2015年度秋学期　応用数学（解析）　第７回　２階線形微分方程式(1) (2015. 11. 12)

A.Asano,KansaiUniv.
2015年度秋学期応用数学（解析）
浅野晃
関西大学総合情報学部
第２部・基本的な微分方程式
２階線形微分方程式（１）
第７回

A.Asano,KansaiUniv.
２階線形微分方程式とは

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
２階線形微分方程式
一般には
ての２階線形微分方程式とは，次の形のものをいいます。
x′′
+ P(t)x′
+ Q(t)x = R(t)
恒等的に 0 であるものを斉次，そうでないものを非斉次の方程
２階線形微分方程式は，P(t) や Q(t) が定数の斉次方程式で，a
x′′
+ ax′
+ bx = 0
として，まず x ≡ 0 が浮かびます。これは自明解とよばれてい
て，これを方程式に代入してみると
λ2
eλt
+ aλeλt
+ beλt
= 0
2 λt

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
一般には
x′′
+ P(t)x′
+ Q(t)x = R(t)
x′′
+ ax′
+ bx = 0
λ2
eλt
+ aλeλt
+ beλt
= 0
2 λt
ここが恒等的に0なのが［斉次］
そうではないのが［非斉次］

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
一般には
x′′
+ P(t)x′
+ Q(t)x = R(t)
x′′
+ ax′
+ bx = 0
λ2
eλt
+ aλeλt
+ beλt
= 0
2 λt
一番簡単なのは
x′′
+ P(t)x′
+ Q(t)x = R(t)
に 0 であるものを斉次，そうでないものを非斉次の
形微分方程式は，P(t) や Q(t) が定数の斉次方程式
x′′
+ ax′
+ bx = 0
，まず x ≡ 0 が浮かびます。これは自明解とよば
これを方程式に代入してみると
λ2
eλt
+ aλeλt
+ beλt
= 0

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
一般には
x′′
+ P(t)x′
+ Q(t)x = R(t)
x′′
+ ax′
+ bx = 0
λ2
eλt
+ aλeλt
+ beλt
= 0
2 λt
x′′
+ P(t)x′
+ Q(t)x = R(t)
x′′
+ ax′
+ bx = 0
λ2
eλt
+ aλeλt
+ beλt
= 0
定数係数の斉次方程式

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
一般には
とりあえず， x ≡ 0 は解［自明解］
x′′
+ P(t)x′
+ Q(t)x = R(t)
x′′
+ ax′
+ bx = 0
λ2
eλt
+ aλeλt
+ beλt
= 0
2 λt
x′′
+ P(t)x′
+ Q(t)x = R(t)
x′′
+ ax′
+ bx = 0
λ2
eλt
+ aλeλt
+ beλt
= 0

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
一般には
とりあえず， x ≡ 0 は解［自明解］
x′′
+ P(t)x′
+ Q(t)x = R(t)
x′′
+ ax′
+ bx = 0
λ2
eλt
+ aλeλt
+ beλt
= 0
2 λt
x′′
+ P(t)x′
+ Q(t)x = R(t)
x′′
+ ax′
+ bx = 0
λ2
eλt
+ aλeλt
+ beλt
= 0
それ以外には？

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
２階線形微分方程式の解
るものを斉次，そうでないものを非斉次の方程式といい
程式は，P(t) や Q(t) が定数の斉次方程式で，a, b を定数
x′′
+ ax′
+ bx = 0
≡ 0 が浮かびます。これは自明解とよばれています。
式に代入してみると
λ2
eλt
+ aλeλt
+ beλt
= 0
λ2
+ aλ + b eλt
= 0
を満たす λ について，x(t) = eλt は解です。また，そ
と表されます。
この方程式の解として，
x(t) = eλt としてみて，これ
となりますから，λ2 + aλ +
です。
さらに，λ2 + aλ + b = 0 は
て，これらを λ1, λ2 とする
C1 = C2 = 0 とすると x(t)
こんなんでいいのでしょうか
とりあえず
にを代入すると
て，まず x ≡ 0 が浮かびます。これは自明解とよばれ
，これを方程式に代入してみると
λ2
eλt
+ aλeλt
+ beλt
= 0
λ2
+ aλ + b eλt
= 0
aλ + b = 0 を満たす λ について，x(t) = eλt は解です
= 0 は λ の２次方程式ですから，これを満たす λ はたい
すると，x(t) = C1eλ1t + C2eλ2t（C1, C2 は定数）が解
x(t) ≡ 0 になりますから，この解は自明解を含んでいま

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
ここが 0 になるような λ については
x = eλt は解，その定数倍も解
x′′
+ ax′
+ bx = 0
λ2
eλt
+ aλeλt
+ beλt
= 0
λ2
+ aλ + b eλt
= 0
です。
さらに，λ2 + aλ + b = 0 は
C1 = C2 = 0 とすると x(t)
とりあえず
λ2
eλt
+ aλeλt
+ beλt
= 0
λ2
+ aλ + b eλt
= 0

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
x′′
+ ax′
+ bx = 0
λ2
eλt
+ aλeλt
+ beλt
= 0
λ2
+ aλ + b eλt
= 0
λ の２次方程式だから，みたす λ はたいてい２つ λ1, λ2
です。
さらに，λ2 + aλ + b = 0 は
C1 = C2 = 0 とすると x(t)
とりあえず
λ2
eλt
+ aλeλt
+ beλt
= 0
λ2
+ aλ + b eλt
= 0

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
x′′
+ ax′
+ bx = 0
λ2
eλt
+ aλeλt
+ beλt
= 0
λ2
+ aλ + b eλt
= 0
です。
さらに，λ2 + aλ + b = 0 は
C1 = C2 = 0 とすると x(t)
とりあえず
λ2
eλt
+ aλeλt
+ beλt
= 0
λ2
+ aλ + b eλt
= 0
一般解は x = C1eλ1t + C2eλ2t

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
x′′
+ ax′
+ bx = 0
λ2
eλt
+ aλeλt
+ beλt
= 0
λ2
+ aλ + b eλt
= 0
です。
さらに，λ2 + aλ + b = 0 は
C1 = C2 = 0 とすると x(t)
とりあえず
λ2
eλt
+ aλeλt
+ beλt
= 0
λ2
+ aλ + b eλt
= 0
一般解は x = C1eλ1t + C2eλ2t x ≡ 0 を含む

A.Asano,KansaiUniv.
こんなんでいいのか？

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
本当に一般解であるためには
x = C1eλ1t + C2eλ2t が本当に一般解であることは，
以下の２項目が正しいことと同じ

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
１．解が一意

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
１．解が一意
初期値 x(t0), x′(t0) を定めると，特殊解はひとつ
に定まる

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
１．解が一意
に定まる
初期値はこの２つ

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
１．解が一意
に定まる
２．１次独立な特殊解の１次結合で一般解が表せる

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
１．解が一意
に定まる
1次独立な特殊解 x1(t), x2(t) が得られれば，
一般解は C1x1(t) + C2x2(t) で表される

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
２つの関数が1次独立とは

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
C1x1(t) + C2x2(t) = 0 がどんな t についても
なりたつのは，C1 = C2 = 0 のときだけ

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
x1
x2
x1
x2
⃝

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
x1
x2
x1
x2
⃝
解全体は
２次元ベクトル空間
をなす

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
さっきの例では
eλ1t, eλ2t は λ1 ≠ λ2 なら１次独立
１．解が一意
一般解は C1eλ1t + C2eλ2t だけで，他にはない

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
１．解が一意
一般の斉次形 n 階線形微分方程式
（定数係数でない場合も含む）についてなりたつ

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
１．解が一意
一般の斉次形 n 階線形微分方程式
（定数係数でない場合も含む）についてなりたつ
定数係数の場合に，証明してみる

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
行列で表現する
を，とおいて
線形微分方程式とは，次の形のものをいいます。
x′′
+ P(t)x′
+ Q(t)x = R(t) (
であるものを斉次，そうでないものを非斉次の方程式といいます。
微分方程式は，P(t) や Q(t) が定数の斉次方程式で，a, b を定数として
x′′
+ ax′
+ bx = 0 (
まず x ≡ 0 が浮かびます。これは自明解とよばれています。また，かりに
を方程式に代入してみると
λ2
eλt
+ aλeλt
+ beλt
= 0
λ2
+ aλ + b eλt
= 0
(
b = 0 を満たす λ について，x(t) = eλt は解です。また，その定数倍も解
上の２つの条件は，２階線形微分方程式だけでなく，一般の
ことが知られています。しかも，定数係数でない場合にもなり
(1) 式の２階線形微分方程式は，x1 = x, x2 = x′ とおくと，
x′
1 = x2
x′
2 = −Q(t)x1 − P(t)x2 +
という連立微分方程式となります。この式は行列とベクトルを
x′
1
x′
2
=
0 1
−Q(t) −P(t)
x1
x2
と表せますから，
x′
= A(t)x + b(t)
という，ベクトルについての１階線形微分方程式で表すことがで
，２階線形微分方程式だけでなく，一般の斉次形 n 階微分方程式につ
す。しかも，定数係数でない場合にもなりたちます。
微分方程式は，x1 = x, x2 = x′ とおくと，
x′
1 = x2
x′
2 = −Q(t)x1 − P(t)x2 + R(t)
式となります。この式は行列とベクトルを使って
x′
1
x′
2
=
0 1
−Q(t) −P(t)
x1
x2
+
0
R(t)
x′
= A(t)x + b(t)
ついての１階線形微分方程式で表すことができます。一般の n 階線形微
と表す

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
を，とおいて
x′′
+ P(t)x′
+ Q(t)x = R(t) (
x′′
+ ax′
+ bx = 0 (
λ2
eλt
+ aλeλt
+ beλt
= 0
λ2
+ aλ + b eλt
= 0
(
x′
1 = x2
x′
2 = −Q(t)x1 − P(t)x2 +
x′
1
x′
2
=
0 1
−Q(t) −P(t)
x1
x2
x′
= A(t)x + b(t)
x′
1 = x2
x′
2 = −Q(t)x1 − P(t)x2 + R(t)
x′
1
x′
2
=
0 1
−Q(t) −P(t)
x1
x2
+
0
R(t)
x′
= A(t)x + b(t)
と表す
分方程式に関する定理
の２つの条件は，２階線形微分方程式だけでなく，一般の斉次形 n 階微分方程式について
が知られています。しかも，定数係数でない場合にもなりたちます。
式の２階線形微分方程式は，x1 = x, x2 = x′ とおくと，
x′
1 = x2
x′
2 = −Q(t)x1 − P(t)x2 + R(t)
う連立微分方程式となります。この式は行列とベクトルを使って
x′
1
x′
2
=
0 1
−Q(t) −P(t)
x1
x2
+
0
R(t)
せますから，
x′
= A(t)x + b(t)
う，ベクトルについての１階線形微分方程式で表すことができます。一般の n 階線形微分
の操作によって (6) 式の形で表すことができます。
. がなりたつことの証明まず，1. の解の一意性について，証明の概略を示します。これ
行列で

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
を，とおいて
x′′
+ P(t)x′
+ Q(t)x = R(t) (
x′′
+ ax′
+ bx = 0 (
λ2
eλt
+ aλeλt
+ beλt
= 0
λ2
+ aλ + b eλt
= 0
(
x′
1 = x2
x′
2 = −Q(t)x1 − P(t)x2 +
x′
1
x′
2
=
0 1
−Q(t) −P(t)
x1
x2
x′
= A(t)x + b(t)
x′
1 = x2
x′
2 = −Q(t)x1 − P(t)x2 + R(t)
x′
1
x′
2
=
0 1
−Q(t) −P(t)
x1
x2
+
0
R(t)
x′
= A(t)x + b(t)
と表す
x′
1 = x2
x′
2 = −Q(t)x1 − P(t)x2 + R(t)
x′
1
x′
2
=
0 1
−Q(t) −P(t)
x1
x2
+
0
R(t)
せますから，
x′
= A(t)x + b(t)
行列で
x′
1 = x2
x′
2 = −Q(t)x1 − P(t)x2 + R(t)
x′
1
x′
2
=
0 1
−Q(t) −P(t)
x1
x2
+
0
R(t)
x′
= A(t)x + b(t)
いての１階線形微分方程式で表すことができます。一般の
6) 式の形で表すことができます。

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
を，とおいて
x′′
+ P(t)x′
+ Q(t)x = R(t) (
x′′
+ ax′
+ bx = 0 (
λ2
eλt
+ aλeλt
+ beλt
= 0
λ2
+ aλ + b eλt
= 0
(
x′
1 = x2
x′
2 = −Q(t)x1 − P(t)x2 +
x′
1
x′
2
=
0 1
−Q(t) −P(t)
x1
x2
x′
= A(t)x + b(t)
x′
1 = x2
x′
2 = −Q(t)x1 − P(t)x2 + R(t)
x′
1
x′
2
=
0 1
−Q(t) −P(t)
x1
x2
+
0
R(t)
x′
= A(t)x + b(t)
と表す
x′
1 = x2
x′
2 = −Q(t)x1 − P(t)x2 + R(t)
x′
1
x′
2
=
0 1
−Q(t) −P(t)
x1
x2
+
0
R(t)
せますから，
x′
= A(t)x + b(t)
行列で
x′
1 = x2
x′
2 = −Q(t)x1 − P(t)x2 + R(t)
x′
1
x′
2
=
0 1
−Q(t) −P(t)
x1
x2
+
0
R(t)
x′
= A(t)x + b(t)
１階線形微分方程式の形になる

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
を，とおいて
x′′
+ P(t)x′
+ Q(t)x = R(t) (
x′′
+ ax′
+ bx = 0 (
λ2
eλt
+ aλeλt
+ beλt
= 0
λ2
+ aλ + b eλt
= 0
(
x′
1 = x2
x′
2 = −Q(t)x1 − P(t)x2 +
x′
1
x′
2
=
0 1
−Q(t) −P(t)
x1
x2
x′
= A(t)x + b(t)
x′
1 = x2
x′
2 = −Q(t)x1 − P(t)x2 + R(t)
x′
1
x′
2
=
0 1
−Q(t) −P(t)
x1
x2
+
0
R(t)
x′
= A(t)x + b(t)
と表す
x′
1 = x2
x′
2 = −Q(t)x1 − P(t)x2 + R(t)
x′
1
x′
2
=
0 1
−Q(t) −P(t)
x1
x2
+
0
R(t)
せますから，
x′
= A(t)x + b(t)
行列で
x′
1 = x2
x′
2 = −Q(t)x1 − P(t)x2 + R(t)
x′
1
x′
2
=
0 1
−Q(t) −P(t)
x1
x2
+
0
R(t)
x′
= A(t)x + b(t)
１階線形微分方程式の形になる
何階線形微分方程式でも，この形にできる

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
条件１の証明の概略

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
１．解が一意

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
１．解が一意
初期値 x(t0), x′(t0) を定めると，特殊解はひとつに定まる

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
１．解が一意
リプシッツ条件をつかう

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
特異解と解の一意性
一意性の十分条件のひとつ「リプシッツ条件」
初期値がひとつ定まったときに，
解がひとつだけに決まることを，
解が一意(unique)であるという
方程式 x′ = x
1
3 を考えます。x = {
2
3
(t + C)}
3
2（C は定数）はこの方程式の一般
て確かめてみてください）。一方，x ≡ 0 も明らかに解ですが，この解は上の一
ても出てきません。このように一般解からは出てこない解を，特異解 (singular
たときに解がひとつだけに定まることを，解が一意 (unique) であるといいま
が x(0) = 0 のとき，一般解からは C = 0 で x = (
2
3
t)
3
2 が得られ，一方特異解
たしますから，解が一意ではありません。
である（十分）条件としてよく知られているものに，Lipschitz（リプシッツ）
す。これは，微分方程式が x′(t) = f(t, x) の形で表されるときに，f(t, x) をあ
えたとき，初期値のまわりでどんな x1, x2 に対しても
|f(t, x1) − f(t, x2)| L|x1 − x2| (1)
ならば，この微分方程式のその初期値を満たす解は一意に定まる，というもの
１）。(1) 式は，関数 f(t, x) が x のわずかな変化に対していくらでも急峻に変化
という条件を表しています。
程式 x′ = x
1
3 では，f(t, x) = x
1
3 です。この関数は x = 0 で微分不可能で，x = 0
でも大きくなります。したがって，x = 0 に近づけば近づくほど，x のわずか
3
微分方程式が
初期値のまわりでどんな x1, x2 についても
のとき，
微分方程式 x′ = x
1
3 を考えます。x = {
2
3
(t + C)}
3
2（C は定数）はこの方程式の一般
して確かめてみてください）。一方，x ≡ 0 も明らかに解ですが，この解は上の一
変えても出てきません。このように一般解からは出てこない解を，特異解 (singular
。
まったときに解がひとつだけに定まることを，解が一意 (unique) であるといいま
期値が x(0) = 0 のとき，一般解からは C = 0 で x = (
2
3
t)
3
2 が得られ，一方特異解
満たしますから，解が一意ではありません。
一意である（十分）条件としてよく知られているものに，Lipschitz（リプシッツ）
ります。これは，微分方程式が x′(t) = f(t, x) の形で表されるときに，f(t, x) をあ
考えたとき，初期値のまわりでどんな x1, x2 に対しても
|f(t, x1) − f(t, x2)| L|x1 − x2| (1)
するならば，この微分方程式のその初期値を満たす解は一意に定まる，というもの
録１）。(1) 式は，関数 f(t, x) が x のわずかな変化に対していくらでも急峻に変化
い，という条件を表しています。
方程式 x′ = x
1
3 では，f(t, x) = x
1
3 です。この関数は x = 0 で微分不可能で，x = 0
くらでも大きくなります。したがって，x = 0 に近づけば近づくほど，x のわずか
) の変化はいくらでも大きくなり，Lipschitz 条件を満たしていません 3。
となる定数 L があるなら，その初期値について一意
x のわずかな変化について，
f がいくらでも大きく変化する，ということはない

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
１．解が一意
。この式は行列とベクトルを使って
=
0 1
−Q(t) −P(t)
x1
x2
+
0
R(t)
(5)
x′
= A(t)x + b(t) (6)
線形微分方程式で表すことができます。一般の n 階線形微分方程式も，
表すことができます。
まず，1. の解の一意性について，証明の概略を示します。これは斉次形
さを表す「ノルム」を記号 ∥ · ∥ で表します。例えば，「要素の 2 乗の
，ユークリッドノルムといいます。
の右辺について，関数 x, y を考えると

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
１．解が一意
=
0 1
−Q(t) −P(t)
x1
x2
+
0
R(t)
(5)
x′
= A(t)x + b(t) (6)
う，ベクトルについての１階線形微分方程式で表すことができます。一般の n 階線
1. がなりたつことの証明まず，1. の解の一意性について，証明の概略を示しま
くてもなりたちます。
こで，行列やベクトルの大きさを表す「ノルム」を記号 ∥ · ∥ で表します。例えば
のルート」はノルムの一種で，ユークリッドノルムといいます。
式の右辺について，
∥ (A(t)x + b(t)) − (A(t)y + b(t)) ∥ = ∥A(t)x − A(t)y∥ ∥A(t)∥∥x −
るノルムが存在します。たとえば，ユークリッドノルムではそうなります。そこ
関数とすると，それを考えている区間内の任意の有界閉区間に対しては，ノルム
∥A(t)∥ には上限が存在します。
のことは，(6) 式の１階微分方程式について，Lipschitz 条件（講義第５回参照）
を示しています。したがって，この微分方程式の解は一意です。■
2. がなりたつことの証明次に，斉次形の方程式 x′ = A(t)x について，2. の「
で，

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
１．解が一意
=
0 1
−Q(t) −P(t)
x1
x2
+
0
R(t)
(5)
x′
= A(t)x + b(t) (6)
で，
程式で表すことができます。一般の n 階線形微分方程式も，
できます。
解の一意性について，証明の概略を示します。これは斉次形
「ノルム」を記号 ∥ · ∥ で表します。例えば，「要素の 2 乗の
リッドノルムといいます。
(t)) ∥ = ∥A(t)x − A(t)y∥ ∥A(t)∥∥x − y∥ (7)
クリッドノルムではそうなります。そこで，問題の関数を
の任意の有界閉区間に対しては，ノルムが連続であること
いて，Lipschitz 条件（講義第５回参照）が成り立っている
となるような
ノルムがある

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
１．解が一意
=
0 1
−Q(t) −P(t)
x1
x2
+
0
R(t)
(5)
x′
= A(t)x + b(t) (6)
で，
できます。
(t)) ∥ = ∥A(t)x − A(t)y∥ ∥A(t)∥∥x − y∥ (7)
となるような
ノルムがある
ノルムが連続なので，任意の有界閉区間で
上限が存在する

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
１．解が一意
=
0 1
−Q(t) −P(t)
x1
x2
+
0
R(t)
(5)
x′
= A(t)x + b(t) (6)
で，
できます。
(t)) ∥ = ∥A(t)x − A(t)y∥ ∥A(t)∥∥x − y∥ (7)
となるような
ノルムがある
ノルムが連続なので，任意の有界閉区間で
上限が存在するリプシッツ条件
が成り立ち，一意

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
条件２の証明の概略

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
斉次形の場合を考える
ます。たとえば，ユークリッドノルムではそうなります。そこで，
れを考えている区間内の任意の有界閉区間に対しては，ノルムが連
存在します。
の１階微分方程式について，Lipschitz 条件（講義第５回参照）が成
したがって，この微分方程式の解は一意です。■
の証明次に，斉次形の方程式 x′ = A(t)x について，2. の「解が
証明を示します。
，ベクトル x は n 次元です。そこで，n 次元の基本ベクトル e1 = (1, 0
= (0, 0, · · · , 1) を考え，初期値 x(t0) = e1 をみたす x′ = A(t)x の特
たす特殊解を ξ2(t)，· · · ，初期値 x(t0) = en をみたす特殊解を ξn
を x(t) とすると，t = t0 のときの任意の初期値は x(t0) = x1e1 +x2e
ます。

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
存在します。
ます。
プリントは n 階の場合を示しているが，
ここでは２階の場合を示す

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
存在します。
ます。
まず，

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
存在します。
ます。
∥ (A(t)x + b(t)) − (A(t)y + b(t)) ∥ = ∥A(t)x − A(t)y∥ ∥A(t)∥∥x
ノルムが存在します。たとえば，ユークリッドノルムではそうなります。そ
数とすると，それを考えている区間内の任意の有界閉区間に対しては，ノル
A(t)∥ には上限が存在します。
ことは，(6) 式の１階微分方程式について，Lipschitz 条件（講義第５回参照
示しています。したがって，この微分方程式の解は一意です。■
がなりたつことの証明次に，斉次形の方程式 x′ = A(t)x について，2. の
をなす」ことの証明を示します。
の方程式の場合，ベクトル x は n 次元です。そこで，n 次元の基本ベクトル e1
· · · , 0), . . . , en = (0, 0, · · · , 1) を考え，初期値 x(t0) = e1 をみたす x′ = A(
x(t0) = e2 をみたす特殊解を ξ2(t)，· · · ，初期値 x(t0) = en をみたす特殊解
A(t)x の一般解を x(t) とすると，t = t0 のときの任意の初期値は x(t0) = x1e
／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）第７回 (2014. 11. 6) http://racco.
一般解をとするとき
まず，

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
存在します。
ます。
のときの初期値は
(A(t)y + b(t)) ∥ = ∥A(t)x − A(t)y∥ ∥A(t)∥∥x − y∥ (7)
えば，ユークリッドノルムではそうなります。そこで，問題の関数を
いる区間内の任意の有界閉区間に対しては，ノルムが連続であること
す。
方程式について，Lipschitz 条件（講義第５回参照）が成り立っている
，この微分方程式の解は一意です。■
次に，斉次形の方程式 x′ = A(t)x について，2. の「解が n 次元ベクト
ます。
は n 次元です。そこで，n 次元の基本ベクトル e1 = (1, 0, · · · , 0), e2 =
, 1) を考え，初期値 x(t0) = e1 をみたす x′ = A(t)x の特殊解を ξ1(t)，
解を ξ2(t)，· · · ，初期値 x(t0) = en をみたす特殊解を ξn(t) とします。
すると，t = t0 のときの任意の初期値は x(t0) = x1e1 +x2e2 +· · ·+xnenの形で表せる
− (A(t)y + b(t)) ∥ = ∥A(t)x − A(t)y∥ ∥A(t)∥∥x − y∥ (7)
とえば，ユークリッドノルムではそうなります。そこで，問題の関数を
ている区間内の任意の有界閉区間に対しては，ノルムが連続であること
す。
て，この微分方程式の解は一意です。■
します。
x は n 次元です。そこで，n 次元の基本ベクトル e1 = (1, 0, · · · , 0), e2 =
· , 1) を考え，初期値 x(t0) = e1 をみたす x′ = A(t)x の特殊解を ξ1(t)，
すると，t = t0 のときの任意の初期値は x(t0) = x1e1 +x2e2 +· · ·+xnen
まず，

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
存在します。
ます。
のときの初期値は
(A(t)y + b(t)) ∥ = ∥A(t)x − A(t)y∥ ∥A(t)∥∥x − y∥ (7)
えば，ユークリッドノルムではそうなります。そこで，問題の関数を
す。
ます。
, 1) を考え，初期値 x(t0) = e1 をみたす x′ = A(t)x の特殊解を ξ1(t)，
すると，t = t0 のときの任意の初期値は x(t0) = x1e1 +x2e2 +· · ·+xnenの形で表せる
− (A(t)y + b(t)) ∥ = ∥A(t)x − A(t)y∥ ∥A(t)∥∥x − y∥ (7)
とえば，ユークリッドノルムではそうなります。そこで，問題の関数を
ている区間内の任意の有界閉区間に対しては，ノルムが連続であること
す。
て，この微分方程式の解は一意です。■
します。
x は n 次元です。そこで，n 次元の基本ベクトル e1 = (1, 0, · · · , 0), e2 =
· , 1) を考え，初期値 x(t0) = e1 をみたす x′ = A(t)x の特殊解を ξ1(t)，
すると，t = t0 のときの任意の初期値は x(t0) = x1e1 +x2e2 +· · ·+xnen
まず，
は，2次元の基本ベクトル
∥ (A(t)x + b(t)) − (A(
となるノルムが存在します。たとえば
連続関数とすると，それを考えている
から ∥A(t)∥ には上限が存在します。
このことは，(??) 式の１階微分方程
ことを示しています。したがって，こ
条件 2. がなりたつことの証明次に，
ル空間をなす」ことの証明を示します
n 階の方程式の場合，ベクトル x は
(0, 1, 0, · · · , 0), . . . , en = (0, 0, · · · , 1)
初期値 x(t0) = e2 をみたす特殊解を
e1 = (1, 0), e2 = (0, 1)
浅野晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
は，2次元の
基本ベクトル
このことは，(??) 式の１
ことを示しています。した
条件 2. がなりたつことの証
ル空間をなす」ことの証明
n 階の方程式の場合，ベク
(0, 1, 0, · · · , 0), . . . , en = (0
初期値 x(t0) = e2 をみたす
e1 = (1, 0), e2 = (0, 1)
浅野晃／応用数学（解析）（2014
。
程式について，Lipschitz 条件（講義第５回参照）が成り立っている
に，斉次形の方程式 x′ = A(t)x について，2. の「解が n 次元ベクト
ます。
1) を考え，初期値 x(t0) = e1 をみたす x′ = A(t)x の特殊解を ξ1(t)，
を ξ2(t)，· · · ，初期値 x(t0) = en をみたす特殊解を ξn(t) とします。
ると，t = t0 のときの任意の初期値は x(t0) = x1e1 +x2e2 +· · ·+xnen
）第７回 (2014. 11. 6) http://racco.mikeneko.jp/ 2/5 ページ
の特殊解を，２つ考える
リッドノルムではそうなります。そこで，問題の関数を
任意の有界閉区間に対しては，ノルムが連続であること
，Lipschitz 条件（講義第５回参照）が成り立っている
程式の解は一意です。■
方程式 x′ = A(t)x について，2. の「解が n 次元ベクト
。そこで，n 次元の基本ベクトル e1 = (1, 0, · · · , 0), e2 =
期値 x(t0) = e1 をみたす x′ = A(t)x の特殊解を ξ1(t)，
，初期値 x(t0) = en をみたす特殊解を ξn(t) とします。
ときの任意の初期値は x(t0) = x1e1 +x2e2 +· · ·+xnen
をみたすもの
11. 6) http://racco.mikeneko.jp/ 2/5 ページ
をみたすもの
連続関数とすると，それを考えている区間内の任意の有界閉区間に
このことは，(6) 式の１階微分方程式について，Lipschitz 条件（
ことを示しています。したがって，この微分方程式の解は一意です
条件 2. がなりたつことの証明次に，斉次形の方程式 x′ = A(t)x
ル空間をなす」ことの証明を示します。
n 階の方程式の場合，ベクトル x は n 次元です。そこで，n 次元の
(0, 1, 0, · · · , 0), . . . , en = (0, 0, · · · , 1) を考え，初期値 x(t0) = e1 を
初期値 x(t0) = e2 をみたす特殊解を ξ2(t)，· · · ，初期値 x(t0) = e
x′ = A(t)x の一般解を x(t) とすると，t = t0 のときの任意の初期
の形で表すことができます。
浅野晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）第７回 (2014. 11. 6)
n 階の方程式の場合，ベクトル x は n 次元です。そこで，n 次元の基
(0, 1, 0, · · · , 0), . . . , en = (0, 0, · · · , 1) を考え，初期値 x(t0) = e1 をみ
初期値 x(t0) = e2 をみたす特殊解を ξ2(t)，· · · ，初期値 x(t0) = en
x′ = A(t)x の一般解を x(t) とすると，t = t0 のときの任意の初期値
初期値
初期値

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
この特殊解一方，特殊解 ξ1(t), ξ2(t), . . . , ξn(t) は１次独立です。なぜならば，c1ξ1(t)+
がなりたっているとする時，t = t0 でもなりたつので代入すると，c1ξ1(t0) + c
c1e1 + c2e2 + · · · + cnen = 0 となります。e1, e2, . . . , en は１次独立ですか
c1 = c2 = · · · = cn = 0 のときだけだからです。
ここで，特殊解 ξ1(t), ξ2(t), . . . , ξn(t) の１次結合 x1ξ1(t) + x2ξ2(t) + · · · + x
のとき，この特殊解の初期条件から，この１次結合はやはり x1e1 + x2e2 + ·
は，１次独立。本当？
は，2次元の
基本ベクトル
このことは，(??) 式の１
(0, 1, 0, · · · , 0), . . . , en = (0
e1 = (1, 0), e2 = (0, 1)
。
ます。
リッドノルムではそうなります。そこで，問題の関数を
をみたすもの
をみたすもの
(0, 1, 0, · · · , 0), . . . , en = (0, 0, · · · , 1) を考え，初期値 x(t0) = e1 を
(0, 1, 0, · · · , 0), . . . , en = (0, 0, · · · , 1) を考え，初期値 x(t0) = e1 をみ
初期値
初期値

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
x1
x2
x1
x2
⃝

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
この特殊解一方，特殊解 ξ1(t), ξ2(t), . . . , ξn(t) は１次独立です。なぜならば，c1ξ1(t)+
がなりたっているとする時，t = t0 でもなりたつので代入すると，c1ξ1(t0) + c
c1e1 + c2e2 + · · · + cnen = 0 となります。e1, e2, . . . , en は１次独立ですか
c1 = c2 = · · · = cn = 0 のときだけだからです。
ここで，特殊解 ξ1(t), ξ2(t), . . . , ξn(t) の１次結合 x1ξ1(t) + x2ξ2(t) + · · · + x
のとき，この特殊解の初期条件から，この１次結合はやはり x1e1 + x2e2 + ·
このことは，一般解 x(t) と，上記の特殊解の１次結合 x1ξ1(t) + x2ξ2(t) + ·
は，１次独立
は，2次元の
基本ベクトル
(0, 1, 0, · · · , 0), . . . , en = (0
e1 = (1, 0), e2 = (0, 1)
ます。
をみたすもの
をみたすもの
(0, 1, 0, · · · , 0), . . . , en = (0, 0, · · · , 1) を考え，初期値 x(t0) = e1 を
(0, 1, 0, · · · , 0), . . . , en = (0, 0, · · · , 1) を考え，初期値 x(t0) = e1 をみ
初期値
初期値

2015年度秋学期　応用数学（解析）　第７回　２階線形微分方程式(1) (2015. 11. 12)

2015年度秋学期　応用数学（解析）　第７回　２階線形微分方程式(1) (2015. 11. 12)

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (19)

Similar to 2015年度秋学期　応用数学（解析）　第７回　２階線形微分方程式(1) (2015. 11. 12)

Similar to 2015年度秋学期　応用数学（解析）　第７回　２階線形微分方程式(1) (2015. 11. 12) (20)

More from Akira Asano

More from Akira Asano (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (10)