Ringkasan dokumen tersebut adalah: Dokumen tersebut membahas kesinambungan antara berbagai komponen matematika seperti algebra, geometri, trigonometri, statistik dan kebarangkalian dengan kalkulus. Komponen-komponen tersebut saling berkaitan karena konsep-konsep seperti fungsi, graf, dan kecerunan yang muncul dalam berbagai komponen. Kalkulus juga berkaitan dengan statistik dan kebarangkalian melalui pemboleh

1. TUGASAN 2 (KUMPULAN 3)
a) Kesinambungan dengan
topik yang lain dalam
bidang yang sama.
1

2. 1.0 PENGENALAN
Matematik merupakan ilmu yang berkaitan dengan nombor dan pengiraan. Perkataan
Matematik berasal dari perkataan Yunani (mathema) yang bermakna sains, ilmu dan
pembelajaran (mathematikos) yang bermaksud suka belajar. Istilah itu kini merujuk kepada
sejumlah ilmu tertentu seperti pengajian deduktif pada kuantiti, struktur, ruang, dan tukaran.
Secara umumnya, Matematik boleh dibahagikan kepada kajian kuantiti, struktur, ruang, dan
perubahan, contohnya arithmetik, algebra, geometri, dan analisis. Terdapat juga sub-bahagian
yang dikhususkan untuk penerokaan hubungan dari dasar Matematik kepada bidang-bidang
yang lain contohnya logik Matematik, teori set (asas) dan Matematik empirikal pula untuk
pelbagai sains (Matematik gunaan).
Terdapat banyak komponen penting yang terkandung dalam Matematik itu sendiri.
Antara komponen-komponen yang terdapat dalam Matematik termasuklah algebra, geometri,
trigonometri, kalkulus, statistik dan kebarangkalian dan sebagainya. Komponen-komponen
yang ada di dalam Matematik adalah sangat berkait rapat antara satu sama lain dan
mempunyai kesinambungan mengikut topik. Kalkulus mempunyai dua cabang utama, iaitu
kalkulus pembezaan dan kalkulus kamiran yang saling berhubungan melalui teorem asas
kalkulus. Pelajaran kalkulus adalah pintu gerbang menuju pelajaran Matematik lain yang
lebih tinggi, yang khusus mempelajari fungsi dan limit dan secara umum dinamakan analisis
Matematik.
Trigonometri adalah cabang Matematik yang menerangkan hubungan antara sisi-sisi
dan sudut-sudut pada segitiga dan juga fungsi-fungsi trigonometri yang menggabungkan
ruang dan nombor, termasuklah teorem Pythagoras. Statistik pula adalah sebahagian daripada
Matematik. Bidang ini menumpukan kepada pengiraan nilai-nilai unik dalam matematik
seperti min (purata), median (pertengahan nilai) dan mod (nilai tertinggi) untuk
menggambarkan ciri-ciri sesuatu sampel atau populasi. Dalam statistik juga ilmu Matematik
peratusan turut digunakan.Geometri turut digunakan dalam kajian moden dengan
memasukkan geometri berdimensi tinggi, geometri bukan Euclid (yang juga memainkan
peranan penting dalam relativiti umum) dan topologi. Kedua-dua kuantiti dan ruang pula
memainkan peranan penting dalam geometri analisis, geometri kebezaan, dan geometri
algebra. Matematik juga sangat berguna dalam industri perniagaan dan perindustrian,
kedoktoran, ekonomi, fizik, kimia, kejuruteraan dan lain-lain bidang.
2

3. 2.0 KESINAMBUNGAN ANTARA ALGEBRA, GEOMETRI, TRIGONOMETRI,
STATISTIK DAN KEBARANGKALIAN DENGAN KALKULUS
2.1 ALGEBRA DENGAN KALKULUS
Algebra di dalam kurikulum sekolah menengah di Malaysia telah didedahkan kepada para
pelajar seawal Tingkatan 1 iaitu dengan pengenalan kepada nombor bulat sehingga topik
terakhir algebra di Tingkatan 5 iaitu Ubahan. Namun, pelajar-pelajar hanya akan diajar topik-
topik di bawah komponen kalkulus bermula pada Tingkatan 4 dan Tingkatan 5 dalam subjek
Matematik Tambahan. Sub-topik yang diajar untuk komponen kalkulus ialah pembezaan di
Tingkatan 4 dan pengamiran di Tingkatan 5.
Setelah belajar komponen algebra dan kalkulus terdapat kesinambungan yang dapat
dikaitkan antara kedua-dua komponen ini. Bagi fungsi algebra, para pelajar telah didedahkan
lebih awal tentang ungkapan algebra, persamaan linear dan persamaan kuadratik dalam
komponen algebra di Tingkatan 3 yang mana semua sub-topik algebra ini amat penting untuk
difahami pelajar kerana mereka akan menggunakannya di dalam topik kalkulus. Sebagai
contoh terdapat pengiraan pembezaan dalam kalkulus yang melibatkan „product‟, ‟quotient‟
dan „composite‟ bagi fungsi algebra.
Contoh 2.1.1: Pembezaan „product‟ dalam kalkulus yang melibatkan fungsi algebra.
( )( )
( )( ) ( )( )
3

4. Selain itu, terdapat juga kamiran di dalam kalkulus yang boleh dikaitkan dengan
algebra iaitu pengamiran bagi ungkapan algebra. Proses pengamiran ialah „distributive‟ yang
mana bermaksud untuk mencari hasil kamiran bagi ungkapan algebra , setiap terma bagi
ungkapan akan dikamirkan. Dalam bentuk umumnya ialah ∫[ ( ) ( )]
∫ ( ) ∫ ( ) .
Contoh 2.1.2: Pengamiran bagi ungkapan algebra.
∫( ) ∫ ∫
Pelajar perlu menguasai komponen algebra, dan keupayaan pelajar dalam pemfaktoran dan
mempermudahkan ungkapan algebra sangat membantu dan diperlukan untuk komponen
kalkulus.
2.2 ALGEBRA, TRIGONOMETRI DAN GEOMETRI DENGAN KALKULUS
Kalkulus adalah ilmu yang mempelajari perubahan, sebagaimana geometri yang
mempelajari bentuk , algebra yang mempelajari operasi dan penerapannya untuk
memecahkan persamaan manakala trigonometri berkaitan dengan sudut, segi tiga dan fungsi
trigonometri seperti sinus, kosinus dan tangen.
Konsep kecerunan terdapat dalam bidang algebra sebagai rumus dan persamaan, graf
dalam geometri dan bidang kalkulus, kecerunan muncul sebagai pembezaan. Salah satu topik
yang dipelajari dalam algebra ialah bagaimana untuk mendapatkan kecerunan garis. Kalkulus
memberikan kita satu kaedah yang lebih umum untuk mencari kecerunan.
Konsep kecerunan banyak digunakan untuk membuat graf (komponen geometri)
dalam menyelesaikan persamaan (komponen algebra). Kecerunan garis lurus ditakrifkan
sebagai suatu garis lurus yang mempunyai kecondongan yang pelbagai. Dari segi istilah
4

5. Matematik, kecerunan garis lurus ialah nisbah jarak mencancang kepada nisbah jarak
mengufuk di antara dua titik pada garis itu. Kecerunan ditandakan sebagai .
di mana simbol bermaksud perubahan.
Diberi dua titik ( ) dan ( )
Kecerunan dalam geometri.
Dalam geometri, diberikan satu garis yang membuat sudut terhadap paksi , kecerunan,
ditakrifkan sebagai
merujuk kepada komponen trigonometri.
Dalam geometri, kecerunan garis lurus digunakan untuk menentukan hubungan sama ada
garis lurus tersebut selari atau serenjang. Sebagai contoh dua garis dengan kecerunan dan
.
 Kedua-dua garis adalah selari jika dan hanya jika kecerunan mereka adalah sama
( )
5

6.  Kedua-dua garis adalah berserenjang jika hasil kecerunan mereka adalah
( )
Kecerunan dalam kalkulus.
Kalkulus digunakan untuk kecerunan yang sukar dengan menggunakan kaedah algebra.
Apabila melibatkan lengkung, kecerunan berubah dari suatu titik ke titik yang lain dan kita
hanya boleh mencari pada satu titik tunggal. Kecerunan pada titik tersebut ditakrif sebagai
kecerunan garis tangen (komponen geometri) pada titik tersebut. Garis tangen ditakrifkan
sebagai garis terhadap lengkung yang hanya menyentuh satu titik pada lengkung. Manakala
garis normal (komponen geometri) merupakan satu garis lurus yang berserenjang dengan
garis tangen.
Contoh 2.2.1:
Diberi satu lengkung mudah pada titik (1,1)
6

7. Dengan melakukan terbitan pertama terhadap persamaan tersebut
Kemudian gantikan titik (1,1) ke dalam persamaan di atas
( )
Kecerunan tangen pada titik (1,1) ialah
Kecerunan normal, .
2.3 STATISTIK DAN KEBARANGKALIAN DENGAN KALKULUS
Statistik dan kebarangkalian adalah satu bahagian Matematik yang berurusan dengan
pengumpulan dan penganalisisan data. Kebarangkalian merupakan satu kajian mengenai
peluang dan ia adalah satu perkara yang sangat asas yang digunakan dalam kehidupan
seharian, manakala statistik pula merupakan cabang Matematik yang berkaitan dengan
pengumpulan, penganalisisan dan pentafsiran data. Kedua-dua topik tersebut sentiasa seiring.
Oleh itu, pelajar tidak boleh belajar satu topik tanpa mengkaji topik yang lain. Dalam Sukatan
Pelajaran Kurikulum Bersepadu Sekolah Menengah Matematik Tambahan (2000), topik
statistik dan topik kebarangkalian telah disatukan dalam satu komponen iaitu komponen
statistik.
Kalkulus juga merupakan salah satu cabang matematik. Sebahagian besar kalkulus
telah diwujudkan oleh Newton dan Leibniz, walaupun beberapa idea-idea yang telah
digunakan oleh Fermat dan juga Archimedes (Mualim, 2014). Kalkulus dibahagikan kepada
dua bahagian, yang berkait rapat. Satu bahagian dipanggil “kalkulus pembezaan” dan
bahagian yang lain dipanggil “kalkulus kamiran” (Mualim, 2014). Berdasarkan Sukatan
Pelajaran Kurikulum Bersepadu Sekolah Menengah Matematik Tambahan (2000), tajuk
7

8. pembezaan dan pengamiran telah diletakkan dibawah satu komponen yang sama iaitu
komponen kalkulus.
Menurut Kaplan (2013), pandangan pertama orang ramai mengenai hubungan antara
kalkulus dan statistik ialah ia berkaitan tentang pengamiran (integration) dan pembezaan
(differentiation), longgokan (cumulative) dan kepadatan (density), serta kawasan (area) dan
cerun (slope). Justeru itu, penulisan ini akan menunjukkan kesinambungan antara statistik
dan kebarangkalian dengan kalkulus melalui pemboleh ubah selanjar (continuous variable)
dan fungsi kepadatan kebarangkalian (probability density function).
Menurut Waner dan Costenoble (2008), kalkulus merupakan Matematik yang
diperlukan bagi melakukan kebarangkalian dan statistik dengan pemboleh ubah selanjar
(continuous variable). Melalui kenyataan tersebut, dapat dilihat bahawa terdapat
kesinambungan antara kalkulus dengan statistik dan kebarangkalian melalui pemboleh ubah
selanjar. Dalam bidang statistik dan kebarangkalian, pemboleh ubah rawak merupakan satu
fungsi yang bernilai nombor nyata yang ditentukan nilainya oleh setiap unsur di dalam ruang
sampel. Jika suatu ruang sampel mengandungi bilangan kemungkinan yang tak terhingga
dengan unsur-unsurnya mengambil nilai dalam selang atau keseluruhan nilai pada garis
nyata, ia dinamakan ruang sampel selanjar dan pemboleh ubah yang tertakrif bagi ruang
sampel selanjar ini dinamakan pemboleh ubah selanjar.
Katakanlah sebuah eksperimen dijalankan untuk melihat umur seseorang, ketinggian
seseorang, jumlah masa yang dihabiskan untuk menunggu dalam talian atau mungkin jangka
hayat bateri. Setiap kuantiti tersebut memiliki nilai-nilai yang memerlukan selang bagi
menyusun data yang diperolehi. Oleh sebab itu, ia dipanggil pemboleh ubah rawak selanjar.
Contoh di bawah akan menunjukkan kesinambungan antara kalkulus dengan statistik dan
kebarangkalian melalui pemboleh ubah selanjar.
Contoh 2.3.1:
Dibawah tajuk pengamiran Tingkatan 5, terdapat satu tajuk kecil iaitu “Kawasan dibawah
Lengkung Sebagai Had Jumlah Kawasan”. Di bawah tajuk kecil ini, pelajar diperkenalkan
dengan Jumlah Riemann (Riemann Sum).
8

9. Berikut merupakan formula untuk Jumlah Riemann,
∑ ( )
di mana
.
Berdasarkan formula di atas, dapat dinyatakan bahawa untuk mendapatkan nilai bagi Jumlah
Riemann, memerlukan data dari sampel selanjar dan pemboleh ubah dari sampel tersebut
dinamakan pemboleh ubah selanjar. Justeru itu, ia menunjukkan kesinambungan antara
kalkulus dengan statistik dan kebarangkalian.
Selain itu, terdapat kesinambungan antara kalkulus dengan statistik dan
kebarangkalian melalui fungsi kepadatan kebarangkalian. Dalam bidang statistik dan
kebarangkalian, setiap pembolehubah rawak selanjar, mempunyai fungsi kepadatan
kebarangkalian, ( ). Fungsi kepadatan kebarangkalian merupakan satu fungsi yang
ditakrifkan pada selang (a,b) dan mempunyai syarat-syarat berikut:
a) ( ) untuk setiap .
b) ∫ ( ) .
Fungsi ketumpatan kebarangkalian boleh digunakan untuk menentukan
kebarangkalian bahawa satu pemboleh ubah rawak selanjar terletak di antara dua nilai,
katakana dan . Kebarangkalian ini ditandakan dengan ( ) dan diberikan oleh
( ) ∫ ( )
9

10. Formula di atas menunjukkan bahawa terdapat kesinambungan antara kalkulus dengan
statistik dan kebarangkalian melalui fungsi kepadatan kebarangkalian. Contoh di bawah akan
menjelaskan lagi tentang kesinambungan tersebut.
Contoh 2.3.2 (Waner dan Costenoble, 2008):
Kereta Sewa
Satu kajian mendapati taburan kebarangkalian berikut bagi usia kereta yang disewa.
= Umur (Tahun) 0 – 1 1 – 2 2 – 3 3 - 4 4 - 5 5 – 6 6 – 7
Kebarangkalian 0.20 0.28 0.20 0.15 0.10 0.05 0.02
Histogram bagi taburan ini ditunjukkan pada Rajah A dan lengkung yang dicadangkan
ditunjukkan pada Rajah B.
Rajah A Rajah B
Lengkungan ini merupakan graf bagi suatu fungsi , yang dipanggil fungsi kepadatan
kebarangkalian. Domain bagi ialah [ ) kerana ia merupakan julat bagi nilai yang
mungkin. Nilai pula merujuk kepada nilai khusus , maka tidak mungkin nilai-nilai ini
ditunjukkan di atas paksi secara sengaja. Pada umumnya, fungsi taburan kebarangkalian
berkemungkinan mempunyai selang tidak terhad (unbounded interval) sebagai domainnya.
Dengan menggunakan kaedah statistik, kebarangkalian kereta disewa antara 0 dan 4 tahun
boleh dikira dengan merujuk kepada jadual yang diberikan di atas, iaitu
( ) .
10

11. Kaedah kalkulus juga boleh digunakan bagi memperolehi jawapan yang sama. Rajah C
menunjukkan histogram yang sama dengan Rajah A, manakala Rajah D pula menunjukkan
luas kawasan (area) dibawah lengkung. Dengan merujuk Rajah D, jawapan yang sama akan
diperolehi dengan menambah semua kawasan palang kerana setiap palang mempunyai lebar
1 unit. Sebaik-baiknya, lengkungan kepadatan kebarangkalian harus mempunyai luas di
bawah lengkung bagi adalah sama, iaitu
( ) ∫ ( )
( ) ( ) ∫ ( )
Rajah C Rajah D
Contoh di atas telah menunjukkan bahawa terdapat kesinambungan antara kalkulus dengan
statistik dan kebarangkalian melalui melalui fungsi kepadatan kebarangkalian. Berikut
merupakan contoh ringkas yang lain bagi kenyataan tersebut.
Contoh 2.3.3 (Waner dan Costenoble, 2008):
Diberi ( ) pada selang [ ] [ ].
Syarat pertama disemak iaitu ( ) untuk setiap . ( ) kerana adalah
positif pada selang [1,2], oleh itu syarat pertama dipenuhi. Seterusnya, syarat kedua disemak
iaitu ∫ ( ) .
∫ ( ) ∫ [ ]
11

12. Oleh itu, syarat kedua dipenuhi. Sekiranya pemboleh ubah kebarangkalian selanjar
mengaku ini adalah fungsi kepadatan kebarangkalian, maka nilai kebarangkalian adalah
seperti berikut:
( ) ∫ [ ]
Contoh di atas telah menunjukkan kesinambungan antara statistik dan kebarangkalian dengan
kalkulus.
3.0 KESIMPULAN
Kandungan kurikulum Matematik Tambahan disusun dalam dua pakej pembelajaran iaitu
Pakej Teras dan Pakej Pilihan. Pakej teras adalah wajib dipelajari oleh semua murid. Pakej
tersebut telah dibahagikan kepada lima komponen utama iaitu komponen geometri,
komponen algebra, komponen kalkulus, komponen trigonometri dan komponen statistik
(Kementerian Pendidikan Malaysia, 2000). Setiap komponen pengajaran dalam Pakej Teras
mengandungi tajuk-tajuk yang berkaitan dengan cabang Matematik. Tajuk-tajuk tersebut
telah disusun mengikut hierarki supaya sesuatu tajuk mudah dipelajari sebelum meneruskan
kepada sesuatu tajuk yang lebih kompleks. Susunan hierarki tersebut bermula dari komponen
algebra, komponen geometry, komponen statistik, komponen trigonometri dan akhir sekali
komponen kalkulus, Komponen-komponen tersebut menyamai lima bidang utama dalam
Matematik iaitu algebra, geometri, trigonometri, statistik dan kebarangkalian, dan kalkulus.
Justeru itu, diharap agar contoh-contoh di atas sedikit sebanyak telah menunjukkan
kesinambungan antara kelima-lima bidang utama Matematik tersebut.
12

13. TUGASAN 2
b) Kesinambungan
dengan topik yang lain
dalam bidang yang lain.
13

14. 1.0 PENGENALAN
Umum mengetahui bahawa bidang kalkulus merupakan satu cabang ilmu Matematik
yang sangat penting terhadap perkembangan dunia sains hari ini. Kalkulus juga adalah suatu
cabang ilmu matematik yang mencakupi bab seperti had dan limit, fungsi, kamiran dan
pembezaan. Selain itu, dunia hari ini juga menyaksikan bahawa aplikasi kalkulus telah
meluas dalam bidang sains dan teknikal serta banyak pengetahuannya digunakan oleh bijak
pandai untuk menyelesaikan masalah yang kompleks dalam kehidupan seharian kita.
Kalkulus juga mempunyai kesinambungan dengan pelbagai bidang lain antaranya Sains
Fizikal atau Fizik, Elektrik dan Elektronik, Ekonomi, Perniagaan, Sains Kejuruteraan,
Biologi, Arkeologi dan Astronomi. Perbincangan di bawah akan menghuraikan
kesinambungan kalkulus dengan beberapa bidang yang telah dinyatakan. Pada dasarnya,
apabila kita mempelajari kalkulus, maka terbitlah persoalan di benak kita akan kegunaan
serta kepentingan mempelajari kalkulus.
2.0 KESINAMBUNGAN KALKULUS DENGAN BIDANG LAIN
2.1 BIDANG SAINS FIZIKAL ATAU FIZIK
Pengetahuan dalam bidang kalkulus telah banyak diaplikasikan dalam bidang Sains
Fizikal. Sebagai contoh, Hukum Newton kedua yang diilhamkan oleh Sir Isaac Newton
mengaplikasikan konsep kalkulus dalam mengira kadar perubahan sesuatu objek, momen
inersia sesuatu objek dan juga jumlah tenaga keseluruhan sesuatu objek. Umpamanya, rumus
dari hukum ini menjelaskan bahawa daya objek adalah hasil darab antara jisim dan pecutan.
Selain itu, hukum ini juga menyatakan bahawa laju perubahan momentum dari sebuah benda
adalah sama dengan hasil daya yang dikenakan kepada objek tersebut pada arah yang sama.
Selain itu, kalkulus juga turut diaplikasikan dalam mengira kadar pecutan sesuatu
objek. Umpamanya dengan berpandukan teorem pembezaan dan rumus tertentu, kadar had
laju dan momentum sesuatu objek dapat diketahui.
14

15. 2.2 BIDANG ELEKTRIK DAN ELEKTRONIK
Di samping itu, dalam bab eletrik dan eletronik, kalkulus juga digunakan untuk
mencari jumlah fluks dari sebuah medan eletromagnetik. Menggunakan rumus pembezaan,
teori eletromagnetik Maxwell menyatakan bahawa gelombang elektromagnetik adalah
gelombang yang dihasilkan dari perubahan medan magnet dan medan eletrik secara
berurutan, dimana arah getar vektor medan eletrik dan medan magnet saling tegak lurus.
Manakala, teori graviti yang dipelopori oleh Sir Isaac Newton juga mengaplikasikan rumus
kalkulus dalam mengira daya graviti. Umpamanya, daya graviti sesuatu objek adalah
bersamaan dengan daya yang bertindak ke atas sesuatu objek per jisim .
2.3 BIDANG EKONOMI
Konsep kalkulus juga turut diaplikasikan dalam bidang ekonomi. Umum mengetahui
bahawa kajian terhadap bidang ekonomi memerlukan pengetahuan matematik yang
mendalam dan di sinilah bidang kalkulus memainkan peranannya. Kalkulus umpamanya
menyediakan istilah-istilah ekonomi serta langkah-langkah yang sistematik untuk
diaplikasikan dalam penyelesaian masalah. Prinsip ekonomi banyak menggunakan hukum-
hukum kalkulus seperti fungsi dan derivatif iaitu fungsi yang mengkaji hubungan antara dua
atau lebih pemboleh ubah atau entiti yang mempunyai nilai-nilai yang berbeza.
Ahli matematik dan ahli ekonomi sering menggunakan huruf seperti dan bagi
melambangkan pemboleh ubah tertentu. Menurut mereka, jika nilai perubahan adalah
sejajar dengan nilai perubahan , maka kedua-dua pemboleh ubah ini mempunyai satu
hubungan yang berfungsi. Justeru, konsep fungsi dan derivatif inilah yang menjadi asas
dalam bidang ekonomi dewasa ini. Sebagai huraian, ahli penyelidik ekonomi sering
menggunakan kalkulus untuk memeriksa sesuatu hubungan berfungsi contohnya hubungan
antara pendapatan tetap dan sebaliknya dengan pemboleh ubah bersandar seperti pengalaman
kerja dan tahap pendidikan. Menggunakan konsep pembezaan serta fungsi dan derivatif, ahli
ekonomi kini berupaya untuk mengukur purata pendapatan seisi keluarga serta purata
pendapatan negara dari sudut ekonomi negara khususnya.
Sebagai contoh, ahli ekonomi menggunakan kalkulus untuk menentukan masa yang
sesuai untuk membeli atau menjual sesuatu, berapa harga barang mempengaruhi berapa
banyak orang yang membelinya atau contoh-contoh lain yang memerlukan perubahan diukur
15

16. dari semasa ke semasa dalam dua atau lebih pembolehubah yang berkaitan. Syarikat kad
kredit juga menggunakan kalkulus untuk menetapkan kadar bayaran minimumnya yang perlu
dibayar pada masa yang tepat dengan mengambil kira pembolehubah tertentu seperti
perubahan kadar faedah dan baki yang berubah-ubah.
2.4 BIDANG PERNIAGAAN
Selain bidang sains dan ekonomi, kalkulus juga turut berguna dalam bidang
perniagaan. Sebagai contoh dalam perniagaan, ahli perniagaan mengkaji terbitan „trend‟ yang
boleh membantu mereka meramalkan masa depan saham dan pasaran semasa. Arkitek yang
ditugaskan untuk kerja pula diberi bajet tertentu dan mereka perlu menggunakan wang
tersebut mengkiut bajet yang telah ditetapkan. Dalam hal ini, terdapat sesetengah arkitek
yang menggunakan kaedah penggangaran dalam mengira jumlah bahan binaan yang mereka
perlu dapatkan bersesuaian dengan ruang bangunan yang direka bentuk. Antara konsep
kalkulus yang terlibat adalah intergral di mana intergral digunakan untuk menunjukkan
kawasan di bawah lengkung.
Selain itu, konsep kamiran terhingga dan anti derivatif juga turut digunakan oleh
arkitek untuk menganggar ruang. Justeru jelaslah bahawa kalkulus amat berguna dalam
perniagaan kerana pengetahuan di dalam bidang ini diperlukan oleh ahli perniagaan dan
arkitek untuk menukar data ke dalam fungsi kuantitatif seterusnya menganggar sesuatu bahan
binaan yang diperlukan. Di dalam bidang perniagaan, kalkulus juga membantu pengurus
perniagaan memaksimumkan keuntungan mereka serta mengukur kadar peningkatan dalam
keuntungan yang terhasil. Di samping itu, umum mengetahui bahawa faedah yang yang perlu
dibayar ke atas pinjaman sama ada untuk rumah, kenderaan dan kelengkapan modal
perniagaan memerlukan seseorang itu untuk membuat pertimbangan yang sewajarnya.
Dengan kalkulus, masalah ini dapat diatasi kerana kalkulus menyediakan cara-cara untuk
menentukan amaun faedah yang perlu dibayar sepanjang hayat pinjaman.
16

17. 2.5 BIDANG SAINS KEJURUTERAAN
Kalkulus juga amat berguna dalam bidang sains kejuruteraan. Sebagai contoh, melalui
kalkulus, kita dapat mencari kecerunan sesuatu lengkung pada graf menggunakan teknik-
teknik tertentu. Pengetahuan ini juga membolehkan kita mengetahui bagaimana cara untuk
mendapatkan persamaan kecerunan berdasarkan nilai dan pada graf. Selain dapat
melakarkan graf, kita juga dapat mengetahui nilai-nilai maksimum dan minimum graf dengan
mengaplikasikan pengetahuan dalam kalkulus. Elemen seni bagi sesebuah bangunan juga
tidak lari dari mengaplikasikan nilai kalkulus bagi pembinaannya. Arkitek akan
menggunakan kalkulus kamiran untuk menentukan jumlah bahan yang diperlukan untuk
membina sebuah kubah yang melengkung untuk stadium sukan yang baru sekaligus mengira
berat kubah dan menentukan jenis struktur sokongan yang diperlukan. Seorang pelukis grafik
akan menggunakan kalkulus untuk menentukan bagaimana model tiga dimensi yang berbeza
akan bertindak mengikut syarat-syarat perubahan yang dikenakan. Kesan grafik yang realistik
akan dapat dihasilkan menggunakan prinsip kalkulus.
2.6 BIDANG SAINS HAYAT ATAU BIOLOGI
Selain itu, kalkulus juga turut memberikan sumbangan terhadap bidang sains hayat
ataupun biologi. Dalam biologi, pengetahuan tentang kalkulus telah diaplikasikan dalam
fungsi kinetik Michaelis- Menten. Sebagai contoh, ia boleh digunakan sebagai permodelan
dalam tindak balas enzim atau kadar pertumbuhan penduduk. Umpamanya, ditafsirkan
sebagai kepekatan nutrient manakala adalah fungsi kadar pertumbuhan bakteria. dan
pula adalah positif parameter malar bagi kadar pertumbuhan maksimum dan kepadatan
nutrient di mana kadar pertumbuhan bakteria mencapai . Pengetahuan biologi ini
sememangnya mengaplikasikan konsep kalkulus dalam memperkenalkan pergantungan
kepada nutrient sebagai derivatif pertama dan pecutan ( gencatan ) sebagai terbitan kedua.
Dalam hal ini, kita menggunakan konsep kalkulus dalam mengkaji hubungan melibatkan
fungsi yang saling bergantung kepada masa iaitu ( ) adalah ketumpatan bakteria manakala
( ) adalah kadar kepekatan nutrient dengan masa.
17

18. 2.7 BIDANG ARKEOLOGI
Di samping itu, konsep kalkulus juga turut digunakan oleh ahli arkeologi dalam
mengkaji jangka hayat binatang yang telah pupus iaitu Ichthyosaurs. Sebagaimana yang kita
sedia maklum, Ichthyosaurs adalah kumpulan reptilia marin yang berbentuk ikan dan
mempunyai saiz setanding saiz ikan lumba-lumba. Namun begitu, mereka telah menjadi
pupus semasa tempoh Cretaceous. Berdasarkan kajian terhadap 20 rangka fosil, para pengkaji
telah mendapati bahawa tengkorak panjang mamalia tersebut (dalam cm) dan panjang tulang
belakang manusia (dalam cm) saling berkaitan melalui persamaan matematik allometrik di
mana ( ) adalah panjang tengkorak dan ( ) adalah panjang tulang belakang pada usia .
Persamaan pertama memberikan hubungan antara ( ) dan ( ) Walau
bagaimanapun, persamaan kedua jelas menunjukkan bahawa tulang belakang tumbuh lebih
cepat daripada tengkorak.
Kesimpulannya , jelaslah bahawa kalkulus amat berguna dalam bidang sains hayat
kerana contoh-contoh hidupan prasejarah serta mikrobiologi ini secara jelas telah
mengaplikasikan pelbagai konsep kalkulus seperti terbitan, konsep rantai kuasa dua, kadar
pertumbuhan relatif serta kadar pertumbuhan yang berkaitan.
2.8 BIDANG ASTRONOMI
Kalkulus dan astronomi juga tidak dapat dipisahkan. Perkembangan matematik dan
pengiraan astronomi digabungkan dan digunakan. Kebanyakan ahli astronomi yang terkenal
juga merupakan pakar dalam bidang matematik dan begitulah sebaliknya. Kalkulus telah
digunakan dalam bidang astronomi sejak abad ke-17 untuk mengira orbit planet-planet di
sekitar bintang. Kalkulus juga diperlukan untuk mengira dengan tepat kelajuan objek-objek
yang berubah dan bergerak di angkasa seperti asteroid, komet dan lain-lain.
18

19. 3.0 KESIMPULAN
Kesimpulannya, dapatlah dirumuskan bahawa bidang kalkulus mempunyai banyak
kesinambungan dalam pelbagai bidang lain dan telah banyak memberikan sumbangan
terhadap perkembangan dunia sains hari ini. Selain itu, kejayaan kalkulus dalam bidang
ekonomi, perniagaan dan sains kejuruteraan telah membuktikan bahawa dunia semakin
berkembang pesat dewasa ini. Menyedari kepentingan kalkulus terhadap perkembangan
dunia sains dewasa ini, kursus kalkulus telah banyak diajar di universiti-universiti bertaraf
dunia serta universiti awam serta swasta di negara kita khususnya. Bahan-bahan untuk
kalkulus pula sentiasa diperhalusi dan diperbaharui agar para pelajar dapat mengikutinya
seoptimum mungkin.
Di dalam negara kita umpamanya, bahan-bahan pengajaran kalkulus seperti buku teks,
buku rujukan serta perisian komputer adalah bertaraf antarabangsa dan diilhamkan oleh pakar
ilmuan matematik yang terkenal. Hal ini penting bagi memastikan bidang kalkulus yang
diajar di institusi pendidikan negara kita setanding dengan negara luar khususnya negara
Eropah.
Tegasnya kursus kalkulus adalah penting untuk dikuasai oleh setiap individu kerana ia
merupakan peralihan daripada tahap pemikiran matematik sekolah menengah untuk tahap
pemikiran matematik aras tinggi. Berdasarkan contoh serta huraian yang telah dijelaskan di
atas, jelaslah bahawa kalkulus penting terhadap perkembangan dunia sains hari ini kerana
kegunaannya mencakupi pelbagai aspek seperti sains kejuruteraan, sains hayat dan
sebagainya. Pengetahuan dalam bidang ini juga seterusnya membantu pelajar dalam
memperluaskan pengalaman mereka dalam memilih bidang kerjaya masing-masing.
Menyedari hakikat ini, kebanyakan pelajar akan belajar kalkulus dengan baik jika mereka
tahu akan peri pentingnya kegunaan kalkulus terhadap pelajaran dan masa depan mereka.
19

20. RUJUKAN
Bahagian A
Dawkins, P. 2015. Calculus II-Notes.
http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcII/Probability.aspx. [7 April 2015].
Kaplan D. 2013. Calculus and statistics.
http://magazine.amstat.org/blog/2013/07/01/calculus- and-statistics/. [7 April
2015].
Kementerian Pendidikan Malaysia. 2000. Sukatan pelajaran kurikulum bersepadu sekolah
menengah matematik tambahan. Selangor : Dewan Bahasa dan Pustaka.
Math Scoop. 2010. What is Calculus?. http://www.mathscoop.com/calculus/what-is-
calculus.php. [9 April 2015].
Moy, W. G., Ooi, S. H., Wong, T. S., Chew, S. L., Chong, P. L., (2007). Focus excel
additional mathematics. Malaysia: Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Mualim. 2014. Kalkulus FIN – 1. http://www.scribd.com/doc/215188789/Kalkulus-FIN-1. [7
April 2015].
Muhammad Faiz Norman. 2011. Indahnya Matematik. Menemui Matematik (Discovering
Mathematics). 33 (2): 45 – 53.
Waner, S. & Costenoble, S. R. 2008. Applied calculus on-line chapter: calculus applied to
probability and statistics.
http://www.zweigmedia.com/RealWorld/cprob/cprobintro.html. [7 April 2015].
Wong, P. W. 2006. Eksplorasi matematik tambahan KBSM tingkatan 4. Selangor: Penerbit
Fajar Bakti Sdn. Bhd.
20

21. RUJUKAN
Bahagian B
Baiq Kartika Syaftiana. 2011. Aplikasi kalkulus dalam bidang ekonomi.
https://kartikasyaftiana.wordpress.com/2011/03/21/aplikasi-kalkulus-dalam-bidang-
ekonomi/. [1 April 2015].
CCP. 2003. The connected curriculum project.
https://www.math.duke.edu/education/ccp/index.html. [1 April 2015].
Eagleton, K.1999. Mathematical techniques in astronomy.
http://www.hps.cam.ac.uk/starry/mathematics.html. [31 Mac 2015].
Machado, J.A.T., Silva, M.F., Barbosa, R.S., Jesus, I.S., Reis, C.M., Marcos, M.G., &
Galhano, A.F. Some application of fractional calculus in engineering.
Mathematical Problems in Engineering. 2010: 1-34.
Michelle, M. 2014. Uses of calculus in real life. http://www.ehow.com/info_8524020_uses-
calculus-real-life.html. [31 Mac 2015].
WyzAnt. 2015. Applications of calculus.
http://www.wyzant.com/resources/lessons/math/calculus/introduction/applications_of
cal culus. [31 Mac 2015].
21