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マッチングの仕組み

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3月20日(水)に浜松アクトタワーで担当する講義
・「マッチングの仕組み」(問題解決のためのオペレーションズ・リサーチ(OR)講座 第3回)
のスライド資料になります。
https://www.hamamatsusoft.com/members_news/00060/

Published in: Engineering
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マッチングの仕組み

  1. 1. マッチングの仕組み 問題解決のためのOR講座|第3回 安田洋祐 大阪大学 大学院経済学研究科 准教授 Eメール: yasuda@econ.osaka-u.ac.jp ウェブ: https://sites.google.com/site/yosukeyasuda/jp 2019年3月 1
  2. 2. 簡単な自己紹介 • 1980年 東京都生まれ • 2002年 東京大学経済学部卒業 (大内兵衛賞、経済学部卒業生総代) • 2007年 プリンストン大学Ph.D. • 2007年 政策研究大学院大学助教授 • 2014年 大阪大学経済学部准教授 • 研究領域 – 経済理論、ゲーム理論、インセンティブ設計 • 学術研究の傍らマスメディアを通した一 般向けの情報発信や、政府等での委員 活動にも積極的に取り組んでいる。 2019年3月 2安田洋祐|大阪大学
  3. 3. 著作など 2019年3月 3安田洋祐|大阪大学
  4. 4. TVメディア • レギュラー・準レギュラー – 関西テレビ 「報道ランナー」 – 読売テレビ 「情報ライブ ミヤネ屋」 – テレビ東京 「ワールドビジネスサテライト」 – フジテレビ 「とくダネ!」 ←2019年3月で卒業… • 特別番組など – NHK BS1 「欲望の資本主義」シリーズ – NHK 総合 「NHKスペシャル マネーワールド」 シリーズ – NHK Eテレ 「ニッポンのジレンマ」 – NHK Eテレ 「オイコノミア」 2019年3月 4安田洋祐|大阪大学
  5. 5. 講義の流れ 1. マッチング・マーケットデザイン 2. マッチング問題 – 万能メカニズムのカラクリとは? 3. 交換問題 – これで解決!最強の物々交換!! 4. 理論の拡張と更なる実践 ← 時間があれば 2019年3月 5安田洋祐|大阪大学
  6. 6. マッチング・マーケットデザイン ゲーム理論が創る制度の仕組み 2019年3月 6安田洋祐|大阪大学
  7. 7. 2012年のノーベル経済学賞 - ゲーム理論の実践=マーケットデザイン 2019年3月 7安田洋祐|大阪大学
  8. 8. マーケットデザイン = 制度設計 - 理論から実践へ! マーケットデザインとは? • ゲーム理論で得られた知見をいかして、現実の市場や制度 を修正・設計する新しい分野 – 「マーケット」はいわゆる市場よりも広い概念! • 理論だけでなく、実験やシミュレーションを通じて事前に実用 性の検証を行う ⇒ 工学的 • 経済学者の提案した新たな制度がそのまま現実に応用され 役にたっている ⇒ 実践的 → どんな実践例があるのかを見てみよう! 2019年3月 8安田洋祐|大阪大学
  9. 9. 代表的な実践例 - すでにたくさんの成功事例が! • オークション設計 – 周波数オークション – 国債の販売方法 – 検索連動型広告 • マッチングメカニズム – 研修医マッチング – 臓器交換メカニズム – 公立学校選択制 2019年3月 9安田洋祐|大阪大学
  10. 10. 代表的な実践例 - すでにたくさんの成功事例が! • 「お金・価格」 – 周波数オークション – 国債の販売方法 – 検索連動型広告 • 「相手・相性」 – 研修医マッチング – 臓器交換メカニズム – 公立学校選択制 2019年3月 10安田洋祐|大阪大学
  11. 11. Econ × CS × OR 2019年3月 11安田洋祐|大阪大学
  12. 12. マッチング問題 マッチングを制する者は人生を制す 2019年3月 12安田洋祐|大阪大学
  13. 13. マッチング問題とは何か? - ヒトとヒトとのマッチング • 人と人、人と組織をどう やってマッチさせるの がよいか? • 望ましいマッチングの 仕組みをゲーム理論を 使って分析! 2019年3月 13安田洋祐|大阪大学
  14. 14. 様々なマッチング問題 - 下に行くほどより複雑な問題に • 1対1(One-to-One) – 【結婚市場】男女のマッチング • 1対多(One-to-Many) – 【労働市場】労働者と企業のマッチング – 【学校選択・入試】生徒・学生と学校のマッチング • 多対多(Many-to-Many) – 【ビジネス】卸売と小売業者のマッチング 2019年3月 14安田洋祐|大阪大学
  15. 15. 具体的なマッチング問題 - 3対3の合コン(男女のマッチング) • 男性陣の好み • 女性陣の好み • できるだけお互いに好みの相手同士とマッチングさ せるにはどうすれば良いだろうか? 2019年3月 15 こうき だいき ともき 1位 るい るい あい 2位 ひとみ あい るい 3位 あい ひとみ ひとみ るい ひとみ あい 1位 ともき ともき だいき 2位 こうき こうき ともき 3位 だいき だいき こうき 安田洋祐|大阪大学
  16. 16. 非効率なマッチング - 適当(あいうえお順)で相手を決めると… • 男性陣の好み • 女性陣の好み • 【こうき-あい】と【だいき-ひとみ】は3位同士 • お互いのパートナーを入れ替えるとみんな幸せ 2019年3月 16 こうき だいき ともき 1位 るい るい あい 2位 ひとみ あい るい 3位 あい ひとみ ひとみ るい ひとみ あい 1位 ともき ともき だいき 2位 こうき こうき ともき 3位 だいき だいき こうき 安田洋祐|大阪大学
  17. 17. あきらかに損なマッチング結果に! - みんなの状態を改善させられる • 男性陣の好み • 女性陣の好み • 誰の満足も下げることなく4人の状態を改善! • もとの状態は「(パレート)非効率」だった… 2019年3月 17 こうき だいき ともき 1位 るい るい あい 2位 ひとみ あい るい 3位 あい ひとみ ひとみ るい ひとみ あい 1位 ともき ともき だいき 2位 こうき こうき ともき 3位 だいき だいき こうき 安田洋祐|大阪大学
  18. 18. 不安定なマッチング - 男性が順番に女性を選ぶ(逐次独裁者法) • 男性陣の好み • 女性陣の好み • 結果は必ずパレート効率的(ロスが生じない) • しかし【ともき-るい】に抜け駆けのインセンティブが… 2019年3月 18 こうき だいき ともき 1位 るい るい あい 2位 ひとみ あい るい 3位 あい ひとみ ひとみ るい ひとみ あい 1位 ともき ともき だいき 2位 こうき こうき ともき 3位 だいき だいき こうき 安田洋祐|大阪大学
  19. 19. ペアで“ブロック”することができる - 実はお互いの好みが反映されていなかった • 男性陣の好み • 女性陣の好み • 【ともき-るい】はお互いの状況を改善できる • もとの状態は「不安定」なマッチングだった… 2019年3月 19 こうき だいき ともき 1位 るい るい あい 2位 ひとみ あい るい 3位 あい ひとみ ひとみ るい ひとみ あい 1位 ともき ともき だいき 2位 こうき こうき ともき 3位 だいき だいき こうき ♡ 相 思 相 愛 ♡ 安田洋祐|大阪大学
  20. 20. 安定マッチングの理論 - その驚くべき性質とは? • 安定マッチング:「どんな個人やペアが逸脱してもその人(た ち)が得できないようなマッチング」 – すべての参加者にとって – マッチしたくない相手とは絶対にくっつかず – 自分がマッチできる可能性のある相手の中で最適なパー トナーとくっつける! • 安定マッチングの性質 – どんなマッチング問題でも常に1つは存在する – (すべての)安定マッチングはパレート効率的 – Gale-Shapley (GS) メカニズムによって見つかる 2019年3月 20安田洋祐|大阪大学
  21. 21. 2019年3月 21 ロスによる表 (Roth 2002, Econometrica) 安田洋祐|大阪大学
  22. 22. 安定マッチングの求め方 - (男性側から提案する)GSメカニズム 1. すべての参加者が好み(ランキング)を提出 2. 次の作業をマッチメイカーが機械的に行う 1. 男性が第一希望の女性に一斉にプロポーズ(告白) 2. 女性はその中で、自分の好みに一番近い人を選んで 「キープ」、残りの男性をリジェクト(拒否) 3. 男性はリジェクトされるたびにその次の好みの女性にプ ロポーズ 4. 女性は現状より好みの男性が来るたびにキープ相手を 乗り換えて、残りをリジェクト 3. ストップした段階でマッチング結果が確定! 2019年3月 22安田洋祐|大阪大学
  23. 23. 万能メカニズムのカラクリ ゼミやサークルの選択問題はこれで解決 2019年3月 23安田洋祐|大阪大学
  24. 24. GSメカニズムの使い方 - 第1ラウンド、男性のプロポーズ • 男性陣の好み • 女性陣の好み • こうきとだいきが同じ女性(るい)にプロポーズ • ともきはあいにプロポーズ 2019年3月 24 こうき だいき ともき 1位 るい るい あい 2位 ひとみ あい るい 3位 あい ひとみ ひとみ るい ひとみ あい 1位 ともき ともき だいき 2位 こうき こうき ともき 3位 だいき だいき こうき 安田洋祐|大阪大学
  25. 25. GSメカニズムの使い方 - 第1ラウンド、女性のリジェクト • 男性陣の好み • 女性陣の好み • るいはこうきをキープしてだいきをリジェクト • あいはともきをキープ 2019年3月 25 こうき だいき ともき 1位 るい るい あい 2位 ひとみ あい るい 3位 あい ひとみ ひとみ るい ひとみ あい 1位 ともき ともき だいき 2位 こうき こうき ともき 3位 だいき だいき こうき 安田洋祐|大阪大学
  26. 26. GSメカニズムの使い方 - 第2ラウンド、男性のプロポーズ • 男性陣の好み • 女性陣の好み • 第1ラウンドでリジェクトされただいきが第2希望のあいにプロ ポーズ 2019年3月 26 こうき だいき ともき 1位 るい るい あい 2位 ひとみ あい るい 3位 あい ひとみ ひとみ るい ひとみ あい 1位 ともき ともき だいき 2位 こうき こうき ともき 3位 だいき だいき こうき 安田洋祐|大阪大学
  27. 27. GSメカニズムの使い方 - 第2ラウンド、女性のリジェクト • 男性陣の好み • 女性陣の好み • あいはキープ相手をだいきに切り替えてともきをリジェクト 2019年3月 27 こうき だいき ともき 1位 るい るい あい 2位 ひとみ あい るい 3位 あい ひとみ ひとみ るい ひとみ あい 1位 ともき ともき だいき 2位 こうき こうき ともき 3位 だいき だいき こうき 安田洋祐|大阪大学
  28. 28. GSメカニズムの使い方 - 第3ラウンド、男性のプロポーズ • 男性陣の好み • 女性陣の好み • 第2ラウンドでリジェクトされたともきが第2希望のるいにプロ ポーズ 2019年3月 28 こうき だいき ともき 1位 るい るい あい 2位 ひとみ あい るい 3位 あい ひとみ ひとみ るい ひとみ あい 1位 ともき ともき だいき 2位 こうき こうき ともき 3位 だいき だいき こうき 安田洋祐|大阪大学
  29. 29. GSメカニズムの使い方 - 第3ラウンド、女性のリジェクト • 男性陣の好み • 女性陣の好み • るいはキープ相手をともきに切り替えてこうきをリジェクト 2019年3月 29 こうき だいき ともき 1位 るい るい あい 2位 ひとみ あい るい 3位 あい ひとみ ひとみ るい ひとみ あい 1位 ともき ともき だいき 2位 こうき こうき ともき 3位 だいき だいき こうき 安田洋祐|大阪大学
  30. 30. GSメカニズムの使い方 - 第4ラウンド、男性のプロポーズ • 男性陣の好み • 女性陣の好み • リジェクトされたこうきがひとみにプロポーズ • 新たにリジェクトが起こらずメカニズム終了! 2019年3月 30 こうき だいき ともき 1位 るい るい あい 2位 ひとみ あい るい 3位 あい ひとみ ひとみ るい ひとみ あい 1位 ともき ともき だいき 2位 こうき こうき ともき 3位 だいき だいき こうき 安田洋祐|大阪大学
  31. 31. GSメカニズムの性質 - 単純で役に立つ魔法のメカニズム • インセンティブ(情報取得)の問題 – 提案側は誰一人として嘘をついても得できない – 受入側は場合によっては嘘が得になる場合も… • 結果が安定マッチングになるようなどんなメカニズムを 考えても、嘘をつくインセンティブは残る • メカニズムの拡張 – アンマッチ(受入拒否)を許しても結果は安定に – 同順位がある場合には予めタイブレークが必要 – 1対多のマッチング問題にも簡単に拡張できる 2019年3月 31安田洋祐|大阪大学
  32. 32. GSメカニズムの注意点 - どちらがプロポーズするかはかなり重要 • 安定マッチングは一般には複数存在する – 今回の例では(たまたま)安定マッチングは一つ • 2通りのGSメカニズムが異なる結果を – 男性側提案 ⇒ 男性陣にとって最適な安定マッチング – 女性側提案 ⇒ 女性陣にとって最適な安定マッチング – 今回はどちらからプロポーズしても結果は同じ • 男性(女性)最適な安定マッチングとは? – 個々の男性(女性)が、安定マッチングで決まるパート ナーの中からベストの女性(男性)とマッチする 2019年3月 32安田洋祐|大阪大学
  33. 33. GSメカニズムの実践例 - ぜひいろんな場所で活用してみよう! • すでに実施されている採用例 – 研修医マッチング(日本、米国、英国) – 法曹の実務研修(カナダ) – 公立学校選択制(ニューヨーク市、ボストン市) – 早稲田の内部進学(高校→大学) – 東大の学部・学科決定(「進振り」制度) • これから使えそうな応用例 – ゼミ・研究室・学科配属 – 新入社員と希望配属部署のマッチ – 保育所の割り当て(「やさしい経済学」の記事参照) 2019年3月 33安田洋祐|大阪大学
  34. 34. 交換問題 お金を使わなくてもみんなが幸せになる方法 2019年3月 34安田洋祐|大阪大学
  35. 35. 交換問題とは何か? - モノとモノの交換 • 参加者が持っているモ ノをどうやって交換すべ きか? • 望ましい交換の仕組み をゲーム理論を使って 分析! 2019年3月 35安田洋祐|大阪大学
  36. 36. 具体的な交換問題 - 5人で商品を(1人ひとつずつ)交換 • 各参加者の好み • できるだけ各人が希望の商品をゲットできるように 交換するにはどうすればよいか? 2019年3月 36 A B C D E 1位 B B E C D 2位 C E D D A 3位 A A C E E 4位 E D B A C 5位 D C A B B 安田洋祐|大阪大学
  37. 37. 非効率な交換 - 適当に(次の人と商品を)交換すると… • 各参加者の好み • Bは第5希望のCを、Dは第3希望のEをもらう • お互いの商品を交換することで順位が上がる 2019年3月 37 A B C D E 1位 B B E C D 2位 C E D D A 3位 A A C E E 4位 E D B A C 5位 D C A B B 安田洋祐|大阪大学
  38. 38. あきらかに損な交換結果に! - BとDの状態を改善できる • 各参加者の好み • 誰の満足も下げることなくBとDの状態を改善! • もとの状態は「パレート非効率」だった… 2019年3月 38 A B C D E 1位 B B E C D 2位 C E D D A 3位 A A C E E 4位 E D B A C 5位 D C A B B 安田洋祐|大阪大学
  39. 39. 現状よりも損してしまう交換 - 順番に欲しい商品を選ぶ(逐次独裁者法) • 各参加者の好み • 結果は必ず効率的に(パレート改善できない) • Bは自分の商品よりも悪いEを受け取ることに 2019年3月 39 A B C D E 1位 B B E C D 2位 C E D D A 3位 A A C E E 4位 E D B A C 5位 D C A B B 安田洋祐|大阪大学
  40. 40. 交換結果を個人で“ブロック”できる - 交換に参加することで損をする人が発生 • 各参加者の好み • Bは交換結果に従わない方が望ましい • もとの状態は「個人合理性」を満たさない 2019年3月 40 A B C D E 1位 B B E C D 2位 C E D D A 3位 A A C E E 4位 E D B A C 5位 D C A B B 安田洋祐|大阪大学
  41. 41. (強)コアの理論 - その驚くべき性質とは? • コアとは「どんなグループ(や個人)によってもブロックされな いような配分」 – 自分たちのグループだけで商品を配分しても得しない – すべての参加者にとって、自分が手に入れることのできる 中で最高の商品をもらうことができる! • コア配分の性質 – どんな交換問題にも常に1つだけ存在する – 強コアは必ずパレート効率的かつ個人合理的 – Top Trading Cycles (TTC) メカニズムで発見可能 2019年3月 41安田洋祐|大阪大学
  42. 42. 最強の物々交換 明日からすぐに使える生活の知恵 2019年3月 42安田洋祐|大阪大学
  43. 43. コア配分の簡単な求め方 - TTCメカニズム 1. すべての参加者が好み(ランキング)を提出 2. 次の作業をマッチメイカーが機械的に行う 1. 各参加者が第1希望(の所有者)を一斉に指差す 2. サイクルができたグループは、各人が指を指した商品を 受け取るように交換してメカニズムから退出 3. 残った参加者たちで残りの商品の中から第1希望(の所 有者)を一斉に指差す 4. 全員が退出するまでこの作業を続ける 3. 退出した参加者から順に交換配分が決定! 2019年3月 43安田洋祐|大阪大学
  44. 44. TTCメカニズムの使い方 - 各人が第1希望を指さす 2019年3月 44 A C B D E 安田洋祐|大阪大学
  45. 45. TTCメカニズムの使い方 - サイクルが出来たグループは交換成立! 2019年3月 45 A C B D E 安田洋祐|大阪大学
  46. 46. TTCメカニズムの使い方 - 第2ラウンドでAが自分自身を差して終了 • 結果はパレート効率的かつ個人合理的に! • しかも参加者は嘘をついても絶対に得できない – 正しい情報を引き出すことができる! 2019年3月 46 A B C D E 1位 B B E C D 2位 C E D D A 3位 A A C E E 4位 E D B A C 5位 D C A B B 安田洋祐|大阪大学
  47. 47. TTCメカニズムの拡張 - 単なる交換以外にも使えるように • モノを(最初に)持っていない参加者がいてもOK – 誰も持っていない場合 → (ランダム化)逐次独裁法 – ヒトは自分の欲しいモノを、モノは持ち主を指す – 持ち主不在のモノは優先順位に従ってヒトを指す • この方法でも必ず一つはサイクルが発生する! • モノによって優先順位が与えられていてもOK – ヒトは選好順位に従ってベストのモノを指す – モノは優先順位に従ってベストのヒトを指す – (ただし、モノにとって持ち主は常に一番) 2019年3月 47安田洋祐|大阪大学
  48. 48. TTCメカニズムの実践例 - ぜひいろんな場所で活用してみよう! • すでにアイデアが生かされている例 – 臓器交換メカニズム(米国東部) – 公立学校選択制(サンフランシスコ市?) • これから使えそうな応用例 – 教室やオフィスでの席替え – 古着や本などの交換(プレゼント交換?) • 避難所の救援物資の再配分 – 職場での出勤シフト/休暇の調整 • スケジューリング問題 2019年3月 48安田洋祐|大阪大学
  49. 49. 理論の拡張と更なる実践 現実への実践と理論の発展が車の両輪 2019年3月 49安田洋祐|大阪大学
  50. 50. 選好の一般化 • 集合に対する選好 – 生徒(One側)が個々の学校(Many側)ではなく、 学校の集合に対して選好を持つ場合 – 「代替的」な選好を持つかどうかが鍵 • 外部性 – 学校の利得が、自分の生徒たちだけでなく他の 学校のマッチング結果にも左右される – 生徒の利得が、自分と同じ学校にいる他の生徒 たちから影響を受ける 2019年3月 安田洋祐|大阪大学 50
  51. 51. S’ s S” S’でも選ばれない S”から選ばれない “代替的”(Substitutable)な選好 2019年3月 安田洋祐|大阪大学 51 少ない応募者の中からもれた人 は募集者が増えると必ずもれる
  52. 52. S’ s S” S’から選ばれる S”では選ばれない s’ この2人に補完性 (Complementarity) がある! 代替性が満たされないと… 2019年3月 安田洋祐|大阪大学 52
  53. 53. 配分制約 • 各学校に対する下限制約 – 定員(上限制約)と違って扱いが難しい • アファーマティブ・アクション – ある属性の生徒の数や割合に制限 • 各地域ごとの上限/下限制約 – 日本でも地方の研修医不足への対策が 2019年3月 安田洋祐|大阪大学 53
  54. 54. 事前の効率性 • 「A > B > C」という共通の選好順位を持つ • 各学校に行きたい好みの強さが異なる 2019年3月 安田洋祐|大阪大学 54 学校A 学校B 学校C 生徒1 4 1 0 生徒2 4 1 0 生徒3 3 2 0
  55. 55. GSアルゴリズムの結果 • 全員が同じランキングを提出 – 割り当てはランダムに • ランダムな配分における生徒の期待効用 – 生徒1,2: 4×1/3 + 1×1/3 = 5/3 – 生徒3: 3×1/3 + 2×1/3 = 5/3 2019年3月 安田洋祐|大阪大学 55 学校A 学校B 学校C 生徒1 1/3 1/3 1/3 生徒2 1/3 1/3 1/3 生徒3 1/3 1/3 1/3
  56. 56. Bostonをプレイした場合の結果 • Bostonメカニズムでの生徒の期待効用 – 生徒1,2: 4×1/2 + 0×1/2 = 2 – 生徒3: 2×1 = 2 2019年3月 安田洋祐|大阪大学 56 学校A 学校B 学校C 生徒1 1/2 0 1/2 生徒2 1/2 0 1/2 生徒3 0 1 0
  57. 57. その他の拡張 • ペア数 – 安定マッチングは成立ペア数を減らす危険性 • 広い意味でのインセンティブ問題 – 選好形成のためのサーチコスト:就活 – 優先順位形成のための投資:保活 – ハード/ソフトな制約:ナース配属 – 学校側の選択:中国の大学入試 2019年3月 安田洋祐|大阪大学 57
  58. 58. 安定性 vs. ペア数 • 2人の医者と2人の患者 (P2: 貧しい患者) • 唯一の安定マッチング: D1-P1 (D2, P2 single) • パレート効率的な代替配分: D1-P2, D2-P1 => マッチング不成立だとP2は命を落とすかもしれない… Agent D1 D2 P1 P2 1st P1 P1 D1 D1 2nd P2 - D2 D2 58
  59. 59. 参考文献 - マッチング理論について学べる邦書 2019年3月 59安田洋祐|大阪大学
  60. 60. 関連記事 • 「市場で再分配が可能」という前提を疑え – http://business.nikkeibp.co.jp/atcl/report/15/110879/032900296/ • 次なる資本主義を訪ねて:マクロ編 – https://note.mu/yagena/n/n8721fec86acf • 次なる資本主義を訪ねて:ミクロ編 – https://note.mu/yagena/n/nfdc376b85b4e • マッチング理論に何ができるか<前編> – https://note.mu/yagena/n/nf9c9b87ce4a2 • マッチング理論に何ができるか<後編> – https://note.mu/yagena/n/n26475f9a23ef • ノーベル経済学賞って何だろう? – https://note.mu/yagena/n/nb4119b82726d 2019年3月 安田洋祐|大阪大学 60

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