1. CHUYÊN ð :”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”
L I NÓI ð U
Ngày nay phép tính vi tích phân chi m m t v trí h t s c quan tr ng trong Toán h c,
tích phân ñư c ng d ng r ng rãi như ñ tính di n tích hình ph ng, th tích kh i tròn xoay,
nó còn là ñ i tư ng nghiên c u c a gi i tích, là n n t ng cho lý thuy t hàm, lý thuy t
phương trình vi phân, phương trình ñ o hàm riêng...Ngoài ra phép tính tích phân còn ñư c
ng d ng r ng rãi trong Xác su t, Th ng kê, V t lý, Cơ h c, Thiên văn h c, y h c...
Phép tính tích phân ñư c b t ñ u gi i thi u cho các em h c sinh
l p 12, ti p theo
ñư c ph bi n trong t t c các trư ng ð i h c cho kh i sinh viên năm th nh t và năm th
hai trong chương trình h c ð i cương. Hơn n a trong các kỳ thi T t nghi p THPT và kỳ
thi Tuy n sinh ð i h c phép tính tích phân h u như luôn có trong các ñ thi môn Toán c a
kh i A, kh i B và c kh i D. Bên c nh ñó, phép tính tích phân cũng là m t trong nh ng
n i dung ñ thi tuy n sinh ñ u vào h Th c sĩ và nghiên c u sinh.
V i t m quan tr ng c a phép tính tích phân, chính vì th mà tôi vi t m t s kinh
nghi m gi ng d y tính tích phân c a kh i 12 v i chuyên ñ “TÍNH TÍCH PHÂN
B NG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH - ð I BI N S
VÀ T NG PH N” ñ
ph n nào c ng c , nâng cao cho các em h c sinh kh i 12 ñ các em ñ t k t qu cao trong
kỳ thi T t nghi p THPT và kỳ thi Tuy n sinh ð i h c và giúp cho các em có n n t ng
trong nh ng năm h c ð i cương c a ð i h c.
Trong ph n n i dung chuyên ñ dư i ñây, tôi xin ñư c nêu ra m t s bài t p minh
h a cơ b n tính tích phân ch y u áp d ng phương pháp phân tích, phương pháp ñ i bi n s ,
phương pháp tích phân t ng ph n. Các bài t p ñ ngh là các ñ thi T t nghi p THPT và ñ
thi tuy n sinh ð i h c Cao ñ ng c a các năm ñ các em h c sinh rèn luy n k năng tính tích
phân và ph n cu i c a chuyên ñ là m t s câu h i tr c nghi m tích phân.

2. CHUYÊN ð :”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”
M CL C
L i nói ñ u
1
M cl c
2
I.
Nguyên hàm:
I.1.
ð nh nghĩa nguyên hàm
3
I.2.
ð nh lý
3
I.3.
Các tính ch t c a nguyên hàm
3
I.4.
B ng công th c nguyên hàm và m t s công th c b sung
4
II.
Tích phân:
II.1. ð nh nghĩa tích phân xác ñ nh
5
II.2. Các tính ch t c a tích phân
5
II.3
Tính tích phân b ng phương pháp phân tích
5
Bài t p ñ ngh 1
9
Tính tích phân b ng phương pháp ñ i bi n s
10
II.4
II.4.1 Phương pháp ñ i bi n s lo i 1
10
ð nh lý v phương pháp ñ i bi n s lo i 1
13
M t s d ng khác dùng phương pháp ñ i bi n s lo i 1
14
Bài t p ñ ngh s 2
14
Bài t p ñ ngh s 3
15
Bài t p ñ ngh s 4: Các ñ thi tuy n sinh ð i h c Cao ñ ng
16
II.4.2 Phương pháp ñ i bi n s lo i 2
16
Bài t p ñ ngh s 5
21
Các ñ thi T t nghi p trung h c ph thông
22
Các ñ thi tuy n sinh ð i h c Cao ñ ng
22
II.5. Phương pháp tích phân t ng ph n
Bài t p ñ ngh s 6: Các ñ thi tuy n sinh ð i h c Cao ñ ng
III.
23
28
Ki m tra k t qu c a m t bài gi i tính tích phân b ng máy tính
CASIO fx570-MS
29
Bài t p ñ ngh s 7: Các câu h i tr c nghi m tích phân
30
Ph l c
36

3. CHUYÊN ð :”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”
I. NGUYÊN HÀM:
I.1. ð NH NGHĨA NGUYÊN HÀM:
Hàm s F(x) ñư c g i là nguyên hàm c a hàm s f(x) trên (a;b) n u v i m i
x∈(a;b):
F’(x) = f(x)
VD1: a) Hàm s F(x) = x3 là nguyên hàm c a hàm s f(x) = 3x2 trên R
b) Hàm s F(x) = lnx là nguyên hàm c a hàm s f(x) =
1
trên (0;+∞)
x
I.2. ð NH LÝ:
N u F(x) là m t nguyên hàm c a hàm s f(x) trên (a;b) thì:
a) V i m i h ng s C, F(x) + C cũng là m t nguyên hàm c a f(x) trên kho ng ñó.
b) Ngư c l i, m i nguyên hàm c a hàm s f(x) trên kho ng (a;b) ñ u có th vi t
dư i d ng F(x) + C v i C là m t h ng s .
Theo ñ nh lý trên, ñ tìm t t c các nguyên hàm c a hàm s f(x) thì ch c n tìm m t
nguyên hàm nào ñó c a nó r i c ng vào nó m t h ng s C.
T p h p các nguyên hàm c a hàm s f(x) g i là h nguyên hàm c a hàm s f(x) và
ñư c ký hi u: ∫ f(x)dx (hay còn g i là tích phân b t ñ nh)
V y:
∫ f(x)dx = F(x)+C
VD2: a) ∫ 2xdx = x 2 + C
b) ∫ sinxdx = - cosx + C
I.3. CÁC TÍNH CH T C A NGUYÊN HÀM:
1)
'
( ∫ f(x)dx ) = f(x)
2) ∫ a.f(x)dx = a ∫ f(x)dx
(a ≠ 0 )
3) ∫  f(x) ± g(x)  dx = ∫ f(x)dx ± ∫ g(x)dx


4) ∫ f(x)dx = F(x)+C ⇒ ∫ f (u(x) ) u'(x)dx = F (u(x) )+C
VD3: a)
∫ (5x
4
-6x 2 + 8x )dx = x 5 - 2x 3 + 4x 2 +C
b) ∫6cosx.sinxdx = -6 ∫ cosx.d (cosx ) = -3cos 2 x +C
c)
1
∫ cos x dx = tgx +C
2

4. CHUYÊN ð :”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”
I.4. B NG CÔNG TH C NGUYÊN HÀM:
B NG CÁC NGUYÊN HÀM CƠ B N
NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SƠ C P THƯ NG G P
3/ ∫
x α +1
+C
α +1
dx
= ln x + C
x
2/ ∫ uα du =
( α ≠ -1)
3/ ∫
(x ≠ 0)
4/ ∫ e x dx = e x + C
5/ ∫ a x dx =
H P
1/ ∫ du = u + C
1/ ∫ dx = x + C
2/ ∫ x α dx =
NGUYÊN HÀM CÁC HÀM S
uα +1
+C
α +1
( α ≠ -1)
du
= ln u + C (u = u(x) ≠ 0)
u
4/ ∫ eu du = eu + C
ax
+C
lna
( 0 < a ≠ 1)
5/ ∫ au du =
au
+C
lna
( 0 < a ≠ 1)
6/ ∫ cosx dx = sinx + C
6/ ∫ cosu du = sinu + C
7/ ∫ sinx dx = -cosx + C
7/ ∫ sinu du = - cosu + C
dx
π
= (1+ tg2 x ) dx = tgx + C (x ≠ + k π )
cos 2 x ∫
2
dx
= (1+ cotg 2 x ) dx = -cotgx + C (x ≠ k π )
9/ ∫
sin 2 x ∫
8/ ∫
π
du
= (1+ tg2u ) du = tgu + C (u ≠ + kπ )
cos2u ∫
2
du
9/ ∫
= (1+ cotg2u ) du = -cotgu + C (u ≠ kπ )
sin2u ∫
8/ ∫
CÁC CÔNG TH C B
CÔNG TH C NGUYÊN HÀM THƯ NG G P:
1/
∫
1
dx = 2 x + C
x
2/ ∫ ( ax + b ) dx =
α
α +1
+ C (a ≠ 0)
2/
am
1
= a m-n ; n = a -n
n
a
a
3/
m
1
1
1
3/ ∫
dx = ln ax + b + C (a ≠ 0)
ax + b
a
1 ax +b
ax+b
4/ ∫ e
dx = e
+ C (a ≠ 0)
a
a kx
+ C ( 0 ≠ k ∈ R, 0 < a ≠ 1)
5/ ∫ a kx dx =
k.lna
1
6/ ∫ cos ( ax + b ) dx = sin ( ax + b ) + C (a ≠ 0)
a
1
7 / ∫ sin ( ax + b ) dx = - cos ( ax + b ) + C (a ≠ 0)
a
8 / ∫ tgx dx = - ln cosx + C (x ≠
CÁC CÔNG TH C LŨY TH A:
1/ a m . a n = a m+n
(x ≠ 0)
1 ( ax + b )
α +1
a
SUNG
π
2
+ kπ )
9/ ∫ cotgx dx = ln sinx + C (x ≠ k π )
a = am ;
n
m
an = a m
CÁC CÔNG TH C LƯ NG GIÁC:
a. CÔNG TH C H B C:
1/ sin2 x =
1
(1- cos2x )
2
2/ cos2 x =
1
(1+cos2x )
2
b. CÔNG TH C BI N ð I TÍCH THÀNH T NG
1
cos ( a - b ) + cos ( a +b ) 

2
1
2/ sina.sinb = cos ( a - b ) - cos ( a + b ) 

2
1
3/ sina.cosb =  sin ( a - b ) + sin ( a + b ) 

2
1/ cosa.cosb =

5. CHUYÊN ð :”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”
II. TÍCH PHÂN:
II.1. ð NH NGHĨA TÍCH PHÂN XÁC ð NH:
Gi s hàm s f(x) liên t c trên m t kho ng K, a và b là hai ph n t b t kỳ c a K,
F(x) là m t nguyên hàm c a hàm s f(x) trên K. Hi u F(b) – F(a) ñư c g i là tích phân t
a ñ n b c a f(x). Ký hi u:
b
b
∫ f(x)dx = F(x) = F(b)-F(a)
a
a
II.2. CÁC TÍNH CH T C A TÍCH PHÂN:
a
1/
∫ f (x )dx
=0
a
a
2/
b
∫ f (x )dx = −∫ f (x )dx
b
b
3/
a
b
∫ k.f (x )dx = k.∫ f (x )dx
a
b
4/
a
b
b
∫ [f (x ) ± g(x )]dx = ∫ f (x )dx ± ∫ g(x )dx
a
b
5/
(k ≠ 0)
a
c
a
b
∫ f(x)dx = ∫ f (x )dx + ∫ f (x )dx
a
a
v i c∈(a;b)
c
b
6 / N u f (x ) ≥ 0, ∀x ∈ [a;b ] thì ∫ f (x )dx ≥ 0 .
a
b
b
a
a
7 / N u f (x ) ≥ g (x ), ∀x ∈ [a;b ] thì ∫ f (x )dx ≥ ∫ g(x )dx .
b
8 / N u m ≤ f (x ) ≤ M , ∀x ∈ [a;b ] thì m(b − a ) ≤ ∫ f (x )dx ≤ M (b − a ) .
a
t
9 / t bi n thiên trên [a;b ] ⇒ G (t ) = ∫ f (x )dx là m t nguyên hàm c a f (t ) và G (a ) = 0
a
II.3. TÍNH TÍCH PHÂN B NG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH:
b
Chú ý 1: ð tính tích phân I = ∫ f (x )dx ta phân tích f (x ) = k1 f1(x ) + ... + km fm (x )
a
Trong ñó: ki ≠ 0 (i = 1,2, 3,..., m ) các hàm fi (x ) (i = 1,2, 3,..., m ) có trong b ng nguyên
hàm cơ b n.
VD4: Tính các tích phân sau:

6. CHUYÊN ð :”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”
2
2
-1
-1
1) I = ∫(3x 2 - 4x +3)dx =(x 3 - 2x 2 +3x)
= (2 3 - 2.2 2 +3.2) -((-1)3 - 2.(-1)2 +3.(-1)) = 12
Nh n xét: Câu 1 trên ta ch c n áp d ng tính ch t 4 và s d ng công th c 1/ và 2/
trong b ng nguyên hàm.
2
3x 4 -6x 3 + 4x 2 - 2x + 4
2) I = ∫
dx
x2
1
Nh n xét: Câu 2 trên ta chưa áp d ng ngay ñư c các công th c trong b ng nguyên
hàm, trư c h t tách phân s trong d u tích phân (l y t chia m u) r i áp d ng tính ch t 4
và s d ng công th c 1/, 2/, 3/ trong b ng nguyên hàm.
2
2
3x 4 -6x 3 + 4x 2 - 2x + 4
2 4
⇒ I= ∫
dx = ∫(3x 2 -6x + 4 - + 2 )dx
2
x
x x
1
1
4 2
= (x 3 -3x 2 + 4x - 2ln |x |- ) = 4 - 2ln2
x 1
2
x 2 -5x +3
3) I = ∫
dx
x +1
0
Nh n xét: Câu 3 trên ta cũng chưa áp d ng ngay ñư c các công th c trong b ng
nguyên hàm, trư c h t phân tích phân s trong d u tích phân (l y t chia m u) r i áp d ng
tính ch t 4 và s d ng công th c 1/, 2/ trong b ng nguyên hàm và công th c 3/ b sung.
2 2
2
x -5x +3
9 

dx = ∫  x − 6 +
⇒ I= ∫
 dx
x +1
x +1 

0
0
 x2
2
=  -6x +9ln | x +1 | = 2 -12 +9ln3 = 9ln3 -10
2
0
1
4) I = ∫e x (2xe -x +5 x e-x -e-x ) dx
0
Nh n xét: Câu 4: bi u th c trong d u tích phân có d ng tích ta cũng chưa áp d ng
ngay ñư c các công th c trong b ng nguyên hàm, trư c h t nhân phân ph i rút g n r i áp
d ng tính ch t 4 và s d ng công th c 1/, 2/, 5/ trong b ng nguyên hàm.
 2 5x
1 4
-x  =
⇒ I = ∫e (2xe +5 e -e ) dx = ∫ (2x +5 -1 ) dx =  x +
ln5  0 ln5

0
0
1
1
x
π
4
-x
x -x
-x
x
π
2
5) I = ∫(4cosx +2sinx - 2 )dx =(4sinx - 2cosx - 2tgx) 4 = 2 2 - 2 - 2+2 = 2
cos x
0
0
Nh n xét: Câu 5 trên ta ch c n áp d ng tính ch t 4 và s d ng công th c 6/, 7/ và 8/
trong b ng nguyên hàm.

7. CHUYÊN ð :”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”
π
π
8
6) I = ∫(4sin2x - 12cos4x)dx = (-2cos2x - 3sin4x)
0
8
= - 2 -3 + 2 = -1- 2
0
Nh n xét: Câu 6 trên ta cũng ch c n áp d ng tính ch t 4 và s d ng công th c 6/ ,
7/ trong b ng nguyên hàm ph n các công th c b sung.
π
12
7) I =
∫ sin
2
(2x -
π
)dx
4
0
Nh n xét: Câu 7 h c sinh có th sai vì s d ng nh m công th c 2/ trong b ng b ng
nguyên hàm c t bên ph i, b i ñã xem u 2 = sin 2(2x -
π
) (hơi gi ng ñ o hàm hàm s h p).
4
V i câu 7 trư c h t ph i h b c r i s d ng công th c 6/ trong b ng nguyên hàm ph n các
công th c b sung.
π
⇒ I=
π
12
∫ sin
2
(2x -
0
π
4
)dx =
1
2
12
π

π 
1
12

∫  1 - cos(4x - 2 ) dx = 2 ∫ (1 - sin4x )dx

0
π

1
1
1 π 1
π
=  x + cos4x  12 =  + cos
2
4
2  12 4
3
0
0
 1
 π
1
1
 - 2 0 + 4 cos0  = 24 - 16



π
16
8/ I =
∫ cos6x.cos2xdx
0
Nh n xét: câu 8: bi u th c trong d u tích phân có d ng tích ta cũng chưa áp d ng
ngay ñư c các công th c trong b ng nguyên hàm, trư c h t ph i bi n ñ i lư ng giác bi n
ñ i tích thành t ng r i áp d ng tính ch t 4 và s d ng công th c 6/ trong b ng nguyên hàm
ph n các công th c b sung.
π
π
16
16
1
⇒ I = ∫ cos6x.cos2xdx =
2
0
=

1 1
1

∫ (cos8x +cos4x )dx = 2  8 sin8x + 4 sin4x 

0
π
16
0
 1 1
1 1
1
2 1
π 1
π  1 1
1+ 2
=
 sin + sin  −  sin 0 + sin 0  =  +

2 8
2 4
4  2 8
4
8  16
 2 8

(
)
2
9) I =
∫x
2
-1dx
-2
Nh n xét: Câu 9 bi u th c trong d u tích phân có ch a giá tr tuy t ñ i, ta hư ng
h c sinh kh d u giá tr tuy t ñ i b ng cách xét d u bi u th c x2 – 1 trên [-2;2] và k t h p
v i tính ch t 5/ c a tích phân ñ kh giá tr tuy t ñ i.

8. CHUYÊN ð :”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”
2
⇒ I=
∫x
-1
2
-1dx =
-2
∫ (x
1
2
2
-1 )dx − ∫ ( x - 1 ) dx + ∫ ( x 2 -1 )dx
-2
2
-1
1
x
 -1  x
 1 x
2
=  -x  − -x  + -x  = 5
3
 -2  3
 -1  3
1
3
3
3
3
3x +9
dx
x - 4x -5
2
Nh n xét: Câu 10 trên ta không th c hi n phép chia ña th c ñư c như câu 2 và 3,
m t khác bi u th c dư i m u phân tích ñư c thành (x -5)(x +1) nên ta tách bi u th c
3x+9
A
B
4
1
=
+
=
trong d u tích phân như sau: 2
(phương pháp h s
x - 4x -5 x -5 x+1 x -5 x+1
b t ñ nh)
3
3
3
3x +9
1 
 4
⇒ I= ∫ 2
dx = ∫ 
dx = ( 4ln | x -5 |-ln |x +1 |)

2
x - 4x -5
x -5 x +1 
2
2
10) I = ∫
2
= 4ln2 -ln4 - 4ln3 +ln3 = 2ln2 -3ln3 = ln
Chú ý 2: ð tính I = ∫
a'x +b'
dx
ax 2 +bx + c
4
27
(b 2 - 4ac ≥ 0) ta làm như sau:
TH1: N u b 2 - 4ac = 0 , khi ñó ta luôn có s phân tích ax 2 +bx + c = a(x +
⇒ I= ∫
b 2
)
2a
b
ba'
ba'
)+b' b' a'
dx
dx
2a
2a dx =
∫ b + a2a ∫
b
b
a x+
a(x + )2
(x + )2
2a
2a
2a
a'(x +
TH2: N u b 2 - 4ac >0 ⇒ ax 2 + bx + c = a(x - x1 )(x - x 2 ) . Ta xác ñ nh A,B sao cho
A+ B = a'
a'x + b' = A(x - x1 )+ B(x - x 2 ) , ñ ng nh t hai v ⇒ 
Ax1 + Bx 2 = -b'
1 A(x - x1 )+ B(x - x 2 )
1
A
B
I= ∫
dx = ∫(
+
)dx .
a
(x - x1 )(x - x 2 )
a x - x 2 x - x1

9. CHUYÊN ð :”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”
Chú ý 3:
TH1: ð tính I = ∫
P(x)
dx ta làm như sau:
(x -a1 )(x -a2 )...(x -an )
P(x)
A1
A2
An
=
+
+...+
(x -a1 )(x -a2 )...(x -an ) (x -a1 ) (x -a2 )
(x -an )
TH2: ð tính I = ∫
P(x)
dx ta làm như sau:
(x -a1 ) (x -a2 )k ...(x - an )r
m
A1
A2
Am
P(x)
+
+ ...+
+ ...
=
m
m -1
k
r
(x - a 1 )
(x - a 2 )
(x - a m )
(x -a1 ) (x -a2 ) ...(x -an )
P(x)
dx v i P(x) và Q(x) là hai ña th c:
TH3: ð tính I = ∫
Q(x)
m
* N u b c c a P(x) l n hơn ho c b ng b c c a Q(x) thì l y P(x) chia cho Q(x).
* N u b c c a P(x) nh hơn b c c a Q(x) thì tìm cách ñưa v các d ng trên.
Nh n xét: Ví d 4 trên g m nh ng bài t p tính tích phân ñơn gi n mà h c sinh có
th áp d ng ngay b ng công th c nguyên hàm ñ gi i ñư c bài toán ho c v i nh ng phép
bi n ñ i ñơn gi n như nhân phân ph i, chia ña th c, ñ ng nh t hai ña th c, bi n ñ i tích
thành t ng...Qua ví d 4 này nh m giúp các em thu c công th c và n m v ng phép tính
tích phân cơ b n.
BÀI T P ð NGH 1: Tính các tích phân sau:
1
1) I = ∫(x x + 2x 3 +1)dx
0
2
2x 2 x + x 3 x - 3x + 1
dx
x2
1
2) Ι = ∫
0
3) I =
x 3 -3x 2 -5x +3
dx
∫
x -2
-1
2
4) I =
∫ (x
+ x - 3 ) dx
2
-2
π
π
6
5) I =
2
12
∫ (sinx + cos2x - sin3x )dx
6) I =
0
∫ 4sinx.sin2x.sin3xdx
0
π
16
7) I =
∫ cos
2
4
2xdx
8) I =
∫x
2
+ 2x -3 dx
-2
0
4
dx
9) I = ∫ 2
x -5x +6
1
2
1
10) I = ∫
0
dx
x +1+ x
x + 2x +6
11) I = ∫
dx
(x -1)(x - 2)(x - 4)
x 2 +1
12) I = ∫
dx
(x -1)3 (x +3)
xdx
13) I = ∫ 4
x -6x 2 +5
x 7 dx
14) I = ∫
(1+ x 4 )2

10. CHUYÊN ð :”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”
II.4. TÍCH PHÂN B NG PHƯƠNG PHÁP ð I BI N S :
II.4.1. Phương pháp ñ i bi n s lo i 1:
b
Ta có chú ý (SGK trang 123): Tích phân
∫ f(x)dx
ch ph thu c vào hàm s f(x),
a
c n a và b mà không ph thu c vào cách ký hi u bi n s tích phân. T c là:
b
b
b
a
a
a
∫ f(x)dx = ∫ f(t)dt = ∫ f(u)du = ...
Trong m t s trư ng h p tính tích phân mà không tính tr c ti p b ng công th c hay
qua các bư c phân tích ta v n không gi i ñư c. Ta xét các trư ng h p cơ b n sau:
VD5: Tính các tích phân sau:
1) I =
2
2
dx
2 -x2
∫
0
Phân tích: Bi u th c trong d u tích phân có ch a căn b c hai, ta không kh căn
b ng phép bi n ñ i bình phương hai v ñư c, ta th tìm cách bi n ñ i ñưa căn b c hai v
2
2
d ng A 2 , khi ñó ta s liên tư ng ngay ñ n công th c: 1-sin x = cos x = cosx , do ñó:
π π
ð t x = 2sint ⇒ dx = 2costdt , t ∈ - ; 
 2 2


ð i c n:
x=
2
2
π
⇒ 2sint =
⇒t =
2
2
6
x =0 ⇒
π
6
⇒ I= ∫
0
2sint = 0 ⇒ t = 0
π
π
π
6
2cost.dt 6 2cost.dt
π
π
6
=∫
= ∫ dt = t =
( vì t ∈ 0;  ⇒ cost > 0 )
 6
2
2
6


2 -2sin t 0 2(1-sin t) 0
0
Trong VD trên khi ta thay ñ i như sau: I =
2
∫
0
ñư c k t qu I =
π
2
. K t qu trên b sai vì hàm s
Do ñó khi ra ñ
f (x) =
dx
. H c sinh làm tương t và
2 -x2
1
không xác ñ nh khi x= 2 .
2-x2
d ng trên Giáo viên c n chú ý: hàm s
f (x) xác ñ nh trên [a;b]

11. CHUYÊN ð :”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”
6
2
2) I =
∫
3 - x 2 dx
0
π π
ð t x = 3 sint ⇒ dx = 3 costdt , t ∈ - ; 
 2 2


ð i c n:
x=
π
6
6
⇒ 3sint =
⇒t =
2
2
4
x =0 ⇒
π
4
⇒I = ∫
0
2sint = 0 ⇒ t = 0
π
π
π
34
3
1
3 π 1 
4
3 -3sin t . 3cost.dt = ∫ 3cos t.dt = ∫ (1+cos2t ).dt =  t+ sin2t  =  + 


20
2 2
24 2

0
4
2
2
0
β
a) Khi g p d ng
∫
α
β
∫
α
a 2 - x 2 dx hay
dx
(a > 0)
a2 - x 2
π π
ð t x = a.sint ⇒dx = a.cost.dt , t ∈ - ; 
 2 2


2
2
2
2
2
( ð bi n ñ i ñưa căn b c hai v d ng A 2 , t c là: a -a sin x = a cos x =a. cosx )
π π
x = β ⇒ t = β’ ∈ - ; 
 2 2


ð i c n:
π π
x = α ⇒ t = α’ ∈ - ; 
 2 2


π π
π π
Lưu ý: Vì t ∈ - ;  ⇒ α ', β ' ∈ - ;  ⇒ cost > 0
 2 2
 2 2




β
⇒ ∫ a - x dx =
2
α
β'
∫
α
β'
a -a sin t .acostdt = ∫ a 2cost 2dt , h b c cos2t.
2
2
2
α'
'
β
hay
2
β'
β'
dx
a.costdt
=∫
= ∫ dt
a 2 - x 2 α ' a 2 -a 2sin 2 t α '
∫
α
ð n ñây, công th c nguyên hàm không ph thu c vào bi n s nên ta tính ñư c tích
ñây ta c n lưu ý: Bi u th c trong d u tích phân
phân theo bi n s t m t cách d dàng.
này là hàm s theo bi n s t ñơn ñi u trên [α;β].
Ta m r ng tích phân d ng trên như sau:
β
b) Khi g p d ng
∫
α
β
a 2 -u 2(x)dx hay
∫
α
dx
(a > 0)
a 2 - u 2(x)
π π
ð t u(x) = a.sint ⇒ u'(x).dx = a.cost.dt , t ∈ - ; 
 2 2



12. CHUYÊN ð :”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”
π π
ð i c n:
x = β ⇒ t = β’ ∈ - ; 
 2 2


π π
x = α ⇒ t = α’ ∈ - ; 
 2 2

2+
VD6: Tính tích phân sau: I =
6
2
∫
2+
-x 2 + 4x -1 dx . Ta có: I =
2
6
2
∫
3 - (x -2 ) dx
2
2
π π
ð t x - 2 = 3 sint ⇒ dx = 3 cost.dt , t ∈ - ; 
 2 2


ð i c n:
x = 2+
6
2
π
⇒ sint =
⇒t =
2
2
4
x = 2 ⇒ sint = 0 ⇒ t = 0
π
π
4
⇒ I=
4
3 - 3sin 2 t . 3 cost.dt = ∫ 3cos 2 t.dt
∫
0
0
π
3 4
3
1

= ∫ (1+ cos2t ).dt =  t + sin2t 
20
2
2

2
VD7: Tính tích phân sau: I = ∫
0
π
4
0
=
3 π 1 
+ 
24 2

dx
dx
2+x 2
Nh n xét: Ta th y tam th c b c hai
m u s vô nghi m nên ta không s d ng
phương pháp h s b t ñ nh như ví d 4.10 và không phân tích bi u th c trong d u tích
phân ñư c như chú ý 2 và chú ý 3.
 π π
ð t: x = 2tgt ⇒ dx = 2. (1+tg 2t )dt , t ∈  - ; 
 2 2
x = 2 ⇒ 2tgt = 2 ⇒ t =
ð i c n:
x =0 ⇒
π
4
⇒ I= ∫
0
π
4
2tgt = 0 ⇒ t = 0
π
2.(1+tg 2t )dt 4 2
2 4
2π
= ∫ dt =
t =
2
2+2tg t
2
8
0 2
π
0
β
dx
(a > 0)
+x2
Nh n xét: a2 + x2 = 0 vô nghi m nên ta không phân tích bi u th c trong d u tích
phân ñư c như chú ý 2 và chú ý 3.
 π π
2
ð t x = a.tgt ⇒ dx = a. (1+ tg t ) dt , t ∈  - ; 
c) Khi g p d ng
∫
αa
2
 2 2

13. CHUYÊN ð :”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”
 π π
x = β ⇒ t = β’ ∈  - ; 
 2 2
 π π
x = α ⇒ t = α’ ∈  - ; 
ð i c n:
 2 2
Ta xét ví d tương t ti p theo:
1+ 2
VD8: Tính tích phân sau: I =
∫
1
dx
x -2x+3
2
Nh n xét: Ta th y tam th c b c hai
m u s vô nghi m nên ta phân tích m u s
ñư c thành: a2 + u2(x).
1+ 2
Ta có: I =
∫
1
1+ 2
dx
dx
= ∫
2
2
x -2x+3
1 2+ ( x -1)
 π π
ð t x -1= 2tgt ⇒ dx = 2. (1+tg 2t )dt , t ∈  - ; 
 2 2
ð i c n:
π
x = 1+ 2 ⇒ tgt = 1 ⇒ t =
x = 1 ⇒ tgt = 0
π
4
⇒ I= ∫
0
4
⇒t = 0
π
2.(1+tg 2t )dt 4 2
2
= ∫ dt =
t
2
2+2tg t
2
2
0
π
4
0
=
2π
8
V y:
β
dx
(a > 0)
+u 2 (x )
V i tam th c b c hai a 2 +u 2 (x ) vô nghi m thì
d) Khi g p d ng
∫
αa
2
 π π
ð t u(x) = a.tgt ⇒ u'(x)dx = a.(1+tg 2t )dt , t ∈  - ; 
 2 2
 π π
x = β ⇒ t = β’ ∈  - ; 
ð i c n:
 2
 π
x = α ⇒ t = α’ ∈   2
2
π
; 
2
Tóm l i: Phương pháp ñ i bi n s d ng 1:
ð nh lý: N u
1. Hàm s x = u(t) có ñ o hàm liên t c, ñơn ñi u trên ño n [α;β].
2. Hàm s h p f [u(t)] ñư c xác ñ nh trên ño n [α;β].

14. CHUYÊN ð :”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”
3. u(α) = a, u(β) = b.
β
b
thì
∫ f(x)dx = α f [u(t)]u'(t).dt
∫
a
T ñó ta rút ra quy t c ñ i bi n s d ng 1 như sau:
B1: ð t x = u(t) (v i u(t) là hàm có ñ o hàm liên t c trên [α ;β ] , f(u(t)) xác ñ nh trên
[α ;β ] và u(α ) = a, u( β ) = b ) và xác ñ nh α , β
β
β
b
B2: Thay vào ta có: I = ∫ f(u(t)).u'(t)dt = ∫ g(t)dt = G(t)
α
a
α
= G( β ) -G (α )
M t s d ng khác thư ng dùng phương pháp ñ i bi n s dang 1:
1
a
* Hàm s trong d u tích phân ch a a 2 -b 2 x 2 hay
ta thư ng ñ t x = sint
b
a 2 -b 2 x 2
1
a
ta thư ng ñ t x =
* Hàm s trong d u tích phân ch a b 2 x 2 - a 2 hay
bsint
b2 x 2 - a 2
a
1
* Hàm s trong d u tích phân ch a 2
ta thư ng ñ t x = tgt
2 2
b
a +b x
a
* Hàm s trong d u tích phân ch a x(a -bx) ta thư ng ñ t x = sin 2t
b
BÀI T P ð NGH 2: Tính các tích phân sau:
1
1
x2
2
1) I = ∫ x 1 - x dx
2) I = ∫
dx
2
0 4 - 3x
0
1
3) I = ∫
0
3
2
5) I =
∫
1
2
x
3 + 2x - x 2
dx
4) I =
x2 - 1
dx
x
∫
1
1
x +1
dx
x(2 - x)
dx
0 x + x +1
6) I = ∫
Hư ng d n: Câu 4: ð t x =
1
sint
2
Câu 5: ð t x = 2sin 2t
π
VD9: Ch ng minh r ng: N u hàm s f(x) liên t c trên 0;  thì
 2


π
π
2
2
0
0
∫ f (sinx )dx = ∫ f (cosx )dx
Áp d ng phương pháp trên ñ tính các tích phân sau :
π
π
2
4
sin x
1) I = ∫
dx
4
sin x + cos 4x
0
4
2) I = ∫ ln(1+ tgx)dx
0

15. CHUYÊN ð :”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”
Gi i
π
2
VT =
∫ f (sinx )dx
ð t x=
0
ð i c n x =0 ⇒t =
π
π
;x=
2
2
π
2
- t ⇒ dx = -dt .
⇒t =0
π
2
 π

⇒ VT = − ∫ f  sin  − t  dt = ∫ f (cosx )dx = VP (ñpcm)
2

π 
0
0
2
Áp d ng phương pháp trên ñ tính các tích phân sau :
π
sin 4x
dx
∫ 4
4
0 sin x + cos x
2
1) I =
π
ð t x=
2
- t ⇒ dx = -dt .
ð i c n x =0 ⇒t =
sin 4(
0
I= - ∫
π
2
sin 4(
π
π
2
π
2
π
π
;x=
2
2
⇒t =0
π
- t)
π
4
2
cos t
cos 4x
dt = ∫
dx
∫ 4
4
4
4
0 sin t + cos t
0 sin x + cos x
2
π
- t)+ cos 4(
2
dt =
- t)
π
π
2
sin x
cos x
π
π
dx + ∫
dx = ∫ dx = ⇒ I = .
∫ sin 4x + cos 4x
4
4
2
4
0
0 sin x + cos x
0
4
2
⇒ 2I =
4
2
π
4
2) I = ∫ ln(1+ tgx)dx
0
ð t x = π - t ⇒ dx = -dt
4
ð i c n x =0 ⇒t =
π
4
;x=
π
4
⇒t =0
π
π
4
π
4
π
4
1-tgt
)dt = ∫ [ln2 -ln(1+tgt)]dt = ln2. ∫ dt - I
⇒ I = - ∫ ln[1+tg( -t)]dt = ∫ ln(1+
4
1+tgt
π
0
0
0
0
4
⇒2I =
πln2
4
⇒I =
π.ln2
8
BÀI T P ð NGH 3: Tính các tích phân sau:

16. CHUYÊN ð :”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”
π
1)
π
2
2
n
n
∫ sin xdx = ∫ cos xdx
0
HD: ð t x =
0
π
2
-t .
a
2) Cho I =
∫ f(x)dx . CMR:
-a
a
a) I = 2 ∫ f(x)dx n u f(x) là hàm s ch n.
0
b) I = 0 n u f(x) là hàm s l .
b
b
f(x)
dx = ∫ f(x)dx .
3) Ch ng minh r ng: N u f(x) là hàm s ch n thì ∫ x
-b a + 1
0
2
2x 2 + 1
Áp d ng: Tính I = ∫ x
dx .
-2 2 + 1
π
ππ
0
20
4) Ch ng minh r ng: ∫ xf(sinx)dx =
π
Áp d ng: Tính I =
∫ f(sinx)dx (HD: ð t x = π - t )
xsinx
∫ 4+ sin 2 x dx .
0
BÀI T P ð NGH 4: Tính các tích phân sau: (Các ñ tuy n sinh ð i h c)
a) I =
2
2
∫
0
2
1
x2
1- x 2
dx
c) I = ∫ x 2 4 - x 2 dx
(ðH TCKT 1997)
(ðH T.L i 1997)
d) I = ∫ x 2 a 2 - x 2 dx (ðH SPHN 2000)
1- x
1
2
-1
1
dx
∫x
g) I = ∫
(ðH Y HP 2000)
0
3
2
1
2 3
0
a
0
e) I =
(1- x ) dx
b) I = ∫
2
dx
(1+ x )
2 2
(ðH TCKT 2000)
f) I = ∫
0
(ðH N.Ng 2001)
h) I =
b
N u tích phân có d ng ∫ f u(x)  u'(x)dx


a
ð t: u = u(x) ⇒ du = u'(x)dx
x = b ⇒ u2 = u(b)
x = a ⇒ u1 = u(a)
u2
⇒ I = ∫ f (u )du
u1
2
∫x
2
3
II.4.2. Phương pháp ñ i bi n s lo i 2: (D ng ngh ch)
ð i c n:
dx
(ðH T.L i 2000)
x + 4x 2 +3
4
dx
x 2 -1
(ðH BKHN 1995)

17. CHUYÊN ð :”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”
a) M t s d ng cơ b n thư ng g p khi ñ i bi n s lo i 2:(D ng ngh ch)
Trong m t s trư ng h p tính tích phân b ng phương pháp phân tích hay tính tích
phân b ng tích phân ñ i bi n s lo i 1 không ñư c nhưng ta th y bi u th c trong d u tích
phân có ch a:
1. Lũy th a thì ta th ñ t u b ng bi u th c bên trong c a bi u th c có ch a lũy th a
cao nh t.
2. Căn th c thì ta th ñ t u b ng căn th c.
3. Phân s thì ta th ñ t u b ng m u s .
4. cosx.dx thì ta th ñ t u = sinx.
5. sinx.dx thì ta th ñ t u = cosx.
6.
dx
hay (1 + tg2x)dx thì ta th ñ t u = tgx.
2
cos x
7.
dx
hay (1 + cotg2x)dx thì ta th ñ t u = cotgx.
2
sin x
8.
dx
và ch a lnx thì ta th ñ t u = lnx.
x
VD 10: Tính các tích phân sau:
1
3
5 2
1. a) I = ∫(x +1) x dx
0
3
2
2
ð t: u = x +1 ⇒ du = 3x dx ⇒ x dx =
du
3
ð i c n:
x
0
1
u
1
2
2
⇒ I = ∫ u5
1
du 1 2 5
u6 2 2 6 16 7
= ∫ u du =
=
=
3 31
18 1 18 18 2
π
2
b) I = ∫(1+sinx )3 .cosx.dx
0
2
2. a) I = ∫ 4+3x 2 .12x.dx
0
ð t: u = 4+3x 2 ⇒ u 2 = 4+3x 2
(Tương t )

18. CHUYÊN ð :”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”
⇒ 2udu = 6xdx ⇒ 12xdx = 4udu
ð i c n:
x
0
2
u
2
4
4
4
⇒ I = ∫ u.4u.du = ∫ 4u 2 .du =
2
2
4
4u 3
3
2
=
2
4.43 4.2 3 224
=
3
3
3
2
b) I = ∫ 1+2x 2 .x 3 .dx
(HD: I = ∫ x 2 . 1+2x 2 .xdx )
0
0
ð t u = 1+2x 2 ⇒ u 2 = 1+2x 2 ⇒ x 2 =
⇒ 2udu = 4xdx ⇒ xdx =
1
udu
...
2
x2
dx
1+7x 3
c) I = ∫ 3
0
u2 -1
2
ð t u 3 = 3 1+7x 3 ⇒ u 3 = 1+7x 3
⇒ 3u 2du = 21x 2dx ⇒ x 2dx =
u 2du
7
ð i c n:
x
0
u
2
1
1
2
2
2
2 2
u
1
1u
du = ∫ udu =
7u
71
14
1
⇒I = ∫
1
3.a) I = ∫
x3
=
1
2 2 12 3
=
14 14 14
1
x 2 .x
dx
x 2 +1
0
dx
Ta có: I = ∫
x
0
1
u
1
2
x 2 +1
ð t u = x 2 +1 ⇒ x 2 = u -1
du
⇒ du = 2xdx ⇒ xdx =
2
ð i c n:
0
2
2
u -1
12
1
1
1
du = ∫ 1- du = (u -ln |u |) = (2 -ln2 -1 ) = (1-ln2 )


2u
2 1 u
2
2
1
1
⇒ I= ∫
2
b) I = ∫
1
x2
dx
x 3 +2
(HD: ð t u = x 3 +2 )

19. CHUYÊN ð :”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”
π
6
4
4.a) I = ∫ sin x.cosx.dx
ð t: u = sinx ⇒ du = cosx.dx
0
ð i c n:
x
u
π
0
0
6
1
2
1
2
 u5 
⇒ I = ∫ u du =  
5 
0
4
1
2
0
=
1
160
π
sinx
dx
1+3cosx
0
2
b) I = ∫
(HD: ð t u = 1+3cosx )
π
2
c) I = ∫ 1+3sinx.cosxdx
(HD: ð t u = 1+3sinx )
0
π
sin2x +sinx
dx
1+3cosx
0
2
5.a) I = ∫
π
(ð ðH kh i A – 2005)
π
2
sinx (2cosx +1 )
2sinxcosx +sinx
Ta có I = ∫
dx = ∫
dx
1+3cosx
1+3cosx
0
0
2
ð t u = 1+3cosx ⇒ u 2 = 1+3cosx ⇒ cosx =
⇒ 2udu = -3sinxdx ⇒ sinxdx =
u2 -1
3
-2udu
3
ð i c n:
π
0
x
u
2
2
1
 u -1
 -2udu 
+1  
2


3
  3  dx = 2
⇒I = ∫
2
1
2
=
u
2
(2u
9∫
2
+ 1 )du
1
 2 2  2.2 3
2  2u 3
2.13  34
+u  = 
+2 -1 =
9 3
3

1 9 3
 27

20. CHUYÊN ð :”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”
Nh n xét: ð i v i nh ng bài ch a căn th c, h c sinh có th ñ t u b ng bi u th c
trong d u căn, nhưng sau khi ñ i bi n thì tích phân m i v n còn ch a căn th c nên vi c
tính ti p theo s ph c t p hơn (t c là h c sinh ph i ñưa v xα). Ví d : Cách 2 c a câu 5
π
sin2x +sinx
dx
1+3cosx
0
2
5.a) I = ∫
(ð ðH kh i A – 2005)
π
π
2
sinx (2cosx +1 )
2sinxcosx +sinx
dx = ∫
dx
1+3cosx
1+3cosx
0
0
2
Ta có I = ∫
ð t u = 1+3cosx ⇒ cosx =
u -1
3
⇒ du = -3sinxdx ⇒ sinxdx =
-du
3
ð i c n:
x
u
π
0
4
2
1
-du 
 u -1
+1  
4
2


 3
 3  du = 1 (2u+1 ) du
⇒I = ∫
∫
1
9
u
4
u
1
4
4
1
− 
1  1  1
1 4
14

2 u+
= ∫ 2u 2 + u 2  =  u u + 2 u 

9 ∫
u  9 1
1
 9 3
1
1  32
4  34
= 
+4- -2  =
9 3
3  27
=
Nh n xét: Rõ ràng cách gi i 2 ñ t u b ng bi u th c trong căn th y ph c t p hơn so
v i cách 1.
π
sin2x.cosx
dx
1+cosx
0
2
b) I =
∫
π
4
6.a) I = ∫
0
(tgx +1 ) dx
(ðH kh i B – 2005)
2
2
cos x
ð t: u = tgx +1 ⇒ du =
ð i c n:
x
u
2
0
1
 u3  2 8 1 7
 = - =
3 1 3 3 3
⇒ I = ∫ u 2du = 
1
π
4
2
dx
cos 2 x

21. π
4
tg 2 x - 3tgx +1
dx
cos 2 x
0
b) I = ∫
(HD: ð t u = tgx )
π
2
ecotgx
7.a) I = ∫ sin 2 x dx
π
4
ð t: u = cotgx ⇒ du =
ð i c n:
-dx
sin 2x
π
u
π
4
x
2
1
0
0
1
1
1
0
0
⇒ I = - ∫e udu = ∫e udu = e u = e - 1
π
2
b) I =
3cotgx +1
dx
sin 2 x
∫
p
4
e3
8.a) I =
∫
1
(HD: ð t u = 3cotgx +1 )
1+lnx.dx
x
ð t u = 1+lnx ⇒ u 2 = 1+lnx ⇒ 2udu =
ð i c n:
x
1
e3
u
1
2
2
2
⇒ I = ∫ u.2udu = 2 ∫ u 2du =
1
1
2u 3
3
2
=
1
2.2 3 2.13 14
=
3
3
3
e7
lnx.3 1+lnx
dx
x
1
b) I = ∫
ð t u = 3 1+lnx ⇒ u 3 = 1+lnx ⇒ u 3 - 1= lnx ⇒ 3u 2du =
dx
x
ð i c n:
x
1
e7
u
1
2
2
2
1
1
 u7 u 4  2
 27 2 4  300
-  = 3  - =
7
7 4 1
7 4 
⇒ I = ∫ (u 3 -1 ) .u.3u 2du = 3 ∫ (u 6 -u 3 )du = 3 
BÀI T P ð NGH 5:
dx
x

22. 1. Tính các tích phân sau:
π
2
2
a) I = ∫ (5sinx -1 ) cos x.dx
3
1
b) I = ∫ 1+ 2x .x .dx
2
3
3
c) I =
0
0
∫
0
x2
3
1+ 26x 3
π
p
2
p
4
6
sinx
dx
1+3cosx
0
e) I = ∫ sin 4x.cosx.dx
d) I = ∫
f) I = ∫ cos5 x.
dx
0
π
0
π
π
6
4
2
g) I = ∫ sin 2 x.cos 3 x.dx
h) I =
0
∫
i) I = ∫(1+sin2x )3 .cos2x.dx
1+3sinx .cosxdx
0
0
π
π
p
2
e tgx + 1
l) I = ∫
dx
cos 2 x
0
4
2
sin2x
k) I = ∫
dx
1+cos 2 x
0
j) I = ∫ sinx - sin x .dx
3
0
dx
2. Tính các tích phân sau: (Các ñ thi t t nghi p)
π
2
a) I = ∫ sin 5 x. (TNTHPT Năm 93-94)
dx
2
x2
b) I = ∫
x3 + 2
1
0
dx (TNTHPT Năm 95-96)
π
2
∫
c) I =
2
∫
2
x + 2.x .dx (TNTHPT Năm 96-97) d) I = cos 4x.dx (TNTHPT Năm 98-99)
2
3
0
1
π
π
6
e) I = ∫(sin6xsin2x+6).dx (TNTHPT 00-01)
0
2
f) I = ∫(x+sin2x)cosx.dx (TNTHPT 04-05)
0
3. Tính các tích phân sau: (Các ñ thi tuy n sinh ð i h c)
π
sin2x +sinx
dx
1+3cosx
0
2
∫
a) I =
(ðH kh i A – 2005)
π
sin2x.cosx
dx
1+cosx
0
2
b) I =
∫
(ðH kh i B – 2005)
π
2
c) I = ∫ (esinx +sinx )cosxdx
(ðH kh i D – 2005)
0
π
sin2x
dx
cos x + 4sin 2 x
0
ln5
dx
e) I = ∫ x
e +2e -x -3
ln3
2
d) I =
∫
2
(ðH kh i A – 2006)
(ðH kh i B – 2006)
1
f) I = ∫(x -2)e 2xdx
(ðH kh i D – 2006)
0
4. Tính các tích phân sau: (Các d ng khác)
13
a) I =
∫
0
dx
3
2x +1
3
b) Ι = ∫ x x +1.dx
0
1
dx
0 1+ x +1
c) I = ∫
3

23. p
3
2sin2x +3sinx
d) I = ∫
dx
6cosx - 2
0
e7
e4
e7
lnx.3 1+lnx
g) I = ∫
dx
x
1
1
h) I =
1+e x
0
1
5
4
1
∫
x +1
.dx
x -1
i) I = ∫
∫ x.lnx.ln(lnx) dx
5
3
ln5
l) I =
1+lnx .dx
x.lnx
∫
f) I =
e -1
dx
k) I = ∫
e3
1
e) I = ∫ 3
dx
1 x 1+lnx
e
(x +1)
x
dx (HD: t = xe )
x(1+ xe x )
0
m) I = ∫
e x -1 dx
0
5. Tính các tích phân sau: (Các ñ thi tuy n sinh ð i h c)
1
7
x 3dx
∫
1) I =
(ðH T.M i 1997);
1+ x 2
0
2) I = ∫x5 (1-x3 ) dx (ðH KTQD 1997)
6
0
π
sin 3 x
dx (ðH QGHN 1997);
1+cos 2 x
0
1
2
3) I = ∫
xdx
(ðHQGTPHCM 1998)
2x +1
∫
4) I =
0
π
π
5) Ι = ∫ cosx sinxdx (ðHBKHN98);
0
7
3
7) I = ∫ 3
0
x +1
dx (ðH GTVT 1998);
3x +1
2
6) I = ∫cos2x (sin4x+cos 4x ) dx (ðHBKHN 98)
0
1
dx
e +1
0
8) I = ∫
x
(ðH QGHN 1998)
π
π
9) I = ∫ sin 3 xcosxdx (ðH DLHV 1998);
2
sin2x
dx (ðHQGTPHCM 1998)
1+cos 4x
0
10) I = ∫
0
π
π
2
sin 4x
dx (ðH GTVT 1999)
sin 4x +cos 4x
0
2
11) I = ∫ sin2x (1+ sin 2 x ) dx (ðHNT 1999); 12) I = ∫
3
0
1
dx
(ðH Cñoàn 2000);
2x
e +3
0
13) I = ∫
14) I =
ln2
∫
0
e 2xdx
e x +1
(ðH BKHN 2000)
π
4
2
sin4x
dx
dx (ðH CThơ 2000); 16) I = ∫
4
4
3
sin x +cos x
1 x ( x +1 )
0
15) I = ∫
π
(ðH NNghi p 2000)
π
6
2
sin x
dx (ðH Hu 2000);
6
cos x + sin 6 x
0
17) I = ∫
2
18) I = ∫
0
cosx
dx (ðHNN1-KB 01)
sinx + cosx
π
2
dx
4
1 x ( x +1 )
19) I = ∫
2
(ðH Aninh 2001)
20) Ι = ∫ cos 2 xsin2xdx (ðH NL HCM 2001)
0
1
3
0
x7
dx (CðSPNtrang 2002)
1+ x 8 - 2x 4
2
π
π
21) I = ∫ x 5 1 - x 3 dx (ðH Lu t HCM 2001); 22) I = ∫
2
23) I = ∫
0
(
3
2 3
25) I =
∫
5
)
4
1- 2sin 2 x
dx (ðHCð kh i B 2003)
1+ sin2x
0
cosx - sinx dx (CðSPQN 2002); 24) I = ∫
3
dx
x x2 + 4
1
(ðH-Cð kh i A 2003); 26) I = ∫ x 3 1- x 2 dx (ðH-Cð kh i D 2003)
0

24. II.5. TÍCH PHÂN B NG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN T NG PH N:
ð nh lý: N u u(x) và v(x) là hai hàm s có ñ o hàm liên t c trên ño n [a;b] thì:
b
∫ u(x).v'(x)dx = [u(x).v(x)]
b
a
a
b
∫ u(x).dv = [u(x).v(x)]
a
hay
b
a
b
a
− ∫ v(x).u'(x).dx
a
b
− ∫ v(x).du
a
b
a
hay
b
b
a
∫ u.dv = u.v - ∫ v.du
a) Phương pháp tính tích phân t ng ph n:
b
b
a
a
Bư c 1: Bi n ñ i I = ∫ f ( x ) dx = ∫ f1 ( x ) f2 ( x ) dx

u = f1 ( x )

du = df1 ( x )
⇒
Bư c 2: ð t 
dv = f2 ( x ) dx
v = ∫ f2 ( x ) dx (v là m t nguyên hàm c a f2(x) )


b
Bư c 3: Tính I = u.v a
b
∫ v.du
a
Chú ý: Khi tính tích phân t ng ph n ta ph i n m nguyên t c sau:
+ Ch n phép ñ t dv sao cho d xác ñ nh ñư c v
+
b
∫ vdu
a
ph i d xác ñ nh hơn
b
∫ udv
a
b) M t s d ng thư ng dùng phương pháp tích phân t ng ph n:
N u bi u th c trong d u tích phân có ch a:
D ng 1: P (x ) sin(nx).dx ; P ( x ) cos(nx).dx ; P ( x ) .enxdx ; P (x ).a nxdx ta nên ñ t:
u = P(x)

nx
nx
dv = sin(nx)dx hay cos(nx)dx hay e dx hay a dx
D ng 2: P ( x )lnx.dx ; P ( x ) loga x.dx ta nên ñ t:
u = lnx hay u = loga x

dv = P(x)dx
x
x
x
x
D ng 3: a sin(nx)dx hay e cos(nx)dx hay a cos(nx)dx hay a cos(nx)dx thì
ph i s d ng tích phân t ng ph n ñ n hai l n.

25. VD 11: Tính các tích phân sau:
π
3
1. I = ∫(3x -1)cos3xdx
0
du = 3dx
u = 3x -1

⇒

1
v = sin3x
dv = cos3xdx

3

ð t: 

π
π
π
3
3
2
⇒ I = 1 (3x -1)sin3x - ∫ sin3xdx = 0+ 1 cos3x = 3
3
3
0
0
0
3
1
2. I = ∫(2x +1)ln(x +1)dx
0

dx
u = ln(x +1)
du =


x+1
ð t: 
⇒

2
dv =(2x +1)dx

 v = x + x = x(x + 1)

1
1
1
⇒ I = (x 2 + x)ln(x +1) 0 - ∫ xdx = 2ln2 0
x2
1
1
= 2ln2 - = - +ln4
2 0
2
2
1
2
2x
3. I = ∫ ( 4x - 2x - 1 )e dx (ðH GTVT 2004)
0

du = (8x - 2)dx

u = 4x 2 - 2x -1


⇒
ð t: 
1
2x
 v = e2x
dv = e dx


2

1 1
1
1
⇒ I = (4x 2 - 2x -1). e 2x - ∫(4x - 1) e 2xdx = A - Β
2
2
0 0
1
2
1
1
2
A = (4x 2 - 2x -1). e 2x = e 2 +
du = 4dx
u = 4x -1
⇒

ð t: 
1
2x
 v = e2x
dv = e dx
2

1
Β = ∫(4x - 1)e dx
2x
0
1
⇒ ( 4x -1 ) e 2x
2
1
0
1
2
1
3
1
− ∫ 2e 2x dx = e 2 + -e 2x
2
2
0
0
1
0
1
3
= e2 +
2
2
⇒ I = A - Β = -1
Nh n xét: Ví d trên là d ng 1 c a tích phân t ng ph n ∫ P ( x ) .enxdx do ñó hư ng
h c sinh ñ t u = P(x) nhưng do P(x) là tam th c b c hai nên ta tính tích phân t ng ph n
hai l n. Tù ñó rút ra nh n xét chung cho h c sinh: N u P(x) là ña th c b c k thì tính tích
phân t ng ph n k l n.

26. π
4
x
2
4. I = ∫ 4e cos xdx
0
Nh n xét: D ng 3 c a tích phân t ng ph n là tích phân có d ng
∫ e sin(nx)dx
x
nhưng bi u th c trong d u tích phân c a ví d trên ch a cos 2 x do ñó h b c ta s ñưa tích
phân v ñúng d ng 3.
π
π
π
π
4
4
4
4
π
4
dx
I = ∫ 4e cos xdx = ∫ 2e (1+cos2x )dx = ∫ 2e (1+cos2x )dx = ∫ 2e dx+ ∫ 2excos2x. = I1 + I2
x
2
x
0
x
0
x
0
0
0
Ta có:
π
π
4
x 4
I1 = ∫ 2e dx = 2e
x
0
π
= 2e 4 -2
0
π
4
I2 = ∫ 2excos2x. x
d
0
du = -2.sin2xdx
u = cos2x
⇒

ð t: 
x
 v = 2e x
dv = 2e dx

π
4
⇒ I2 = 2e cos2x
x
0
1
+ ∫ 4e x sin2xdx = -2 + Β
0
1
Β = ∫ 4e x sin2xdx
0
du = 2.cos2xdx
u = sin2x
⇒

ð t: 
x
 v = 4e x
dv = 4e dx

π
⇒ B = 4e sin2x
x
4
0
π
1
− ∫ 8e cos2xdx = 4e 4 − 4 I2
x
0
π
⇒ I2 = -2 + B = -2 + 4e 4 − 4I2
π
π
1
⇔ 5 I2 = -2 + 4e ⇔ I2 =  -2 + 4e 4
5

4




π
π
 14 π 12
1
4
I = I1 + I2 = 2e -2+  -2 + 4e  = e 4 −

5
5

 5
4
Nh n xét:
ví d trên h c sinh ph i tính tích phân t ng ph n hai l n, trong khi tính
l n hai bi u th c xu t hi n tích phân I c n tính ban ñ u nên ta còn g i d ng trên là

27. tích ph n t ng ph n l p. Trong d ng bài t p này khi làm h c sinh c n lưu ý v d u
khi s d ng công th c tích phân t ng ph n.
π
π
4
4
x
dx . T ñó suy ra: B = ∫ x.tg 2xdx (ðH NN Kh i B 2000)
5. A = ∫
2
cos x
0
0
π
u = x
du = dx

ð t
dx ⇒ 
v = tgx
dv = cos 2 x

π
=
4
π
+ ln cosx
4
0
=
⇒ A = x.tgx
4
0
π
π
4
4
- ∫ tgxdx = π + d(cosx)
4 ∫ cosx
0
0
π 1
- ln2
4 2
π
π
π
4
4
4
π
4
1
π 1
π2
1
dx - ∫ xdx = - ln2 -1)dx = ∫ x.
⇒ B = ∫ x.tg xdx = ∫ x.(
cos 2 x
4 2
32
cos 2x
0
0
0
0
2
3
2
6. I = ∫ ln ( x - x )dx (ðHCð Kh i D 2004)
2

(2x - 1)dx = (2x - 1)dx
x ( x -1 )
du =
u = ln(x 2 - x)

x2 - x
⇒
ð t: 


dv = dx

v = x - 1

(nguyên hàm v = x + c nên thay c = -1 ñ kh m u s )
3 3
2x - 1
2
⇒ I = (x -1).ln(x - x) - ∫
dx = 2ln6 -2ln2 +1 = 2ln3 + 1
x
2 2
Nh n xét: Trong d ng bài t p tích phân t ng ph n có ch a ln(u(x)) thư ng xu t hi n
phân s nên rèn luy n cho h c sinh khéo léo k t h p thêm tính ch t c a nguyên hàm
∫ f(x)dx = F(x)+C v i C là m t h ng s thích h p ta có th ñơn gi n ñư c phân
s ñ cho bư c tính tích phân ti p theo ñơn gi n hơn.
4
M t ví d tương t : I = ∫ 2xln(x - 2)dx
3
3
π 
 
2 
7. I =
∫
sin 3 x dx (ðH KTrúc HN 2001);
0
Nh n xét:
ví d trên h c sinh ph i nh n xét ñư c r ng bư c ñ u ph i ñ i bi n s .
ð t u = 3 x ⇒ u 3 = x ⇒ 3u 2 = dx
ð i c n:
x
0
π 
 
2
3

28. π
0
u
2
π
π
2
2
0
0
⇒ I = ∫ 3u 2sinudu ⇒ I = ∫ 3x 2sinx dx ta bi n ñ i như trên ñ h c sinh d nh n d ng tích
phân t ng ph n d ng 1.
Nh n xét: ð n ñây tích phân ti p theo có d ng 1 c a tích phân t ng ph n.
Do ña th c là b c hai nên ñ tính I, h c sinh ph i tính tích phân t ng ph n 2 l n:
u = 3x 2
du = 6xdx
⇒
ð t
v = sinx
dv = cosx.dx
π
⇒ I = 3x sinx
2
2
0
π
3π 2
− ∫ 6xsinx dx =
− I1
4
0
2
π
2
I1 = ∫ 6xsinx dx
0
u = 6x
du = 6dx
⇒
ð t
dv = sinxdx
v = -cosx
π
π
⇒ I1 = −6x.cosx
2
+ ∫ 6cosx dx = 6x.sinx
0
0
⇒I=−
π
2
2
= 3π
0
3π
3π
+ I1 =
− 3π
4
4
2
2
Nh n xét: Qua ví d trên, ñ tính tích phân ñôi khi h c sinh ph i áp d ng c hai
phương pháp ñ i bi n s lo i 2 và tích phân t ng ph n.
Ví d tương t : (ph i h p hai phương pháp)
π2
π2
4
a) I =
∫ sin
e4
1
x dx
b) I = ∫ x.ln(1+ x 2 )dx
0
0
π
∫
c) I =
cos lnx
dx
x
π
3
2
d) I = ∫ ecosx sin2x.dx
0
e) I =
ln tgx
∫ cos 2 x dx
π
4
BÀI T P ð NGH 6:
1. Tính các tích phân sau:
0
4
f) I = ∫ e x dx
0

29. 6
6
-x
∫ xe dx
a) I =
π
π
ln2
c) I = ∫(2x 2 -4)sin2xdx
b) I = ∫(12x - 2)cos2xdx
0
0
1
3
0
π
d) I = ∫(2x -1)ln(x +1)dx
2
e) I = ∫(2x -1)ln(x -1)dx
0
f) I =
2
xdx
∫
π sin x
2
4
π
1
g) I = ∫ 2xln 2(x +1)dx
3
2
i) I = ∫ 2xln2(x -1)dx
h) I = ∫(12x - 4+e )sinxdx
0
π
2
x
2
0
j) I = ∫(x + sin 2 x)cosxdx (TNTHPT – 2005)
0
2. Tính các tích phân sau: (Các ñ thi tuy n sinh ð i h c)
π
4
a) I = ∫ e3x sin4xdx (ðH A.Ninh 1997)
b) I = ∫ ( x -1)e2xdx (ðH DLNN-T.H c 1997)
1
0
0
2
π 
 
4
π
c) I = ∫ x 2sinxdx (ðH A.Ninh 1998)
∫
d) I =
cos xdx (ðH DLNN-T.H c 1998)
0
0
π
2
lnx
e) I = ∫ 2 dx (ðH Hu 1998)
x
1
4
f) I = ∫ x (2cos 2 x -1 )dx (ðH TCKT 1998)
0
ln ( x +1 )
2
g) I = ∫
dx (ðH Cñoàn 2000) h) I = ∫ xlg xdx (ðH Y Dư c 2001)
2
x
1
1
10
2
3
π 
 
2 
∫
i) I =
0
e
sin 3 x dx (ðH KTrúc HN 2001); j) I = ∫ x 2ln 2 xdx (ðH KT HDương 2002)
1
e
0
x 2 +1
lnxdx (ðHCð D b 2-2003); l) I = ∫ x e2x + 3 x +1 dx (ðHCð D.b 2003)
x
1
-1
(
k) I = ∫
)
1
m) I = ∫ x 3e x dx (ðHCð D b 2-2003); n) I = ∫ ( x 2 + 2x )e -xdx (ðH GTVT 2003)
0
1
2
0
III. Ki m tra k t qu c a m t bài gi i tính tích phân b ng máy tính CASIO fx570-MS
Trong m t s trư ng h p m t s bài tích phân ph c t p ñã gi i ñư c k t qu
nhưng chưa ñánh giá ñư c ñ chính xác c a k t qu là ñúng hay sai, khi ñó ta có th
s d ng máy tính c m tay CASIO fx-570MS ñ ki m tra k t qu . Ví d v i ñ thi
π
sin2x +sinx
dx ta s d ng máy tính như sau:
1+3cosx
0
2
Kh i A năm 2005 I = ∫

30. + V i k t q a gi i tay là
34
ta chuy n sang s th p phân ≈ 1,259259…
27
+ ð i v i bài tích phân lư ng giác trư c h t chuy n sang ch ñ Rad.
+ Quy trình b m máy CASIO fx-570MS như sau:
(
∫ dx
(
sin
(
÷
ALPHA
X
)
)
,
0
X
,
2
ALPHA
(
SHIFT
1
π
)
X
+
+
3
cos
÷
2
sin
)
ALPHA
=
Và k t q a máy tính là 1,2593. So v i k t qu g n ñúng trên ñ ng nghĩa v i ñáp s
bài gi i b ng tay trên ñã ñúng.
BÀI T P ð NGH 7: CÂU H I TR C NGHI M TÍCH PHÂN
1
Câu 1: ∫ 2x +1 dx có giá tr b ng:
0
A. 2
B. 0
C. -2
D. 3
C. -1
D.
e
Câu 2: ∫ x 2 -1 dx có giá tr b ng:
0
A. 1
B. 0
1
2
Câu 3: Ch n m nh ñ ñúng:
A.
π
4
≤
3π
4
dx
≤
∫
π 3 - 2sin x
2
π
2
B. 0 ≤
4
3π
4
C. 0 ≤
∫
π
3π
4
dx
≤
∫
π 3 - 2sin x
2
π
2
4
dx
π
≤
2
3 - 2sin x
4
1
D. ≤
4
4
3π
4
dx
≤
∫
π 3 - 2sin x
2
π
2
4
e
Câu 4:
lnx
dx có giá tr b ng:
x
1
∫
A. 1
1
B. 0
Câu 5: ∫ ( x + 2 ) dx có giá tr b ng:
0
4
C. -1
D. e

31. A.
211
5
B. 211
201
5
C. 201
D.
C. e
D. 1 - e
C. 1
D. 2
π
2
Câu 6: ∫ e sinxcosx dx có giá tr b ng:
0
A. e - 1
B. 0
π
2
Câu 7: ∫ 3 1 + 3cosx . sinx dx có giá tr b ng:
0
A. 3
1
Câu 8:
∫x
B.
5
3
dx
có giá tr b ng:
+ x +1
2
0
A.
π 3
9
B.
π
C.
9
π
9 3
D.
π 3
3
(2x -1 )dx có giá tr b ng:
∫ 2
2
Câu 9:
x - x -1
1
A. ln
2
3
B. ln
3
2
C. ln
4
9
D. ln
9
4
( 4x + 2 )dx có giá tr b ng:
∫ 2
1
Câu 10:
x + x +1
0
A. 3ln2
1
Câu 11:
dx
∫
x 2 + 2x + 2
-1
A. ln (2 + 5 )
2
Câu 11:
dx
∫
-3x 2 +6x +1
1
A.
2
Câu 12:
∫
1
π 3
3
B. 2ln3
0
C. ln ( 2 + 5 )
D. ln ( 5 - 2 )
có giá tr b ng:
B. ln ( 2 +5 )
có giá tr b ng:
B.
π 3
9
C.
π 3
12
D.
π 3
15
x - 2x +3
B. 6ln (2 + 3 )
2 2
∫
D. ln6
( 4x +6 )dx có giá tr b ng:
2
A. 4ln (2 + 3 )
Câu 13:
C. ln4
x x 2 +1 dx có giá tr b ng:
C. 8ln (2 + 3 )
D. 10ln (2 + 3 )

32. 26
3
A.
6
Câu 14:
∫x
2
A.
1
Câu 15:
B.
dx
π 3
B.
2
A. ln 2
2
Câu 16:
32
3
D.
34
3
π 3
C.
6
π 3
12
D.
π 3
36
có giá tr b ng:
x 2 +1
0
C.
có giá tr b ng:
x 2 -3
dx
∫
28
3
C. ln ( 2 +1 )
dx
∫ cosx +1
D. ln ( 2 + 2 )
C. 2
D. 3
C. 2
D. 3
C. 1 -ln2
B. ln2
D. 1+ln2
có giá tr b ng:
1
A. 0
π
Câu 17:
B. 1
dx
∫ sinx +1
có giá tr b ng:
0
A. 0
π
Câu 18:
B. 1
dx
∫ sinx - 2cosx - 2
có giá tr b ng:
0
B. ln2
A. -ln2
2
π
sinx -cosx 
Câu 19: ∫ 

 dx có giá tr b ng:
sinx +cosx 
0 
A. 1+
π
Câu 20:
π
B. -1+
4
cosx
∫ 11 -7sinx -cos x dx
2
π
4
C. 1 -
π
D. -1-
4
π
4
có giá tr b ng:
0
1
3
A. - ln
5
8
1
3
B. - ln5
1
3
C. ln
8
5
1
3
D. ln
5
8
π
2
Câu 21:
x +cosx
∫ 4 - sin x dx
π
2
có giá tr b ng:
2
A.
1
ln3
8
1
6
B. ln3
π
2

Câu 22: ∫ ln 

 dx có giá tr b ng:
1+cosx 

0
1+ sinx
1
4
C. ln3
1
2
D. ln3

33. π
A.
B.
2
3π
2
C. 0
D. 1
C. -ln3
D. -ln3
π
4
Câu 23:
sin4x
∫ sin x +cos x dx
4
4
có giá tr b ng:
0
A. -ln2
B. -ln2
-
Câu 24: Cho hàm s f(x) liên t c trên R và th a f(-x) + f(x) = cos7x.
π
2
∫ f(x) dx
π
-
có giá tr
2
b ng:
16
35
A.
B.
32
35
C.
24
35
D.
12
35
-
4
5
Câu 25: Cho hàm s f(x) liên t c trên R và th a 3 f(-x) + f(x) = cos x.sin x .
π
2
∫ f(x) dx
π
-
có
2
giá tr b ng:
A. -
1
4
B. -
1
2
1
4
C. 0
D.
C. 2
D. 3
C. 14
D.
2
Câu 26: ∫ x 2 - x dx có giá tr b ng:
0
A. 0
B. 1
2
Câu 27: ∫ x 3 - 2x 2 - x + 2 dx có giá tr b ng:
-1
9
4
A.
B.
37
12
41
12
2
Câu 28:
∫x
2
-3x + 2 dx có giá tr b ng:
-3
A.
59
2
B.
π
2
Câu 29:
∫
2
5 - 4cos x - 4sinx dx
0
A. -2 3 - 2 -
π
6
2
59
C. -
59
2
D. -
2
59
π
π
2
2
có giá tr b ng:  ∫ 5 - 4cos 2 x - 4sinx dx = ∫ 2sinx -1 dx

0
0

B. 2 3 - 2 -
π
6
C. 2 3 + 2 -
π
6





D. 2 3 + 2 +
π
6

34. π
2
Câu 30: ∫ 2cosx -1 dx có giá tr b ng:
0
A. 2 3 - 2 +
∫(2
x
A. 2 +
Câu 32:
3
π
C. 2 3 - 2 +
3
π
6
D. 2 3 - 2 -
π
6
- 4 dx có giá tr b ng:
-1
2
B. 2 3 - 2 -
)
2
Câu 31:
π
1
ln2
dx
∫ 1+ 1- x
B. 3 +
1
ln2
C. 4+
1
ln2
D. 5 +
1
ln2
có giá tr b ng:
-1
B. 2ln2
A. ln2
C. 3ln2
D. 4ln2
C. 2
D. 3
C. 9
D. 11
2
Câu 33:
∫ ( x - x -1 )dx
có giá tr b ng:
-1
A. 0
B. 1
2
Câu 34:
∫ ( 1- x - 1+ x )dx
có giá tr b ng:
0
A. 5
B. 7
1
Câu 35: ∫ xlnxdx có giá tr b ng:
0
A.
e 2 +1
2
B.
e 2 +1
4
C.
e 2 +1
1
D.
e 2 +1
3
π
2
Câu 36: ∫ xcosxdx có giá tr b ng:
0
A.
π
2
B.
+2
π
2
C.
-2
π
2
+1
D.
π
2
-1
1
Câu 37: ∫ xe xdx có giá tr b ng:
0
A. 7
B. 5
C. 3
D. 1
π
2
Câu 38: ∫ e x sin2x dx có giá tr b ng:
0
2
π

A. -  e 2 +1 
5


1
π

B. -  e 2 +1 
5


C.

2 π
2
 e +1 
5

D.

1 π
2
 e +1 
5


35. π
2
Câu 39: ∫ e 2xcosx dx có giá tr b ng:
0
A.
1 π
(e + 2 )
5
B.
1 π
(e - 2 )
5
C.
1
(2 eπ +1 )
5
D.
1
(2 eπ -1 )
5
C.
3e 2 -5
2
D.
5 -3e 2
2
C.
1 π
(e - 1)
2
D.
1 π
(-e +1 )
2
1
Câu 40: ∫ e 2x (x - 2 ) dx có giá tr b ng:
0
A.
5 -3e 2
4
B.
3e 2 -5
4
ex
Câu 41: ∫ cos (lnx )dx có giá tr b ng:
0
A.
1 π
( e +1 )
2
B. −
1 π
( e +1 )
2
e
Câu 42: ∫ sin (lnx )dx có giá tr b ng:
0
A.
e
Câu 43: ∫ e x
0
(sin1-cos1 )e+1 B. (sin1-cos1 )e -1
2
π
e
0
e
0
A.
2
3π
B. eπ
1+ x 2
(1+ x )
2
A. 0
Câu 45: ∫ e x
(cos1- sin1 )e+1
D.
(cos1-sin1)e+1
2
1+ sinx
dx có giá tr b ng:
1+cosx
A. e 2
Câu 44: ∫ e x
2
C.
C. e 2
C. e
(1+ x )
2
e-2
2
D. 2
dx có giá tr b ng:
B. 1
x
D. e2 π
dx có giá tr b ng:
B.
e+ 2
2
C.
The end
e -1
2
D.
e+1
2