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Ikeph 1-appendix

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Ikeph 1-appendix

  1. 1. 第1回の補足 ● 運動方程式の解の例のところで質問がありました。 – 調和振動子の解で、 から – になったのはなぜ?Bはどこから来たの? ● 確かにちょっと雑だったので補足します。
  2. 2. ● まず、調和振動子(と自由粒子の場合も)の場合、すべて左 辺に移項して = 0の形にすると と書けることに注意して下さい。これは、 [x(t)を含まない演算]*x(t)という形です。 – この演算の部分には、定数、任意の具体的に与えられたtの関数、 微分操作、それらの加減乗除による組み合わせが有り得ます。 ● 一方、重力/静電気力の場合、逆二乗の項のせいでこうは書 けないことに注意して下さい。
  3. 3. ● 「x(t)を含まないなんらかの演算」の部分をDと書くと ということですが、このような方程式のことを「x(t)について線形」 といいます。 ● 線形方程式の一般的な性質として、x1、x2をそれぞれこのDx(t) = 0の解、α、βを定数として、以下のようなことが言えます。 ● つまり、x1とx2の任意の線形結合もまたDx(t) = 0の解になりま す。別の言い方をすれば、Dx(t) = 0の解全体はベクトル空間を なすと言ってもいい。 ● また、今の場合、k/mが実数なので、 つまり、ある解の複素共役もやはり解になります。
  4. 4. ●        と書いた段階ではxが実数であると いう制約を考慮していなかったので、xを実数に制限し ます。「xの実数部」は、 と書けますが、これが前頁で調べた複素共役と、線形 結合の組み合わせでできていることに注目して下さ い。そうでなかったとしたら、「実数に制限する」という 操作自体が、xが方程式の解であるという性質を壊し てしまう可能性があったわけです。 ● ところで、Aとθは任意の複素数で良かったのですが、 実は なので、θはAに含めてし まう(  を改めてAと考える)ことができます。つまりθ は冗長であり、ここでは必要ありませんでした。
  5. 5. ● 以上を踏まえた上で、公式 を用いると、 ● A = α + iβ (α、βは実数)と置くと ● α、-βをそれぞれ改めてA、Bと置き直すと と書けます。(θは不要だったわけです)

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