วงรี

1. นิยามสมการวงรี
วงรี (Ellipse) คือเซตของจุดทั้งหมดในระนาบซึ่งผลบวกของระยะทางจากจุดใดๆจุดหนึ่งในเซตไปยังจุด
คงที่ 2 จุดมีค่าคงตัว
จากบทนิยามนี้ มีวิธีง่ายๆ ในการวาดรูปวงรี (ดูรูปที่ 2) วางกระดาษบนกระดานวาดรูปปักหมุด 2 ตัวที่
จุดต่างกัน ใช้เป็นโฟกัสของวงรี ตัดเชือกเส้นหนึ่งยาวกว่าระยะทางระหว่างหมุดทั้งสอง ผูกปลายเชือกแต่ละ
ข้างกับหมุด โดยใช้ดินสอรั้งเชื่อให้ตึงตลอดเวลา ขณะที่ค่อยๆ เคลื่อนดินสอรอบโฟกัส รอยดินสอที่เกิดขึ้น
จะเป็นรูปวงรีเพราะผลบวกของระยะทางจากจุดปลายดินสอถึงโฟกัสทั้งสองเท่ากับความยาวของเชือกที่มี
ความยาวคงตัวเสมอ
ถ้าเชือกยาวกว่าระยะห่างระหว่างโฟกัสเพียงเล็กน้อย วงรีที่วาดได้จะมีรูปร่างเรียวยาว ดังเช่นในรูปที่ 3ก
แต่ถ้าโฟกัสอยู่ใกล้กันเมื่อเปรียบเทียบกับความยาวของเชือกวงรีที่วาดได้จะเกือบกลม ดังเช่นในรูปทางขวา
ยิ่งถ้าจุดโฟกัสใกล้กันเท่าไหร่ ก็จะยิ่งกลมขึ้นๆ

2. ส่วนประกอบของวงรี
F, F’ เป็นจุดคงที่ เรียกว่าจุดโฟกัส (Focus)
V, V’ เป็นเส้นตรงที่ผ่านจุดโฟกัส และมีจุดปลายทั้งสองเป็นจุดยอด เรียกว่า แกนนอก
B, B’ เป็นเส้นตรงที่ผ่านจุดศูนย์กลางและตั้งฉากกับแกนเอก โดยมีจุดปลายทั้งสองอยู่บนวงรี เรียกว่า
แกนโท
m1m2, m1‘m2‘ เป็นเส้นตรงที่ผ่านจุดโฟกัส และตั้งฉากกันแกนของรูป เรียกว่าเส้นลาตัสเรกตัม
วงรีที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด (0,0)

3. สรุปสมการวงรี
เราอาจแบ่งวงรีออกเป็น 2 แบบ ตามลักษณะการวางตัวตามแนวแกน x และแกน y ดังนี้
1) วงรีที่วางตัวในแนวแกน x (แนวนอน)
สมการวงรี:
ระยะโฟกัส (F):
แกนที่แบ่งครึ่งรูปวงรี ได้แก่ แกนเอก (ยาว=2a) ซึ่งแสดงความยาวของวงรี
ส่วนอีกแกนเรียกว่า แกนโท (ยาว=2b) แสดงถึงความกว้างของวงรี ซึ่ง a>b เสมอ

4. จากรูปข้างบน ถ้าจุดกาเนิดอยู่ที่ C(h, k) จะได้พิกัดของจุดปลายแกนทั้ง 4 จุด ดังนี้
พิกัดของจุดปลายแกนเอก A1 คือ (h-a, k)
พิกัดของจุดปลายแกนเอก A2 คือ (h+a, k)
พิกัดของจุดปลายแกนโท B1 คือ (h, k+b)
พิกัดของจุดปลายแกนโท B2 คือ (h, k-b)
ข้อสังเกตวงรี:
1. สมการวงรีจะคล้ายกับวงกลม วิธีสังเกตว่าสมการนี้ใช่วงรีหรือไม่ ให้สังเกตโดย
- จัดรูปให้เป็น x2
และ y2
สัมประสิทธิ์หน้าทั้งสองเทอมนี้เป็นค่าบวกแต่มีค่าไม่เท่ากัน
(ตัวส่วนไม่เท่ากัน ซึ่งเป็นการขยายระยะแกนเอกและแกนโท)
- ด้านขวาของสมการเป็น 1
2. วงรีวางตัวแบบไหน ให้ดูจากแกนเอก แกนโท เพราะแกนเอกยาวกว่าแกนโทเสมอ นั่นคือ a>b เสมอ
สาหรับตัวส่วน a, b จะเป็นความยาวครึ่งหนึ่งของแกนเอก และแกนโทตามลาดับ
- ถ้า a อยู่กับ x และ b อยู่กับ y แสดงว่าแกนเอกของวงรีวางนอนขนานไปกับแกน x เหมือนในรูปตัวอย่าง
ข้างบน
- ถ้า a อยู่กับ y และ b อยู่กับ x แสดงว่าแกนเอกของวงรีวางตั้งขึ้นขนานไปกับแกน y ดังรูปในตัวอย่าง
ข้างล่างนี้
2) วงรีที่วางตัวในแนวแกน y (แนวตั้ง)
สมการวงรี:

5. ระยะโฟกัส (F):
จากรูป ถ้าจุดกาเนิดอยู่ที่ C(h, k) จะได้พิกัดของจุดปลายแกนทั้ง 4 จุด ดังนี้
พิกัดของจุดปลายแกนเอก B1 คือ (h, k+a)
พิกัดของจุดปลายแกนเอก B2 คือ (h, k-a)
พิกัดของจุดปลายแกนโท A1 คือ (h-b, k)
พิกัดของจุดปลายแกนโท A2 คือ (h+b, k)
โจทย์ แกนเอกของวงรีเป็นส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมระหว่างจุดตัดของวงกลม x2+y2=169x2+y2=169 กับ
วงกลม x2+y2+4y=149x2+y2+4y=149และโฟกัสจุดหนึ่งของวงรีอยู่บนเส้นตรง x+45√=0x+45=0 สมการ
วงรีตรงกับข้อใดต่อไปนี้
1. 4x2
+9y2
−160x=0
2.4x2
+9y2
+90y−351=0
3.9x2
+4y2
+10x−17=0
4.9x2
+4y2
−80y+48=0
เฉลยละเอียด
1. หาจุดตัดของวงกลมทั้งสอง
แทนค่า x2
=169−y2x2=169 − y2
ลงในอีกสมการวงกลม
(169−y2
)+y2
+4y−1494y = 0−20−5(169−y2)+y2
+4y−149 = 04y=−20y=−5
แทนค่า y=−5y=−5 ลงในสมการวงกลม x2+y2=169x2+y2=169 เพื่อหาจุดตัดจะได้ x=±12x=±12
ดังนั้นจุดตัดทั้งสอง คือ (−12,−5)(−12,−5) และ (12,−5)(12,−5)
2. วาดรูปประกอบ
พบว่าเป็นวงรีแนวนอนมีศูนย์กลางที่ (0,−5)(0,−5) มี a=12a=12 และ c=45√c=45
3. ใช้ความสัมพันธ์ a2−b2=c2a2−b2=c2 หาค่า bb ของวงรี
a2−b2122−b2b2b====c2(45√)2648a2−b2=c2122−b2=(45)2b2=64b=8

6. 4. เขียนสมการวงรีและจัดให้อยู่ในรูปทั่วไป
x2122+(y+5)2824x2+9(y+5)24x2+9y2+90y−351===15760x2122+(y+5)282=14x2+9(y+5)2=5764x2+9y
2+90y−351=0
ตอบข้อ B ถูก
ที่มา : http://www.tewfree.com/%E0%B8%A7%E0%B8%87%E0%B8%A3%E0%B8%B5-ellipse-
%E0%B8%84%E0%B8%93%E0%B8%B4%E0%B8%95%E0%B8%A8%E0%B8%B2%E0%B8%AA%
E0%B8%95%E0%B8%A3%E0%B9%8C-%E0%B8%A1-4/
http://www.scimath.org/socialnetwork/groups/viewbulletin/188-
4+%E0%B8%A0%E0%B8%B2%E0%B8%84%E0%B8%95%E0%B8%B1%E0%B8%94%E0%B8%81
%E0%B8%A3%E0%B8%A7%E0%B8%A2+%E0%B8%A7%E0%B8%87%E0%B8%A3%E0%B8%B5?
groupid=80