関西大学総合情報学部　「応用数学（解析）」（担当：浅野晃）

1. A. Asano, Kansai Univ.
2014年度秋学期 応用数学（解析）
第２部・基本的な微分方程式
２階線形微分方程式（２）
浅野 晃
関西大学総合情報学部
第８回

2. A. Asano, Kansai Univ.

3. A. Asano, Kansai Univ.
２階線形微分方程式（復習）

4. ２階線形微分方程式
一般には
ての２階線形微分方程式とは，次の形のものをいいます。
x′′ + P(t)x′ + Q(t)x = R(t) 恒等的に0 であるものを斉次，そうでないものを非斉次の方程２階線形微分方程式は，P(t) やQ(t) が定数の斉次方程式で，a, x′′ + ax′ + bx = 0 として，まずx ≡ 0 が浮かびます。これは自明解とよばれていて，これを方程式に代入してみると
2014年度秋学期 A. Asano, Kansai Univ.
λ2eλt + aλeλt + beλt = 0
!
λ2 + aλ + b
"
eλt = 0

5. ２階線形微分方程式
一般には
ての２階線形微分方程式とは，次の形のものをいいます。
x′′ + P(t)x′ + Q(t)x = R(t) 恒等的に0 であるものを斉次，そうでないものを非斉次の方程２階線形微分方程式は，P(t) やQ(t) が定数の斉次方程式で，a, x′′ + ax′ + bx = 0 として，まずx ≡ 0 が浮かびます。これは自明解とよばれていて，これを方程式に代入してみると
2014年度秋学期 A. Asano, Kansai Univ.
λ2eλt + aλeλt + beλt = 0
!
λ2 + aλ + b
"
eλt = 0

6. ２階線形微分方程式
一般には
ての２階線形微分方程式とは，次の形のものをいいます。
x′′ + P(t)x′ + Q(t)x = R(t) 斉次ここが恒等的に0なのが［斉次］
恒等的に0 であるものを，そそううでではなないいのもがの［非を斉非次斉］
次の方程２階線形微分方程式は，P(t) やQ(t) が定数の斉次方程式で，a, x′′ + ax′ + bx = 0 として，まずx ≡ 0 が浮かびます。これは自明解とよばれていて，これを方程式に代入してみると
2014年度秋学期 A. Asano, Kansai Univ.
λ2eλt + aλeλt + beλt = 0
!
λ2 + aλ + b
"
eλt = 0

7. ２階線形微分方程式
一般には
x′′ + P(t)x′ + Q(t)x = R(t) にての２階線形微分方程式とは，次の形のものをいいます。
0 であるものを斉次，そうでないものを非斉次の形微分方程式は，P(t) やQ(t) が定数の斉次方程式x′′ x′′ + P(t)x′ + Q(t)x = R(t) 斉次ここが恒等的に0なのが［斉次］
恒等的に0 であるものを，そそううでではなないいのもがの［非を斉非次斉］
次の方程２階線形微分方程式は，P(t) やQ(t) が定数の斉次方程式で，a, x′′ + ax′ + bx = 0 て，まずx ≡ 0 が浮かびます。これは自明解とよばこれを方程式に代入してみると
+ ax′ + bx = 0 として，まずx ≡ 0 が浮かびます。これは自明解とよばれていて，これを方程式に代入しると
2014年度秋学期 A. Asano, Kansai Univ.
λ2eλt + aλeλt + beλt = 0
!
λ2 + aλ + b
"
eλt = 0
一番簡単なのは
λ2eλt + aλeλt + beλt = 0
!
λ2 "
eλt

8. ２階線形微分方程式
一般には
x′′ + P(t)x′ + Q(t)x = R(t) にての２階線形微分方程式とは，次の形のものをいいます。
0 であるものを斉次，そうでないものを非斉次の形微分方程式は，P(t) やQ(t) が定数の斉次方程式x′′ x′′ + P(t)x′ + Q(t)x = R(t) 斉次ここが恒等的に0なのが［斉次］
恒等的に0 であるものを，そそううでではなないいのもがの［非を斉非次斉］
次の方程２階線形微分方程式は，P(t) やQ(t) が定数の斉次方程式で，a, x′′ + ax′ + bx = 0 て，まずx ≡ 0 が浮かびます。これは自明解とよばこれを方程式に代入してみると
+ ax′ + bx = 0 として，まずx ≡ 0 が浮かびます。これは自明解とよばれていて，これを方程式に代入しると
定数係数の斉次方程式
!
"
λ2 eλt 2014年度秋学期 A. Asano, Kansai Univ.
λ2eλt + aλeλt + beλt = 0
!
λ2 + aλ + b
"
eλt = 0
一番簡単なのは
λ2eλt + aλeλt + beλt = 0

9. ２階線形微分方程式
一般には
x′′ + P(t)x′ + Q(t)x = R(t) にての２階線形微分方程式とは，次の形のものをいいます。
0 であるものを斉次，そうでないものを非斉次の形微分方程式は，P(t) やQ(t) が定数の斉次方程式x′′ x′′ + P(t)x′ + Q(t)x = R(t) 斉次ここが恒等的に0なのが［斉次］
恒等的に0 であるものを，そそううでではなないいのもがの［非を斉非次斉］
次の方程２階線形微分方程式は，P(t) やQ(t) が定数の斉次方程式で，a, x′′ + ax′ + bx = 0 て，まずx ≡ 0 が浮かびます。これは自明解とよばこれを方程式に代入してみると
+ ax′ + bx = 0 として，まずx ≡ 0 が浮かびます。これは自明解とよばれていて，これを方程式に代入しると
定数係数の斉次方程式
!
"
λ2 eλt とりあえず， x ≡ 0 は解［自明解］
2014年度秋学期 A. Asano, Kansai Univ.
λ2eλt + aλeλt + beλt = 0
!
λ2 + aλ + b
"
eλt = 0
一番簡単なのは
λ2eλt + aλeλt + beλt = 0

10. ２階線形微分方程式
一般には
x′′ + P(t)x′ + Q(t)x = R(t) にての２階線形微分方程式とは，次の形のものをいいます。
0 であるものを斉次，そうでないものを非斉次の形微分方程式は，P(t) やQ(t) が定数の斉次方程式x′′ x′′ + P(t)x′ + Q(t)x = R(t) 斉次ここが恒等的に0なのが［斉次］
恒等的に0 であるものを，そそううでではなないいのもがの［非を斉非次斉］
次の方程２階線形微分方程式は，P(t) やQ(t) が定数の斉次方程式で，a, x′′ + ax′ + bx = 0 て，まずx ≡ 0 が浮かびます。これは自明解とよばこれを方程式に代入してみると
+ ax′ + bx = 0 として，まずx ≡ 0 が浮かびます。これは自明解とよばれていて，これを方程式に代入しると
定数係数の斉次方程式
!
"
λ2 eλt とりあえず， x ≡ 0 は解［自明解］
それ以外には？
2014年度秋学期 A. Asano, Kansai Univ.
λ2eλt + aλeλt + beλt = 0
!
λ2 + aλ + b
"
eλt = 0
一番簡単なのは
λ2eλt + aλeλt + beλt = 0

11. るもの２を斉階次線，形そう微で分ない方も程の式を非の斉解
次の方程式といい程式は，P(t) やQ(t) が定数の斉次方程式で，a, b を定数x′′ を満たすλ について，x(t) = eλt は解です。また，そとて，まずx ≡ 0 が浮かびます。れは自明解とよばれ，これを方程式に代入してみると
+ ax′ + bx = 0 ≡ 0 が浮かびます。これは自明解とよばれています。式に代入してみると
λ2eλt + aλeλt + beλt = 0
!
λ2 + aλ + b
"
eλt = 0
2014年度秋学期 A. Asano, Kansai Univ.
表されます。
この方程式の解として，x(t) = eλt としてみて，これとなりますから，λ2 + aλ + です。
さらに，λ2 +aλ+b = 0はて，これらをλ1, λ2 とするC1 = C2 = 0とするとx(t) こんなんでいいのでしょうか
とりあえず
にを代入すると
λ2eλt + aλeλt + beλt = 0
!
λ2 + aλ + b
"
eλt = 0
aλ + b = 0を満たすλ について，x(t) = eλt は解です= 0はλ の２次方程式ですから，これを満たすλ はたいすると，x(t) = C1eλ1t + C2eλ2t（C1, C2 は定数）が解x(t) ≡ 0 になりますから，この解は自明解を含んでいま

12. るもの２を斉階次線，形そう微で分ない方も程の式を非の斉解
次の方程式といい程式は，P(t) やQ(t) が定数の斉次方程式で，a, b を定数x′′ を満たすλ について，x(t) = eλt は解です。また，そとて，まずx ≡ 0 が浮かびます。れは自明解とよばれ，これを方程式に代入してみると
+ ax′ + bx = 0 ≡ 0 が浮かびます。これは自明解とよばれています。式に代入してみると
λ2eλt + aλeλt + beλt = 0
!
λ2 + aλ + b
"
eλt = 0
2014年度秋学期 A. Asano, Kansai Univ.
表されます。
この方程式の解として，x(t) = eλt としてみて，これとなりますから，λ2 + aλ + です。
さらに，λ2 +aλ+b = 0はて，これらをλ1, λ2 とするC1 = C2 = 0とするとx(t) こんなんでいいのでしょうか
とりあえず
にを代入すると
λ2eλt + aλeλt + beλt = 0
!
λ2 + aλ + b
"
eλt = 0
aλ + b = 0を満たすλ について，x(t) = eλt は解です= 0はλ の２次方程式ですから，これを満たすλ はたいすると，x(t) = C1eλ1t + C2eλ2t（C1, C2 は定数）が解x(t) ≡ 0 になりますから，この解は自明解を含んでいま

13. るもの２を斉階次線，形そう微で分ない方も程の式を非の斉解
次の方程式といい程式は，P(t) やQ(t) が定数の斉次方程式で，a, b を定数x′′ を満たすλ について，x(t) = eλt は解です。また，そとて，まずx ≡ 0 が浮かびます。れは自明解とよばれ，これを方程式に代入してみると
+ ax′ + bx = 0 ≡ 0 が浮かびます。これは自明解とよばれています。式に代入してみると
ここが 0 になるような λ については
x = eλt は解，その定数倍も解
λ2eλt + aλeλt + beλt = 0
!
λ2 + aλ + b
"
eλt = 0
2014年度秋学期 A. Asano, Kansai Univ.
表されます。
この方程式の解として，x(t) = eλt としてみて，これとなりますから，λ2 + aλ + です。
さらに，λ2 +aλ+b = 0はて，これらをλ1, λ2 とするC1 = C2 = 0とするとx(t) こんなんでいいのでしょうか
とりあえず
にを代入すると
λ2eλt + aλeλt + beλt = 0
!
λ2 + aλ + b
"
eλt = 0
aλ + b = 0を満たすλ について，x(t) = eλt は解です= 0はλ の２次方程式ですから，これを満たすλ はたいすると，x(t) = C1eλ1t + C2eλ2t（C1, C2 は定数）が解x(t) ≡ 0 になりますから，この解は自明解を含んでいま

14. るもの２を斉階次線，形そう微で分ない方も程の式を非の斉解
次の方程式といい程式は，P(t) やQ(t) が定数の斉次方程式で，a, b を定数x′′ て，まずx ≡ 0 が浮かびます。れは自明解とよばれ，これを方程式に代入してみると
+ ax′ + bx = 0 ≡ 0 が浮かびます。これは自明解とよばれています。式に代入してみると
ここが 0 になるような λ については
x = eλt は解，その定数倍も解
λ2eλt + aλeλt + beλt = 0
!
λ2 + aλ + b
"
eλt = 0
の２次方程式だから，みたす λ はたいてい２つ λ1, λ2
を満たすλ について，x(t) = eλt は解です。また，そλ 2014年度秋学期 A. Asano, Kansai Univ.
と表されます。
この方程式の解として，x(t) = eλt としてみて，これとなりますから，λ2 + aλ + です。
さらに，λ2 +aλ+b = 0はて，これらをλ1, λ2 とするC1 = C2 = 0とするとx(t) こんなんでいいのでしょうか
とりあえず
にを代入すると
λ2eλt + aλeλt + beλt = 0
!
λ2 + aλ + b
"
eλt = 0
aλ + b = 0を満たすλ について，x(t) = eλt は解です= 0はλ の２次方程式ですから，これを満たすλ はたいすると，x(t) = C1eλ1t + C2eλ2t（C1, C2 は定数）が解x(t) ≡ 0 になりますから，この解は自明解を含んでいま

15. るもの２を斉階次線，形そう微で分ない方も程の式を非の斉解
次の方程式といい程式は，P(t) やQ(t) が定数の斉次方程式で，a, b を定数x′′ て，まずx ≡ 0 が浮かびます。れは自明解とよばれ，これを方程式に代入してみると
+ ax′ + bx = 0 ≡ 0 が浮かびます。これは自明解とよばれています。式に代入してみると
ここが 0 になるような λ については
x = eλt は解，その定数倍も解
λ2eλt + aλeλt + beλt = 0
!
λ2 + aλ + b
"
eλt = 0
の２次方程式だから，みたす λ はたいてい２つ λ1, λ2
を満たすλ について，x(t) = eλt は解です。また，そλ 2014年度秋学期 A. Asano, Kansai Univ.
と表されます。
この方程式の解として，x(t) = eλt としてみて，これとなりますから，λ2 + aλ + です。
さらに，λ2 +aλ+b = 0はて，これらをλ1, λ2 とするC1 = C2 = 0とするとx(t) こんなんでいいのでしょうか
とりあえず
にを代入すると
λ2eλt + aλeλt + beλt = 0
!
λ2 + aλ + b
"
eλt = 0
aλ + b = 0を満たすλ について，x(t) = eλt は解です= 0はλ の２次方程式ですから，これを満たすλ はたいすると一，般x(解t) は = x = C1eλ1t C1eλ1t + C2eλ2t
+ C2eλ2t（C1, C2 は定数）が解x(t) ≡ 0 になりますから，この解は自明解を含んでいま

16. るもの２を斉階次線，形そう微で分ない方も程の式を非の斉解
次の方程式といい程式は，P(t) やQ(t) が定数の斉次方程式で，a, b を定数x′′ て，まずx ≡ 0 が浮かびます。れは自明解とよばれ，これを方程式に代入してみると
+ ax′ + bx = 0 ≡ 0 が浮かびます。これは自明解とよばれています。式に代入してみると
ここが 0 になるような λ については
x = eλt は解，その定数倍も解
λ2eλt + aλeλt + beλt = 0
!
λ2 + aλ + b
"
eλt = 0
の２次方程式だから，みたす λ はたいてい２つ λ1, λ2
を満たすλ について，x(t) = eλt は解です。また，そλ 2014年度秋学期 A. Asano, Kansai Univ.
と表されます。
この方程式の解として，x(t) = eλt としてみて，これとなりますから，λ2 + aλ + です。
さらに，λ2 +aλ+b = 0はて，これらをλ1, λ2 とするC1 = C2 = 0とするとx(t) こんなんでいいのでしょうか
とりあえず
にを代入すると
λ2eλt + aλeλt + beλt = 0
!
λ2 + aλ + b
"
eλt = 0
aλ + b = 0を満たすλ について，x(t) = eλt は解です= 0はλ の２次方程式ですから，これを満たすλ はたいすると一，般x(解t) は = x = C1eλ1t C1eλ1t + C2eλ2t + C2eλ2t（x ≡ 0 をC1, 含C2 む
は定数）が解x(t) ≡ 0 になりますから，この解は自明解を含んでいま

17. ものを斉次，そうでないものを非斉次の方程式といいます。
式は，P(t) やQ(t) が定数の斉次方程式で，a, b を定数として
２階線形微分方程式を解く
線形微分方程式を解く
あげた定数係数の斉次形２階線形微分方程式x′′ +ax′ +bx = 0を解くことを考え
定数係数の
斉次形２階線形微分方程式
x′′ + ax′ + bx = 0 (2)
いては。こ0 のが，浮λ2 か+ びaλ ま+ すb 。= こ0をれ満はた自す明λ 解にとついよてば，れx(てt) い= まeλt すは。解までたあ，るこかとりはに
，は
，式に代入λ についての２次方程式を特性方程式といいます。この
，特性方程し式ての解みのる形と
λ2 +aλ+b = 0によって異なります。
の異なる実数解を持つ場合 この場合，２つの異なる実数解をλ1, λ2 とすると，
解なので，これらの１次結合であるx(t) = C1eλ1t + C2eλ2t（C1, C2 は任意の定
す。前節の説明のとおり，これですべての解を表しています。
異なる虚数解を持つ場合 この場合，２つの解はα + iβ, α − iβ の形になってい
= C1e(α+iβ)t + C2e(α−iβ)t と表されます。この解は
t) = C1e(α+iβ)t + C2e(α−iβ)t
2014年度秋学期 A. Asano, Kansai Univ.
≡ λ2eλt + aλeλt + beλt = 0
!
λ2 + aλ + b
"
eλt = 0
(3)
を満たすλ について，x(t) = eλt は解です。また，その定数倍も解
２次方程式ですから，これを満たすλ はたいてい２つあります。よっ
C1eλ1t !
C2eλ2t（"
t) = = eαt
C1eiβt + C2e−C1, C2 は定数）が解ということになります。
iβt
なりますから，こ+ の解は自明解を含んでいます。
= eαt (C1(cos(βt) + i sin(βt)) + C2(cos(βt) − i sin(βt)))
(9)
をみたす λ について x = eλt は解

18. ものを斉次，そうでないものを非斉次の方程式といいます。
式は，P(t) やQ(t) が定数の斉次方程式で，a, b を定数として
２階線形微分方程式を解く
線形微分方程式を解く
あげた定数係数の斉次形２階線形微分方程式x′′ +ax′ +bx = 0を解くことを考え
定数係数の
斉次形２階線形微分方程式
x′′ + ax′ + bx = 0 (2)
いては。こ0 のが，浮λ2 か+ びaλ ま+ すb 。= こ0をれ満はた自す明λ 解にとついよてば，れx(てt) い= まeλt すは。解までたあ，るこかとりはに
，は
，式に代入λ についての２次方程式を特性方程式といいます。この
，特性方程し式ての解みのる形と
λ2 +aλ+b = 0によって異なります。
の異なる実数解を持つ場合 この場合，２つの異なる実数解をλ1, λ2 とすると，
解なので，これらの１次結合であるx(t) = C1eλ1t + C2eλ2t（C1, C2 は任意の定
す。前節の説明のとおり，これですべての解を表しています。
異なる虚数解を持つ場合 この場合，２つの解はα + iβ, α − iβ の形になってい
= C1e(α+iβ)t + C2e(α−iβ)t と表されます。この解は
t) = C1e(α+iβ)t + C2e(α−iβ)t
2014年度秋学期 A. Asano, Kansai Univ.
≡ λ2eλt + aλeλt + beλt = 0
!
λ2 + aλ + b
"
eλt = 0
(3)
を満たすλ について，x(t) = eλt は解です。また，その定数倍も解
２次方程式ですから，これを満たすλ はたいてい２つあります。よっ
C1eλ1t !
C2eλ2t（"
t) = = eαt
C1eiβt + C2e−C1, C2 は定数）が解ということになります。
iβt
なりますから，こ+ の解は自明解を含んでいます。
= eαt (C1(cos(βt) + i sin(βt)) + C2(cos(βt) − i sin(βt)))
(9)
をみたす λ について x = eλt は解
特性方程式という

19. ものを斉次，そうでないものを非斉次の方程式といいます。
式は，P(t) やQ(t) が定数の斉次方程式で，a, b を定数として
２階線形微分方程式を解く
線形微分方程式を解く
あげた定数係数の斉次形２階線形微分方程式x′′ +ax′ +bx = 0を解くことを考え
定数係数の
斉次形２階線形微分方程式
x′′ + ax′ + bx = 0 (2)
いては。こ0 のが，浮λ2 か+ びaλ ま+ すb 。= こ0をれ満はた自す明λ 解にとついよて，ば，れx(てt) い= まeλt すは。解までたあ，るこかとりはに
，は
式に代入λ についての２次方程式λ2 +aλ+b = 0を特性方程式といいます。この
，特性方程し式ての解みのる形と
によって異なります。
の異なる実特数解を持つ場合 解なので，これ性ら方の程１次式結のこ解のの場合形，２につの合であるよっ異てなる，実３数解をλ1, λ2 C2eλ2t（パターン
とすると，
x(t) = C1eλ1t + C1, C2 は任意の定
す。前節の説明のとおり，これですべての解を表しています。
異なる虚数解を持つ場合 この場合，２つの解はα + iβ, α − iβ の形になってい
= C1e(α+iβ)t + C2e(α−iβ)t と表されます。この解は
t) = C1e(α+iβ)t + C2e(α−iβ)t
2014年度秋学期 A. Asano, Kansai Univ.
≡ λ2eλt + aλeλt + beλt = 0
!
λ2 + aλ + b
"
eλt = 0
(3)
を満たすλ について，x(t) = eλt は解です。また，その定数倍も解
２次方程式ですから，これを満たすλ はたいてい２つあります。よっ
C1eλ1t !
C2eλ2t（"
t) = = eαt
C1eiβt + C2e−C1, C2 は定数）が解ということになります。
iβt
なりますから，こ+ の解は自明解を含んでいます。
= eαt (C1(cos(βt) + i sin(βt)) + C2(cos(βt) − i sin(βt)))
(9)
をみたす λ について x = eλt は解
特性方程式という

20. ものを斉次，そうでないものを非斉次の方程式といいます。
式は，P(t) やQ(t) が定数の斉次方程式で，a, b を定数として
２階線形微分方程式を解く
線形微分方程式を解く
あげた定数係数の斉次形２階線形微分方程式x′′ +ax′ +bx = 0を解くことを考え
定数係数の
斉次形２階線形微分方程式
x′′ + ax′ + bx = 0 (2)
いては。こ0 のが，浮λ2 か+ びaλ ま+ すb 。= こ0をれ満はた自す明λ 解にとついよて，ば，れx(てt) い= まeλt すは。解までたあ，るこかとりはに
，は
式に代入λ についての２次方程式λ2 +aλ+b = 0を特性方程式といいます。この
，特性方程し式ての解みのる形と
によって異なります。
の異なる実特数解を持つ場合 解なので，これ性ら方の程１次式結のこ解のの場合形，２につの合であるよっ異てなる，実３数解をλ1, λ2 C2eλ2t（パターン
とすると，
x(t) = C1eλ1t + C1, C2 は任意の定
す。前節の説明のとおり，これですべての解を表しています。
異なる虚数解を持つ場合 この場合，２つの解はα + iβ, α − iβ の形になってい
= C1e(α+iβ)t + C2e(α−iβ)t と表されます。この解は
t) = C1e(α+iβ)t + C2e(α−iβ)t
2014年度秋学期 A. Asano, Kansai Univ.
≡ λ2eλt + aλeλt + beλt = 0
!
λ2 + aλ + b
"
eλt = 0
(3)
を満たすλ について，x(t) = eλt は解です。また，その定数倍も解
２次方程式ですから，これを満たすλ はたいてい２つあります。よっ
C1eλ1t !
C2eλ2t（"
t) = = eαt
C1eiβt + C2e−C1, C2 は定数）が解ということになります。
iβt
なりますから，こ+ の解は自明解を含んでいます。
= eαt (C1(cos(βt) + i sin(βt)) + C2(cos(βt) − i sin(βt)))
(9)
をみたす λ について x = eλt は解
特性方程式という
異なる２つの実数解の場合
異なる２つの虚数解の場合
重解の場合

21. 解く
斉次形２階線形微分方程式x′′ +ax′ +bx = 0を解くことを考え
この微分方程式については，じめの方で述べました。この，微分方程式の一般解は，特性方1. 特性方程式が２つの異なるeλ1t, eλ2t が１次独立な解なので数）が一般解となります。前節2. 特性方程式が２つの異なる虚るので，一般解はx(t) = C1e(α+x(t) = C1e(= eαt
実数解が２つの場合
特性方程式の
異なる２つの実数解
+aλ+b = 0を特性方程式といいます。この
ります。
合，２つの異なる実数解をλ1, λ2 とすると，
るx(t) = C1eλ1t + C2eλ2t（C1, C2 は任意の定
べての解を表しています。
合，２つの解はα + iβ, α − iβ の形になってい
ます。この解は
+ b = 0を満たすλ について，x(t) = eλt は解であることは，は
ての２次方程式λ2 +aλ+b = 0を特性方程式といいます。この
の形によって異なります。
持つ場合 この場合，２つの異なる実数解をλ1, λ2 とすると，
らの１次結合であるx(t) = C1eλ1t + C2eλ2t（C1, C2 は任意の定
とおり，これですべての解を表しています。
持つ場合 この場合，２つの解はα + iβ, α − iβ の形になってい
C2e(α−iβ)t と表されます。この解は
+ C2e(α−iβ)t
+ 微分方程式の
１次独立な解
一般解は
= eαt 2014年度秋学期 A. Asano, Kansai Univ.
C2(cos(βt) − i sin(βt)))
− C2) sin(βt))
(9)
sin(βt)) という三角関数の形で表されます1。
C2e−iβt
"

22. 解く
斉次形２階線形微分方程式x′′ +ax′ +bx = 0を解くことを考え
この微分方程式については，じめの方で述べました。この，微分方程式の一般解は，特性方1. 特性方程式が２つの異なるeλ1t, eλ2t が１次独立な解なので数）が一般解となります。前節2. 特性方程式が２つの異なる虚るので，一般解はx(t) = C1e(α+x(t) = C1e(= eαt
実数解が２つの場合
特性方程式の
異なる２つの実数解
+aλ+b = 0を特性方程式といいます。この
ります。
合，２つの異なる実数解をλ1, λ2 とすると，
るx(t) = C1eλ1t + C2eλ2t（C1, C2 は任意の定
べての解を表しています。
合，２つの解はα + iβ, α − iβ の形になってい
ます。この解は
+ b = 0を満たすλ について，x(t) = eλt は解であることは，は
ての２次方程式λ2 +aλ+b = 0を特性方程式といいます。この
の形によって異なります。
持つ場合 この場合，２つの異なる実数解をλ1, λ2 とすると，
らの１次結合であるx(t) = C1eλ1t + C2eλ2t（C1, C2 は任意の定
とおり，これですべての解を表しています。
持つ場合 この場合，２つの解はα + iβ, α − iβ の形になってい
C2e(α−iβ)t と表されます。この解は
+ C2e(α−iβ)t
+ 微分方程式の
１次独立な解
一般解は
= eαt 2014年度秋学期 A. Asano, Kansai Univ.
（つまり，最初のとおり）
C2(cos(βt) − i sin(βt)))
− C2) sin(βt))
(9)
sin(βt)) という三角関数の形で表されます1。
C2e−iβt
"

23. 虚数解が２つの場合
一般解は
数）が一般解となります。前節説明のとおり，これですべての解を表2. 特性方程式が２つの異なる虚数解を持つ場合 この場合，２つの解はるので，一般解はx(t) = C1e(α+iβ)t + C2e(α−iβ)t と表されます。この解x(t) = C1e(α+iβ)t + C2e(α−iβ)t
= eαt
!
C1eiβt + C2e−iβt
2014年度秋学期 A. Asano, Kansai Univ.
"
= eαt (C1(cos(βt) + i sin(βt)) + C2(cos(βt) − = eαt ((C1 + C2) cos(βt) + i(C1 − C2) sin(βt))
となり，定数をおきなおすとx(t) = eαt (C1 cos(βt) + C2 sin(βt)) といつまり，解が振動を表しています。これについては，先の講義で物理学の3. 特性方程式が重解を持つ場合 この場合は，特性方程式の解をλ1 とすしか出てきませんので，これと１次独立なもう一つの解をさがす必要が結論からいうと，その解はteλ1t です。なぜならば，
(teλ1t)′ = λ1teλ1t + eλ1t = (λ1t + 1)eλ1t

24. 虚数解が２つの場合
数）が一般解となります。前節説明のとおり，これですべての解を表2. 特性方程式が２つの異なる虚数解を持つ場合 この場合，２つの解はるので，一般解はx(t) = C1e(α+iβ)t + C2e(α−iβ)t と表されます。この解x(t) = C1e(α+iβ)t + C2e(α−iβ)t
程式が２つの異なる実数解を持つ場合 この場合，２つの異なる実数解をλ1, λ2 とが１次独立な解なので，これらの１次結合であるx(t) = C1eλ1t + C2eλ2t（C1, C2 は任般解となり一ま般す。解前は
節の説明のとおり，これですべての解を表しています。
程式が２つの異なる虚数解を持つ場合 この場合，２つの解はα + iβ, α − iβ の形にな一般解はx(t) = C1e(α+iβ)t + C2e(α−iβ)t と表されます。この解は
さらに計算すると
x(t) = C1e(α+iβ)t + C2e(α−iβ)t
= eαt
!
C1eiβt + C2e−iβt
2014年度秋学期 A. Asano, Kansai Univ.
"
= eαt (C1(cos(βt) + i sin(βt)) + C2(cos(βt) − = eαt ((C1 + C2) cos(βt) + i(C1 − C2) sin(βt))
となり，定数をおきなおすとx(t) = eαt (C1 cos(βt) + C2 sin(βt)) といつまり，解が振動を表しています。これについては，先の講義で物理学の3. 特性方程式が重解を持つ場合 この場合は，特性方程式の解をλ1 とすしか出てきませんので，これと１次独立なもう一つの解をさがす必要が結論からいうと，その解はteλ1t です。なぜならば，
(teλ1t)′ = λ1teλ1t + eλ1t = (λ1t + 1)eλ1t
= eαt
!
C1eiβt + C2e−iβt
"
= eαt (C1(cos(βt) + i sin(βt)) + C2(cos(βt) − i sin(βt)))
= eαt ((C1 + C2) cos(βt) + i(C1 − C2) sin(βt))
定数をおきなおすとx(t) = eαt (C1 cos(βt) + C2 sin(βt)) という三角関数の形で表され解が振動を表しています。これについては，先の講義で物理学の例をあげて説明する予程式が重解を持つ場合 この場合は，特性方程式の解をλ1 とすると，微分方程式の解はきませんので，これと１次独立なもう一つの解をさがす必要があります。
らいうと，その解はteλ1t です。なぜならば，
(teλ1t)′ = λ1teλ1t + eλ1t = (λ1t + 1)eλ1t
teλ1t)′′ eλ1t λ1eλ1t 21
eλ1t

25. 虚数解が２つの場合
数）が一般解となります。前節説明のとおり，これですべての解を表2. 特性方程式が２つの異なる虚数解を持つ場合 この場合，２つの解はるので，一般解はx(t) = C1e(α+iβ)t + C2e(α−iβ)t と表されます。この解x(t) = C1e(α+iβ)t + C2e(α−iβ)t
程式が２つの異なる実数解を持つ場合 この場合，２つの異なる実数解をλ1, λ2 とが１次独立な解なので，これらの１次結合であるx(t) = C1eλ1t + C2eλ2t（C1, C2 は任般解となり一ま般す。解前は
節の説明のとおり，これですべての解を表しています。
程式が２つの異なる虚数解を持つ場合 この場合，２つの解はα + iβ, α − iβ の形にな一般解はx(t) = C1e(α+iβ)t + C2e(α−iβ)t と表されます。この解は
さらに計算すると
x(t) = C1e(α+iβ)t + C2e(α−iβ)t
= eαt
!
C1eiβt + C2e−iβt
2014年度秋学期 A. Asano, Kansai Univ.
"
なぜ三角関数になるのかは，また先で
= eαt (C1(cos(βt) + i sin(βt)) + C2(cos(βt) − = eαt ((C1 + C2) cos(βt) + i(C1 − C2) sin(βt))
となり，定数をおきなおすとx(t) = eαt (C1 cos(βt) + C2 sin(βt)) といつまり，解が振動を表しています。これについては，先の講義で物理学の3. 特性方程式が重解を持つ場合 この場合は，特性方程式の解をλ1 とすしか出てきませんので，これと１次独立なもう一つの解をさがす必要が結論からいうと，その解はteλ1t です。なぜならば，
(teλ1t)′ = λ1teλ1t + eλ1t = (λ1t + 1)eλ1t
= eαt
!
C1eiβt + C2e−iβt
"
= eαt (C1(cos(βt) + i sin(βt)) + C2(cos(βt) − i sin(βt)))
= eαt ((C1 + C2) cos(βt) + i(C1 − C2) sin(βt))
定数をおきなおすとx(t) = eαt (C1 cos(βt) + C2 sin(βt)) という三角関数の形で表され解が振動を表しています。これについては，先の講義で物理学の例をあげて説明する予程式が重解を持つ場合 この場合は，特性方程式の解をλ1 とすると，微分方程式の解はきませんので，これと１次独立なもう一つの解をさがす必要があります。
らいうと，その解はteλ1t です。なぜならば，
(teλ1t)′ = λ1teλ1t + eλ1t = (λ1t + 1)eλ1t
teλ1t)′′ eλ1t λ1eλ1t 21
eλ1t

26. の異なる実数解を持つ場合 この場合，２つの異なる実数解をλ1, な虚数が２つの場合
数）が一般解となります。前節説明のとおり，これですべての解を表2. 特性方程式が２つの異なる虚数解を持つ場合 この場合，２つの解はるので，一般解はx(t) = C1e(α+iβ)t + C2e(α−iβ)t と表されます。この解x(t) = C1e(α+iβ)t + C2e(α−iβ)t
程式が２つの異なる実数解を持つ場合 この場合，２つの異なる実数解をλ1, λ2 とが１次独立な解なので，これらの１次結合であるx(t) = C1eλ1t + C2eλ2t（C1, C2 は任般解となります。前節の説明のとおり，これですべての解を表しています。
程式が２つの異なる虚数解を持つ場合 この場合，２つの解はα + iβ, α − iβ の形にな一般解はx(t) = C1e(α+iβ)t + C2e(α−iβ)t と表されます。この解は
解なので，これらの１次結合であるx(t) = C1eλ1t + C2eλ2t（C1, C2 ます。前一節般の解説は
明のとおり，これですべての解を表しています。
の異なる虚数解を持つ場合 この場合，２つの解はのC1e(さα+らiβ)にt 計算すると
α + iβ, α − iβ t) = + C2e(α−iβ)t と表!
されます。この解は
x(t) = C1e(α+iβ)t + = C2e(eαt
α−iβ)C1eiβt t
+ C2e−iβt
x(t) = C1e(α+iβ)t + C2e(α−iβ)t
定数を置き直，一般解は
2014年度秋学期 A. Asano, Kansai Univ.
"
なぜ三角関数になるのかは，また先で
= eαt (C1(cos(βt) + i sin(βt)) + C2(cos(βt) − = eαt ((C1 + C2) cos(βt) + i(C1 − C2) sin(βt))
となり，定数をおきなおすとx(t) = eαt (C1 cos(βt) + C2 sin(βt)) といつまり，解が振動を表しています。これについては，先の講義で物理学の3. 特性方程式が重解を持つ場合 この場合は，特性方程式の解をλ1 とすしか出てきませんので，これと１次独立なもう一つの解をさがす必要が結論からいうと，その解はteλ1t です。なぜならば，
(teλ1t)′ = λ1teλ1t + eλ1t = (λ1t + 1)eλ1t
= eαt
!
C1eiβt + C2e−iβt
"
= eαt (C1(cos(βt) + i sin(βt)) + C2(cos(βt) − i sin(βt)))
= eαt ((C1 + C2) cos(βt) + i(C1 − C2) sin(βt))
定数をおきなおすとx(t) = eαt (C1 cos(βt) + C2 sin(βt)) という三角関数の形で表され解が振動を表しています。これについては，先の講義で物理学の例をあげて説明する予程式が重解を持つ場合 この場合は，特性方程式の解をλ1 とすると，微分方程式の解はきませんので，これと１次独立なもう一つ解をさがす必要があります。
らいうと，その解はteλ1t です。なぜならば，
(teλ1t)′ = λ1teλ1t + eλ1t = (λ1t + 1)eλ1t
teλ1t)′′ eλ1t λ1eλ1t 21
eλ1t
= eαt
!
C1eiβt + C2e−iβt
"
= eαt (C1(cos(βt) + i sin(βt)) + C2(cos(βt) − i sin(βt)))
= eαt ((C1 + C2) cos(βt) + i(C1 − C2) sin(βt))
なおすとx(t) = eαt (C1 cos(βt) + C2 sin(βt)) という三角関数の形で表しています。これについては，先の講義で物理学の例をあげて説明すを持つ場合 この場合は，特性方程式の解をλ1 とすると，微分方程式ので，これと１次独立なもう一つの解をさがす必要があります。

27. の異なる実数解を持つ場合 この場合，２つの異なる実数解をλ1, な虚数が２つの場合
数）が一般解となります。前節説明のとおり，これですべての解を表2. 特性方程式が２つの異なる虚数解を持つ場合 この場合，２つの解はるので，一般解はx(t) = C1e(α+iβ)t + C2e(α−iβ)t と表されます。この解x(t) = C1e(α+iβ)t + C2e(α−iβ)t
程式が２つの異なる実数解を持つ場合 この場合，２つの異なる実数解をλ1, λ2 とが１次独立な解なので，これらの１次結合であるx(t) = C1eλ1t + C2eλ2t（C1, C2 は任般解となります。前節の説明のとおり，これですべての解を表しています。
程式が２つの異なる虚数解を持つ場合 この場合，２つの解はα + iβ, α − iβ の形にな一般解はx(t) = C1e(α+iβ)t + C2e(α−iβ)t と表されます。この解は
解なので，これらの１次結合であるx(t) = C1eλ1t + C2eλ2t（C1, C2 ます。前一節般の解説は
明のとおり，これですべての解を表しています。
の異なる虚数解を持つ場合 この場合，２つの解はのC1e(さα+らiβ)にt 計算すると
α + iβ, α − iβ t) = + C2e(α−iβ)t と表!
されます。この解は
x(t) = C1e(α+iβ)t + = C2e(eαt
α−iβ)C1eiβt t
+ C2e−iβt
x(t) = C1e(α+iβ)t + C2e(α−iβ)t
定数を置き直，一般解は
2014年度秋学期 A. Asano, Kansai Univ.
"
なぜ三角関数になるのかは，また先で
= eαt (C1(cos(βt) + i sin(βt)) + C2(cos(βt) − = eαt ((C1 + C2) cos(βt) + i(C1 − C2) sin(βt))
となり，定数をおきなおすとx(t) = eαt (C1 cos(βt) + C2 sin(βt)) といつまり，解が振動を表しています。これについては，先の講義で物理学の3. 特性方程式が重解を持つ場合 この場合は，特性方程式の解をλ1 とすしか出てきませんので，これと１次独立なもう一つの解をさがす必要が結論からいうと，その解はteλ1t です。なぜならば，
(teλ1t)′ = λ1teλ1t + eλ1t = (λ1t + 1)eλ1t
= eαt
!
C1eiβt + C2e−iβt
"
= eαt (C1(cos(βt) + i sin(βt)) + C2(cos(βt) − i sin(βt)))
= eαt ((C1 + C2) cos(βt) + i(C1 − C2) sin(βt))
定数をおきなおすとx(t) = eαt (C1 cos(βt) + C2 sin(βt)) という三角関数の形で表され解が振動を表しています。これについては，先の講義で物理学の例をあげて説明する予程式が重解を持つ場合 この場合は，特性方程式の解をλ1 とすると，微分方程式の解はきませんので，これと１次独立なもう一つ解をさがす必要があります。
らいうと，その解はteλ1t です。なぜならば，
(teλ1t)′ = λ1teλ1t + eλ1t = (λ1t + 1)eλ1t
teλ1t)′′ eλ1t λ1eλ1t 21
eλ1t
= eαt
!
C1eiβt + C2e−iβt
"
= eαt (C1(cos(βt) + i sin(βt)) + C2(cos(βt) − i sin(βt)))
= eαt ((C1 + C2) cos(βt) + i(C1 − C2) sin(βt))
なおすとx(t) = eαt (C1 cos(βt) + C2 sin(βt)) という三角関数の形で表しています。これにつ振い動てをは表，し先てのい講る
義で物理学の例をあげて説明すを持つ場合 この場合は，特性方程式の解をλ1 とすると，微分方程式ので，これと１次独立なもう一つの解をさがす必要があります。

28. の異なる実数解を持つ場合 この場合，２つの異なる実数解をλ1, な虚数が２つの場合
数）が一般解となります。前節説明のとおり，これですべての解を表2. 特性方程式が２つの異なる虚数解を持つ場合 この場合，２つの解はるので，一般解はx(t) = C1e(α+iβ)t + C2e(α−iβ)t と表されます。この解x(t) = C1e(α+iβ)t + C2e(α−iβ)t
程式が２つの異なる実数解を持つ場合 この場合，２つの異なる実数解をλ1, λ2 とが１次独立な解なので，これらの１次結合であるx(t) = C1eλ1t + C2eλ2t（C1, C2 は任般解となります。前節の説明のとおり，これですべての解を表しています。
程式が２つの異なる虚数解を持つ場合 この場合，２つの解はα + iβ, α − iβ の形にな一般解はx(t) = C1e(α+iβ)t + C2e(α−iβ)t と表されます。この解は
解なので，これらの１次結合であるx(t) = C1eλ1t + C2eλ2t（C1, C2 ます。前一節般の解説は
明のとおり，これですべての解を表しています。
の異なる虚数解を持つ場合 この場合，２つの解はのC1e(さα+らiβ)にt 計算すると
α + iβ, α − iβ t) = + C2e(α−iβ)t と表!
されます。この解は
x(t) = C1e(α+iβ)t + = C2e(eαt
α−iβ)C1eiβt t
+ C2e−iβt
x(t) = C1e(α+iβ)t + C2e(α−iβ)t
定数を置き直，一般解は
2014年度秋学期 A. Asano, Kansai Univ.
"
なぜ三角関数になるのかは，また先で
= eαt (C1(cos(βt) + i sin(βt)) + C2(cos(βt) − = eαt ((C1 + C2) cos(βt) + i(C1 − C2) sin(βt))
となり，定数をおきなおすとx(t) = eαt (C1 cos(βt) + C2 sin(βt)) といつまり，解が振動を表しています。これについては，先の講義で物理学の3. 特性方程式が重解を持つ場合 この場合は，特性方程式の解をλ1 とすしか出てきませんので，これと１次独立なもう一つの解をさがす必要が結論からいうと，その解はteλ1t です。なぜならば，
(teλ1t)′ = λ1teλ1t + eλ1t = (λ1t + 1)eλ1t
= eαt
!
C1eiβt + C2e−iβt
"
= eαt (C1(cos(βt) + i sin(βt)) + C2(cos(βt) − i sin(βt)))
= eαt ((C1 + C2) cos(βt) + i(C1 − C2) sin(βt))
定数をおきなおすとx(t) = eαt (C1 cos(βt) + C2 sin(βt)) という三角関数の形で表され解が振動を表しています。これについては，先の講義で物理学の例をあげて説明する予程式が重解を持つ場合 この場合は，特性方程式の解をλ1 とすると，微分方程式の解はきませんので，これと１次独立なもう一つ解をさがす必要があります。
らいうと，その解はteλ1t です。なぜならば，
(teλ1t)′ = λ1teλ1t + eλ1t = (λ1t + 1)eλ1t
teλ1t)′′ eλ1t λ1eλ1t 21
eλ1t
= eαt
!
C1eiβt + C2e−iβt
"
= eαt (C1(cos(βt) + i sin(βt)) + C2(cos(βt) − i sin(βt)))
= eαt ((C1 + C2) cos(βt) + i(C1 − C2) sin(βt))
なおすとx(t) = eαt (C1 cos(βt) + C2 sin(βt)) という三角関数の形で表しています。これにつ振い動てをは表，し先てのい講る義で物理学の例をあげて説明すこれも先で
を持つ場合 この場合は，特性方程式の解をλ1 とすると，微分方程式ので，これと１次独立なもう一つの解をさがす必要があります。

29. 重解の場合
ふつうにやると，微分方程式の解は
表されます1。
する予定です。
の解はC1eλ1t
(10)
します。
mikeneko.jp/ 3/5 ページ
しか出て来ない
2014年度秋学期 A. Asano, Kansai Univ.

30. 重解の場合
表されます1。
する予定です。
の解はC1eλ1t
ふつうにやると，微分方程式の解は
しか出て来ない
これと１次独立なもうひとつの解は
(10)
します。
mikeneko.jp/ 3/5 ページ
2014年度秋学期 A. Asano, Kansai Univ.

31. となり，定数をおきなおすとx(t) = eαt (C1 cos(βt) つまり，解が振動を表しています。これについては3. 特性方程式が重解を持つ場合 この場合は，特性重解の場合
表されます1。
する予定です。
の解はC1eλ1t
ふつうにやると，微分方程式の解は
しか出て来ない
きませんので，これと１次独立なもう一つ結論からいうと，その解はteλ1t です。なぜならば(これと１次独立なもうひとつの解は
(10)
します。
mikeneko.jp/ 3/5 ページ
teλ1t)′ = λ1teλ1t + eλ1t = (teλ1t)′′ = λ1(λ1t + 1)eλ1t 1指数が虚数の指数関数が三角関数で表されることは，先の浅野 晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期） 第７回(2014. 11. 2014年度秋学期 A. Asano, Kansai Univ.

32. となり，定数をおきなおすとx(t) = eαt (C1 cos(βt) つまり，解が振動を表しています。これについては3. 特性方程式が重解を持つ場合 この場合は，特性重解の場合
表されます1。
する予定です。
の解はC1eλ1t
ふつうにやると，微分方程式の解は
しか出て来ない
きませんので，これと１次独立なもう一つ結論からいうと，その解はteλ1t です。なぜならば(これと１次独立なもうひとつの解は
確かめるため，解を微分して，微分方程式にteλ1t)′ 代入して= みλ1teλ1t る
+ eλ1t = (10)
(teλ1t)′′ = λ1(λ1t + 1)eλ1t 1指数が虚数の指数関数が三角関数で表されることは，先の浅野 晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期） 第７回(2014. 11. します。
mikeneko.jp/ 3/5 ページ
2014年度秋学期 A. Asano, Kansai Univ.

33. となり，定数をおきなおすとx(t) = eαt (C1 cos(βt) つまり，解が振動を表しています。これについては3. 特性方程式が重解を持つ場合 この場合は，特性eαt
C1eiβt + C2e−= eαt (C1(cos(βt) + i sin(βt)) + C2(cos(βt) − i sin(βt)))
= eαt ((C1 + C2) cos(βt) + i(C1 − C2) sin(βt))
teλ1t)′ = λ1teλ1t + eλ1t = (teλ1t)′′ = λ1(λ1t + 1)eλ1t 1指数が虚数の指数関数が三角関数で表されることは，先の浅野 晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期） 第７回(2014. 11. = 重解の場合
(表されます1。
する予定です。
数をおきなふおつすうとにやると，微分方程式の解は
x(t) = eαt (C1 cos(βt) + C2 sin(βt)) という三角関数の形で表されますがの振動解をは表C1eλ1t
していましす。かこ出れにてつ来いなてはい
，先の講義で物理学の例をあげて説明する予定です式が重解を持つ場合 この場合は，特性方程式の解をλ1 とすると，微分方程式の解はC1eλ1t
ませんので，これと１次独立なもう一つの解をさがす必要があります。
いうと，その解はteλ1t です。なぜならば，
きませんので，これと１次独立なもう一つ結論からいうと，その解はteλ1t です。なぜならば(これと１次独立なもうひとつの解は
21
確かめるため，解を微分して，微分方程式に代入してみる
((10)
teλ1t)′ = λ1teλ1t + eλ1t = (λ1t + 1)eλ1t
(teλ1t)′′ = λ1(λ1t + 1)eλ1t + λ1eλ1t = (λ数学（解析）（2014 年度秋学期） 第７回(2014. 11. 6) http://racco.mikeneko.jp/ 3/5 ペーします。
mikeneko.jp/ 3/5 ページ
2014年度秋学期 A. Asano, Kansai Univ.
t + 2λ1)eλ1t
(10)
の指数関数が三角関数で表されることは，先の講義で複素関数を扱うときにあらためて説明します。

34. となり，定数をおきなおすとx(t) = eαt (C1 cos(βt) つまり，解が振動を表しています。これについては3. 特性方程式が重解を持つ場合 この場合は，特性eαt
C1eiβt + C2e−= eαt (C1(cos(βt) + i sin(βt)) + C2(cos(βt) − i sin(βt)))
= eαt ((C1 + C2) cos(βt) + i(C1 − C2) sin(βt))
teλ1t)′ = λ1teλ1t + eλ1t = (teλ1t)′′ = λ1(λ1t + 1)eλ1t 1指数が虚数の指数関数が三角関数で表されることは，先の浅野 晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期） 第７回(2014. 11. = 重解の場合
(表されます1。
する予定です。
数をおきなふおつすうとにやると，微分方程式の解は
x(t) = eαt (C1 cos(βt) + C2 sin(βt)) という三角関数の形で表されますがの振動解をは表C1eλ1t
していましす。かこ出れにてつ来いなてはい
，先の講義で物理学の例をあげて説明する予定です式が重解を持つ場合 この場合は，特性方程式の解をλ1 とすると，微分方程式の解はC1eλ1t
ませんので，これと１次独立なもう一つの解をさがす必要があります。
いうと，その解はteλ1t です。なぜならば，
きませんので，これと１次独立なもう一つ結論からいうと，その解はteλ1t です。なぜならば(これと１次独立なもうひとつの解は
21
確かめるため，解を微分して，微分方程式に代入してみる
((10)
teλ1t)′ = λ1teλ1t + eλ1t = (λ1t + 1)eλ1t
(teλ1t)′′ = λ1(λ1t + 1)eλ1t + λ1eλ1t = (λ数学（解析）（2014 年度秋学期） 第７回(2014. 11. 6) http://racco.mikeneko.jp/ 3/5 ペーします。
mikeneko.jp/ 3/5 ページ
2014年度秋学期 A. Asano, Kansai Univ.
t + 2λ1)eλ1t
(10)
の指数関数が三角関数で表されることは，先の講義で複素関数を扱うときにあらためて説明します。
微分方程式の左辺に代入すると

35. となり，定数をおきなおすとx(t) = eαt (C1 cos(βt) つまり，解が振動を表しています。これについては3. 特性方程式が重解を持つ場合 この場合は，特性eαt
C1eiβt + C2e−= eαt (C1(cos(βt) + i sin(βt)) + C2(cos(βt) − i sin(βt)))
= eαt ((C1 + C2) cos(βt) + i(C1 − C2) sin(βt))
teλ1t)′ = λ1teλ1t + eλ1t = (teλ1t)′′ = λ1(λ1t + 1)eλ1t 1指数が虚数の指数関数が三角関数で表されることは，先の浅野 晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期） 第７回(2014. 11. = 重解の場合
(表されます1。
する予定です。
数をおきなふおつすうとにやると，微分方程式の解は
x(t) = eαt (C1 cos(βt) + C2 sin(βt)) という三角関数の形で表されますがの振動解をは表C1eλ1t
していましす。かこ出れにてつ来いなてはい
，先の講義で物理学の例をあげて説明する予定です式が重解を持つ場合 この場合は，特性方程式の解をλ1 とすると，微分方程式の解はC1eλ1t
ませんので，これと１次独立なもう一つの解をさがす必要があります。
いうと，その解はteλ1t です。なぜならば，
きませんので，これと１次独立なもう一つ結論からいうと，その解はteλ1t です。なぜならば(これと１次独立なもうひとつの解は
確かめるため，解を微分して，微分方程式に代入してみる
((10)
teλ1t)′ = λ1teλ1t + eλ1t = (λ1t + 1)eλ1t
(teλ1t)′′ = λ1(λ1t + 1)eλ1t + λ1eλ1t = (λ分方程微式分の方左程辺に式代の入左す辺るにと
代入すると
数学（解析）（2014 年度秋学期） 第７回(2014. 11. 6) http://racco.mikeneko.jp/ 3/5 ペ21
ーします。
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2014年度秋学期 A. Asano, Kansai Univ.
t + 2λ1)eλ1t
(10)
の指数関数が三角関数で表されることは，先の講義で複素関数を扱うときにあらためて説明します。
(λ21
t + 2λ1)eλ1t + aλ1teλ1t + bteλ1t
= {λ21
+ aλ1 + b}teλ1t + (2λ1 + a)eλ1t
(11)
については，λ1 が特性方程式の解であることから{} 内が0 となります。第２項に
式の解と係数の関係から2λ1 = −a なので，() 内が0 となります。よって，teλ1t は
あり，また明らかにeλ1t とは１次独立ですから，一般解はC1eλ1t + C2teλ1t（C1, C2
。

36. となり，定数をおきなおすとx(t) = eαt (C1 cos(βt) つまり，解が振動を表しています。これについては3. 特性方程式が重解を持つ場合 この場合は，特性eαt
C1eiβt + C2e−= eαt (C1(cos(βt) + i sin(βt)) + C2(cos(βt) − i sin(βt)))
= eαt ((C1 + C2) cos(βt) + i(C1 − C2) sin(βt))
teλ1t)′ = λ1teλ1t + eλ1t = (teλ1t)′′ = λ1(λ1t + 1)eλ1t 1指数が虚数の指数関数が三角関数で表されることは，先の浅野 晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期） 第７回(2014. 11. = 重解の場合
(表されます1。
する予定です。
数をおきなふおつすうとにやると，微分方程式の解は
x(t) = eαt (C1 cos(βt) + C2 sin(βt)) という三角関数の形で表されますがの振動解をは表C1eλ1t
していましす。かこ出れにてつ来いなてはい
，先の講義で物理学の例をあげて説明する予定です式が重解を持つ場合 この場合は，特性方程式の解をλ1 とすると，微分方程式の解はC1eλ1t
ませんので，これと１次独立なもう一つの解をさがす必要があります。
いうと，その解はteλ1t です。なぜならば，
きませんので，これと１次独立なもう一つ結論からいうと，その解はteλ1t です。なぜならば(これと１次独立なもうひとつの解は
確かめるため，解を微分して，微分方程式に代入してみる
((10)
teλ1t)′ = λ1teλ1t + eλ1t = (λ1t + 1)eλ1t
(teλ1t)′′ = λ1(λ1t + 1)eλ1t + λ1eλ1t = (λ分方程微式分の方左程辺に式代の入左す辺るにと
代入すると
数学（解析）（2014 年度秋学期） 第７回(2014. 11. 6) http://racco.mikeneko.jp/ 3/5 ペ21
ーします。
mikeneko.jp/ 3/5 ページ
2014年度秋学期 A. Asano, Kansai Univ.
t + 2λ1)eλ1t
(10)
の指数関数が三角関数で表されることは，先の講義で複素関数を扱うときにあらためて説明します。
(λ21
t + 2λ1)eλ1t + aλ1teλ1t + bteλ1t
= {λ21
+ aλ1 + b}teλ1t + (2λ1 + a)eλ1t
(11)
については，λ1 が特性方程式の解であることから{} 内が0 となります。第２項に
式の解と係数の関係から2λ1 = −a なので，() 内が0 となります。よって，teλ1t は
あり，また明らかにeλ1t とは１次独立ですから，一般解はC1eλ1t + C2teλ1t（C1, C2
。

37. となり，定数をおきなおすとx(t) = eαt (C1 cos(βt) つまり，解が振動を表しています。これについては3. 特性方程式が重解を持つ場合 この場合は，特性+ C2e−= eαt (C1(cos(βt) + i sin(βt)) + C2(cos(βt) − i sin(βt)))
= eαt ((C1 + C2) cos(βt) + i(C1 − C2) sin(βt))
teλ1t)′ = λ1teλ1t + eλ1t = (teλ1t)′′ = λ1(λ1t + 1)eλ1t 1指数が虚数の指数関数が三角関数で表されることは，先の浅野 晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期） 第７回(2014. 11. = 重解の場合
表されます1。
する予定です。
の解はC1eλ1t
ふつうにやると，微分方程式の解は
これと１次独立なもうひとつの解は
確かめるため，解を微分して，微分方程式に代入してみる
(10)
分方程微式分の方左程辺に式代の入左す辺るにと
代入すると
数学（解析）（2014 年度秋学期） 第７回(2014. 11. 6) http://racco.mikeneko.jp/ 3/5 ペーUniv.
Kansai λ1は特性方程式の解
だから0
Asano, A. 2014年度秋学期 します。
mikeneko.jp/ 3/5 ページ
しか出て来ない
きませんので，これと１次独立なもう一つ結論からいうと，その解はteλ1t です。なぜならば(eαt
C1eiβt (数をおきなおすとx(t) = eαt (C1 cos(βt) + C2 sin(βt)) という三角関数の形で表されますが振動を表しています。これについては，先の講義で物理学の例をあげて説明する予定です式が重解を持つ場合 この場合は，特性方程式の解をλ1 とすると，微分方程式の解はC1eλ1t
ませんので，これと１次独立なもう一つの解をさがす必要があります。
いうと，その解はteλ1t です。なぜならば，
(teλ1t)′ = λ1teλ1t + eλ1t = (λ1t + 1)eλ1t
(teλ1t)′′ = λ1(λ1t + 1)eλ1t + λ1eλ1t = (λ21
t + 2λ1)eλ1t
(10)
の指数関数が三角関数で表されることは，先の講義で複素関数を扱うときにあらためて説明します。
(λ21
t + 2λ1)eλ1t + aλ1teλ1t + bteλ1t
= {λ21
+ aλ1 + b}teλ1t + (2λ1 + a)eλ1t
(11)
については，λ1 が特性方程式の解であることから{} 内が0 となります。第２項に
式の解と係数の関係から2λ1 = −a なので，() 内が0 となります。よって，teλ1t は
あり，また明らかにeλ1t とは１次独立ですから，一般解はC1eλ1t + C2teλ1t（C1, C2
。

38. となり，定数をおきなおすとx(t) = eαt (C1 cos(βt) つまり，解が振動を表しています。これについては3. 特性方程式が重解を持つ場合 この場合は，特性+ C2e−= eαt (C1(cos(βt) + i sin(βt)) + C2(cos(βt) − i sin(βt)))
= eαt ((C1 + C2) cos(βt) + i(C1 − C2) sin(βt))
teλ1t)′ = λ1teλ1t + eλ1t = (teλ1t)′′ = λ1(λ1t + 1)eλ1t 1指数が虚数の指数関数が三角関数で表されることは，先の浅野 晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期） 第７回(2014. 11. = 重解の場合
表されます1。
する予定です。
の解はC1eλ1t
ふつうにやると，微分方程式の解は
これと１次独立なもうひとつの解は
確かめるため，解を微分して，微分方程式に代入してみる
(10)
分方程微式分の方左程辺に式代の入左す辺るにと
代入すると
数学（解析）（2014 年度秋学期） 第７回(2014. 11. 6) http://racco.mikeneko.jp/ 3/5 ペーUniv.
Kansai λ1は特性方程式の解
だから0
Asano, A. 2014年度秋学期 します。
mikeneko.jp/ 3/5 ページ
しか出て来ない
きませんので，これと１次独立なもう一つ結論からいうと，その解はteλ1t です。なぜならば(eαt
C1eiβt (数をおきなおすとx(t) = eαt (C1 cos(βt) + C2 sin(βt)) という三角関数の形で表されますが振動を表しています。これについては，先の講義で物理学の例をあげて説明する予定です式が重解を持つ場合 この場合は，特性方程式の解をλ1 とすると，微分方程式の解はC1eλ1t
ませんので，これと１次独立なもう一つの解をさがす必要があります。
いうと，その解はteλ1t です。なぜならば，
(teλ1t)′ = λ1teλ1t + eλ1t = (λ1t + 1)eλ1t
(teλ1t)′′ = λ1(λ1t + 1)eλ1t + λ1eλ1t = (λ21
t + 2λ1)eλ1t
(10)
の指数関数が三角関数で表されることは，先の講義で複素関数を扱うときにあらためて説明します。
(λ21
t + 2λ1)eλ1t + aλ1teλ1t + bteλ1t
= {λ21
+ aλ1 + b}teλ1t + (2λ1 + a)eλ1t
(11)
については，λ1 が特性方程式の解であることから{} 内が0 となります。第２項に
式の解と係数の関係から2λ1 = −a なので，() 内が0 となります。よって，teλ1t は
あり，また明らかにeλ1t とは１次独立ですから，一般解はC1eλ1t + C2teλ1t（C1, C2
。

39. となり，定数をおきなおすとx(t) = eαt (C1 cos(βt) つまり，解が振動を表しています。これについては3. 特性方程式が重解を持つ場合 この場合は，特性+ C2e−= eαt (C1(cos(βt) + i sin(βt)) + C2(cos(βt) − i sin(βt)))
= eαt ((C1 + C2) cos(βt) + i(C1 − C2) sin(βt))
teλ1t)′ = λ1teλ1t + eλ1t = (teλ1t)′′ = λ1(λ1t + 1)eλ1t 1指数が虚数の指数関数が三角関数で表されることは，先の浅野 晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期） 第７回(2014. 11. = 重解の場合
表されます1。
する予定です。
の解はC1eλ1t
ふつうにやると，微分方程式の解は
これと１次独立なもうひとつの解は
確かめるため，解を微分して，微分方程式に代入してみる
(10)
分方程微式分の方左程辺に式代の入左す辺るにと
代入すると
数学（解析）（2014 年度秋学期） 第７回(2014. 11. 6) http://racco.mikeneko.jp/ 3/5 ペーUniv.
Kansai λ1は特性方程式の解
だから0
Asano, A. 2014年度秋学期 します。
mikeneko.jp/ 3/5 ページ
しか出て来ない
きませんので，これと１次独立なもう一つ結論からいうと，その解はteλ1t です。なぜならば(eαt
C1eiβt (数をおきなおすとx(t) = eαt (C1 cos(βt) + C2 sin(βt)) という三角関数の形で表されますが振動を表しています。これについては，先の講義で物理学の例をあげて説明する予定です式が重解を持つ場合 この場合は，特性方程式の解をλ1 とすると，微分方程式の解はC1eλ1t
ませんので，これと１次独立なもう一つの解をさがす必要があります。
いうと，その解はteλ1t です。なぜならば，
(teλ1t)′ = λ1teλ1t + eλ1t = (λ1t + 1)eλ1t
(teλ1t)′′ = λ1(λ1t + 1)eλ1t + λ1eλ1t = (λ21
t + 2λ1)eλ1t
(10)
の指数関数が三角関数で表されることは，先の講義で複素関数を扱うときにあらためて説明します。
(λ21
t + 2λ1)eλ1t + aλ1teλ1t + bteλ1t
= {λ21
+ aλ1 + b}teλ1t + (2λ1 + a)eλ1t
(11)
特性方程式の
解と係数の関係で0
については，λ1 が特性方程式の解であることから{} 内が0 となります。第２項に
式の解と係数の関係から2λ1 = −a なので，() 内が0 となります。よって，teλ1t は
あり，また明らかにeλ1t とは１次独立ですから，一般解はC1eλ1t + C2teλ1t（C1, C2
。

40. となり，定数をおきなおすとx(t) = eαt (C1 cos(βt) つまり，解が振動を表しています。これについては3. 特性方程式が重解を持つ場合 この場合は，特性+ C2e−= eαt (C1(cos(βt) + i sin(βt)) + C2(cos(βt) − i sin(βt)))
= eαt ((C1 + C2) cos(βt) + i(C1 − C2) sin(βt))
teλ1t)′ = λ1teλ1t + eλ1t = (teλ1t)′′ = λ1(λ1t + 1)eλ1t 1指数が虚数の指数関数が三角関数で表されることは，先の浅野 晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期） 第７回(2014. 11. = 重解の場合
表されます1。
する予定です。
の解はC1eλ1t
ふつうにやると，微分方程式の解は
式の左辺に代入すると
これと１次独立なもうひとつの解は
(λ21
t + 2λ1)eλ1t + aλ1teλ1t + bteλ1t
確かめるため，解を微分して，微分方程式に代入してみる
= {λ+ aλ1 + teλ1t + (2λ1 + a)eλ1t
(10)
b}数学（解析）（2014 年度秋学期） 第７回(2014. 11. 6) http://racco.mikeneko.jp/ 3/5 ペ21
ーては，が特性方程式の解であることから内がとなります。第係分方程λ1 式の左辺に代入すると
0 数の微分関方係程か式らの左2λ1 辺に= 代入−a すなると
{} ので，() 内が0 となります。よって，teλ1t た明らかにeλ1t とは１次独立ですから，一般解はC1eλ1t + C2teλ1t（も解」といわれても，どうやってそんなものを見つけたのでしょうかクで求められます。
Univ.
Kansai λ1は特性方程式の解
だから0
Asano, A. 2014年度秋学期 します。
mikeneko.jp/ 3/5 ページ
しか出て来ない
きませんので，これと１次独立なもう一つ結論からいうと，その解はteλ1t です。なぜならば(eαt
C1eiβt (数をおきなおすとx(t) = eαt (C1 cos(βt) + C2 sin(βt)) という三角関数の形で表されますが振動を表しています。これについては，先の講義で物理学の例をあげて説明する予定です式が重解を持つ場合 この場合は，特性方程式の解をλ1 とすると，微分方程式の解はC1eλ1t
ませんので，これと１次独立なもう一つの解をさがす必要があります。
いうと，その解はteλ1t です。なぜならば，
(teλ1t)′ = λ1teλ1t + eλ1t = (λ1t + 1)eλ1t
(teλ1t)′′ = λ1(λ1t + 1)eλ1t + λ1eλ1t = (λ21
t + 2λ1)eλ1t
(10)
の指数関数が三角関数で表されることは，先の講義で複素関数を扱うときにあらためて説明します。
(λ21
t + 2λ1)eλ1t + aλ1teλ1t + bteλ1t
= {λ21
+ aλ1 + b}teλ1t + (2λ1 + a)eλ1t
(11)
特性方程式の
解と係数の関係で0
一般解は
については，λ1 が特性方程式の解であることから{} 内が0 となります。第２項に
式の解と係数の関係から2λ1 = −a なので，() 内が0 となります。よって，teλ1t は
あり，また明らかにeλ1t とは１次独立ですから，一般解はC1eλ1t + C2teλ1t（C1, C2
。

41. となり，定数をおきなおすとx(t) = eαt (C1 cos(βt) つまり，解が振動を表しています。これについては3. 特性方程式が重解を持つ場合 この場合は，特性+ C2e−= eαt (C1(cos(βt) + i sin(βt)) + C2(cos(βt) − i sin(βt)))
= eαt ((C1 + C2) cos(βt) + i(C1 − C2) sin(βt))
teλ1t)′ = λ1teλ1t + eλ1t = (teλ1t)′′ = λ1(λ1t + 1)eλ1t 1指数が虚数の指数関数が三角関数で表されることは，先の浅野 晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期） 第７回(2014. 11. = 重解の場合
表されます1。
する予定です。
の解はC1eλ1t
ふつうにやると，微分方程式の解は
式の左辺に代入すると
これと１次独立なもうひとつの解は
(λ21
t + 2λ1)eλ1t + aλ1teλ1t + bteλ1t
確かめるため，解を微分して，微分方程式に代入してみる
= {λ+ aλ1 + teλ1t + (2λ1 + a)eλ1t
(10)
b}数学（解析）（2014 年度秋学期） 第７回(2014. 11. 6) http://racco.mikeneko.jp/ 3/5 ペ21
ーては，が特性方程式の解であることから内がとなります。第係分方程λ1 式の左辺に代入すると
0 数の微分関方係程か式らの左2λ1 辺に= 代入−a すなると
{} ので，() 内が0 となります。よって，teλ1t た明らかにeλ1t とは１次独立ですから，一般解はC1eλ1t + C2teλ1t（も解」といわれても，どうやってそんなものを見つけたのでしょうかクで求められます。
Univ.
Kansai λ1は特性方程式の解
だから0
Asano, A. 2014年度秋学期 します。
mikeneko.jp/ 3/5 ページ
しか出て来ない
きませんので，これと１次独立なもう一つ結論からいうと，その解はteλ1t です。なぜならば(eαt
C1eiβt (数をおきなおすとx(t) = eαt (C1 cos(βt) + C2 sin(βt)) という三角関数の形で表されますが振動を表しています。これについては，先の講義で物理学の例をあげて説明する予定です式が重解を持つ場合 この場合は，特性方程式の解をλ1 とすると，微分方程式の解はC1eλ1t
ませんので，これと１次独立なもう一つの解をさがす必要があります。
いうと，その解はteλ1t です。なぜならば，
(teλ1t)′ = λ1teλ1t + eλ1t = (λ1t + 1)eλ1t
(teλ1t)′′ = λ1(λ1t + 1)eλ1t + λ1eλ1t = (λ21
t + 2λ1)eλ1t
(10)
の指数関数が三角関数で表されることは，先の講義で複素関数を扱うときにあらためて説明します。
(λ21
t + 2λ1)eλ1t + aλ1teλ1t + bteλ1t
= {λ21
+ aλ1 + b}teλ1t + (2λ1 + a)eλ1t
(11)
特性方程式の
解と係数の関係で0
一般解は
見つけ方は
前回のプリントで
（定数変化法）
については，λ1 が特性方程式の解であることから{} 内が0 となります。第２項に
式の解と係数の関係から2λ1 = −a なので，() 内が0 となります。よって，teλ1t は
あり，また明らかにeλ1t とは１次独立ですから，一般解はC1eλ1t + C2teλ1t（C1, C2
。

42. A. Asano, Kansai Univ.

43. A. Asano, Kansai Univ.
非斉次形
２階線形微分方程式

44. 非斉次形２階線形微分方程式
前回のは
線形微分方程式は，P(t) やQ(t) が定数の斉次方程式x′′ + ax′ + bx = 0 て，まずx ≡ 0 が浮かびます。これは自明解とよばこれを方程式に代入してみると
λ2eλt + aλeλt + beλt = 0
!
λ2 + aλ + b
2014年度秋学期 A. Asano, Kansai Univ.
"
eλt = 0
aλ + b = 0を満たすλ について，x(t) = eλt は解で

45. 非斉次形２階線形微分方程式
前回のは
線形微分方程式は，P(t) やQ(t) が定数の斉次方程式x′′ + ax′ + bx = 0 て，まずx ≡ 0 が浮かびます。これは自明解とよばこれを方程式に代入してみると
定数係数の斉次方程式
λ2eλt + aλeλt + beλt = 0
!
λ2 + aλ + b
aλ + b = 0を満たすλ について，x(t) = eλt は解で2014年度秋学期 A. Asano, Kansai Univ.
"
eλt = 0

46. 非斉次形２階線形微分方程式
線形微分方程式は，P(t) やQ(t) が定数の斉次方程式x′′ 前回のは
+ ax′ + bx = 0 て，まずx ≡ 0 が浮かびます。これは自明解とよばこれを方程式に代入してみると
定数係数の斉次方程式
今回は
λ2eλt + aλeλt + beλt = 0
!
λ2 + aλ + b
aλ + b = 0を満たすλ について，x(t) = eλt は解で2014年度秋学期 A. Asano, Kansai Univ.
"
eλt = 0

47. 非斉次形２階線形微分方程式
線形微分方程式は，P(t) やQ(t) が定数の斉次方程式x′′ 前回のは
+ ax′ + bx = 0 て，まずx ≡ 0 が浮かびます。これは自明解とよばこれを方程式に代入してみると
定数係数の斉次方程式
今回は
λ2eλt + aλeλt + beλt = 0
!
λ2 + aλ + b
aλ + b = 0を満たすλ について，x(t) = eλt は解で2014年度秋学期 A. Asano, Kansai Univ.
"
eλt = 0
2)
なわちx′′+ax′+bx = 0（a, b は定数）を
分方程式，すなわちx′′+ax′+bx = R(t)
す。ここで，n 階線形微分方程式を，前
します。

48. 非斉次形２階線形微分方程式
線形微分方程式は，P(t) やQ(t) が定数の斉次方程式x′′ 前回のは
+ ax′ + bx = 0 て，まずx ≡ 0 が浮かびます。これは自明解とよばこれを方程式に代入してみると
定数係数の斉次方程式
今回は
λ2eλt + aλeλt + beλt = 0
!
λ2 + aλ + b
aλ + b = 0を満たすλ について，x(t) = eλt は解で2014年度秋学期 A. Asano, Kansai Univ.
"
eλt = 0
2)
なわちx′′+ax′+bx = 0（a, b は定数）を
分方程式，すなわちx′′+ax′+bx = R(t)
す。ここで，n 階線形微分方程式を，前
します。

49. 非斉次形２階線形微分方程式
線形微分方程式は，P(t) やQ(t) が定数の斉次方程式x′′ + ax′ + bx = 0 て，まずx ≡ 0 が浮かびます。これは自明解とよばこれを方程式に代入してみると
定数係数の斉次方程式
今回は
aλ + b = 0を満たすλ について，x(t) = eλt は解で2014年度秋学期 A. Asano, Kansai Univ.
［非斉次］tの式
前回のは
λ2eλt + aλeλt + beλt = 0
!
λ2 + aλ + b
"
eλt = 0
2)
なわちx′′+ax′+bx = 0（a, b は定数）を
分方程式，すなわちx′′+ax′+bx = R(t)
す。ここで，n 階線形微分方程式を，前
します。

50. 非斉次形２階線形微分方程式
線形微分方程式は，P(t) やQ(t) が定数の斉次方程式x′′ + ax′ + bx = 0 て，まずx ≡ 0 が浮かびます。これは自明解とよばこれを方程式に代入してみると
なわち定数係0（数の斉次方程式
x′′+ax′+bx = a, b は定数）を
分方程今式回，は
すなわちx′′+ax′+bx = R(t)
aλ + b = 0を満たすλ について，x(t) = eλt は解です。ここで，n 階線形微分方程式を，前
します。
2014年度秋学期 A. Asano, Kansai Univ.
［非斉次］tの式
前回のは
λ2eλt + aλeλt + beλt = 0
!
λ2 + aλ + b
"
eλt = 0
(1)

51. 非斉次形２階線形微分方程式
線形微分方程式は，P(t) やQ(t) が定数の斉次方程式x′′ + ax′ + bx = 0 て，まずx ≡ 0 が浮かびます。これは自明解とよばこれを方程式に代入してみると
なわち定数係0（数の斉次方程式
x′′+ax′+bx = a, b は定数）を
分方程今式回，は
すなわちx′′+ax′+bx = R(t)
aλ + b = 0を満たすλ について，x(t) = eλt は解です。ここで，n 階線形微分方程式を，前
します。
2014年度秋学期 A. Asano, Kansai Univ.
［非斉次］tの式
前回のは
λ2eλt + aλeλt + beλt = 0
!
λ2 + aλ + b
"
eλt = 0
(1)
結論からいうと

52. 非斉次形２階線形微分方程式
線形微分方程式は，P(t) やQ(t) が定数の斉次方程式x′′ + ax′ + bx = 0 て，まずx ≡ 0 が浮かびます。これは自明解とよばこれを方程式に代入してみると
なわち定数係0（数の斉次方程式
x′′+ax′+bx = a, b は定数）を
分方程今式回，は
すなわちx′′+ax′+bx = R(t)
aλ + b = 0を満たすλ について，x(t) = eλt は解です。ここで，n 階線形微分方程式を，前
します。
2014年度秋学期 A. Asano, Kansai Univ.
［非斉次］tの式
前回のは
λ2eλt + aλeλt + beλt = 0
!
λ2 + aλ + b
"
eλt = 0
(1)
結論からいうと
非斉次形の一般解 ＝

53. 非斉次形２階線形微分方程式
線形微分方程式は，P(t) やQ(t) が定数の斉次方程式x′′ + ax′ + bx = 0 て，まずx ≡ 0 が浮かびます。これは自明解とよばこれを方程式に代入してみると
なわち定数係0（数の斉次方程式
x′′+ax′+bx = a, b は定数）を
分方程今式回，は
すなわちx′′+ax′+bx = R(t)
aλ + b = 0を満たすλ について，x(t) = eλt は解です。ここで，n 階線形微分方程式を，前
します。
2014年度秋学期 A. Asano, Kansai Univ.
［非斉次］tの式
前回のは
λ2eλt + aλeλt + beλt = 0
!
λ2 + aλ + b
"
eλt = 0
(1)
結論からいうと
非斉次形の一般解 ＝
非斉次形の特殊解なにかひとつ（何でもいい）

54. 非斉次形２階線形微分方程式
線形微分方程式は，P(t) やQ(t) が定数の斉次方程式x′′ + ax′ + bx = 0 て，まずx ≡ 0 が浮かびます。これは自明解とよばこれを方程式に代入してみると
なわち定数係0（数の斉次方程式
x′′+ax′+bx = a, b は定数）を
分方程今式回，は
すなわちx′′+ax′+bx = R(t)
aλ + b = 0を満たすλ について，x(t) = eλt は解です。ここで，n 階線形微分方程式を，前
します。
2014年度秋学期 A. Asano, Kansai Univ.
［非斉次］tの式
前回のは
λ2eλt + aλeλt + beλt = 0
!
λ2 + aλ + b
"
eλt = 0
(1)
結論からいうと
非斉次形の一般解 ＝
非斉次形の特殊解なにかひとつ（何でもいい）

55. 非斉次形２階線形微分方程式
線形微分方程式は，P(t) やQ(t) が定数の斉次方程式x′′ + ax′ + bx = 0 て，まずx ≡ 0 が浮かびます。これは自明解とよばこれを方程式に代入してみると
なわち定数係0（数の斉次方程式
x′′+ax′+bx = a, b は定数）を
分方程今式回，は
すなわちx′′+ax′+bx = R(t)
aλ + b = 0を満たすλ について，x(t) = eλt は解です。ここで，n 階線形微分方程式を，前
します。
2014年度秋学期 A. Asano, Kansai Univ.
［非斉次］tの式
前回のは
λ2eλt + aλeλt + beλt = 0
!
λ2 + aλ + b
"
eλt = 0
(1)
結論からいうと
非斉次形の一般解 ＝
非斉次形の特殊解なにかひとつ（何でもいい）
＋ 対応する斉次形の一般解

56. 非斉次形２階線形微分方程式
線形微分方程式は，P(t) やQ(t) が定数の斉次方程式x′′ + ax′ + bx = 0 て，まずx ≡ 0 が浮かびます。これは自明解とよばこれを方程式に代入してみると
なわち定数係0（数の斉次方程式
x′′+ax′+bx = a, b は定数）を
分方程今式回，は
すなわちx′′+ax′+bx = R(t)
aλ + b = 0を満たすλ について，x(t) = eλt は解です。ここで，n 階線形微分方程式を，前
します。
2014年度秋学期 A. Asano, Kansai Univ.
［非斉次］tの式
前回のは
λ2eλt + aλeλt + beλt = 0
!
λ2 + aλ + b
"
eλt = 0
(1)
結論からいうと
非斉次形の一般解 ＝
非斉次形の特殊解なにかひとつ（何でもいい）
＋ 対応する斉次形の一般解

57. 非斉次形２階線形微分方程式
線形微分方程式は，P(t) やQ(t) が定数の斉次方程式x′′ + ax′ + bx = 0 て，まずx ≡ 0 が浮かびます。これは自明解とよばこれを方程式に代入してみると
なわち定数係0（数の斉次方程式
x′′+ax′+bx = a, b は定数）を
分方程今式回，は
すなわちx′′+ax′+bx = R(t)
aλ + b = 0を満たすλ について，x(t) = eλt は解です。ここで，n 階線形微分方程式を，前
します。
2014年度秋学期 A. Asano, Kansai Univ.
［非斉次］tの式
前回のは
λ2eλt + aλeλt + beλt = 0
!
λ2 + aλ + b
"
eλt = 0
(1)
結論からいうと
非斉次形の一般解 ＝
非斉次形の特殊解なにかひとつ（何でもいい）
＋ 対応する斉次形の一般解

58. 一般的にいうと
(b = 0を満たすλ について，x(t) = eλt は解です。また，その定数倍も上の２つの条件は，２階線形微分方程式だけでなく，一般のことが知られています。しかも，定数係数でない場合にもなり(1) 式の２階線形微分方程式は，x1 = x, x2 = x′ とおくと，
，２階線形微分方程式だけでなく，一般の斉次形n 階微分方程式につす。しかも，定数係数でない場合にもなりたちます。
微分方程式は，x1 = x, x2 = x′ とおくと，
線形微分方程式とは，次の形のものをいいます。
x′x′1 = x2
1 = x2
と表す
x′x′= −Q(t)x1 − P(t)x2 + R(2 t)
= −Q(t)x1 − P(t)x2 + 2 という連立微分方程式となります。この式は行列とベクトルを!
式となります。この式は行列とベクトルを使って
!
x′1
x′2
"
=
!
0 1
−Q(t) −P(t)
"!
2014年度秋学期 A. Asano, Kansai Univ.
を， とおいて
x′′ + P(t)x′ + Q(t)x = R(t) (であるものを斉次，そうでないものを非斉次の方程式といいます。
微分方程式は，P(t) やQ(t) が定数の斉次方程式で，a, b を定数として
x′′ + ax′ + bx = 0 (まずx ≡ 0 が浮かびます。これは自明解とよばれています。また，かりを方程式に代入してみると
λ2eλt + aλeλt + beλt = 0
!
λ2 + aλ + b
"
eλt = 0
x′1
x′2
"
x1
x2
=
!
"
+
!
"
0 1
−Q(t) −P(t)
"!
x1
x2
と表せますから，
0
R(t)
x′ = A(t)x + b(t) x′ という，ベクトルについての１階線形微分方程式で表すことがで同様の操作によって(6) 式の形で表すことができます。
= A(t)x + b(t) ついての１階線形微分方程式で表すことができます。一般のn 階線形微式の形で表すことができます。

59. 一般的にいうと
(b = 0を満たすλ について，x(t) = eλt は解です。また，その定数倍も上の２つの条件は，２階線形微分方程式だけでなく，一般のことが知られています。しかも，定数係数でない場合にもなり(1) 式の２階線形微分方程式は，x1 = x, x2 = x′ とおくと，
，２階線形微分方程式だけでなく，一般の斉次形n 階微分方程式につす。しかも，定数係数でない場合にもなりたちます。
微分方程式は，x1 = x, x2 = x′ とおくと，
線形微分方程式とは，次の形のものをいいます。
x′x′1 = x2
1 = x2
と表す
x′x′= −Q(t)x1 − P(t)x2 + R(2 t)
= −Q(t)x1 − P(t)x2 + 2 という連立微分方程式となります。この式は行列とベクトルを!
式となります。この式は行列とベクトルを使って
!
x′1
x′2
"
=
!
0 1
−Q(t) −P(t)
"!
2014年度秋学期 A. Asano, Kansai Univ.
を， とおいて
x′′ + P(t)x′ + Q(t)x = R(t) (であるものを斉次，そうでないものを非斉次の方程式といいます。
微分方程式は，P(t) やQ(t) が定数の斉次方程式で，a, b を定数として
x′′ + ax′ + bx = 0 (まずx ≡ 0 が浮かびます。これは自明解とよばれています。また，かりを方程式に代入してみると
λ2eλt + aλeλt + beλt = 0
!
λ2 + aλ + b
"
eλt = 0
x′1
x′2
"
x1
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"
+
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"
0 1
−Q(t) −P(t)
"!
x1
x2
と表せますから，
0
R(t)
x′ = A(t)x + b(t) x′ という，ベクトルについての１階線形微分方程式で表すことがで同様の操作によって(6) 式の形で表すことができます。
= A(t)x + b(t) ついての１階線形微分方程式で表すことができます。一般のn 階線形微式の形で表すことができます。

60. 分方程式に関の２つの一条件は般する定的理
，２階線に形微い分方程う式だと
けでなく，一般の斉次形n 階微分方程式についてが知られています。しかも，定数係数でない場合にもなりたちます。
式の２階線形微分方程式は，x1 = x, x2 = x′ とおくと，
(b = 0を満たすλ について，x(t) = eλt は解です。また，その定数倍も上の２つの条件は，２階線形微分方程式だけでなく，一般のことが知られています。しかも，定数係数でない場合にもなり(1) 式の２階線形微分方程式は，x1 = x, x2 = x′ とおくと，
，２階線形微分方程式だけでなく，一般の斉次形n 階微分方程式につす。しかも，定数係数でない場合にもなりたちます。
微分方程式は，x1 = x, x2 = x′ とおくと，
線形微分方程式とは，次の形のものをいいます。
x′= x2
x′x′1 = x2
1 = x2
1 と表す
x′x′2 = −Q(t)x1 − P(t)x2 x′+ R(t)
= −Q(t)x1 − P(t)x2 + R(2 t)
= −Q(t)x1 − P(t)x2 + 2 という連立微分方程式となります。この式は行列とベクトルを!
う連立微分方程式となります。この式は行列とベクトルを使って
式となります。この式は行列とベクトルを使って
行列で
!
x′1
x′2
"
!
x′1
x′2
=
!
"
=
!
0 1
−Q(t) −P(t)
0 1
−Q(t) −P(t)
"!
せますから，
x′ = A(t)x + b(t) Univ.
う，ベクトルについての１階線形微分方程式で表すことができます。一般のn 階線形微分の操Kansai 作によって(6) 式の形で表すことができます。
1. がAsano, なりたつことの証明 まず，1. の解の一意性について，証明の概略を示します。これA. くてもなりたちます。
2014年度秋学期 を， とおいて
x′′ + P(t)x′ + Q(t)x = R(t) (であるものを斉次，そうでないものを非斉次の方程式といいます。
微分方程式は，P(t) やQ(t) が定数の斉次方程式で，a, b を定数として
x′′ + ax′ + bx = 0 (まずx ≡ 0 が浮かびます。これは自明解とよばれています。また，かりを方程式に代入してみると
λ2eλt + aλeλt + beλt = 0
!
λ2 + aλ + b
"
eλt = 0
x′1
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"!
"
x1
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x1
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+
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+
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0
R(t)
0 1
−Q(t) −P(t)
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x1
x2
と表せますから，
0
R(t)
x′ = A(t)x + b(t) x′ という，ベクトルについての１階線形微分方程式で表すことがで同様の操作によって(6) 式の形で表すことができます。
= A(t)x + b(t) ついての１階線形微分方程式で表すことができます。一般のn 階線形微式の形で表すことができます。

61. 分方程式に関の２つの一条件は般する定的理
，２階線に形微い分方程う式だと
けでなく，一般の斉次形n 階微分方程式についてが知られています。しかも，定数係数でない場合にもなりたちます。
式の２階線形微分方程式は，x1 = x, x2 = x′ とおくと，
(b = 0を満たすλ について，x(t) = eλt は解です。また，その定数倍も上の２x′つの条件は，２階線形微分方程式だけでなく，一般の1 = x2
ことが知x′られています。しかも，定数係数でない場合にもなり2 = −Q(t)x1 − P(t)x2 + R(t)
(1) 式の２階線形微分方程式は，x1 = x, x2 = x′ とおくと，
，２階線形微分方程式だけでなく，一般の斉次形n 階微分方程式につす。しかも，定数係数でない場合にもなりたちます。
微分方程式は，x1 = x, x2 = x′ とおくと，
線形微分方程式とは，次の形のものをいいます。
式となります。この式は行列とベクトルを使って
x′= x2
x′x′1 = x2
1 = x2
1 と表す
x′x′2 = −Q(t)x1 − P(t)x2 x′+ R(t)
= −Q(t)x1 − P(t)x2 + R(2 t)
= −Q(t)x1 − P(t)x2 + 2 という連立微分方程式となります。この式は行列とベクトルを!
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x′1
x′2
"
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0 1
−Q(t) −P(t)
"!
x1
x2
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+
う連立微分方程式となります。この式は行列とベクトルを使って
式となります。この式は行列とベクトルを使って
行列で
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x′1
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x′1
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0 1
−Q(t) −P(t)
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−Q(t) −P(t)
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せますから，
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0
R(t)
"
x′ = A(t)x + b(t) いての１階線形微分方程式で表すことができます。一般の6) 式の形で表すことができます。
との証明 ず，1. の解の一意性について，証明の概略を示x′ = A(t)x + b(t) Univ.
う，ベクトルについての１階線形微分方程式で表すとができます。一般のKansai n 階線形微分の操作によって(6) 式の形で表すことができます。
1. がAsano, なりたつことの証明 まず，1. の解の一意性について，証明の概略を示します。これA. くてもなりたちます。
2014年度秋学期 を， とおいて
x′′ + P(t)x′ + Q(t)x = R(t) (であるものを斉次，そうでないものを非斉次の方程式といいます。
微分方程式は，P(t) やQ(t) が定数の斉次方程式で，a, b を定数として
x′′ + ax′ + bx = 0 (まずx ≡ 0 が浮かびます。これは自明解とよばれています。また，かりを方程式に代入してみると
λ2eλt + aλeλt + beλt = 0
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λ2 + aλ + b
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eλt = 0
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−Q(t) −P(t)
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R(t)
x′ = A(t)x + b(t) x′ という，ベクトルについての１階線形微分方程式で表すことがで同様の操作によって(6) 式の形で表すことができます。
= A(t)x + b(t) ついての１階線形微分方程式で表すことができます。一般のn 階線形微式の形で表すことができます。

62. 分方程式に関の２つの一条件は般する定的理
，２階線に形微い分方程う式だと
けでなく，一般の斉次形n 階微分方程式についてが知られています。しかも，定数係数でない場合にもなりたちます。
式の２階線形微分方程式は，x1 = x, x2 = x′ とおくと，
(b = 0を満たすλ について，x(t) = eλt は解です。また，その定数倍も上の２x′つの条件は，２階線形微分方程式だけでなく，一般の1 = x2
ことが知x′られています。しかも，定数係数でない場合にもなり2 = −Q(t)x1 − P(t)x2 + R(t)
(1) 式の２階線形微分方程式は，x1 = x, x2 = x′ とおくと，
，２階線形微分方程式だけでなく，一般の斉次形n 階微分方程式につす。しかも，定数係数でない場合にもなりたちます。
微分方程式は，x1 = x, x2 = x′ とおくと，
線形微分方程式とは，次の形のものをいいます。
式となります。この式は行列とベクトルを使って
x′= x2
x′x′1 = x2
1 = x2
1 と表す
x′x′2 = −Q(t)x1 − P(t)x2 x′+ R(t)
= −Q(t)x1 − P(t)x2 + R(2 t)
= −Q(t)x1 − P(t)x2 + 2 という連立微分方程式となります。この式は行列とベクトルを!
!
x′1
x′2
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0 1
−Q(t) −P(t)
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う連立微分方程式となります。この式は行列とベクトルを使って
式となります。この式は行列とベクトルを使って
行列で
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x′1
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x′1
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0 1
−Q(t) −P(t)
0 1
−Q(t) −P(t)
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せますから，
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"
x′ = A(t)x + b(t) いての１階線形微分方程式で表すことができます。一般の6) 式の形で表すことができます。
との証明 ず，1. の解の一意性について，証明の概略を示x′ = A(t)x + b(t) Univ.
う，ベクトルについての１階線形微分方程式で表すとができます。一般のKansai n 階線形微分の操作によって(6) 式の形で表すことができます。
1. がAsano, なりたつことの証明 まず，1. の解の一意性について，証明の概略を示します。これA. くてもなりたちます。
2014年度秋学期 を， とおいて
x′′ + P(t)x′ + Q(t)x = R(t) (であるものを斉次，そうでないものを非斉次の方程式といいます。
微分方程式は，P(t) やQ(t) が定数の斉次方程式で，a, b を定数として
x′′ + ax′ + bx = 0 (まずx ≡ 0 が浮かびます。これは自明解とよばれています。また，かりを方程式に代入してみると
λ2eλt + aλeλt + beλt = 0
!
λ2 + aλ + b
"
eλt = 0
x′1
x′2
"!
"
x1
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!
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0
R(t)
0 1
−Q(t) −P(t)
"!
x1
x2
と表せますから，
0
R(t)
x′ = A(t)x + b(t) x′ という，ベクトルについての１階線形微分方程式で表すことがで同様の操作によって(6) 式の形で表すことができます。
= A(t)x + b(t) ついての１階線形微分方程式で表すことができます。一般のn 階線形微式の形で表すことができます。

63. 分方程式に関の２つの一条件は般する定的理
，２階線に形微い分方程う式だと
けでなく，一般の斉次形n 階微分方程式についてが知られています。しかも，定数係数でない場合にもなりたちます。
式の２階線形微分方程式は，x1 = x, x2 = x′ とおくと，
(b = 0を満たすλ について，x(t) = eλt は解です。また，その定数倍も上の２x′つの条件は，２階線形微分方程式だけでなく，一般の1 = x2
ことが知x′られています。しかも，定数係数でない場合にもなり2 = −Q(t)x1 − P(t)x2 + R(t)
(1) 式の２階線形微分方程式は，x1 = x, x2 = x′ とおくと，
，２階線形微分方程式だけでなく，一般の斉次形n 階微分方程式につす。しかも，定数係数でない場合にもなりたちます。
微分方程式は，x1 = x, x2 = x′ とおくと，
線形微分方程式とは，次の形のものをいいます。
式となります。この式は行列とベクトルを使って
x′= x2
x′x′1 = x2
1 = x2
1 と表す
x′x′2 = −Q(t)x1 − P(t)x2 x′+ R(t)
= −Q(t)x1 − P(t)x2 + R(2 t)
= −Q(t)x1 − P(t)x2 + 2 という連立微分方程式となります。この式は行列とベクトルを!
!
x′1
x′2
"
=
!
0 1
−Q(t) −P(t)
"!
x1
x2
"
+
う連立微分方程式となります。この式は行列とベクトルを使って
式となります。この式は行列とベクトルを使って
行列で
!
x′1
x′2
"
!
x′1
x′2
=
!
"
=
!
0 1
−Q(t) −P(t)
0 1
−Q(t) −P(t)
"!
せますから，
!
0
R(t)
"
x′ = A(t)x + b(t) いての１階線形微分方程式で表すことができます。一般の6) 式の形で表すことができます。
との証明 ず，1. の解の一意性について，証明の概略を示x′ = A(t)x + b(t) Univ.
う，ベクトルについての１階線形微分方程式で表すとができます。一般のKansai n 階線形微分の操作によって(6) 式の形で表すことができます。
1. がAsano, なりたつことの証明 まず，1. の解の一意性について，証明の概略を示します。これA. くてもなりたちます。
2014年度秋学期 を， とおいて
x′′ + P(t)x′ + Q(t)x = R(t) (であるものを斉次，そうでないものを非斉次の方程式といいます。
微分方程式は，P(t) やQ(t) が定数の斉次方程式で，a, b を定数として
x′′ + ax′ + bx = 0 (まずx ≡ 0 が浮かびます。これは自明解とよばれています。また，かりを方程式に代入してみると
λ2eλt + aλeλt + beλt = 0
!
λ2 + aλ + b
"
eλt = 0
x′1
x′2
"!
"
x1
x2
=
!
x1
x2
"
+
"
+
!
!
"
"
0
R(t)
0 1
−Q(t) −P(t)
"!
x1
x2
と表せますから，
0
R(t)
x′ = A(t)x + b(t) x′ という，ベクトルについての１階線形微分方程式で表すことがで同様の操作によって(6) 式の形で表すことができます。
= A(t)x + b(t) ついての１階線形微分方程式で表すことができます。一般のn 階線形微式の形で表すことができます。

64. 分方程式に関の２つの一条件は般する定的理
，２階線に形微い分方程う式だと
けでなく，一般の斉次形n 階微分方程式についてが知られています。しかも，定数係数でない場合にもなりたちます。
式の２階線形微分方程式は，x1 = x, x2 = x′ とおくと，
(b = 0を満たすλ について，x(t) = eλt は解です。また，その定数倍も上の２x′つの条件は，２階線形微分方程式だけでなく，一般の1 = x2
ことが知x′られています。しかも，定数係数でない場合にもなり2 = −Q(t)x1 − P(t)x2 + R(t)
(1) 式の２階線形微分方程式は，x1 = x, x2 = x′ とおくと，
，２階線形微分方程式だけでなく，一般の斉次形n 階微分方程式につす。しかも，定数係数でない場合にもなりたちます。
微分方程式は，x1 = x, x2 = x′ とおくと，
線形微分方程式とは，次の形のものをいいます。
式となります。この式は行列とベクトルを使って
x′= x2
x′x′1 = x2
1 = x2
1 と表す
x′x′2 = −Q(t)x1 − P(t)x2 x′+ R(t)
= −Q(t)x1 − P(t)x2 + R(2 t)
= −Q(t)x1 − P(t)x2 + 2 という連立微分方程式となります。この式は行列とベクトルを!
!
x′1
x′2
"
=
!
0 1
−Q(t) −P(t)
"!
x1
x2
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う連立微分方程式となります。この式は行列とベクトルを使って
式となります。この式は行列とベクトルを使って
行列で
!
x′1
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"
!
x′1
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=
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0 1
−Q(t) −P(t)
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せますから，
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"
x′ = A(t)x + b(t) いての１階線形微分方程式で表すことができます。一般の6) 式の形で表すことができます。
との証明 ず，1. の解の一意性について，証明の概略を示x′ = A(t)x + b(t) Univ.
う，ベクトルについての１階線形微分方程式で表すとができます。一般のKansai n 階線形微分の操作によって(6) 式の形で表すことができます。
1. がAsano, なりたつことの証明 まず，1. の解の一意性について，証明の概略を示します。これA. くてもなりたちます。
2014年度秋学期 を， とおいて
x′′ + P(t)x′ + Q(t)x = R(t) (であるものを斉次，そうでないものを非斉次の方程式といいます。
微分方程式は，P(t) やQ(t) が定数の斉次方程式で，a, b を定数として
x′′ + ax′ + bx = 0 (まずx ≡ 0 が浮かびます。これは自明解とよばれています。また，かりを方程式に代入してみると
λ2eλt + aλeλt + beλt = 0
!
λ2 + aλ + b
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eλt = 0
x′1
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x1
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0 1
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と表せますから，
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x′ = A(t)x + b(t) x′ という，ベクトルについての１階線形微分方程式で表すことがで同様の操作によって(6) 式の形で表すことができます。
= A(t)x + b(t) ついての１階線形微分方程式で表すことができます。一般のn 階線形微式の形で表すことができます。