Jumlah sudut segitiga dalam geometri lobachevsky

1. Assalamu’alaikum Wr.Wb

2. SISTEM
GEOMETRI
JUMLAH SUDUTSEGITIGA DALAMGEOMETRILOBACHEVSKY

3. Teorema 1 menunjukan bagaimana kedudukan
atau sifat-sifat non metrical dalam geometri
non-Euclides tentu berbeda dengan geometri
Euclides.

4. Lemma 7.1
Jumlah besar dua sudut dalam segitiga adalah kurang
atau sama dengan besar sudut luar yang tidak
bersisian dengan sudut tersebut
BUKTI :
Perhatikan ABC. Menurut Teorema Sacheri-
Legendre
<A + <B + <C ≤180˚
Jika kedua ruas ketidaksamaan dikurangi dengan <C
diperoleh : <A <B + ≤180˚ - <C. Lemma tersebut
berlaku karena sudut luar C sama dengan 180˚- <C

5. P
Lemma 7.2
Misalkan diketahui garis l, titik P di luar l, titik Q
pada l.
Misalkan diberikan sisi PQ. Maka ada titik R di l yg
kita inginkan
RQ
1

6. Perhatikan papan tulis!
Misalkan a adalah sudut yang kecil.
Akan kita tunjukkan bahwa ada titik R pada I
yang terletak di sebelah kanan PQ sedemikian
hingga sudut PRQ < a.
Pertama, kita bentuk barisan sudut-sudut: Sudut
PR1Q, sudut PR2Q, ………..
Yang setiap suku tidak lebih besar dari suku
sebelumnya

7. Misalkan R1 titik pada I dan berada di sebelah kanan sisi PQ
sedemikian hingga QR1 = PQ
Tarik PR1, maka segitiga PQR1 adalah sama kaki dan
Sudut QPR1 = PR1Q = b1
Misal besar sudut luar segitiga PQR1 di Q = b. menurut
lemma 7.1
b1 + b1 = 2 b1 ≤ b,
Berarti:
b1 ≤ b……(1)
Sekarang dibentuk segitiga baru dan diulang lagi argumen di
atas. Perpanjang QR1 melalui R1 ke R2, sedemikian hingga
R1R2 = PR1
Tarik PR2. maka segitiga PR1R2 adalah samakaki dan
Sudut R1PR2 = sudut PR2R1 = sudut PR2Q = b2
Jadi, sesuai dengan lemma 6.1
b2 + b2 = 2b2 ≤ b1
Berarti :
b2 ≤ b1

8. Sesuai dengan persamaan (1) diperoleh :
b2 ≤ b
Dengan melanjutkan proses di atas sebanyak n kali, maka
akan diperoleh titik Rn pada I dan di sebelah kanan sisi PQ
sedemikian hingga:
bn = sudut PRnQ ≤ b
Dengan memilih n cukup besar maka bisa diperoleh b < a
Dengan demikian sudut PRnQ < a. Jadi teorema berlaku
untuk R = Rn
Teorema 7.2
Ada sebuah segitiga dengan jumlah besar sudut kurang dari
Perhatikan papan tulis!

9. Bukti :
Misalkan I suatu garis dan P diluar I. kita buat garis M
melalui P sejajar I dengan cara biasa sebagi berikut :
Misal PQ ┴ I di Q, dan M ┴ PQ di P.
Menurut postulat kesejajaran lobachevsky ada garis lain
yaitu garis n yang melalui P dan sejajar I. salah satu sudut
yang dibentuk n dengan PQ adalah lancip.
Misalkan :
X titik pada n sedemikian hingga sudut QPX lancip
Y titik pada m dan n di sebelah kanan sisi PQ seperti X.
A = sudut XPY
Perhatikan papan tulis!
Misal : l dan m tegak lurus pada PQ di Q dan P.
R sebarang titik pada l, disebelah kanan sisi PQ
Jika R menjauhi PQ sampai takterhingga, maka sudut QRP
mendekati dan sudut QPR mendekati

10. Dalam geometri lobachevsky agak sedikit yang berbeda.
Kita masih punya garis l dan m tegak lurus pada PQ di Q
dan P sedemikian hingga m // l. tetapi sekarang (seperti
pada pembuktian teorema 2) ada garis lain PX yang sejajar
l, sedemikian hingga :
Sudut QPX < . Misalkan R sebarang titik pada l
disebelah kanan PQ seperti X.
Jika R menjauhi PQ sampai tak terhingga, maka sudut QRP
mendekati seperti pada geometri Euclides. Tetapi sudut
QPR tidak mendekati , karena sudut QPR selelu kurang
dari sudut QPX.
Jadi, jika R cukup jauh, segitiga PQR akan memiliki jumlah
besar sudut kurang dari . Sebagai contoh, jika sudut
QPX = kita hanya perlu menempatkan R sedemikian
hingga sudut QRP <
Perhatikan papan tulis!

11. Akhirnya : anda mungkin mnolak bahwa kita tidak akan
dapat mendapatkan sudut QPR < sudut QPX, yakni sinar
PR terletak dalam sudut QPX.
Perhatikan sinar PR dan sinar PX adalah berbeda dan
keduanya berada didalam sudut yang dibentuk oleh sinar
PQ dengan sinar yang lain.
Misalkan sinar PX terletak dalam sudut QPR, maka sinar PX
akan memotong QR dan sudah tentu memotong l. karena
hal ini tidak mungkin terjadi, berarti sinar PR harus berada
didalam sudut QPX.