.Asano,KansaiUniv. 増加的フィルタとノイズ除去

図形を残してノイズを除去→増加的

図形Y
ノイズX
⊂

図形Y
ノイズX
⊂
フィルタΨ

図形Y
ノイズX
⊂
フィルタΨ
図形保存

図形Y
ノイズX
⊂
フィルタΨ
図形保存
ノイズ消滅
∅

図形Y
ノイズX
⊂
フィルタΨ
図形保存
ノイズ消滅
⊂∅

ノイズを残して図形を消去→増加的でない
図形Y
ノイズX
⊂
フィルタΨ
図形保存
ノイズ消滅
⊂∅

図形Y
ノイズX
⊂
フィルタΨ
図形保存
ノイズ消滅
⊂∅
図形Y
ノイズX
⊂

図形Y
ノイズX
⊂
フィルタΨ
図形保存
ノイズ消滅
⊂∅
図形Y
ノイズX
⊂
フィルタΨ

図形Y
ノイズX
⊂
フィルタΨ
図形保存
ノイズ消滅
⊂∅
図形Y
ノイズX
⊂
フィルタΨ ノイズ保存

図形Y
ノイズX
⊂
フィルタΨ
図形保存
ノイズ消滅
⊂∅
図形Y
ノイズX
⊂
フィルタΨ
図形消滅
ノイズ保存
∅

図形Y
ノイズX
⊂
フィルタΨ
図形保存
ノイズ消滅
⊂∅
図形Y
ノイズX
⊂
フィルタΨ
図形消滅
ノイズ保存
⊄ ∅

べき等性
(idempotence)
狭義のモルフォロジカルフィルタは，さらに
Ψ[Ψ(X)] = Ψ(X)

べき等性
(idempotence)
フィルタを１回適用すれば，
それ以上何度適用しても同じ
Ψ[Ψ(X)] = Ψ(X)

べき等性
(idempotence)
オープニング・クロージングは
もっとも基本的な（狭義の）モルフォロジカルフィルタ
フィルタを１回適用すれば，
それ以上何度適用しても同じ
Ψ[Ψ(X)] = Ψ(X)

A.Asano,KansaiUniv. フィルタ定理
移動不変で増加的なフィルタは，どんなフィルタでも，
なんらかの構造要素群による
エロージョンをORで組み合わせることで表せる

Ψ(X) =
B∈Ker[Ψ]
X ⊖ ˇB

Ψ(X) =
B∈Ker[Ψ]
X ⊖ ˇB
Ker[Ψ] = {X | 0 ∈ Ψ(X)}.

Ψ(X) =
B∈Ker[Ψ]
X ⊖ ˇB
Ker[Ψ] = {X | 0 ∈ Ψ(X)}.
フィルタの核(kernel)

Ψ(X) =
B∈Ker[Ψ]
X ⊖ ˇB
Ker[Ψ] = {X | 0 ∈ Ψ(X)}.
原点

Ψ(X) =
B∈Ker[Ψ]
X ⊖ ˇB
Ker[Ψ] = {X | 0 ∈ Ψ(X)}.
原点
事実上，
入力として可能な図形
すべて

A.Asano,KansaiUniv. フィルタ定理の証明
[1] Ψ(X) ⊇
B∈Ker[Ψ]
X ⊖ ˇB を証明する

[1] Ψ(X) ⊇
B∈Ker[Ψ]
Ker[Ψ]に含まれるBについて
X ⊖ ˇB に含まれる画素hを考える

[1] Ψ(X) ⊇
B∈Ker[Ψ]
X⊖B̌
h

[1] Ψ(X) ⊇
B∈Ker[Ψ]
X⊖B̌
h
X ⊖ ˇB = {x|Bx ⊆ X}

[1] Ψ(X) ⊇
B∈Ker[Ψ]
X⊖B̌
h
X ⊖ ˇB = {x|Bx ⊆ X}
Bh ⊆ X

[1] Ψ(X) ⊇
B∈Ker[Ψ]
X⊖B̌
h
X ⊖ ˇB = {x|Bx ⊆ X}
Bh ⊆ X
B ⊆ X−h

一方 BはKer[Ψ]に含まれるので
X⊖B̌
h
0 ∈ Ψ(B)

X⊖B̌
h
B ⊆ X−h
0 ∈ Ψ(B) 前ページ

X⊖B̌
h
B ⊆ X−h
0 ∈ Ψ(X−h)
増加的

X⊖B̌
h
B ⊆ X−h
0 ∈ Ψ(X−h)
増加的
h ∈ Ψ(X)
移動不変

X⊖B̌
h
B ⊆ X−h
0 ∈ Ψ(X−h)
増加的
h ∈ Ψ(X)
移動不変
X ⊖ ˇB に含まれるどのhに
ついてもなりたつ→

X⊖B̌
h
B ⊆ X−h
0 ∈ Ψ(X−h)
増加的
h ∈ Ψ(X)
移動不変
Ψ(X)
X ⊖ ˇB に含まれるどのhに
ついてもなりたつ→ こうなる

Ker[Ψ]に含まれる任意の構造要素Bについて
h ∈ X ⊖ ˇB ⇒ h ∈ Ψ(X)
X⊖B̌
h
Ψ(X)

h ∈ X ⊖ ˇB ⇒ h ∈ Ψ(X)
h
X⊖B̌
X⊖B̌
h
Ψ(X)

h ∈ X ⊖ ˇB ⇒ h ∈ Ψ(X)
h
X⊖B̌
X⊖B̌
h
Ψ(X)
X⊖B̌
h

こうなっている
h ∈ X ⊖ ˇB ⇒ h ∈ Ψ(X)
h
X⊖B̌
X⊖B̌
h
Ψ(X)
X⊖B̌
h

つまり
こうなっている
h ∈ X ⊖ ˇB ⇒ h ∈ Ψ(X)
h
X⊖B̌
X⊖B̌
h
Ψ(X)
X⊖B̌
hΨ(X) ⊇
B∈Ker[Ψ]
X ⊖ ˇB

[2] を証明するΨ(X) ⊆
B∈Ker[Ψ]
X ⊖ ˇB

[2] を証明する
Ψ(X)に含まれる任意のhについて
Ψ(X) ⊆
B∈Ker[Ψ]
X ⊖ ˇB
　
h ∈ Ψ(X)

[2] を証明する
Ψ(X) ⊆
B∈Ker[Ψ]
X ⊖ ˇB
　
0 ∈ Ψ(X−h)
h ∈ Ψ(X)
移動不変

[2] を証明する
Ψ(X) ⊆
B∈Ker[Ψ]
X ⊖ ˇB
　
0 ∈ Ψ(X−h)
h ∈ Ψ(X)
移動不変
X−h ∈ Ker[Ψ]
核の定義

[2] を証明する
Ψ(X) ⊆
B∈Ker[Ψ]
X ⊖ ˇB
　
0 ∈ Ψ(X−h)
h ∈ Ψ(X)
移動不変
X−h ∈ Ker[Ψ]
X ⊖ ˇX−h = {h′ | (X−h)h′ ⊆ X}
を考えると
核の定義

[2] を証明する
Ψ(X) ⊆
B∈Ker[Ψ]
X ⊖ ˇB
　
0 ∈ Ψ(X−h)
h ∈ Ψ(X)
移動不変
X−h ∈ Ker[Ψ]
X ⊖ ˇX−h = {h′ | (X−h)h′ ⊆ X}
を考えると h′ = h
のときもなりたつ
核の定義

[2] を証明する
Ψ(X) ⊆
B∈Ker[Ψ]
X ⊖ ˇB
　
0 ∈ Ψ(X−h)
h ∈ Ψ(X)
移動不変
X−h ∈ Ker[Ψ]
X ⊖ ˇX−h = {h′ | (X−h)h′ ⊆ X}
を考えると h′ = h
のときもなりたつ
h ∈ X ⊖ ˇX−h
核の定義

X−h ∈ Ker[Ψ] h ∈ X ⊖ ˇX−h

そこで X-hをBと名付けると
h ∈ X ⊖ ˇB
B ∈ Ker[Ψ]

が存在する
h ∈ X ⊖ ˇB
h ∈ Ψ(X) ⇒ h ∈ X ⊖ ˇB となる
B ∈ Ker[Ψ]
つまり
B ∈ Ker[Ψ]

が存在する
h ∈ X ⊖ ˇB
B ∈ Ker[Ψ]
つまり
B ∈ Ker[Ψ]
Ψ(X)

が存在する
h ∈ X ⊖ ˇB
B ∈ Ker[Ψ]
つまり
B ∈ Ker[Ψ]
Ψ(X)
h
X⊖B̌

が存在する
h ∈ X ⊖ ˇB
B ∈ Ker[Ψ]
つまり
B ∈ Ker[Ψ]
Ψ(X)
h
X⊖B̌
h
X⊖B̌

が存在する
h ∈ X ⊖ ˇB
B ∈ Ker[Ψ]
つまり
B ∈ Ker[Ψ]
Ψ(X)
h
X⊖B̌
h
X⊖B̌
h
X⊖B̌

が存在する
h ∈ X ⊖ ˇB
B ∈ Ker[Ψ]
つまり
B ∈ Ker[Ψ]
Ψ(X)
h
X⊖B̌
h
X⊖B̌
h
X⊖B̌
よって

が存在する
h ∈ X ⊖ ˇB
B ∈ Ker[Ψ]
つまり
B ∈ Ker[Ψ]
Ψ(X)
h
X⊖B̌
h
X⊖B̌
h
X⊖B̌
よって
B∈Ker[Ψ]
X ⊖ ˇB

が存在する
h ∈ X ⊖ ˇB
B ∈ Ker[Ψ]
つまり
B ∈ Ker[Ψ]
Ψ(X)
h
X⊖B̌
h
X⊖B̌
h
X⊖B̌
よって
Ψ(X) ⊆
B∈Ker[Ψ]
X ⊖ ˇB
B∈Ker[Ψ]
X ⊖ ˇB

A.Asano,KansaiUniv. フィルタ定理の例
erosion→近傍内での最小値(min)
OR→最大値演算(max)

メディアンフィルタ
画像上をウィンドウが１画素ずつ移動し，各画素でウィンドウ内のメディアンを出力

10 15 10 20 10
10 30 50 20 10
10 10 20 10 10
10 20 10 10 10
10 10 10 10 10
ウィンドウ

10 15 10 20 10
10 30 50 20 10
10 10 20 10 10
10 20 10 10 10
10 10 10 10 10
ウィンドウ
[n/2 + 1]画素の
サブウィンドウ

10 15 10 20 10
10 30 50 20 10
10 10 20 10 10
10 20 10 10 10
10 10 10 10 10
ウィンドウサブウィンドウ
内の画素値
[n/2 + 1]画素の

10 15 10 20 10
10 30 50 20 10
10 10 20 10 10
10 20 10 10 10
10 10 10 10 10
内の画素値
10
20
30
50
20
[n/2 + 1]画素の

10 15 10 20 10
10 30 50 20 10
10 10 20 10 10
10 20 10 10 10
10 10 10 10 10
内の画素値
10
20
30
50
20
10 10
20 2020
[n/2 + 1]画素の

10 15 10 20 10
10 30 50 20 10
10 10 20 10 10
10 20 10 10 10
10 10 10 10 10
内の画素値
10
20
30
50
20
10 10
20 2020
...
[n/2 + 1]個の画素からなるすべてのサブウィンドウ
[n/2 + 1]画素の

10 15 10 20 10
10 30 50 20 10
10 10 20 10 10
10 20 10 10 10
10 10 10 10 10
内の画素値
10
20
30
50
20
10
20
10 10
20
10 10
20 2020
...

10 15 10 20 10
10 30 50 20 10
10 10 20 10 10
10 20 10 10 10
10 10 10 10 10
内の画素値
10
20
30
50
20
10
20
10 10
20
10 10
20 2020
...
各サブウィンドウ内の
最大値の中の
最小＝メディアン

平均値フィルタ
画像上をウィンドウが１画素ずつ移動し，各画素でウィンドウ内の平均値を出力

２つの値の平均を，最大と最小で表す

２つの値の平均を，最大と最小で表す
r：小
画素値
x
y
x – r
y + r
r：大
x – rとy + rの
大きいほう
x – rとy + rの
小さいほう
　「大きいほう」の最小
＝「小さいほう」の最大
＝平均
y + r
x – r
x – r
y + r

２つの値の平均を，最大と最小で
ナ
イ
フ
を
動
か
して
ゆ
く
AとBの２人がケーキを分ける。
２人とも大きい方がほしい。

ナ
イ
フ
を
動
か
して
ゆ
く
Aがナイフを端から動かして行き，
Bが「ストップ」をかけて，ケーキ
を切ってAが好きな方をとる

ナ
イ
フ
を
動
か
して
ゆ
く
Aがナイフを端から動かして行き，
Bが「ストップ」をかけて，ケーキ
を切ってAが好きな方をとる
Bの立場では，
切ったあとAは大きい方を取るだろ
うから，大きい方を最小にする

A.Asano,KansaiUniv.
一般的なモルフォロジの表現
～順序集合と束

A.Asano,KansaiUniv. もっとも一般的なモルフォロジの表現
モルフォロジが定義できる集合は，

要素間の一部に順序が定義されていて（半順序集合），

任意の要素間に「上限」と「下限」が
定義されていればよい．

近傍内の上限→dilation，下限→erosion

束(lattice)という

束の例
(Hasse diagram)

束の例
(Hasse diagram)
a
b
c

束の例
(Hasse diagram)
全順序集合
a
b
c

束の例
(Hasse diagram)
全順序集合
a
b
c
a
b
c
e
d

束の例
(Hasse diagram)
全順序集合 c-dに順序はないが，
c-dの上限はb，下限はe
a
b
c
a
b
c
e
d

束の例
(Hasse diagram)
a
b
c
a
b
c
e
d
a
b
e
cd
f
h
g

束の例
(Hasse diagram)
a
b
c
a
b
c
e
d
a
b
e
cd
f
h
g
カラー画像のモルフォロジも，この考えにもとづく
（ベクトルの順位付け）

2016年度秋学期　画像情報処理　第１２回　画像フィルタとフィルタ定理 (2016. 12. 22)

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