2016年度秋学期　応用数学（解析）　第１回　イントロダクション― ちょっとかっこいい数学を (2016. 9. 29)

A.Asano,KansaiUniv.
2016年度秋学期　応用数学（解析）
浅野　晃
関西大学総合情報学部
イントロダクション―
ちょっとかっこいい数学を
第１回

A.Asano,KansaiUniv.
数学を学ぶこと

2016
A.Asano,KansaiUniv. 数学を学ぶこととは
「問題を解くこと」ではありません
大事なのは「わかる」こと。
数学の考え方や思想を理解しましょう。
試験では問題を解いてはもらいますが…

2016
A.Asano,KansaiUniv. 数学の特徴は
抽象化・一般化
微分や積分は，量の変化を調べる。
ー乗り物の速度
ー放射性元素の崩壊
ー気候の変化
何にでも使えます

A.Asano,KansaiUniv.
「無限」の理解

2016
A.Asano,KansaiUniv. 無限と数学
微分・積分は「無限」でできている
微分は「無限に短い時間での変化」
積分は「図形を無限に細かく分けて
　　　　面積を求める」

2016
A.Asano,KansaiUniv. 微分とは
f(x)
x
0 a
この線の傾きは
f(a) − f(0)
a − 0

2016
a → 0
幅を無限に狭く
f(x)
x
0 a
f(a) − f(0)
a − 0

2016
a → 0
f(x)
x
0 a
f(a) − f(0)
a − 0
f(x)
x
0

2016
a → 0
f(x)
x
0 a
f(a) − f(0)
a − 0
f(x)
x
0a

2016
a → 0
f(x)
x
0 a
f(a) − f(0)
a − 0
f(x)
x
0a
この線の傾きは lim
a→0
f(a) − f(0)
a − 0
=
df(x)
dx x=0
= f′
(x)

2016
a → 0
f(x)
x
0 a
これが微分
f(a) − f(0)
a − 0
f(x)
x
0a
この線の傾きは lim
a→0
f(a) − f(0)
a − 0
=
df(x)
dx x=0
= f′
(x)

2016
A.Asano,KansaiUniv. 積分とは
この面積を
求めたい
f(x)
x
0 a

2016
この面積を
求めたい
f(x)
x
f(x)
x
0
Δx
2Δx nΔx
幅が Δx の
長方形で近似
0 a

2016
この面積を
求めたい
f(x)
x
f(x)
x
0
Δx
2Δx nΔx
幅が Δx の
長方形で近似
高さ f(2Δx)
0 a

2016
この面積を
求めたい
f(x)
x
n−1
k=0
f(k∆x)∆x
f(x)
x
0
Δx
2Δx nΔx
幅が Δx の
長方形で近似
高さ f(2Δx)
0 a

2016
この面積を
求めたい
Δx → 0
区切りを無限に細かく
f(x)
x
n−1
k=0
f(k∆x)∆x
f(x)
x
0
Δx
2Δx nΔx
幅が Δx の
長方形で近似
高さ f(2Δx)
0 a

2016
この面積を
求めたい
Δx → 0
区切りを無限に細かく
f(x)
x
n−1
k=0
f(k∆x)∆x
f(x)
x
0
Δx
2Δx nΔx
幅が Δx の
長方形で近似
高さ f(2Δx)
0 a
a
0
f(x)dx これが積分

2016
A.Asano,KansaiUniv. 無限とは，「多い」だけではない
ゼノンのパラドックス
A B
A地点からB地点に行くには，

2016
A B
無限個の２分点を通らなければならないから，
永遠にたどり着かない？

2016
数学が，これをどうやって克服してき
たかをお話しします。
A B
無限個の２分点を通らなければならないから，
永遠にたどり着かない？

A.Asano,KansaiUniv.
基本的な微分方程式

2016
A.Asano,KansaiUniv. 微分方程式とは
微分方程式は，解が「関数」で，
その微分が含まれる方程式
ふつうの方程式は，解は「数」
x が t の関数（つまりx(t)）のとき，
x2 − 5x + 3 = 0
x′
= x
x′′ − 5x′ + 6x = 0
関数は「量の変化」
微分方程式は「変化の条件」
微分方程式を解くと，「どう変化するか」がわかる

2016
A.Asano,KansaiUniv. 基本的な微分方程式
微分方程式は，
特定のパターンのものしか解けない
基本的なパターンを
いくつか紹介します。

A.Asano,KansaiUniv.
微分方程式に関する話題

2016
A.Asano,KansaiUniv. 微分方程式の応用例
放射性原子核の崩壊
原子が崩壊して，数が半分になるまでの
時間（半減期）は，いつの時点でも同じ
振動と共鳴
振動は，運動と反対方向に復元力が働い
て起きる
強制力を加えると，振動が無限に大きく
なることある（共鳴）

A.Asano,KansaiUniv.
複素関数論の基礎

2016
A.Asano,KansaiUniv. 複素関数とは
複素数とは
複素関数とは
複素数の関数で，値も複素数
これを使うと，
x2 = −1 の解は？ i =
√
−1 として ±i
・三角関数を指数関数で表せる
・実関数で解けない積分が解ける

A.Asano,KansaiUniv.
測度論の基礎

2016
A.Asano,KansaiUniv. 測度論とは
「測る」とは何か？
測ることのできる集合とは何か？
長さ・面積・体積・質量など，
いろいろな測り方があるけれど
これらを一般的に「測度」という

2016
A.Asano,KansaiUniv. 積分に対する疑問
この面積は
p q
f(x)
a
　
分
q
p
f(x)dx
グ部分
から
a
a
f(x)dx を抜いたもの
線を１本抜く

2016
この面積は
p q
f(x)
a
　
分
q
p
f(x)dx
グ部分
から
a
a
幅が0のとき，積分は0だから
線を１本抜く

2016
この面積は
p q
f(x)
a
　
分
q
p
f(x)dx
グ部分
から
a
a
線を１本抜く
面積は変わらない

2016
この面積は
p q
f(x)
a
　
分
q
p
f(x)dx
グ部分
から
a
a
p q
f(x)
全ての有理数の位置の線を
全部抜いても
本当に面積は変わらないか？
線を１本抜く
面積は変わらない

2016
A.Asano,KansaiUniv. 結論だけいえば
p q
f(x)
　
全部抜いても
変わらない。
「有理数全体の集合」の測度は0

2016
A.Asano,KansaiUniv. 結論だけいえば
p q
f(x)
　
全部抜いても
変わらない。
「有理数全体の集合」の測度は0
「アルデンテ」のとき
芯は存在するが，測度は0(?)

2016
A.Asano,KansaiUniv. 今日のまとめ
ちょっと，かっこいい数学を。

2016年度秋学期　応用数学（解析）　第１回　イントロダクション― ちょっとかっこいい数学を (2016. 9. 29)

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