Правильні многогранники

1. ПРАВИЛЬНІ
МНОГОГРАННИКИ
Підготував: Маляренко Ілля
ТетраедрГексаэдр
Окта́едрДодекаедрІкосаедр

2. ЩО ТАКЕ ПРАВИЛЬНИЙ МНОГОГРАННИК?
 Правильним многогранником є многогранник, грані якого є правильними
многокутниками з рівною кількістю сторін, а в кожній вершині
многогранника сходиться однакова кількість ребер.
 Існує п’ять типів правильних опуклих
многогранників: правильний тетраедр, куб, октаедр, додекаедр, ікосаедр.
 У правильного многогранника:
 - усі ребра рівні;
 - усі двогранні кути, що містять дві грані зі спільним ребром, також рівні;
Многогранники

3. Правильний тетраедр
 Тетра́едр називається правильним, якщо всі його грані —
рівносторонні трикутники. У правильного тетраедра всі
двогранні кути при ребрах і всі тригранні кути при вершинах
рівні.
 Чотиригранник, тетраедр, трикутна піраміда —
багатогранник із чотирма вершинами, і з чотирма
трикутними гранями, в кожній з вершин якого сходяться по
3 грані.
 У чотиригранника 4 грані, 4 вершини і 6 ребер. Паралельні
площини, що проходять через парчотиригранника, що
схрещуються, визначають описання чотиригранника
паралелепіпед.
 Відрізок, що сполучає чотиригранника з точкою перетину
медіан протилежної грані, називається його медіаною,
опущеною з даної вершини. Відрізок, що сполучає середини
чотиригранника, що схрещуються, називається його
бімедіаною, що сполучає дані ребра. Відрізок, що сполучає
чотиригранника з точкою протилежної грані і
перпендикулярний цій грані, називається його висотою,
опущеною з даної вершини.
Многогранники

4. Властивості правильного
тетраедра
 В правильний тетраедр можна вписати октаедр, притому чотири (з восьми)
грані октаедра будуть суміщено з чотирма гранями тетраедра, всі шість
вершин октаедра будуть суміщено з центрами шести ребер тетраедра.
 Правильний тетраедр з ребром х складається з одного вписаного октаедра (у
центрі) з ребром х/2 і чотирьох тетраедрів (по вершинам) з ребром х/2.
 Правильний тетраедр можна вписати в куб двома способами, притому чотири
вершини тетраедра будуть суміщено з чотирма вершинамі куба. Всі шість
ребер тетраедра лежатимуть на всіх шести гранях куба і дорівнюватимуть
діагоналі грані-квадрата.
 Правильний тетраедр можна вписати в ікосаедр, притому, чотири вершини
тетраедра будуть суміщено з чотирма вершинамі ікосаедра.
 Всі медіани і бімедіани чотиригранника перетинаються в одній точці. Ця точка
ділить медіани у відношенні 3:1, міряючи від вершини, а бімедіани — навпіл.
Многогранники

5. Формули тетраїдра
 У правильного тетраедра з довжиною ребра a:
 Площа поверхні 3𝑎2
 Об’єм
2
12
𝑎3
 Висота
2
3
a
 Радіус вписаної сфери
6
12
𝑎
 Радіус описаної сфери
6
4
𝑎
 Кут нахилу ребра arctan 2 ≈
7
23
𝜋
 Кут нахилу грані arctan 2 2 ≈
29
74
𝜋
 Група симетрій — Тетраедральна (Th)
Декартові координати
Правильний тетраедр можна
задати координатами його
вершин
• (1, 1, 1)
• (-1, −1, 1)
• (-1, 1, −1)
• (1, −1, −1)
довжина ребра в цьому
випадку складатиме .
Многогранники

6. Гексаэдр
Декартові координати
 Якщо центр куба сумістити з початком координат, а ребра зорієнтувати
паралельно осям, тоді вершини куба з ребрами довжини 2 матимуть
координати (±1,±1,±1).
 Вміст куба буде відповідати умовам на координати (x0, x1, x2) де −1 < xi <
1.
Куб або гексаедр — правильний багатогранник,
кожна грань якого є квадратом. Окремий випадок
паралелепіпеда і призми.
У різних дисциплінах використовуються значення
терміну, що мають відношення до тих або інших
властивостей геометричного прототипу. Зокрема,
в алгебрі кубом числа називають значення цього
числа, піднесене до 3-го степеня. В аналітиці
(OLAP-аналіз) застосовуються так звані аналітичні
багатовимірні куби, що дозволяють в наочному
вигляді зіставити дані з різних таблиць.
Многогранники

7. Формули
Площа поверхні S, об'єм V і діагональ d куба з ребром а:
Властивості куба
 В куб можна вписати тетраедр двома способами, притому чотири вершини тетраедра
будуть суміщено з чотирма вершинамі куба. Всі шість ребер тетраедра лежатимуть на
всіх шести гранях куба і дорівнюватимуть діагоналі грані-квадрата.
 Чотири перетини куба є правильними шестикутниками — ці перетини проходять через
центр куба перпендикулярно чотирьом його діагоналям.
 У куб можна вписати октаедр, притому всі шість вершин октаедра будуть суміщено з
центрами шести граней куба.
 Куб можна вписати в октаедр, притому всі вісім вершин куба будуть розташовано в
центрах восьми гранях октаедра.
 У куб можна вписати ікосаедр, при цьому, шість взаємно паралельних ребер ікосаедра
будуть розташовані відповідно на шести гранях куба, решта 24 ребра всередині куба, всі
дванадцять вершин ікосаедра лежатимуть на шести гранях куба.
Многогранники

8. Окта́едр
один з п'яти правильних багатогранників.
Октаедр має 8 граней (трикутних), 12 ребер, 6
вершин (у кожній вершині сходяться 4 ребра).
Формули
Площа S і об'єм V октаедра з довжиною
ребра а обчислюється за формулами:
Декартові координати
Якщо центр октаедра з довжиною ребра помістити у центр
координат, а його вершини розташувати на осях координат, тоді
координати його шести вершин будуть: (±1, 0, 0); (0, ±1, 0); (0, 0, ±1).
Многогранники

9. Властивості октаедра
Октаедр можна вписати в тетраедр, притому чотири (з восьми) граней
октаедра будуть суміщено з чотирма гранями тетраедра, всі шість
вершин октаедра будуть суміщено з центрами шести ребер
тетраедра.
Октаедр з ребром у складається з 6 октаедрів (по вершинам) з ребром
у:2 і 8 тетраедрів (по гранях) з ребром у:2
Октаедр можна вписати в куб, притому всі шість вершин октаедра
будуть суміщено з центрами шести граней куба.
У октаедр можна вписати куб, притому всі вісім вершин куба будуть
розташовано в центрах восьми гранях октаедра.
Октаедр в фізичному світі
 У формі октаедра кристалізуються мідь, срібло, алмаз, магнетит, флюорит
тощо
Многогранники

10. Додека́едр
дванадцятигранник — правильний багатогранник, об'ємна
геометрична фігура, складена з дванадцяти правильних
п'ятикутників. Кожна вершина додекаедра є вершиною трьох
правильних п'ятикутників. Таким чином, додекаедр має 12 граней
(п'ятикутних), 30 ребер і 20 вершин (у кожній сходяться 3 ребра).
Сума плоских кутів при кожній з 20 вершин рівна 324°.
Властивості
 Усі двадцять вершин додекаедра лежать по п'ять у чотирьох паралельних площинах, утворюючи в кожній з них
правильний п'ятикутник.
 Двогранний кут між будь-якими двома суміжними гранями додекаедра дорівнює arccos (-1 / √5) ≈116 °, 565.
 Сума плоских кутів при кожній з 20 вершин дорівнює 324 °, тригранний кут дорівнює arccos (-11 / 5√5) ≈2,9617
стерадіан.
 У додекаедр можна вписати куб так, що сторони куба будуть діагоналями додекаедра.
 Додекаедр має три зірчасті форми.
Декартові координати
 Якщо центр додекаедра збігається з початком координат, його вершини можна визначити за координатами
(±1, ±1, ±1)
(0, ±1/φ, ±φ)
(±1/φ, ±φ, 0)
(±φ, 0, ±1/φ)
 де φ = (1+√5)/2 є золотим перетином. Довжина сторін тоді дорівнює 2/φ = −1+√5. Двогранний кут додекаедра
становить 2arctan(φ) або приблизно 116.565 градусів.
Многогранники

11. Ікосаедр
Ікоса́едр (від грец. εικοσάς, «двадцять» і грец. —
εδρον, «грань», «лице», «основа») — правильний
опуклий багатогранник, двадцятигранник, одне з
Платонових тіл. Кожна з 20 граней є рівностороннім
трикутником. Число ребер рівне 30, число вершин —
12.
Формули
 Площа S, об'єм V ікосаедра з довжиною ребра а, а також радіуси вписаної і
описаної куль обчислюються за формулами:
Многогранники

12. Декартові координати
Такі декартові координати визначають вершини ікосаедра з довжиною ребра
2 і центром в початку координат
(0, ±1, ±φ)
(±1, ±φ, 0)
(±φ, 0, ±1)
де φ = (1+√5)/2 є «золотим перетином». Зауважте, що ці набори вершин
формують взаємно відцентровані і взаємно ортогональні золоті
прямокутники.
Властивості
 Ікосаедр можна вписати в куб, при цьому, шість взаємно паралельних ребер ікосаедра будуть
розташовані відповідно на шести гранях куба, решта 24 ребра усередині куба, всі дванадцять вершин
ікосаедра лежатимуть на шести гранях куба
 В ікосаедр може бути вписаний тетраедр, притому, чотири вершини тетраедра будуть суміщено з
чотирма вершинамі ікосаедра.
 Ікосаедр можна вписати в додекаедр, притому вершини ікосаедра будуть суміщені з центрами граней
додекаедра.
 У ікосаедр можна вписати додекаедр, притому вершини додекаедра будуть суміщені з центрами граней
ікосаедра.
В фізичному світі
Многогранники

13. Історія правильних многогранників
 Перші згадки про многогранниках відомі ще за три тисячі років до нашої ери в Єгипті і Вавилоні
. Але теорія багатогранників є і сучасним розділом математики . Вона тісно пов'язана з
топологією , теорією графів , має велике значення як для теоретичних досліджень з геометрії ,
так і для практичних додатків в інших розділах математики , наприклад , в алгебрі , теорії
чисел , прикладної математики - лінійному програмуванні , теорії оптимального управління .
Багатогранники мають гарні форми , наприклад , правильні , напівправильні і зірчасті
багатогранники . Вони володіють багатою історією , яка пов'язана з іменами таких вчених , як
Піфагор , Евклід , Архімед . Багатогранники виділяються незвичайними властивостями ,
найяскравіше з яких формулюється в теоремі Ейлера про число граней , вершин і ребер
опуклого багатогранника : для будь-якого опуклого багатогранника справедливе
співвідношення Г + В- Р = 2, де Г -число граней , В- число вершин , Р-число ребер даного
багатогранника . Теорему Ейлера історики математики називають першою теоремою топології -
великого розділу сучасної математики .
З найдавніших часів наші уявлення про красу пов'язані з симетрією . Напевно , цим
пояснюється інтерес людини до багатогранників - дивовижним символам симетрії , що вабили
увагу видатних мислителів .
Історія правильних багатогранників йде в глибоку старовину. Правильними многогранниками
Піфагор та його учні . Їх вражала краса , досконалість , гармонія цих фігур . Піфагорійці
вважали правильні багатогранники божественними фігурами й використовували у своїх
філософських творах: першооснов буття - вогню , землі , повітрю , воді надавалася форма
відповідно тетраедра , куба , октаедра , ікосаедра , а весь Всесвіт мала форму додекаедра
. Пізніше вчення піфагорійців про правильні многогранниках виклав у своїх працях інший
давньогрецький вчений , філософ - ідеаліст Платон . З тих пір правильні багатогранники стали
називатися Платоновим тілами .
 Існує п'ять видів правильних багатогранників : тетраедр , гексаедр ( куб ), октаедр, додекаедр,
ікосаедр .
Многогранники

14. Чому правильні многограннкі отримали такі імена ? Це пов'язано з числом їх
граней. Тетраедр має 4 грані , в перекладі з грецького " тетра " - чотири , " едрон " -
грань . гексаедр (куб) має 6 граней, " гекса " - шість ; октаедр - восьмигранник , "
ОКТО " - вісім ; додекаедр - двенадцатигранник , " додека " - дванадцять ; ікосаедр має
20 граней , " Ікос " - двадцять.
Правильним многогранником називається багатогранник , у якого всі грані правильні
рівні багатокутники , і всі двогранні кути рівні . Але є й такі багатогранники , у яких
все багатогранні кути рівні , а грані - правильні , але різнойменні правильні
багатокутники . Багатогранники такого типу називаються Рівнокутна -
напівправильними многогранниками . Вперше багатогранники таке типу відкрив
Архімед . Їм докладно описані 13 багатогранників , які пізніше на честь великого
вченого були названі тілами Архімеда. Це усічений тетраедр , усічений оксаедр ,
усічений ікосаедр , усічений куб , усічений додекаедр , кубооктаедр , ікосододекаедр ,
усічений кубооктаедр усічений ікосододекаедр , ромбокубооктаедр ,
ромбоікосододекаедр , " Плосконос " ( кирпатий ) куб , " Плосконос " ( кирпатий )
додекаедр .
Крім напівправильні багатогранників з правильних багатогранників - Платонових тіл,
можна отримати так звані правильні зірчасті багатогранники . Їх усього чотири , вони
називаються також тілами Кеплера - Пуансо . Кеплер відкрив малий додекаедр ,
названий їм колючим або їжаком , і великий додекаедр . Пуансо відкрив два інших
правильних зірчастих багатогранника , двоїстих відповідно першим двом : великий
зірчастий додекаедр і великий ікосаедр .

Многогранники