2. Правильні многогранники
Опуклий многогранник
називається правильним , якщо
його грані є правильними
многокутниками з однією і тією
самою кількістю сторін, а в
кожній вершині многогранника
одне і те ж число ребер.
3. Існує 5 типів правильних опуклих
многогранників:
Тетраедр
Куб (гексаедр)
Октаедр
Додекаедр
Ікосаедр
4. Тетраедр
Тетра́едр — багатогранник із чотирма вершинами, і з чотирма
трикутними гранями, в кожній з вершин якого сходяться по 3
грані. Просто кажучи, "трикутна піраміда".
У тетраедра 4 грані, 4 вершини і 6 ребер. Паралельні площини,
що проходять через пари ребер тетраедра, що схрещуються,
визначають описаний біля тетраедра паралелепіпед.
Відрізок, що сполучає вершину тетраедра з точкою перетину
медіан протилежної грані, називається його медіаною,
опущеною з даної вершини. Відрізок, що сполучає середини
ребер тетраедра, що схрещуються, називається його
бімедіаною, що сполучає дані ребра. Відрізок, що сполучає
вершину тетраедра з точкою протилежної грані і
перпендикулярний цій грані, називається його висотою,
опущеною з даної вершини.
Властивість
Всі медіани і бімедіани тетраедра перетинаються в одній
точці. Ця точка ділить медіани у відношенні 3:1, міряючи від
вершини, а бімедіани — навпіл.
5. Тетраедр
Види тетраедрів
Виділяють:
•рівногранний тетраедр, у якого всі грані - рівні
між собою трикутники;
•ортоцентричний тетраедр, у якого всі висоти,
опущені з вершин на протилежні грані,
перетинаються в одній точці;
•прямокутний тетраедр, у якого всі ребра, прилеглі
до однієї з вершин, перпендикулярні між собою;
•правильний тетраедр, у якого всі чотири грані -
рівносторонні трикутники.
Об'єм
Об'єм тетраедра (з урахуванням знаку), вершини якого знаходяться в точках ,
, , , дорівнює
6. Куб
Куб або гексаедр — правильний багатогранник, кожна грань
якого є квадратом. Окремий випадок паралелепіпеда і призми.
У різних дисциплінах використовуються значення терміну, що
мають відношення до тих або інших властивостей
геометричного прототипу. Зокрема, в алгебрі кубом називають
третій ступінь числа. В аналітиці (OLAP-аналіз)
застосовуються так звані аналітичні багатовимірні куби, що
дозволяють в наочному вигляді зіставити дані з різних таблиць.
Декартові координати
Якщо центр куба сумістити з початком координат, а ребра зорієнтувати
паралельно осям, тоді вершини кубі з ребрами довжини 2 матимуть координати
(±1,±1,±1).
Вміст куба буде відповідати умовам на координати (x0, x1, x2) де −1 < xi < 1
7. Куб
Формули
Площа поверхні S, об'єм V і діагональ d куба з ребром а:
S = 6a2
V = a3
Властивості куба
•В куб можна вписати тетраедр двома способами, притому чотири
вершини тетраедра будуть суміщено з чотирма вершинамі куба. Всі
шість ребер тетраедра лежатимуть на всіх шести гранях куба і
дорівнюватимуть діагоналі грані-квадрата.
•Чотири перетини куба є правильними шестикутниками — ці
перетини проходять через центр куба перпендикулярно чотирьом
його діагоналям.
•У куб можна вписати октаедр, притому всі шість вершин октаедра
будуть суміщено з центрами шести граней куба.
•Куб можна вписати в октаедр, притому всі вісім вершин куба
будуть розташовано в центрах восьми гранях октаедра.
•У куб можна вписати ікосаедр, при цьому, шість взаємно
паралельних ребер ікосаедра будуть розташовані відповідно на
шести гранях куба, решта 24 ребра всередині куба, всі дванадцять
вершин ікосаедра лежатимуть на шести гранях куба.
8. Октаедр
Окта́едр — (грец. οκτάεδρον, від грец. οκτώ, «вісім» і
грец. έδρα «основа») (рос. октаедр, англ. octahedron,
нім. Oktaeder m, Achtflächner m) — один з п'яти
правильних багатогранників. Октаедр має 8 граней
(трикутних), 12 ребер, 6 вершин (у кожній вершині
сходяться 4 ребра).
Формули
Площа S і об'єм V октаедра з довжиною ребра а обчислюється
за формулами:
Декартові координати
Якщо центр октаедра помістити у центр координат, а його
вершини розташувати на осях координат, тоді координати його
вісьмох вершин будуть: (±1, 0, 0); (0, ±1, 0); (0, 0, ±1).
9. Октаедр
Властивості октаедра
Октаедр можна вписати в тетраедр, притому чотири (з
восьми) граней октаедра будуть суміщено з чотирма
гранями тетраедра, всі шість вершин октаедра будуть
суміщено з центрами шести ребер тетраедра.
Октаедр з ребром у складається з 6 октаедрів (по
вершинам) з ребром у:2 і 8 тетраедрів (по гранях) з
ребром у:2
Октаедр можна вписати в куб, притому всі шість
вершин октаедра будуть суміщено з центрами шести
граней куба.
У октаедр можна вписати куб, притому всі вісім вершин
куба будуть розташовано в центрах восьми гранях
октаедра.
Октаедр в фізичному світі
У формі октаедра кристалізуються мідь, срібло, алмаз,
магнетит, флюорит тощо.
10. Додекаедр
Додека́едр (від грец. dodeka — дванадцять і грец. hedra — грань),
дванадцятигранник — правильний багатогранник, об'ємна
геометрична фігура, складена з дванадцяти правильних
п'ятикутників. Кожна вершина додекаедра є вершиною трьох
правильних п'ятикутників. Таким чином, додекаедр має 12 граней
(п'ятикутних), 30 ребер і 20 вершин (у кожній сходяться 3 ребра).
Сума плоских кутів при кожній з 20 вершин рівна 324°.
Формули
Площа поверхні A і об'єм V додекаедра зі стороною a можна
обчислити за формулами:
Радіус описаної сфери:
Радіус вписаної сфери:
Двогранний кут між гранями:
, де φ - золотий перетин
11. Ікосаедр
Ікоса́едр (від грец. εικοσάς, «двадцять» і Формули
грец. —εδρον, «грань», «лице», «основа») — Площа S, об'єм V ікосаедра з довжиною ребра а, а
правильний опуклий багатогранник, також радіуси вписаної і описаної куль
двадцятигранник, одне з Платонових тіл. обчислюються за формулами:
Кожна з 20 граней є рівностороннім
трикутником. Число ребер рівне 30, число
вершин — 12.
Декартові координати
Такі декартові координати визначають вершини
ікосаедра з довжиною ребра 2 і центром в початку
координат
(0, ±1, ±φ)
(±1, ±φ, 0)
(±φ, 0, ±1)
де φ = (1+√5)/2 є «золотим перетином». Зауважте,
що ці набори вершин формують взаємно
відцентровані і взаємно ортогональні золоті
прямокутники.
12. Ікосаедр
Властивості
•Ікосаедр можна вписати в куб, при цьому,
шість взаємно паралельних ребер ікосаедра
будуть розташовані відповідно на шести
гранях куба, решта 24 ребра усередині куба,
всі дванадцять вершин ікосаедра лежатимуть
на шести гранях куба
•В ікосаедр може бути вписаний тетраедр,
притому, чотири вершини тетраедра будуть
суміщено з чотирма вершинамі ікосаедра.
•Ікосаедр можна вписати в додекаедр,
притому вершини ікосаедра будуть суміщені
з центрами граней додекаедра.
•У ікосаедр можна вписати додекаедр,
притому вершини додекаедра будуть
суміщені з центрами граней ікосаедра.
В фізичному світі
•Капсиди багатьох вірусів (наприклад,
бактеріофаги, мімівірус).
