マッチングの仕組み

マッチングの仕組み
問題解決のためのOR講座｜第3回
安田洋祐
大阪大学大学院経済学研究科准教授
Eメール: yasuda@econ.osaka-u.ac.jp
ウェブ: https://sites.google.com/site/yosukeyasuda/jp
2019年3月 1

簡単な自己紹介
• 1980年東京都生まれ
• 2002年東京大学経済学部卒業
（大内兵衛賞、経済学部卒業生総代）
• 2007年プリンストン大学Ph.D.
• 2007年政策研究大学院大学助教授
• 2014年大阪大学経済学部准教授
• 研究領域
– 経済理論、ゲーム理論、インセンティブ設計
• 学術研究の傍らマスメディアを通した一
般向けの情報発信や、政府等での委員
活動にも積極的に取り組んでいる。
2019年3月 2安田洋祐｜大阪大学

著作など

TVメディア
• レギュラー・準レギュラー
– 関西テレビ「報道ランナー」
– 読売テレビ「情報ライブミヤネ屋」
– テレビ東京「ワールドビジネスサテライト」
– フジテレビ「とくダネ！」 ←2019年3月で卒業…
• 特別番組など
– NHK BS1 「欲望の資本主義」シリーズ
– NHK 総合「NHKスペシャルマネーワールド」シリーズ
– NHK Eテレ「ニッポンのジレンマ」
– NHK Eテレ「オイコノミア」

講義の流れ
1. マッチング・マーケットデザイン
2. マッチング問題
– 万能メカニズムのカラクリとは？
3. 交換問題
– これで解決！最強の物々交換！！
4. 理論の拡張と更なる実践 ← 時間があれば

マッチング・マーケットデザイン
ゲーム理論が創る制度の仕組み

2012年のノーベル経済学賞
- ゲーム理論の実践＝マーケットデザイン

マーケットデザイン = 制度設計
- 理論から実践へ！
マーケットデザインとは？
• ゲーム理論で得られた知見をいかして、現実の市場や制度
を修正・設計する新しい分野
– 「マーケット」はいわゆる市場よりも広い概念！
• 理論だけでなく、実験やシミュレーションを通じて事前に実用
性の検証を行う ⇒ 工学的
• 経済学者の提案した新たな制度がそのまま現実に応用され
役にたっている ⇒ 実践的
→ どんな実践例があるのかを見てみよう！

代表的な実践例
- すでにたくさんの成功事例が！
• オークション設計
– 周波数オークション
– 国債の販売方法
– 検索連動型広告
• マッチングメカニズム
– 研修医マッチング
– 臓器交換メカニズム
– 公立学校選択制

代表的な実践例
- すでにたくさんの成功事例が！
• 「お金・価格」
– 周波数オークション
– 国債の販売方法
– 検索連動型広告
• 「相手・相性」
– 研修医マッチング
– 臓器交換メカニズム
– 公立学校選択制

Econ × CS × OR

マッチング問題
マッチングを制する者は人生を制す

マッチング問題とは何か？
- ヒトとヒトとのマッチング
• 人と人、人と組織をどう
やってマッチさせるの
がよいか？
• 望ましいマッチングの
仕組みをゲーム理論を
使って分析！

様々なマッチング問題
- 下に行くほどより複雑な問題に
• 1対1（One-to-One）
– 【結婚市場】男女のマッチング
• 1対多（One-to-Many）
– 【労働市場】労働者と企業のマッチング
– 【学校選択・入試】生徒・学生と学校のマッチング
• 多対多（Many-to-Many）
– 【ビジネス】卸売と小売業者のマッチング

具体的なマッチング問題
- 3対3の合コン（男女のマッチング）
• 男性陣の好み • 女性陣の好み
• できるだけお互いに好みの相手同士とマッチングさ
せるにはどうすれば良いだろうか？
2019年3月 15
こうきだいきともき
1位るいるいあい
2位ひとみあいるい
3位あいひとみひとみ
るいひとみあい
1位ともきともきだいき
2位こうきこうきともき
3位だいきだいきこうき
安田洋祐｜大阪大学

非効率なマッチング
- 適当（あいうえお順）で相手を決めると…
• 【こうき－あい】と【だいき－ひとみ】は3位同士
• お互いのパートナーを入れ替えるとみんな幸せ
2019年3月 16

あきらかに損なマッチング結果に！
- みんなの状態を改善させられる
• 誰の満足も下げることなく4人の状態を改善！
• もとの状態は「（パレート）非効率」だった…
2019年3月 17

不安定なマッチング
- 男性が順番に女性を選ぶ（逐次独裁者法）
• 結果は必ずパレート効率的（ロスが生じない）
• しかし【ともき－るい】に抜け駆けのインセンティブが…
2019年3月 18

ペアで“ブロック”することができる
- 実はお互いの好みが反映されていなかった
• 【ともき－るい】はお互いの状況を改善できる
• もとの状態は「不安定」なマッチングだった…
2019年3月 19
♡
相
思
相
愛
♡

安定マッチングの理論
- その驚くべき性質とは？
• 安定マッチング：「どんな個人やペアが逸脱してもその人（た
ち）が得できないようなマッチング」
– すべての参加者にとって
– マッチしたくない相手とは絶対にくっつかず
– 自分がマッチできる可能性のある相手の中で最適なパー
トナーとくっつける！
• 安定マッチングの性質
– どんなマッチング問題でも常に1つは存在する
– （すべての）安定マッチングはパレート効率的
– Gale-Shapley (GS) メカニズムによって見つかる

2019年3月 21
ロスによる表 (Roth 2002, Econometrica)

安定マッチングの求め方
- （男性側から提案する）GSメカニズム
1. すべての参加者が好み（ランキング）を提出
2. 次の作業をマッチメイカーが機械的に行う
1. 男性が第一希望の女性に一斉にプロポーズ（告白）
2. 女性はその中で、自分の好みに一番近い人を選んで
「キープ」、残りの男性をリジェクト（拒否）
3. 男性はリジェクトされるたびにその次の好みの女性にプ
ロポーズ
4. 女性は現状より好みの男性が来るたびにキープ相手を
乗り換えて、残りをリジェクト
3. ストップした段階でマッチング結果が確定！

万能メカニズムのカラクリ
ゼミやサークルの選択問題はこれで解決

GSメカニズムの使い方
- 第1ラウンド、男性のプロポーズ
• こうきとだいきが同じ女性（るい）にプロポーズ
• ともきはあいにプロポーズ
2019年3月 24

- 第1ラウンド、女性のリジェクト
• るいはこうきをキープしてだいきをリジェクト
• あいはともきをキープ
2019年3月 25

• 第1ラウンドでリジェクトされただいきが第2希望のあいにプロ
ポーズ
2019年3月 26

• あいはキープ相手をだいきに切り替えてともきをリジェクト
2019年3月 27

• 第2ラウンドでリジェクトされたともきが第2希望のるいにプロ
ポーズ
2019年3月 28

• るいはキープ相手をともきに切り替えてこうきをリジェクト
2019年3月 29

• リジェクトされたこうきがひとみにプロポーズ
• 新たにリジェクトが起こらずメカニズム終了！
2019年3月 30

GSメカニズムの性質
- 単純で役に立つ魔法のメカニズム
• インセンティブ（情報取得）の問題
– 提案側は誰一人として嘘をついても得できない
– 受入側は場合によっては嘘が得になる場合も…
• 結果が安定マッチングになるようなどんなメカニズムを
考えても、嘘をつくインセンティブは残る
• メカニズムの拡張
– アンマッチ（受入拒否）を許しても結果は安定に
– 同順位がある場合には予めタイブレークが必要
– 1対多のマッチング問題にも簡単に拡張できる

GSメカニズムの注意点
- どちらがプロポーズするかはかなり重要
• 安定マッチングは一般には複数存在する
– 今回の例では（たまたま）安定マッチングは一つ
• 2通りのGSメカニズムが異なる結果を
– 男性側提案 ⇒ 男性陣にとって最適な安定マッチング
– 女性側提案 ⇒ 女性陣にとって最適な安定マッチング
– 今回はどちらからプロポーズしても結果は同じ
• 男性（女性）最適な安定マッチングとは？
– 個々の男性（女性）が、安定マッチングで決まるパート
ナーの中からベストの女性（男性）とマッチする

GSメカニズムの実践例
- ぜひいろんな場所で活用してみよう！
• すでに実施されている採用例
– 研修医マッチング（日本、米国、英国）
– 法曹の実務研修（カナダ）
– 公立学校選択制（ニューヨーク市、ボストン市）
– 早稲田の内部進学（高校→大学）
– 東大の学部・学科決定（「進振り」制度）
• これから使えそうな応用例
– ゼミ・研究室・学科配属
– 新入社員と希望配属部署のマッチ
– 保育所の割り当て（「やさしい経済学」の記事参照）

交換問題
お金を使わなくてもみんなが幸せになる方法

交換問題とは何か？
- モノとモノの交換
• 参加者が持っているモ
ノをどうやって交換すべ
きか？
• 望ましい交換の仕組み
をゲーム理論を使って
分析！

具体的な交換問題
- 5人で商品を（1人ひとつずつ）交換
• 各参加者の好み
• できるだけ各人が希望の商品をゲットできるように
交換するにはどうすればよいか？
2019年3月 36
A B C D E
1位 B B E C D
2位 C E D D A
3位 A A C E E
4位 E D B A C
5位 D C A B B

非効率な交換
- 適当に（次の人と商品を）交換すると…
• Bは第5希望のCを、Dは第3希望のEをもらう
• お互いの商品を交換することで順位が上がる
2019年3月 37
A B C D E
1位 B B E C D
2位 C E D D A
3位 A A C E E
4位 E D B A C
5位 D C A B B

あきらかに損な交換結果に！
- BとDの状態を改善できる
• 誰の満足も下げることなくBとDの状態を改善！
• もとの状態は「パレート非効率」だった…
2019年3月 38
A B C D E
1位 B B E C D
2位 C E D D A
3位 A A C E E
4位 E D B A C
5位 D C A B B

現状よりも損してしまう交換
- 順番に欲しい商品を選ぶ（逐次独裁者法）
• 結果は必ず効率的に（パレート改善できない）
• Bは自分の商品よりも悪いEを受け取ることに
2019年3月 39
A B C D E
1位 B B E C D
2位 C E D D A
3位 A A C E E
4位 E D B A C
5位 D C A B B

交換結果を個人で“ブロック”できる
- 交換に参加することで損をする人が発生
• Bは交換結果に従わない方が望ましい
• もとの状態は「個人合理性」を満たさない
2019年3月 40
A B C D E
1位 B B E C D
2位 C E D D A
3位 A A C E E
4位 E D B A C
5位 D C A B B

（強）コアの理論
- その驚くべき性質とは？
• コアとは「どんなグループ（や個人）によってもブロックされな
いような配分」
– 自分たちのグループだけで商品を配分しても得しない
– すべての参加者にとって、自分が手に入れることのできる
中で最高の商品をもらうことができる！
• コア配分の性質
– どんな交換問題にも常に1つだけ存在する
– 強コアは必ずパレート効率的かつ個人合理的
– Top Trading Cycles (TTC) メカニズムで発見可能

最強の物々交換
明日からすぐに使える生活の知恵

コア配分の簡単な求め方
- TTCメカニズム
1. すべての参加者が好み（ランキング）を提出
2. 次の作業をマッチメイカーが機械的に行う
1. 各参加者が第1希望（の所有者）を一斉に指差す
2. サイクルができたグループは、各人が指を指した商品を
受け取るように交換してメカニズムから退出
3. 残った参加者たちで残りの商品の中から第1希望（の所
有者）を一斉に指差す
4. 全員が退出するまでこの作業を続ける
3. 退出した参加者から順に交換配分が決定！

TTCメカニズムの使い方
- 各人が第1希望を指さす
2019年3月 44
A
C
B
D
E

- サイクルが出来たグループは交換成立！
2019年3月 45
A
C
B
D
E

- 第2ラウンドでAが自分自身を差して終了
• 結果はパレート効率的かつ個人合理的に！
• しかも参加者は嘘をついても絶対に得できない
– 正しい情報を引き出すことができる！
2019年3月 46
A B C D E
1位 B B E C D
2位 C E D D A
3位 A A C E E
4位 E D B A C
5位 D C A B B

TTCメカニズムの拡張
- 単なる交換以外にも使えるように
• モノを（最初に）持っていない参加者がいてもOK
– 誰も持っていない場合 → （ランダム化）逐次独裁法
– ヒトは自分の欲しいモノを、モノは持ち主を指す
– 持ち主不在のモノは優先順位に従ってヒトを指す
• この方法でも必ず一つはサイクルが発生する！
• モノによって優先順位が与えられていてもOK
– ヒトは選好順位に従ってベストのモノを指す
– モノは優先順位に従ってベストのヒトを指す
– （ただし、モノにとって持ち主は常に一番）

TTCメカニズムの実践例
- ぜひいろんな場所で活用してみよう！
• すでにアイデアが生かされている例
– 臓器交換メカニズム（米国東部）
– 公立学校選択制（サンフランシスコ市？）
• これから使えそうな応用例
– 教室やオフィスでの席替え
– 古着や本などの交換（プレゼント交換？）
• 避難所の救援物資の再配分
– 職場での出勤シフト／休暇の調整
• スケジューリング問題

理論の拡張と更なる実践
現実への実践と理論の発展が車の両輪

選好の一般化
• 集合に対する選好
– 生徒（One側）が個々の学校（Many側）ではなく、
学校の集合に対して選好を持つ場合
– 「代替的」な選好を持つかどうかが鍵
• 外部性
– 学校の利得が、自分の生徒たちだけでなく他の
学校のマッチング結果にも左右される
– 生徒の利得が、自分と同じ学校にいる他の生徒
たちから影響を受ける
2019年3月安田洋祐｜大阪大学 50

S’
s
S”
S’でも選ばれない
S”から選ばれない
“代替的”（Substitutable）な選好
少ない応募者の中からもれた人
は募集者が増えると必ずもれる

S’
s
S”
S’から選ばれる
S”では選ばれない
s’
この２人に補完性
（Complementarity）
がある！
代替性が満たされないと…

配分制約
• 各学校に対する下限制約
– 定員（上限制約）と違って扱いが難しい
• アファーマティブ・アクション
– ある属性の生徒の数や割合に制限
• 各地域ごとの上限／下限制約
– 日本でも地方の研修医不足への対策が

事前の効率性
• 「A > B > C」という共通の選好順位を持つ
• 各学校に行きたい好みの強さが異なる
学校A 学校B 学校C
生徒1 4 1 0
生徒2 4 1 0
生徒3 3 2 0

GSアルゴリズムの結果
• 全員が同じランキングを提出 – 割り当てはランダムに
• ランダムな配分における生徒の期待効用
– 生徒1，2： 4×1/3 + 1×1/3 = 5/3
– 生徒3： 3×1/3 + 2×1/3 = 5/3
生徒1 1/3 1/3 1/3
生徒2 1/3 1/3 1/3
生徒3 1/3 1/3 1/3

Bostonをプレイした場合の結果
• Bostonメカニズムでの生徒の期待効用
– 生徒1，2： 4×1/2 + 0×1/2 = 2
– 生徒3： 2×1 = 2
生徒1 1/2 0 1/2
生徒2 1/2 0 1/2
生徒3 0 1 0

その他の拡張
• ペア数
– 安定マッチングは成立ペア数を減らす危険性
• 広い意味でのインセンティブ問題
– 選好形成のためのサーチコスト：就活
– 優先順位形成のための投資：保活
– ハード／ソフトな制約：ナース配属
– 学校側の選択：中国の大学入試

安定性 vs. ペア数
• 2人の医者と2人の患者（P2: 貧しい患者）
• 唯一の安定マッチング: D1-P1 (D2, P2 single)
• パレート効率的な代替配分: D1-P2, D2-P1
=> マッチング不成立だとP2は命を落とすかもしれない…
Agent D1 D2 P1 P2
1st
P1 P1 D1 D1
2nd
P2 - D2 D2
58

参考文献
- マッチング理論について学べる邦書

関連記事
• 「市場で再分配が可能」という前提を疑え
– http://business.nikkeibp.co.jp/atcl/report/15/110879/032900296/
• 次なる資本主義を訪ねて：マクロ編
– https://note.mu/yagena/n/n8721fec86acf
• 次なる資本主義を訪ねて：ミクロ編
– https://note.mu/yagena/n/nfdc376b85b4e
• マッチング理論に何ができるか＜前編＞
– https://note.mu/yagena/n/nf9c9b87ce4a2
• マッチング理論に何ができるか＜後編＞
– https://note.mu/yagena/n/n26475f9a23ef
• ノーベル経済学賞って何だろう？
– https://note.mu/yagena/n/nb4119b82726d

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