invers suatu matriks trigonometri

1. INVERS SUATU MATRIKS
Kelompok 1
1. Elvina Damayanti (2184202005)
2. Wahyu Setyo Utomo (2184202011)
3. Rotmawati (2184202012)
4. Anggi Destri Kinanti (2184202017)
5. Risvika Asma Nadia (2184202028)
6. Rhegina Marlova Sari (2184202030)
Dosen Pengampu : Rahmat Jumri, M.Pd.

2. Jika A adalah matriks bujur sangkar dan jika dapat mencari matriks B, sehingga
AB = BA = I, maka Adapat dikbalik (invertibel) dan B dinamakan invers dari A.
Jika matriks B tidak dapat didefinisikan, maka A dinyatakan sebagai matriks
singular. Dapat ditunjukkan dengan A-1.
Contoh persyaratan pembuktian invers:
Matriks 𝐵 =
3 5
1 2
adalah invers dari 𝐴 =
2 −5
−1 3
Karena
AB =
2 −5
−1 3
3 5
1 2
=
1 0
0 1
= I
Dan BA =
3 5
1 2
2 −5
−1 3
=
1 0
0 1
= I
Pengertian Invers Suatu Matriks
01

3. Sifat-Sifat invers matriks
1. Jika matriks B maupun C adalah invers dari matriks A, maka B=C
Bukti:
Karena B adalah invers dari A, maka BA=I, dengan mengalikan kedua ruas di sisi kanannya
dengan C diperoleh (BA)C = IC = C. Tetapi (BA)C = B(AC) = BI = B, ssehingga C = B.
2. Jika A dan B adalah matriks-matriks yang dapat dibalik dan ukurannya sama, maka:
AB dapat dibalik
(AB)-1 = A-1 B-1
3. Jika A adalah matriks bujur sangkar, sedangkan r dan s adalah bilangan bulat, maka:
Ar As = Ar+s dan (Ar)s = Ars
4. Jika A adalah matriks yang dapat dibalik (invertible), maka:
a) A-1 dapat dibalik dan (A-1)-1 = A
b) Jika k ≠ 0, maka kA mempunyai kebalikan dan (kA)-1 =
1
𝑘
A-1
c) An dapat dibalik dan (An)-1 = (A-1)n, untuk n = 0, 1, 2,...,n.
02

4. Mencari invers suatu matriks
03
Suatu matriks persegi memiliki invers, dimana invers matriks adalah kebalikan dari matriks tersebut.
Jika suatu matriks A memiliki invers matriks ditulis A-1 maka hasil perkalian antara matriks A dengan
inversnya akan menghasilkan matriks identitas.
A.A-1 = I
Berlaku pula jika A.B = C maka:
A = C.B-1 atau B = A-1 .C
Langkah -langkah menentukan invers matriks ordo 2x2:
Jika terdapat matriks A =
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
berordo 2x2 maka invers dari matriks A adalah :
A-1 =
1
det 𝐴
adjoin A
A-1 =
1
𝑎𝑑−𝑏𝑐
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
A-1 =
𝑑
𝑎𝑑−𝑏𝑐
−𝑏
𝑎𝑑−𝑏𝑐
−𝑐
𝑎𝑑−𝑏𝑐
𝑎
𝑎𝑑−𝑏𝑐

5. Metode Counter untuk Mencari Invers suatu Matriks
Metode counter merupakan salah satu cara yang dapat digunakan untuk mencari invers suatu
matriks invertible. Cara ini didasarkan atas transformasi elementer terhadap baris dari matriks
yang akan dicari. Sehingga disebut pula sebagai transformasi elementer. Langkah-langkahnya
sebagai berikut:
a). Posisikan A dan matriks identitas (I) sebagai berikut : [𝐼 A
b). Reduksi matriks A menjadi matriks identitas (I) dengan operasi baris elementer sehingga
operasi tersebut membalik ruas kanan menjadi A-1. Matriks akhir yang diperoleh harus berbentuk
[𝐼 A-1 ].
Contoh :
1. Tinjaulah matriks A =
1 2
1 3
, kemudian carilah inversnya!
04

6. Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear dengan
Invers Matriks
Teorema I
Jika A adalah matriks n × n yang dapat dibalik, maka untuk setiap matriks B
berurutan n × 1, system persamaan AX = B mempunyai -1B.
Bukti :
AX = B {kalikan kedua ruas dari kiri dengan A-1}
↔ A-1.A.X = A-1.B
↔ I.X = A-1.B
↔ X = A-1.B (terbukti)
Contoh :
Selesaikan sistem berikut dengan menggunakan teorema 1!
X1 + 2X2 + 3X3 = 4
2X1 + 5X2 + 3X3= 5
X1 + 8X3 = 9
05

7. Mencari Invers suatu Matriks dengan Matriks Partisi
06
Misalkan terdapat suatu matriks kuadrat dengan n baris dan n kolom, yaitu matriks A,
A =
𝑃 𝑄
𝑅 𝑆
Jadi,
A suatu matriks dengan s baris dan s kolom
P sub-matriks dengan s baris dan s kolom
Q sub-matriks dengan s baris dan m kolom
R sub-matriks dengan m baris dan s kolom
S sub-matriks dengan m baris dan m kolom

8. Misalkan bahwa invers A yaitu A-1 merupakan matriks partisi sebagai berikut:
A-1 =
𝐸 𝐹
𝐺 𝐻
Dimana,
A-1 suatu matriks partisi dengan :
E sub-matriks dengan s baris dan s kolom
F sub-matriks dengan s baris dan m kolom
G sub-matriks dengan m baris dan s kolom
H sub-matriks dengan m baris dan m kolom
Contoh :
Carilah invers matriks A di bawah ini dengan menggunakan partisi matriks.
A =
1 2 3
1 3 5
1 5 12

9. TERIMA
KASIH